36
- ELEKTRIČNA KOLA SA VREMENSKI PROMJENLJIVIM STRUJAMA - ( by: M.Omerkić ) 1. Osnovne razlike između električnih kola sa vremenski konstantnim i vremenski  promjenljivim strujama. El.kola sa konstantnim (jednosmjernim strujama) sastoje se od tri elementa: el.izvora(naponskog ili strujnog generatora), provodne veze i potrošača(otpornik). U slučaju vremenski konstantih struja Kirhofovi zakoni su egzaktni tj. formulisani bez bilo kakvih aproksimacija. Ako bi se strogo posmatralo, I Kirhofov zakon bi važio, pod uslovom da je specifična provodnost dielektrika koji okružuje provodnike jednaka nuli. Naravno,ovaj uslov nikada u potpunosti nije tačan. Pored toga, oblik provodnika kojima su međusobno povezani el.elementi kola, ne utiče čak ni teorijski na jačinu struje u granama el.kola.  El.kola sa vremenski konstantnim strujama često se koriste u tehničkoj praksi.  Ipak,mnogo čće,u raznovrsnim primjenama, susreću se el.kola sa vremenski promjenljivim strujama. Prenos el.energije od mjesta proizvodnje (nuklearne,termoelektrane...) do potrošače obavlja se uglavnom vremenski promjenljivim strujama. U slučaju radija,televizije...prenos signala se ostvaruje uglavnom pomoću vremenski promjenljivih struja. Vremenski promjenljive struje uvijek su praćene pojavom vremenski promjenljivih indukovanih el.polja. Ovo indukovano el.polje indukuje ems u provodnicima koji se u njemu nalaze. Zbog svega toga, svako el.kolo sa vremenskim promjenljivim strujama, predstavlja izuzetno složen sistem za analizu, jer postoji među sobna sprega između s vih grana el.kola, koja se ostvaruje podsredstvom indukovanog el.polja. Prema tome, ova međusobna sprega zavisi od oblika grana i njihovog međusobnog položaja. Zbog toga zaključujemo da  jačine  struja,u svima gra nama kola sa vremenski p romjenljivim strujama, zavise od geometrijskog oblika kola. U velikom broju slučajeva, indukovana ems,usljed sprege između grana kola, mnogo je manja od napona između krajeva elemenata u grani. 2.Uporedi ti utic aj oblik a provodni ka/kol a na jačinu struja u gr anama kod e l.kola s a vremenski konstantnim i vremenski promjenljivim strujama. - Kod el.kola sa vremenski konstantnim strujam oblik provodnika kojima su međusobno  povezani el.elementi kola, ne utiče čak ni teorijski na jačinu s truje u granama el.kola. - Svako el.kolo sa vremenskim promjenljivim strujama, predstavlja izuzetno složen sistem za analizu, jer postoji međ usobna sprega između svih grana el.kola, koja se o stvaruje  podsredstvom indu kovanog el.polja. Prema tome, ova m eđusobna sprega zavisi od oblik a grana i njihovog međusobnog položaja. Zbog toga zaključujemo da  jačine struja, u svim  granama kola sa vremenski promjenljivim strujama, z avise od geometrijskog oblika kola . 3.Površinski – Skin efekat. Površinski efekat predstavlja pojavu neravnomjernog raspoređivanja naizmjenične struje po  poprečnom presjeku provod nika, i to tako da je gustina struje u s redištu provodnika manja od gustine struje na njegovoj površini. Ova raspodjela smanjuje aktivnu površinu poprečnog  presjeka provodnika i povećava n jegov otpor. Ako kroz prov odnik protiče jednosmjerna struja, gustina struje je ista u svim tačkama poprečnog presjeka provodnika. Međutim,ukoliko kroz provodnik protiče naizmjenična struja i, raspodjela po presjeku je neravnomjerna,i to tako da je najveća na površini,a najmanja u središtu provodnika. 1

naizmjenicne struje

Embed Size (px)

Citation preview

Page 1: naizmjenicne struje

7/14/2019 naizmjenicne struje

http://slidepdf.com/reader/full/naizmjenicne-struje-56327c7a70b18 1/36

- ELEKTRIČNA KOLA SA VREMENSKI PROMJENLJIVIM STRUJAMA -( by: M.Omerkić )

1. Osnovne razlike između električnih kola sa vremenski konstantnim i vremenski promjenljivim strujama.

El.kola sa konstantnim (jednosmjernim strujama) sastoje se od tri elementa:el.izvora(naponskog ili strujnog generatora), provodne veze i potrošača(otpornik). U slučajuvremenski konstantih struja Kirhofovi zakoni su egzaktni tj. formulisani bez bilo kakvihaproksimacija. Ako bi se strogo posmatralo, I Kirhofov zakon bi važio, pod uslovom da jespecifična provodnost dielektrika koji okružuje provodnike jednaka nuli. Naravno,ovaj uslovnikada u potpunosti nije tačan. Pored toga,oblik provodnika kojima su međusobno povezaniel.elementi kola, ne utiče čak ni teorijski na jačinu struje u granama el.kola. El.kola savremenski konstantnim strujama često se koriste u tehničkoj praksi.Ipak,mnogo češće,u raznovrsnim primjenama, susreću se el.kola sa vremenski promjenljivimstrujama. Prenos el.energije od mjesta proizvodnje (nuklearne,termoelektrane...) do potrošače

obavlja se uglavnom vremenski promjenljivim strujama. U slučaju radija,televizije...prenossignala se ostvaruje uglavnom pomoću vremenski promjenljivih struja.Vremenski promjenljive struje uvijek su praćene pojavom vremenski promjenljivihindukovanih el.polja. Ovo indukovano el.polje indukuje ems u provodnicima koji se u njemunalaze. Zbog svega toga, svako el.kolo sa vremenskim promjenljivim strujama, predstavljaizuzetno složen sistem za analizu, jer postoji međusobna sprega između svih grana el.kola,koja se ostvaruje podsredstvom indukovanog el.polja. Prema tome, ova međusobna spregazavisi od oblika grana i njihovog međusobnog položaja. Zbog toga zaključujemo da jačine

 struja,u svima granama kola sa vremenski promjenljivim strujama, zavise od geometrijskog oblika kola. U velikom broju slučajeva, indukovana ems,usljed sprege između grana kola,mnogo je manja od napona između krajeva elemenata u grani.

2.Uporediti uticaj oblika provodnika/kola na jačinu struja u gr anama kod el.kola savremenski konstantnim i vremenski promjenljivim strujama.

- Kod el.kola sa vremenski konstantnim strujam oblik provodnika kojima su međusobno povezani el.elementi kola, ne utiče čak ni teorijski na jačinu struje u granama el.kola.- Svako el.kolo sa vremenskim promjenljivim strujama, predstavlja izuzetno složen sistem zaanalizu, jer postoji međusobna sprega između svih grana el.kola, koja se ostvaruje

 podsredstvom indukovanog el.polja. Prema tome, ova međusobna sprega zavisi od oblika

grana i njihovog međusobnog položaja. Zbog toga zaključujemo da jačine struja, u svim granama kola sa vremenski promjenljivim strujama, zavise od geometrijskog oblika kola.

3.Površinski – Skin efekat.

Površinski efekat predstavlja pojavu neravnomjernog raspoređivanja naizmjenične struje po poprečnom presjeku provodnika, i to tako da je gustina struje u središtu provodnika manja odgustine struje na njegovoj površini. Ova raspodjela smanjuje aktivnu površinu poprečnog

 presjeka provodnika i povećava njegov otpor. Ako kroz provodnik protiče jednosmjernastruja, gustina struje je ista u svim tačkama poprečnog presjeka provodnika.

Međutim,ukoliko kroz provodnik protiče naizmjenična struja i, raspodjela po presjeku jeneravnomjerna,i to tako da je najveća na površini,a najmanja u središtu provodnika.

1

Page 2: naizmjenicne struje

7/14/2019 naizmjenicne struje

http://slidepdf.com/reader/full/naizmjenicne-struje-56327c7a70b18 2/36

 Naizmjenična struja obrazuje promjenljivo magnetno polje, odnosno promjenljiv magnetnifluks. Zbog pojave promjenljivog fluksa,unutar provodnika se indukuje promjenljiva ems,podčijim se uticajem uspostavlja gustina struje,koja se potiskuje prema površini provodnika. Zatose ovaj efekat naziva površinski, ili skin efekat,odnosno površinki efekat prve vrste.Odnosi sena usamljeni provodnik kroz koji protiče promjenljiva struja,i po prirodi je simetričan. Skin

efekat je veći ukoliko je brzina promjene fluksa veća.Pored ovoga, postoji i površinski efekat druge vrste, ili efekat bliskosti. Odnosi se na dva provodnika koja su blizu jedan drugom.Npr.provodnici dvožičnog el.voda,kod kojih je I1= -I2.

Ako se posmatra raspodjela magnetnog polja dobija se takva raspodjela gje se u jednom dijeluraspodjela prvog i drugog polja podudaraju,a u drugom dijelu su suprtnih smjerova. Pošto jeraspodjela nesimetrična,i efekat bliskosti je nesimetričan efekat.

4.Šta su to kvazistaciona stan ja u el.kolima?

Pored međusobnog uticaja grana el.kola u kolima sa vremenski promjenljivim strujama,

 postoji još jedan efekat, kojeg nema u kolima sa vremenski konstantnim strujama. To jeefekat konačne brzine prostiranja struje duž grana el.kola Duž nekog trakastogvoda,zanemarljive podužne otpornosti, em talas (a time i talas struje duž voda) prostire se

 brzinom jednakoj brzini prostiranja svjetlosti u vakuumu. Može se pokazati da se približnoistom brzinom prostire talas struje duž svakog provodnika, koji povezuje elementeel.kola.Ovo znači da u jednom trenutku vremenski promjenljiva struja nije istog intenzitetaduž grane. Ovaj efekat primjetan je samo ako je pri datoj brzini promjene struje, granadovoljno duga. Ako su promjene jačine struje dovoljno spore,da se efekat konačne brzine

 prostiranja struje duž grana kola može zanemariti, kaže se da je stanje u kolukvazistacionarno. Riječ "kvazi" je na latinskom "nalik na".

5. Osnovni elementi el.kola sa vremenski promjenljivim strujama. Objasni pojam referentnog  smjera u slučaju vremenski promjenljivih struja i napona.

U el.kolima sa vremenski promjenljivim strujama, koristi se veliki broj elemenata različitogkaraktera, kao što su npr. poluprovodničke diode,el.cijevi,transformatori,zavojnice-kalemi sa i

 bez feromagnetnog jezgra,tranzistori,kondenzatori sa običnim i nelinearnimdielektrikom,linearni i nelinearni otpornici itd. Neki od ovih elemenat pretvaraju neku druguvrstu energije u energiju vremenski promjenljivog el.polja (el.cijevi,tranzistor) i njihnazivamo aktivnim elementima.Drugu grupu elementa el.kola čine elementi u kojima se

el.energija pretvara u druge oblike energije. Ovo su tzv. pasivni elementi.Osnivna tri elementa u ovakvim el.kolima su otpornici,zavojnice(kalemi) i kondenzatori.Otpornost R simbolizuje proces pretvaranja el.energije u toplotu. Induktivnost L predstavljakarakteristiku pasivnog elementa, i jednaka je odnosu sopstvenog fluksa i struje koja ga jeizazvala tj. L = Ф/I . U kalemu (zavojnici) dolazi do nagomilavanja magnetne energijeW m = ½ LI 2. Pad napona na kalemu jednak je nuli U  L=0,a to znači da se u kalemu pretvaranje

 primljene energije,tj.kalem se ponaša kao kratko spojen element u el.kolu. Kapacitivnost C  predstavja osnovnu karakteristiku kondenzatora i izražava vezu opterećenja Q i napona naoblogama kondenzatora tj. Q = CU C  .Unutar dielektrika kondenzatora dolazi donagomilavanja el.energije W C  = ½ CU C  

2. Ne predstavlja prekid kola. 

Kod vremenski konstantnih struja i napona, referentni kraj potrošača se smatra onaj u kojistruja «utiče». Ako se na kraju računa dobije jačina struje,odnosno napona, sa negativnim

2

Page 3: naizmjenicne struje

7/14/2019 naizmjenicne struje

http://slidepdf.com/reader/full/naizmjenicne-struje-56327c7a70b18 3/36

 predznakom,zaključili smo da struja,odnosno napon, ima suprotan smjer od predpostavljenog.Za generatore smo usvojili obrnutu konvenciju. Pojam referentnih smjerova za napon i strujuuvodi se i u slučaju vremenski promjenljivih struja,ali je smisao tih ref.smjerova drugačiji.Pod vremenski promjenljivom strujom se podrazumijeva struja koja u toku vremenamijenjabilo intenzitet ili smjer, ili oboje. Za takvu struju kažemo da je pozitivna u onim

vremenskim intervalima u kojima joj se stvarni smjer poklapa sa referentnim, a da jenegativna u onim vremenskim intervalima u kojima joj je stvarni smjer suprotan odreferentnog.

6. Kako bi glasile jednačine u(t) = Ri(t), u(t) = L i i(t) = C kada bi se

usklađeni referentni smjerovi za napon i struju odabrali tako da referentni smjer «izlazi» izreferentnog naponskog kraja elementa.( - ???????????? -)

7. Objasniti pojam trenutne vrijednosti neke vremenski promjenljive veličine.

Vrijednost neke promjenljive veličine u nekom trenutku se naziva trenutna vrijednost teveličine. Trenutne vrijednosti se pišu malim slovom, da se pokaže njihova vremenskazavisnost. Npr. u R(t), i R(t), u L(t), i L(t), uC (t), iC (t)....  R,L,C pokazuju da li se radi o struji krozotpornik,zavojnicu ili kondenzator,odnosno o naponu na njihovim krajevima.

