Universidad Tecnológica de Torreón Organismo Público Descentralizado del Gobierno de Coahuila

Distribución Exponencial y

Lognormal “Minitab”

Ing. Tecnologías de la Producción

Estadística Aplicada a la

Ingeniería

Alumno Víctor Hugo Franco García

7° ``A´´

Profesor

Lic. Gerardo Edgar Mata Ortiz

A Martes 26 de Noviembre de 2013

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Distribución Exponencial

Calcula las densidades de probabilidad, probabilidades acumuladas y probabilidades acumuladas inversas para una distribución exponencial. Utilice la distribución exponencial para datos de series de tiempo cuando los datos sean constantes, como cuando las unidades tienen una tasa de falla constante. Utilice cuando las variables aleatorias sean mayores que 0.

Distribución exponencial

Se utiliza con más frecuencia para modelar el comportamiento de unidades que tienen una tasa de falla constante. La distribución exponencial tiene una amplia gama de aplicaciones en el análisis de la confiabilidad y disponibilidad de sistemas electrónicos, teoría de colas y cadenas de Markov. Por ejemplo, el tiempo para la falla de componentes electrónicos, el tiempo entre las llegadas de clientes en un terminal, el tiempo para desintegración de un núcleo radiactivo o la distancia que recorre un fotón en un medio antes de chocar con partículas de polvo.

Una propiedad importante de la distribución exponencial es que no tiene memoria. La propiedad de ausencia de memoria indica que la vida útil restante de un componente es independiente de su antigüedad. Por ejemplo, un sistema que experimenta un desgaste natural y, por lo tanto, tiene más probabilidades de fallar más tarde en su vida útil no es un sistema sin memoria.

La distribución exponencial de 1 parámetro se describe según su parámetro de escala. La distribución exponencial de 2 parámetros se describe según sus

parámetros de escala y valor umbral. El parámetro de valor umbral, , de ser

positivo, cambia el comienzo de la distribución en una distancia a la derecha. Por ejemplo, usted está interesado en estudiar la falla de un sistema, en cuyo caso

= 5. Esto significa que las fallas comienzan a ocurrir después de 5 horas de operación y no pueden ocurrir antes.

Variable aleatoria

Una característica de un experimento o unidad de muestra. En particular, es una característica que no es controlada directamente por el investigador. Puede ser numérica o cualitativa. Por ejemplo, si tiene un muestreo de estudiantes de secundaria, la muestra sería un estudiante. Las variables aleatorias posibles incluirían estatura, peso, sexo, color de cabello, etc. Como la selección de los estudiantes es aleatoria, cada una de estas características variará.

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Función de densidad de probabilidad (PDF)

Describe la probabilidad de cada valor específico que una variable puede adquirir.

Para una variable discreta, la PDF es una lista que contiene cada valor que la variable puede adquirir y su probabilidad asociada. Por ejemplo, una fábrica de caramelos produce un tipo de caramelo de múltiples colores. 30% de los caramelos producidos son amarillos, 10% anaranjados, 10% rojos, 20% verdes y 30% azules.

Esta gráfica de barras muestra la PDF por color de caramelo. Cada barra representa la probabilidad de caramelos de ese color expresada como un porcentaje.

Para una variable continua, la PDF es la curva que aproxima la forma cuando sus valores se muestran en una gráfica de barras o histograma. Por ejemplo, una máquina que corta corchos para botellas de vino produce corchos de diferentes diámetros. En la siguiente gráfica de barras de diámetros de corchos, cada barra representa el porcentaje de corchos con el correspondiente diámetro.

La curva azul es la PDF para el diámetro del corcho. Utilice la PDF para determinar la probabilidad de un evento que ocurre. Por ejemplo, sólo un pequeño porcentaje de corchos (1%) tiene un diámetro por debajo de 2.8 cm.

Si los límites de especificación para el diámetro de corchos son de 2.85 cm a 3.15 cm, la PDF ofrece la probabilidad o el porcentaje de todos los corchos de este proceso que cumplen con las especificaciones.

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La forma de la PDF es diferente para distribuciones diferentes. La curva de forma de campana familiar representa la PDF para una distribución normal. Mientras el diámetro de corchos sigue una distribución normal, otras mediciones, tales como la fuerza que toma extraer el corcho de la botella de vino, puede seguir una distribución diferente. Por ejemplo, la PDF para una distribución log-normal tiene una cola larga hacia la derecha.

