Elektromagnetizam 3

PREDAVANJE 9 (PROF. D. KANDI, MAINSKI FAKULTET-BEOGRAD) 1

1. Supstancija u magnetskom polju

Sva dosadanja razmatranja odnosila su se na magnetska polja vremenski konstantnih struja uvakuumu. Pokazano je i da se dobijeni rezultati sa dovoljnom tanou mogu primeniti i na sve onesupstancije koje neznatno utiu na strno magnetsko polje i ponaaju se slino vakuumu. U takvespada pre svih vazduh, ali iitav nizvrstih, tenih i gasovitih materija, osim feromagnetika.

Sve supstancije, bez obzira na kvalitativne razlike u efektima, podlone su magneenju i svo-jim prisustvom u razliitoj meri doprinose promeni magnetskog polja u kojem se nalaze. Namagne-enost supstancije potie od elementarnih magnetskih momenata elektrona i jezgara atoma u razlii-toj meri. Kretanje elektrona u atomima je sloeno i moe se razloiti na orbitalno kretanje i rotacijuoko sopstvene ose (spin elektrona). Spin elektrona je njegova primarna karakteristika koja se nemoe svesti na neto elementarnije i on igra prvorazrednu ulogu u objanjenju ponaanja elektronau atomima, molekulima i kristalima, kao u i nizu makroskopskih pojava. Posebno vanu ulogu spinelektrona ima u prouavanju feromagnetskih pojava.

Elektroni zajedno sa svojim orbitama obrazuju ravne superprovodne strujne -konture, a sva-koj od njih odgovara po jedna -struja kojoj se moe pridruiti odgovarajui elementarni orbitalnimagnetski moment m (PREDAVANJE 8, II deo, str. 18) antiparalelan momenatu koliine kretanja L (toje tzv. magneto-mehaniki paralelizam. Kolinik modula magnetskog momenta elektrona i momen-ta koliine kretanja |m|/|L| zove se orbitalni iromagnetski kolinik, koji je ravan |e|/(2m), ak i zaeliptine orbite. Da bi objasnili odreene anomalije u spektrima zraenja atoma u magnetskom po-lju, Ulenbek (Uhlenbeck) i Gaudsmit (Gaudsmit) jo1925. godine postavili su hipotezu da elektroniposeduju, pored orbitalnih, i sopstvene magnetske momente ms (ili magnetske momente spina) i mo-mente koliine kretanja Ls, koji su isto kvantno-mehanikog karaktera. Kolinik modula |ms|/|Ls |zove seiromagnetski kolinik spina. Njegovim indirektnim merenjem (Richardson-Einstein-de Ha-asov i Barnettov efekat) utvreno je da je njegova vrednost |e|/m, dakle, dvostruko vea od orbital-nogiromagnetskog kolinika |m|/|L| (ova pojava zove se magneto-mehanika anomalija).

Sa druge strane, protoni imaju svoje magnetske momente, koji su znatno manji od orbitalnihmomenata elektrona, paak i do 650 puta manji od sopstvenih magnetskih momenata elektrona ms.

Sve supstancije mogu se podeliti na dijamagnetike, paramagnetike i feromagnetike. Kod dija-magnetika i paramagnetika namagneenost iezava uklanjanjem stranog magnetskog polja, dok sekod feromagnetika ona zadrava. Feromagnetici, ne samo da svojim prisustvom znaajno menjajumagnetsko polje u kojem su nalaze, vemogu da ga i samostalno stvaraju (permanentni magneti).

U dijamagnetike spadaju, npr., bakar (Cu), srebro (Ag), cink (Zn), bizmut (Bi), olovo (Pb),sumpor (S), kremen, grafit, teni azot i voda. Prefiks "dija" je grkog porekla, a jedno od njegovihznaenja je "popreko". Kovanica "dijamagnetski" potie od naina ponaanja dijamagnetskihtapo-va u magnetskom polju: oni tee da se postave popreko na linije magnetske indukcije. Dijamagneti-zam je osnovno magnetsko stanje materije i javlja se kod svih supstancija. S njim u vezi je i dija-magnetski efekat, odnosno pojava indukovanih struja i magnetskih momenata u atomima, koji teeda anuliraju magnetski fluks strnog polja i da to polje oslabe. Dijamagnetski efekat moe se objas-nitiak i pomou klasine teorije i Borovog poluklasinog modela atoma (zainteresovani studenti otome mogu da proitaju u udbeniku, str. 406-410).

U paramagnetike spadaju npr. aluminijum (Al), platina (Pt), kiseonik i vazduh. I prefiks "pa-ra" je grkog porekla, a jedno od njegovih znaenja je "uporedo". Kovanica "paramagnetski" potieod naina ponaanja paramagnetskih tapova u magnetskom polju: na njih deluje mehaniki mo-ment koji tei da ih postavi paralelno sa linijama magnetske indukcije. Paramagnetici spadaju usupstancije sa slabom magnetskom interakcijom izmeu atoma i molekula, pa je to i razlog zbogkojeg kod paramagnetika dolazi samo do deliminog usmeravanja magnetskih momenata atoma imolekula u smeru strnog magnetskog polja, a to usmeravanje je izraenije ako je strno polje jae.Usled toga se intenzitet magnetske indukcije kod paramagnetika u strnom magnetskom polju ne-


znatno poveava, a taj efekat postaje sve manje izraen sa porastom temperature. Paramagnetizamza razliku od dijamagnetizma nije osnovna osobina supstancije, veposledica interakcionog dejstvasila koje favorizuju orijentaciju elementarnih magnetskih momenata u jednom pravcu i smeru. Naparamagnetike u magnetskom polju sile deluju uvek u smeru porasta polja. Magnetsko polje izrazi-tije deluje na paramagnetike nego na dijamagnetike: npr. dejstvo polja na bakar-hlorid je 45 puta,a na teni kiseonik 3040 puta jae nego na tipine dijamagnetike.

U feromagnetike spadaju gvoe (Fe), kobalt (Co), nikal (Ni), dve retke zemlje (danas jouvek bez odreene primene u elektrotrotehnici) gadolinijum (Gd) i disprozijum (Dy) i vei brojlegura i jedinjenja u kojima nema nijednog od navedenih elemenata. Kod feromagnetika postoji ja-ka interakcija izmeu atoma i molekula, koji inae imaju velike magnetske momente. Jaka interak-cija izmeu molekula sree se joi kod antiferomagnetika i ferimagnetika. U feromagneticima une-tim u strno magnetsko polje dolazi do pojave magnetske indukcije velikog intenziteta, mada porasttemperature taj efekat veoma mnogo naruava.

U pogledu magnetskih efekata i uticaja na magnetsko polje, svaki atom ili grupa atoma moese zameniti ekvivalentnom strujnom konturom u vakuumu, sa magnetskim momentom koji odgova-ra ukupnom magnetskom momentu atoma ili grupe atoma. Na osnovu toga, uzorak supstancije mo-e se zameniti mnotvom elementarnih kontura (-konture) u vakuumu sa odgovarajuim Ampero-vim -strujama i magnetskim momentima. U supstanciji koja prethodno nije bila namagneena i na-lazi se izvan stranog magnetskog polja, magnetsko polje Amperovih -struja makroskopski se naj-ee i ne moe zapaziti, jer je ono primetno smo u neposrednoj blizini atoma. Ta pojava objanja-va se injenicom da su svi elementarni magnetski momenti orijentisani potpuno statistiki, dakle, usvim pravcima podjednako, te zato i ne postoji rezultantno makroskopsko magnetsko polje. Meu-tim, kada se supstancija unese u strno magnetsko polje (npr. nekih makroskopskih strujnih kontu-ra), tada sve elementarne strujne konture tee da se pod dejstvom elektromagnetskih sila postave ta-ko da njihovi magnetski momenti budu kolinearni sa strnim poljem (videti PREDAVANJE 8-II deo,str.17).Toj tendenciji suprotstavljaju se termiki uticaji, usledega dolazi smo do delimine orijen-tacije-kontura i vektora magnetskih momenata,to za posledicu ima pojavu namagneenosti uzor-ka supstancije, odnosno pojavu sopstvenog magnetskog polja. Kod dijamagnetika i paramagnetikanamagneenost iezava ukidanjem strnog magnetskog polja,a kod feromagnetika ona se zadrava.Smo kod njih se u odsustvu stranog magnetskog polja ne ponitavaju elementarni magnetski mo-menti atoma i molekula, tako je kod feromagnetika uoljivo prisustvo sopstvenog magnetskog polja.

