Elektromagnetizam 4.pdf

PREDAVANJE 9 (PROF. D. KANDIĆ, MAŠINSKI FAKULTET-BEOGRAD) 22

(b) Proračun magnetskih kola za probleme I vrste (za probleme II vrste videti u udžbeniku)

Kod ove grupe problema koji se najčešće sreću u praksi, za magnetska kola specificirane geo-metrije i krivih magnećenja materijala grana, unapred je poznata raspodela flukseva u odnosu na us-vojene referentne smerove grana. Za svaku granu srednje dužine lj i poprečnog preseka Sj prvo seizračuna indukcija Bj=j/Sj, a zatim se sa njene krive magnećenja odredi jačina magnetskog poljaHj. U vazdušnim procepima indukcija je B0=/S0 (0 je fluks, a S0 efektivna površina preseka pro-cepa), a jačina polja H0=B0/0. Za svaku granu zatim se izračuna magnetski napon Umj=Hjlj (j=0, 1,… ng) i na kraju se na odgovarajuće konture primeni IIKZM da bi se odredile sve potrebne mmsnamotaja.

Naravno, za svaku granu poznate karakteristike magnećenja, množenjem ordinata Bj sa veliči-nom poprečnog preseka Sj, a apscise Hj sa srednjom dužinom grane lj, mogu se generisati nelinearnefunkcije oblika j(Umj), gde je j fluks, a Umj magnetski napon grane usaglašen po smeru sa j.Odatle se za svaku granu sa poznatim fluksom j prvo grafički određuje magnetski napon Umj, azatim se iz IIKZM preko odgovarajućih kontura izračunaju redom i sve neophodne mms namotaja.Kako svaka od tih mms predstavlja proizvod struje i broja zavojaka namotaja, to jošpreostaje da sete dve veličine na pogodan način usvoje prema specificiranoj debljini žice namotaja, tako da se neprekorači određena maksimalna dozvoljena gustina struje u žici i da se namotaji mogu smestiti upredviđeni deo prostora. Kada u magnetskom kolu postoji i vazdušni procep sa fluksom 0 (širinaprocepa je l0, efektivna površine preseka S0, a magnetska otpornost Rm0), tada se magnetski naponprocepa Um0 odmah može odrediti iz relacije:

HB B S

S SU H l

lS

R00

0

0 0

0 0

0

0 00 0

0

0 00 0 0

m0 m .

Navedeni pristup u analizi magnetskih kola zasnovan na formiranju funkcija oblika j(Umj) (j=0, 1,… ng; ng-broj grana kola) ne koristi se kod magnetskih kola za rešavanje problema prve, većsàmodruge vrste. Međutim, danas generisanje funkcija jUmjiz eksperimentalnih tablica proizvođačai/ili sa krivih magnećenja B(H) ne predstavlja više dosadan i numerički zametan problem, pošto seono može efikasno automatizovati primenom korisničkih alata, kao što su npr. MicrocalTM OriginTM

(Microcal Software Inc.) i Table-Curve 2DTM (SPSS Science Inc).

Primer 1: Za prosto magnetsko kolo sa vazdušnim procepom (sl. 14a) odrediti mms tako daindukcija u vazdušnom procepu bude B0=0,2 T. Kriva magnećenja feromagnetskog materi-jala od kojeg je kolo načinjeno prikazana je na sl. 14b. Sve linearne dimenzije označene na sl.14a izražene su u cm.

I

N

a

b

cd

e

f

g

(a)

hi

41

2,9

2,9

1,5

1,5

3

1,5 1,52(b)

Sl. 14


Prema oznakama na sl. 14a imamo da je a=c=e=h=1,5/4 cm1,18 cm, b=3 [cm], d=i=2[cm], f=g=1,4 [cm] i l0=0,2 [cm]. Dužina srednje magnetske linije u jezgru magnetskog kola je l==4a+b+2d+2f 14,51 cm, a površina poprečnog preseka kola je S=1,510-4 m2. Efektivnapovršina vazdušnog procepa je prema sl. 13b S0=(1+0,2)(1,5+0,2)=2,04 m2, pa je magnetski flukskola 0=B0S0=0,4110-4 Wb. Magnetska indukcija u jezgru kola je B=/S 0,27 T, dok sesa krive magnećenja (sl. 14b) nalazi da toj indukciji odgovara jačina polja H 60 A/m. Magneto-motorna sila NI koja stvara fluks kola, dobija se iz Omovog zakona za prosto magnetsko kolo, akako je indukcija u vazdušnom procepu B0=0,2 T, to konačno sledi:

N I H l H l H lB

l 0 00

00 8 7 318 3 327

, , [A] .

Iz ovog rezultata vidimo da je, s obzirom na Hl=8,7 Ai H0l0=318,3 A(H H0), pri proračunubilo moguće zanemariti reluktansu feromagnetskog dela kola u odnosu na reluktansu procepa. To semože uvek učiniti kada vazdušni procep nije "sasvim mali".

Û U udžbeniku na str 437-446 mogu se naći i drugi primeri rešavanja problema prve i druge vrs-te kod magnetskih kola. Takođe, zainteresovani mogu tamo da nađu i materijal o magnetskimkolima stalnih (permanentnih) magneta.

5. Vremenski promenljivo električno i magnetsko polje. Elektromagnetska indukcija

Sva dosadašanja razmatranja odnosila su se uglavnom na vremenski konstantna električna imagnetska polja. Međutim, u inženjerskoj praksi, daleko su značajnija vremenski promenljiva elek-trična i magnetska polja zasnovana na pojavi elektromagnetske indukcije sa kojom smo se jošranijeupoznali (videti PREDAVANJE 6, str. 8-15). Bez elektromagnetske indukcije danas se ne bi ni mogaozamisliti rad čitavog niza uređaja od vitalnog značaja u savremenoj elektrotehnici i tehnici uopšte(obrtni električni generatori, indukcioni motori, električni transformatori, prijemne radio i TV ante-ne i slično). Videli smo i da je cirkulacija vektora elektrostatičkog polja po bilo kojoj (zamišljenoj)konturi ravna nuli. Međutim, kod provodnih kontura koje se kreću i/ili deformišu u magnetskompolju (a koje može biti i vremenski promenljivo), to nije slučaj indukovano električno polje u timkonturama stvara indukovane električne struje, čak i kada u konturama ne deluju nikakvi električnigeneratori. Magnetsko polje uvek je posledica neke električne struje, a indukovano električno poljeu nepokretnim sredinama posledica je vremenski promenljive električne struje. Da bi se razmatranjeograničilo na pojave bez prostiranja talasa, u daljem tekstu ćemo posmatrati sàmo kvazistacionar-na, ili sporo promenljiva električna i magnetska polja. Svi dobijeni rezultati za vremenski konstant-na električna i magnetska polja sa velikom tačnošću mogu se primeniti i na kvazistacionarna polja.

Kada se provodna orijentisana kontura C kreće i/ili deformiše u vremenski promenljivommagnetskom polju, u njoj se indukuje ems e (videti PREDAVANJE 6, relacija (*) na str. 15):

etS C

z zBS v B ld db g ,

gde je v brzina, B magnetska indukcija na mestu vektorskog elementa dl konture, a dS vektorskielement površi S oslonjene na konturu i orijentisane u smeru vezanom po pravilu desne zavojnice saorijentacijom konture. U velikom broju praktičnih slučajeva, elektromagnetska indukcija se koristina jedan od sledeća dva načina: (a) provodna kontura (ili neki njen deo) kreće se u stacionarnommagnetskom polju i (b) kontura je nepokretna, a indukovana ems u njoj nastaje zbog promene struje


u toj ili u nekoj drugoj konturi. U posebnom slučaju kada se pravolinijski provodnik dužine l trans-latorno kreće brzinom v kroz homogeno stacionarno magnetsko polje indukcije B, ems indukovanau provodniku računata u smeru l, određena je mešovitim vektorskim proizvodom e=l(v B).