8. Osnovne zakonitosti procesa u el.kolima sa vremenski promjenljivim strujama.(Odgovor - pitanje br. 9)

9.Objasniti fizikalnu suštinu ponašanja elemenataR ,L ,C u kolima s vremenski promjenljivim strujama. Uporediti sa stanjem kada se ovi elementi nalaze u el.kolima sa vremenskikonstantnim strujama. Ilustrovati odgovore sa vremenskim dijagramima napona i struje.

U kolima sa vremenski promjenljivim strujama, ponašanje elemenata R,L, i C bitno serazlikuje od ponašanja u kolima sa vremenski konstantnim strujama.Otpornost R u ovim kolima karakteriše isti proces pretvaranja el.energije u toplotnu, sa tomrazlikom, što je sad brzina pretvaranja energije(snaga) vremenska funkcija. Ovo je posljedicavremenske zavisnosti struje kroz otpornik i napona na njegovim krajevima U  R(t)=R i R(t).

Po ovoj jednačini, napon između krajeva otpornika je u svakom trenutku proporcionalan jačini struje kroz njega. Ako se jačina struje i napon predstave u zavisnosti od vremena, naistoj slici, to su slične krive i to takve da između njihovih vrijednosti u svakom trenutku

 postoji stalan odnos.Napon u(t) između krajeva nekog otpornika R, i jačina struje i(t), prikazani su na slici.

3

di(t)

dt 

du(t)

dt 

u(t)i(t)

 u(t)

i(t)

Page 4: naizmjenicne struje

7/14/2019 naizmjenicne struje

http://slidepdf.com/reader/full/naizmjenicne-struje-56327c7a70b18 4/36

Pod induktivnim kalemom (zavojnicom), kojeg karakteriše induktivnost L, podrazumijeva setakav element za koji je,uz referentne smjerove, veza između napona u L(t),između njegovihkrajeva, i jačine struje i L(t) kroz njega, data jednačinom

a)

 b)

Slikama su prikazana dva primjera napona između krajeva zavojnice(kalema) koji odgovaraoblicima jačine struje kroz zavojnicu. Za razliku od pojava u el.kolima sa vremenskikonstantnim strujama, induktivni kalem u kolu sa vremenski promjenljivim strujama ne

 predstavlja kratki spoj . Ovo je posljedica ems samoindukcije,koja se permanentno protivi promjenama u el.kolu. ove promjene su stalno prisutne u svim vremenskim trenucima, te jeova ems stalno prisutna i opire se promjeni struje. U ovakvom kolu se uspostavlja naponskoravnotežno stanje uL(t) + eL(t) = 0. u L(t) =L di(t)/dt.

U el.kolima sa vremenski promjenljivim strujama, elektrode kondenzatora izložene sudjelovanju napona uc(t), koji na krajevima kondenzatora izaziva promjenljivo el.polje udielektriku, a koje je posljedica opterećenja promjenljivog u vremenu qc(t) na elektrodamakondenzatora qc(t) = C uc(t ). Promjena opterećenja referentne elektrode kondenzatora zadq(t), usuštini znači da je kroz njegove priključke protekla za to vrijeme količina elektricitetadq(t). 

4

uL(t) = L

di L(t)

dt 

u(t)

i(t)

i(t)

u(t)

t 0

u(t)i(t) u(t) i(t)

t 0

 +

C -ic(t) i

c(t)

uc(t)

+q(t) -q(t)

Page 5: naizmjenicne struje

7/14/2019 naizmjenicne struje

http://slidepdf.com/reader/full/naizmjenicne-struje-56327c7a70b18 5/36

Struja koja protiče kroz granu sa kondezatorom je promjenljiva struja i data je jednačinom:

i(t) = dq(t) /dt = C duc(t)/dt .

Opterećenje se zadržava na elektrodama kondenzatora. Kroz sam kondenzator,tj.kroz njegov

dielektrik,nema struje,iako kroz njegove priključke postoji vremenski promjenljiva struja. Uslučaju kondenzatora,čiji dielektrik nije vakuum,dolaki do vremenski promjenljive polarizacije,tj. do kretanja el.opterećenja zbog deformacije atoma i molekula dielektrika. Na osnovu predhodnih analiza,može se zaključiti da u el.kolu sa vremenski promjenljivomstrujom,kondenzator ne predstavlja prekid kola,i struja teče kroz granu u kojoj je kondenzator.Kroz granu sa kondenzatorom protiče promjenljiva struja,koja je u svakom trenutku povezanasa naponom na njegovim elektrodama-oblogama. Prema tome,kada se govori o struji krozkondenzator, podrazumijeva se struja kroz njegove priključke.strujno kolo sa kondenzatoromnije zatvoreno,nije galvanski povezano,ali ipak postoji promjenljiva struja u njemu,dok je ukolima sa jednosmjernom strujom zatvoreno.

 Na slikama su prikazani oblici promjene jačine struje kroz kondenzator koji odgovaraju

nekim tipičnim oblicima promjene napona na njegovim krajevima.

a)Jednačina između vremenski

 promjenljivog napona i jačine struje uslučaju otpornika, data je kao linearnazavisnost i(t) = u(t)/R.

 b)

10. Kada se govori o struji kroz kondenzator, podrazumijeva se struja kroz priključke

kondenzatora. Zašto?Opterećenje se zadržava na elektrodama kondenzatora. Kroz sam kondenzator,tj.kroz njegovdielektrik,nema struje,iako kroz njegove priključke postoji vremenski promjenljiva struja. Uslučaju kondenzatora,čiji dielektrik nije vakuum,dolaki do vremenski promjenljive

 polarizacije,tj. do kretanja el.opterećenja zbog deformacije atoma i molekula dielektrika. Na osnovu predhodnih analiza,može se zaključiti da u el.kolu sa vremenski promjenljivomstrujom,kondenzator ne predstavlja prekid kola,i struja teče kroz granu u kojoj je kondenzator.Kroz granu sa kondenzatorom protiče promjenljiva struja,koja je u svakom trenutku povezanasa naponom na njegovim elektrodama-oblogama. Prema tome,kada se govori o struji krozkondenzator, podrazumijeva se struja kroz njegove priključke.

5

i(t)u(t)

i(t)

0

 u(t) i(t)

i(t)

Page 6: naizmjenicne struje

7/14/2019 naizmjenicne struje

http://slidepdf.com/reader/full/naizmjenicne-struje-56327c7a70b18 6/36

11. Prilikom izračunavanja struje kroz induktivni kalem, odnosno napona na krajevimakondenzatora javl  ja se konstanta I 0 , odnosno U 0 . Kakav je fizikalni smisao? Pojavljuju li seove konstante u slučaju prostoperiodičnih napona i struja?

Za induktivni kalem napon na njegovim krajevima dat je jednačinom.

Iz ove jednačine, struju i(t) možemo odrediti

I0  je konstanta koja najviše zavisi od toga na šta je kalem priključen,znači od oblika naponakoji vlada na krajevima induktivnog kalema.Pored neke vremenski promjenljive struje i(t),

 postojaće i neka vremenski konstantna struja struja I0. Prema tome,ukupna jačina struje krozneki kalem bi sada bila i(t)+I0. Analogno tome Iz jednačine i(t) = C duc(t)/dt, dolazimo do

 jednačine za napon na krajevima kondenzatora

Objašnjenje je isto kao i predhodno. U principu kondenzator može biti priključen istovremenona vremenski promjenljivi i konstantni napon U0.

12. Kirchoff-ovi zakoni za el.kola sa vremenski promjenljivim strujama.

Predpostavimo da se el.kolo sastoji od proizvoljnog broja elemenata i da je brzina promjeneems naponskih i strujnih generatora takva da se stanje u el.kolu može smatratikvasistacionarnim. Za svaki čvor u el.kolu važi,u svakom trenutku, I Kirchoffov zakon.

 Neka se u čvoru stiče n struja (grana), tada vrijedi

Ovako napisan, prvi Kirchoffov zakon vrijedi pod uslovom da su referentni smjerovi struja usvim granam,koje se stiču u čvoru, isti u odnosu na čvor, bilo od čvora,bilo ka čvoru.Usvajamo da je struja sa pozitivnim predznakom ako je ref.smjer od čvora,a negativna ako jeref.smjer ka čvoru. U slučaju vremenski promjenljivih struja, pojedini sabirci sa lijeve strane

 jednačine mijenjaju u toku vremena svoju vrijednost, ali im je suma u svakom trenutku jednaka nuli.U nekom el.kolu sastavljenom od generatora,otpornika,kalemova i kondenzatora,naponizmeđu krajeva elemenata jednak je razlici potencijala između tih krajeva. U tom slučaju,napon između bilo koje dvije tačke A i B u el.kolu jednak je uAB(t) = { ∑ u(t) }od A do B .

Ako se pri kretanju duž grana el.kola od A do B naiđe na referenti kraj elementa, taj napon seuzima sa pozitivnim predznakom. Kada se tačke A i B poklope,napon između njih je nula.

II Kirchoffov zakon za el.kolo sa promjenljivim strujama možemo dobiti kaoTj. kao sumu svih napona duž grana el.kola u svakom trenutkuza zatvorenu konturu. U slučaju linearnih el.kola sa vremenski konstantnim strujamaKirchoffovi zakoni su omogućavali da se napiše sistem linearnih algebarskih jednačina.U ovim jednačinama, jačine struja kroz grane el.kola bile su nepoznate veličine. U slučajuvremenski promjenljivih struja,pomoću Kirhoffovih zakona ne možemo dobiti takav,relativno

 prost sistem jednačina. Ovdje bismo dobili takav sistem,koji bi,pored nepoznatih jačina strujakroz grane, sadržavao i njihove izvode,odnosno integrale u vremenu. Način određivanja tihstruja bi bio znatno otežan,i matematički komplikovan.

6

dt

di(t)u(t) = L

1L

i(t) = ∫ u(t) dt + I0

uc(t) = ∫ i(t)dt + U

0

1C

∑ ik (t) = 0

n

k=1

∑ uk (t) = 0n

k=1

Page 7: naizmjenicne struje

7/14/2019 naizmjenicne struje

http://slidepdf.com/reader/full/naizmjenicne-struje-56327c7a70b18 7/36

Za bilo koji čvor u kolu naizmjenične struje može se definisati i primijeniti prvi Kirhofov

zakon,koji glasi: Algebarska suma trenutnih vrijednosti struja u granama,koje se stiču u bilokoji čvor kola,jednaka je nuli. 

∑ i = 0. Drugi Kirhofov zakon glasi: Algebarska suma trenutnih vrijednosti napona na svimelementima duž proizvoljne zatvorene konture električnog kola jednaka je nuli.

∑ u = 0.Ili algebarska suma svih trenutnih vrijednosti ems izvora duž proizvoljne zatvorene kontureel.kola jednaka je algebarskoj sumi trenutnih vrijednosti padova napona na svim elementiadotične konture.

∑e = ∑u Napon na krajevima osnovnih parametara povezan je sa strujom koja protiče kroz njih jednačinama:Za aktivni otpor R: uR = R i , i naziva se aktivnim padom napona.

Za induktivitet L: , i naziva se induktivnim padom napona.

Za kapacitet C : i naziva se kapacitivnim padom napona. 

13. Da li prvi Kirhoff-ov zakon vrijedi za svaki čvor el.kola, u kojem stanje nijekvazistacionarno? Odgovor ilustrovati primjerom za sljedeća dva slučaja: kada se prvi

 Kirhoff-ov zakon primijeni na malu površ, koja jedva obuhvata čvor, i kada se primijeni na

veliku površ koju provodnici presijecaju daleko od čvora.

14. Objasni pri kojim uslovima važi drugi Kirhoff-ov zakon za električna kola

 sa vremenski promjenljivim strujama. Da li je taj zakon u takvom slučaju apsolutno tačan ?

15. Koje su sličnosti i razlike između drugog Kirhoff-ovog zakona i tog  zakona

 za električna kola sa vremenski konstantnim strujama ?

16. Snaga u električnim kolima sa vremenski promjenljivim strujama .

Posmatrajmo neki potrošač priključen na izvor napona u(t). Neka je i(t) jačina struje kroz priključke potrošača ili prijemnika. U intervalu vremena dt, kroz potrošač protekne količinanaelektrisanja d q(t) = i(t) dt. Prema definiciji napona, u tom vremenskom intervalu el.sileizvora izvršile su rad dAel.sile(t) = u(t) · i(t)dt. Brzina pretvaranja el.rada,ili rada el.sila izvora, naziva se snaga,  p(t) = dAel.sile(t) / dt = u(t) · i(t) .

7

∑ uk (t) = 0

n

k=1

∑ uk (t) = 0

n

k=1∑ E - ∑ RI  = 0 

uL

= Ldi

dt 

uc

= ∫ i dt 1C

Page 8: naizmjenicne struje

7/14/2019 naizmjenicne struje

http://slidepdf.com/reader/full/naizmjenicne-struje-56327c7a70b18 8/36

Zaključujemo da je el.snaga vremenska funkcija, koju u svakom trenutku karakteriše trenutnavrijednost p(t). Jednaka je proizvodu trenutnih vrijednosti napona u(t) i trenutne vrijednostistruje i(t).U slučaju vremenski promjenljivih struja, el.snaga u pojedinim vremenskim intervalima,može imati i negativnu vrijednost, za razliku od vremenski konstantnih struja,gdje je el.snaga

uvijek bila pozitivna i vremenski konstantna veličina (P=RI2

). U intervalima kada je el.snaga potrošača negativna, potrošač se ponaša kao generator,tj.dio dobijene energije vraća izvoru.

17. Osnovni pojmovi o periodičnim i prostoperiodičnim veličinama i karakterističnevrijednosti prostoperiodičnih veličina .