Kao to se elementarna strujna kontura u potpunosti moe okarakterisati svojim magnetskimmomentom, tako se i element namagneene supstancije, koji je predstavljen mnotvom Amperovih-struja, moe okarakterisati vektorskim zbirom momenata svih elementarnih strujnih konturamu fiziki maloj zapreminiV. Makroskopska veliina koja karakterie stanje namagneenosti u ele-mentuV definisana je kolinikom:

Mm

V

V, (*)

i zove se vektor magnetizacije. U svakoj taki nenamagneene supstancije vektor magnetizacije jenula-vektor. Ako u svakoj taki namagneenog tela vektor M ima isti pravac i smer, za to telo kaese da je homogeno namagnetisano, pa je M=N'm, gde je N' koncentracija -kontura u okolini po-smatrane take, a m magnetski moment svake od kontura. Intenzitet vektora magnetizacije M=|M|oigledno da ima dimenzije [A/m]. Ispostavlja se da su kod dijamagnetika i paramagnetika vektoriM i B kolinearni (MB) i da M linearno raste sa porastom indukcije strnog magnetskog polja B,pa su zato te supstancije linearne i izotropne u magnetskom pogledu. Kod grupacija atoma u fero-magneticima takva kolinearnost izmeu M i B ne postoji, kao ni linearna zavisnost izmeu M i B,pa se na tom nivou feromagnetici ponaaju magnetski nelinearno i anizotropno.


Veliina koja karakterie namagnetisanost supstancije u nekoj taki, odnosno koja izraavastepen orijentisanosti Amperovih-struja u okolini te take, zove se vektor magnetske polarizacije ion je definisan kao J=0M. Jedinica za J=|J| je [N/(Am)] (=) [T].

Na osnovu definicione relacije (*) za M, mnotvo elementarnih magnetskih momenata u fi-ziki maloj cilindrinoj zapremini V=Sh unutar namagneene supstancije (sl. 1a), uvek smoezameniti ekvivalentnim magnetskim momentom MV. Ako je izvodnica cilindrine zapremine Vkolinearna sa vektorom magnetizacije M i normalna na malu ravnu povrveliine S, tada se zapre-minaV moe predstaviti na ekvivalentan nain u magnetskom pogledu, vrlo tankom trakom (h0), koja se podudara sa omotaem cilindra (sl. 1b) u kojoj postoji Amperova -struja oznaenogsmera i intenzitetaIA, za koji su magnetski moment trakem (m=IAS=IASn) i zapremine V,MV (MV=MSh) jednaki (n-jedinini vektor normale na S; |n|=1). Odatle se dobija da je M==(IA/h)n, a poto je M=Mn, to sledi da je M=|M|=IA/h.

S

S n SM

h

M

h

l

0 0S n SC

Ik

k-ta makroskopskastrujna kontura

IA

(a) (b)V

X

Obr

a~un

skism

erza

sabi

ranj

em

akro

skop

skih

iAm

pero

vih

stru

jau

vaku

umu

"+"

Sl. 1

Posmatrajmo sada proizvoljno usvojenu orijentisanu konturu C u supstanciji, gde pored Am-perovihstrujaIA postoje i makroskopske konture sa strujama Ik ( 1 )k , n , koje se kao beouzina lancu zahvataju sa konturom C (sl. 1b). Naravno da u posmatranom sistemu mogu postojati idruge makroskopske strujne konture koje se uopte ne zahvataju sa konturom C, pa njihove strujene figuriu u Amperovom zakonu o cirkulaciji vektora B u vakuumu, kada se ovaj primeni na sistemmakroskopskih i Amperovih -struja. Ako jel-orijentisan linijski element konture C, tada s obzi-rom na M=|M|, M=Mn i h=dln (sl. 1b) sledi, Mh=Mln=Ml=IA. Ovaj rezultat se reimamoe iskazati ovako: skalarni proizvod vektora magnetizacije M i orijentisanog linijskog elemental u taki X proizvoljne konture C u magnetskom polju u supstanciji, jednak je Amperovoj -strujiIA oko elementa u taki X raunatoj u referentnom smeru vezanom po pravilu desne zavojnicesa usvojenim smerom orijentacije konture (, "+", videti sl. 1b). Kada je fiziki element l vrlomalil 0), tada se moe napisati dal dl, pa na osnovu prethodnog i Stoksove teoreme sledi:

0 0

A A AKroz

d d dUkupna Amperova struja krozkonturu C u referentnom smeruvezanom po pravilu desne zavojnice

C S C Ssa usvojenom orijentacijom konture C

I I M l M S J Srot

0 00 0

A A0 00 0S

1 1lim d lim d Ova relacija vai u svakoj taki

magnetskog polja u sup s tan cijiS SSS S

M S J S J Mrot rot ,


gde je S0 proizvoljna povroslonjena na konturu C i orijentisana u smeru vezanom po pravilu desnezavojnice sa usvojenom orijentacijom konture, dok je JA vektor lokalne povrinske gustine Ampe-rovih -struja u takama povri S0.

Poto se Amperove-struje i makroskopske struje nalaze u vakuumu, toemo prvo primenitiintegralni oblik Amperovog zakona o cirkulaciji vektora B u vakuumu na konturu C i sve struje:

0 A k 0 k( ) ( )Kroz

d dPo strujama svih makroskopskihk kC C C

kontura koje se zahvataju sa konturom C

I I I

B l M l

k( )0 0

0d : )(Po strujama svih makroskopskihkC


I , ,

B BM l H B HM M ,

k( )

d

(Po strujama svih makroskopskihkC


Integra ln i oblik generalisanog

Amperovog zakona.I

Zove se i teorema o cirkulaciji vektora , ili

zakon ukupne ili

H l H)tota lne struje.

. (**)

Vektor H u prethodnoj relaciji definisan kao B/0-M zove vektor jaine magnetskog polja ili mag-netizaciono polje. Jedinica za jainu magnetskog polja H=|H| je [A/m]. U sumu struja makroskop-skih kontura [relacija (**)] struja Ik unosi se: (1) sa predznakom "+", ako je istog smera sa obraun-skim smerom za sabiranje struja, koji je vezan po pravilu desne zavojnice sa usvojenom orijentaci-jom konture C (, "+", videti sl. 1b) i (2) sa predznakom "-", ako je suprotnog smera od obraun-skog smera za sabiranje struja (sl. 1b).

Sada emo primeniti diferencijalni oblik Amperovog zakona na makroskopske struje sa lokal-nom povrinskom gustinom J i Amperove-struje sa lokalnom (povrinskom) gustinom JA:

0 A 0( ) ( ) B J J J Mrot rot

rot rotB

M H J0FHG

IKJ

( )Diferencija i ili loka i oblikgeneralisanog Amperovog zakona

ln ln. (***)

Integralni i diferencijalni oblik generalisanog Amperovog zakona vae, kako u vakuumu, ta-ko i u bilo kojoj materijalnoj sredini (u dijamagneticima, paramagneticima i feromagnetici-ma). Tako npr. ako se teorema o cirkulaciji vektora H primeni na toruse sa sl. 23 i sl. 24(PREDAVANJE 8, II deo), ali u sluaju kada su njihova jezgra od feromagnetika, dobija se:

H l FHG

IKJ z z zd d d [ ](0 ) ( )C C CH l H l H x

N I x ax a b

20 , ,b

, , ,l q

HN I

xx a H x a b 2 0 , ,b , , ,[ ] [0 ) ( )l q ,

pri emu se pravac i smer vektora H odreuje isto kao i vektora B-po pravilu desne zavojnice(ti vektori su kolinearni u sluaju kada je torusno jezgro magnetski izotropno). Integralni


oblik generalisanog Amperovog zakona izveden je za proizvoljnu konturu C u vremenski kon-stantnom magnetskom polju. Takoe je i diferencijalni oblik generalisanog Amperovog zako-na izveden za vremenski konstantno magnetsko polje. Meutim, u sluaju kada je magnetskopolje vremenski promenljivo, generalisani oblici Amperovog zakona u integralnom i diferen-cijalnom obliku dobijaju sledei sloeniji oblik:

d dd d ,

d dC S t t

D DH l J S H Jrot ,

gde je D vektor elektrinog pomeraja u posmatranoj sredini sa magnetskim poljem H, dok jeS proizvoljna povroslonjena na konturu C i orijentisana u smeru vezanom po pravilu desnezavojnice sa usvojenim smerom orijentacije konture. Integralni oblik prethodne jednaine po-znat je kao jedna od etiri integralne Maksvelove jednaine makroskopskih elektromagnetskihpolja.

U vakuumu je M=0, pa izmeu vektora B i H postoji veza B=0H to znai da za karakteri-zaciju magnetskog polja u vakuumu nisu potrebna dva, veje dovoljan samo jedan vektor (B ili H).

U supstancijama koje su linearne i izotropne u magnetskom pogledu (a takvi su praktino svidijamagnetici i paramagnetici), vektor magnetizacije M uvek je kolinearan sa vektorom jaine mag-netskog polja H, pa je zbog toga kod njih M=mH, gde jem magnetska susceptibilnost (m je ne-imenovan broj). Poto je u svakoj sredini B=0(H+M), to kod linearnih i izotropnih sredina imamoB=0(H+M)=0(1+m)H. Ako se relativna magnetska permeabilnost supstancije definie kao r==1+m, a apsolutna permeabilnost kao =0r (r=0), tada je B=0(1+m)H=0rH=H. Je-dinica za magnetsku permeabilnost je ista kao i za permeabilnost vakuuma [N/A2] ili [H/m]. Koddijamagnetika jem 0, ali je r=1+m neznatno manje od jedinice. Meutim, kod paramagnetikajem 0, dok jer=1+m neznatno vee od jedinice.

