ТЕМА 2

ЭЛЕКТРИЧЕСКИЕ ЦЕПИ СИНУСОИДАЛЬНОГО ТОКА

2.1. Основные понятия

2.2. Формы представления гармонических величин. Комплексные числа

2.3. Пассивные элементы R, L, C в цепи синусоидального тока

2.3.1. Идеальный резисторный элемент

2.3.2. Идеальный емкостный элемент

2.3.3. Идеальный индуктивный элемент

2.4. Символический или комплексный метод расчета

2.5. Мощность синусоидального тока

2.6. Резонансные явления и частотные характеристики

2.6.1.Резонанс напряжений

2.6.2Резонанс токов

ТЕМА 2.........................................................................................................................1ЭЛЕКТРИЧЕСКИЕ ЦЕПИ СИНУСОИДАЛЬНОГО ТОКА...................................1

2.1. Основные понятия............................................................................................12.1.1. Генерирование синусоидального напряжения.......................................12.1.3 Действующее и среднее значение синусоидальной функции................4

Действующее значение...................................................................................4Среднее значение.............................................................................................5

2.2. Формы представления синусоидальных величин. Комплексные числа.....62.3. Пассивные элементы R, L, C в цепи синусоидального тока........................9

2.3.1. Идеальный резистивный элемент (ИРЭ).................................................92.3.2. Идеальный ёмкостный элемент (ИЕЭ)..................................................112.3.3. Идеальный индуктивный элемент (ИИЭ).............................................13

2.4. Комплексный (символический) метод расчета...........................................14Алгоритм комплексного метода..............................................................................16

2.5. Мощность синусоидального тока.................................................................172.6. Резонансные явления и частотные характеристики....................................18

2.6.1. Резонанс напряжений..............................................................................202.6.2. Резонанс токов.........................................................................................23

Применение....................................................................................................25

2.1. Основные понятия

2.1.1. Генерирование синусоидального напряжения

Синусоидальный ток (напряжение, э.д.с.) – это периодический электрический ток

(напряжение, Э.Д.С.), являющийся синусоидальной или косинусоидальной функцией

времени:

.

Переменный ток позволяет получить гибкую систему электроснабжения

Генератор гармонического (синусоидального) напряжения:

2.1.2. Основные величины, характеризующие синусоидальную функцию

Э.д.с. и ток на генераторе гармонического (синусоидального) напряжения:

;

.

Амплитуда Imax – максимальное значение функции.

Период T – наименьший интервал времени, между которым мгновенные значения

повторяются, [c].

Частота – величина обратная периоду [ Гц].

Угловая частота – число периодов Т в интервале времени, равном 2:

= 2, .

Фаза – аргумент гармонической функции , который линейно увеличивается

во времени.

2

Начальная фаза – значение фазы в начальный момент времени (t = 0).

; ;

Сдвиг по фазе между двумя синусоидальными функциями

3

Если = 0 – то e2(t) совпадает по фазе c e1(t);

= – в противофазе;

0 – отстает по фазе ;

0 – опережает по фазе .

Сдвиг фаз между током и напряжением – разность между начальной фазой тока и

фазой напряжения.

.

Мгновенное значение напряжения (тока, э.д.с.) – функция времени:

Обозначается прописными буквами u(t), i(t), e(t).

2.1.3 Действующее и среднее значение синусоидальной функции

Действующее значение

Действующее значение напряжения (тока, э.д.с.) – такое значение постоянного

напряжения (тока, э.д.с.), которое за период оказывает такой же тепловой и другие эффекты,

что и синусоидальное напряжение (ток, э.д.с.)

Обозначается заглавными буквами U, I, E.

РИС.

По закону Джоуля-Ленца тепло, выделенное на резисторе с сопротивлением R, при

прохождении по нему постоянного тока I в течение периода .

Для переменного тока закон Джоуля-Ленца справедлив только для бесконечно малого

отрезка времени . Тепло, выделяемое переменным током за период

.

Тогда , откуда

4

Таким образом, в общем случае для переменного тока (напряжения, э.д.с.) его

действующее значение есть его среднеквадратичное значение.

В частности, для синусоидального тока , его действующее значение будет

равно:

.

;

Аналогично ; .

Среднее значение

Из курса математики известно, что среднее значение синусоидальной функции за

период равно 0.

Поэтому подкоренное выражение при определении действующего

значения синусоидального тока тем не менее для синусоидальной функции существуют

понятие среднего значения за половину периода.

В общем случае среднее значение для любой переменной величины

Для ; ;

5

; ; ; ;

2.2. Формы представления синусоидальных величин. Комплексные числа

Существуют следующие основные формы представления гармонических величин:

1. Тригонометрическая форма:

Недостаток – трудно производить математические операции с несколькими

синусоидами.