Pod vremenski periodičnim veličinama podrazumijevaju se veličine,čije se vrijednosti u jednakim vremenskim intervalima ponavljaju.Interval T poslije koga se vrijednosti periodične funkcije ponavljaju, naziva se njen period .Pošto period predstavlja neki vremenski interval,i on je vrijeme,čija ke jedinica sekunda s.

Kod vremenski promjenljivih struja poseban značaj imaju periodične struje. Periodične strujesu one el.struje,čiji se karakter egzaktno ponavlja nakog određenog perioda.i(t) = i ( t + T ) = i ( t + 2T ) = ........... .= i ( t + nt ), gdje je n-cijeli broj.

Oblici promjene napona i struje u el.kolima u praksi su vrlo različiti. Ipak,od značaja suel.struje čije se karakteristične veličine mijenjaju po prosto-periodičnom zakonu (sinusnom ilikosinusnom). Ove struje se nazivaju prostoperiodične el.struje ili harmonijske ilisinusoidalne, i one imaju najvažniju ulogu u elektrotehnici. Za veličinu,koja je u toku jednog

 perioda izvršila sve svoje promjene,a koje se kasnije periodično ponavljaju,kaže se da jeizvršila jedan ciklus. Prema tome,za period se može reći da predstavlja dužinu trajanja jednogciklusa periodične funkcije.

 

Broj ciklusa u jednoj sekundi definiše učestanost pojave ili frekvenciju f = N/tn . gdje je N brojciklusa,a tn vrijeme za koji se ti cikluse izvrše. Ako je u pitanju samo jedan ciklus f = 1/T.Jedinica za frekvencij je 1/s tj. 1Hz(herc). (Evropa 50Hz, SAD 60Hz...)1Hz predstavlja ušestanost periodične struje,čiji je period jednak 1sek. Na dijagramu tačka boznačava maksimalnu vrijednost koju veličina može dostići,i naziva se maximalna vrijednostili amplituda. Matematički izražena ova veličina bi bila:i(t) = I m sin (ωt + ψ i ), gdje jeIm amplituda,a izraz u zagradi definiše trenutnu vrijednost faznog ugla ili faze

 prostoperiodične struje. «Faza» je grčka riječ i znači izgled ili pojava. Prema tome,faza

opisuje trenutni izgled,odnosno vrijednost prostoperiodične funkcije. Obilježavamo je sa αi(t).Ugao ψ i predstavlja početnu fazu,početni fazni ugao prostoperiodične struje.

8

 °

° °°

 T 

  0

-I m

 I m

I m

  a   a’   b   b

ψ i

Page 9: naizmjenicne struje

7/14/2019 naizmjenicne struje

http://slidepdf.com/reader/full/naizmjenicne-struje-56327c7a70b18 9/36

ω ugaona ili kružna učestanost. ω = dα(t)/dt. [rad/s]

18. Objasniti fizikalnu suštinu «fazne razlike» vremenski promjenljivih veličina, kašnjenje ili prednjačenje jedne u odnosu na drugu .

 Na primjeru nekog elementa el.kola,kroz koji protiče struja i(t) i na čijim krajevima vlada

napon u(t), fazna razlika između napona i struje jednaka je φ = αu(t) – αi(t) = θ – ψ .Fazna razlika jednaka je razlici njihovih početnih faza. Kada je θ >ψ , odgovarajućimaximum i nule napona u(t) nastupaju nešto ranije od onih za i(t), što znači da je krivanapona u(t) pomjerena ulijevo u odnosu na krivu i(t). Tada kažemo da napon u(t) prednjačinad strujom i(t). Kada je θ <ψ slučaj je obrnut tj.kriva napona u(t) je pomjerena udesno uodnosu na krivu i(t) i kažemo da napon kasni za strujom,odnosno da struja prednjači naponu.Kašnjenje,odnosno prednjačenje jedne veličine u odnosu na drugu se ne izražavavremenom,nego faznom razlikom,tj.uglom.

To znači da će se vremenske promjene struje i(t) javiti kasnije,za vremenskim promjenamanapona u(t), za vrijeme koje odgovara faznoj razlici φ.

19. Napon i struja su različite fizikalne veličine. Ima li smisla porediti njihove početne faze? Ima li onda smisla porediti njihove amplitude?

20. Srednja vrijednost prostoperiodičnoih veličina .

Za određivanje karaktera neke prostoperiodične veličine, neophodno je poznavati osnovne parametre koji definišu ovu veličinu (maksimalna vrijednost-amplituda,ugaona učestanost-frekvencija,početni fazni pomak). Maksimalna vrijednost prostoperiodične veičine predstavljanajveću vrijednost koju veličina postiže u bilo kom vremenskom trenutku. U analizi

 ponašanja prostoperiodične veličine tokom cjelokupnog intervala to i nije bašnajpogodnije,čak i najsavremenijim sredstvima. U tom slučaju neophodno je definisati druguveličinu,odnosno vrijednost koja omogućava analizu periodične veličine u toku nekogcjelokupnog vremenskog intervala. Srednja vrijednost prostoperiodične veličine predstavljaalgebarski određenu prosječnu vrijednost u toku nekog vremenskog intervala. Radi dređivanjasrednje vrijednosti, vremenski interval se podijeli na n segmenat,čijim sabiranjem vrijednosti,idijeljenjem sa sa ukupnim brojem segmenata n se dobija prosječna vrijednost analizirane

veličine u nekom vremenskom intervalu.

9

i

  I  sr 

T/ 2

0

n

Page 10: naizmjenicne struje

7/14/2019 naizmjenicne struje

http://slidepdf.com/reader/full/naizmjenicne-struje-56327c7a70b18 10/36

Ako uočimo pravougaonik,čija je visina jednaka dužini presječne duži vrijednosti struje Isr ,aosnovica koja je jednaka dužini T/2,onda je površina ovog pravougaonika S'=Isr T/2.

 Isr = 2/T  ∫(od 0 do π/2 ) i(t)dt.Vezano za srednju vrijednost neke veličine,uvodi se i pojam apsolutne vrijednosti te veličinekoji se od predstavljenog oblika krive razlikuje po tome što je negativni polutalas prebačeniznad ose. U tom slučaju svejedno je hoće li se algebarsko usrednjavanje vršiti za poluperiodili period prostoperiodične veličine,a početni fazni pomak u tom slučaju nema značaja.Srednja vrijednost takve veličine izračunava se sljedećom jednačinom:

 Isr = 1/T  ∫(od 0 do T ) i|(t)|dt.Ove dvije jednačine uspostavljaju vezu između srednje vrijednosti i maksimalne vrijednosti

 prostoperiodičnih veličina. Na osnovu kojih zaključujemo da je srednja vrijednost prostoperiodičnih veličina jednaka nuli. Srednja vrijednost svake periodične veličine,čije senegativne i pozitivne vrijednosti poslije svake poluperiode mijenjaju,jednaka je nuli.

21. Zbog čega je efekat periodične struje, u slučaju elektrolize,punjenja akumulatora iodređivanja srednjeg momenta magnetnih sila na strujnu konturu u homogenom,vremenskikonstantnom magnetnom polju, srazmjeran srednjoj vrijednosti prostoperiodične struje ? Odgovor: Pitanje 22

22. Efektivna vrijednost prostoperiodičnih struja. Primjeri korištenja efektivne v rijednosti u

 praksi . Naizmjenična struja i(t) izvrši rad u otporniku R za vrijeme T isti kao i jednosmjerna struja I utom istom otporniku za isto vrijeme T, pri čemu je vrijednost ove struje određena jednačinom:

Ova vrijednost struje se naziva efektivna vrijednost struje. Ako se vrijednost struje mijenja pozakonu i(t) = I m sinωt,uvrštavnjem u jednačinu za efektivnu vrijednost,dobićemo

Koja će se od karakteristika periodične struje ili napona koristiti, zavisi od toga šta se posmatra. Ako se postavlja pitanje može li neki kondenzator da izdrži određeni periodičninapon,onda nam je potrebno poznavati maksimalnu vrijednost tog naizmjeničnog napona.Ako se radi o elektrolizi ili npr. o punjenju akumulatora,od interesa je poznavanje tzv.srednjevrijednosti struje . Kad se radi o zagrijavanju provodnika,najjednostavnije ga je proračunatiako se koristi efektivna vrijednost napona ili struje. Vrlo je važno istaći da svi laboratorijskielementi pokazuju efektivnu vrijednost prostoperiodičnih veličina.

10

 I m 

√2

  I =  ____  = 0,7o7 I m

I = √1/T ∫(od 0 do T)

i2(t)dt √ ___________________________ 

Page 11: naizmjenicne struje

7/14/2019 naizmjenicne struje

http://slidepdf.com/reader/full/naizmjenicne-struje-56327c7a70b18 11/36

23. Princip rada generatora prostoperiodične struje . 

 Najprostiji izvor,odnosno generator prostoperiodičnog napona predstavlja jedan pravougaoniram (okvir), koji se obrće konstantnom brzinom ω u homogenom magnetnom polju, oko osekoja je normalna na linije magnetnog polja.U toku okretanja ram prolazi kroz različite položaje i u svakom trenutku njegov položaj uodnosu na linije magnetnog polja je drugačiji. Time se mijenja njegov fluks,koji je se razlikujeza svaki položaj rama. Pošto se vremenom mijenja položaj rama,znači da i fluks zavisi imijenja se za svaki vremenski trenutak. Ako je ram u homogenom magnetnom polju, tada zasve elementarne površine ds vrijednost magnetne indukcije konstantna pa je Φ = BS cosα.

A ako polje nije homogeno Φ = ∫ BS cosα.U skladu sa Faradejevom em.indukcijom,promjena magnetnog fluksa kroz zatvorenu konturu

ima za posljedicu pojavu indukovane ems po zakonu

e = ωΦm sinωt; e(t) =E m sinωt; gdje je Φm-max.fluks, Φm=BS, ωt=α-ugao između normale imagn.linija.

Analizirajući oblik krivih koje su date na slici, izvide se sljedeći zaključci:1.položaj rama α=ωt =0, karakteriše položaj kada on zahvata maksimalan fluks, ems=0.2.položaj rama α=ωt=π/ 2 odgovara trenutku kada linije magn.polja ne presijecaju površinurama,te je magn.fluks u tom trenutku jednak nuli,a ems je maksimalna.3.polo ž aj rama α=ωt=π  odgovara maksimalnoj negativnoj vrijednosti fluksa,zbog toga što su

vektori normale i linije indukcije kolinearni vektori suprotne orijentacije,ems je jednaka nuli.4.polo ž aj rama α=ωt=3π / 2 odgovara nultoj vrijednosti fluksa,a indukovana ems imamaksimalnu negativnu vrijednost.5.polo ž aj rama α=ωt=2π odgovara početnom položaju,fluks je maksimalan,a ems = 0.

Zaključak je da između magn.fluksa i indukovane ems postoji fazni pomak u iznosu od π/ 2.Magn.fluks fazno prednjači indukovanoj ems za π/ 2 .Kod realnih generatora u praksi, umjesto jednog rama,odnosno namotaja,koristi se njih N,pričemu je sada ukupni fluks Φuk = NΦ = N·Φm·cosωt , u tom slučaju je indukovana emse=Nω·Φm·cosωt;

 E m=N·2πf·Φm ; E = E m /1.41 = 4.44 fΦm N. (1.41 je korijen iz 2)

11

dt e= dΦ-

Φ,e

E m

e  Φ

ωt 

π/ 2

π  3π/ 2

  2π 

Page 12: naizmjenicne struje

7/14/2019 naizmjenicne struje

http://slidepdf.com/reader/full/naizmjenicne-struje-56327c7a70b18 12/36

Za vremenski interval,koji odgovara jednom punom obrtaju rama, ems učini jedan puni ciklus promjene u trajanju jednog perioda T. Prema tome,ako se u jednoj minuti ima n obrtajarama,tada će broj ciklusa promjene ems u jednoj sekundi biti f = n/60.

24. Otpornik u električnom kolu prostoperiodične struje .

Proticanje el.struje u kolu ima za posljedicu pretvaranja el.energije u toplotu na otporniku R,tj.otpornik R se zagrijava. Prosto el.kolo sa otpornikom R kroz koji protiče promjenljiva strujai(t),i gdje vlada napon u(t) prikazano je na slici.

Ako se napon mijenja po zakonu u(t)=U m sin(ωt+θ), poOmovom zakonu bi struja u ovom kolu bila jednaka:

Kako je opšti oblik promjene struje dat jednačinom i(t)=I m sin(ωt+ψ), to se poređenjem ovedvije jednačine dobija I m = U m /R . Ψ=θ.Ovi odnosi daju važne karakteristike el.kola sa otpornikom R,a to je da je maksomalnavrijednost struje određena odnosom maksimalne vrijednosti napona i otpornosti provodnika,ida naizmjenična struja i(t),koja protiče kroz kolo,prati promjenu napona.