Kod feromagnetika vai relacija B=0(H+M), ali kolinearnost M=mH ne postoji. Meutim,kod njih se, ipak, mogu koristiti relacije M=mH i B=H (B=|B|, H=|H| i M=|M|), vodei raun otome da je=0r,r=1+m i dam ir nisu konstante, vevieznane funkcije intenziteta polja H.

Tela nainjena od linearnih, izotropnih i homogenih supstancija (a u takve spadaju homogenidijamagnetici i paramagnetici), homogena su, takoe i u magnetskom pogledu (odnosno homogenosu namagneena), kada je vektor magnetizacije M u svim takama isti. Nehomogeno namagneenotelo od homogenog feromagnetskog materijala nije homogeno u magnetskom pogledu. Poto je kodhomogeno namagneenog tela M=Cst, to je u svakoj njegovoj unutranjoj taki rezultantna gustinaAmperovih struja JA=rot M=0. Ako jeC fiziki mala kontura unutar homogeno namagneenog te-la u kome ne postoje makroskopske struje (J=0), tada je:

d d d 0C S S

H l H S J Srot Ad d d 0C S S

M l M S J Srot ,

gde je S proizvoljna povrunutar tela, oslonjena na konturuC i orijentisana u smeru vezanom popravilu desne zavojnice sa orijentacijom konture. Magnetsko polje namagneene supstancije u kojojnema makroskopskih struja (J=0) potie iskljuivo od Amperovih-struja. Meutim, kako je u sva-koj taki unutar homogeno namagneenog tela bez makroskopskih struja JA=0, to se zakljuuje darezultantno magnetsko polje potie iskljuivo od Amperovih struja na povri tela. Sadaemo odre-diti podunu gustinu JsA tih struja na povri homogeno namagneenog tela. Posmatrajmo jedan jakouveani delipovri takvog tela oko take X (sl. 2a). Vektori magnetskih momenata m Amperovih-kontura oko te take su kolinearni, pa je vektor JsA normalan na vektor magnetizacije M (koji jekolinearan sa m) i vektor jedinine normale n povri oko take X. Za malu pravougaonu konturuCmoe se napisati:


A sA0 0 0 0lim d cos sin , lim d lim d lim dh h h h

C C S S

M l M l J l

M l M l M S J Srot ,

sA sAsinJ M J M n (Amperove struje postoje u vakuumu),

ime smo doli do vane relacije koja povezuje vektore podune gustine povrinskih Amperovihstruja i magnetizacije u svakoj taki povri homogeno namagneene supstancije.

M

J sA

nPovr{inske Amperovestruje

l

0

(a)

X

l | |l

Sh/2h/2

C

I > 0 (struja navojaka)

(b)

N'

M

n

J sA

Sl. 2

Posmatrajmo veoma dug i tanak solenoid sa jezgrom od homogenog materijala permabilnosti(sl. 2b). Pretpostavimo da je solenoid ravnomerno i gusto motan, da je poduna gustina nje-govih navojaka N' i da je struja navojaka vremenski konstantna sa intenzitetom I. Magnetsko polje usolenoidu je homogeno intenziteta H=N'I i indukcije B=N'I. Do ovog formalno dobijenog rezul-tata mogue je doi i na sledei nain. Intenzitet vektora magnetizacije u solenoidu je M=mH==(r-1)H=(r-1)N'I. Kako je gustina Amperovih struja u jezgru JA=0, to se koristei sl. 2b moezakljuiti da se u bliskim delovima dve susedne Amperove struje kompenzuju, a da jedino struje napovri jezgra ostaju nekompenzovane i da se svode na rezultantnu povrinsku Amperovu struju po-dune gustine JsA=Mn i intenziteta JsA=|JsA|=M=(r-1)N'I. Zbog toga rezultantno magnetsko po-lje B u solenoidu nastaje superpozicijom polja BI=N'I struje I i polja BM=(r-1)N'I struje JsAu vakuumu, odnosno B=BI+BM=N'I+(r-1)N'I=N'I. Kada je relativna permeabilnost jezgrasolenoida velika (r1), tada je i poduna gustina dopunskih struja na njegovoj povri velika; onajer-1 puta vea od podune gustine primarne struje solenoida N'I.

Posmatrajmo homogeno namagneen permanentni magnet u obliku neogranienog, pravogkrunog cilindra, koji se nalazi u vakuumu. U takama u unutranjosti magneta je M=Cst i B=0M,dok je u vakuumu M=0. Meutim, ako je takav magnet konane duine, u takama unutar magnetasmerovi vektora B i H=B/0-M su suprotni, kao i |B|


na razdvojnoj povri dijamagnetika i/ili paramagnetika nisu od interesa, poto izmeu tih sredinanema neke znaajnije razlike. Dijamagnetici i paramagnetici vrlo slabo utiu na magnetsko polje ukojem se nau, dok feromagnetici utiu jako.

Pretpostavimo da na razdvojnoj povri izmeu sredina 1 i 2 nema makroskopskih struja (sl.3a), a zatim bilo gde postavimo orijentisanu cilindrinu povrSc vrlo male osnovice S u fizikompogledu i izvodnice koja normalno proseca povrDa bi se izveli granini uslovi na smoj povripotrebno je pretpostaviti da u graninom sluaju duina izvodnice cilindra h 0Neka su B1 i B2vektori magnetske indukcije, a H1 i H2 jaine magnetskog polja u sredinama 1 i 2 respektivno napreseku S cilindra Sc i povri Normalne komponente vektora B1 i B2 su B1n=B1n i B2n=B2n,respektivno, gde je n vektor jedinine normale orijentisane povri S=Sn. Na osnovu zakona okonzervaciji magnetskog fluksa imamo:

lim d ( ) ( )c

1 2 1n 2n 1n 2nhS

S B B S B B

z0 0B S B n B n .

Sc n

n

h

B1

B2

S

B1n

B2n

B1t

B2t

1

Sredina 1

Sredina 2

h

Sredina 1

Sredina 2

K

l

l

H1

H2

2

1

2

B1t

B1B1n

B2n

B2t

B2

(a)

(b)

(c)

Sl. 3

Pretpostavimo da je K orijentisana pravougaona kontura u ravni vektora H1 i H2, vrlo malei-rine=|l| u fizikom pogledu i visine h koja u graninom procesu tei nuli (sl. 3b). Takoe, nekaje i pravac vektoral paralelan ravniNeka su tangencijalne komponente vektora H1 i H2 respek-tivno H1t i H2t. Poto na graninoj povri sredina 1 i 2 nema makroskopskih struja, tada u takama tepovri mora biti rot H=0, pa i cirkulacija vektora H po konturi K mora biti ravna nuli:

1 2 1t 2t 1t 2t0lim d 0hK

H H l H H

H l H l H l .Poslednje dve relacije ukazuju na neprikidnost normalnih komponenti magnetske indukcije i

tangencijalnih komponenti vektora jaine magnetskog polja na razdvojnoj povri dve sredine. Tedve relacije zovu se granini uslovi. Koristei ih zajedno sa sl. 3c moe se izvesti zakon prelamanjalinija magnetskog polja na razdvojnoj povri dve sredine bez makroskopskih struja:


tgtg

1

2

1t 1n

2t 2n

1t

2t

1 1t

2 2t

1

2

B B

B BBB

HH

//

.

Pri prelasku iz sredine vee, u sredinu manje magnetske permeabilnosti, linije magnetskogpolja priklanjaju se ka normali na razdvojnu povr. U posebnom sluaju kada je sredina 1 vazduh ilivakuum, a sredina 2 izrazit feromagnetik () iz poslednje relacije zakljuuje se da e linijemagnetskog polja u vazduhu ili vakuumu praktino biti normalne na razdvojnu povr, tj. da 0,u sluaju kada je 02 /2.

3. Feromagnetski materijali i neke njihove osobine

Feromagnetski i njima slini materijali danas imaju veliku i raznovrsnu primenu u elektroteh-nici za izradu: (1) jezgara elektrinih maina (obrtnih generatora, motora i transformatora) i (2) stal-nih magneta i jezgara elektromagneta. Magnetska permeabilnost r feromagnetika obino je veomavelika i zajedno sa intenzitetima magnetizacije M=|M| i indukcije B=|B| predstavlja sloenu i vie-znanu funkciju jaine polja H=|H|. Meutim, M i B ne zavise jedino od jaine polja H u odree-nom trenutku, vei od jaine tog polja kojoj je materijal ranije bio podvrgnut, odnosno M i B zaviseod tzv. "istorije magneenja" materijala. Ta pojava svojstvena je smo feromagneticima i zove sehisterezis (grki:=zakanjavam). Sada emo prvo ukratko objasniti poreklo feromagne-tizma i opisati Vajsovu fenomenoloku teoriju domena, a zatim emo razmotriti krive magneenjaferomagnetskih materijala, koje imaju veliki znaaj u elektrotehnici. Napominjemo da je formiranjedomena i prirodu unutranjih sila koje dovode do spontane namagneenosti supstancije, uspenoobjasnila tek kvantna teorija.

