MODELOS DE PROBABILIDAD · tema 2. modelos de probabilidad 2.1 .- distribuciÓn binomial 2.2.- distribuciÓn de poisson 2.3.- distribuciÓn uniforme 2.4.- distribuciÓn exponencial

MODELOS DE PROBABILIDADMODELOS DE PROBABILIDAD

J. DE HARO

TEMA 2. MODELOS DE PROBABILIDAD

2.1.- DISTRIBUCIÓN BINOMIAL2.2.- DISTRIBUCIÓN DE POISSON2.3.- DISTRIBUCIÓN UNIFORME2.4.- DISTRIBUCIÓN EXPONENCIAL2.5.- DISTRIBUCIÓN NORMAL2.6.- DISTRIBUCIÓN JI-DOS, t DE

STUDENT Y F DE FISHER-SNEDECOR.

J. DE HARO 2

DISTRIBUCIÓN BINOMIAL

1.- DISTRIBUCIÓN BINOMIAL

Supongamos que realizamos una solaprueba o experimento aleatorio con dosresultados posibles (dicotómicos) quellamaremos éxito y fracaso. Estos dosllamaremos éxito y fracaso. Estos dosresultados o sucesos son exhaustivos ymutuamente excluyentes, tal quepertenecen a un determinado espaciomuestral asociado a dicho experimento.

3J. DE HARO


Dado un suceso A, A E si la ocurrenciade A es considerada como éxito tendráasociada la probabilidad p = P(A).

Si ocurre un fracaso tendremos la

⊂

Si ocurre un fracaso tendremos laocurrencia de , cuya probabilidadasignada será q= P( ).

Ambas probabilidades soncomplementarias,

p + q = 1, por lo que q = 1-p4J. DE HARO

A A

BERNOULLI

• Ejemplo• Si preguntamos a una sola persona siconduce o no, si contesta que sí, seráconsiderado como un éxito (suceso A), sicontesta que no, será considerado comocontesta que no, será considerado comoun fracaso (suceso ).

• A este experimento o prueba se la llamaprueba de Bernoulli

5J. DE HARO

A


• Si se repiten n pruebas de Bernoulliindependientes con probabilidad de éxito,p, constante de prueba a prueba,tendremos un experimento binomial.

• Ejemplo, en vez de preguntar a una solapersona preguntamos a n personas.

6J. DE HARO


• Supongamos que se realizan nrepeticiones o pruebas independientes delexperimento aleatorio y sea X la variablealeatoria definida como,

• X: número de éxitos obtenidos en nrepeticiones o pruebas independientes derepeticiones o pruebas independientes deun experimento aleatorio en la que laprobabilidad de éxito es p, 0<p<1.

• X es una variable aleatoria discreta, quetoma los valores x=0,1,2,…, n, cuyafunción de densidad o de cuantía oprobabilidad es,

7J. DE HARO


FUNCIÓN DE DENSIDAD

=−

===restoelen

nxparaxnqxpx

n

xXPxf

,0

,.....,2,1,0,)()(

Recordemos que =

La función de densidad también puede tomaresta notación, f(x; n, p)

8J. DE HARO

restoelen ,0

x

n

)!(!

!

xnx

n

−


• Como vemos esta función depende de dosparámetros, n y p (q=1-p), es biparamétrica.Cuando una variable sigue la Ley odistribución binomial se denota de lasiguiente forma:siguiente forma:

X ~ B (n, p)siendo n el número de pruebasindependientes realizadas, y p la probabilidadde éxito. Es obvio que a lo largo de las npruebas se habrán producido n-x fracasos,cada uno de ellos con probabilidad q=1-p.

9

J. DE HARO


Nota:

Cuando n = 1,X ~ B (1, p)

la distribución de X es la de Bernoulli.

En este caso los valores de x=0,1El suceso A: conducir0: fracaso ( no conduce, cero éxito)1: éxito (conduce)

10J. DE HARO

FUNCIÓN DE DENSIDAD BINOMIAL

� Se comprueba fácilmente que la funciónde densidad binomial lo es.

1) f(x) 0 para x= 0,1,2,…..,n.Representación gráfica es un D. Barras.Actúa en cuadrante positivo.

≥

Actúa en cuadrante positivo.2)

Basándonos en la fórmula del binomio deNewton:

11

J. DE HARO

∑=

=n

xxf

01)(

1)(0 0

)( =+=−

= =

=∑ ∑ nqpxnqxp

n

x

n

x x

nxf


La función de densidad binomial puedeadoptar diferentes formas dependiendo delos valores que tomen sus dos parámetros:

Cuando p=0.5=q es campaniforme simétrica unimodal esparn

12J. DE HARO

Cuando p=0.5=q es campaniforme simétrica

bimodal

unimodal

esimparn

esparn

Cuando p≠ q

⇒>⇒<

negativaasimétricamecampaniforp

positivaasimétricamecampaniforp

5.0

5.0


B (5 , 0'5)

0,25

0,3

0,35

Fun

ción

de

dens

idad

13J. DE HARO

0

0,05

0,1

0,15

0,2

Valores de la variable

Fun

ción

de

dens

idad

0 1 2 3 4 5

Simétrica


B (5 , 0'2)

0,1

0,15

0,2

0,25

0,3

0,35

0,4

0,45

Fun

ción

de

dens

idad

14J. DE HARO

B (5 , 0'8)

0

0,05

0,1

0,15

0,2

0,25

0,3

0,35

0,4

0,45

Valores de la variable

Fun

ción

de

dens

idad

0 1 2 3 4 5

Asimétrica Negativa

0

0,05

Valores de la variable0 1 2 3 4 5

Asimétrica Positiva


Hemos de tener en cuenta que conforme

∞→nla distribución binomial tiende a ser máscampaniforme, más simétrica.

15J. DE HARO


FUNCIÓN DE DISTRIBUCIÓN

inqip

x

i

nxXPxF −

=≤= ∑)()(

Su representación gráfica es un diagrama en escalera

16J. DE HARO

i i=

∑0


• FUNCIÓN GENERATRIZ DE MOMENTOS

MX (t) = (et p + q)n , tpara q = 1-p

Demostración:

ℜ∈

nn nn

A partir de la función generatriz de momentos,calculamos la media y varianza de ladistribución binomial.

