ELEKTROKINETIKA (STALNE STRUJE)

1. ELEKTRIČNA STRUJA 1.1. OSNOVNI POJMOVI

PROVODNIK BEZ PRISUSTVA ELEKTRIČNOG POLJA

Haotično termičko kretanje slobodnih nosioca naelektrisanja

Za mali element zapremine dV važi:

srednja makroskopska brzina jednaka je nuli

0srv

Ne postoji usmereno kretanje (strujanje) naelektrisanja duž provodnika.

Q

PROVODNIK U SPOLJAŠNJEM ELEKTRIČNOM POLJU

Posmatramo pozitivne nosioce naelektrisanja

(+Q) u spoljašnjem električnom polju E

Kretanje naelektrisanja je složeno:

kretanje pod dejstvom polja E , termičko kretanje.

Srednja brzina kretanja naelektrisanja je različita od nule ( 0v )

Naelektrisanja se kreću u pravcu i smeru vektora E srednjom vrzinom v .

Električna struja predstavlja svako uređeno kretanje naelektrisanja, bez obzira na vrstu pokretnih naelektrisanja i uzroke njihovog kretanja.

Električna struja se može obrazovati u čvrstim (elektroni), tečnim (+ i – joni) i gasovitim (elektroni i joni) sredinama.

Kondukcione struje - Struje koje nastaju u čvrstim sredinama (provodnicima) pod dejstvom električnog polja.

1.2. STACIONARNO ELEKTRIČNO POLJE I STACIONARNA ELEKTRIČNA STRUJA

Posmatramo napunjeni kondenzator u kome je između ploča ubačen provodni materijal.

Posle nekog vremena, elektroni sa negativne elektrode kondenzatora će preći na pozitivnu i doći će do pražnjenja kondenzatora.

Struja u provodnom materijalu može biti stacionarna samo u slučaju kada su ispunjeni sledeći uslovi:

Provodni materijal (osenčani deo u kondenzatoru) mora biti deo zatvorenog strujnog kola sačinjenog od provodnika.

U zatvorenom kolu mora postojati generator, koji nasuprot silama stacionarnog električnog polja, kontinualno prebacuje prispele elektrone sa pozitivne elektrode generatora na negativnu i time održava stacionarna raspodela naelektrisanja.

+

+

+

+

-

- -

-

-

-

-

- + -

Generator

+

+

+

+

-

-

-

-

-

provodni materijal

1.2.1. STACIONARNO ELEKTRIČNO POLJE

Stacionarna raspodela naelektrisanja na krajevima generatora formira stacionarno električno polje u generatoru koje se dalje prostire i kroz provodnik.

Stacionarno električno polje istovetno je sa elektrostatičkim poljem koje potiče od statičkih naelektrisanja iste gustine kao i gustina stacionarno raspodeljenih naelektrisanja.

Zbog toga stacionarno električno polje takođe pripada klasi konzervativnih polja.

Van generatora, na pokretljiva naelektrisanja deluju isključivo „kulonovske“ sile koje su posledica stacionarnog električnog polja.

Stacionarno električno polje neprekidno vrši rad pokrećući slobodna naelektrisanja (elektrone), pa je za njegovo održavanje potrebno stalno dovođenje energije, a to upravo vrši generator.

+ - -

-

-

- + -

Generator

Provodnik

1.2.2. STACIONARNA ELEKTRIČNA STRUJA I STRUJNO POLJE

Pod dejstvom stacionarnog električnog polja u zatvorenom električnom kolu kreću se pokretna naelektrisanja i uspostavlja se stacionarna električna struja.

Deo prostora u kome se pod dejstvom polja kreću pokretna naelektrisanja naziva se strujno polje.

Strujno polje se može predstaviti linijama polja koje nazivamo strujnice.

Linije strujnog polja imaju za tangentu srednju makroskopsku brzinu pokretnih naelektrisanja.

-

+ - -

-

-

- + -

Generator

Provodnik

1.3. JAČINA I SMER ELEKTRIČNE STRUJE

Jačina struje je najvažnija kvantitativna karakteristika električne struje, posebno kada se radi o struji u relativno tankom provodnicima.

Jačina električne struje je orjentisana skalarna veličina , što znači da je određena intenzitetom i smerom.

U slučaju vremenski nepromenljivih struja:

Jačina električne struje definiše se kao količnik količine naelektrisanja Q koje

protekne kroz poprečni presek provodnika za neko vreme t i tog vremena

QI

t

U slučaju vremenski promenljivih struja jačina struje se definiše na sledeći način:

0limt

q dqi

t dt

-

Konvencijom usvojeno je da je fizički smer električne struje suprotan kretanju elektrona kroz provodne sredine.

Električna struja u provodnicima ima smer od tačke višeg potencijala ka tački nižeg potencijala.