 Na vremenskom dijagramu napon i struja izgledaju tako što je početni fazni pomak ovihveličina jednak nuli. Sa dijagrama se čita i to da u kolu nema struje kada je napon jednak nuli,a da struja dostiže maksimum kada je i napon maksimalan,a kada se promijeni znak naponaizvora,mijenja se i predznak struje.Za analizu energetske pojave neophodno je odrediti funkcijuj trenutne snage,koja se naotporniku R pretvara u toplotu.

 p R(t) = u R(t) i(t) = U m sin(ωt + θ)· I m sin(ωt + Ψ) = U m I m sin2 (ωt + θ) =

= U I [1-cos(2(ωt + θ)] ≥ 0.Analizirajuću zadnju jednačinu,zaključujemo da je u svakom vremenskom trenutku snaga

 pozitivna. Ovo znači da je smjer kretanja energije od izvora ka potrošaču. Srednja snaga ovog kola je  P  sr = U·I = U 2 /R ≠ 0.Ovaj zaključak upućuje da se u ovakvom el.kolu odigravaju aktivni procesi,tj. da se u njemuvrši nepovratno pretvaranje el.energije u toplotu. Srednja snaga se još baziva i aktivna snaga,aotpornik u el.kolu,za razliku od omskog otpornika u kolima stacionarne struje, naziva se

aktivni otpornik. Vrije dnosti U i I su efektivne vrijednosti napona i struje.El.kola sa aktivnim otporom u kolu naizmjenične struje karakteriše energetski proces

 pretvaranja el.energije u toplotu na aktivnom otporniku otpornosti R. El.struja u ovom kolu prati promjene priključenog napona tj.ima isti fazni pomak kao napon Ψ = θ. Njenamaksimalna vrijednost se određuje po Omovom zakonu Im = Um / R. Za ovo el.kolo se kaže dasu struja i napon u fazi.

25. Induktivni kalem-zavojnica u električnom kolu prostoperiodične struje .

Kada se induktivni kalem(zavojnica) nađe u kolu naizmjenične struje pod djelovanjem promjenljivog napona, javiće se u kolu promjenljiva struja, koja izaziva pojavu promjenljivog

12

+

i(t)

R

U m

u(t)i(t) = = sin(ωt+θ)

R R

Page 13: naizmjenicne struje

7/14/2019 naizmjenicne struje

http://slidepdf.com/reader/full/naizmjenicne-struje-56327c7a70b18 13/36

u,i

0

ie

l u

 p(t)

π/ 2

magnetnog fluksa. Fluks u kalemu indukuje ems samoindukcije, čiji je smjer suprotan uzrokunastanka. Na krajevima kalema javiće se promjenljivi napon koji se određuje jednačinom:

Ako predpostavimo da se priključeni napon mijenja po prostoperiodičnom zakonu

u(t)=U m sin(ωt + θ) tada iz jednačine za napon na krajevima induktivnog elementaodređujemo struju kroz zavojnicu, koja je jednaka struji kroz čitavo kolo

 i(t)=1/L ∫ u(t)dt + I 0 . U ovoj jednačini I0 predstavlja moguću,vremenski konstantnu,komponentu struje kroz induktivni kalem.Za čisto prostoperiodični režim ova konstanta je

 jednaka nuli. 

Prva jednačina podsjeća nas na Omov zakon,ali pod uslovom da imenilac ima karakter otpornosti. Ta otpornost se naziva induktivna otpornost ili induktivni otpor X  L=ωL [Ω] U  L=X  L I  L  –efektivne vrijednosti.Druga jednačina pokazuje da u ovom slučaju struja i napon nemaju isti početni fazni stav.Ako predpostavimo da je početni fazni stav napona jednak nuli,θ=0, iz ove druge jednačine

 proizilazi da je početni fazni stav struje ψ= -π/ 2.To znači da struja fazno zaostaje za ugao π/ 2.Indukovana ems samoindukcije se protivi promjeni struje kroz kalem, usljed čega dolazi do

kašnjenja struje u odnosu na priključeni napon.Snaga p(t)=UI sin 2ωt . Dakle,promjena snage u ovakvom kolu je dva puta brža od promjenenapona,odnosno struje.

 P  sr = 0 ukazuje da se u zavojnici ne razvija aktivna snaga,prema tome,nema nepovratnog pretvaranja el.energije u toplotnu (kao kod R).

U prvoj četvrtini perioda su napon i struja pozitivni. Struja raste do maksimalne vrijednosti, arad el.sila izvora prelazi u energiju magn.polja kalema,sve do maksimalne vrijednostiW m=½LI 2m. Opadanjem struje dolazi do opadanja magn.energije,odnosno u drugoj četvrtini

 perioda,do njenog vraćanja izvoru (negativna snaga). U drugoj polovini perioda proces se ponavlja,samo što su sada suprotni smjerovi napona i struje. Ovo praktično znači da energija

13

uL(t) = L

di L(t)

dt 

L u L

(t)

i(t)

u(t)

U m

ωL I m =

ωL

U mi(t) = sin (ωt + θ – π/ 

2 )

i(t) = I m sin (ωt +ψ)

Page 14: naizmjenicne struje

7/14/2019 naizmjenicne struje

http://slidepdf.com/reader/full/naizmjenicne-struje-56327c7a70b18 14/36

u,i

ωt 

0

ue

ci

 p(t)

π/ 2

osciluje između izvora i kalema,a u el.kolu nema aktivnih procesa i nema nepovratnih gubitaka energije. Ove oscilacije karakterišu se tzv. r eaktivnom snagom.Znači,energija se periodično privremeno deponuje u kalemu i u sljedećem vremenskomintervalu se cjelokupna vraća izvoru. Induktivni kalem je reaktivni potrošač. Nemanepovratnih gubitaka energije u kalemu. Struja fazno zaostaje za naponom za π/2.

26. Kondenzator u električnom kolu prostoperiodične struje .

Kondenzator u el.kolu naizmjenične struje ne predstavlja prekidu kretanju elektriciteta,te kroz granu(priključke) dolazi do

 proticanja el.struje.Kondenzator je priključen na izvor  promjenljivog naizmjeničnog napona,te će se kondenzator  periodično puniti i prazniti, a u el.kolu će proticati naizmjeničnastruja,koja predstavlja struju punjenja i pražnjenjakondenzatora.

Poređenjem jednačina promjene napona po prostoperiodičnom zakonu i struje u kolu,dobijamo sljedeće:

Prva jednačina podsjeća na Omov zakon, pod uslovom da imenilac ima karakter otpornosti.On se naziva kapacitivna otpornost. 

Ova otpornost izaziva uticaj ems kondenzatora na struju kroz kondenzator, pri djelovanju priključenog promjenljivog napona. Ems kondenzatora se protivi priključenom naponu.Kod druge jednačine vidjeli smo da struja i napon nisu u fazi i nemaju isti

 početni fazni stav. Uz predpostavku da je početni fazni stav napona θ=0,iz druge jednačine proizilazi da je u tom trenutku početni fazni stav struje ψ=π/ 2.Ovo ukazuje da struja krozkondenzator fazno prednjači naponu na njegovim krajevima za ugao π/ 2 ,odnosno za ¼ perioda.Snaga se mijenja dvostruko bržom učestanošću: p(t) =UI sin2ωt.

Sa slike možemo zaključiti: Kad napon izvora raste od 0 do max.vrijednosti, on održava struju

u kolu,ems kondenzatora takođe raste i sve ovo kao rezultat daje da se u kondenzatoru pojačava el.polje. Rad el.sila izvora se pretvara u elektrostatičku energiju el.polja

14

  C uc(t)

i(t)

u(t)

+

dt dt  

dqc(t)

i(t) = = C  du(t)

U m

ωL

 I m

=  1

ψ = θ + π/ 2 ;

1

ωC  X c = [Ω] ; U C  = X C  I C ;

ψ = θ + π/ 2 ;

Page 15: naizmjenicne struje

7/14/2019 naizmjenicne struje

http://slidepdf.com/reader/full/naizmjenicne-struje-56327c7a70b18 15/36

R L C 

uC (t)u

 L(t)u

 R(t)

+ u(t)

i(t)

kondenzatora. Snaga izvora je pozitivna,kondenzator prima energiju od izvora i ponaša se kao prijemnik (potrošač) (prva četvrtina perioda).U drugoj četvrtini perioda napon opada,i time se smanjuje elektrostatička energijakondenzatora,pretvara se u rad, koji se predaje izvoru. U ovom periodu kondenzator se prazni.Dakle,i ovdje imamo oscilovanje energije između izvora i kondenzatora,a elektrostatička

energija kondenzatora se mijenja po zakonu: W cm=½CU 2

cm . P=P  sr =0.U ovom kolu nema nepovratnih gubitaka energije, nema aktivnih procesa. Električna energijase periodično privremeno deponuje između obloga kondenzatora u ¼ perioda,a već usljedećoj četvrtini se vraća izvoru. Zbog toga se za kondenzator kaže da je reaktivni

 prijemnik-potrošač.Kondenzator pri dovoljno visokim učestanostima predstavlja kratak spoj, pa se može koristitiza «razdvajanje» periodične struje od jednosmjerne.

27. Električno kolo sa otpornikom,induktivnim kalemom i kondenzatorom . 

Kod el.kola sa reakivnim elementima (L i C) nema nepovratnog pretvaranja el.energije utoplotnu,već ona osciluje između izvora i reaktivnih elemenata. S obzirom na to da svakiaktivni element nije idealan,nego ga karakteriše i određeni iznos koeficijentasamoinduktivnosti, zaključujemo da čisto aktivno,ili čisto reaktivno kolo predstavlja idealanslučaj nekog realnog el.kola. Dakle,redno el.kolo sadrži elemente sa aktivnim i reaktivnimkarakteristikama. 

 Na slici je prikazano jedno redno vezano el.kolo sastavljeno od aktivnog otpornika otpornostiR,induktivnog elementa-zavojnice induktivnosti L i kondenzatora kapaciteta C. Ovi elementisu priključeni na izvor promjenljivog napona u(t)=U m sin(ωt + θ).Pod djelovanjem ovog promjenljivog napona u el.kolu će se pojaviti struja,koja se mijenja po

zakonu i(t)=I m sin(ωt + ψ). Razmatramo slučaj kada je početni fazni stav struje jednak nuli,tj.i(t)=I m sinωt. Na krajevima svakog od ovih elemenata ima se napon ima se poseban napon.

   Impedanda (prividna otpornost)

15

u R =R·i(t)=RI m sinωt ;

di

dt u

 L=L =Lω I 

mcosωt = X 

 LI 

msin(ωt + π/ 

2 ) .

uC 

= ∫idt = I m

cosωt = X C 

I m

sin(ωt – π/ 2 );

1

1

ωC 

 I =U 

√ R2+(X  L-X 

C  )2   Z = √ R2+(X 

 L-X 

C  )2

Page 16: naizmjenicne struje

7/14/2019 naizmjenicne struje

http://slidepdf.com/reader/full/naizmjenicne-struje-56327c7a70b18 16/36

Za analizu el.kola sa parametrima R,L i C važno je proučiti tri karakteristična slučaja:

1.   X  L>X C  – pretežno induktivno kolo 0 < φ ≤ π/ 2 ,2. X  L<X C  –  pretežno kapacitivno kolo –π/2 < φ < 0 ,3. X  L=X C  – čisto aktivno kolo.

Ovaj treći izaziva pojavu tzv.naponske rezonance. U tom slučaju ima se najveća efektivnavrijednost struje kroz kolo I = U/R , a to znači da je ωL – 1/ωC = 0. tj. XL-XC = 0.Rezonanca na latinskom znači odjek. Kaže se da je kolo u rezonanciji. U slučaju rezonancije,napon između krajeva kondenzatora i kalema nisu jednaki nuli,ali je njihova suma jednakanuli,zbog čega se ova rezonanca i naziva naponska rezonanca.

28. Redno rezonantno kolo. Da li su u slučaju rezonancije naponi između krajevakondenzatora i kalema jednaki nuli ?

Pod prostim rezonantnim kolom podrazumijeva se redna ili serijska veza otpornika,kalema ikondenzatora. Prema jednačini za struju u ovakvom kolu

Kada jeTada je najveća vrijednost struje definisana jednačinom I = U/R.

Ovo je ugaona učestanost, po kojoj je efektivna vrijednost struje kroz kolo najveća, a za kolose kaže da je u rezonanciji,pa se ova učestanost i naziva rezonantne ugaona učestanost. Priovoj učestanost fazna razlika između napona i struje je jednaka nuli (φ=0), što ne znači da jenapon između krajeva kondenzatora i krajeva kalema jednak nuli.U slučaju rezonance naponi izmeđuz krajeva kondenzatora i kalema nisu jednaki nuli,ali je

njihova suma jednaka nuli,zbog čega se ova rezonanca i naziva naponska rezonanca. Naponi između krajeva kalema i kondenzatora ne samo da nisu jednaki nuli u slučajunaponske rezonance,nego mogu biti i znatno veći od napona izvora na koji je el.kolo

 priključeno. U tom slučaju naponi uC i u L se nazivaju prenaponi.Do pojave prenapona dolazi u suštini zbog velike (teorijski) maksimalne struje kroz el.kolo.

 Primjena: Prosto rezonantno kolo se često koristi u praksi. Npr. ako u nekom kolu djelujugeneratori dvije učestanosti. Zadatak je da nekom potrošaču dovedemo napon samo jedneučestanosti.U tom cilju paralelno sa potrošačem vežemo redno rezonantno kolo,čija je rezonantnaučestanost jednaka učestanosti napona napona koji želimo da odstranimo. Pošto za svojurezonantnu učestanost redno rezonantno kolo predstavlja skoro kratak spoj,napon između

krajeva potrošača one učestanosti koju želimo odstraniti biće jednak nuli.Rezonantne pojavese koriste u tzv.filterima za propuštanje signala određenih učestalosti.

16

 I = U 

√ R2+(X  L-X 

C  )2

1

ωC ωL  - = 0.

1

LC ω2 = ω = 1

√ LC 

Page 17: naizmjenicne struje

7/14/2019 naizmjenicne struje

http://slidepdf.com/reader/full/naizmjenicne-struje-56327c7a70b18 17/36

29. Nacrtati vremenski i fazorski dijagram struje i napona između krajeva sva tri elementa zarednog RLC kola u slučaju da je kol o u a)rezonanci i b)van rezonance . 30. Paralelno rezonantno kolo. Zašto se ovaj slučaj naziva strujna rezonanca? Dati fizikalno

objašnjenje ove pojave.

Otpornost grane sa kondenzatorom je obočnoveoma mala i može se zanemariti. Gubici udielektriku kondenzatora se mogu približno uzetiu obzir, promjenom otpornosti R otpornika ugrani sa kalemom.