17J. DE HARO

ntxnxtn

x

xnxn

x

txtXX qpeqpe

x

nqp

x

neeEtM )()()()(

00+=

=

== −

=

−

=∑∑


VALOR ESPERADO O ESPERANZA MATEMÁTICA

)0(')(

)(0

'1 Xt

XX M

dt

tdMXE ====

=µµ

M’X (t) = n ( et p + q )n-1 p et

M’X (0) = n ( p + q )n-1 p = n p

18J. DE HARO


VARIANZA

Var (X) = E( X2 ) - [E( X )]2

E(X2) = µ’2 = M’’X (0)

M’’X (t) = n (n-1) ( et p + q )n-2 p et p et + n ( et p + q )n-1 p etM’’X (t) = n (n-1) ( et p + q )n-2 p et p et + n ( et p + q )n-1 p et

M’’X (0) = n (n-1) ( p + q )n-2 p2 + n ( p + q )n-1 p

= n(n-1) p2 + n p = n2 p2 –n p2 + n p

Var (X) = E( X2 ) - [E( X )]2 = n2 p2 –n p2 + n p - n2 p2 =

= –n p2 + n p = n p (1-p) = n p q19

J. DE HARO


�Si X1 ~ B (n1, p), X2 ~ B (n2, p)

tal que X1 y X2 son independientes,tal que X1 y X2 son independientes,entonces

X1 + X2 ~ B ( n1 + n2 , p )

20J. DE HARO


� Ejemplo de control de calidad

Calcular la probabilidad de que en una muestrade 20 ruedas del mismo tipo ninguna seadefectuosa, si el 8% de las producidas sondefectuosa, si el 8% de las producidas sondefectuosas.

• Supuestos: la maquinaria no se estropea, lasmaterias primas son uniformes, el trabajo esconsistente.

21J. DE HARO


Solución:X: número de ruedas defectuosas.

X= 0, 1, 2, …, 20La dicotomía es defectuosa o no defectuosa

X~ B (n = 20, p = 0.08)

p: probabilidad de encontrar una rueda defectuosa.

(p y X han de ser homogéneos)22J. DE HARO


=−

===restoelen

nxparaxnqxpx

n

xXPxf

,0

,.....,2,1,0,)()(

20• P(X=0) = f(0)=

• Nota:

23J. DE HARO

1887.0)92.0()08.0(0

20 200 =

1)!020(!0

!20

0

20=

−=

DISTRIBUCIÓN DE POISSON

2.- DISTRIBUCIÓN DE POISSONLa distribución de Poisson es una distribucióndiscreta de probabilidad, en la que la variablealeatoria representa el número deacontecimientos independientes que ocurren aacontecimientos independientes que ocurren auna velocidad constante sobre el tiempo o elespacio.La variable aleatoria discreta X tiene unadistribución de Poisson de parámetro µ >0, y larepresentamos por X ~ P ( µ ), cuando sufunción de cuantía o de densidad es

24J. DE HARO



=>===

−

restoelen

xx

exXPxf

x

,0

.....,.........2,1,0,0,!)()(

µµµ

También la podemos encontrar así, f(x; µ). Esuniparamétrica, y su parámetro µ representa elnúmero medio de ocurrencias del sucesoaleatorio por unidad de tiempo o espacio, esdecir, es la velocidad media con que ocurren losacontecimientos.

25J. DE HARO

restoelen ,0


• Se verifica que cumple las propiedades de todafunción de densidad:

1) f(x) 0, x=0,1,2,……. ≥

2) Demostración:

Teniendo en cuenta el desarrollo en serie depotencias de eµ. 26J. DE HARO

∑∞

==

0

1)(x

xf

1!

)(00

=== −∞

=

∞

=

− ∑∑ µµµ µee

xexf

x

x

x


�Algunos ejemplos típicos que se modelizan poruna Poisson son: el número de llamadas queacepta una central telefónica en un período detiempo determinado, el número de accidentesocurridos durante un período de tiempo etc.

� La función de densidad de Poisson al igual que� La función de densidad de Poisson al igual quela binomial es campaniforme, pero en cambio,es siempre asimétrica positiva, aunque esaasimetría tienda a reducirse a medida que suparámetro µ ( n ) se hace mayor, pudiendollegar a ser simétrica. Su representación gráficaes un diagrama de barras.

27J. DE HARO

→∞


FUNCIÓN DE DISTRIBUCIÓN

F(x) = P ( X ≤ x ) = !0 i

eix

i

µµ∑=

−

Su representación gráfica es un diagrama en escalera.

28J. DE HARO

!0 ii=


FUNCIÓN GENERATRIZ DE MOMENTOS

Demostración:

)1()( −=te

X etM µ para t Є ℜ

Demostración:

También la podemos encontrar así,

Mx (t) = exp (µ (et -1))29

J. DE HARO

)1(

000 !

)(

!!)()( −−

∞

=

−∞

=

−∞

=

−====== ∑∑∑

tete

x

xt

x

xtx

x

xtxtX

X eeex

ee

xee

x

eeeEtM µµµµµ

µ µµµ


VALOR ESPERADO O ESPERANZA MATEMÁTICA

)0(')(

)(0

'1 Xt

XX M

dt

tdMXE ====

=µµ

30J. DE HARO

dt

tteX eetM µµ )1()(' −=

M’X (0) = µ


VARIANZAVar (X) = E( X2 ) - [E( X )]2

E(X2) = µ’2 = M’’X (0)

ttettte µµµ µµ )1()1( −− +=

31J. DE HARO

ttettteX eeeeetM µµµ µµ )1()1()('' −− +=

M’’X (0) = µµ +2

Var (X) = E( X2 ) - [E( X )]2 = µµ +2 - 2µ = µ


�Si X1 ~ P ( ), X2 ~ P ( ), tal queX1 y X2 son independientes, entonces,

1µ 2µ

X1 + X2 ~ P ( )

