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Capítulo 7Distribución de probabilidad normal
Características de la distribución de probabilidad normal
La curva normal es acampanada y presenta sólo un pico en el centro de la distribución.
La media aritmética, la mediana y la moda de la distribución son iguales y están localizadas en el pico. De esta forma, la mitad del área bajo la curva se encuentra por arriba de este punto central, y la otra mitad por abajo.
Características de la distribución de probabilidad normal
La distribución de probabilidad normal es simétrica con respecto a su media.
La curva normal decrece uniformemente en ambas direcciones a partir del valor central. Es asintótica, esto significa que la curva se acerca cada vez más al eje x, pero en realidad nunca llega a tocarlo. Esto es, los puntos extremos de la curva se extienden indefinidamente en ambas direcciones.
Características de la distribución de probabilidad normal
La curva normal es simétrica. Media, mediana y moda son iguales.
La distribución de probabilidad normal estándar La distribución normal estándar es una
distribución normal con media cero y desviación estándar de 1.
También es llamada distribución z. Un valor z es la distancia entre un valor
seleccionado llamado x, y la media de la población µ, dividida entre la desviación estándar, σ. La fórmula es:
Z = (x – µ)/σ
Ejemplo 1
El salario inicial de los primeros dos meses de los recién graduados de MBA siguen la distribución normal con una media de $2,000 y una desviación estándar de $200. ¿Cuál es el valor z para un salario de $2,200?
Z = (x – µ)/ = (2,200 – 2,000)/200 = 2.00
Ejemplo 1 (Continuación)
¿Cuál es el valor z de $1,700?
Z = (x – µ)/σ = (1,700 – 2,000)/200 = -1.50
Un valor z de 1 indica que el valor de $2,200 es una desviación estándar arriba de la media de $2,000.
Un valor z de -1.50 indica que $1,700 es 1.5 desviación estándar debajo de la media de $2,000.
Áreas bajo la curva normal
Aproximadamente 68% del área bajo la curva normal está entre la media más una y menos una desviaciones estándar, y se expresa µ +- 1σ.
Alrededor de 95% del área bajo la curva normal está entre la media más dos y menos dos desviaciones estándar, lo que se expresa µ +- 2σ.
Prácticamente toda el área bajo la curva normal está entre la media y tres desviaciones estándar (a uno y otro lados del centro), es decir µ +- 3σ.
Áreas bajo la curva normal
µ µ+σµ-σ
68%µ-2σ µ+2σ95%
Ejemplo 2
El uso diario de agua por persona en Vista Bella, Naucalpan, está distribuido normalmente con una media de 20 galones y una desviación estándar de 5 galones. Aproximadamente 68% de ellos ¿cuántos galones de agua consumen?
Aproximadamente 68% del uso diario de agua cae entre 15 y 25 galones.
Ejemplo 3
¿Cuál es la probabilidad de que una persona de Vista Bella seleccionada al azar consuma entre 20 y 24 galones por día?
Z = (x – µ)/σ = (20 – 20)/5 = 0.00
Z = (x – µ)/σ = (24 – 20)/5 = 0.80
Ejemplo 3 (Continuación)
El área bajo la curva normal entre un valor z de cero y un valor z de 0.80 es 0.2881.
Concluimos que 28.81% de los residentes consumen entre 20 y 24 galones de agua por día.
Observe el siguiente diagrama.
Ejemplo 3
0 1 2 3-1-2-3
P(0<z<.8) = .2881
Ejemplo 3 (Continuación)
¿Qué porcentaje de la población consume entre 18 y 26 galones por día?
Z = (x – µ)/σ = (18 – 20)/5 = – 0.40
Z = (x – µ)/σ = (26 – 20)/5 = 1.20
Ejemplo 3 (Continuación)
El área asociada con un valor z de – 0.40 es de .1554.
El área asociada con un valor z de 1.20 es de .3849.
Sumando estas áreas, el resultado es .5403. Concluimos que 54.03% de los residentes
consumen entre 18 y 26 galones de agua por día.
Ejemplo 4
El profesor Velasco ha determinado que las calificaciones en su curso de estadística, están aproximadamente distribuidas en forma normal con una media de 72 y desviación estándar de 5. Él avisa a la clase que el 15% más alto obtendrá una calificación de A. ¿Cuál es la puntuación límite más baja que obtendrá calificación de A?
Ejemplo 4 (Continuación)
Para comenzar, sea x la puntuación que separa una A de una B.
Si el 15% de los estudiantes tienen puntuación superior a x, entonces el 35% deberá estar entre la media de 72 y x.
El valor z asociado correspondiente al 35% es 1.04.
Ejemplo 4 (Continuación)
Tomamos z = 1.04 y resolvemos la ecuación de la normal estándar para x. El resultado es la puntuación que separa a los estudiantes que separan una A de aquellos que ganaron una B.
1.04 = (x – 72)/5 = 72 + 5.2 = 77.2
Aquellos cuya puntuación sea de 77.2 o más ganarán una A.
La aproximación normal a la binomial
La distribución normal (una distribución continua) proporciona una buena aproximación de la distribución binomial (una distribución discreta) para valores grandes de n.
La distribución de probabilidad normal es generalmente una buena aproximación para la distribución de probabilidad binomial cuando n y n(1 – ) son ambos mayores que 5.
La aproximación normal (Continuación)
Recordemos que para un experimento binomial: En un experimento sólo existen dos resultados
mutuamente excluyentes: éxito y fracaso. La distribución es el resultado de contar el
número de éxitos en una cantidad fija de ensayos.
Cada ensayo es independiente. La probabilidad, , permanece igual de un
ensayo a otro.
Factor de corrección de continuidad
El valor 0.5 que se resta o se suma, dependiendo de la situación, a un valor seleccionado cuando una distribución de probabilidad discreta se aproxima por medio de una distribución de probabilidad continua.
Ejemplo 5
Un estudio reciente de una firma de estudios de mercado mostró que 15% de residentes americanos son propietarios de una videocámara. Para una muestra de 200 hogares, ¿cuántos de los hogares esperaría que tengan videocámara?
Esta es la media de una distribución binomial.
n (. )( )15 200 30
Ejemplo 5 (Continuación)
¿Cuál es la varianza?
¿Cuál es la desviación estándar?
5.25)15.1)(30()1(2 n
0498.55.25
Ejemplo 5 (Continuación)
¿Cuál es la probabilidad de que menos de 40 hogares en la muestra tengan videocámaras?
Usamos el factor de corrección, por lo tanto x es 39.5.
El valor z es 1.88
Z = (x – µ)/σ = (39.5 – 40)/5.0498 = 1.88
Ejemplo 5 (Continuación)
Del apéndice D el área entre 0 y 1.88 en la escala z es .4699.
Por lo tanto, el área a la izquierda de 1.88 es .5000 + .4699 = .9699.
La probabilidad de que menos de 40 de los 200 hogares tengan videocámara es aproximadamente 97%.
Ejemplo 5 (Continuación)
0 1 2 3
Z = 1.88
P(z<1.88)
=.50000 + .4699 =.9699