Atomi i molekuli feromagnetika u sutini su paramagnetski, jer poseduju nekompenzovanemagnetske momente (kao i atomi i molekuli paramagnetskih materijala). Izuavanjeiromagnetskihpojava kod feromagnetika jasno ukazuje da su za pojavu feromagnetizma najodgovorniji nekom-penzovani magnetski momenti spina elektrona u nepopunjenim unutranjim ljuskama, a da valentnielektroni nisu nosioci jakih magnetskih momenata zbog slabe veze sa atomskim jezgrom i njihovepodlonosti sadejstvu sa elektronima susednih atoma u obrazovanju molekula i kristala. Pri takvimmeusobnim dejstvima hemijskog karaktera sopstveni magnetski momenti spina valentnih elektro-na se kompenzuju. Dakle, orbitalni magnetski momenti elektrona nisu od primarnog znaaja zanastanak feromagnetizma.Magnetska sprega izmeu atoma i molekula kod paramagnetika je relativ-no slaba, a kod feromagnetika vrlo jaka. Usled toga se u feromagneticima formiraju velike grupacijeod po 10121015 molekula sa magnetskim momentima savreno orijentisanim u istom pravcu i sme-ru (sl. 4a). Takve grupe molekula zovu se Vajsovi domeni i oni u sutini predstavljaju stalne magne-te namagnetisane do zasienja. Linearna dimenzija Vajsovih domena kod gvoa kree se od 10-3[cm] do nekoliko [mm], pa ak i do nekoliko [cm] uistim monokristalima. Osim toga, na granica-ma domena postoje vrlo jaka magnetska polja, zahvaljujui kojima su Vajsovi domeni eksperimen-talno i uoeni jo1931. godine (F. Bitter). Ako se uzorak feromagnetskog materijala lepo izbrusi ipremae koloidnim rastvorom finog praha oksida gvoa (npr. magnetita), ija su zrnca prenikamanjeg od 1 [], tada dolazi do sakupljanja tih zrnaca na granicama domena, usledega se obrazujufigure koje odgovaraju oblicima domena i mogu se posmatrati mikroskopom. Kada feromagnetiknije namagneen, magnetski momenti domena su haotino orijentisani u svim pravcima (kao i kodparamagnetika sl. 4b), pa je rezultantna makroskopska namagneenost ravna nuli. Izmeu susednihdomena sa razliitim pravcima rezultantnih magnetskih momenata postoje prelazni slojevi (ili gra-nice domena) debljine 10-810-6 [m] u kojima je promena pravca magnetskih momenata postepena.Ti slojevi zovu se Blohovi zidovi.

Prvo objanjenje spontane namagneenosti feromagnetika na nivou domena dala je kvantnateorija. Naime, Hajzenberg je pokazao da su za orijentaciju magnetskih momenata atoma unutar do-


mena odgovorne tzv. sile razmene, koje nemaju objanjenje u klasinoj fizici, a analogne su silamakoje obezbeuju stabilnost molekula. Radijus dejstva tih sila je mali i praktino ogranien samo nabliske atome. Kada se posmatra uzorak feromagnetika (svi feromagnetici su kristalne strukture), ta-da u oblasti koja odgovara Vajsovom domenu linearne dimenzije reda 10-2 [mm] sa priblino 1015atoma supstancije izmeu elektrona u susednim jonima deluju vrlo jake elektrostatike sile kojeutiu na orijentaciju magnetskih momenata elektrona i ekvivalentne su dejstvu magnetskog poljaindukcije B=105 [T]. Kristalna zrna, odnosno Vajsovi domeni, anizotropni su u magnetskom pogle-du, a njihove kristalografske ose orijentisane su statistiki. Zbog toga se u feromagnetskim telima samnotvom domena anizotropija kompenzuje i tela se ponaaju makroskopski magnetski izotropno.

(a) (b)

Sl. 4

Usmeravajue dejstvo prethodno pomenutih sila naruavaju termike oscilacije kristalne re-etke. Iznad temperature TCf koja se zove Kirijeva feromagnetska temperatura, termike oscilacijepotpuno onemoguavaju paralelnu orijentaciju magnetskih momenata jona kristalne reetke i fero-magnetik tada poinje da se ponaa kao obian paramagnetik.

M

M2M1

(a) (b)

(c) (d)

M

M 0m

m

m

m

Sl. 5

Magnetska polarizacija kod feromagnetskih materijala ostvaruje se sa maksimalnom uree-nou magnetskih momenata atoma i molekula, koja u okviru domena postojiak i u odsustvu str-nog magnetskog polja. Meutim, istraivanja pokazuju da pored magnetskih momenata karakteris-tinih za atome dijamagnetika, paramagnetika i feromagnetika postoje i drugi specifini tipovi pola-rizacije karakteristini za neke druge materijale sa velikom primenom u elektrotehnici (kao to su,recimo, feriti). Na sl. 5a prikazan je deo prostorno centrirane kubne kristalne reetke -gvoa sajednim atomom u sreditu elementarne elije kristala. Magnetski momenti atoma m (crni kruii samalom strelicom) pokazuju visok stepen usmerenosti, tako da u zavisnosti od temperature T, re-


zultantna gustina magnetskog momenta M (koja makroskopski karakterie stanje namagneenosti),moe biti vrlo velika. Meutim, kada temperatura T dovoljno poraste (TTCf), tada zbog haotineorijentacije magnetskih momenata m i rezultantna gustina magnetskog momenta opadne (M 0).

Na sl. 5b prikazana je orijentacija magnetskih momenata m kod antiferomagnetskih supstan-cija (MnO, FeO, CoO, MnF2, FeF2, NiF2, MnS, CuCl2, itd.). Kod njih su magnetski momenti "su-sednih" atoma naizmenino antiparalelni, tako da je rezultantna magnetizacija M=0. Pri odreenojtemperaturi (Nelova temperatura) antiferomagnetizam kod ovih materijala nestaje, a pojavljuju separamagnetizam i dijamagnetizam. Antiferomagnetici danas jouvek nemaju znaajniju primenu uelektrotehnici.

Poseban tip antiferomagnetskih materijala su tzv. ferimagnetski materijali, ili feriti. U tim ma-terijalima postoji antiparalelna orijentacija magnetskih momenata susednih atoma i grupa atoma.Meutim, zbog nesimetrine strukture, ekvivalentni momenti susednih grupa atoma nisu isti, takoda ovakva antiparalelna orijentacija, ipak, rezultuje u formiranju Vajsovih domena sa intenzivnomnamagneenou (sl. 5c). Premda magnetizacija zasienja kod ferita dostie samo 20 % magnetiza-cije zasienja gvoa, feriti ipak imaju ogroman znaaj u savremenoj elektrotehnici visokih frek-vencija, pre svega zbog velike specifine elektrine otpornostireda 1031010 m. Obini pro-vodni feromagnetski materijali (kao to je gvoe) ne mogu se koristiti na visokim frekvencijama,poto usled elektromagnetske indukcije u njima dolazi do intenzivne pojave vrtlonih ili Fukoovihstruja koje slabe visokofrekventno magnetsko polje i proizvode nepotrebno zagrevanje materijalausled Dulovog efekta. Velika grupa ferita ima tipinu hemijsku formulu oblika MeFe2O3, gde jeMe-oznaka za dvovalentni metal (Mn, Fe, Co, Ni, Cu, Zn, Mg, Cd).

Metamagnetici su antiferomagnetski materijali kod kojih pod dejstvom jakog magnetskogpolja dolazi do prelaska antiferomagnetskog ponaanja u feromagnetsko.

Parazitski feromagnetizam je antiferomagnetizam kod koga razliiti smerovi magnetizacijeM1 i M2 (sl. 5d) nisu antiparalelni i ne ponitavaju se.