CK

dL

idl r

r | |r

d iE0

i

Orijentacijakonture K

X

Sl.15

Pojava indukovane ems u konturi običnose posmatra fenomenološki i govori da je uz-rok te pojave promena magnetskog fluksa kon-ture (videti PREDAVANJE 6, relacija (#) na str.11). Međutim, pri tome se uvek ima u vidu da

je ta ems posledica pojave indukovanog elek-tričnog polja Ei u elementima konture. Štaviše,u primeru 2 na str. 14 PREDAVANJA 6, ekspli-citno je pokazan način kako se određuje indu-kovano električno polje pomoću kojeg je jedi-no i moguće objasniti nastanak razlike potenci-jala na krajevima otvorenog provodnika (tj.odsečka kvazilineične konture u vremenskipromenljivom magnetskom polju) za koji inačenije moguće definisati pojam magnetskogfluksa. Dakle, svaka električna struja stvaramagnetsko polje, a svako vremenski promenlji-vo magnetsko polje uvek je praćeno prostornoi vremenski promenljivim indukovanim elek-tričnim poljem tako da se može govoriti ojedinstvenom elektromagnetskom polju.

Prema generalisanom Faradejevom zakonu elektromagnetske indukcije za nepokretne sredine,za bilo koju provodnu ili zamišljenu konturu C i orijentisanu površS oslonjenu na nju je:

E lB

S EB

FHG

IKJz zd d

C S t tprema Stoksovoj teoremirot ,

gde je električno polje E u opštem slučaju zbir elektrostatičkog polja Es i indukovanog električnogpolja Ei. Indukovano polje može se u pojedinim tačkama prostora odrediti na sledeći način. Posma-trajmo kvazilineičnu nepokretnu konturu C sa kvazistacionarnom (sporo promenljivom) strujom i iproizvoljnu, provodnu ili zamišljenu nepokretnu konturu K (sl. 15). Pretpostavimo da u sistemu nepostoji elektrostatičko polje. Uvodeći pojam magnetskog vektor-potencijala strujnog elementa idlkonture C u proizvoljnoj tački X konture K, može se pokazati (videti u udžbeniku na str. 459-464)da su elementarno indukovano električno polje dEi i rezultantno polje Ei u tački X dati relacijama:

ddd

d dd

di iE

lE

l z

0 0

4 4it r

it rC

.

Dakle, kada u provodnoj konturi C postoji vremenski promenljiva struja, tada u njenoj okolini, po-red vremenski promenljivog magnetskog polja, nastaje i indukovano električno polje. Elementarnoindukovano električno polje dEi u tački X od strujnog elementa idl, prema prethodnoj relaciji koli-nearno je sa dl kada je di/dt 0, a antikolinearno sa dl kada je di/dt 0. Najvažnija osobina induko-vanog električnog polja jeste da je njegova cirkulacija po konturi različita od nule. Cirkulacija togpolja po provodnoj konturi zove se indukovana ems u toj konturi i ona je uzročnik struje u njoj.

Princip rada translatornog električnog motora: Krut, pokretan pravolinijski provodnik ma-se m, dužine l i otpornosti R, oslonjen je na dve vrlo duge, paralelne provodne šine i na sl.16a prikazan je u svom polaznom položaju. Ceo sistem se nalazi u homogenom magnetskompolju indukcije B upravne na ravanšina. Koeficijent trenjaizmeđu provodnika i šina je kon-stantan. Ako se u trenutku t=0 prekidačP zatvori, odrediti zanemarujući samoindukciju:


brzinu v=|v| pokretnog provodnika, ems e indukovanu u njemu i struju i, kao i intenzitet mag-netske sile Fem=|Fem|. Provodnik, naravno, kreće iz stanja mirovanja, a otpornost šina može sezanemariti u odnosu na termogenu otpornost R pokretnog provodnika.Podaci: m=300 [g], l=2 [m], =0,102, B=1,5 [T], E=+9 [V] i R=10 [].

v F, em

F

Fi

m R,

l

i e,B

BB

B

E

P

t=0

(a)

l

v

F

Fi

m R,

l

i e,B

BB

B

E

(b)

l

Fem

t=0P

Sl. 16

Kada se prekidačP zatvori u konturi koja obuhvata izvor i pokretni provodnik uspostavlja sevremenski promenljiva struja i=i(t), pri čemu je i(0)=E/R. Usled toga javlja se magnetska sila Fem==ilB koja deluje na pokretni provodnik, pa ovaj počinje da se ubrzano kreće, s obzirom da jeFem(0)=|Fem(0)|=i(0)lB=ElB/R F=mg (g=9,81 [m/s2] gravitaciono ubrzanje), a F|F|=mgintenzitet sile trenja F. Magnetska sila u posmatranom slučaju deluje kao vučna sila. Usled transla-tornog kretanja kroz magnetsko polje, u provodniku se indukuje ems e=l(vB)= -lvB 0 koja seračuna u usvojenom smeru orijentacije provodnika, tj. u odnosu na smer vektora l (l=|l|). Struja kolai i intenzitet magnetske sile određeni su sledećim relacijama:

em

( ),

E e E l v B l B E l v Bi F i l B

R R R

. (&)

Pored magnetske i sile trenja na provodnik deluje i inercijalna sila Fi=mdv/dt algebarskog intenzi-teta Fi=mdv/dt koja je u svakom trenutku u dinamičkoj ravnoteži sa prethodne dve sile, odnosno,Fem=Fi+ F(sl. 16a). Odatle sledi:

2d ( ) , (0) 0 [m/s]dv l B l B Ev g vt m R m R

,

nehomogena linearna diferencijalna jednačina prvog reda sa konstantnim koeficijentima po brziniv=v(t) provodnika. Njeno opšte rešenje dato je zbirom v=vh+vp, gde je vh rešenje homogenog dela, avp partikularan integral nehomogene jednačine:

v A A egraciona kons ta v El B

m g Rl B

l Bm R

t

h

-( )

p 2e ( ),( )

2

int tan .

S obzirom da je v(0)=A+vp=0, to je A= -vp, pa je za t 0 opšte rešenje diferencijalne jednačine:

v v tE

l Bm g Rl B

l Bm R

t t

LNM

OQP

( )( )

[ e ] (1-e ) [m / s]2

-( )

-3

2

1

83

.


Veličina T=(mR)/(lB)2=1/3 [s] zove se vremenska konstanta sistema. Iz prethodne relacije može seprimetiti da je {[v()-v(5T)]/v()}100=100e-5 0,7 %, tj. da se većposle vremena t1=5T=5/3 [s]dostignuta vrednost brzine provodnika razlikuje od asimptotske vrednosti v() za manje od 1 %.Odatle se zaključuje da je praktično većposle vremena 5T uspostavljeno stacionarno stanje sistema.Indukovana ems e= -lvB, struja kola i i intenzitet magnetske sile Fem za t 0 dati su relacijama:

e l v B E m g Rl B

l Bm R

t t

LNM

OQP

[ e ] (1- e ) [V]-( )

-3

2

1 8 ,

i E eR

m gl B

ER

m gl B

l Bm R

t t

FHG

IKJ

e (1 e ) [A]-( )

-3

2

110

8 ,

F i l B m gE l B

Rm g

l Bm R

t tem

-( )

-3e (1 e ) [N]2

FHG

IKJ

3

108 .

