Distribución de probabilidad DISCRETAUn experimento aleatorio se puede llevar a cabo para tomar distintas decisiones . Sin embargo, aunque el propósito sea distinto cuando se realiza, este no cambia su comportamiento por el simple hecho de que los propósitos cambien.El medio por el cual expresamos lo que nos interesa al realizar un experimento aleatorio es el de variable aleatoriaUna variable aleatoria se aquella que asume valores de acuerdo con los resultados de un experimento aleatorio.

Si queremos ser más formales con la definición de variable aleatoria, podemos decir :Una variable aleatoria es una función de valor real que tiene como dominio el espacio muestral asociado a un experimento aleatorio. Las variables aleatorias generalmente son designadas por las letras X, Y, Z.

Veamos los siguientes ejemplos:Se lanza una moneda cuatro veces. El espacio muestral correspondiente es

Si nos interesa el número de caras que se obtienen, entonces definimos la variable X = número de caras en los cuatro lanzamientos, los resultados son:X = 0 que se identifica con

X = 1 que se identifica con

X = 2 que se identifica con

X = 3 que se identifica con

X = 4 que se identifica con

Si designamos A = Se obtienen 4 sellosB = Se obtiene una caraC = Se obtiene dos carasD = Se obtiene tres carasE = Se obtiene cuatro carasSe obtiene

Estos resultados se resumen en la siguiente tabla que llamaremos DISTRIBUCIÓN DE PROBABILIDAD

Obsérvese que

En general, para cualquier distribución de probabilidad discreta debe darse que la suma de las probabilidades de todos los valores que pueda asumir la variable debe ser igual a uno (1)

X 0 1 2 3 4

1/16 1/4 3/8 1/4 1/16

Otro ejemplo:Se lanzan dos dados una vez y definimos la variable X = Suma de puntos de las dos caras. Hallemos la distribución de probabilidad de esta variable.Cuando se lanzan dos dados hay 36 resultados posibles y las distintas sumas de puntos son:

2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12 con las probabilidades respectivas:

1, 2, 3, 4, 5, 6, 5, 4, 3, 2, 1 Por tanto, la distribución de probabilidad de esta variable es

X 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12

1/36 2/36 3/36 4/36 5/36 6/36 5/36 4/36 3/36 2/36 1/36

Ahora tienen significado expresiones como

Que significa que el resultado de la suma es menor o igual a 5 y

Note que

VARIABLE ALEATORIA DISCRETA

Los resultados de un experimento aleatorio se pueden dar en forma discreta o en forma continua.Una variable aleatoria discreta X es aquella que solo puede tomar algunos valores entre dos números dados.X = Número de puntos que muestra la cara superior de un dado después de su lanzamientoY= Edades en años de los empleados de una empresa.

La distribución de probabilidad de una variable aleatoria discreta es una tabla, gráfica, fórmula o cualquier otro medio que se use para especificar todos los valores posibles de la variable, junto a sus respectivas probabilidades.

Cuando en el ejemplo anterior se calculó se utilizó un procedimiento que conduce a un concepto de suma importancia como es el concepto de función de distribución acumulada o acumulativa que se denota y se define como

VARIABLE ALEATORIA CONTINUAUna variable aleatoria continua es aquella que puede tomar cualquier valor entre dos números prefijados.Ejemplo:Suponga una circunferencia de longitud 1 a la que se la han hecho 10 divisiones consecutivas a igual distancia denotadas 0.1, 0.2, 0.3, 0.4, 0.54, 0.6, 0.7, 0.8, 0.9, (0.0 coincide con 1)En el centro de la circunferencia se coloca una aguja equilibrada que se hace girar en igual sentido a como lo hacen las manecillas del reloj.

Como la aguja puede detenerse en cualquier posición, considere X la variable aleatoria que representa al número correspondiente a esa posición, luego el valor de X es un número entre 0 y 1.