U složenim električnim kolima, koja poseduju veći broj generatora veoma često se unapred ne zna fizički smer električne struje u pojedinim granama kola.

Da bi se složena kola mogla analizirati, u granama kola, potpuno proizvoljno, usvajaju se tzv. referentni smerovi struje.

- Ukoliko se za neku struju dobije pozitivna vrednost onda se njen fizički smer poklapa sa usvojenim smerom.

- Ukoliko se za neku struju dobije negativna vrednost onda je njen fizički smer suprotan usvojenom smeru.

Jedinica za jačinu električne struje je A (Amper).

1.4. VEKTOR GUSTINE STRUJE 1.4.1. DEFINICIJA VEKTORA GUSTINE STRUJE

Za preciznije opisivanje strujnog polja služi vektor gustine struje J .

Pravac J = pravac kretanja elektrona,

Smer J = suprotan smeru njihovog kretanja.

Vektor J u nekoj tački predstavlja tangentu na liniju strujnog polja u toj tački.

Gustina linija polja proporcionalna je intenzitetu vektora gustine struje.

Strujno polje može biti homogeno i nehomogeno.

U slučaju tankih provodnika, strujno polje se smatra homogenim.

U homogenom strujnom polju, intenzitet vektora gustine struje iznosi

nehomogeno strujno polje

homogeno strujno polje

-

-

n

IJ

S ,

nS normalni poprečni presek provodnika

U nehomogenom strujnom polju, intenzitet vektora gustine struje iznosi

n

dIJ

dS

gde je ndS elementarna površina upravna na pravac

kretanja naelektrisanja , a dI jačina električne struje kroz ovu površinu.

-

Posmatramo proizvoljnu elementarnu površ dS (dS dS n ) u strujnom polju.

cos ( , )ndI JdS JdS J dS J dS

S S

I dI JdS

Jačina električne struje kroz proizvoljnu površinu S jednaka je fluksu vektora gustine struje kroz tu površinu

S S

I dI JdS

Algebarski znak fluksa vektora gustine struje kroz neku površinu (a samim tim i jačina struje) može biti pozitivan ili negativan i zavisi od izbora vektora normale na površinu.

Usvojeni smer normale na površinu poprečnog preseka provodnika (tj. smer

vektora S ) automatski određuje referentni smer struje u tom provodniku.

1.4.2. VEZA IZMEĐU VEKTORA GUSTINE STRUJE I SREDNJE BRZINE POKRETNIH NAELEKTRISANJA

Posmatramo kretanje elementarnog naelektrisanja 0eQ kroz provodnik

poprečnog preseka S. N - zapreminska gustina naelektrisanja u provodniku

U vremenskom intervalu dt naelektrisanje 0eQ pređe put vdt .

Broj naelektrisanja koji prođe kroz površinu S za vreme dt jednak je ukupnom broju naelektrisanja u zapremini V Svdt :

N N V N Svdt , N - zapreminska gustina naelektrisanja

Količina naelektrisanja koja prođe kroz površinu S za vreme dt iznosi:

e edQ NQ N Q Svdt

Jačina struje predstavlja količinu naelektrisanja koja prođe kroz poprečni presek provodnika S za vreme dt :

e

dQi N Q Sv

dt

Gustina struje za homogeno strujno polje iznosi:

e

iJ N Q v

S

J i v su kolinearni:

eJ N Q v

Ako se posmatra kretanje elektrona, važi eQ e pa je:

J N ev

1.5. JEDNAČINA KONTINUITETA; I KIRHOFOV ZAKON

Prostor zapremine V obuhvaćen zatvorenom površinom S u kome se nalazi količina naelektrisanja q .

q se menja samo ukoliko naelektrisanja napuštaju

prostor V ili ulaze u njega kroz zatvorenu površinu S .

Protok q kroz zatvorenu površinu S u toku vremena

predstavlja jačinu struje i koja je jednaka fluksu vektora

J kroz zatvorenu površinu:

S

i JdS (u smeru izlazne normale, dS dS n )

Proticanje struje u smeru izlazne normale smanjuje količinu naelektrisanja u zatvorenoj površini pa na osnovu definicije jačine struje važi

dqi

dt

Kombinovanjem poslednja dva izraza za struju imamo:

/

S

i JdS

i dq dt

S

dqJdS

dt jednačina kontinuiteta

Za stacionarno strujanje naelektrisanja jednačina kontinuiteta glasi:

/ 0dq dt 0S

JdS I Kirhofov zakon u integralnom obliku

I Kirhofov zakon u integralnom obliku:

Izlazni fluks vektora gustine struje J kroz zatvorenu površinu S jednak je nuli.

POSLEDICE JEDNAČINE KONTINUITETA:

1. Jačina električne struje u bilo kom poprečnom preseku provodnika je ista.

Dokaz.