 Najčešće je otpornost R znatno manja odreaktanse ωL. Recipročna vrijednost impedanseZ biće realna,ako je

Ova ugaona učestanost naziva se antirezonantna učestanost, a ovaj slučaj el.kola se nazivaantirezonancija. Pri učestanosti ω = ω0  jačina struje kroz zajedničku granu je skorominimalna,nasuprot rezonanci rednog kola,kada je jačina struje maximalna. Ova rezonancijačesto se naziva i strujna rezonancija.

 Neka je R=0 (što praktično nikad ne može biti), ali R može biti vrlo malo. U tom slučaju jačina struje I kroz zajedničku granu jednaka je nuli. Pošto su obje grane priključene nanaponU,to znači da kroz obje grane teče struja. Međutim,ove su pomjerene u odnosu nanapon,jedna za π/2 unaprijed (kroz granu sa kondenzatorom),a druga za π/2 unazad (kroz granusa kalemom).Pri antirezonanciji, obje ove struje su jednakog intenziteta,pa je njihova suma

 jednaka nuli. Fizikalno objašnjenje: Energija sadržana u antirezonantnom kolu razmjenjuje se izmeđukondenzatora i kalema.tj.naizmjenično se pretvara u el.magn.energiju. Pri tome izmeđukrajeva kondenzatora i kalema postoji promjenljivi napon, koji je u fazi sa naponom izvora.Očigledno,kroz zajedničku granu zbog toga ne može da bude struje,mada postoji struja usamom el.kolu.U realnom slučaju,otpornost R nije nula. U toku svakog perioda prostoperiodične struje, ukolu se izvjesna količina energije pretvori u toplotu. Kada kolo ne bi bilo vezano za napon U,energija sadržana u kolu ubrzo bi se pretvorila sva u toplotu,i oscilacije bi prestale.

Oscilacije će postojati jedino ako se se nadoknađuje energija pretvorena u toplotu.Tu uloguima napon U,koji predstavlja izvor energije. Učestanost tog napona mora biti ista kaoučestanost oscilacija struje u kolu kada tog napona nema.Svaki rezonantni sistem karakterišu dvije energije:1.energija koja je sadržana u sistemu,2.energija koja se u sistemu gubi u toku jednog

 perioda.Što je njihov odnos veći,sistem može duže da osciluje.

31. Objasni razlog pojave prenapona u kondenzatoru i kalemu prostog rezona ntnog kola . 

U slučaju rezonance naponi između krajeva kondenzatora i kalema nisu jednaki nuli,ali je

njihova suma jednaka nuli,zbog čega se ova rezonanca i naziva naponska rezonanca.

17

 I 

U L C  R

 p

+

1

ωLωC - = 0.

Z I =

ω0

= 1

√ LC 

Page 18: naizmjenicne struje

7/14/2019 naizmjenicne struje

http://slidepdf.com/reader/full/naizmjenicne-struje-56327c7a70b18 18/36

 Naponi između krajeva kalema i kondenzatora ne samo da nisu jednaki nuli u slučajunaponske rezonance,nego mogu biti i znatno veći od napona izvora na koji je el.kolo

 priključeno. Ako su reaktivni otpori pri rezonansi XL = XC>>R, u tom slučaju naponi uC i u L

se nazivaju prenaponi. Do pojave prenapona dolazi u suštini zbog velike (teorijski)maksimalne struje kroz el.kolo (detaljnije u pitanju 28.)

32. Imajući u vidu da riječ «rezonanca» znači «odjek», da li je prikladan naziv za rezonancuu rednom kolu «naponska rezonanca », a u paralelnom kolu «strujna rezonanca» ?

Rezonansa predstavlja režim na dijelu kola, u kome je fazni stav između napona i struje jednak nuli. Detaljnije : Pitanje 28, i 30. 

33. Redna (serijska) veza otpornika i kalema priključena je na prostoperiodični napon. Da li struja u takvom el.kolu kasni, prednjači, ili je u fazi sa naponom ?

Prikazana je serijska(redna) veza optornika i kalema. Kada se kolo priključi na izvor naizmjeničnog napona, u kolu će se uspostavitinaizmjenična struja,koja je zajednička za oba parametra. i = I m sinωt.Uspostavljena struja na aktivnom otporu stvara pad napona uR = Ri, iinduktivni pad napona na zavojnici uL = L di/dt, koji se u skladu sadrugim Kirhofovim zakonom uravnotežuju sa naponom napajanja u:u = u R + u L = R i + L di/dt = RI m sinωt + ωLI m cosωt ==U  Rm sinωt + U  Lm cosωt.

Gdje su U  Rm=RI m , a U  Lm=ωLI m .U opštem izrazu za trenutnu vrijednost napona napajanja, prirodno je predpostaviti da naponu odnosu na referentni položaj struje, fazno prednjači struji,za ugao φ.u=U m sin(ωt+ φ). Maximalna vrijednost napona se dobija kao U m2=U  Rm

2+U  Lm2 , a početni fazni

stav φ, iz tg φ= U  Lm / U  Rm .Prividni otpor ili impedansa Z se dobija iz relacije:

U m /I m = U/I =

Z = =

Fazni stav φ napona i struje mijenja se od nule do π/2 .

Trenutna vrijednost snage iznosi  p=ui=UI 2sinωt sin(ωt + φ)=UI [cosφ – cos( 2ωt+ φ)].Srednja snaga je jednaka:  P  sr = U I cosφ . Jedinica je vat W.

 Faktor snage: cosφ= P  sr  /UI. –koeficijent manji od jedinice,koji pokazuje koliki se dio odukupne snage nepovratno pretvara u snagu Džulovih gubitaka.Pored aktivne snage P,postoji i reaktivna snaga Q =UI sinφ. Q predstavlja snagu koja se u

 procesu uspostavljanja struje nagomilava u magn.polju zavojnice. Jedinica su reaktivnivoltampermetri Var.

 sinφ predstavlja faktor reaktivnosti. Prividna snaga:

S =UI =

Jedinica je voltampermetar,VA.

18

i

u L

R

√ R2+(ωL)2

√ R2+(ωL)2 √  R2+X  L

2

√  P 2+Q2

Page 19: naizmjenicne struje

7/14/2019 naizmjenicne struje

http://slidepdf.com/reader/full/naizmjenicne-struje-56327c7a70b18 19/36

3 4. Redna (serijska) veza otpornika i kondenzatora priključena je na prostoperiodični napon.  Da li struja u takvom el.kolu kasni,prednjači ili je u fazi sa priključenim naponom ?

Kada se kolo priključi na izvor naizmjeničnog napona, u kolu će seuspostaviti naizmjenična struja:i=I m sinωt. Ova struja na aktivnom otporu izaziva pad napona:u R= R i, i kapacitivni pad napona na kondenzatoru:

uC = ∫ i dt. koji se, u skladu sa drugim Kirhofovimzakonom uravnotežuju sa naponom napajanja u.

u=u R+uC  = . . . . . .= U  Rm sinωt – U Cm cosωt.

Gdje su U  Rm=R I m , i U Cm= .

Prirodno je predpostaviti da napon, u odnosu na referentni smjer struje, fazno zaostaje uodnosu na struju,za fazni stavφ.

u=U m sin(ωt+ φ). Maximalna vrijednost napona se dobija kao U m2=U  Rm2+U Cm

2 = Z 2 I m2 , a početni fazni stav φ, iz

tgφ= - = -

U m cosφ = R I m ,U m sinφ = - U Cm = -

Pa je U m2=Z 2 I m2.

-Trenutna vrijednost snage kod ovog kola je data relacijom : p = u i = UI 2sin(ωt + φ),tj. p = UI [ cosφ – cos( 2ωt + φ )].

-Srednja vrijednost snage P  sr = UI cosφ.

35. Paralelna veza otpornika i kalema priključena je na prostoperiodični napon. Da li strujau takvom kolu kasni,prednjači ili je u fazi sa priključenim naponom ?

36. Paralelna veza otpornika i kondenzatora priključena je na prostoperiodični napo n. Da li struja u takvom el.kolu kasni,prednjači ili je u fazi sa priključenim naponom ?

19

i

u C 

R

1

I m

ωC 

1

ωCR

U Cm

U  Rm

I m

ωC 

Page 20: naizmjenicne struje

7/14/2019 naizmjenicne struje

http://slidepdf.com/reader/full/naizmjenicne-struje-56327c7a70b18 20/36

37. Otpornik,kalem i kondenzator vezani su u paralelno na izvor prostoperiodičnog napona. Da li struja kroz zajedničku granu može da bude u fazi s naponom ?

Ako se kolo napaja sinusoidalnom raspodjelomnapona: u = U m sinωt, onda će se uspostaviti isinusoidalna raspodjela struje,čiji je opšti izrazza trenutnu vrijednost: i = I m sin(ωt + φ).U skladu sa prvim Kirhofovim zakonom, ukupnastruja i jednaka jesumi trenutnih vrijednostistruja u granama: i = i R + i L + iC  .

Maksimalne vrijednosti struja u granama su:

 I  Rm = ; I  Lm = ; I Cm = ωCU m .

Odnos = = koji predstavlja recipročnu vrijednost impedanse ima dimenziju

Provodnosti. Ovako dobijena provodnost naziva se prividnom provodnošću ili admitansomkola, i označava se štampanim slovom Y.

Ako se sa G označi aktivna,a sa B reaktivna provodnost ili supceptansa, važi:

; ;

 B2=(B L – BC  )2 . Na osnovu dobijenog i još nekih specifičnih podataka, procjenjuje se karakter kola. Npr:-kolo je induktivnog karaktera ako je B L > BC  , odnosno, ako je B>0;-kolo je kapacitivnog karaktera ako je B L < BC  ,odnosno, ako je B<0;-kolo ima aktivni karakter ako je B L = BC , odnosno, ako je B=0.

20

i

uL C  R

+  i

 Ri L

iC 

u

Ri R = sinωt = I  Rm sinωt 

U m

R=

i L = ∫ u dt = - cosωt = -I  Lm cosωt C 

L

U m

ωLiC = C = ωC U m cosωt = I Cm cosωt du

dt 

U m

R

U m

ωt 

I m

U m

1

1

Z Y = = [ + ( - ωC)2 ] ½

1

R

1

ωL

ωL1

RG = 1B = = ωC = B

 L – B

√ G 2+B 2Y =

Page 21: naizmjenicne struje

7/14/2019 naizmjenicne struje

http://slidepdf.com/reader/full/naizmjenicne-struje-56327c7a70b18 21/36

38. Predstavljanje prostoperiodičnih veličina kompleksnim brojem. Simbolička metoda.

i(t) = I m sin( ωt + ψ) I  m = e  jωt  (*)  I m = |I m| e jψ 

Ovaj izraz predstavlja kompleksnu amplitudu struje. To je konpleksan broj,čiji je moduo jednak maksimalnoj vrijednosti struje,a argument početnom faznom stavu struje. Uelektrotehnici se češće umjesto kompleksne amplitude prostoperiodične veličine uvodi tzv.kompleksna efektivna vrijednost. I  = |I| e jψ 

Iz kompleksnog broja neke prostoperiodične veličine može se odrediti trenutni oblik. Takonpr. za kompleksni oblik struje,dat jednačinom (*), trenutni oblik određuje se nalaženjemnjegovog imaginarnog dijela tj. i(t) = Im dio { I m e jωt  } .

Prema tome, trenutni oblik neke prostoperiodične veličine jednak je imaginarnom dijelukompleksnog broja, kojim je predstavljena ta veličina. Predstavljanje prostoperiodičnihveličina kompleksnim brojem naziva se simbolička metoda, i u elektrotehnici omogućava

 jednostavnije rješavanje el.kola. Ova metoda omogućava da se vektori naizmjeničnih veličinastruje,napona,ems,snage predstavljaju kompleksnim brojem.Ili npr. za Z :

 Z = R + jX , gdje je R komponenta koja se nanosi po realnoj osovini, i naziva se realnomkomponentom,dok je X komponenta koja se nanosi po imaginarnoj osovini (±j) i naziva seimaginarnom komponentom. j2 = -1 . U matematici se imaginarna jedinica označava sa i, dok se u elektrotehnici označava sa j, i to zbog toga što je i rezervisano za struju,pa da ne bidolazilo do zabune. Sa fazorskog dijagrama impedanse Z , vidimo da je

 Z = a ugao φ = arctg  

Realna i imaginarna komponenta kompleksnog broja se mogu predstaviti i pomoću modula iargumenta:  R=Z cosφ, X=Z sinφ,

 pa se kompleksni broj može prikazati i u trigonometrijskom obliku,kao: Z= (cosφ+jsinφ) Z ,može i pomoću Eulerovog obrasca cosφ + sinφ = e jφ,Kompleksni broj Z bi se mogao prikazati i u eksponencijalnom obliku:  Z = Ze  jφ

39. Osnovni zakoni el.kola prostoperiodičnih struja u kompleksnom obliku.

Koristeći simboličku metodu, svi ranije razmatrani zakoni el.kola mogu se predstaviti ukompleksnom obliku. Tako npr. Omov zakon u kompleksnom obliku je dat jednačinom:

(za efektivne vrijednosti) . Z = R + jX.

21

-j

  +j

X  Z 

 R r.o.

φ

0

√ R2+X 2X 

Z I =

Page 22: naizmjenicne struje

7/14/2019 naizmjenicne struje

http://slidepdf.com/reader/full/naizmjenicne-struje-56327c7a70b18 22/36

 I Kirhofov zakon definiše da je algebarska suma struja koje se stiču u neki čvor el.kola jednaka nuli.Izraz

 predstavlja prvi Kirhofov zakon u kompleksnom obliku, u kome je I k = I k  e jφ.