2. Графическая форма (волновая диаграмма).

Недостаток – трудность точного изображения и большие погрешности при расчетах с

помощью графических построений.

3. Векторы на плоскости в Декартовой системе координат.

Длина вектора – амплитуда.

Угол – начальная фаза.

6

Векторная диаграмма – это совокупность векторов, изображающих векторы тока,

напряжения и э.д.с. цепи, исходящих из одной точки

Недостаток: можно легко складывать и вычитать, трудно умножать и делить.

4. Комплексная форма представления.

Комплексное число – алгебраическая сумма действительного числа A и мнимого

числа jB:

.

Сопряженное число:

.

Мнимая единица:

;

.

Модуль комплексного числа – длина вектора :

.

Аргумент (фаза) комплексного числа – угол между осью действительных чисел и

вектором:

(обязателен учет четверти – если II-я или III-я четверть, то ).

Угол откладывается против часовой стрелки.

Существуют следующие формы комплексного числа:

1. Алгебраическая форма:

.

7

Алгебраическая форма предпочтительна для сложения и вычитания комплексных

чисел:

.

2. Показательная форма:

.

Показательная форма предпочтительна для умножения и деления комплексных чисел:

.

3. Тригонометрическая форма:

,

т.к. .

Для перевода из одной формы в другую:

; ;

; .

Символом с индексом max обозначается комплекс амплитуды величины, например Ėm.

Без индекса – действующее значение величины, например Ė.

На рисунке:

;

;

.

Изображение гармонических колебаний комплексным числом позволяет заменить

интегрально-дифференциальные уравнения комплексными алгебраическими уравнениями.

8

При этом комплексами изображаются не только гармонические э.д.с., U, I, но и параметры

схемы.

2.3. Пассивные элементы R, L, C в цепи синусоидального тока

2.3.1. Идеальный резистивный элемент (ИРЭ)

Реальные элементы электрических цепей, которые с определенным приближением

можно рассматривать как ИРЭ: лампочка накаливания, резисторы, электрические

нагревательные приборы, утюг, и т.п.

1 По закону Ома для мгновенных значений:

или - Закон Ома

2 Напряжение и ток на ИРЭ всегда совпадают по фазе

3 Мгновенная мощность

9

Мгновенная мощность всегда положительна (электрическая энергия расходуется на

ИРЭ), пульсирующая с двойной силой частотой источника электроэнергии (лампочка

накаливания будет мигать с частотой 100 Гц) вокруг величины

4 Средняя за период мощность

[Вт]

Средняя мощность называется активной мощностью, оценивающей интенсивность

необратимого преобразования электрической энергии в другие виды энергии.

Это активный процесс, отражающий один из основных процессов в системе

электроснабжения, связанной с необратимым преобразованием доставленной потребителю

электрической энергии в необходимый для потребителя вид энергии.

В комплексной форме

Выводы:

1. Ток всегда совпадает по фазе с напряжением

2. Рассеиваемая мощность пульсирует с двойной частотой и положительная, а

следовательно вся потребляемая энергия необратимо преобразуется в тепло и рассеивается

3. Средняя мощность (активная)

2.3.2. Идеальный ёмкостный элемент (ИЕЭ)

10

Реальный элемент электрической цепи, приближающийся по своим свойствам к ИЕЭ

– конденсатор, накопитель электрической энергии.

- электрический заряд, необходимый для изменения на 1В.

где C- емкость [Ф] – способность накапливать электрические заряды.

1. Закон Ома - емкостное сопротивление [Ом]

Чем больше частота, тем меньше ?

Для постоянного тока это цепи ?

2. ИЕЭ оказывает сопротивление прохождению переменного тока [Ом]

3. через ИЕЭ всегда опережает приложенное напряжение на .

11

4. Мгновенная мощность .

Мгновенная мощность изменяется по косинусоидальному? с двойной частотой.

Имеет место заряд потребляемый ИЕЭ в течение первой четверти периода и его разряд

(возврат энергии в сеть) в течение второй четверти периода. За тем происходит такой же

процесс, но в другой полярности. Это значит, что происходит обмен энергии между ИЕЭ и

сетью. Это реактивный процесс.

5. Средняя мощность

6. Для оценки интенсивности обменных процессов используют амплитуду

колебаний мгновенной мощности, называемой реактивной

7. Комплексное представление:

где - комплексное емкостное сопротивление.

Выводы:

1. ИЕЭ оказывает реактивное емкостное сопротивление току

2. ИЕЭ сдвигает вперед на ток по отношению к напряжению.