1 2 1 20

0

oS S S S S S

JdS JdS JdS JdS JdS JdS

2 1

2 1

S S

I I

JdS JdS 2 1I I

2. I Kirhofov zakon za čvor: Algebarski zbir struja koje se sustiču u jednom čvoru jednak je nuli. Pri tome struje koje ističu iz čvora (u smeru izlaze normale) uzimaju se sa predznakom plus, a struje koje utiču u čvor sa predznakom minus.

0I

Dokaz. 1 2 3 4 0

S S S S S S

1 2 3 40

0

oS S S S S S

JdS JdS JdS JdS JdS JdS

1I 2I 3I 4I 0

I Kirhofov zakon za čvor glasi:

2.a. Zbir struja koje ističu iz čvora jednak je zbiru struja koje utiču u taj čvor.

. .ist utI I

2. OMOV ZAKON, ELEKTRIČNA OTPORNOST 2.1. OMOV ZAKON

Posmatramo stacionarnu električnu struju I kroz provodnik:

- I je proporcionalna sa J ( )I JS

- J je proporcionalna sa v ( )e

J N Q v

- v je proporcionalna sa E

- E je proporcionalno sa U ( )U Ed

Omov zakon (u integralnom obliku) za stacionarnu električnu struju:

Jačina struje kroz provodnik direktno je proporcionalna naponu na njegovim krajevima:

I GU

G je električna provodnost provodnika.

Jedinica: S (Simens)

I je proporcionalna sa U kada se temperatura održava na konstantnu vrednost.

Električna otpornost provodnika je recipročna vrednost njegove električne provodnosti:

1

RG

Jedinica: 1/ S (Om).

Razni oblici Omovog zakona

I GU , I

GU

, I

UG

U

IR

, U

RI

, U RI

Šematsko predstavljanje električne otpornosti

Izračunavanje električne otpornosti i provodnosti provodnika

lR

S ,

SG

l ,

[ m ]- specifična električna otpornost

[ /S m ] - specifična električna provodnost l - dužina provodnika, S - površina poprečnog preseka provodnika.

2.2. OZNAČAVANJE I REFERENTNI SMER NAPONA NA OTPORNIKU

Fizički smer električne struje

Električna struja u provodnicima ima

- smer kretanja pozitivnih naelektrisanja - smer od tačke višeg potencijala ka tački nižeg potencijala.

Analogno referentnom smeru struje, uvodi se referentni smer napona.

Ukoliko se za napon dobije pozitivna vrednost, onda se fizički smer napona poklapa sa referentnim smerom, inače važi obrnuto.

Dva načina označavanja napona:

referentni smerovi napona i struje su usaglašeni i referentni smerovi napona i struje nisu usaglašeni.

Za usaglašene referentne smerove napona i struje na otporniku važi sledeća relacija

U RI

Za neusaglašene referentne smerove napona i struje na otporniku važi sledeća relacija

U RI

usaglašeni referentni smerovi

neusaglašeni referentni smerovi

2.3. PROMENA OTPORNOSTI SA TEMPERATUROM

Otpornost zavisi od vrste materijala, ali takođe i od temperature materijala.

Specifična električna otpornost metala raste sa temperaturom približno po sledećem zakonu:

0 0 01 ( )

0 - specifična otpornost na temperaturi 0 (obično 0

0 20 C )

- specifična otpornost na temperaturi

0 - temperaturni koeficijent otpornosti 01/ C

Ukoliko se zanemari temperaturno širenje provodnika usled zagrevanja, za izračunavanje otpornosti provodnika na temperaturi koristi se izraz:

0 0 01 ( )R R 0R - otpornost na temperaturi 0 .

Za 00 273K C otpornost provodnika naglo opada ( 0)R .

Ovaj efekat se naziva superprovodnost.

3. DŽULOV ZAKON

Toplotni (termički) efekat električne struje je jedan od bitnih efekta električne struje.

Toplotni efekat može biti

poželjan (npr. pri kada se želi zagrevanje tela) ili

nepoželjan (npr. kada pri prenosu električne energije dolazi do gubitaka u vidu oslobađanja toplote).

3.1. RAD I SNAGA NA OTPORNIKU

Neka je između tačaka a i b, koji se nalaze na potencijalima a i b

,a b a bU

priključen otpornik otpornosti R kroz koji protiče stacionarna struja jačine I .

U vremenskom intervalu t sile stacionarnog električnog polja kroz otpornik, od tačke a do tačke b, prebace količinu naelektrisanja

q I t

i pri tome izvrše elementarni rad

( )a bA q I tU

Ovaj rad se u otporniku transformiše u toplotnu energiju

A W I tU

Snaga Džulovih gubitaka na otporniku iznosi:

A

P UIt

Koristeći izraze za Omov zakon, prethodni izraz se može napisati u sledećim oblicima:

2

2 UP UI RI

R

Ukoliko je jačina električne struje konstantna u toku vremena:

Rad sila električnog polja koji se u otporniku transformiše u toplotu za neko vreme t iznosi

2

2 UA Pt UIt RI t t

R

Jedinica za električnu snagu je J (Džul). To je mala jedinica snage.