 II Kirhofov zakon : Algebarska suma trenutnih vrijednosti svih ems izvora duž proizvoljnezatvorene konture el.kola jednaka je algebarskoj sumi trenutnih vrijednosti padova napona nasvim ostalim elementima te konture. Taj zakon bi u kompleksnom obliku izgledao:

 Gdje su E k  i  U i kompleksne vrijednosti ems i napona.

40. Izvesti jednačine za prvi i drugi Kirchoffov zakon u kompleksnom obliku .

 Prvi Kirhofov zakon definiše da je algebarska suma struja koje se stiču u neki čvor el.kola jednaka nuli:

Ako se trenutna vrijednost struje izrazi pomoću imaginarnog dijela njene kompleksne predstave, dobija se:

Ili

OdnosnoAko se uvede pojam kompleksne efektivne vrijednosti struje i, znajućida je odnos maksimalne i efektivne vrijednosti , dobijena formula

se jednostavno svodi na oblik:

koji predstavlja izraz prvog Kirhofovog zakona u kompleksnom obliku. ________________________________________________________________ 

 Drugi Kirhofov zakon je definisan jednačinom

ili u obliku:

U kompleksnom obliku se predstavlja jednačinom:

(nepotpuno)

41. Izvesti jednačine za napon na krajevima kondenzatora u kompleksnom obliku . 

Kompleksna efektivna vrijednost napona napajanja U,uravnotežena je sa kompleksnim efektivnimvrijednostima pa dova napona U  R, U  L i U C , pa jeU = U  R+U  L+U C . 

Kompleksna efektivna vrijednost struje I , koja seuspostavlja u kolu je ista kroz sve elemente kola. Aktivni

22

Σ I k 

= 0 ,n

 k=1

ΣΣ E k = U 

i

  n

 k=1

  m

 i=1

Σ ik  = 0 .

  n

 k=1

Σ J k [ I 

mk e jφ i e  jωt  ] =

  n

 k=1

Σ J k [ I 

mk e  jωt  ] = 0 .

  n

 k=1

Σ I mk 

= 0 .  n

 k=1

e  jωt  [ =0Σ I mk 

 ]n

 k=1

 

 ___ 

√2

Σ I mk 

= 0 .  n

 k=1

ΣΣ ek = u

i

  n

 k=1

  m

 i=1

ΣΣ ek 

- ui= 0.

  n

 k=1

  m

 i=1

ΣΣ E k = U 

i

  n

 k=1

  m

 i=1

 I 

RL

Page 23: naizmjenicne struje

7/14/2019 naizmjenicne struje

http://slidepdf.com/reader/full/naizmjenicne-struje-56327c7a70b18 23/36

 pad napona je u fazi sa strujom, induktivni pad naponafaznom prednjači struji za π/2,a kapaciticni fazno zaostajeza π/2,tako da se kompleksni izrazi za padove naponamogu prikazati u obliku:

U  R = R I .

 U  L = ω L I e jπ/2 = jωL I .

42.Izvesti jednačine za napon na krajevima induktivnog kalema u kompleksnom obliku .

 pitanje 41.(nepotpuno)

43. Može li prvi Kirchoffov zakon u komleksnom obliku da se napiše ako su jačine struje,koje se stiču u nekom čvoru, neprostoperiodične ?

44. U nekom el.kolu sa linearnim elementima djeluju generatori napona dviju učestanosti. Može li se stanje u ovom el.kolu analizirati posebno za jednu i drugu učestanost, a zatim stvarno stanje dobiti sabiranjem ta dva stanja ?

Prosto rezonantno kolo se često koristi u praksi. Npr. ako u nekom kolu djeluju generatoridvije učestanosti. Zadatak je da nekom potrošaču dovedemo napon samo jedne učestanosti.U tom cilju paralelno sa potrošačem vežemo redno rezonantno kolo,čija je rezonantnaučestanost jednaka učestanosti napona napona koji želimo da odstranimo. Pošto za svojurezonantnu učestanost redno rezonantno kolo predstavlja skoro kratak spoj,napon izmeđukrajeva potrošača one učestanosti koju želimo odstraniti biće jednak nuli.Rezonantne pojavese koriste u tzv.filterima za propuštanje signala određenih učestalosti.........

45. Redna(serijska) ,paralelna i mješovita veza impedansi .

Kod serijske veze, struja je ista kroz sve impedanse, dok je napon, u skladu sa drugimKirhofovim zakonom, jednak sumi padova napona na impedansama.U = U 1 + U 2 +.........+ U n.

U = Z 1 I + Z 2 I + ......+Z n I = (Z 1+Z 2+..........+Z n ) = Z e I, gdje su: Z e = Σ Z i = Σ (Ri + jX i ) = ΣRi + jΣX i = Re + jX e

 Re = ΣRi , i X e = ΣX i . _________________________________ Kod paralelne veze admitansi Y1,Y2.......Yn , napon na krajevima je isti za sve admitanse, dok 

 je struja, u skladu sa prvim Kirhofovim zakonom: I = I 1 + I 2 + ................+ I n =Y 1 U   + Y 2 U + ................ + Y n U = ( Y 1 + Y 2 +.........+ Yn ) U = Y e U . gdje je:

Y e = Σ  Y i = Σ ( Gi – jBi ) = ΣGi – jΣBi = Ge – jBe . odnosno

23

U C 

= I e –jπ/2 = I = - I 1

ωC 

1

jωC 

j

 jωC 

Page 24: naizmjenicne struje

7/14/2019 naizmjenicne struje

http://slidepdf.com/reader/full/naizmjenicne-struje-56327c7a70b18 24/36

Ge = ΣGi ; Be = ΣBi . _________________________________ 

Za mješovitu vezu sa slike, poznate su impedanse i napon napajanja. Prvo treba riješiti

 paralelne grane :

Ekvivalentna impedansa kola je:

Pa su struje:

46. Transfiguracija trougla impedansi u zvijezdu i obrnuto. Izvesti izraze.

Za prikazani spoj trougao-zvijezda važe analogni odnosi:Spoj trougao:

Spoj zvijezda:

24

=

  I 1

  U 

   Z 1

   I 2

   I 3

   Z 2

   Z 3

I 1

 U    Z 

e

Y 23

=Y 2+ Y 

3= + =

1

Z 2

1

Z 3

Z 2+Z 

3

Z 2 Z 

3

Z 23

= =1Y 

23

Z 2 Z 3Z 

2+Z 

3

Z e = Z 1+Z 23 = Z 1 +  Z 2 Z 

3

Z 2+Z 

3

I 1= = U .

Z e

Z 2+Z 

3

Z 1 Z 

2 + Z 

2 Z 

3 + Z 

3 Z 

1

I 2= I 

1= U 

.

Z 3

Z 2

+Z 3

Z 3

Z 1

 Z 2 +

 Z 2

 Z 3 +

 Z 3

 Z 1

I 3= I 

1= U 

.

Z 2

Z 2+Z 

3

Z 2

Z 1 Z 

2 + Z 

2 Z 

3 + Z 

3 Z 

1

   Z 1

   Z 2

   Z 3

   Z 31

   Z 12

1

2 3   Z 

23

0

Z 12 = Z 1 + Z 2 + Z 

1

 Z 2

Z 3

Z 23

= Z 2+ Z 

3+

 Z 2 Z 

3

Z 1

Z 31

= Z 3+ Z 

1+

 Z 3 Z 

1

Z 2

Z 1= ;

 Z 12 Z 

31

Z 12 +

 Z 23 +

 Z 31

Z 2= ;

 Z 12 Z 

23

Z 12 +

 Z 23 +

 Z 31

Z 3= ;

 Z 23 Z 

31

Z 12 +

 Z 23 +

 Z 31

Page 25: naizmjenicne struje

7/14/2019 naizmjenicne struje

http://slidepdf.com/reader/full/naizmjenicne-struje-56327c7a70b18 25/36

QS 

 P 

φ

47. Izvesti izraze za snagu u kompleksnom obliku .

 Neka u kolu naizmjenične struje djeluje napon u =U m sin ( ωt + φu ), čija je efektivnavrijednost U = U e jφ

u . Pod uticajem napona, u kolu se uspostavlja struja: i = I m sin ( ωt + φu –φ ) = I m sin ( ωt + φi ).φi = φu –φ, gdje je φ fazni stav između napona i struje. Kompleksna efektivna vrijednost strujese može prikazati u obliku: I = I e jφ

i .Poznato je da snaga zavisi od proizvoda efektivnih vrijednosti napona i struje, i fazne razlikeizmeđu njih. Da bi se ostvarili takvi izrazi u kompleksnoj predstavi napona i struje, trebaupotrijebiti konjugovano-kompleksni izraz za struju: I * = I e –jφ

i .Odnosno izraz za kompleksnu prividnu snagu treba prikazati u obliku:

S = U I * = U I e jφu e –jφi = U I e j (φu – φi ) , jer je φ = φu – φi .Pa se za snagu dobija:S = U I e jφ = U I cosφ + j U I sinφ, ili S = U I * = P + jQ.

Moduo kompleksne prividne snage je S = , a argument

Ako se umjesto konjugovano-kompleksne struje upotrijebi konjugovano-kompleksni napon,dobija se:

U * I = U I cosφ – U I sinφ = P – jQ.Aktivna i reaktivna snaga u tom slučaju iznosi:

cosφ –faktor snage potrošača

 P = Re { S }= U I cosφ ;Q = Im { S } = U I sinφ ;

48. Zbog čega je reaktivna snaga potrošača od interesa u praksi ?

Reaktivna snaga opisuje razmjenu energije između potrošača i izvora-generatora. Ovarazmjena energije vrši se podsredstvom struja duž provodnika, kojima se potrošač napaja(npr.energetski vodovi dugi više km). Zbog ove komponente struje, u napojnom vodu se

 javljaju dodatni gubici. Ovi gubici, zbog relativne snage potrošača, posljedica su razmjeneenergije između potrošača i izvora-generatora duž voda, čas u jednom,čas u drugom smjeru.Cilj je da se ovi gubici eliminišu ili svedu na najmanju moguću mjeru. Relativna snaga jemjera koliko su ti dodatni nepotrebni gubici, kojih nema ukoliko je relativna snaga nula, arastu kad se ona povećava. U praksi su potrošači rijetko čisto aktivni ili čisto reaktivni.El.motor je primjer u kojem je potrošač uvijek i aktivan (el.energija se pretvara u mehaničku),i reaktivan(zbog induktivnosti namotaja motora).

Reaktivna snaga predstavlja snagu koja se u procesu uspostavljanja struje, nagomilava umagnetnom polju zavojnice i u procesu uspostavljanja napona, u el.polju kondenzatora.

25

√  P 2+Q 2 φ = arctg Q

P = ( U I * + U * I )1

2

Q = ( U I * - U * I )1

2j

Page 26: naizmjenicne struje

7/14/2019 naizmjenicne struje

http://slidepdf.com/reader/full/naizmjenicne-struje-56327c7a70b18 26/36

QS 

 P φ

49. Šta predstavlja kompleksna snaga potrošača i generatora? Zašto se kompleksna snaga ne

računa kao U I, nego kao U I *

?

(pitanje 47.)

50. Faktor snage i popravka faktora snage .

cosφ –faktor snage potrošača 

Kada je faktor snage potrošača mali npr. 0,7 aktivna snaga znatna nekoliko kW,tada sedodatnim reaktivnim elementima postiže faktor snage cijelog sistema (stvarni potrošač idodatni reaktivni elementi),koji treba da bude što bliže jednak jedinici. Ovo dodavanjereaktivnih elemenata, u cilju povećanja faktora snage, naziva se popravka (projekcija) faktora

 snage. Može se definisati odnos:

Faktor snage predstavlja koeficijent, koji je manji od jedinice i koji pokazuje koliki se dio odukupne snage (UI) nepovratno pretvara u snagu Džulovih gubitaka.

51. Da li faktor snage potrošača može biti negativan ?

Faktor snage ne može biti negativan, varira između 0 i 1. Za čisto reaktivni potrošač(kondenzator i kalem) je jednak nuli,a za čisto aktivni,otporni potrošač je jednak nuli. Zael.motore,koji se mogu prikazati kao redna veza otpornika i kalema, cosφ se kreće ugranicama od 0,7 do 0,9.

52. Šta je aktivna snaga potrošača ?

Pošto se na aktivnom otporu energija nepovratno pretvara u toplotnu,očigledno je da srednjasnaga predstavlja,ustvari,snagu Džulovih gubitaka. Pošto se transformacija ostvaruje uaktivnom parametru R kola, uobičajeno se ona naziva aktivnom snagom, i označava se sa P .

53. Šta je reaktivna snaga potrošača ?

Reaktivna snaga se označava štampanim slovom Q,i definisana je relacijom:Q = U I sinφReaktivna snaga predstavlja snagu koja se u procesu uspostavljanja struje nagomilava u

magnetnom polju zavojnice, i uprocesu uspostavljanja napona u el.polju kondenzatora,pri

26

cosφ = P 

UI 

sinφ =Q

UI 

Page 27: naizmjenicne struje

7/14/2019 naizmjenicne struje

http://slidepdf.com/reader/full/naizmjenicne-struje-56327c7a70b18 27/36

čemu se faktor snage sinφ naziva faktorom reaktivnosti. On pokazuje koliki se dio ukupnesnage pretvara u energiju magnetnog i električnog polja.

54. Kondenzator i kalem su reaktivni potrošači. Zašto? Može li se desiti da paralelna vezaotpornika, kalema i kondenzatora bude "čisto"aktivan potrošač ?