J sJReverzibilno zaokretanje domena

Ireverzibilno pove}anjei zaokretanje domena

Reverzibilno pove}anje domena

0H

12

34

Uve}an detaljgornje krive

1-2 i 3-4 - reverzibilno zaokretanje

2-3 - ireverzibilno zaokretanje

(a)

N SPermanentni magnet

Sol

enod

safe

rom

agne

tskim

jezg

rom

Zvu~

nik

Poja~ava~

(b)

Fe-{ipka

Sl. 6

Kada se prethodno nemagneen feromagnetik unese u strano magnetsko polje Hiji se inten-zitet postepeno poveava, na magnetske domene deluju momenti koji tee da ih postave u pravcu ismeru polja. Zbog toga se pri malom intenzitetu strnog polja prvo orijentiu domeni koji zaklapajunajmanje uglove sa pravcem polja, usled ega se poveava njihova zapremina i proiruju granice naraun susednih domena. Ako se zatim strno magnetsko polje iskljui, dolazi do uspostavljanjaprvobitnog stanja, pa se tada za proces magneenja kae da je reverzibilan (videti sl. 6a). Meutim,u sluaju ako se i dalje nastavi sa poveanjem intenziteta strnog polja H dolazi do ireverzibilnogpoveavanja granica domena i njihove relativno nagle rotacije u pravcu polja. Taj proces ne teekontinualno, vese odvija u malim skokovima. Izdvojeni detalj na krivoj J(H) (sl. 6a) pokazuje da


je u delovima 1-2 i 3-4 poveanje intenziteta magnetske polarizacije reverzibilno, dok je u delu 2-3ono vrlo naglo i ireverzibilno. Takva skokovita promena magnetske polarizacije J i indukcije B uferomagnetskim materijalima zove se Barkhauzenov efekat. On se moe registrovati jednostavnomaparaturom prikazanom na sl. 6b. Kada se permanentni magnet prinese solenoidu, usled Barkhauze-novog efekta magnetska indukcija u gvozdenoj ipki naglo se menja, a time i magnetski fluks kroznavojke ravnomerno i gusto motanog solenoida (broj navojaka je vrlo veliki). Usled promene fluksau namotaju se indukuju kratkotrajne (impulsne) elektromotorne sile koje u kolu generiu strujne im-pulse. Ovi se prvo pojaavaju, a zatim registruju u oblikuuma u zvuniku. Ako se i dalje nastavi sapoveanjem strnog magnetskog polja, u jednom trenutku dolazi do magnetskog zasienja materija-la (M=Ms=C st). Tada su svi magnetski momenti orijentisani u smeru strnog polja, nema vie nikak-vih skokovitih promena, a reverzibilno zaokretanje domena odvija se postepeno sa promenom polja(sl. 6a). Magnetska indukcija u feromagnetiku sa zasienjem je B=0H+Js=0(H+Ms). U sluajukada je H Ms imamo da je B 0H, pa se intenzitet magnetske indukcije jako sporo i priblinolinearno poveava sa porastom polja H.

U svim feromagneticima postoji neka vrsta trenja. Usled toga nastaju sledee pojave: Zaokretanje domena uvek je praeno pretvaranjem energije magnetskog polja u toplotu. Ovi

gubici zovu se histerezisni gubici. Promene magnetizacije uvek kasne za promenom strnog polja, koje tu magnetizaciju izaziva.

Takvo ponaanje zove se histerezisno ponaanje. Iskljuivanjem strnog polja domeni se vie ne vraaju u prvobitno stanje u kojem su bili hao-

tino orijentisani. Rezultat toga je da u feromagnetiku i dalje postoji magnetsko polje, uprkosinjenici da je strano polje iskljueno. Indukcija polja u feromagnetiku zove se remanentna(ili zaostala) indukcija i njome se objanjava postojanje permanentnih (ili stalnih) magneta.Feromagnetski materijali najee se u praksi ne opisuju na prethodni nain, vepomou kri-

ve magneenja B(H), koja se snima jednostavnom aparaturom prikazanom na sl. 7a. Uzorak fero-magnetika koji se ispituje obino je formiran u obliku tankog torusnog jezgra.

(a)A

ER

N R2 2,

N R1 1,

lS

BG

+

e, Q

I I,

0

1

2

35

46

7

Hm

H

B

Hm

(b)

1'

1''

Sl. 7

Namotaj feromagnetskog torusa permeabilnosti (H) sa N1 ravnomerno i gusto namotanihzavojaka ukupne termogene otpornosti R1 vezan je na red sa ampermetrom A i naponskim izvoromems E, ija se struja I regulie promenljivim otpornikom R. Oko torusnog namotaja nalazi se drugigalvansko izolovani namotaj sa N2 zavojaka termogene otpornosti R2, povezan sa balistikim galva-nometrom BG, koji meri koliinu elektriciteta proteklu kroz kolo. Torusno jezgro nije prethodno bi-lo magneeno, duina njegove srednje linije je l, a veliina poprenog preseka je S (sl. 7a). Intenzi-tet magnetskog polja u takama na srednjoj liniji torusa prema generalisanom Amperovom zakonuje H=N1I/l. Ako se za vremet struja namotaja (N1, R1) promeni zaI, tada se intenzitet polja u to-


rusu promeni se za H=N1I/l, a kroz balistiki galvanometar protekne koliina elektriciteta Q==et/R2, gde je e indukovana ems u namotaju (N2, R2), e= -N2t, aprirataj magnetskogfluksa kroz torus, odnosno kroz svaki njegov navojak. Poto je torus tanak, to je flukspraktinoravnomerno rasporeen po S, pa je prirataj magnetske indukcijeB=/S= -R2/(N2S)Q. Krivamagneenja snima se polazei od take (H, B)=(0, 0), takoto se struja I postepeno menja u odree-nim koracima I koji se mere ampermetrom A. U svakom od njih prvo se izrauna H=N1I/l, azatim se na osnovuQ izmerenog pomou BG izrauna i B= -R2/(N2S)Q. Na taj nain dolazise do diskretnog skupa taaka na krivoj magneenja. U sluaju kada je torusno jezgro prethodno vebilo namagneeno, ono se mora razmagnetiti takoto se ponovo izvri njegovo magneenje pomoujakog naizmeninog polja,ija amplituda veoma postepeno opada do nule. Feromagnetik se, takoe,moe razmagnetiti i jakim potresima i udarima.

Ako feromagnetik prethodno nije bio magneen, tada se sa porastom jaine polja H, indukcijau torusu menja po krivoj 0-1 od 0 do prevojne take na toj krivoj (sl. 7b). Posle toga je porastfunkcije B(H) jako usporen jer potie od lana 0H, a sama funkcija pribliava se pravoj vrlo ma-log nagiba prema H-osi. Materijal torusa tada ulazi u magnetsko zasienje sa gustinom magnetskogmomenta Ms. Kriva 0-1 na sl. 7b zove se prvobitna kriva magneenja i za nju se definie poetnamagnetska permeabilnost datog feromagnetika kao,a=dB/dH|H=0=tg(sl. 7b).

Ako jaina polja posle maksimalne vrednosti Hm pone da opada do nule, magnetska indukci-ja u torusu menja se po krivoj 1-2 (H 0) koja se nalazi iznad prvobitne krive magneenja. Kadabude H=0 (taka 1') u torusu ostaje prisutna izvesna remanentna, ili zaostala magnetska indukcijaBr. Njena pojava objanjava se injenicom da po prestanku dejstva spoljanjeg polja magnetski mo-menti ne dospevaju u prvobitan haotian poredak. Ta indukcija jednaka je zaostaloj magnetskoj po-larizaciji u materijalu. Promenom smera struje i njenim poveavanjem po veliini, magnetska in-dukcija nastavlja da se menja po krivoj 1-2 do take 1'' sa koordinatama (H, B)=(-Hc, 0), gde se Hc0 zove koercitivno polje (ili koercitivna sila). Materijali sa velikim koercitivnim poljem zovu semagnetski tvrdi, a oni kod kojih je to polje malo zovu se magnetski meki materijali. Ako polje H idalje nastavi da opada u negativnom smeru, tada se pri H= -Hm dolazi u taku 2, gde je indukcija utorusu negativna i maksimalna po modulu. Pri sledeoj promeni jaine polja od Hm do Hm indukci-ja se menja po krivoj 2-3 (taka 3 lei malo ispod take 1). Pri narednoj promeni H od Hm do -Hmindukcija se menja po krivoj 3-4 (taka 4 lei malo ispod take 2), a zatim se indukcija menja: pokrivoj 4-5 (taka 5 lei malo ispod take 3) pri promeni polja H od -Hm do Hm, po krivoj 5-6(taka 6 lei malo ispod take 4) pri promeni polja H od Hm do -Hm, po krivoj 6-7 (taka 7 leimalo ispod take 5) pri promeni polja H od -Hm do Hm, itd. Ponavljajui tako ciklus magneenjavie puta, uoava se sve manja razlika izmeu taaka skupa1, 3, 5, ...i taaka skupa2, 4, 6, ....Veposle desetak ciklusa magneenja kriva B=B(H) prelazi u zatvorenu simetrinu krivu CH (sl.8a), koja se zove ciklus histerezisa. Oblik te krive zavisi od vrste materijala i maksimalne jainepolja Hm.

Krive magneenja dobijene pri relativno sporim promenama polja H zovu se statike krivemagneenja. Meutim, u praksi su od velikog interesa bakrive magneenja dobijene pri relativnobrzim, ali periodinim, promenama polja H, a naroito kada su te promene prostoperiodine ("ciso-idne") sa frekvencijom f=50 Hz. Krive magneenja koje se dobijaju u ovom poslednjem sluajuzovu se dinamike krive magneenja, a njihov oblik zavisi od vrste feromagnetika, maksimalne ja-ine magnetskog polja Hm i radne frekvencije f. Sa porastom f ciklusi histerezisa simetrino se ire,odnosno "debljaju" u pravcu H-ose. Ciklus histerezisa predstavlja moda najvaniju karakteristikuferomagnetskih materijala.

Na sl. 8b prikazani su ciklusi histerezisa koji odgovaraju razliitim maksimalnim poljima Hm isvi oni su slinog, mada ne potpuno istog oblika. Najvaniji od tih ciklusa je svakako onaj najvei(obino se za taj ciklus definiu Br i Hc), jer on reprezentuje stanje maksimalno mogueg magnet-skog naprezanja koje se u datom feromagnetiku moe ostvariti, s obzirom da feromagnetik tadaduboko ulazi u magnetsko zasienje.