Veća jedinica je kWh koja iznosi 3 610 3600 3.6 10 3.6W s J MJ

4. VEZIVANJE OTPORNIKA; MERENJE OTPORNOSTI

Otpornici se mogu vezivati:

- redno,

- paralelno,

- mešovito,

- u zvezdu i

- u trougao.

4.1. REDNA VEZA OTPORNIKA

Kroz sve otpornika u rednoj vezi protiče ista struja I .

Ukupan napon redne veze jednak je zbiru napona pojedinačnih otpornika:

1 1 1 1

N N N N

i i i e e i

i i i i

U U R I I R IR R R

Ekvivalentna otpornost redne veze otpornika jednaka je zbiru otpornosti otpornika koji učestvuju u vezi.

4.2. PARALELNA VEZA OTPORNIKA

Svi otpornici su priključeni na isti napon U .

I Kirhofov zakon

1 1 1 1

1 1 1N N N N

i

i i i ii i e e i

U UI I U

R R R R R

Recipročna vrednost otpornosti paralelne veze otpornika jednaka je zbiru recipročnih vrednosti otpornosti otpornika koji u njoj učestvuju.

Slučaj 2N : 1 2

1 2

e

R RR

R R

5. ELEKTRIČNI GENERATOR I PROSTO ELEKTRIČNO KOLO

Generator je element koji služi za ODRŽAVANJE STACIONARNE ELEKTRIČNE STRUJE u zatvorenom električnom kolu.

Generator je sredina kroz koju se vrši transport slobodnih nosioca naelektrisanja pod dejstvom NEELEKTRIČNIH SILA nasuprot silama stacionarnog električnog polja.

Neelektrične sile se nazivaju stranim silama i mogu biti različite prirode:

elektrohemijske, elektromagnetne , svetlosne, …

Analizu generatora vršimo za slučaj da su slobodni nosioci pozitivna elementarna naelektrisanja 0eQ .

5.1. ANALIZA GENERATORA U PRAZNOM HODU

Posmatramo generator električne struje koga čine dve metalne elektrode sa provodnim slojem između njih.

SF - strana neelektrična sila razdvaja

naelektrisanja iz provodne oblasti i gomila ih na elektrodama

E - stacionarno električno polje nastaje usled viška naelektrisanja na elektrodama

F QE - električna sila kojom E deluje

na naelektrisanja

Ravnoteža sila (stacionarno stanje):

0SF F ( 0v )

(PRAZAN HOD generatora)

- - - - - - -

+ + + + + +

elektrode provodna oblast

STRANO POLJE U GENERATORU

Strana sila u generatoru je neelektrična veličina!!!

Cilj: opisati generator samo pomoću električnih veličina.

Efekat dejstva stane sile opisujemo pomoću fiktivno uvedenog

stranog polja SE .

Strano polje se definiše kao ono električno polje koje bi na slobodne nosioce naelektrisanja delovalo silom koja je jednaka stranoj sili.

/S S eE F Q

Strano polje SE je orjentisano je od negativnog ka pozitivnom priključku,

znači suprotno od stacionarnog električnog polja.

Prazan hod: 0SE E

- - - - - - -

+ + + + + +

5.2. ANALIZA GENERATORA U NOMINALNOM REŽIMU RADA

Krajevi generatora se povežu provodnikom.

Stacionarno električno polje se prostire i duž provodnika

Usled toga dolazi do kretanje slobodnih naelektrisanja kroz provodnik i generator.

- smer kretanja naelektrisanja kroz provodnik je od pozitivnog ka negativnom polu generatora,

- količina naelektrisanja na krajevima generatora se smanji i ustali na stalnu vrednost,

- stacionarno električno polje E se smanji i ustali na

stalnu vrednost pri čemu važi: SE E

Kroz provodnik protiče električna struja u smeru od tačke višeg potencijala ka tački nižeg potencijala, dok kroz generator struja protiče od nižeg ka višem potencijalu.

- - - - - - -

+ + + + + +

5.3. ELEKTROMOTORNA SILA GENERATORA

Pri proračunu električnih kola strana sila i strano polje nisu pogodne karakteristike generatora.

Stoga se uvode dve nove karakteristike generatora:

elektromotorna sila (ems) i

unutrašnja otpornost.

Elektromotorna sila (ems) je skalarna veličina i definiše se preko rada stranih sila u generatoru.