Na sl. 17 prikazane su vremenske varijacije funkcija v(t), e(t), 10i(t) i 10Fem(t)/3 u intervalu t[0, 3] [s]. S obzirom da je prema relaciji (&) Ei-Ri2= -ei=lvBi=(ilB)v=Femv, zaključuje se daje snaga koju ulaže električni izvor (=Ei), tj. brzina sa kojom on vrši rad, jednaka zbiru brzine sakojom se taj rad pretvara u toplotu (=Ri2) u pokretnom provodniku i brzine sa kojom se on troši nasavladavanje indukovane ems e (= -ei). Pošto je -ei=Femv, tada je brzina sa kojom izvor vrši radprotiv ems e jednaka brzini sa kojom magnetska sila vrši rad protiv sila inercije i trenja. Indukovanaems ovde se javlja kao posrednik preko kojeg se energija električnog izvora pretvara u mehaničkirad translatornog motora.

t [s]

0 0.4 0.8 1.2 1.6 2 2.4 2.8

-8

-6

-4

-2

0

2

4

6

8

v(t) [m/s]

10*i(t) [A], 10*Fem(t)/3 [N]

e(t) [V]

Sl. 17

Princip rada translatornog električnog generatora: Krut, pokretan pravolinijski provodnikmase m, dužine l i otpornosti R, oslonjen je na dve vrlo duge, paralelne provodne šine i na sl.16b prikazan je kako se kreće konstantnom brzinom v=v0 (preklopnik P je u gornjem položa-ju). Ceo sistem se nalazi u homogenom magnetskom polju indukcije B upravne na ravan šina.Koeficijent trenjaizmeđu provodnika i šina je konstantan. Ako se u trenutku t=0 preklopnikP prebaci u donji položaj, odrediti zanemarujući samoindukciju: brzinu v=|v| pokretnog pro-vodnika, ems e indukovanu u njemu i struju i, kao i intenzitet magnetske sile Fem=|Fem|. Otpor-nost šina može se zanemariti u odnosu na termogenu otpornost R provodnika.Podaci: m=300 [g], l=2 [m], v0=8/3 [m/s], =0,102, B=1,5 [T] i R=10 [].


Kod motornog dejstva sistema na sl. 16a uočava se da je e 0 i 0. Taj sistem je u stacio-narnom stanju isti kao i onaj na sl. 16b za t 0 kada je preklopnik P u gornjem položaju. Međutim,kada se taj preklopnik prebaci u donji položaj u trenutku t=0 (sl. 16b) tada je za t 0: e=lvB,i=e/R=lvB/R, Fem=ilB=v(lB)2/R, F=mg i Fi=mdv/dt. Jednačina dinamičke ravnoteže meha-ničkih sila za t 0 u ovom slučaju glasi:

F F F vt

l Bm R

v g v vi em

2dd

( ) , (0) [m / s]

0 830 .

Opšte rešenje prethodne nehomogene, linearne diferencijalne jednačine prvog reda sa konstantnimkoeficijentima po brzini provodnika v=v(t) dato je zbirom v=vh+vp, gde je vh rešenje homogenog de-la, a vp partikularan integral nehomogene jednačine:

v A A egraciona kons ta vm g Rl B

l Bm R

t

h

-( )

p 2e ( ),( )

2

int tan

.

Pošto je v(0)=v0=A+vp, to je A=v0-vp, pa je za t 0 opšte rešenje diferencijalne jednačine:

v v t vm g Rl B

m g Rl B

l Bm R

t t

LNM

OQP

( )( )

e( )

e [m / s]2

-( )

2-3

2

0

13

3

.

Indukovana ems e=lvB, struja kola i i intenzitet magnetske sile Fem za t 0 su:

e l v B l v B m g Rl B

m g Rl B

l Bm R

t t

LNM

OQP

0 1 9 e e [V]

-( )-3

2

ieR

l v BR

l v BR

m gl B

m gl B

l Bm R

t t

LNM

OQP

0 110

1 9

e ( e ) [A]-( )

-3

2

,

F i l B l BR

v l BR

v m g m gl Bm R

t tem

2 2 -( )-3( ) ( ) e ( e ) [N]

2

LNM

OQP

0

310

1 9 .

t [s]

0 0.2 0.4 0.6 0.80

2

4

6

8

3*v(t) [m/s]

e [V], 10*i(t) [A], 10*Fem(t)/3 [N]

to=732,41 [ms]

Sl. 18


Na sl. 18 prikazana je vremenska varijacija funkcija 3v(t), e(t), 10i(t) i 10Fem(t)/3 u intervalut [-0.1, 1] [s]. Kako u trenutku t0 732,41 msbrzina v provodnika postaje ravna nuli, takvi po-staju i ems e, struja kola i i magnetska sila Fem, pa se provodnik trajno zaustavlja. Pošto je u ovomslučaju ei=lvBi=(ilB)v=Femv, to je brzina sa kojom ems e vrši rad protiv elektrootporne sile utermogenom otporniku R, jednaka brzini sa kojom se taj rad u njemu pretvara u toplotu. Indukovanaems kod generatora posrednik je preko kojeg se energija mehaničkog kretanja pretvara u električnu.

Princip rada rotacionog električnog motora: Tanak, homogen metalni disk, poluprečnika a,mase m i zanemarljive električne otpornosti može da rotira oko ose OO' i nalazi se u homoge-nom magnetskom polju indukcije B upravne na ravan diska (sl. 19a). U početku se preklopnikP nalazi u neutralnom položaju (kao što je prikazano na slici), a disk miruje. Ako se u trenut-ku t=0 preklopnik prebaci iz neutralnog položaja u položaj 1, odrediti ugaonu brzinu emse indukovanu u disku i struju i, zanemarujući trenja, samoindukciju i sve električne otpornostiu kolu (osim R). Pretpostaviti i da motor nije mehanički opterećen. Ako se posle vremena t1==100 [s] preklopnik prebaci iz položaja 1 u položaj 2, odrediti, takođe, ugaonu brzinu diska.Podaci: m=450 [g], a=20 [cm], B=1,5 [T], E=+15 [V], E1=+30 [V] i R=1 [].

R

C

D i

a

B

dr

r,e

vEi

Tana

km

etalni

disk

OO'

P

(a)

emdF

1

2

E

E1

Sl. 19

Kada se preklopnik prebaci iz neutralnog položaja u položaj 1, u kolu se uspostavlja struja i,koja u disku postoji dužradijusa između kliznih kontakata C i D. Usled toga na radijalan element drdeluje magnetska sila dFem= -idrB intenziteta dFem=|dFem|=idrB, koja generiše elementaran me-hanički moment dMem=dFemr. Ukupan mehanički moment Mem koji pokreće disk, u svakom trenut-ku je u dinamičkoj ravnoteži sa inercijalnim momentom Jd/dt (J=ma2/2 je moment inercije diskau odnosu na osu OO'):

2

2 2

em 20

d d 2d , ,2 d 2 d

2

ai B a

i B a i B a i BM i B r r J

t t mm a

.

Istovremeno, u disku se javlja i indukovana ems e usled pojave indukovanog električnog poljaEi=vB=Br, pri čemu je, de=Eidr=Brdr=Brdr, dok je:

2 2

0

2d ,

2 2a B a E e E B a

e B r r iR R

.