Isprekidana kriva linija na sl. 8b koja povezuje vrhove ciklusa histerezisa zove se osnovna ilinormalna kriva magneenja i obino se navodi kao karakteristika magneenja materijala. Ta krivase razlikuje od prvobitne krive magneenja, ali je ta razlika u praksi obino zanemarljiva.

Pri malim vrednostima Hm i periodinom magneenju histerezisna petlja veoma lii na vrlomalu elipsu, koja se zove Rejlijeva histerezisna petlja. Tada se stanje u feromagnetiku moe smatra-ti kvazilinearnim. Ako je uz to joi magneenje prostoperiodino, jaina poljae se menjati po za-konu H= 2 Heffcis(2ft+), a indukcija po zakonu B= 2 Beffcis(2ft+). Kada se redom pree nakompleksne predstavnike tih veliina, H=Heffeji B=Beffe j(j= 1 ), onda se moe definisati ikompleksna permeabilnost feromagnetika kao =B/H=(Beff/Heff)e j(=e-j(-=re-j(sezove ugao gubitaka feromagnetika).

U praksi jeest i sluaj da se magnetsko polje menja perodino u vremenu, a da se te promenesuperponiraju sa vremenski konstantnom komponentom polja (to se sree npr. kod prigunica sapredmagneenjem). U ovom sluaju ciklusi histerezisa su nesimetrini.

Br

Hm

B

H

Hm

(a)

0Hc

CH

Remanentna indukcijajednaka je zaostaloj

magnetskoj polarizaciji

(b)

B

H0

Osnovna ilinormalna krivamagne}enja

cH

rB

Magnetsko zasi}enje

Veliki ciklus histerezisa

Sl. 8

Sada emo dati nekoliko razliitih definicija permeabilnosti feromagnetskih materijala podes-nih za njihovo razliito opisivanje u zavisnosti od uslova primene. Magnetsku permeabilnost kodferomagnetika oigledno da nije mogue jednoznano definisati kao odnos B i H, poto jeBH==fHnelinearna i vieznana funkcija polja H. U tu svhu se koristi normalna kriva magneenja (sl.8b), pomou koje se definie normalna permeabilnost materijala n kao odnos B/H dute krive (sl.9a). Jasno je da je n=f1(H) kao i da je poetna permeabilnosta=limH0 (dB/dH)=f1(0). Maksimal-na permeabilnost max dobija se pri magnetskom polju H koje odgovara onoj taki na normalnojkrivoj magneenja u kojoj prava povuena iz koordinatnog poetka dodiruje tu krivu (sl. 9b). Odsvih vrsta permeabilnosti koje se mogu definisati, normalna permeabilnost najpodesnija je za opisi-vanje feromagnetskih materijala, jer se ti materijali najee koriste u uslovima prostoperiodinepromene polja H.

Diferencijalna permeabilnost d=f2(H) definie se kao odnos dB/dH dunormalne krivemagneenja (sl. 9a). Oigledno da jed(H=0)=limH0 (dB/dH)=a.

U mnogim praktinim primenama esto se sree sluaj da je malo prostoperiodino magnet-sko polje superponirano na vremenski konstantno jako polje. U tom sluaju nastaje mali, vrlo pljos-nati ciklus histerezisa oko take X (sl. 9c) za koji se moe definisati inkrementalna permeabilnostferomagnetika kaoinkr=B/H.

Ako se prilikom snimanja krive magneenja jaina polja smanji za mali iznos H, a zatim seponovo vrati na prvobitnu vrednost (sl. 9d) indukcija se menja po krivoj koja nije potpuno zatvore-


na, ali viekratnim ponavljanjem tog procesa ona postaje takva. Tako dobijeni unutranji ciklusihisterezisa mogu se aproksimirati vrlo malim elipsama sa glavnim osama nagiba tgkoji priblinoodgovara nagibu tangente na veliki ciklus histerezisa u taki remanentne indukcije Br. Magnetskapermeabilnost definisana kao rev=tg=dB/dH|H=0, B=Br zove se reverzibilna magnetska permeabil-nost i ona se pored normalne permeabilnostinesto koristi u projektovanju magnetskih kola.

B

H

O

H

O

Osnovna ili normalnakriva magne}enja

n

max

a

inkr

BH

rev tgdd

r

BH H B B0,

(a)

(b)

(c)

(d)

O

O

B

B

H

H

H

B

Mali ili unutra{njiciklusi histerezisa

Br

X

Sl. 9

4. Magnetska kola

Feromagnetski materijali najee se koriste za izradu jezgara elektrinih maina i ureaja(elektrinih generatora, motora, transformatora, elektromagneta, elektromagnetskih relea i slino).Ta jezgra su obino vrlo razliitog oblika, mogu imati uske vazdune procepe i barem na jednomsvom delu nose izolovan strujni namotaj. Magnetski fluks skoro u potpunosti je kanalisan feromag-netskim jezgrom, slino kaoto je elektrina struja kanalisana elektrinim provodnicima. Samo ma-li deo ukupnog fluksa koji izlazi iz feromagnetika (a obrazuju ga linije indukcije koje naputaju tajferomagnetik), zove se rasipni magnetski fluks. Njegova maksimalna vrednost obino iznosi 1015% ukupnog magnetskog fluksa i u prvoj aproksimaciji moe se zanemariti. Glavni magnetski fluksjednak je razlici ukupnog i rasipnog magnetskog fluksa. Kod magnetskih kola ti fluksevi ne moguse odrediti tano, vesamo priblino: tanost je vea kod tankih nego kod debelih magnetskih kola,a samo u jako malom broju sluajeva ti fluksevi mogu se odrediti teorijski bez greke. U daljem raz-matranju usvojiemo da se uticaj rasipnog magnetskog fluksa moe zanemariti. Sada prvo dajemodefiniciju magnetskog kola.

Magnetsko kolo u irem smislu je skup tela i sredina kroz koje se zatvaraju linije magnetskeindukcije, odnosno kroz koje se zatvara magnetski fluks.Magnetsko kolo u uem smislu predstavlja sistem u kome se pomou feromagnetskih materija-la unapred kanalie magnetski fluks odreenimeljenim putem.Magnetsko kolo moe biti prosto, ako ima samo jednu granu i jedan fluks; a moe biti i sloe-no ili razgranato, ako ima vie grana sa odgovarajuim fluksevima.


Pod analizom prostog (ili nerazgranatog) magnetskog kola podrazumeva se odreivanje nje-govog magnetskog fluksa. Pod analizom sloenog (ili razgranatog) magnetskog kola podrazu-meva se odreivanje flukseva njegovih grana. Po analogiji sa elektrinim kolima i mreamabilo bi logino da se razgranata magnetska kola zovu magnetskim mreama, ali takav terminnije rasprostranjen, pa nije ni usvojen.Problemi analize prostih i/ili sloenih magnetskih kola sa specificiranim geometrijskim karak-teristikama jezgara i osobinama materijala mogu se svrstati u jednu od sledee dve klase:

Problemi I vrste - trae se brojevi zavojaka i struje namotaja u sluaju kada je poznat flukskola (ili fluksevi grana)

Problemi II vrste - trai se fluks kola (ili fluksevi grana) u sluaju kada su poznate karakte-ristike namotaja (tj. struje i brojevi zavojaka pojedinih namotaja)

Feromagnetski materijali nisu linearni i ne mogu se jednoznano okarakterisati odreenomnormalnom magnetskom permeabilnou n, s obzirom da ova zavisi od intenziteta magnetizacio-nog polja H. Meutim, zbog jednostavnijeg prorauna u praksi se ponekad uvodi aproksimacija daje magnetsko kolo priblino linearno i da se moe okarakterisati nekom srednjom magnetskom per-meabilnou r 1. Takav pristup posebno je pogodan za analizu tankih magnetskih kola sa ma-lom jainom polja u granama, pa se moe usvojiti da je vrlo priblino B aH. Naalost, kod ta-nijih prorauna moraju se uzeti u obzir debljina kola i nelinearnost feromagnetika, to jako kompli-kuje analizu koja formalno podsea na analizu nelinearnih elektrinih mrea. Elektrine mree seobino nalaze u sredini sa 1018puta manjom elektrinom provodnou od provodnosti granamree, tako da se uticaj rasipnih struja moe zanemariti i analiza sprovesti sa velikom tanou. Na-alost, nelinearna magnetska kola obino su u vazduhu kao sredini sa magnetskom permeabilnousmo 102 puta manjom od permeabilnosti kola, tako da rasipni fluks ima uticaj na tanost ana-lize. Analiza ovakvih kola ne moe se sprovesti sa grekom manjom od 510 %. U daljem tekstuusvojiemo nekoliko sledeih pretpostavki:(1) Da se kod magnetskih kola rasipanje moe zanemariti.(2) Da su t kola tanka u odnosu na svoju duinu (ili duinu grana), pa je po njihovom popre-

nom preseku magnetski fluks ravnomerno raspodeljen, a vektori magnetske indukcije i jainepolja konstantni i normalni na taj presek (ovo je uslov kvazilineinosti magnetskih kola).Zbog nelinearnosti feromagnetskih materijala kod magnetskih kola je, pored aproksimativnih

pretpostavki (1) i (2), potrebno usvojiti joi sledee:(3) Da su poznate krive magneenja materijala kola. Pod krivom magneenja podrazumeva se, ili

prvobitna, ili normalna kriva magneenja, izmeu kojih praktino ne postoji znaajna razlika.