3. Между ИЕЭ и сетью обмен энергией с двойной частотой, но энергию ИЕЭ из сети

не потребляет.

2.3.3. Идеальный индуктивный элемент (ИИЭ)

12

Реальный элемент в электрической цепи катушка индуктивности, в которой

электрическая энергия источника преобразуется в энергию магнитного поля, возникающего

вокруг этой катушки. Протекающий по катушке индуктивности ток возбуждает вокруг

катушки переменное магнитное поле, которое, пересекая витки катушки возбуждает по

закону электромагнитной индукции э.д.с., которая по закону Ленца препятствует изменению

тока (оказывает сопротивление), создавшего это магнитное поле .

По второму закону Кирхгофа для мгновенных значений:

;

Формула приведения: ;

Катушка препятствует движению зарядов . Для постоянного тока КЗ

1. Закон Ома ; ,

где [Ом] – индуктивное сопротивление.

2. Ток через ИИЭ всегда отстает от приложенного к ИИЭ напряжения на .

3. Мгновенная мощность

13

-

синусоида с двойной частотой.

Обменный процесс, но в противофазе с емкостным элементом, что используется для

компенсации обменных процессов.

4. Средняя (активная) мощность P равна 0.

5. Интенсивность обменных процессов оценивается амплитудой мгновенной

мощности

6. Комплексная форма представления

;

где - комплексное индуктивное сопротивление.

2.4. Комплексный (символический) метод расчета

Поведение рассмотренных нами идеализированных пассивных элементов

электрической цепи синусоидального тока можно описать с помощью

интегродифференциальных уравнений для мгновенных значений.

РИС.

II закон Кирхгофа для мгновенных значений:

Но с учетом полученных выше сведений о поведении элементов цепи

синусоидального тока можно перейти к алгебраическим уравнениям, составленным

относительно комплексов сопротивлений, токов и напряжений:

, , ; ; ;

где - полное комплексное сопротивление цепи

Закон Ома для любой цепи синусоидального тока в комплексной форме:

14

, где - полная комплексная проводимость.

Закон Ома для участка цепи, содержащего ЭДС:

Первый закон Кирхгофа:

Второй закон Кирхгофа:

Это позволяет в математическом описание параметров элементов схемы замещения

(резистивных, индуктивных, емкостных) цепи переменного тока в комплексной форме

вложить всю необходимую информацию о поведении этих элементов в цепи

синусоидального тока. При этом каждый элемент заменяют на его комплексное

изображение:

15

В результате получаем схему замещения в комплексной форме. К этой схеме

применяют все известные методы расчета цепей постоянного тока.

Алгоритм комплексного метода

1. Составляют комплексную схему, заменяя мгновенные значения э.д.с.,

напряжений и токов источников тока их комплексными изображениями. Параметры ветвей

схемы заменяют их комплексными сопротивлениями и проводимостями.

2. В полученной комплексной схеме произвольно выбирают направления

комплексных токов в ветвях и обозначают их на схеме.

3. Составляют комплексные уравнения по выбранному методу расчета:

;

.

16

4. Решают уравнения относительно комплексного значения искомой величины:

.

5. При необходимости записывают мгновенное значение найденной комплексной

величины:

.

2.5. Мощность синусоидального тока

Полная мощность – произведение действующих значений тока и напряжения:

[ВА]

Комплекс полной мощности:

,

.

где - сопряженный комплекс тока.

Активная мощность P – среднее значение мгновенной мощности за период Т.

Равна энергии, рассеиваемой на активном сопротивлении в единицу времени.

Реактивная мощность Q – численно равна максимальной скорости запасания

энергии в реактивных элементах. Характеризует процессы обмена энергией между цепью и

источником.

Коэффициент мощности cos – характеризует степень использования полной

мощности или долю активной мощности в полной. При cos = 1 вся мощность источника

используется полностью.

Полная мощность у источников:

,

причем

+Pu – источник генерирует активную мощность;

- Pu – приемник активной мощности;

+Qu – потребитель реактивной мощности (катушка индуктивности);

- Qu – генератор реактивной мощности (конденсатор).

Полная мощность у приемников:

17

,

причем знаки расставляются противоположно мощности у источников.

Баланс мощностей – алгебраическая сумма раздельно активных и реактивных

мощностей источников электрической энергии в электрической цепи равна сумме

комплексных мощностей всех приемников электрической энергии в этой цепи:

и

,

где – напряжение на m - ом источнике тока.

Активную мощность измеряют с помощью электродинамического ваттметра:

Выбранные направления и тока İ должны быть одинаковыми относительно

одноименных зажимов, обозначенных точкой или звездочкой на схеме и на приборе -

ваттметре.