U vremenskom intervalu t 0, t1iz prethodne dve relacije dobija se nehomogena, linearna dife-rencijalna jednačina prvog reda sa konstantnim koeficijentima po (t):

0

U

(b)OO'

B

a


2( )22 10

2

d ( ) rad 2 rad, (0) 0 ( ) 1 e 500 (1 e ) ,d 2 s s

B a tt

m RB a E B Ett m R m R B a

e E i tER

B am R

tt B a

m Rt

t

LNMM

OQPP

1 15 1 152 10 2 10e ( e ) [V], ( ) e e [A]

( ) ( )2 2

Na sl. 20 prikazane su vremenske varijacije funkcija (t)/25, e(t) i i(t) [A] za t 0, 100[s].

t [s]

0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 1000

5

10

15

20

e [V]

i [A]

/25 [rad/s]

Sl. 20

U ustaljenom stanju rada ovog motora u praznom hodu dobija se da je indukovana ems e praktičnojednaka ems izvora E, a struja i jednaka nuli. Generatorsko dejstvo sistema ima se u slučaju kada jepreklopnik u neutralnom položaju (što je ekvivalentno sa R ), a neki spoljašnji motor pokrećedisk, recimo, ugaonom brzinom 0 u istom smeru kao na sl. 19a. Tada se na osnovu prethodnih re-lacija dobija da je indukovana ems e jednaka naponu praznog hoda uDC

(), tj. e=uDC()=Ba2/2.

Ista rezultat dobija se za napon U na krajevima pravolinijskog metalnog štapa dužine a koji rotiraoko ose OO' u ravni crteža konstantnom ugaonom brzinom 0, u homogenom magnetskom poljuindukcije B upravne na ravan crteža (sl. 19b).

Pretpostavimo da se u trenutku t=t1 preklopnik P prebaci iz položaja 1 u položaj 2. Može seusvojiti da je tada (t1) 2E/(Ba2)=500 [rad/s], e(t1) E=15 [V] i i(t1) 0 [A]. Od tog trenutkasmerovi struje i, dFem i rezultantnog momenta Mem suprotni su od onih na sl. 19a. Magnetska sila imoment Mem sada kočiono deluju na kretanje diska, pa se može reći da motor radi u režimu kočenjakontra strujom. Primetimo da indukovana ems e zadržava smer od trenutka t=t1 do trenutka t=t2, ka-da brzina diska postaje ravna nuli. Za t [t1, t2] imamo:

M i B r ri B a

Jt

i B at

i B a

m ai Bm

a

em d ,dd

,dd

z0

2 2

2

22 22

2

e B r rB a

iE e

RE B a

R

a

z

d ,

0

21 1

2

22

20,


odakle se za t [ t1, t2] dobija nehomogena, linearna diferencijalna jednačina prvog reda sa kons-tantnim koeficijentima po (t):

21

1

d ( ) rad, ( ) 500

d 2 sE BB a

tt m R m R

( ) ( ) e erads

( ) ( )2

tE

B at

EB a

B am R

t t t

LNM

OQP L

NMOQP

2 21000 15001

2 11

22

100101

,

e E E EB am R

t t t

1 12

100101 30 45( ) e e [V]

( ) ( )2

,

i tE E

R

B am R

t t t

( ) e e [A]( ) ( )

2

1 2100

101 45

Na sl. 21 prikazane su vremenske varijacije funkcija (t)/25, e(t) i i(t) [A] za t 100, 180[s]. Izprethodnih relacija dobija se da je za t=t2 104,05 [s] brzina diska (t2)=0. Kada je t t2 disk rotirau smeru označenom na sl. 19a, a kada je t t2 disk rotira u suprotnom smeru.

t [s]

100 110 120 130 140 150 160 170 180

-40

-30

-20

-10

0

10

20

/25 [rad/s]

e [V]

i [A]

t2 104,055 [s]

Sl. 21

Princip rada generatora prostoperiodične ems. Posmatrajmo pravogaoni namotaj dimenzi-ja a b sa N gusto namotanih zavojaka u homogenom magnetskom polju indukcije B (B=|B|)(sl. 22a) koji rotira konstantnom ugaonom brzinom oko ose OO' (namotaj–rotor pokreće,recimo, neki motor sa unutrašnjim sagorevanjem). Odrediti struju i termogenog potrošačaotpornosti Rp, ako je otpornost namotaja R, a samoindukcija u njemu se može zanemariti.Otpornosti kliznih kontakata takođe se mogu zanemariti.

Ovaj jednostavan generator naizmenične struje obično se zove alternator i spada u najstarijetipove generatora. Kod savremenih generatora koji se danas sreću u praksi izvor magnetskog polja(induktor) obično se nalazi na rotoru, a ne na statoru mašine. Induktor je ili permanentni magnet,ili elektromagnet napajan vremenski konstantnom strujom preko dva kliznokolutna bakarna prstenaK1 i K2 i ugljenih dirki (četkica) D1 i D2. Masivan namotaj u kome se indukuju ems (indukt) običnoje nepokretan i smešten je na statoru da bi se izbegla mehanička rotacija velikih masa i velike struje


klizno-kolutnih prstenova, te tako sprečilo njihovo prebrzo trošenje. Osim toga, promenom intenzi-teta jednosmerne struje u induktoru mašine (rotor) vrlo efikasno je moguće menjati intenzitet mag-netske indukcije u induktu mašine (stator). Na sl. 22a prikazan je rotor u uočenom početnom polo-žaju (t=0) kada je (B, S)=[S je vektor površine jednog pravougaonog zavojka; S=|S|=ab]. Kadaje t 0 imamo da je(B, S)=t+, pa su ukupan magnetski fluks i indukovana ems e namotaja,kao i struja i kola dati sledećim relacijama:

0 cos ( ) cos( ) cos( )N N NBS , NBS t NabB t B S B S ,

et

NabB t E t E t i eR R

dd

sin( ) sin( ) sin( ),maxp

2 ,

gde je 0 fluks po jednom zavojku, Emax=NabB amplituda, a E=Emax/ 2 efektivna vrednost indu-kovane prostoperiodične ems e. Veličina t+zove se faza, a početna faza ili početni fazni stavindukovane ems e. Zanemarujući induktivnost namotaja, struja kola može se predstaviti u obliku:

ie

R RNabB

R Rt I t I t

p pmaxsin( ) sin( ) sin( )

2 ,

gde je =Imax=NabB/(R+Rp) amplituda, a I=Imax/ 2 efektivna vrednost prostoperiodične strujei. Veličina t+zove se faza, a početna faza ili početni fazni stav struje i. Pošto indukovanaems e i struja i imaju iste kružne frekvencije i iste početne faze (=, to se za njih kaže da su ufazi. U datom slučaju električna kružna frekvencija, koja se obično označava sa , jednaka je meha-ničkoj kružnoj frekvenciji (tj. =, što je posledica činjenice da posmatrani alternator ima samojedan par polova (p=1). Kod mašina sa p 1 pari polova električna kružna frekvencija , a time isvi električni uglovi (tj. faze), p puta su veći od mehaničkih, usled čega je =pbjašnjenje na-stanka poslednje relacije izlazi iz okvira ovog razmatranja i za sada će biti izostavljeno.

ab

N,RO

O't=0

S

B

D2

D1

K2

K1

Rp

(a)

i

e

ab

N,R

O

O't=0

S

B

D2

D1

K2

K1

Rp

(b)i

eB0

u e( ) | |

Sl. 22

Princip rada generatora jednosmerne ems. Posmatrajmo pravogaoni namotaj dimenzija ab sa N gusto namotanih zavojaka u homogenom magnetskom polju indukcije B (B=|B|) (sl.22b), koji rotira konstantnom ugaonom brzinom oko ose OO'. Odrediti napon praznog ho-da u() generatora i struju i termogenog potrošača otpornosti Rp, ako je otpornost namotajaR, a samoindukcija u njemu može se zanemariti. Otpornosti kliznih kontakata, takođe se moguzanemariti.


