Estimacion por el Metodo de Momentos de losParametros de la Distribucion log-normal

Javier Santibanez

15 de noviembre de 2012

Planteamiento

Sea X1, X2, . . . , Xn una m.a. de una poblacion lognormal(µ, σ). Obtenga los estimadoresde los parametros de la distribucion utilizando el metodo de momentos.

Solucion

Para emplear el metodo de momentos se necesitan los momentos no centrales muestrales:

M ′1 = 1

n

n∑i=1

Xi = X;

M ′2 = 1

n

n∑i=1

X2i .

y los momentos no centrales distribucionales:

E[Y ] =∫ ∞

0yfY (y)dy =

∫ ∞

0y

1t√

2πσ2exp

{−1

2

( log t− µσ

)2}dy

= exp{µ+ σ2

2

};

E[Y 2] =∫ ∞

0y2fY (y)dy =

∫ ∞

0y2 1t√

2πσ2exp

{−1

2

( log t− µσ

)2}dy

= exp{

2µ+ 2σ2}.

Por lo tanto, las ecuaciones que se usaran para encontrar los estimadores son:

M ′1 = exp

{µ+ σ2

2

}(1)

M ′2 = exp

{2µ+ 2σ2

}. (2)

Tomando el logaritmo de cada ecuacion se obtiene:

logM ′1 = µ+ σ2

2 (3)

logM ′2 = 2µ+ 2σ2. (4)

1

Restando 2 veces la ecuacion (3) de la ecuacion (4) se obtiene

logM ′2 − 2 logM ′

1 = σ2 (5)

y tomando la reız cuadrada en ambos lados de la ecuacion se obtiene:

σ =√

logM ′2 − 2 logM ′

1 (6)

Ahora, sustituyendo el valor de σ2 de la ecuacion (5) en la ecuacion (3) se obtiene:

M ′1 = µ+ 1

2(logM ′2 − 2 logM ′

1) (7)

M ′1 = µ+ 1

2 logM ′2 − logM ′

1 (8)

µ = 2 logM ′1 −

12 logM ′

2 (9)

En las ecuaciones (6) y (9) se tiene la solucion del sistema de ecuaciones. Por lo tento losestimadores por el metodo de momentos de los parametros µ y σ son:

µ = 2 logM ′1 −

12 logM ′

2 = 2 log X − 12 log

(1n

n∑i=1

X2i

)

σ =√

logM ′2 − 2 logM ′

1 =

√√√√log(

1n

n∑i=1

X2i

)− 2 log X

2