32J. DE HARO

21 µµ +


EjemploUna compañía financiera recibe unpromedio de tres cheques sin fondo por día.Calcular la probabilidad de que recibaexactamente uno un día determinado.Solución:Solución:X: número de cheques sin fondo recibidos en1 día. X=0,1,2,3,……

X ~ P ( µ=3 )

P(X=1) = f(1) = = 0.149=0.1533

!1

313−e


LA DISTRIBUCIÓN DE POISSON COMOAPROXIMACIÓN DE LA DISTRIBUCIÓNBINOMIAL

Si en una distribución binomial B(n,p) elSi en una distribución binomial B(n,p) elnúmero de pruebas es grande (n ) y ala vez , la probabilidad de éxito espequeña (p ), de maneraque el producto np permanezcaconstante, np = µ , se verifica:

34J. DE HARO

∞→

0→


Es decir, para n suficientemente grande y psuficientemente pequeño, la función de

!)1(lim

0x

eppx

n xxnx

nppn

µµ

µ

−−

→→

∞→=−

suficientemente pequeño, la función dedensidad binomial se puede aproximar, encada punto de su recorrido, por el valor quetiene en ese punto la función de densidad de ladistribución de Poisson con la misma media.La aproximación se realiza para tamaños(n)elevados, hay quien los considera superiores a30 0 50 y p prácticamente nula: p= 0.0….

35


Nota: La distribución de Poissontambién es conocida con el nombrede Ley o distribución de los sucesosraros, ya que modeliza en algunasocasiones el número de veces queocasiones el número de veces quetiene lugar un suceso de probabilidadmuy pequeña a lo largo de unnúmero elevado de pruebas.

36J. DE HARO

DISTRIBUCIÓN UNIFORME

3.- DISTRIBUCIÓN UNIFORMEDiremos que una variable aleatoria continua Xsigue una distribución uniforme en el intervalo[a, b], a<b, y se representa medianteX ~ U (a , b) cuando su FUNCIÓN DEX ~ U (a , b) cuando su FUNCIÓN DEDENSIDAD viene dada por:

f( x ; a , b )

Nota: Realmente - < a < x < b < , es decir,a y b pueden tomar cualquier valor dentro delos reales. 37

J. DE HARO

<<−=

restoelen

bxasiabxf

,0

1)(

∞ ∞


Se puede comprobar fácilmente que ladistribución uniforme de parámetros a y b(biparamétrica), es función de densidad.

1) f(x) 0 para - < a < x < b < ∞ ∞ ≥1) f(x) 0 para - < a < x < b <Dando valores a f (x) se comprueba.

2)

Demostración:38J. DE HARO

∞ ∞ ≥

∫ =b

a

dxxf 1)(

[ ] 111

)( =−−=

−=

−=∫ ∫ ab

abx

abdx

abdxxf b

a

b

a

b

a



39J. DE HARO

1 / b-a


Debido a la forma que adopta también sela conoce con el nombre de distribuciónrectangular

La distribución uniforme es simétrica, noLa distribución uniforme es simétrica, notiene moda, y su mediana es igual a lamedia.

40J. DE HARO


Para calcular las probabilidades en unintervalo con distribución uniforme seutiliza suFUNCIÓN DE DISTRIBUCIÓN

41J. DE HARO

bxa

bx

ab

axdt

ab

ax

xXPxFx

a

≤≤

>

−−=

−

<

=≤= ∫

,

,1

1

,0

)()(


En consecuencia, si a x1 x2 b,

P(x1 X x2) = F(x2)-F(x1)= , loque indica que la probabilidad de que estavariable tome valores en un subintervalode [a,b], es proporcional a su longitud. Por

≤ ≤ ≤ ≤

a-b

xx 12 − ≤

de [a,b], es proporcional a su longitud. Porello, la probabilidad de que la variabletome un valor en cada subintervalo deigual longitud es la misma.Ejemplo:P(0 X 3) = P(6 X 9) para

a=-1, b=1242J. DE HARO

≤ ≤ ≤ ≤


Se cumple que

F(- )∞ = F(a) = 0 F’(x)=f(x)=1/b -a

Son las propiedades de F(x)

43J. DE HARO

F(- )∞ = F(a) = 0 F’(x)=f(x)=1/b -a

F( )∞ = F(b) = 1 Es no decreciente


ESPERANZA

b

44J. DE HARO

2)(2

))((

)(222

1

2

111)(

22222 ab

ab

abab

ab

abab

ab

x

abxdx

abdx

abxXE

b

a

b

a

b

a

+=−

+−=−−=

−

−=

−=

−=

−= ∫∫



)(3

))((

)(333

1

3

11)(

223333322

ab

aabbab

ab

abab

ab

x

abdx

abxXE

bb

=−

++−=−−=

−−

=

−=

−= ∫

b>a45J. DE HARO

12

)(

12

2

12

363444

4

)(

3)(

2222222222 abaabbbabaaabbbaaabbXVar

−=+−=−−−++=+−++=

3

)(3)(3333)(

22 aabb

ababababdx

abxXE

aa

++=

=−

=−

=

−−

=

−

=−

= ∫


RESUMEN DE DESCRIPTIVOS

( )2

a bE x

+=

2

( )2( )

( )1 2

E x

b aV a r x

=

−=

J. DE HARO 46


Nota:

La distribución uniforme, en general,modeliza el comportamiento de losfenómenos cuyos sucesos seanfenómenos cuyos sucesos seanequiprobables, destacandofundamentalmente en la generación denúmeros aleatorios por ordenador cuandose trabaja sobre el intervalo [0,1].

47J. DE HARO


EjemploDe una estación parte un tren cada 20minutos. Un viajero llega aleatoriamente.

Hallar:a) La función de distribución de la variablealeatoria “tiempo de espera”.aleatoria “tiempo de espera”.

b) Probabilidad de que espere el tren menosde 7 minutos.

c) Esperanza y varianza de la variablealeatoria “tiempo de espera”

d) Probabilidad de que espere exactamente12 minutos.