Generator jednosmerne, mada ne i vremenski konstantne ems, dobija se neznatnom modifika-cijom generatora prostoperiodične ems. Kod njega su krajevi namotaja, umesto za klizno-kolutneprstenove, vezani za lamele (ili kriške) K1 i K2 od hladno vučenog bakra, koje se dobijaju preseca-njem jednog klizno-kolutnog prstena dužnjegove ose. Lamele su nalepljene na izolacioni cilindar inisu galvanski povezane. "Uređaj" koji obrazuju lamele zove se komutator i on predstavlja meha-nički ispravljačems indukovanih u namotaju rotora. Na komutator se oslanjaju i dve ugljene dirkeD1 i D2 . Ako se indukt generatora (to je ovde rotor) u trenutku t=0 nalazi u položaju prikazanom nasl. 22b, tada je za t 0, dirka D1 u kontaktu sa lamelom K1, a dirka D2 u kontaktu sa lamelomK2, pa su fluks namotaja , indukovana ems e u njemu i napon praznog hoda generatora u() datisledećim relacijama:

cos ( ) cos( ) cos( )N NBS , NBS t NabB t B S B S ,

et

NabB t E t E t u e dd

sin( ) sin( ) sin( ) > 0,max( )

2 .

U slučaju kada je t , 2, dirka D1 je u kontaktu sa lamelom K2, dok je dirka D2 u kontaktu salamelom K1, pa su fluks namotaja , indukovana ems e u njemu i napon praznog hoda generatorau() dati relacijama (videti sl. 22b):

cos ( ) cos( ) cos( )N NBS , NBS t NabB t B S B S ,

et

NabB t E t E t u e dd

sin( ) sin( ) sin( ) < 0,max( )

2 ,

što znači da je napon praznog hoda generatora u()=|e|=Emax|sin(t)|, jednosmerna (mada ne i vre-menski konstantna) "ispravljena sinusoida". Taj napon se, inače, zove pulsirajući. Struja i kola tadase dobija na osnovu Tevenenove teoreme, pošto se samoindukcija u namotaju zanemaruje:

iu

R Re

R RNabB

R Rt I t I t

( )

p p pmaxsin( )| sin( )| sin( )|

| || | |

2 ,

Sl. 23


S obzirom da je talasnost napona praznog hoda Emax|sin(t)| prilično velika (sl. 23), to se ucilju njenog smanjenja u indukt postavlja više namotaja (na primer n). Krajevi jednog namotaja ve-zuju se za dijametralno suprotne lamele komutatora, čiji je ukupan broj sada 2n. U ovom slučajudirke se postavljaju tako da su uvek u kontaktu sa onim namotajem u kojem se trenutno indukujemaksimalna ems. Napon praznog hoda između dirki tada je, ne samo jednosmeran, veći praktičnokonstantan, a njegova talasnost mnogo manje je izražena ukoliko je n veće.

Na sl. 23 (talasasta funkcija u šrafiranoj zoni) prikazan je normalizovani napon praznog hodau()/Emax generatora sa tri jednaka rotorska namotaja (n=3), međusobno postavljena pod uglovimaod po 120o u kojima se indukuju ems, Emaxsin(t), Emaxsin(t-2/3) i Emaxsin(t-4/3).

Ovde se mora primetiti da se obično u praksi samoindukcija u namotajima ne može zanemari-ti. Usled toga, pri prelasku dirki sa jednog para lamela na drugi dolazi do relativno naglog prekida-nja struje namotaja, koji uvek imaju pretežno induktivan karakter. Ta pojava zove se neregularnakomutacija i za posledicu ima varničenje na komutatoru. Nažalost, problem varničenja nije mogućeizbeći, ali se on kod kolektorskih mašina može ublažiti određenim konstrukcionim postupcima (npr.dodavanjem namotaja pomoćnih polova na statore mašina snage veće od 1 [kW]).

6. Vrtložne struje

Kada vremenski promenljivo magnetsko polje postoji u masivnim metalnim provodnicimakao što su, na primer, feromagnetska jezgra transformatora i prigušnica i magnetska kola električnihmašina, onda se u njima indukuje promenljivo električno polje koje proizvodi vihorne, vrtložne iliFukoove struječije se strujnice zahvataju sa linijama magnetskog polja kao beočizi na lancu.Vrtlož-ne struje utoliko su većeg intenziteta ukoliko su provodnici bolji. U mnogim slučajevima pojava tihstruja dvostruko je štetna: (a) pošto su feromagnetici koji se koriste za izradu jezgara magnetskihkola obično dobri provodnici, to se u njima indukuju vrtložne struje velikog intenziteta koje usledDžulovog efekta proizvode neželjeno zagrevanje tih delova mašina i uređaja i tako dovode do nepo-trebnih energijskih gubitaka i (b) sopstveno magnetsko polje vrtložnih struja superponira se na pri-marno polje, pa se po Lencovom zakonu smanjuje ukupan fluks magnetskog kola, a osim toga on sei neravnomerno raspodeljuje po preseku kola. To je ilustrovano na sl. 24a, gde je prikazan presekjednog feromagnetskog jezgra sa vremenski promenljivim primarnim magnetskim poljem indukcijeB. Označena je i referentna orijentacija strujnica u preseku jezgra. Pošto je magnetsko polje induko-vanih struja najveće u sredini jezgra, tu je najveće i slabljenje primarnog fluksa. Zbog toga je rezul-tantna magnetska indukcija najveća uz graničnu površjezgra i opada prema njegovoj unutrašnjosti.

(a) (b)a

b

c

B

B

Referentni smer vrtlo`nih struja

Sl. 24


Da bi se pomenuti neželjeni efekti u jezgrima magnetskih kola sveli na što manju meru(Džulovi gubici i neravnomernost raspodele fluksa po preseku), jezgra se izrađuju od tankih i među-sobno lakovima ili oksidima izolovanih feromagnetskih limova (sl. 24b), debljine najčešće c=0,35 i0,5 mm. Limovi su legirani sa nekoliko procenata silicijuma da bi se smanjila njihova specifičnaelektrična provodnost. Osim toga, limovi se postavljaju tako da linije magnetskog polja budu para-lelne njihovoj većoj površi, a nikako da budu upravne na nju. Kod vrlo visokih frekvencija u radio-tehnici, ni lamelirana jezgra više ne mogu umanjiti neželjene efekte, pa se tamo koriste jezgra odpresovanog feromagnetskog praha sa međusobno izolovanim zrncima, a danas se najčešće koristeferiti. Feriti imaju dosta malu specifičnu provodnost, tako da se feritna jezgra ne moraju lamelirati.

I pored toga što su vrtložne struje uglavnom nepoželjne, ipak, u praksi ima nekoliko primeragde su one korisne: (a) u elektrotermiji, a naročito kod indukcionih peći u metalurgiji za zagrevanjei topljenje metala i (b) kod analognih indukcionih brojila utrošene električne energije za kočenjealuminijumskog pogonskog točka koji rotira između polova ekscentrično postavljenog permanent-nog magneta.

Sada ćemo odrediti srednju snagu gubi-taka u tankom limu (a, b c) pretpostavljaju-ći da je intenzitet prostoperiodične magnetskeindukcije B=Bmcos(t) praktično konstantanpo preseku lima površine ac (sl. 25). U ovomslučaju indukovane strujnice praktično suparalelne x-osi, pa indukovano polje ima samox-komponentu J(y, t)/(-specifična provod-nost lima) gde je J(y, t)=|J|-intenzitet vektoragustine vrtložnih struja, koji zbog simetrijezadovoljava relaciju sledeću J(y, t)=J(-y, t).

x

y

a

L

c

1 2

34 BE J l, ,d

Sl. 25

Prema Faradejevom zakonu elektromagnetske indukcije za konturu 1234 imamo:

m m12341 12341

( ) dd d 2 2 cos( ) ( ) sin( )d

J J y,tl L L y B t J y,t y B tt

J l .