(a) Omov zakon za prosto magnetsko kolo. Kirhofovi zakoni za razgranata magnetska kola

Posmatrajmo prosto i tanko magnetsko kolo na sl. 10a koje se nalazi u vazduhu. Neke od nje-govih sekcija imaju strujne namotaje, dok ih druge nemaju pa se za takav sistem namotaja kaeda je asimetrian. Usled toga e i magnetsko rasipanje kod ovog kola biti neto vee nego u sluajukada postoji samo jedan strujni namotaj, ravnomerno i gusto namotan na jezgro. Pretpostavimo, kaoi obino, da je magnetska permeabilnost materijala svake od sekcija znatno vea od permeabilnostiokolnog vazduha. Zbog toga se rasipni fluks u prvoj aproksimaciji moe zanemariti, te se moepretpostaviti da linije magnetske indukcije ne naputaju jezgro kola. To obezbeuje da je prethodnonavedeni uslov (1) zadovoljen. Pretpostavimo i da su preostali uslovi (2) i (3) zadovoljeni. Posma-trajmo sada u jezgru magnetskog kola zamiljenu srednju liniju (kontura C), koja je orijentisanaproizvoljno i iji su segmenti normalni na odgovarajue poprene preseke. Ti preseci su orijentisaniu smeru vezanom po pravilu desne zavojnice sa orijentacijom konture C. Orijentacija konture C


predstavlja algebarski ili referentni smer u kome se rauna magnetski fluks kola, a ona ujednoodreuje i smer cirkulacije vektora H po toj konturi kod primene generalisanog Amperovog zako-na. Simbol praen znakom "+" pokraj njega odreuje obraunski smer za sabiranje struja kodprimene Amperovog zakona. Neka je li srednja duina, a Si konstantna povrina poprenog presekai-te sekcije kola ( )i n1, .

N I1 1,N I2 2,

N Ij j,

N In n,

N I3 3, Sk

C

(a)

Sekcije1, ... n

1

2

3j k

n

0

" "

k

lk

(b)

N I1 1,

N I2 2,

C

1

2

3

4

5

6

A

DF

G

1

2

3

4

56

" "

0

Sl. 10

S obzirom da je u svakoj taki i-te sekcije Bi=iHi i da je magnetski fluks kroz svaki njenpopreni presekiBiSi ( )i n1, , pri emu je1n :=0, tada je:

H l H l z z z z z d d d d di ii=1n

i ii=1

ni

ii

i=1

ni i

i ii

i =1

ni

i ii=1

n

i i i iC l l l l

H lB

lB S

Sl

lS 0 ,

gde0 predstavlja magnetski fluks kroz popreni presek kola, ili fluks po jednom navojku.Sa druge strane, na osnovu generalisanog Amperovog zakona vai sledee:

n k k 1 1 2 2 3 3 j j n nk=1

d videti sl. 10a- -C

N I N I N I N I ... N I ... N I H l n n

i mk k 0 0

k=1 i=1 i i m

dC

Kap Hopkinsonov zakon, iliOmov z

l FN I

S R akon za magnetsko kolo

H l ,

gde je u optem sluaju:

F N I Magnetomotorna ili magnetopobudna sila magnetskog kolam k kk =1

n

: [A] ,

imii i

: ( 1 ) 1 H -l

R i ,n / Magnetska otpornost ili reluk tan sa i te sekcije kolaS , (*)

n ni

m mii=1 i=1 i i

: [1/H]l

R R Ukupna magnetska otpornost ili reluk tan sa prostog kolaS

.


Ukupna magnetska otpornost prostog magnetskog kola jednaka je zbiru magnetskih otpornosti sek-cija. U zavisnosti od broja zavojaka, naina namotavanja, smerova i intenziteta struja u namotajima,magnetomotorna sila Fm i fluks kola 0 mogu biti pozitivni, negativni ili nula. Sledstveno tome,takvi su i algebarski intenziteti magnetske indukcije Bi i jaine magnetskog polja Hi ( )i n1, , res-pektivno, koji se raunaju u odnosu na usvojenu orijentaciju konture C. Magnetomotorna sila Fm,takoe se odreuje prema orijentaciji konture C: u sluaju kada su orijentacije te konture i k-tognamotaja vezane po pravilu desne zavojnice, proizvod NkIk ( )k n1, unosi se u sumu za Fm (*) sapredznakom "+", dok u suprotnom unosi se sa predznakom "-". Veliinai=1/Rmi ( )i n1, Hzovese magnetska provodnost ili permeansa i-te sekcije, a =1/Rm=1/(1/1)+(1/2)+ ... +(1/n)mag-netska provodnost ili permensaitavog magnetskog kola.

Ovde se mora primetiti sledee. Poto su sekcije kola od feromagnetskog materijala, tada je zasvaku od njihi=fi(Hi) ( )i n1, , pa se odatle korienjem odgovarajuih krivih magneenja materi-jala mogu konstruisati funkcije i=fi*(Bi) i i=fi**(0) ( )i n1, . Tada se iz Omovog zakona za mag-netsko kolo (*) dalje neposredno dobija:

0

FR

N I

lS

N I

lf S

m

m

k kk=1

n

i

i ii=1

n

k kk=1

n

i

i**

0 ii =1

n 0

( )

: ( )

,

to znai da se magnetski fluks u tankim feromagnetskim kolima bez rasipanja praktino mora odre-diti grafoanalitiki, odnosno numeriko-grafikim reavanjem nelinearne jednaine0=(0).

Posmatrajmo sada tanko i razgranato (sloeno) magnetsko kolo saetiri "vora" A, D, F i G iest proizvoljno orijentisanih "grana" 16 (sl. 10b). Orijentacije grana ujedno predstavljaju i alge-barske smerove u odnosu na koje se raunaju fluksevi 16 i algebarski intenziteti magnetskihpolja H1H6 i magnetskih indukcija B1B6 grana. U odnosu na te smerove pomenute veliine mogubiti pozitivne, negativne ili nula. "vor" magnetskog kola je podruje u kojem se stiu najmanje tri"grane" kola. Zavorove A, D, F i G moe se na osnovu zakona o konzervaciji magnetskog fluksanapisati sledee:

B S B S

B S B S

z zz z

d d

d d

A D

F G

0 0

0 0

,

,(u optem sluaju) grana

Za bilokoji ~vor

0 .

Jednaina oblikagrana=0, koja se moe napisati za svakivor bilo kojeg magnetskog kola, zovese prvi Kirhofov zakon za magnetska kola (IKZM). Taj zakon vai kako za linearna, tako i za ne-linearna magnetska kola. Slino kao kod elektrinih mrea sa vremenski konstantnim i sporo pro-menljivim strujama, tako je i za magnetsko kolo sa nvorova mogue napisati tano n-1 linearnonezavisnih jednaina po IKZM za proizvoljno odabrani skup od n-1 vorova. Za jedini preostalivor, jednaina po IKZM dobija se sabiranjem svih prethodnih jednaina. Prema generalisanom Am-perovom zakonu za svaku konturu linearnog ili nelinearnog magnetskog kola (na primer, za konturuCrafiranu na sl. 10b), mogue je napisati sledee:

k k 1 1 2 2( ) Po strujama svih namotaja koji

se zahvataju sa konturom

d videti sl. 10bkC

C

N I N I N I H l


U prethodnoj sumi: (1) strujni obuhvat NkIk uzima se sa predznakom "+" kada je smer struje Ik istikao i obraunski smer za sabiranje struja "" i (2) NkIk se uzima sa predznakom "-" kada je smerstruje Ik suprotan od obraunskog smera "" (videti sl. 10b). Pretpostavimo da j-ta grana ima sred-nju duinu lj, konstantan popreni presek Sj (kada to nije sluaj grana se dekomponuje u delovekonstantnog poprenog preseka) i normalnu magnetsku permeabilnostj=fj(Hj)=fj*(Bj)=fj**(j). Ka-ko je magnetsko kolo tanko i bez rasipanja, moe se smatrati da su u svakoj njegovoj grani i sva-kom poprenom preseku vektori H i B normalni na taj presek. Odatle sledi:

j j j j k kd d

C CC

H l , H l N I

H l H lDu` konture Du` kontureDu` j- te Du` konture

grane( j)

,

gde se proizvod Hjlj uzima sa predznakom "+" kada se orijentacije j-te grane i konture C poklapaju,a sa predznakom "-" kada su te orijentacije suprotne. U prethodnoj relaciji proizvod Fmk=NkIk uzi-ma se sa predznakom "+" kada su orijentacije k-tog namotaja i konture C vezani po pravilu desnezavojnice, dok se u suprotnom Fmk uzima sa predznakom "-". U tom smislu FmC=Fmk |Dukonture Cpredstavlja ekvivalentnu, ili ukupnu, magnetomotornu silu (mms), odnosno magnetopobudnu silu(mps) koja deluje u konturi C. Relacija oblika:

H l N I F FC C C

Cj j k k mk mCmms

kontureDu` konture Du` konture Du` konture

,

zove se drugi Kirhofov zakon za magnetska kola (IIKZM) sa vremenski konstantnim i/ili vremenskisporo promenljivim strujama. Poto je magnetska otpornost j-te grane, Rmj=lj/(jSj)=lj/fj(Hj)Sj==lj/fj*(Bj)Sj=lj/fj**(j)Sj, a kako je njen magnetski fluksj=BjSj, tada se na osnovu prethodnogIIKZM moe napisati u alternativnom obliku:

H lB l B S l

SR F

C C C C

Cj jj j

j

j j j

j jmj j mC mmskonture

Du` konture Du` konture Du` konture Du` konture , odnosno

R F Alternativni oblikC

Cmj j mCmms

kontureIIKZM

Du` konture

.