48J. DE HARO


Solución: X ~ U (0, 20)

a)

>

≤≤

<

=

20,1

200,20

0,0

)(

x

xx

x

xF

b) F (7) = P ( X ≤ 7 ) = 7/20

c) E (X) = (b+a)/2 = (20+0)/2 =10 minutos

V(X) =(b-a)2 /12= (20-0)2 / 12 = 33,333minutos al cuadrado

d) P(X=12) = 0 por ser v.a.c49

J. DE HARO

DISTRIBUCIÓN EXPONENCIAL

4.- DISTRIBUCIÓN EXPONENCIALSe dice que una variable aleatoria X sigue unadistribución exponencial de parámetro,

>0, y se representa mediante X ~ E ( ) oX ~ Exp ( ) , si X es continua y su

β β

β

X ~ Exp ( ) , si X es continua y suFUNCIÓN DE DENSIDAD es,

50J. DE HARO

β

>>==

−

restoelen

xsiexfxf

x

,0

0,0,1

);()( βββ

β


Vamos a comprobar que se trata de unafunción de densidad,

1) f(x) 0. Ver representación gráfica ≥ ∞

2)

51J. DE HARO

∫∞

=0

1)( dxxf

[ ] 11011110

0

0000

=+−=+−=−−=

−=

−== ∞−∞−

∞−∞−∞ −∞ −

∫∫ee

eeeedxedxe

xxxx

ββββββ

ββ


0.6

0.8

1.0

1 2 3 4 5

0.2

0.4


El cálculo de probabilidades relativas avariables con distribución exponencial serealiza a partir de la función dedistribución.FUNCIÓN DE DISTRIBUCIÓNFUNCIÓN DE DISTRIBUCIÓN

53J. DE HARO

∞≅

>−

≤

=≤=−

xsi

xsie

xsi

xXPxF

x

,1

0,1

0,0

)()( β


Obtención de F(x):

βββββββββ

ββ

xxxxxxxx xx x

eeeeeedxedxexF −−

−−−−−−

−=

−−=

−−=

−=

−=== ∫∫ 1111

)( 0

0000

Nota:A la función

S(x)= 1-F(x) = P(X>0)=

para x>0, se la denomina función desupervivencia, S(x).

54J. DE HARO

βx

e −


FUNCIÓN GENERATRIZ DE MOMENTOS

ββ

β1

)1(1

1)()()( 1

0

<−=−

=== −∞

∫ tparatt

dxxfeeEtM txtXX

A partir de ella se puede calcular la mediay la varianza

55J. DE HARO


ESPERANZA MATEMÁTICA O VALOR ESPERADO

E(X)=M’x (0)= 1'µ = Xµ

M’ (t) = 22 )1()1)()(1( −− −=−−− tt ββββ

56J. DE HARO

M’X(t) = 22 )1()1)()(1( −− −=−−− tt ββββ

E(X)= M’X(0)= β


VARIANZA

Var (X) = E( X2 ) - [E( X )]2

E( X2 )= 'µ =M’’ (0)

57J. DE HARO

E( X2 )= 2'µ =M’’X(0)

323 )1(2)1)(()2()('' −− −=−−−= tttM X βββββ M’’X (0)=2 232 2)01( ββ =− −

Var (X) = 2 222 βββ =−


USOS DE LA DISTRIBUCIÓN EXPONENCIAL

Se utiliza como modelo para representartiempos de funcionamiento o de espera. Ladistribución exponencial expresa tambiéndistribución exponencial expresa tambiénel tiempo que transcurre entre sucesosque se contabilizan mediante ladistribución de Poisson. Por ejemplo:tiempo transcurrido entre dos llamadastelefónicas (Poisson: número de llamadasrecibidas en un tiempo) etc.

58J. DE HARO


También se dice que la distribuciónexponencial no tiene memoria, esto es,

Si X ~ E (β ), y si t2 > t1, t = t2 - t1 ,

entonces se verifica:

59J. DE HARO

entonces se verifica:

P(X> t2 / X> t1) = P(X> t2 – t1) = P(X>t)

t1>0, t>0


Es decir, la probabilidad de ocurrencia deeventos presentes o futuros no dependede los que hayan ocurrido en el pasado.

Esto es, si X mide el tiempo de espera, loEsto es, si X mide el tiempo de espera, loanterior establece que la probabilidad deque el tiempo de espera, a partir de unmomento dado t1 , sea superior a un valort, es independiente del momento t1, enque empiece a contarse.

60J. DE HARO

DISTRIBUCIÓN NORMAL

5.- DISTRIBUCIÓN NORMAL

En la práctica un gran número defenómenos siguen la ley normal, ya seacomo límite de otras distribuciones comocomo límite de otras distribuciones comola binomial, o t , o porque determinadosfenómenos siguen una distribucióncampaniforme simétrica, es decir, muchafrecuencia en torno a su media y poca enlas colas.

61J. DE HARO

UTILIDAD

• Se utiliza muy a menudo porque haymuchas variables asociadas a fenómenosnaturales que siguen el modelo de lanormal.

• Caracteres morfológicos de individuos

62

• Caracteres morfológicos de individuos(personas, animales, plantas,...) de unaespecie, por ejemplo: tallas, pesos,diámetros, distancias, perímetros,...

• Caracteres fisiológicos, por ejemplo:efecto de una misma dosis de un fármaco,o de una misma cantidad de abono


La distribución normal fue reconocida por primera vez por el francés Abraham de Moivre (1667-1754).

63

Posteriormente, Carl Friedrich Gauss (1777-1855)realizó estudios más a fondo donde formula la ecuación de la curva conocida comúnmente, como la “Campana de Gauss".

J.H.G


DISTRIBUCIÓN N ( )

Una variable aletoria X sigue unadistribución normal de parámetros µ y σ,con µ Є y σ >0, y se representa

σµ,

ℜcon µ Є y σ >0, y se representamediante X ~ N ( ) si es unavariable aleatoria continua cuya función dedensidad es,

64J. DE HARO

ℜ

0,,,2

1)(

22

2)(

>∞<<∞−∞<<∞−=−−

σµπσ

σ

µ

xparaexf

x

σµ,


OTRAS EXPRESIONES DE ESTA FUNCIÓN SON

0,,,2

1)(

2

>∞<<∞−∞<<∞−=

−−σµ

πσσ

µ

21

xparaexf

x

SE DENOTA POR65

J. DE HARO

0,,,2

1exp

2

1)(

2

>∞<<∞−∞<<∞−

−−= σµ

σµ

πσ xpara

xxf

f(x; σµ, )


• También podemos encontrar X ~ ,por lo que nos tendrán que aclarar el valordel segundo parámetro.