Cualquier posición de la aguja puede expresarse mediante esta variable, entonces un evento puede ser:

Como para asignar la probabilidad a los distintos eventos no se pueden realizar conteos , se utiliza un modelo denominado de distribución uniforme que se define así:

En caso de que se trate de una probabilidad del tipo se le asigna el valor de cero.

Los valores de probabilidad asociados a eventos que tienen que ver con variables aleatorias continuas se determinan evaluando la integral definida de una cierta función llamada función de densidad continua. Esta función de densidad se dice que es la distribución de probabilidad de X y debe cumplir las siguientes propiedades: 1)

2) El área total bajo la curva debe ser igual a 1

3) = Área bajo la curva entre a y b siempre y cuando a y b queden dentro del dominio de la variable

La función de densidad asociada a una variable que está caracterizada porque la probabilidad está dada por la longitud del intervalo se le llama distribución rectangular en el intervalo (a , b)

Como el área total sobre la curva es el área del rectángulo de la base b-a y altura se tiene que , luego,

La función de distribución acumulativa queda definida y denotada como

CLASIFICACIÓN DE VARIABLES ALEATORIAS

ALGUNAS DISTRIBUCIONES DE PROBABILIDAD DISCRETAS

•Distribución Uniforma Discreta•Proceso de Bernoulli

• Distribución Binomial• Distribución de Poisson

•Distribución Geométrica•Distribución Hipergeométrica o de Laplace•Distribución Multinomial

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X x1 x2 ... xn

P(X=xi) p1 p2 ... pn

Toda función de probabilidad se verifica que 1 2 3 1np p p p

Función de distribución de una v.a. discreta: Sea X una v.a. cuyos valores suponemos ordenados de menor a mayor. Se llama función de distribución de la variable X a la función que asocia a cada valor de la v.a. la probabilidad acumulada hasta ese valor, es decir, ( ) ( )F x P X x

Variable aleatoria

Función de probabilidad de una v.a. discreta: Es la función que asocia a cada valor x de la v.a. X su probabilidad p.

Los valores que toma una v.a. discreta X y sus correspondientes probabilidades suelen disponerse en una tabla con dos filas o dos columnas llamada tabla de distribución de probabilidad:

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Media, varianza y desviación típica de una variable aleatoria discreta.Se llama media o esperanza de una v.a. discreta X, que toma los valores x1, ,x2, ....con probabilidades p1, p2,... al valor de la siguiente expresión:

La varianza viene dada por la siguiente fórmula:que puede calcularse mediante:

( )i i i ii ix P X x x p

2 2 2i iix p

2 2( )i iix p

Ejemplo: La distribución de probabilidad de una v.a. X viene dada por la siguiente tabla:

¿Cuánto vale P(X=3)? Calcula la media y la varianza.

xi 1 2 3 4 5pi 0.1 0.3 a 0.2 0.3

Variable aleatoria

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MMODELOS DISCRETOS eModelo BERNOULLI: Es un experimento que tiene las siguientes características:EEn cada prueba del experimento sólo son posibles dos resultados: el suceso A que llamaremos éxito y el suceso complementario, Ac, llamado fracaso.

El resultado obtenido en cada prueba es independiente de los resultados anteriores.

La probabilidad del suceso A es constante y no varía de unas pruebas a otras.

Modelos probabilísticos

DISTRIBUCIÓN BINOMIAL

1. INTRODUCCION: Es una distribución de probabilidad de variable

discreta y Bernoulli es el autor de esta distribución.Ensayo de Bernoulli: Es cualquier ensayo de algún

experimento que conduce sólo a uno de dos resultados

mutuamente excluyentes, tales como: vivo o muerto; enfermo o saludable; + ó –

De una sucesión de ensayos de Bernoulli se obtiene la

distribución binomial.La formación de un proceso de Bernoulli se efectúa bajo las siguientes condiciones.