При этом .

2.6. Резонансные явления и частотные характеристики

Под резонансным режимом пассивного двухполюсника понимают режим, при

котором напряжение и ток на его входе совпадают по фазе.

Условием резонанса является равенство нулю реактивного сопротивления X или

реактивной проводимости B цепи, что предполагает наличие в цепи реактивных элементов

различного характера (индуктивного и емкостного). В разветвленных цепях, где

количество реактивных элементов N>3, возможны несколько резонансных режимов.

Резонансный режим логично достичь либо изменением параметров элементов

цепи, либо изменением частоты приложенного к цепи напряжения, либо сочетанием этих

двух факторов.

18

Резонансный режим в цепи с последовательным соединением участков,

содержащих реактивные элементы различного характера, носит название резонанс

напряжений. Признаком резонанса напряжения является равенство реактивных

составляющих напряжений на последовательно включенных реактивных элементах

различного характера.

Резонансный режим с параллельным соединением таких участков называется

резонансом токов. Характерным признаком резонанса токов является равенство

реактивных составляющих токов в параллельных ветвях, содержащих реактивные

элементы различного характера.

; резонанс; .

Каковы показания вольтметров и амперметров?

Если считать элементы идеальными, то

UpV2=50 В; UpV3= UpV4=500 В и IpA=0.

Частотные характеристики – зависимость от частоты параметров цепи.

Резонансные кривые – зависимость действующих и амплитудных значений

напряжений и токов от частоты или параметров цепи.

Вид резонансных кривых определяется видом частотных характеристик.

Рассмотрим наиболее часто возникающие резонансные режимы.

2.6.1. Резонанс напряжений

19

Резонансный режим в цепи с последовательным соединением участков,

содержащих реактивные элементы различного характера, носит название резонанс

напряжений. Признаком резонанса напряжения является равенство реактивных

составляющих напряжений на последовательно включенных реактивных элементах

различного характера.

; ;

; ; ;

; .

Условие резонанса:

;

.

Признаки резонанса:

20

;

; ;

; ; ;

;

.

– добротность последовательного контура. Показывает, во сколько

раз при резонансе напряжения на реактивных элементах контура превышает напряжение на

входе цепи.

,

где - собственная (резонансная) частота контура.

Сопротивление индуктивного и емкостного элемента при резонансе называется

характеристическим (волновым) сопротивлением последовательного RLC контура:

[Ом].

Тогда .

Величина обратная добротности – затухание контура:

.

Резонансные кривые – зависимости действующих и амплитудных значений

напряжений и токов от частоты или параметров цепи: при U = const.

Полоса пропускания контура – диапазон частот = в - н, на границах

которого справедливо условие:

21

,

где в, н – верхняя и нижняя границы полосы пропускания.

Очевидно, чем больше добротность контура, тем острее резонансная кривая, тем уже

полоса пропускания, тем лучше избирательность контура, то есть способность пропустить

сигнал одной частоты и не пропускать остальное.

Можно показать, что

.

Относительная расстройка частоты – это отношение полосы пропускания к

резонансной. Относительная расстройка частоты равна затуханию контура:

.

Частотные характеристики – зависимости от частоты параметров цепи –

:

; .

Частотные характеристики можно получить расчетным или опытным путем. При

снятии ЧХ опытным путем на вход двухполюсника подают напряжение, частоту которого

изменяют в широких пределах и по результатам измерений рассчитывают Zвx, Rвx, Xвx. Для

несложных схем частотные характеристики можно получить из простых физических

соображений:

если , то

Двухполюсник, составленный только из реактивных элементов – реактивный

двухполюсник.

Резонанс токов

22

Резонансный режим с параллельным соединением таких участков называется

резонансом токов. Характерным признаком резонанса токов является равенство

реактивных составляющих токов в параллельных ветвях, содержащих реактивные

элементы различного характера.

;

;

;

;

;

;

.

Условие резонанса:

; ; ;

23

.

В частности:

; ;

.

Признаки резонанса:

;

;

.

Резонансные кривые I():

– добротность параллельного контура;

– характеристическая проводимость параллельного RLC контура.

Частотные характеристики :

24

Применение

По виду частотной характеристики можно определить какой тип резонанса и при

какой частоте возникает в двухполюснике.

Точки, в которых частотная характеристика x() пересекает ось абсцисс (B()

претерпевает разрыв от - до +) дают значение 0, при которых в цепи возникает

резонанс напряжений. Точки, в которых кривая x() претерпевает разрыв от + до -

(B()пересекает ось абсцисс), соответствует режимам резонанса тока.

25