Debido a que una botella de vino ocasionalmente requiere una cantidad excepcional de fuerza para remover el corcho, las mediciones de esta fuerza con frecuencia siguen una distribución con una cola larga hacia la derecha tal como la distribución lognormal.

Elementos del cuadro de diálogo

Densidad de probabilidad: Elija esta opción para calcular las densidades de probabilidad

Probabilidad acumulada: Elija esta opción para calcular las probabilidades acumuladas.

Probabilidad acumulada inversa: Elija esta opción para calcular la inverse de las probabilidades acumuladas. Cuando este valor no está definido, Minitab devuelve un valor faltante.

Escala: Ingrese un valor de escala para definir la distribución exponencial. El parámetro de escala es igual a la media, cuando el parámetro de valor umbral es igual a 0.

Valor umbral: Ingrese un número umbral para definir la distribución exponencial.

Columna de entrada: Ingrese una columna que se evaluará.

Almacenamiento opcional: Ingrese una columna de almacenamiento para los valores generados. En el caso de la Inversa, almacena el mayor de dos valores, si se muestran dos. Minitab muestra los valores almacenados en la ventana Datos, pero no en la ventana Sesión.

Constante de entrada: Ingrese un número o constante que se evaluará.

Almacenamiento opcional: Ingrese una constante para almacenar el valor generado. En el caso de la Inversa, almacena el mayor de dos valores, si se muestran dos. Minitab muestra la constante almacenada en la carpeta Constantes, pero no en la ventana Sesión.

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Nota Algunas referencias utilizan 1/ b para el parámetro de escala. Minitab utiliza b. Si usted no especifica valores, Minitab utiliza escala = 1 y valor umbral = 0.

Procedimiento

Para calcular la pdf, cdf o cdf inversa

1 Elija Calc > Distribuciones de probabilidad > (nombre de distribución).

2 Realice uno de los siguientes procedimientos:

Elija Probabilidad para calcular la pdf.

Elija Probabilidad acumulada para calcular la cdf.

Elija Probabilidad acumulada inversa para calcular la cdf inversa.

3 Ingrese los parámetros requeridos. Estos varían de una distribución a otra.

4 Por ejemplo, para la distribución binomial, los parámetros son Número de ensayos y Probabilidad del evento. Realice uno de los siguientes procedimientos:

En Columna de entrada, ingrese la columna que desea evaluar. Si lo desea, en Almacenamiento opcional, ingrese una columna en la que almacenará las probabilidades.

En Constante de entrada, ingrese la constante (como K1) o el número (como 21) almacenados que desea evaluar. Si lo desea, en Almacenamiento opcional, ingrese una constante (como K2) en la que almacenará la probabilidad.

5 Haga clic en Aceptar.

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Ejemplo de uso de la función de densidad de probabilidad (pdf)

Nota El siguiente ejemplo es para una distribución binomial; sin embargo, el método es similar para otras distribuciones.

Supongamos que usted compró cuatro baterías. El paquete dice que 95% de las baterías dura por lo menos 100 horas. Si esto es verdadero, ¿cuáles son las probabilidades de que las cuatro baterías duren por lo menos 100 horas? ¿De qué tres duren ese tiempo? ¿De qué ninguna dure ese tiempo?

Se trata de un problema binomial, porque existen dos resultados para cada batería: la batería dura más de 100 horas o no.

1 Escriba los números 1, 2, 3 y 4 (para cada una de las cuatro baterías) en una columna de hoja de trabajo llamada Datos.

2 Elija Calc > Distribuciones de probabilidad > Binomial.

3 Elija Probabilidad.

4 En Número de ensayos, ingrese 4. En Probabilidad del evento, ingrese 0.95.

5 Elija Columna de entrada e ingrese Datos. Haga clic en Aceptar.

Salida de la ventana Sesión

Nota Si usted especifica una columna de almacenamiento, la salida no se produce en la ventana Sesión. Para ver los resultados, busque en la ventana de datos o utilice Datos > Mostrar datos.

Interpretación de los resultados

La probabilidad de que cuatro baterías duren por lo menos 100 horas es de 0.814506 y la probabilidad de que sólo tres duren ese tiempo es de 0.171475. La probabilidad de que ninguna dure ese tiempo es de 0.

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Ejemplo de cálculo de probabilidad acumulada (cdf)

Nota El siguiente ejemplo es para una distribución normal; sin embargo, el método es similar para otras distribuciones.