55. Metode proračuna stanja složenih električnih kola sa prostoperiodičnim strujama.

Pri proračunu struja u el.kolima sa vremenski konstantnim strujama, koristile su se različitemetode,počevši od Kirchoffovih zakona,metode konturnih struja,ekvivalentnoggeneratora,superpozicije, do metoda napona čvorova...i sl. Postavlja se pitanje da li se ovemetode mogu koristiti pri proračunu stanja u el.kola sa vremenski promjenljivim strujama.Za svaki vremenski trenutak, ravnotežna stanja u el.kolu jednoznačeno su definisana. Ovo

znači da za složeno el.kolo sa prostoperiodičnim strujama mogu biti primijenjene iste metode proračuna. Naravno,ove metode uključuju vezu trenutnih vrijednosti napona i struja duž pojedinih grana kola. Skuo jednačina u kojima egzistiraju trenutni oblici prostoperiodičnihveličina težak je i nepogodan za rješavanje. I tog oblika treba preći u algebarski oblik 

 jednačina,što se ostvaruje primjenom simboličke metode,odnosno kompleksnog računa. Naovaj način sve korištene metode kod el.kola sa vremenski konstantnim strujama,mogu sekoristiti i kod proračuna struja u el.kolima sa prostoperiodičnim strujama. Jedina razlika je utome što su vrijednosti napona i struja izražene kompleksnim,efektivnim vrijednostima ovihveličina, i što se otpornosti u ovim jednačinama pojavljuju kao kompleksne vrijednostiimpedanse.

56 Objasniti postupak rješavanje električnih kola prostoperiodičnih struja metodomkonturnih struja .

Primjena metode konturnih struja svodi se na primjenu drugog Kirhofovog zakona nanezavisne konture kola.Broj nezavisnih kontura nk složenog kola sa nč čvorova i ng grana je:nk = ng – (nč – 1)U skladu sa ovom metodom, u jednoj konturi protiče samo jedna struja i naziva se konturnastruja. Prije konstituisanja jednačina, primjenom drugog Kirhofovog zakona, proizvoljnotreba odabrati smjer obilaska konture,koji je istovremeno i pozitivan smjer konturne struje.

Ako se pozitivni smjer obilaženja konture podudara sa smjerom djelovanja EMS,onda EMS u jednačinama imaju pozitivan predznak,i obrnuto,ako se ne podudaraju,imaju negativan predznak.Struje u zajedničkim granama za dvije ili više kontura dobijaju se kao sume kompleksnihizraza konturnih struja,pod uslovom da je zadovoljen prvi Kirhofov zakon u čvorovima kola.Postupak je identičan sa onim u kolima jednosmjernih struja. U kolu sa n nezavisnih kontura,

 primjenom drugog Kirhofovog zakona,treba napisati isto toliki broj jednačina u kompleksnomobliku:Z11I1 + Z12I2 + ..............+ Z1n In = E11

Z21I1 + Z22I2 +...............+ Z2n In = E22

.

.Zn1I1 + Zn2I2 +...............+ Znn In = Enn

27

Page 28: naizmjenicne struje

7/14/2019 naizmjenicne struje

http://slidepdf.com/reader/full/naizmjenicne-struje-56327c7a70b18 28/36

 _________________________________ gdje su I1,I2,..............In konturne struje prve,druge,odnosno n-te konture, Z11,Z21,...........Znn ukupneimpedanse prve,druge,odnosno,n-te konture, E11,E22,..........Enn suma svih EMS

 prve,druge,odnosno n-te konture,dok impedanse tipa Zkp= Z pk predstavljaju impedansezajedničkih grana.

57 . Objasniti postupak rješavanje električnih kola prostoperiodičnih struja metodom naponačvorova .

Ova metoda,koja je posebno prikladna za složena kola,u kojima je broj grana znatno veći od broja čvorova, primjenjuje se na (nč – 1) nezavisnih jednačina, koje treba konstituisati uskladu sa prvim Kirhofovim zakonom, koje su, u slučaju da kolo sadrži samo naponskegeneratore oblika:

Y11U1 - Y12I2 - ..............- Y1n Un = I1

-Y21U2 + Y22U2 -...............- Y2n Un = I2

.

.Yn1U1 - Yn2U2 -...............+ Ynn Un = In

 __________________________________ gdje su U  j napon čvorova j, j = 1,2,.....nI  j = ( Σ E Y ) j suma proizvoda EMS generatora u granama koje se stiču u čvor j saadmitansom odgovarajuće grane,pri čemu se EMS,čije je električno djelovanje orijentisano

 prema čvoru,uzimaju sa pozitivnim predznakom,a one koje su svojim djelovanjemorijentisane od čvora sa negativnim predznakom. Ukoliko pored naponskih, u kolu djeluju istrujni generatori,tada važi:I  j = ( Σ E Y ) j + ( Σ I s ) j . pri čemu, ako je referentni smjer struje Is prema čvoru j,struja Is seuzima sa pozitivnim predznakom,a u slučaju da je orijentisana od čvora j,uzima se sanegativnim predznakom.Y jj – suma kompleksnih admimtansi svih grana koje se stiču u čvor j, j = 1,2.......n.Y jk – suma admitansi svih grana između čvorova j i k, j = 1,2......n, j≠k.

58.Električna kola sa induktivnom spregom(magnetno spregnuta)kola.Osnovnekarakteristike.

Kod sčoženih el.kola međusobna veza između njih ili njihovih pojedinih dijelova može se

ostvariti na tri načina:1.Galvanskom ili konduktivnom vezom preko otpora R ili induktiviteta L,2.Kapacitivnom ili dielektričnom spregom preko kondenzatora C,3.Induktivnom spregom preko magnetnog fluksa.

28

   N2

  u1   N1

  Φ1  

Φ12 

Φ1r 

Page 29: naizmjenicne struje

7/14/2019 naizmjenicne struje

http://slidepdf.com/reader/full/naizmjenicne-struje-56327c7a70b18 29/36

Induktivna sprega između dva kola ili njihovih pojedinih dijelova može se razumjeti izdefinicije sopstvenog i međusobnog fluksa dva el.kola. Predpostavimo da postoje dvije,galvanski odvojene,zavojnice u homogenoj i izotropnoj sredini.μ=const. Jedna koja ima N1,idruga koja ima N2 zavojaka. Ako prvom zavojnicom protiče promjenljiva struja i1(t), ona će u

 prostoru oko sebe stvarati neki ukupni promjenljivi fluks Φ1.

Ovaj fluks se naziva sopstveni fluks,jer nastaje usljed proticanja struje kroz prvu zavojnicu sa N1 zavojaka. Ovaj fluks je za zavojnicu sa linearnom karakteristikommagnetiziranja,proporcionalan struji koja ga izaziva. Jedan dio ovog fluksa prolaziće krozzavojnicu 2,što se može označiti sa Φ12. Magnetne linije su spregnute u obje zavojnice,te se nataj način kola 1 i 2 mogu posmatrati kao dva induktivno spregnuta kola. Jedan dio fluksa, koji

 je jednak razlici ova dva fluksa nazivamo fluks razipanja prve zavojnice Φ1r  . Sličan procesodigraće se i za slučaj kada kroz drugu zavojnicu proziče struja i2,s tom razlikom što ćezavojnica2 zahvatati sopstveni fluks Φ2,a određeni broj magnetnih linija zahvataće i prvuzavojnicu Φ12,pa će ukupni fluks prve zavojnice biti Φ1= Φ1r + Φ12. Magn.fluks se mijenjalinearno sa strujom,i pošto su obje zavojnice z vazduhu može se napisati N 1 Φ1=L1i1,tj.

Ovdje smo sa L1 označili ukupnu induktivnost prve zavojnice.Kada kroz namotaje zavojnice protiče jednosmjerna struja, induktivna sprega dva kola ne dovodi do prenosa energije iz jednog u drugo kolo.Proticanjem promjenljive struje dovodi do pojave Faradejeve el.magn.indukcije,što za posljedicu ima pojavu indukovanih ems u zavojnici. Unutar druge zavojnicedolazi do pojave ems,koja se može izraziti u zavisnosti od promjene struje i1,kao:

Koeficijent sopstvene induktivnosti L je uvijek pozitivan,jer su smjerovi fluksa i struje kojaga stvara uvijek usaglašeni,dok koeficijent međusobne induktivnosti M može biti i pozitivan inegativan.

59. Definisati koeficijent uzajamne-međusobne induktivnosti M.

Ovdje je M12 uzajamna ili međusobna induktivnost između dvije zavojnice. Zavisi odgeometrijskog oblika prve i druge zavojnice,te njihovog međusobnog položaja. Negativan

 znak u jednačini slijedi iz osnovnog zakona el.magn.indukcije. Indukovana ems je izvor udrugoj zavojnici, ona teži da izazove struju i2,ova da izazove fluks Φ2,koji će težiti da smanjifluks kroz prvo kolo. Iz predhodne jednačine dobijamo, i pošto Φ12 linearno zavisi od struje

izraz ne mora biti napisan u diferencijalnom obliku:

Koeficijent međusobne induktivnosti M može biti i pozitivan i negativan,zavisno od izborareferentnog smjera struje u primarnom i sekundarnom namotaju i načina na koji su oninamotani. Jedinica mu je 1H.(henri)

60. Objasniti smisao algebarskog znaka uzajamne-međusobne induktivnosti M, i šta sve nataj znak utiče ?

Koeficijent međusobne induktivnosti M može biti i pozitivan i negativan,zavisno od izborareferentnog smjera struje u primarnom i sekundarnom namotaju i načina na koji su oni

29

L1 = N 

1

 Φ1i

1Φ1 =

 L1

 i1N 

1

e = - M 12

 di

1

dt 

M 12

= N 2 

Φ12

i1

M 21

= N 1 

Φ21

i2

Page 30: naizmjenicne struje

7/14/2019 naizmjenicne struje

http://slidepdf.com/reader/full/naizmjenicne-struje-56327c7a70b18 30/36

namotani. Ako se sopstveni fluksevi podudaraju sa fluksevima međusobne indukcije,znak će biti pozitivan,i obratno. Dakle zavisi od referentog smjera struja, i smjerova flukseva.Zavisi i od toga da li porast struje i2 povećava ili smanjuje ukupni fluks. Međusobnainduktivnost M zavisi, kao i L od geometrije magnetnog kola i broja navojaka.

61. Kada će i pod kojim uslovima indukovan ems e2 u drugoj-sekundarnoj zavojnici bitimaksimalna ?

62. Dokazati jednakost M 12 = M 21 = M ?

63. Međusobna induktivnost dva zavojka je M 12. Kolika bi bila međusobna induktivnost dvatanka kalema istog oblika i isto postavljena jedan u odnosu na drugi,ako bi imali jedan sa N 1 ,

a drugi sa N 2 tijesno priljubljenih zavojaka tanke žice? Odgovor obrazložiti na dva načina: preko magnetnog fluksa i preko indukovane ems .

64. Dva dvožična voda prelaze jedan preko drugog («ukrštaju se») pod pravim uglom. Pokazati da je međusobna induktivnost tanka dva voda jednaka nuli,obrazlažući to na dvanačina: preko magnetnog fluksa i preko indukovane ems .

65. Međusobna induktivnost može biti pozitivna i negativna. Da li samoinduktivnost može bitii pozitivna i negativna ?

Koeficijent sopstvene induktivnosti L je uvijek pozitivan,jer su smjerovi fluksa i struje kojaga stvara uvijek usaglašeni,dok koeficijent međusobne induktivnosti M može biti i pozitivan inegativan. Međusobna induktivnost M zavisi, kao i L od geometrije magnetnog kola i brojanavojaka.

Posljednja jednačina predstavlja idealan slučaj magnetne sprege,koga je u praksi teško postići, jer postoji uvijek određeno rasipanje fluksa na primaru i sekundaru.

66. Definisati sačinilac sprege induktivno spregnutih kola .Ako sa Φ12 označimo dio fluksa koji obuhvata sekundarni namotaj,a stvoren je od primarnognamotaja, i ako sa Φ1 označimo primarni fluks,(a Φ1r  je fluks rasipanja) onda je:

Ovaj koeficijent k 1 predstavlja karakterističnu veličinu primara i naziva se sačinilac sprege, ak 2 je od sekundara.Ako napravimo proizvod jednačina L1 i L2, dobijamo:

30

L1

= N 1 

Φ12

i1

L2

= N 2 

Φ21

i2

k 1

= =Φ

12

Φ1

Φ12

Φ1r 

+Φ12

k 2

= =Φ

21

21Φ

2

Φ21

Φ2r 

+Φ21

M = ____ √L

1 L

2

 L1 L2 = · = · = ;N 1Φ

1

i1

N 2Φ

2

i2

N 2Φ

2

k 2 i2

N 1Φ

1

k 1 i1

M 2

k 1k 2

M = k  ____ √L

1 L

2

k = M 

  ____ √L

1 L

2

Page 31: naizmjenicne struje

7/14/2019 naizmjenicne struje

http://slidepdf.com/reader/full/naizmjenicne-struje-56327c7a70b18 31/36

Sačinilac sprege je bezdimenzionalan broj,i uvijek je manji od jedinice. Njegova vrijednost sekreće kod transformatora do 0,99.

67. Načini označavanja spregnutih namotaja .

Da bismo odredili znak ems međusobne induktivnosti, potrebno je posmatrati smjerovenamotaja, kao i smjerove struja u namotajima. Međutim,u šemama el.kola ne koristi se ovajnačin utvrđivanja krajeva spregnutih namotaja. U el.šemama namotaje prikazujemoukršteno,a jedan od njihovih krajeva sa tačkom ili zvjezdicom. Pri ovome se uzimaju sljedeća

 pravila:Ako struje i jednog i drugog namotaja ulaze u krajeve označene sa punom tačkom(zvjezdicom) ili izlaze iz krajeva označenih punom tačkom, njihovo djelovanje u odnosu na

zajednički fluks se podudara,a indukovana ems ima pozitivan predznak. U suprotnom slučajuems ima negativan predznak.