A. Se tiene un número finito de ensayos B. Cada ensayo conduce a uno de dos resultados

mutuamente excluyentes. Uno de los resultados posibles se denomina (arbitrariamente) éxito y el otro fracaso.

C. La probabilidad de éxito, representada por p,

permanece constante de ensayo a ensayo. La

probabilidad de fracaso, 1-p, se denota por q.

D. Los ensayos son independientes, es decir, el

resultado de cualquier ensayo particular no es

afectado por el resultado del otro ensayo.

2. CÁLCULO DE PROBABILIDADES CON LA DISTRIBUCIÓN BINOMIALAl estudiar la distribución binomial se tiene interés en calcular la probabilidad de obtener x éxitos de un total de n ensayos de Bernoulli. Este cálculo se realiza con:

xn-xqpx)!-(nx!n!=x)=p(X

Donde: X = variable aleatoria x = 0,1,2,3,....n Se demuestra que la distribución binomial es

una distribución de probabilidad ya que:a. P(x) 0.b P(x) =1

La distribución binomial tiene dos parámetros: n y pLa media de la distribución binomial es: x = npLa desviación estándar es:

x = npq

Ejemplo: En cierta población la prevalencia de alergia es de 20%. Si se selecciona una muestra aleatoria de n=10. Calcular :

a. La probabilidad de que la muestra contenga exactamente un alérgico.

Solución: Datos: Éxito= tener alérgia p = 0,2 y q = 0,8

n = 10 x = 1 Luego: P(X=1)= 10! (0,2)1 (0,8)9

1!9! = 10 (0,2)(0,8)9

P(X=1) = 0,2684

b. La probabilidad de que la muestra incluya menos de dos alérgicosSolución:p = 0,2q = 0,8n = 10P(X<2) = P(X=0) + P(X=1)

= 10! (0,2)0 (0,8)10 + 0,2684 0!10! = 0,1074 + 0,2684

P(X<2) = 0,3758

c. La probabilidad de que la muestra incluya

dos o más alérgicos. d. La probabilidad de que la muestra

incluya entre uno y tres alérgicos inclusive. C. Cuál es el valor de la media y varianza

La Distribución de PoissonCASOS DE APLICACIÓN

• La llegada de un cliente al negocio durante una hora.

• Las llamadas telefónicas que se reciben en un día.

• Los defectos en manufactura de papel por cada metro producido.

• Los envases llenados fuera de los límites por cada 100 galones de producto terminado.

 

La distribución de Poisson se emplea para describir procesos con un elemento en común, pueden ser descritos por una variable aleatoria discreta.

Propiedades de un proceso de Poisson

1. La probabilidad de observar exactamente un éxito en el segmento o tamaño de muestra n es constante.

2. El evento debe considerarse un suceso raro. 3. El evento debe ser aleatorio e independiente de

otros eventos

Si repetimos el experimento n veces podemos obtener resultados para la construcción de la

distribución de Poisson.

La distribución de Poisson

La distribución de probabilidad de Poisson es un ejemplo de distribución de probabilidad discreta. La distribución de Poisson parte de la distribución binomial. Cuando en una distribución binomial se realiza el experimento muchas veces, la muestra n es grande y la probabilidad de éxito p en cada ensayo es baja, es aquí donde aplica el modelo de distribución de Poisson. Se tiene que cumplir que:

p < 0.10

p * n < 10

La función P(x=k)

Donde:

P(X=K) es la probabilidad de ocurrencia cuando la variable discreta X toma un valor finito k.

λ = Lambda es la ocurrencia promedio por unidad (tiempo, volumen, área, etc.). Es igual a p por el segmento dado. La constante e tiene un valor aproximado de 2.711828

K es el número de éxitos por unidad

A continuación veremos la función de probabilidad de la distribución de Poisson.