Supongamos que usted desea calcular una probabilidad acumulada para el valor

27 de una distribución normal con = 28 y = 1.

Usted busca el área debajo de la curva hasta 27, tal como se muestra:

1 Elija Calc > Distribuciones de probabilidad > Normal.

2 Elija Probabilidad acumulada.

3 En Columna, ingrese 28. En Desviación estándar, ingrese 1.

4 Elija Constante de entrada e ingrese 27. Haga clic en Aceptar.

Salida de la ventana Sesión

Nota

Si usted especifica una columna de almacenamiento, la salida no se produce en la ventana Sesión. Para ver los resultados, busque en la.

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Interpretación de los resultados

La cdf para 27 es 0.158655. Este valor representa el área debajo de la curva normal hasta 27, que se muestra en negro.

Ejemplo de cálculo de valores p

Nota El siguiente ejemplo es para una distribución F; sin embargo, el método es similar para otras distribuciones.

Supongamos que usted realiza un análisis de regresión múltiple con los siguientes grados de libertad: df (Regresión) = 3; df (Error) = 2; y la estadística F = 4.86. Ahora usted desea calcular un valor p para la prueba F.

Primero, usted calcula la fucdf.

1 Elija Calc > Distribuciones de probabilidad > F.

2 Elija Probabilidad acumulada.

3 En Grados de libertad del numerador, ingrese 3. En Grados de libertad del denominador, ingrese 2.

4 Elija Constante de entrada e ingrese 4.86.

5 En Almacenamiento opcional, ingrese K1. Haga clic en Aceptar.

K1 contiene la función de distribución acumulada. Ahora usted utilizará la Calculadora para restar el valor p de 1.

6 Elija Calc > Calculadora.

7 En Almacenar resultado en variable, ingrese valor P.

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8 En Expresión, ingrese . Haga clic en Aceptar.

Salida de la ventana Datos

Nota Este comando no genera salida en la ventana Sesión. En cambio, una columna se almacena en la hoja de trabajo.

Interpretación de los resultados

El valor p calculado, tal como se muestra en la ventana Datos, es 0.175369. Utilizando el valor de corte 0.05, usted no concluiría que la significancia estadística desde 0.175369 no es menos que 0.05.

Ejemplo de cálculo de la probabilidad acumulada inversa

Nota El siguiente ejemplo es para una distribución normal; sin embargo, el método es similar para otras distribuciones.

En el Ejemplo de cálculo de probabilidad acumulada (cdf), usted descubrió que la cdf para 27 (el área debajo de la curva normal hasta 27) es 0.1587. Supongamos que usted desea calcular la probabilidad acumulada inversa para 0.1587 en la misma distribución. Este valor debería ser 27.

1 Elija Calc > Distribuciones de probabilidad > Normal.

2 Elija Probabilidad acumulada inversa.

3 En Columna, ingrese 28. En Desviación estándar, ingrese 1.

4 Elija Constante de entrada e ingrese0.1587; a continuación, haga clic en Aceptar.

Salida de la ventana Sesión

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Interpretación de los resultados

La probabilidad acumulada inversa para 0.1587 es 27.0002.

En cambio, tal como se muestra en los Resultados de cálculo de la cdf, la probabilidad acumulada para 27 es 0.1587. La diferencia de 0.0002 se debe a un error de redondeo.

Ejemplo de cálculo de valores críticos

Puede utilizar Minitab para calcular un critical value para una hypothesis test en lugar de buscar en una tabla en un libro.

Nota El ejemplo siguiente es para una distribución chi-cuadrada; sin embargo, el método es similar para otras distribuciones.

Supongamos que usted desea realizar una prueba 2 con = 0.02 y 12 grados de

libertad. ¿Cuál es el valor crítico correspondiente? Una de 0.02 corresponde a un valor de probabilidad acumulada de 1 - 0.02 = 0.98.

1 Elija Calc > Distribuciones de probabilidad > Chi-cuadrada.

2 Elija Probabilidad acumulada inversa. En Grados de libertad, ingrese 12.

3 Elija Constante de entrada e ingrese 0.98. Haga clic en Aceptar.

Salida de la ventana Sesión

Interpretación de los resultados

Minitab muestra el valor crítico, 24.054, en la ventana Sesión. Para la prueba 2 , si la test statistic es mayor que el critical value, en este caso 24.054, puede concluir que hay evidencia estadística para rechazar la hipótesis nula.