• e = 2.7182….. Base de los logaritmos

),( 2σµN

• e = 2.7182….. Base de los logaritmosneperianos.

• = 3.1416… Relación entre la longitud yel diámetro de una circunferencia.

66J. DE HARO

π


Se demuestra que es función de densidad:

1) f(x) 0. Dando valores se puedecomprobar. Veremos que es unadistribución campaniforme simétrica

≥

distribución campaniforme simétricacentrada en µ.

2)

67J. DE HARO

∫∞

∞−= 1)( dxxf

Se puedeinterpretar lamedia, µ, comoun factor detraslación.

68

La desviacióntípica, σ, comoun factor deescala, grado dedispersión.

, varianza.2σ

J.H.G

N(µ, σ): Interpretación probabilista

• Entre la media y una desviación típica tenemos siempre la misma probabilidad: aprox. 68%

69

aprox. 68%

• Entre la media y dos desviaciones típicas aprox. 95%

J.H.G

70J.H.G

F(x) es el área sombreada de la siguiente gráfica

71J.H.G


� Para calcular probabilidades usaremoslas tablas de la N(0,1)

�Función generatriz de momentos

A partir de ella calculamos la media y lavarianza

72J. DE HARO

∞<<∞−==+

tparaeeEtMt

ttX

X

,)()( 2

22σµ


Esperanza matemática

E(X) = M’x (0) = 1'µ =

Xµ

2222

73J. DE HARO

2

22

22

222

)()2

2()('

tt

tt

X etet

tMσµσµ

σµσµ

++

+=+=

µµ =+= +00)0()0(' eM X



E( X2 )= M’’X(0) 2222 σσ tt

74J. DE HARO

)()()('' 22

22

22

22

2 µσµσσσµσµ

+++=++

tetetMt

tt

t

X

M’’X(0) = 22 µσ +

Var(X) = 22 µσ + - µ2 = σ2

CARACTERÍSTICAS DE LA DISTRIBUCIÓN NORMAL

1) Su función de densidad es

campaniforme simétrica (campana de

Gauss) respecto la recta x=µ (su media),

es decir, )()( xfxf +=− µµ

2) Su campo de existencia es X Єℜ ,

∞<<∞− X

75J. DE HARO

3) Posee un máximo en x=µ ,

(µ , πσ 2

1)

4) Puntos de inflexión, σµ ±

5) Tiene el eje de abcisas como asíntota

horizontal: 0)(lim =±∞→

xfx

CARACTERÍSTICAS DE LA DISTRIBUCIÓN NORMAL

6) Si X < µ ⇒ f’(x) > 0 ⇒ f(x) es creciente.

Si X > µ ⇒ f’(x) < 0 ⇒ f(x) es decreciente.

7) Al ser simétrica verifica:

µ= Me= Mo

Coef de asimetría de Pearson o Fisher serán

nulos.

Curtosis = 3

Intervalos notables: )2( σµ ± contiene

el 95% de las

76J. DE HARO

observaciones.

)3( σµ ± contiene

el 99% de las

observaciones.

8) Dadas dos normales con igual media y

diferente desviación estándar, se cumple que

la curva con menor dispersión es más

apuntada y está menos abierta.

X1 ~ ),(11

σµN y X2 ~ ),(22

σµN

DISTRIBUCIÓN N (0,1)

� Todas las distribuciones N (µ, σ) se puedentransformar en una N (0,1), realizando uncambio de origen y de escala sobre la variableX. Hablamos así de la distribución normaltipificada o estándar, que tiene de media 0 yvarianza 1.Dada una variable de media µ y desviación

77

� Dada una variable de media µ y desviacióntípica σ, se denomina valor tipificado, z, deuna observación x, a

Esta operación se conoce con el nombre detipificación.

σµ−= x

z

J.H.G


Proposición:• Si la variable aleatoria X ~ ,entonces la variable tipificada Z ~ N (0,1)

• De esta forma obtenemos valores de

),( σµN

• De esta forma obtenemos valores deconocidos (0,1).

• Obtenemos así la N(0,1) que viene dada entablas de forma que

P(X x)= P(Z z), es decir,

F(x; µ,σ) = F(z; 0,1)78

J. DE HARO

σµ y

≤ ≤

DISTRIBUCIÓN N(0,1)

� Asigna a todo valor de N(µ,σ), un valor deN(0,1) que deja exáctamente la mismaprobabilidad por debajo de ambasfunciones de densidad.

� Como la N(0,1) si está tabulada,

79

� Como la N(0,1) si está tabulada,calcularemos las probabilidades de unaN(µ,σ) a través de dichas tablas.

� La N(0,1) es simétrica respecto de sumedia 0.

J.H.G

80J.H.G

DISTRIBUCIÓN N (0,1)• ESTUDIO DE LA N (0,1)

1) Si se sustituye la media por cero y la varianza

por 1 se obtiene la función de densidad de

Z ~ N(0,1):

∞<<∞−==−

zezfzfz

,21

)1,0;()( 2

2

π

81

J. DE HARO

2) Se comprueba que es función de densidad:

2.1) f(z) 0≥

2.2) ∫∞

∞−= 1)( dzzf

3) Su función de distribución es,

dzezZPzFz

z2

2

21

)()(−

∞−∫=≤=

π

Estas probabilidades aparecen tabuladas en

las tablas de la N(0,1).


4) 2

2

)(t

Z etM =

5) E(Z) = Zµ = 0, Var(Z)=2

Zσ = 1, 1=Zσ

6) La función de densidad N(0,1) es

campaniforme simétrica respecto de la recta

z = 0 (su media), por tanto, f(-z)= f(z), tal

que ∞<<∞− z

7) Posee un máximo en z=0, (0, π2

1)

82J. DE HARO

π28) f(z) es creciente para z<0 y

decreciente para z>0

9) Los puntos de inflexión son: 1±

10) Tiene el eje de abcisas como asíntota

horizontal: 0)(lim =±∞→

zfz

11) La media, mediana y moda serán

iguales a cero.