Kako je zapreminska gustina snage Džulovih gubitaka dpJ/dV=J2/=y22Bm2sin2(t), a zanema-

rujući efekat krajeva, dobija se konačan izraz za trenutnu vrednost snage Džulovih gubitaka u limu:

ppV

ab y ab B t y yc

ab B tc

c

c

c

JJ

m2 2

m2 2d

dd sin ( ) d sin ( ) FHG

IKJ

z z/

/

/

/

2

22 2

2

2 322

3 2 .

Najveći značaj u praksi ima srednja snaga Džulovih gubitaka u limu u toku jedne periode T=2/.Ta snaga je:

PT

p t c ab BT

t t abc B c f B VT T

J J m2 2

m2

m2d sin ( ) d FHG IKJ

z z1 2

3 21

24 60

32

0

32

2 22

,

P k f B V kc

v vJ m2 ; :

22 2

6

V=abc je zapremina, a -specifična otpornost lima.

Odavde sledi da Džulovi gubici opadaju sa porastom i smanjenjem debljine lima c. Ako se umes-to lima debljine 0,5 [mm] upotrebi lim debljine 0,35 [mm], tada je pri svim istim ostalim uslovimasnaga gubitaka usled vrtložnih struja praktično dvostruko manja nego kod lima debljine 0,5 [mm].


7. Medjusobna induktivnost i sopstvena induktivnost (samoinduktivnost)

(a) Međusobna induktivnost dve tanke provodne konture

Posmatrajmo dve tanke i nepokretne provodne konture C1 i C2 u vazduhu (sl. 26a) u kojimapostoje vremenski promenljive struje i1(t) i i2(t), respektivno. Svaka od njih u okolnom prostorustvara vremenski promenljivo magnetsko i električno polje. Strujni element i1dl1 konture C1 stvarana mestu strujnog elementa i2dl2 konture C2 električno polje dEi1, a strujni element i2dl2 konture C2

stvara na mestu strujnog elementa i1dl1 konture C1 električno polje dEi2 pri čemu su ta elementarnapolja određena sledećim relacijama (videti str. 24, ibid.):

ddd

dd

dd

di1 i2E

lE

l

0 1 1 0 2 2

4 4it r

it r

.

Ukupna ovako indukovana polja na mestima strujnih elemenata i2dl2 i i1dl1, respektivno su:

E l E li1 i2

dd

d dd

d z z

0 1 1 0 2 2

4 41 2

it r

it rC C

.

Indukovane ems e12(t) i e21(t) u konturama C2 i C1, respektivno su:

e t it r r

itC CC CC

120 1 1 0 1 1

2 12 124 4

( ) d dd

d d d d ddi1 2 2

2 FHG

IKJ F

HGIKJz zz zzE l l l l l

,

(*)

e tit r r

itC CC CC

210 2 2 0 1 2

1 21 214 4

( ) ddd

dd

d d ddi2 1 1

2 FHG

IKJ

FHG

IKJ z zz zzE l

ll

l l

.

0

i t2 ( )

i t1( ) C2

C1

B 0

i t1( )

i t2 ( )

d 2ld 1l

r

r | |r

(a) (b)

rd 1l

d 2l

l2

l1

Sl. 26

Premda je pravi uzrok nastanka indukovanih ems u konturama indukovano električno polje unjima, za konture se, ipak, ne kaže da su električno, većmagnetski spregnute (preko magnetskogfluksa). Kada između kontura, pored magnetske, postoji i provodna sprega, za konture se tada kažeda su spregnute i magnetski i električno (odnosno galvanski).

Sa druge strane, pošto je sredina u kojoj se konture nalaze linearna u magnetskom pogledu (sl.26), to je prema Bio-Savarovom zakonu indukcija svake od njih proporcionalna struji konture. Bio-Savarov zakon u svim slučajevima u praksi daje: (1) tačne rezultate, kada su struje kontura vremen-ski konstantne, (2) približne, ali zadovoljavajuće rezultate, kada su struje kontura sporo, pa čak ibrzo promenljive. Međutim, Bio-Savarov zakon ne daje korektne rezultate jedino u slučaju kada su


struje kontura ekstremno brzo promenljive, pošto se tada moraju uzeti u obzir i pojave vezane zaprostiranje polja. Dakle, kada se dve tanke, provodne konture C1 i C2 nađu u magnetski linearnojsredini i pretpostavi se da važi Bio-Savarov zakon tada su fluks 12 magnetskog polja strujekonture C1 kroz konturu C2 i fluks 21 magnetskog polja struje konture C2 kroz konturu C1 datisledećim relacijama:

12 12 21 21; L I L i L I L i12 1 12 1 21 2 21 2 gde se koeficijenti proporcionalnosti L12 i L21, koji zavise od magnetskih osobina sredine (),veličine, oblika i položaja kontura, zovu međusobne induktivnosti kontura. Primetimo i da te induk-tivnosti mogu biti pozitivne ili negativne, što nema neki određen fizički smisao, većje to posledicaodnosa usvojenih orijentacija kontura. Na primer, za konture na sl. 26a međusobna induktivnost jepozitivna, a promenom orijentacije sàmo jedne od njih ta induktivnost postaje negativna. Jedinicaza međusobnu induktivnost (a videćemo docnije i za sopstvenu induktivnost) je Henri [H] {[H] (=)[Wb]/[A]} i dobila je naziv po američkom fizičaru Džozefu Henriju Joseph Henry (1797-1878).Kao pomoćne jedinice za induktivnost u praksi se najčešće koriste mH, Hi nH. Iz Faradeje-vog zakona elektromagnetske indukcije i relacija (*) i (**) sledi:

2 1 2 1

0 012 1 1 2 1 1 212 12 12

d d d d d d dd d 4 d 4C C C C

i ie L L

t t r t r

l l l l ,

1 2 1 2

0 021 2 1 2 2 1 221 21 21

d d d d d d dd d 4 d 4C C C C

i ie L L

t t r t r

l l l l ,

što dokazuje da između međusobnih induktivnosti bilo koje dve tanke konture u linearnoj sredinipostoji sledeća fundamentalna veza:

L LrCC

12 210 1

421

zz

d d 2l l Nojmanov obrazac za konture. (***)

Primena Nojmanovog obrasca u većini slučajeva skopčana je sa numeričkim poteškoćama i zahtevaprimenu računara. Integrali oblika (***) svode se na poznate funkcije sàmo u posebnim slučajevi-ma. Rezultati za dve konture mogu se generalisati i na bilo koji sistem od n nepokretnih, tankih,induktivno spregnutih kontura C1, C2, ... Cn koje se nalaze u magnetski linearnoj sredini i varijaciječijih struja nisu ekstremno brze. Međutim, u praksi, međusobna induktivnost Lik kontura Ci i Ck

( )i k n, ,1 najčešće se određuje preko relacije (**) generalisane na sistem od n 2 strujnih kontura:

LIik

ik

i

Struje svih kontura, osim i-te, ravne su nuli,

(2) LIki

ki

k

Struje svih kontura, osim k-te, ravne su nuli,

(3) L Lik ki ,

gde je ik fluks magnetskog polja struje i-te konture kroz k-tu, a ki fluks magnetskog polja strujek-te konture kroz i-tu konturu. Koja će se od relacija (1) ili (2) koristiti za određivanje međusobneinduktivnosti to zavisi od konkretnog oblika i međusobnog položaja kontura. Ima mnogo slučajeva


gde se ta induktivnost lako može odrediti sàmo preko jedne od relacija (1) ili (2), dok je preko onedruge to često čak i nemoguće. Pošto je Lik=Lki ( ) i k n, ,1 , ta induktivnost se uvek određuje napogodniji od moguća dva načina, što će biti pokazano u sledećem primeru koji ilustruje princip radaelektričnog mernog transformatora.