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Ejemplo:

Una masa radioactiva emite partículas de acuerdo a un proceso de Poisson a una

tasa promedio de 15 partículas por minuto. En algún punto se echa a andar un

reloj. ¿Cuál es la probabilidad de que transcurra, más de 5 segundos, antes de la

próxima emisión? ¿Cuál es el tiempo promedio de espera hasta que la siguiente

partícula sea emitida?

Solución:

= 15/60 = 0.25 partículas x seg. Media: 1/ = 1/0.25 = 4

P 5 = 0.713495 1 – 0.713495 = 0.286506

La probabilidad de que transcurran más de 5 segundos antes de la próxima

emisión es 0.2865 ó 28.65%, la cual no es probabilidad muy alta, pero puede

suceder.

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Distribución Lognormal

Calcula las densidades de probabilidad, probabilidades acumuladas y probabilidades acumuladas inversas para una distribución lognormal. La distribución lognormal se utiliza frecuentemente para análisis de confiabilidad y en aplicaciones financieras, como por ejemplo para modelar el comportamiento de una acción. Una variable aleatoria sigue esta distribución si el logaritmo de la variable aleatoria se distribuye normalmente. Utilice cuando las variables aleatorias sean mayores que 0.

Elementos del cuadro de diálogo

Densidad de probabilidad: Elija esta opción para calcular las densidades de probabilidad.

Probabilidad acumulada: Elija esta opción para calcular las probabilidades acumuladas.

Probabilidad acumulada inversa: Elija esta opción para calcular la inverse de las probabilidades acumuladas. Cuando este valor no está definido, Minitab devuelve un valor faltante.

Ubicación: Ingrese una ubicación para definir la distribución lognormal.

Escala: Ingrese una escala para definir la distribución lognormal.

Valor umbral: Ingrese un valor umbral para definir la distribución lognormal.

Columna de entrada: Ingrese una columna que se evaluará.

Almacenamiento opcional: Ingrese una columna de almacenamiento para los valores generados. En el caso de la Inversa, almacena el mayor de dos valores, si se muestran dos. Minitab muestra los valores almacenados en la ventana Datos, pero no en la ventana Sesión.

Constante de entrada: Ingrese un número o constante que se evaluará.

Almacenamiento opcional: Ingrese una constante para almacenar el valor generado. En el caso de la Inversa, almacena el mayor de dos valores, si se muestran dos. Minitab muestra la constante almacenada en la carpeta Constantes, pero no en la ventana Sesión.

Nota Si usted no especifica valores, Minitab utiliza la ubicación = 0, la escala = 1 y el valor umbral = 0.

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Para calcular la pdf, cdf o cdf inversa

1 Elija Calc > Distribuciones de probabilidad > (nombre de distribución).

2 Realice uno de los siguientes procedimientos:

Elija Probabilidad para calcular la pdf.

Elija Probabilidad acumulada para calcular la cdf.

Elija Probabilidad acumulada inversa para calcular la cdf inversa.

3 Ingrese los parámetros requeridos. Estos varían de una distribución a otra.

4 Por ejemplo, para la distribución binomial, los parámetros son Número de ensayos y Probabilidad del evento. Realice uno de los siguientes procedimientos:

En Columna de entrada, ingrese la columna que desea evaluar. Si lo desea, en Almacenamiento opcional, ingrese una columna en la que almacenará las probabilidades.

En Constante de entrada, ingrese la constante (como K1) o el número (como 21) almacenados que desea evaluar. Si lo desea, en Almacenamiento opcional, ingrese una constante (como K2) en la que almacenará la probabilidad.

5 Haga clic en Aceptar.

NOTA: Cabe mencionar que la distribución Exponencial, tiene mucho parecido a la distribución Lognormal

Evidencia

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Ecuación (4.31)

Ejemplo:

El tiempo de vida de un cierto componente, está distribuido lognormalmente, con

parámetros μ = 1 y σ = 0.5 días. Encuentra la media del tiempo de vida de estos

componentes. Encuentra la desviación estándar del tiempo de vida.

La Y representa el tiempo de vida de un componente escogido aleatoriamente. La

media de Y esta encontrada por la ecuación (4.31), para ser.

La varianza es –

La desviacion estandar es

1.64 días, es el tiempo de vida del componente que se seleccionó aleatoriamente.

Datos del servidor:

Víctor Hugo Franco García

andruss_hugo1453@hotmail.com

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