Los coeficientes de asimetría también

serán nulos.

MANEJO DE TABLAS

83J.H.G

Z ES UNA NORMAL TIPIFICADA

Calcular P ( Z < 1.85 ) = P ( Z 1.85) = F(1.85)≤

84

Solución: 0.968J.H.G


Calcular P ( Z > 1.85 ) = P (Z 1.85)

Como nuestra tabla es “por cola izquierda”,da la probabilidad acumulada hasta un

≥

85

da la probabilidad acumulada hasta uncierto valor de la variable, tendremos quecalcular el complementario.

Solución: 1 - P ( Z < 1.85 ) = 1 – F (1.85)

= 1- (TABLAS) = 1 - 0.968 = 0.032J.H.G


Calcular P ( Z < - 0.54 ) = P ( Z - 0.54 ) = F(-0.54)≤

86

Solución: 0.295 J.H.G


Calcular P (-0.54 < Z < 1.85) = F (1.85) – F (-0.54)

87

Solución: 0.968 - 0.295 = 0.673J.H.G

NORMAL (µ,σ)� EJEMPLOS

Sea X ~ N (140, σ = 20) a) calcular P (X < 150)

1. Determinar el valor Z:

88


2. P ( X < 150 ) = P ( Z < 0.50 ) = (TABLAS) = 0.6915

50.020

140150 =−=−=σ

µXZ

J.H.G

NORMAL (µ,σ)

b) Calcular P (X > 120 )


140120−

89

2. P(X > 120) = P(Z > -1) = 1- P(Z< -1)= =1-F(-1) = 1- 0.1587 = 0.8413

120

140120 −=−=Z

J.H.G

N(0,1)

� Calcule las siguientes probabilidades1. P ( Z < 4 ) = 12. P ( Z > 4 ) = 1 – P (Z < 4)= 1-1 = 03. P ( Z < -4 ) = 0

90

� Obtenga el valor de K, dado P(Z<K )= 0.9826

Observa que K es un valor de la N(0,1).Buscando la probabilidad dada dentro de latabla, obtenemos que K = 2.11

J.H.G


� Proposición

Sean X1, X2, ….., Xn variables aleatoriasindependientes tales que Xi ~ ,i= 1,2,…..,n y a1, a2,…., an ЄLa combinación lineal de las anterioresvariables

),( iiN σµ ℜ

variables

también tiene una distribución normal,

La suma de normales independientes dalugar a otra normal 91

nnXaXaXaY +++= .....2211

),( YYN σµY ~


siendo

∑=

=++=n

iiinnY aaa

111 .... µµµµ

92J. DE HARO

∑=

=

=++=n

iiinnY

i

aaa1

222221

21

2

1

.... σσσσ


� En el caso particular que ai= 1

Y ~ N

nXXXY +++= .....21

),(1

2

1∑∑==

n

ii

n

ii σµ

� Para el caso particular de dos variablesindependientes

93

J. DE HARO

11 == ii

21XXY += , Y ~ N ),( 2

2

2

121 XXXXσσµµ ++

21

XXY −= , Y ~ N ),( 2

2

2

121 XXXXσσµµ +−

APROXIMACIÓN DE LA DISTRIBUCIÓN BINOMIAL MEDIANTE LA NORMAL

TEOREMA DE MOIVRE

Sea X el nº de éxitos resultantes de n ensayos independientes, cadauno con probabilidad de éxito p (X ~ B(n,p)). Si n es grande

y p no tiende a cero, entonces, la distribuciónbinomial puede aproximarse por la distribución Normal de mediaµµµµ=np y varianza σ2= np(1-p)

−−≤≤

−−≈≤≤

)1()1()(

pnp

npbZ

pnp

npaPbXaP

n ∞→ ,

−

≤≤−

≈≤≤)1()1(

)(pnp

Zpnp

PbXaP

En la práctica se usa la corrección de continuidad de medio punto, yaque se pasa de un modelo discreto a continuo

−−+≤≤

−−−≈≤≤

)1(

5,0

)1(

5,0)(

pnp

npbZ

pnp

npaPbXaP

Siendo Z la distribución normal estándar (N (0,1))

APROXIMACIÓN DE BINOMIAL A NORMAL

• Ejemplo:Si X ~ B(100, p=0.4), E(X) = 40 = n p,

Var (X) = 24 = n p qCalcule P(X = 45)Como n>30 0 50, y p no tiende a cero, secumplen las condiciones para llevar a cabo lacumplen las condiciones para llevar a cabo laaproximación de la binomial a la normal, conla corrección del 0.5 pertinente.

95

J. DE HARO

P(X=45)=P(44.5 ≤ X ≤ 45.5) = P =≤≤=−≤≤−)12.192.0()

24

405.45

24

405.44( ZPZ

= F(1.12) – F(0.92) = 0.8686 – 0.8212 = 0.0474


Ejercicio

Entre 100 empresas cuyas reacciones sesuponen independientes entre sí, seanaliza la modificación en su actividadderivada de la adopción de un conjunto demedidas económicas. Cada una de estasmedidas económicas. Cada una de estasempresas entiende que dicho conjunto demedidas incidirá sobre su actividad conuna probabilidad, común para todas ellasde 0.4. Determinar la probabilidad de queal menos 20 de esas empresas modifiquenrealmente su actividad como consecuenciade las referidas medidas. 96

J. DE HARO


X: número de empresas que modifican su actividad. X = 0,1,….,100.