68. Linearni transformator .

Uređaji,koji imaju osobinu da mijenjaju iznos napona i struje sa jednog na drugi nivo pri istojučestanosti,nazivaju se transformatori. Transformator predstavlja induktivnu ili magnetnuspregu dva el.kola. U njemu se vrši promjena naizmjeničnih napona i struja induktivnim

 putem. Da bi se pojačala magnetna sprega,a time i ostvarila i bolja trasformacija struja inapona,za magnetno kolo se biraju materijali sa najvećom magnetnom propustljivošću,tj.feromagnetni materijali. Oko jezgra su,blisko jedna drugom,namotani primar,sekundar,tercijar...itd.Linearni transformator se odlikuje osobinom da se može opisati linearnim algebarskim idiferencijalnim jednačinama. Za transformator su karakteristična tri režima:Režim praznog hoda( Z = , i1=i0, i2=0), režim kratkog spoja( Z = 0, i1=i1max, i2=i2max ), i režim

 pod opterećenjem ( Z ≠ 0, i1≠0, i2≠0 ).Princip rada i osnovne osobine linearnog transformatora pod opterećenjem se mogu analiziratina primjeru dvonamotajnog transformatora sa željeznim jezgrom,impedanse Z .

31

 

●  ● i2

i1

  ●  ● i2

i1

e = + M di

dt 

  ●  ● i2

i1

  ●  ● i2

i1

e = - M di

dt 

●●

u2 Z 

R2

L2

i2

i1

R1

L1

u1

Page 32: naizmjenicne struje

7/14/2019 naizmjenicne struje

http://slidepdf.com/reader/full/naizmjenicne-struje-56327c7a70b18 32/36

69. Ekvivalentna šema linearnog transformatora .

Pod ekvivalentnom šemom transformatora podrazumijeva se konduktivno spregnuta šema,koja je nastala iz induktivno spregnute šeme,pri čemu se energetski odnosi u kolu,u odnosu nanapojni sistem,ne mijenjaju.

 Na slici je prikazan idealni transformator.

 Na slici je prikazana ekvivalentna šema,koja je pogodna za transformatore bez željeza tj.zanedovoljno spregnuta magn.kola k<<1.

70. Uproštena ekvivalentna šema i linearni transformator definisan sa L i M .

Vezano za sliku iznad:

32

  ●

 I 0

E 1 

 Z U 

2

R2I 

2

E 2 

 L22

U 1

I a

I 1' 

R1 L

11I 

1

I m

i2

i1

 R1

 R2L

1-M L

2-M 

M u2

u1

a

b d 

c

u1= R

1i1+ ( L

1-M ) + M di1

dt d( i1-i2)

dt 

- u2= R

2i2+ ( L

2-M ) + M 

di1

dt 

d( i1-i

2)

dt 

Page 33: naizmjenicne struje

7/14/2019 naizmjenicne struje

http://slidepdf.com/reader/full/naizmjenicne-struje-56327c7a70b18 33/36

VIŠEFAZNI SISTEMI

1. Višefazni sistemi. 

Za razliku od jednofaznih el.kola,kod kojih el.struju izaziva generator ems,koji proizvodi jednu ems,višefazni generatori proizvode više ems sila istih učestalosti,ali različitih faznih pomaka. Veliki doprinos u njihovom otkrivanju dao je Tesla.Višefazni sistemi naizmjenične struje predstavlja udruženo djelovanje više el.kola,u kojima

djeluju ems istih učestalosti,međusobno pomjerenih za ugao 2π/m, gdje je m broj faza. Krozova el.kola protiču struje istih učestalosti,ali su i one međusobno fazno pomjerene. Višefaznigenerator je analogan jednofaznom,koji se sastoji od određenog broja faznih namotajameđusobno prostorno pomaknutihč. Obrtanjem ovih namotaja u homogenom magn.poljuugaonom brzinom ω, u njima se indukuje ems istih učestanosti,ali različitih faznih pomaka uzavisnosti od ugla pod kojim su pomaknuti fazni navoji.Ako se predpostavi da su svi namotaji jednake konstrukcije, indukovane ems će u njima biti

 jednakih amplituda i njihove efektivne vrijednosti će biti međusobno jednake,a uglovi izmeđunjih takođe jednaki,tj. 2π/m. Ovakav generator se naziva simetrični generator.A ako svaka naredna ems fazno zaostaje za predhodnom,ovakav simetričan sistem se nazivadirektan,a ako prednjači u odnosu na predhodnu-inverzan.U praksi se inače koriste dvofazni,trofazni,šestofazni,12-fazni,48-fazni sistemi.

2. Prednosti višefaznih sistema u odnosu na jednofazne.

- kod prenosa i distribucije el.energije postižu se značajne uštede materijala za el.vodove,- trofazne mašine i aparati su jednostavnije konstrukcije i ekonomičniji su u eksploataciji,- trofazni sistemi posjeduju konstantnu snagu,- omogućava snažno i konstantno usmjereno obrtno magn.polje.

3. Trofazni sistemi .Trofazni sistem predstavlja udruženo djelovanje tri el.kola naizmjenične struje,u kojimadjeluju ems iste učestanosti i međusobno fazno pomjerene za ugao 2π/3. Ove ems mogu sedobiti pomoću generatora,kao kod jednofaznih kola,s tim da bi ovaj,umjesto jednog rama sa

 prstenovima,imao njih tri pod uglom od 2π/3 i obrtali bi se u magn.polju brzinom ω.Međutim,bolje rješenje generatora je ako su namotaji postavljeni nepokretni na statoru,poduglom 2π/3,a obrtni dio,rotor, predstavlja el.magnet,koji se napaja jednosmjernom strujom iobrće na osovini generatora.Obrtanjem rotora,njegovo magn.polje presijeca namotaje na statoru,i u njima indukuje ems. Udatom trenutku,sjeverni magn.pol N rotora se nalazi naspram prvog namotaja. U tom trenutku

i na tom mjestu je magn.polje najjače i uprvom namotaju indukuje ems e1,koja dostižemaksimalnu vrijednost Em. Maksimalna vrijednost ems u drugom namotaju nastaje kad se

33

Page 34: naizmjenicne struje

7/14/2019 naizmjenicne struje

http://slidepdf.com/reader/full/naizmjenicne-struje-56327c7a70b18 34/36

rotor obrne za 2π/3 i sjeverni pol N dođe naspram drugog namotaja,a u trećem kad se obrne još za 2π/3. Zaključujemo da između ovih ems koje se indukuju u namotajima statora,postojifazna razlika od 2π/3 ili vremenska od 1/3 perioda (T/3). Ako su namotaji statora identični saistim brojem zavojaka,tada su i max.vrijednosti ems jednake,a njihove trenutne vrijednosti su:e1 = E m sinωt 

e2 = E m sin (ωt - 2π/3)e3 = E m sin(ωt - 4π/3).4. Dokazati za trofazni sistem da je zbir trenutnih vrijednosti ems u sistemu jednak nuli .

Zaključujemo da između ems koje se indukuju u namotajima statora,postoji fazna razlika od2π/3 ili vremenska od 1/3 perioda (T/3). Ako su namotaji statora identični sa istim brojemzavojaka,tada su i max.vrijednosti ems jednake,a njihove trenutne vrijednosti su:e1 = E m sinωt e2 = E m sin (ωt - 2π/3)e3 = E m sin(ωt - 4π/3).Simboličkom metodom dobijamo ems u kompleksnom obliku:

 E 1 = E e  j0  E 2 = E -j2π/3  E 3 = E e -j4π/3 = E  j2π/3 – direktni E 1 = E e  j0  E 2 = E  j2π/3  E 3 = E e  j4π/3 = E  j2π/3 - inverzni E 1 =E 2 =E 3 =E e  j0 - nulti sistem .

Kod trofaznih kola,radi jednostavnijeg kompleksnog prikazivanja osnovnih parametara,uvodise u račun kompleksni operato a :

a = e  j2π/3.Tada se sistem može napisati u obliku:

 E 1 = E e  j0  E 2 = a2 E E 3 = a E (direktni) ______________________________________ 

a = e  j2π/3 = - ½ + j√3/2

a2 = e  j4π/3 = - ½ - j√3/2

a3 = e  j6π/3 = 1 ______________________________________ Sabiranjem E1,E2 i E3 , za direktni sistem:

 E 1 + E 2 + E 3 = ( 1 + a + a2 ) E = 0., a pošto je 1 + a + a2 = 0, zaključak je da je zbir trenutnih

vrijednosti ems u sistemu jednak nuli.

5. Obrazložite načine spajanja namotaja trofaznog generatora .

Kada se vežu tri namotaja generatora,tako da se izlaz jednog namotaja,npr.prve faze veže naulaz namotaja druge faze,zatim izlaz namotaja druge,na ulaz namotaja treće faze,i na kraju seizlaz namotaja treće veže na ulaz namotaja prve. Ukupna ems ovako vezanog el.kola bićenula. Isto tako ukupna vrijednost ovako vezanog kola biće jednaka nuli, iako svaki namotajima svoju ems i svoju struju,čije su vrijednosti različite od nule.Ovakav način vezivanjanamotaja naziva se veza u trougao.

Vezivanje namotaja generatora u trougao režim generatora se ne mijenja i ne remeti se rad bilo kojeg namotaja. U tom slučaju napajanje trofaznog potrošača ne mora se izvoditi sa šest

34

Page 35: naizmjenicne struje

7/14/2019 naizmjenicne struje

http://slidepdf.com/reader/full/naizmjenicne-struje-56327c7a70b18 35/36

 provodnika,nego samo sa tri. Struje u trofaznom simetričnom kolu su pomjerene za isti fazniugao u odnosu na napon odgovarajuće faze,tako da je suma struja u svakom trenutku jednakanuli. Ova osobina praktično znači da se sva tri ulaza (ili izlaza) namotaja trofaznog generatoramogu zajedno vezati u jedan čvor,(zato što je suma struja jednaka nuli-I Kirchoffov zakon).Pri ovome se rad svakog namotaja pojedinačno,i generatora u cjelini nije poremetio. Ovakav

način vezivanja se naziva veza ili spoj u zvijezdu.

 Namotaji generatora se najčešće vezuju u zvijezdu. Krajevi faznih zvjezdišta se spajaju u jednu tačku tzv.zvjezdište generatora ili neutralnu tačku. Drugi krajevi istih faznih namotajaizvode se na priključke generatora na koje se spaja potrošač.

6. Mogu li se kod veze trofaznog generatora u trougao definisati fazni naponi ?

7. Objasniti zbog čega je poželjno da fazni sistem bude simetriča n . 

8. Objasniti da li je moguće kod veze potrošača u trougao definisati fazne napone .

9. Da li je u slučaju veze potrošača u trougao (generator je uglavnom vezan u zvijezdu)moguće definisati fazne napone .

17. Trofazno električno kolo vezano u zvijezdu.

Čvor 0 je zvjezdište ili nulta tačka. Izlazi namotaja prve,druge i treće faze su označenislovnim oznakama U,V,W. Linijski provodnici su označeni brojevima 1,2 i 3. Svaki namotajgeneratora,kao nosilac jedne faze,naziva se fazni namotaj. Struja u namotaju je fazna struja ioznačava se sa If , a ems i pad napona na krajevima namotaja je fazna ems i fazni napon,ioznačavaju se Ef  i Uf . U trofaznim kolima, struje koje protiču kroz linijske provodnike

nazivaju se linijske struje. Tačka 1 je na višem potencijalu od tačke 2,čime je označen polaritet. U spoju zvijezda su linijske i fazne struje jednake,zato što su provodnici linije

35

A B C p(w)

trougao zvijezda

x U 1 I 1

(1)

y V 2 I 2

(2)

 z W I 3

(3)

 U  f1

 U  f2

 U  f3

0

Page 36: naizmjenicne struje

7/14/2019 naizmjenicne struje

http://slidepdf.com/reader/full/naizmjenicne-struje-56327c7a70b18 36/36

vezani u seriju sa namotajem generatora. U ovom spoju linijski naponi nisu jednaki sa faznimnaponima,zato što je linijski napon određen rezlikom vektora faznih napona.(U12 = U1 – U2...).Amplituda linijskog napona za √3 puta veća od amplitude faznog napona. Linijski napon jefazno pomjeren u odnosu na fazni napon za ugao π/6.

18. Trofazno električno kolo vezano u trougao.

Očigledno je sa slike da je fazni napon na krajevima faznog namotaja generatora ujedno ilinijski napon između linijskih provodnika,koji vežu odgovarajuće krajeve generatora sa

 potrošačem. Odavde se izvodi vrlo važan zaključak za simetrično trofazno kolo,a to je da jelinijski napon jednak faznom.Linijske struje jednake su razlici dvije fazne koje se stiču u jedan čvor.Amplituda linijske struje je za √3 puta veća od amplitude fazne struje i fazno je pomjerena uodnosu na faznu struju za –π/6,tj.fazno zaostaje za njom.Znači,efektivna vrijednost linijske struje je√3 puta veća od efektivne vrijednosti fazne struje.

19. Uporediti veze trofaznog kola u zvijezdu i trougao.

Veza u zvijezdu je ekonomičnija, posebno kod utroška materijala prenosnoih vodova. Kodveze u trougao struja kroz vodove je √3 puta veća od fazne struje,dok su kod zvijezde ove

struje jednake. Odavde zaključujemo da je za isti prenos el.energije moguće upotrijebiti približno √3 puta manje materijala,jer se kod manjih vrijednosti linijskih struja koriste provodnici manjeg presjeka.

 ●

 ●

 ●

  ●   ●

 ●

 ●

  I 

31

  z u

w x 

3 2

1

  I 

12

   I 23

 U 12 U 

31

 U 23

I 1 (1)

I 2 (2)

I 3 (3)