(1)

(2)

h

N1

N 2

r

e t210 ( )

i t2 ( ) L12 0

i t1( )

(a)

u U10

10,

V

h

ab

O

O1(b)

x x+dxx-osa

0

+ B1

dS1

Orijentacija kontura (1) i (2)odredjena je referentnim

smerovima njihovih struja

d |d dS h x1 1 S |

Sl. 27

Princip rada mernog transformatora-Posmatrajmo feromagnetsko torusno jezgro na sl.27a sa N1 ravnomerno i gusto namotanih zavojaka. Kroz jezgro je N2 puta provučen provod-nik (2) proizvoljnog oblika i položaja u odnosu na jezgro. Ako u tom provodniku postojiprostoperodična struja i2(t)= 2 I2cos(2ft), pokazati da se na osnovu izmerene efektivnevrednosti napona praznog hoda U1

0 na krajevima torusnog namotaja (1) može odrediti efek-tivna vrednost struje I2 u provodniku (2).Podaci: U1

0=75 [V], N1=2500, N2=2, f=50 Hz, a=10 [cm], b=12 [cm], h=4 [cm] i r=960.

Ako efektivna vrednost I struje i2 nije mnogo velika, tada ni okolno magnetsko polje neće bitivelikog intenziteta, pa se može pretpostaviti da je posmatrani sistem linearan, odnosno da se torusnojezgro magnetiše u linearnom delu karakteristike magnećenja, tako da je njegova magnetska perme-abilnost =r a (početna magnetska permeabilnost). Ako se pretpostavi da je voltmetar za na-izmeničan napon idealan, odnosno da je njegova impedansa beskonačna, tada torusni namotaj (1)radi u praznom hodu (i1=0), a napon na njegovim krajevima je u1

0=e210(t)= -d21(t)/dt=-L21di2(t)/dt

=L21 2 I2sin(t)= 2 U10sin(t), gde je =2f. Odavde sledi da je efektivna vrednost struje pro-

vodnika (2) I2=U10/(L21). Dakle, pomoću električnog mernog transformatora moguće je posredno

izmeriti efektivnu vrednost struje provodnika (2), mereći efektivnu vrednost indukovanog prosto-periodičnog napona praznog hoda na krajevima namotaja (1). Lako je videti da međusobnu induk-tivnost L12=L21 praktično nije moguće odrediti kao količnik i21 je fluks magnetskog poljastruje i2 kroz konturu namotaja (1), ali da se ona može lako odrediti kao količnik i, gde je i1pobudna struja namotaja (1) sa usvojenim referentnim smerom kao na sl. 27a i to u slučaju kadaje kontura (2) prekinuta . Očigledno da je tada: (a)N20 (0-magnetski fluks po jednom zavoj-ku torusa, ili fluks kroz poprečni presek torusa) i (b) L12 0 zbog načina zahvatanja kontura (1) i(2) i njihovih orijentacija (tj. odnosa referentnih smerova struja). Magnetski fluks kod ravnomerno igusto namotanog torusa koncentrisan je u njegovoj unutrašnjosti, tako da nema magnetskog rasipa-nja. Na osnovu Amperovog zakona, sa sl. 27b dobija se:

HN i

xB H

N ix

N11 1

1 0 10 1 1

1 2 2 1 12 2

z z

, , d dr

r12 B S B S

Po bilo kojoj povr{i kojase oslanja na konturu

provodnika (2)

Po popre~ nompreseku torusa


FHG IKJz zN B S N N i h xx

N N i h baa

b

2 1 10 1 2 1 0 1 2 1

2 2d d lnr r

Po popre~ nompreseku torusa

00 r 1 212 1

12 21 21 12

ln 7 [mH], 34 [A]2 2N N h Ub

L L Ii a f L

gde je H1-jačina magnetskog polja, a B1-magnetska indukcija u torusu. Kada se strujni provodnik(2) zahvata sa torusom na običan način (N2=1), međusobna induktivnost tog provodnika i torusa jeL12=L21= rN1hln(b/a)/(2)=3,5 [mH], pri čemu stoji znak "+" ili "-" u zavisnosti od nači-na namotavanja torusa i odnosa referentnih smerova struja u provodnicima.

Na sl. 27a može se zapaziti da je veza između torusnog namotaja i voltmetra ostvarena prekobifilarnog upredenog voda, čime se na najmanju moguću meru svodi uticaj indukovanih električnihpolja i ems u provodnicima za povezivanje na tačnost merenja. Umesto upredenog voda često se ko-risti i običan bifilarni vod sa blisko postavljenim izolovanim provodnicima. U oba slučaja redukujese uticaj provodnika za povezivanje na sopstvenu induktivnost električne merne konture.

Međusobna induktivnost torusnih namotaja - Na torusno jezgro kružnog poprečnog prese-ka prvo je ravnomerno i gusto namotano N1 zavojaka, a zatim je preko njih, takođe ravnomer-no i gusto, namotano jošN2 zavojaka (sl. 28a). Odrediti međusobnu induktivnost L12 tih na-motaja. Kolika je međusobna induktivnost namotaja na sl. 28b ? Da li je uopšte značajno danamotaj N2 bude ravnomerno i gusto motan ?Podaci: N1=1000, N2=2000, a=10 [cm], b=12 [cm] i r 1.

(a) (b)

a

b

a

b

{ { { {r 1

N1 N1N2 N2

Sl. 28

Lako se pokazuje (videti PREDAVANJE 8, II deo, str. 29) da je međusobna induktivnost namota-ja na sl. 28a data relacijom:

L LN N

b a12 210 1 2

2

2114

d i , [mH] ,

a ako se za izračunavanje koristi približan izraz (videti PREDAVANJE 8, II deo, str. 29), ponovo sedobija,

L L N N b ab a12 21

0 1 2

2

4114

b g( )

[mH], .


Zbog načina namotavanja žice i odnosa usvojenih smerova orijentacije provodnika, međusob-na induktivnost namotaja u slučaju prikazanom na sl. 28b je:

L LN N

b a12 210 1 2 2

2114

d i , [mH] .

U oba slučaja prikazana na sl. 28a i 28b nije značajno da namotaj sa N2 navojaka bude ravnomerno igusto namotan, većto može biti bilo kakav tanak provodnik koji se N2 puta zahvata sa torusom.

Takođe, pogledati i problem određivanja međusobne induktivnosti L12 u Primeru 7 (PREDA-VANJA 8, II deo, str. 21-22).

(b) Sopstvena induktivnost (samoinduktivnost) tanke provodne konture

Posmatrajmo sada tanku, usamljenu provodnu konturu K u vazduhu sa vremenski promenlji-vom strujom i(t) (sl. 29a). U okolini konture postoji vremenski promenljivo magnetsko i indukova-no električno polje. To električno polje dužkonture K generiše ems e koja se zove ems samoinduk-cije, a sâma njena pojava naziva se samoindukcija. Pretpostavimo u prvom trenutku da je kontura Kbeskonačno tanka. Magnetsko polje koje stvara struja konture i(t) generiše i sopstveni magnetskifluks kroz konturu proporcionalan struji i(t), pošto je kontura u magnetski linearnoj sredini. Dak-le, u linearnoj sredini je =Li(t), gde se konstantan koeficijent proporcionalnosti L > 0, koji zavisiod veličine i oblika konture, kao i magnetskih osobina sredine () zove sopstvena induktivnost,samoinduktivnost, ili prosto induktivnost konture K. Ems indukovana u konturi prema Faradejevomzakonu određena je relacijom e= -d/dt= -Ldi/dt. Relacije =Li(t) i e= -Ldi/dt važe kada je strujai(t) vremenski konstantna (=I), ali i vremenski čak brzo promenljiva (mada ne i ekstremno brzo).Zbog toga se induktivnost konture obično određuje iz relacije L=I, gde je I vremenski konstantnastruja, a sopstveni magnetski fluks konture. Ipak, jednu realnu fizičku konturu, pa ma koliko bilatanka, ne možemo smatrati beskonačno tankom iz sledećeg razloga. Induktivnost L beskonačno tan-ke strujne konture može se računati, takođe po Nojmanovom obrascu (str. 36, ibid.) kao da su u pi-tanju dve identične strujne konture dovedene do poklapanja. Međutim, za L se tada dobija besko-načno velika vrednost (koju jedna realna fizička veličina nikada ne može dostići), pa se zato morapretpostaviti konačna debljina konture K (ma koliko ona bila mala), a zatim je potrebno: (a) usvojitizamišljenu konturu C sa strujom i(t) tako da se C poklapa sa osom provodnika K i (b) usvojiti kon-turu C' tako da leži na površi provodnika K i orijentisana je kao i C (sl. 29a) i (c) izračunati tzv. spo-ljašnju induktivnost Ls provodnika K po Nojmanovom obrascu za tanke provodne konture C i C':