X ~ B(100, p=0.4) como vemos n ∞→ y p no tendente a cero

Aproximación de B a N

Donde µ = n p = 100. 0.4 = 40. σ = 9.46.0.4.0.100 ≅= npq

P(X ≥ 20) = P(X ≥ 19.5) = 1)18.4()405.19

( =−≥=−≥ ZPZP

97J. DE HARO

P(X ≥ 20) = P(X ≥ 19.5) = 1)18.4()9.4

405.19( =−≥=−≥ ZPZP

Observación: P(X>20) = P(X ≥ 20.5)

P(X<20) = P(X≤ 19.5)

P(X≤ 20) = P(X≤ 20.5)

6.- DISTRIBUCIÓN JI-DOS

Sean r variables aleatoriasindependientes e igualmente distribuidassegún una N(0,1). La variable aleatoria

diremos que sigue una distribución ji-dos ochi-cuadrado con r grados de libertad, y la

rXXX ,.....,, 21

222

21 ..... rXXXX +++=

chi-cuadrado con r grados de libertad, y larepresentamos por X ~La variable aleatoria X es continua conrecorrido [0, ∞). El parámetro r es un enteropositivo que representa el número denormales independientes utilizadas paragenerar esa distribución Ji-dos. A r se leconoce con el nombre de grados de libertad. 98

2rχ

DISTRIBUCIÓN JI-DOS

Esta definición de ji-dos está basadaen una serie de propiedades:

1) Si X ~ N (0,1) ~ , esdecir,

⇒ 2X 2

1χdecir,

[N(0,1)]2 ~

Una N(0,1) al cuadrado es una ji-doscon 1 grado de libertad.

99

J. DE HARO

21χ


2) La suma de ji-dos independientes dalugar a otra ji-dos con la suma de losgrados de libertad de las ji-dos queintervengan en tal suma.Sea 22

221 ..... rXXXX +++=

donde cada Xi ~ N (0,1), i=1,2,….,re independientes.

Entonces, X ~100

J. DE HARO

21 ..... rXXXX +++=

2rχ

DemostraciónUna N(0,1) al cuadrado es una ji-

dos con 1 grado de libertad, por

tanto,

2

iX ~ 2

1χ

X = 2

1χ +2

1χ +….+ 2

1χ

101J. DE HARO

La suma de ji-dos independientes

será:

2

1

21

1

2r

r

i

r

iiXX χχ === ∑∑

== ,

por tanto, X ~ 2

rχ

Grad. de libertad13

Chi-Cuadrado Distribuciónde

nsid

ad

0,04

0,06

0,08

0,1

DISTRIBUCIÓN CHI-CUADRADO DE PEARSON DE r GRADOS DE LIBERTAD:

x

dens

idad

0 10 20 30 400

0,02

0,04

Media: rVarianza: 2r Es importante en inferencia estadística


� A pesar de haber definido la ji-dos a partirde la N(0,1), hemos de saber que la ji-dostiene su propia función de densidad y quecumple con las propiedades de toda funciónde densidad.

� La forma de la función de densidad cambiasegún el valor de r.Para r = 1 y 2 su forma es como la de unaexponencial, para r > 2 es campaniformeasimétrica positiva.

103J. DE HARO


J. DE HARO104

Conforme aumentan los grados de libertad tiende a ser más simétrica

J. DE HARO 105


Para calcular las probabilidadesrelativas a variables Ji-dosutilizaremos las tablas construidas apartir de su función de distribución.

Estas probabilidades estántabuladas.

106J. DE HARO

∫=≤=x

dttfxXPxF0

)()()(


Función generatriz de momentos

2

1 ,)21(

1)( 2

<−==−

tparattMr

rX

A partir de ella calculamos su media yvarianza.

107J. DE HARO

2)21( 2− t

rX


Media

E(X)= M’x (0) = = 1'µ Xµ rr

M’X (0)=E(X)= r

108J. DE HARO

1

21

2' )21()2()21(2

)( −−−−

−=−−−=rr

X trtr

tM


VarianzaVar (X) = E( X2 ) - [E( X )]2

E( X2 )= = M’’X(0) 2'µE( X )= = M’’X(0)

M’’X (0) = r2 + 2rVar (X) = r2 + 2r- r2 = 2r

109

J. DE HARO

2'µ

222

22'' )21)(2()2()21)(1

2()(

−−−−−+=−−−−=

rr

X trrtr

rtM


Como consecuencia de laspropiedades vistas,

Si X ~ e Y ~ , 2

nχ 2mχ

110J. DE HARO

siendo X e Y independientes,se verifica

X+Y ~ 2

mn+χ

MANEJO DE TABLAS

111


Dado que X ~ con varianza 16,calcule las siguientes probabilidades:

a) P( X < 2.18 ) ?Hemos de saber los grados de libertadpara poder calcular las probabilidades:

2χ

112J. DE HARO

para poder calcular las probabilidades:Var(X)= 2r = 16 r=8

Por tanto, X ~Miramos dentro de la tabla para r=8 y 2.18la probabilidad acumulada es 0.025

28χ


b) P( X > 15.51) ?P( X > 15.51) = 1- P(X<15.51) =

= 1- 0.95 = 0.05

P(X<15.51) = Miramos para r=8 elpunto 15.51 y sale0.950

si no se encuentra el valor exacto seaproxima, pero siempre dentro de losgrados de libertad correspondientes.

113J. DE HARO


c) P(X< a) =0.9, obtener a.a=13.36 para r=8

d) P(X>b)= 0.1, obtener b.d) P(X>b)= 0.1, obtener b.P(X>b) = 1- P(x<b)

P(X<b)=1-0.1=0.9, se mira en latabla y sale

b=13.36114J. DE HARO


e) Si P(X<a)=P(X>b), determinar a yb para que P(a<X<b) = 0.9

En las colas se acumula el resto de laprobabilidad 0.1, como en cada colaqueda igual probabilidadqueda igual probabilidad

0.1 / 2 =0.05

P(X<a) = 0.05 a = 2.73P(X<b) = 0.95 b = 15.51

115J. DE HARO

DISTRIBUCIÓN JI-DOSEjercicio . (25 de la relación)

a) X ~ 26χ X: ingresos familiares en miles de

dólares.

E(X)= r = 6

P(X≥ 10.650) = 1- P(X<10.650).

116J. DE HARO

P(X<10.650) = 0.90 se busca en la tabla, por tanto,

P(X≥ 10.650)= 1- P(X<10.650) = 1-0.9 = 0.1

b) P(X<a)=0.1 Para r=6 buscamos 0.1 de

probabilidad y sale

a = 2.20 miles de dólares

7.- T DE STUDENT

DEFINICIÓNSean Z e Y dos variables aleatoriasindependientes tales que,

Z ~ N(0,1) i Y ~ 2

rχZ ~ N(0,1) i Y ~

La variable aleatoria X se define,

117

J. DE HARO

rχ

r

N

r

Y

ZX

r2

)1,0(

χ==

T DE STUDENT

tal que, X ~ tr

es decir, X se distribuye como una t deStudent con r grados de libertad, suparámetro que es un entero positivo.parámetro que es un entero positivo.