Elektromotorna sila jednaka je količniku rada A koji izvrše strane sile prilikom prebacivanja količine naelektrisanja Q kroz generator od negativnog do

pozitivnog priključka i količine naelektrisanja Q

A

EQ

- - - - - - -

+ + + + + +

Određivanje elektromotorne sile

Rad koji izvrše strane sile:

p p p

S S S

n n n

A F dl QE dl Q E dl

Elektromotorna sila:

ˆ

p

S

n

AE E dl

Q ???SE

Elektromotorna sila je brojno jednaka linijskom integralu vektora stranog polja kroz generator od negativnog do pozitivnog priključka.

Napomena. Standardna oznaka za elektromotornu silu je E , dok je oznaka za

vektor stacionarnog električnog polja E . Da bi se napravila razlika u oznakama, u daljem izlaganju će intenzitet vektora stacionarnog električnog

polja biti označen sa E .

- - - - - - -

+ + + + + +

Prazan hod generatora:

0 !S SE E E E

Elektromotorna sila u praznom hodu:

p p n

S

n n p

E E dl Edl Edl

n

p

E Edl ?E

Elektromotorna sila brojno je jednaka linijskom integralu vektora stacionarnog električnog polja od pozitivnog do negativnog priključka generatora koji se nalazi u praznom hodu.

Elektromotorna sila je orjentisana skalarna veličina usmerena od negativnog do pozitivnog priključka generatora.

- - - - - - -

+ + + + + +

- - - - - - -

+ + + + + +

0( ) !!!

n

p n pn

p

E Edl U

Elektromotorna sila brojno je jednaka razlici potencijala između priključnih krajeva generatora u praznom hodu, odnosno jednaka je naponu praznog hoda generatora.

Elektromotornu silu treba shvatiti kao veličinu koja na prikladan način (električni) reprezentuje strane sile u generatoru.

- - - - - - -

+ + + + + +

elektromotorna sila brojno je jednaka naponu praznog hoda generatora,

jedinica za elektromotornu silu je ista kao i jedinica za napon (V)

Međutim, elektromotorna sila po prirodi nije napon!

5.4. UNUTRAŠNJA OTPORNOST GENERATORA

Kretanje slobodnih nosilaca naelektrisanja kroz provodnu sredinu generatora praćeno je toplotnim gubicima koji su proporcionalni kvadratu jačine struje kroz generator.

Džulovi gubici u generatoru opisuju se pomoću unutrašnje otpornosti generatora.

Unutrašnja otpornost generatora se definiše kao količnik Džulovih gubitaka u generatoru, JP , pri struji I kroz generator i kvadrata te struje:

2/i JR P I

GRAFIČKI PRIKAZ E i iR

E i iR se ne mogu međusobno razdvojiti jer

predstavljaju dve karakteristike jednog generatora.

U električnim šemama se koriste dva ravnopravna načina za prikaz generatora pomoću E i iR .

5.5. KOLA SA JEDNIM GENERATOROM I JEDNIM OTPORNIKOM

Neka je zadato prosto električno kolo koje se sastoji iz generatora elektromotorne sile E i unutrašnje otpornosti

iR na koji je priključen potrošač otpornosti R. Potrebno je

odrediti jačinu struje u kolu I .

Zakon o održanju energije: Rad sila stranog polja A pri premeštanju naelektrisanja Q od negativnog do pozitivnog priključka generatora

transformiše se u toplotu na unutrašnjoj otpornosti generatora 2

iR I t i

otpornosti potrošača 2RI t :

2 2

iA R I t RI t

Iz definicije elektromotorne sile /E A Q sledi A E Q EI t , pa važi

2 2 :iEI t R I t RI t t

( )i i

i

EE R I RI R R I I

R R

Jačina električne struje u kolu sa jednim generatorom i potrošačem

5.5.1. SPOLJAŠNJA KARAKTERISTIKA GENERATORA

Neka je zadato prosto električno kolo koje se sastoji iz generatora elektromotorne sile E i unutrašnje otpornosti iR na koji je priključen promenljivi potrošač

otpornosti R.

Promenom otpornosti potrošača može se menjati struja I u kolu

i

Ui

EI R I RI E

R R

iU E R I

Jednačina koja daje zavisnost napona na krajevima generatora U u funkciji struje opterećenja I naziva se spoljašnja karakteristika generatora

iU E R I

5.5.2. SNAGA GENERATORA

Usaglašeni smerovi ems E i struje I kroz generator

Posmatramo jedan generator kod koga se smer ems E poklapa sa smerom struje I koja protiče kroz njega (usaglašeni smerovi).

Iz definicije elektromotorne sile /E A Q

A E Q - rad stranih sila pri prebacivanju Q od (-) do (+) pola gener.

Ovaj rad se transformiše u energiju stacionarnog električnog polja unutar i van generatora.

Snaga stranih sila (snaga generatora) iznosi

A E Q EI t

Pt t t

P EI - snaga generatora

Neusaglašeni smerovi ems E i struje I kroz generator

Kada u električnom kolu deluje više generatora moguće je da kod jednog ili više njih, smer struje I i ems E nisu usaglašeni.