0s

d d > 0 ( )4 C C'

'L r | |r

l l r .

Dobijeni izraz zove se Nojmanov obrazac za spoljašnju samoinduktivnost tanke provodne kontureK. Primetimo da se kontura C' nalazi na površi provodnika K, a da induktivnost Ls nosi naziv spo-ljašnja, jer se određuje preko magnetskog fluksa kroz konturu C'. Način na koji se dobija spoljašnjainduktivnost Ls provodnika uzima u obzir samo magnetsko polje izvan njega, ali ne i polje unutarprovodnika koje, takođe, daje svoj doprinos ukupnoj samoinduktivnosti provodnika. Deo te induk-tivnosti koji potiče od magnetskog polja unutar provodnika zove se unutrašnja samoinduktivnostprovodnika. Ona se ne može definisati preko magnetskog fluksa kroz pogodno odabranu konturu uprovodniku, jer ne postoji jasan metod selekcije te konture posebno kod debelih provodnika, tj.masivnih strujnih kontura. Nešto docnije videćemo i da se unutrašnja samoinduktivnost provodnikamože jednostavno odrediti preko energije magnetskog polja u tom provodniku. Na osnovu toga seukupna samoinduktivnost provodnika određuje kao zbir unutrašnje i spoljašnje samoinduktivnosti.


0

i t( )

C

(a) (b)

rdl

dl'

0 x x+dx D

2a

x-osa

2ab

0

I

IB1

B2

dS

(1) (2)

C'

Tanka provodnakontura K

M N

PQ

Sl. 29

Koristeći prethodno pomenut energijski koncept može se pokazati da je za dve strujne konture(1) i (2) sa sopstvenim induktivnostima L11 i L22, respektivno, i međusobnom induktivnošću L12,moguće definisati koeficijent sprege :

| |LL L

12

11 22

[0, 1] ,

koji je uvek manji od jedinice, osim u slučaju savršene sprege kontura, kada je ravan jedinici. Kon-ture su savršeno spregnute kada su im jednaki fluksevi (a rasipni magnetski fluks, dakle, ne postoji).

Primer 2: Odrediti podužnu spoljašnju induktivnost Ls' dugog i tankog, dvožičnog vazdušnogvoda na sl. 29b, kod koga je D=1 [m] i a=5 [mm] (Da). Zanemariti efekat krajeva.

Spoljašnja induktivnost pravolinijske sekcije voda dužine b može se odrediti preko magnet-skog fluksa pravougaonika MNPQ, formiranog od sekcija MQ i NP dužine b unutrašnjih izvodni-ca cilindričnih provodnika (1) i (2) na sl. 29b. Pravac i smer vektora indukcije B1 i B2 magnetskihpolja provodnika (1) i (2) dužšrafirane trakaste površi elementarne širine dx i dužine b, prikazan jena sl. 29b. Pri tome su intenziteti tih vektora B1=|B1| i B2=|B2|, elementaran magnetski fluks dkrozšrafiranu površi ukupan magnetski fluks kroz površMNPQ određeni sledećim relacijama:

B Ix

B ID x

I bx D x

x10

20 0

2 2 21 1

FHG IKJ

,( )

, d d ,

FHG

IKJ

FHG

IKJ

FHG

IKJ

z

0 0 0

21 1

2I b

x D xx

I b xD x

I b D aaa

D a

a

D a

d ln ln

Iz prethodne relacije odmah se dobijaju spoljašnja induktivnost Ls sekcije voda dužine b i nje-gova podužna spoljašnja induktivnost Ls':

0 0 0s sln , ln ln 2 12 [ H/m]

b D a D a DL L ' ,I a a a

.


Primer 3: Odrediti podužnu spoljašnju induktivnost Ls' dugog koaksijalnog vazdušnog vodakod koga je R2/R1=e (sl. 30). Zanemariti efekat krajeva.

Elementaran magnetski fluks dkroz elementarnu trakastu površdužine b i debljine dr, uku-pan fluks kroz šrafiranu površiste dužine i debljine R2-R1, spoljašnja induktivnost Ls odsečka vo-da dužine b i njegova podužna spoljašnja induktivnost Ls' dati su sledećim relacijama:

0 0 dd d d d

2 2I I b r

B S b r ,r r

B S

2

1

0 0 2

1

d ln2 2

R

R

I b I b Rrr R

,

0 2s

1

ln ,2

b RL

I R

0 2s

1

ln 0 2 [ H/m]2

RL ' ,

R

.

b

B

dS

0 R2

R1

dr

I

Ir

d d dS b r | |S

Sl. 30

Û Sopstvena induktivnost torusnog namotaja – Kada je na torusno jezgro pravougaonog ilikružnog poprečnog preseka prvo ravnomerno i gusto namotano N1 zavojaka, a zatim je prekonjih, takođe ravnomerno i gusto namotano jošN2 zavojaka tada su sopstvene induktivnostiL11 i L22 namotaja sa N1 i N2 zavojaka, respektivno, kao iL12|=|L21 | dati sledećim relacijama:

Za torus kružnog poprečnog preseka (videti PREDAVANJE 8, II deo, str. 29),

2 22 2 2

0 1 0 2 0 r 1 211 22 12 212 2 2

N N N NL b a , L b a , L L b a .

Za torus pravougaonog poprečnog preseka (videti PREDAVANJE 8, II deo, str. 29, b > a),

2 20 r 1 0 r 2 0 r 1 2

11 22 12 21ln ln ln ;2 2 2

N h N h N N hb b bL , L , L L

a a a

U oba posmatrana slučaja imamo da je koeficijent sprege namotaja:

12

11 22

=1| L |L L

,

što znači da je sprega savršena. U slučaju kada zavojci nisu namotani ravnomerno i gusto, tada nisprega namotaja više nije savršena, pa je 0 < 1.

Električni transformatori u suštini predstavljaju induktivno spregnuta kola, odnosno induktiv-no spregnute kalemove sa vazdušnim, a najčešće sa feromagnetskim, ili feritnim jezgrom.

Na sl. 31 prikazane su neke praktične realizacije kalemova i transformatora.


Neke vrste malih električnih transformatora

Sl. 31

Višeslojnikalem

promenljiveinduktivnosti

Spregnutikalemovi ili

visokofrekventnitransformator saferitnim jegrom

Jednoslojanvazdušni kalem

Visokofrekventnikalem (za radnefrekvencije preko

50 MHz)

1mm

Lončasti kalem promenljiveinduktivnosti (za radne

frekvencije ispod 10 kHz)."Lonče" kalema je od

feromagnetskogmaterijala

Lonče

Documents

Elektromagnetizam 4.pdf