Aunque la hemos definido a partir deotras distribuciones, la distribución tposee su propia función de densidad,con recorrido

X Є y r > 0118ℜ

J.H.G


119J.H.G

T DE STUDENT

� Por tanto, es una variable aleatoriacontinua. Su función de densidad cumplelas propiedades de toda función dedensidad para variable continua.

� La t de Student es una distribucióncampaniforme simétrica tal que su formaes muy parecida a la N(0,1) y se aproximamás a medida que aumenta el parámetror. Se demuestra que convergen cuando

r120

J. DE HARO

∞→

T DE STUDENT

� Su media es E(X)=0 para r>1.�Su varianza existe para determinadosvalores de r, y no existe su funcióngeneratriz de momentos.

� Para el cálculo de probabilidades seutilizan las tablas de la t. Se basan enel concepto de función dedistribución, F(x).

121J. DE HARO

MANEJO DE TABLAS

122

� Sea X ~ Calcule las siguientes probabilidades.

1. P( X < - 2.764) = F (-2.764) = 0.01se mira en n=10 y buscamos en partenegativa y obtenemos 0.01.

10t

negativa y obtenemos 0.01.

2. P(X > 2.228) = 1 - P( X < 2.228) == 1-F(2.228)== 1- 0.975= 0.025

123J. DE HARO

3. P(1.372 < X < 1.812) == P(X < 1.812) – P(X < 1.372) == F(1.812) – F(1.372) == 0.95 - 0.90 = 0.05

En el caso de que no aparezcan losgrados de libertad en la tabla setoman los grados más próximos.

124J.H.G

T DE STUDENTEjercicio

La probabilidad de que una t12 esté

comprendida entre dos valores simétricos

respecto del origen es igual a 0.80. ¿Cuánto

vale la abscisa del extremo positivo ?

SOLUCIÓN:

1-α =0.80, α =0.20 10.02

=α

se cumple 11 =++− ααα

125J. DE HARO

se cumple 122

1 =++− α

P(t12 < -2

αt ) = 0.10

Buscamos 12 grados y 0.10 en parte negativa,

- 2

αt = -1.356, por tanto por simetría el

extremo positivo 2

1α−

t = 1.356.

Si tuviera unidades las llevaría.

8.-DISTRIBUCIÓN F DE FISHER-SNEDECOR

Sean U y V dos variables aleatoriasindependientes tales que,

U ~ i V ~ 2

mχ 2nχ

Si

126

J. DE HARO

mχ nχ

nm

n

m

F

n

m

n

Vm

U

X ,2

2

===χ

χ

DISTRIBUCIÓN F DE FISHER-SNEDECOR

Es decir, X se distribuye como una Fde Fisher-Snedecor con m grados delibertad en el numerador y n en eldenominador (sus parámetros).denominador (sus parámetros).

Lo representamos así, X ~ Fm,n

127J. DE HARO


� Esta distribución posee su propiafunción de densidad tal que X 0, esvariable aleatoria continua y n, y mson enteros positivos, n,m>0. Estadistribución sólo toma valores

≥

distribución sólo toma valorespositivos o cero.

� Esta función es campaniformeasimétrica positiva y cumple con laspropiedades de toda función dedensidad. 128J. DE HARO


Función de densidad de Fm,n

0.7

0.6

129

J. DE HARO

x 543210

0.6

0.5

0.4

0.3

0.2

0.1

0


� Su esperanza y varianza existen paradeterminados valores de n.

� Las probabilidades se calculan apartir de su función de distribuciónpartir de su función de distribuciónque aparecen tabuladas en sustablas.

130J. DE HARO


Observaciones de interés:

Demostración:

mnnm

FF ,

,

1 =

Demostración:

131J. DE HARO

mnm

n

n

mnm

F

m

n

n

m

F ,2

2

2

2,

11 ===χ

χ

χ

χ


� La distribución F está

relacionada con la t de la

siguiente forma:

Si X ~ tr ⇒ X2 ~ F1, r

132J. DE HARO

Es decir, ( tr )2 ~ F1, r

Demostración:

r

rrr

F

rr

N

r

N,12

21

2

2

2

2

1))1,0(()1,0( ===

χ

χ

χχ

MANEJO DE TABLAS

133


� P( F < F3,15 ) = 0.95

Vamos a la hoja de 0.95.Vamos a la hoja de 0.95.Buscamos v1 (grados del numerador)y v2 (grados del denominador) yobtenemos:

F3,15;0.95= 3.29

134J. DE HARO


� P( F > F5,2 ) = 0.01P( F > F5,2 ) = 1 - P( F < F5,2 )P(F < F5,2 ) = 1- 0.01 = 0.99

Buscamos 0.99, 5 numerador y 2denominador y obtenemos:

F5,2;0.99= 99.30

135J. DE HARO


� Obtenga a si P(F7,20 < a) = 0.01.

Vamos a la hoja de 0.01.Buscamos 7 grados numerador y 20Buscamos 7 grados numerador y 20grados denominador y

a = 0.16

136J. DE HARO


� Calcule la siguiente probabilidadP(F5,6 < 0.14) ?Se busca en todas las hojas 5 de

numerador y 6 denominador, hastaencontrar 0.14, y vemos que laencontrar 0.14, y vemos que laprobabilidad es de 0.025.

P(F5,6 < 0.14) = 0.025

137J. DE HARO


� Comprueba:

95.0:8,1205.0;12,8

1

FF =

Efectivamente:

138J. DE HARO

0.30=28.3

1

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MODELOS DE PROBABILIDAD · tema 2. modelos de probabilidad 2.1 .- distribuciÓn binomial 2.2.- distribuciÓn de poisson 2.3.- distribuciÓn uniforme 2.4.- distribuciÓn exponencial