Tada:

- nosioci naelektrisanja kreću se kroz generator od (+) ka (-) polu (nasuprot stranom polju),

- sile stacionarnog električnog polja vrše rad protiv stranih sila u generatoru

- generator se ponaša kao potrošač

- snaga generatora je negativna

P EI

5.5.3. STEPEN KORISNOG DEJSTVA GENERATORA I PRILAGOĐENJE POTROŠAČA NA GENERATOR

Neka je zadato prosto električno kolo koje se sastoji iz generatora elektromotorne sile E i unutrašnje otpornosti iR na koji je priključen promenljivi potrošač

otpornosti R.

Ukupni rad uA - rad koji izvrše strane sile u generatoru

Deo ukupnog rada uA transformiše se u Džulove gubitke na unutrašnjoj

otpornosti generatora, dok se ostatak predaje potrošaču.

Korisni rad kA - deo ukupnog rada uA koji se preda potrošaču ( k uA A ) .

Stepen korisnog dejstva generatora predstavlja količnik korisnog rada i ukupnog rada:

k

u

A

A

Stepen korisnog dejstva se može iskazati i preko korisne snage potrošača i ukupne snage generatora:

2

k k k

u u u

A P t P RI RI

A P t P EI E

Kako je i

EI

R R

sledi

1

1 ( / )i i i

RI R E R

E E R R R R R R

Analiza:

/ 0 1i iR R R R

/ 0i iR R R R

/ 1 0.5i iR R R R

Da bi stepen korisnog dejstva generatora težio 1 potrebno je da je unutrašnja otpornost generatora bude znatno manja od otpornosti potrošača, iR R .

PRILAGOĐENJE POTROŠAČA GENERATORU

Potrebno je odrediti otpornost potrošača R tako da njegova snaga R kP P

bude maksimalna.

Rešenje. Jačina struje iznosi: i

EI

R R

Snaga koja se troši na potrošaču iznosi:

22 2

2 20

( ) ( )R

i i

E RP RI R E

R R R R

Maksimalna snaga na potrošaču dobija se iz uslova:

0RdP

dR ,

22

4

( ) 2( )0

( )

i iR

i

R R R R RdPE

dR R R

2( ) 2( ) 0 2 0i i iR R R R R R R R

iR R

Uslov prilagođenja potrošača generatoru: Na potrošaču će se razviti maksimalna snaga kada je njegova otpornost jednaka unutrašnjoj otpornosti generatora.

Snaga generatora (ukupna snaga) u uslovima prilagođenja iznosi:

2 2

2i

i

E R Ri i i iR R

E E EP EI E

R R R R R

Maksimalna snaga potrošača (maksimalna korisna snaga) iznosi:

2

2 2

max 2 2

1

( ) ( ) 4 2 i

i

iR E R R

i i i iR R

RR EP E E P

R R R R R

Snaga na unutrašnjoj otpornosti: 2

max

1

4 2 iii R E R RR R

i

EP P P

R

Koeficijent korisnog dejstva generatora:

0.5

i

i

i i iR R

RR

R R R R

ili 2

max

2

/ 40.5

/ 2i

k R i

u E iR R

P P E R

P P E R

5.6. PROSTO KOLO SA VEĆIM BROJEM GENERATORA I OTPORNIKA

Prostim kolom naziva se zatvoreno strujno kolo sačinjeno od redne veze proizvoljnog broja generatora i otpornika, pri čemu generatori mogu imati proizvoljnu orjentaciju.

Za usvojeni smer struje I : - smerovi ems 1E i 3E se poklapaju sa smerom struje I pa se za ove izvore smatra da se

ponašaju kao generatori (ponašali bi se kao potrošači),

- smer ems 2E je suprotan smeru struje pa ovaj izvor smatra potrošačem (za suprotni

referentni smer struje ponašao bi se kao generator).

Ako u toku vremenskog intervala t kroz kolo protekne količina naelektrisanja Q I t u smeru struje, strane sile u generatorima 1E i 3E

će izvršiti rad

1 3 1 3A E Q E Q E I t E I t

Taj rad se troši u izvoru ems 2E (potrošač) i na otpornostima 1 5R R , 1 3i iR R

Prema zakonu o održanju energije važi:

2 2 2 2 2

1 3 2 1 2 3 4 5

2 2 2

1 2 3 :i i i

E I t E I t E I t R I t R I t R I t R I t R I t

R I t R I t R I t I t

1 3 2 1 2 3 4 5 1 2 3i i iE E E R I R I R I R I R I R I R I R I

1 3 2

1 2 3 1 2 3 4 5i i i

E E EI

R R R R R R R R

Omov zakon za prosto kolo: Struja u prostom kolu jednaka je količniku algebarskog zbira elektromotornih sila i zbira svih otpornosti kola

i

EI

R R

Elektromotorne sile E u sumi E se uzimaju sa predznakom plus ukoliko se

smer elektromotorne sile E poklapa sa smerom struje I .