Ejemplo1 de la funciónF (x=k) La probabilidad de que haya un accidente en una compañía

de manufactura es de 0.02 por cada día de trabajo. Si se trabajan 300 días al año, ¿cuál es la probabilidad de tener 3 accidentes? Como la probabilidad p es menor que 0.1, y el producto n * p es menor que 10 (300 * 0.02 = 6), entonces, aplicamos el modelo de distribución de Poisson:

Al realizar el cómputo tenemos que P(x = 3) = 0.0892Por lo tanto, la probabilidad de tener 3 accidentes laborales en 300 días de trabajo es de 8.9%.

Ejemplo 2 de la funciónF(x=k) La probabilidad de que un producto salga defectuoso es

de 0.012. ¿Cuál es la probabilidad de que entre 800 productos ya fabricados hayan 5 defectuosos? En este ejemplo vemos nuevamente la probabilidad p menor que 0.1, y el producto n * p menor que 10, por lo que aplicamos el modelo de distribución de Poisson:

El resultado es P (x = 5) = 0.04602Por lo tanto, la probabilidad de que haya 5 productos defectuosos entre 800 recién producidos es de 4.6%.

Ejercicio de prueba #1

Un comerciante de verduras tiene conocimiento de que el 3% de la caja está descompuesta. Si un comprador elige 100 verduras al azar, encuentre la probabilidad de que,

a) 4 estén descompuestas. b) de 1 a 3 estén descompuestas

Ejercicio de prueba #2

En pruebas realizadas a un amortiguador para automóvil se encontró que el 0.04 presentaban fuga de aceite. Si se instalan 150 de estos amortiguadores, hallar la probabilidad de que,

a) 4 salgan defectuosos, b) más de 5 tengan fuga de aceite. c) de 3 a 6 amortiguadores salgan defectuosos. d) Determine el promedio y la desviación estándar de

amortiguadores con defectos.

Ejercicio de prueba #3

Un ingeniero que labora en el departamento de control de calidad de una empresa eléctrica, inspecciona una muestra al azar de 200 alternadores de un lote. Si el 2% de los alternadores del lote están defectuosos. Cuál es la probabilidad de que en la muestra,

a) ninguno esté defectuoso, b) uno salga defectuoso, c) al menos dos salgan defectuososd) más de tres estén con defectos

Ejercicio de prueba #4

La probabilidad de que un CD de música dure al menos un año sin que falle es de 0.95, calcular la probabilidad de que en una muestra de 15,

a) 12 duren menos de un año, b) a lo más 5 duren menos de un año, c) al menos 2 duren menos de un año.

Ejercicio de prueba #5

Si 8 de 100 viviendas violan el código de construcción. ¿cuál es la probabilidad de que un inspector de viviendas, que selecciona aleatoriamente a 50 de ellas, descubra que:

a) ninguna de las casas viola el código de construcción b) una viola el código de construcción c) dos violan el código de construcción d) al menos tres violan el código de construcción

Glosario de términos

• Aleatorio – que ocurre al azar.

• Distribución de Poisson – Distribución discreta que se aplica cuando se realizan más de una vez y de forma independiente el experimento de Bernoulli.

• Éxitos – Es la ocurrencia del evento de interés como cantidad de defectos, llamadas recibidas, servicios completados.

• Experimento independiente – Cuando el resultado de un experimento no tiene influencia en el resultado de otro experimento.

 

Glosario de términos

• Resultado discreto – Son resultados con un número finito de valores (3 defectos, menos de 8, hasta 5, etc.)

• Suceso raro – Un evento que ocurre con poca frecuencia. • Segmento - es un intervalo, porción, fragmento o tamaño

de muestra, ya sea en unidades de distancia, área, volumen, tiempo o cualquier otra medida.

• Variable Aleatoria Discreta - Variable que puede obtener un número finito de valores de forma impredecible o al azar.

• Variable Discreta – Variable que puede obtener un número finito de valores como 0, 1, 2, 3.