Proizvod Rmjj uzima se sa predznakom "+" ako se orijentacije j-te grane i konture C poklapaju, asa predznakom "-" ako su te orijentacije suprotne. Normalne magnetske permeabilnosti grana (j)koje figuriu u prethodnoj relaciji mogu se odrediti pomou odgovarajuih krivih magneenja mate-rijala Bj(Hj). Meutim, pokazuje se da je umesto tih permeabilnosti daleko korisnije raspolagati safunkcijama oblika j=BjSj=j(Umj), koje se dobijaju mnoenjem ordinata krivih magneenja Bj sapovrinama preseka grana Sj, a apscisa Hj tih krivih sa srednjim duinama grana lj. Algebarska veli-ina Umj =Hjlj koja se na taj nain dobija zove se magnetski napon grane i on ima smer formalnopridruen usvojenoj orijentaciji grane. Sistem jednaina koji predstavlja alternativan oblik IIKZMformalno je linearan, a u sutini nelinearan, zbog nelinearne zavisnosti izmeu permeabilnosti i ja-ine magnetskog polja kod feromagnetskih materijala, odnosno zbog takve zavisnosti izmeu fluk-seva i magnetskih napona grana. Zbog toga analiza prostih i sloenih feromagnetskih kola ima dostaslinosti sa analizom nelinearnih elektrinih kola i mrea.

U praksi, grane magnetskih kola vrlo retko su tanke, pa je njihova duina obino uporediva sa


dimenzijama poprenog preseka, te se zato te grane moraju smatrati "debelim". Naalost, tana ana-liza debelih magnetskih kola za sada ne postoji, ali se, ipak, u tu svrhu koristi odreen aproksima-tivni postupak pomou kojeg se dolazi do rezultata sa zadovoljavajuom tanou. Osnovna pretpo-stavka koja se u tom postupku usvaja jeste da se magnetska otpornost grane ili prostog magnetskogkola moe definisati kao Rm=ls/(sS), gde je: (1) ls-srednja duina, (2) S-povrina poprenog prese-ka i (3)s-magnetska permeabilnost grane ili prostog kola u takama na njihovoj srednjoj liniji (sl.11a). Kada se odreuje duina ls potrebno je obratiti panju da se pored linijskih segmenata b, d, f ih, mora uzeti u obzir i odreeni broj krunih lunih segmenata a, c, e i g (sl. 11a). Tako, npr. za pro-sto magnetsko kolo na sl. 11a srednja duina grane "1" je ls1=a+b+c+d+h, a grane "2" je ls2=e+f+g.Veliina greki koje nastaju pri prethodno uinjenim aproksimacijama vrlo grubo se moe procenitina primeru prostog magnetskog kola u obliku torusa pravougaonog poprenog preseka (sl. 11b) sahomogenim feromagnetskim jezgrom poznate karakteristike magneenja, na koji je ravnomerno igusto namotano N zavojaka sa strujom I. Prema generalisanom Amperovom zakonu, magnetsko po-lje H u torusu odreeno je relacijom:

H H x N Ix

x a H x a b

( ) [ ] [0 ) ( )2

0

, ,b , , ,l q .

Kako je u datom sluaju torusno jezgro feromagnetsko, to je B=H=f(H)H:=F(x), gde se prekofunkcije F(x), prethodne relacije i krive magneenja, jednoznano definie dvostruko preslikavanjexHB za x a, b. Fluks kroz popreni presek torusa 0 i njegova magnetska otpornost Rmdati su sledeim izrazima:

0 02 2

FHG IKJ

z z z H h x f N Ix N Ix h x F x h x R N Ia

b

a

b

a

b

d d ( ) d , m .

Meutim, ako se uvede jednostavna i gruba aproksimacija da je permeabilnost svih taaka utorusu priblino jednaka permeabilnostis dunjegove srednje linije ls, dobija se:

s s ss s s 0

s

, , d ln( ) 2 2

b

a

B N I N I hN I bH B h x

a b H x a Preko krivemagne}enja ,

RN I

h ba

m

s ln

FHG IKJ02

. (#)

Uvedimo sada jogrublji metod odreivanja magnetske otpornosti torusa, takoto emo pret-postaviti da se ova moe izraunati prema sledeem jednostavnom aproksimativnom obrascu:

Rl

Sb a

h b amas

s s

( )( )

. (&)

Relativna greka aproksimacije koja se ovim putemini, u odnosu na Rm dobijeno prema (#) je:

RR

R RR

b ab a

ba

g b amm

ma m

m ( )ln ( )

FHG IKJ //

/12 1

1 .


Sa grafika funcije g(b/a) prikazane na sl. 12 u opsegu b/a 1, 3.2vidi se da aproksimacija(&) daje dobre rezultate u pogledu veliine greke,ak i kod vrlo debelih torusa.

I

N

a

b

cd

e

f

gh

l2s

l1s

1 1,S

2 2,S

(a)

Grana 1Grana 2

I

h

N

ab

f H( )

(b)Sl. 11

Sl. 12

Iz prethodnih razmatranja zakljuujemo da se magnetska otpornost grane i/ili prostog magnet-skog kola moe odrediti, ak i u optem sluaju sa malom grekom, koristei relaciju Rm=ls/(sS),koja npr. i kod vrlo debelih torusa (b/a=3) daje procentualnu greku manju od 10 % (videti sl. 12).Sreom, ak i kod mnotva drugih debelih magnetskih kola koja se sreu u paksi, pristup zasnovanna primeni aproksimativne relacije Rm=ls/(sS), uglavnom daje dovoljno dobre rezultate u pogleduveliine uinjene greke.

Poseban sluaj predstavljaju magnetska kola sa vazdunim procepima, koja se najee sreuu praksi (elektrini motori i generatori, elektromagneti, relea). Posmatrajmo magnetsko kolo na sl.13a sa vazdunim procepom irine l0 u kome je jaina magnetskog polja H0, a indukcija B0=0H0.U feromagnetiku je jaina magnetskog polja H, a indukcija B=H=f(H)H. Prema Omovom zakonuza magnetska kola, flukskola na sl. 13a je:


m

0m m0

0m0

0 0

reluktansa feromagnetskih delova kola,( )

gde je:

reluktansa vazdunog procepa,

lR

f H SN I ,

R Rl

RS

a S0 efektivna povrina preseka vazdunog procepa. U samom procepu magnetsko polje priblino jehomogeno, a u blizini ivice procepa ono je zbog rasipnog magnetskog fluksa nehomogeno. Zbog to-ga je efektivna povrina preseka vazdunog procepa S0 uvek neto vea od povrine preseka S fero-magnetskih delova kola (tj. S0S), a izraz za Rm0 utoliko je taniji ukoliko je l0 manje u odnosu nadimenzije poprenog preseka procepa. Kako je =f(H)0, to je za razumne vrednosti l, l0, S i S0reluktansa feromagnetskog dela kola Rm obino zanemarljiva u odnosu na Rm0 (tj. RmRm0), pa je:

00

00

0

N IR

N I Slm .

Iz poslednje relacije vidi se da je veoma vano da seto jednostavnije obezbedito bolja pro-cena efektivne povrine vazdunog procepa S0. Za magnetska kola konstantne debljine i presekanajee korienog oblika (kruni, pravougaoni i kvadratni), na sl. 13b i 13c dati su izrazi premakojima se odreuje S0, a na sl. 13d i 13e izrazi za izraunavanje S0 u sluaju kada se debljine fero-magnetskih delova kola jako razlikuju.

S0

S

0

l0

l

N

I

ab

l0

D

l0

S a l b l0 0 0 ( ) ( ) S D l0 0 4 ( )2 /

(a) (b) (c)

C

ab

l0

S a l b l0 0 02 2 ( ) ( )

(d)

D

l0

S D l0 02 4 ( )2 /

(e)

Sl. 13

Documents

Elektromagnetizam 3