6. SLOŽENA ELEKTRIČNA KOLA; II KIRHOFOV ZAKON

Složenim električnim kolom naziva se skup proizvoljno povezanih otpornika i generatora koji se ne može smatrati prostim kolom.

6.1. ELEMENTI SLOŽENOG ELEKTRIČNOG KOLA

Osnovni elementi kola su:

Grana kola je redna veza proizvoljnog broja elemenata kola.

Čvor je mesto gde se spajaju tri ili više grana kola.

Kontura je proizvoljni zatvoreni put sačinjen od grana.

Nezavisna kontura je kontura koja sadrži bar jednu granu koja pripada samo njoj.

Primer.

Električno kolo ima 5 čvorova i 8 grana.

Na šemi je izabrano 4 kontira C1-C4.

Sve konture su nezavisne jer svaka sadrži po jednu granu koja samo njoj pripada.

6.2. NAPON NA KRAJEVIMA GRANE KOLA

Posmatrajmo jednu granu kola sa jačinom struje I . Napon između krajnjih tačaka A i B ove grane kola, ABU , izračunava se prema sledećoj formuli:

ABU RI E

Elektromotorne sile E u sumi E se uzimaju sa predznakom plus ukoliko

se smer elektromotorne sile E poklapa sa smerom kretanja od tačke A do tačke B.

Članovi tipa RI u sumi RI uzimaju se sa predznakom plus ako se smer

struje I poklapa sa smerom kretanja od tačke A do tačke B.

1 2 3 1 2 3( ) ( )ABU R R R I E E E

Napomena. Jačina struje u jednoj grani je jedinstvena i iznosi I .

6.2.1. IZRAČUNAVANJE STRUJE U GRANI KOLA

Jačina električne struje u grani kola I , koja je usmerena od tačke A ka tački B, izračunava se prema sledećoj formuli

AB

AB

U EI I

R

(sledi iz izraza ABU RI E )

Elektromotorne sile E u sumi E se uzimaju sa predznakom plus ukoliko

se smer elektromotorne sile E poklapa sa smerom kretanja od tačke A do tačke B.

Primer.

1 2 3 1 2 3( ) ( )ABU R R R I E E E

1 2 3

1 2 3

( )ABU E E EI

R R R

6.3. NAPON IZMEĐU DVE TAČKE U SLOŽENOM KOLU

Posmatramo dve tačke S i T u jednom složenom električnom kolu sa većim brojem grana. Napon STU između tačaka S i T u složenom električnom kolu izračunava se

prema sledećoj formuli:

ST

ST ST

U RI E

ST je proizvoljna putanja u kolu između tačaka S i T .

Elektromotorne sile E u sumi E se uzimaju sa predznakom plus ukoliko

se smer elektromotorne sile E poklapa sa smerom kretanja od tačke S do tačke T.

Članovi tipa RI u sumi RI uzimaju se sa predznakom plus ako se smer

struje I poklapa sa smerom kretanja od tačke S do tačke T.

Primer.

13 2 2 3 3 2 3

123 123

( )U RI E R I R I E E

16 2 2 8 8 5 5 2

1253 1253

( )U RI E R I R I R I E

16 4 4 7 7 4 5

1436 1436

( )U RI E R I R I E E

6.4. II KIRHOFOV ZAKON

Napon između istih tačaka i kolu je nula jer se tačke nalaze na istom potencijalu:

... ... ... ...

0SS STS

SAB TS SAB TS SAB TS SAB TS

U U RI E RI E

Algebarski zbir napona na svim otpornicima u jednoj zatvorenoj konturi jednak je algebarskom zbiru svih elektromotornih sila u toj konturi

... ...SAB TS SAB TS

RI E

Polazna tačka i smer obilaska po konturi se mogu proizvoljno birati.

Elektromotorne sile E u sumi E se uzimaju sa predznakom plus ukoliko

se smer elektromotorne sile E poklapa sa smerom obilaska po konturi.

Članovi tipa RI u sumi RI uzimaju se sa predznakom plus ako se smer

struje I poklapa sa smerom obilaska po konturi.

Primer.

4 4 7 7 5 5 8 8 2 2 4 5 2R I R I R I R I R I E E E

7. METODE REŠAVANJA SLOŽENIH ELEKTRIČNIH KOLA

7.1. METOD DIREKTNE PRIMENE KIRHOFOVIH ZAKONA

Posmatramo složeno kolo sa čn čvorova i gn grana.

Broj nepoznatih struja jednak je broju grana gn .

Opis metode:

1. prebrojati čvorove ( )čn i grane ( )gn kola,

2. usvojiti referentne smerove za struje grana kola , 1,2, ,i gI i n ,

3. napisati 1I čn n jednačina po I KZ za In usvojenih čvorova,

4. napisati II g In n n jednačina po II KZ za IIn usvojenih nezavisnih kontura,

5. rešiti sistema linearnih jednačina po nepoznatim strujama , 1,2, ,i gI i n .

Primer. Primenom Kirhofovih zakona odrediti nepoznate struje grana kola sa slike.

Rešenje.

1. 4čn , 6gn (6 jednačina)

2. Referentni smerovi struja.

3. 4 1 3In jednačine po I KZ:

čvor 1: 1 2 3 0I I I

čvor 2: 1 4 6 0I I I

čvor 3: 3 4 5 0I I I

4. 6 3 3II g In n n jednačine po II KZ.

Usvojimo tri nezavisne konture 1C , 2C , i 3C i pišemo tri jednačine po II KZ.

kontura 1C : 1 1 3 3 4 4 1 4R I R I R I E E

kontura 2C : 2 2 5 5 3 3 2R I R I R I E

kontura 3C : 6 6 5 5 4 4 6 4R I R I R I E E

5. Rešavanje sistema od 6 linearnih jednačina (3 po I KZ i 3 po II KZ) po

strujama grana 1I , …, 6I .

Nedostatak: Ukoliko kolo ima veliki broj grana, dobija se sistem sa velikim brojem linearnih jednačina.

7.2. METOD KONTURNIH STRUJA Prednosti u odnosu na KZ:

- postavlja se manji broj jednačina nego kod KZ,

- sistem jednačina se postavlja na sistematičan i jednostavan način.

Posmatramo složeno kolo sa čn čvorova i gn grana sa svim poznatim elementima

kola (naponskim generatorima i otpornicima).

Opis metode

1. Odabrati i orijentisati ( 1)k g čn n n

nezavisnih kontura, 1, , , ,ki nk k k .

U svakoj konturi ik smatra se da teče

jedinstvena konturna struja kiI , 1,2, , ki n

2. Napisati sistem jednačina po konturnim strujama 1, ,kk knI I :

11 1 12 2 1 1

21 1 22 2 2 2

1 1 2 2

k k

k k

k k k k k k

k k n kn k

k k n kn k

n k n k n n kn kn

R I R I R I E

R I R I R I E

R I R I R I E

gde su:

, 1, ,ii kR i n - zbir otpornosti svih grana kola koje pripadaju i -toj konturi

(sopstvena otpornost i -te konture) uzet sa predznakom „+“.

, , 1, , ,ij ji kR R i j n i j - zbir otpornosti svih grana kola koje

istovremeno pripadaju i -toj i j -toj konturi (međusobna otpornost i -te i j -te

konture), uzet sa predznakom „+“ ako se duž zajedničkih grana poklapaju smerovi tih kontura, a sa predznakom „-“ ako su smerovi suprotni. Ako konture nemaju zajedničke grane, onda je 0ijR .

, 1, ,ki kE i n - zbir elektromotornih sila svih naponskih

generatora koji pripadaju i -toj konturi.

U ovaj zbir elektromotorna sila ulazi sa predznakom „+“ ako se njen smer poklapa sa orjentacijom konture, a sa predznakom „-“ ako je suprotan.

3. Rešiti sistema jednačina po konturnim strujama: 1, ,kk knI I .

4. Odrediti struje grana 1, ,gnI I na sledeći način:

- struja jI u grani kroz koju protiče samo jedna konturna struja kiI jednaka je

konturnoj struji te konture j kiI I ako se

jI poklapa sa kiI , inače je j kiI I ;

- struja jI u grani kroz koju protiče veći broj konturnih struja jednaka je

algebarskom zbiru tih konturnih struja.

konturna struja ulazi u zbir sa predznakom „+“ ako se njen referentni smer podudara sa referentnim smerom struje u grani, inače se uzima sa predznakom „-“.

Primer. Odrediti jačine struja grana kola sa slike koristeći metod konturnih struja.

Broj jednačina: 2čn , 3gn

( 1) 2k g Čn n n (2 nezavisne konturne struje)

Sistem jednačina:

11 k1 12 2 k1

21 1 22 2 k2

k

k k

R I R I E

R I R I E

(opšti oblik sistema jednačina)

11 1 22 2 12 21, ,R R R R R R R R R

1 1 2 2k kE E E E

1 1 k2 1

1 2 2 2

( )

( )

k

k k

R R I RI E

RI R R I E

(sistem jednačina)

11 1

22 2

k

k

IR R R E

IR R R E

(matrični oblik)

Rešenje sistema jednačina: 1kI , 2kI

Struje grana: 1 1 2 2 1 2k k k kI I I I I I I