El Espacio Vectorial

ú3(ú)

I. E. S. Siete Colinas (Ceuta) Departamento de Matemáticas

Matemáticasde

2º de Bachillerato

Por Javier Carroquino CaZas Catedrático de matemáticas

del I.E.S. Siete Colinas

Ceuta 2004

El Espacio Vectorial ú3 (ú) Javier Carroquino Cañas

Matemáticas de 2º de bachillerato–•–

Ciencias de la Naturaleza y la SaludTecnología

El EspacioVectorial ú3(ú)

PorJavier Carroquino CañasCatedrático de matemáticas

I.E.S. Siete Colinas (Ceuta)Departamento de Matemáticas

Ceuta 2004

© Javier Carroquino CañasI.E.S. Siete Colinas (Departamento de Matemáticas)El Espacio Vectorial ú3(ú)

Depósito Legal : CE&63&2004

ISBN : 84&688&7127&3

Número de Registro : 4129104

Ceuta 2004

Prólogo

Con este tema, “El espacio vectorial ú3(ú)”, secomienza a construir la estructura matemática que

nos permitirá y facilitará el posterior estudio del espaciofísico tridimensional, esto es, el espacio que nos rodea y,posteriormente, aquello que utiliza a este como“continente”, esto es, la cinemática, la dinámica y laestática.

Desde hace muchos años el ser humano seinteresa por el mundo que le rodea y pone su mente y suesfuerzo en comprender cosas tan conocidas hoy como elmovimiento, el equilibrio, las energías etc, avanzando ensu comprensión y utilizando esta en el desarrollotecnológico. Sirvan como ejemplos desde el interés porconocer y comprender las trayectorias de los planetas, laconstrucción de edificios o el movimiento de un barcoutilizando distintas energías..

Es precisamente este tema uno de los quecumplen el objetivo de ser un soporte matemático para laresolución de muy diversos problemas,fundamentalmente relacionados con la Física yTecnología, algo que, recordamos, desde tiemposremotos ha preocupado y ha sido motivo de estudio delser humano.

Se requiere para la mejor comprensión de estaspáginas que el alumnos haya repasado previamente lostemas “Matrices y determinante” y “Sistemas deecuaciones lineales”.

Matemáticas de 2º de bachillerato El espacio vectorial ú3(ú)I

Índice

Página

1.El conjunto ú3 ............................................... 1Ejemplo 1 ................................................ 1Ejemplo 2 ................................................ 1

2.Igualdad de vectores de ú3 ................................... 2Ejemplo 3 ................................................ 2

3.Operaciones en ú3 ............................................ 24.Suma en ú3 ................................................... 2

Ejemplo 4 ................................................ 34.1.Propiedades de la suma en ú3 .......................... 3

4.1.1.Ley de composición interna .................... 34.1.2.Asociativa .................................... 3

Ejemplo 5 ...................................... 34.1.3.Conmutativa ................................... 4

Ejemplo 6 ...................................... 44.1.4.Existencia de elemento neutro ................. 4

Ejemplo 7 ..................................... 54.1.5.Existencia de elemento opuesto ................ 5

Ejemplo 8 ...................................... 55.El grupo conmutativo de los vectores de ú3 ................... 56.Resta en ú3 .................................................. 6

Ejemplo 9 ................................................. 6Ejemplo 10 ................................................ 6

7.Producto de un número real por un vector de ú3 ............... 7Ejemplo 11 ................................................ 7Ejemplo 12 ................................................ 77.1.Propiedades del produc. de un nºreal por un vec. de ú3. 7

7.1.1.Ley de composición externa .................... 77.1.2.Asociativa .................................... 8

Ejemplo 13 ..................................... 87.1.3.Distributividad respecto de la suma en ú ...... 8

Ejemplo 14 ..................................... 97.1.4.Distributividad respecto de la suma en ú3...... 9

Ejemplo 15 ..................................... 97.1.5.Elem. neut. en el prod. de un nºreal por vec. de ú3. 9

Ejemplo 16 ..................................... 108.El espacio vectorial ú3(ú) ................................... 10

8.1.Propiedades del espacio vectorial ú3(ú) ............... 108.1.1.Producto de un número real por el vector cero . 10

Ejemplo 17 ..................................... 108.1.2.Producto del nº cero por un vector cualquiera . 11

Ejemplo 18 ..................................... 118.1.3.Producto del nº -1 por un vector cualquiera ... 11

Ejemplo 19 ..................................... 119.Combinación lineal de vectores de ú3(ú) ...................... 11

Ejemplo 20 ................................................ 12Ejemplo 21 ................................................ 12Ejemplo 22 ................................................ 12Ejemplo 23 ................................................ 13Ejemplo 24 ................................................ 13

Matemáticas de 2º de bachillerato El espacio vectorial ú3(ú)II

Página

Ejemplo 25 ................................................ 15Ejemplo 26 ................................................ 16Ejemplo 27 ................................................ 16Ejemplo 28 ................................................ 18Ejemplo 29 ................................................ 19Ejemplo 30 ................................................ 20

10.Vectores de ú3(ú) linealmente dependientes .................. 21Ejemplo 31 ................................................ 21Ejemplo 32 ................................................ 22Ejemplo 33 ................................................ 23Ejemplo 34 ................................................ 24Ejemplo 35 ................................................ 25

11.Vectores de ú3(ú) linealmente independientes ................ 28Ejemplo 36 ................................................ 28Ejemplo 37 ................................................ 29Ejemplo 38 ................................................ 31Ejemplo 39 ................................................ 32Ejemplo 40 ................................................ 32Ejemplo 41 ................................................ 33

12.Base del espacio vectorial ú3(ú) ............................ 34Ejemplo 42 ................................................ 34Ejemplo 43 ................................................ 35

13.Base canónica del espacio vectorial ú3(ú) ................... 3614.Propiedad de las bases del espacio vectorial ú3(ú)........... 36

Ejemplo 44 ................................................ 36Ejemplo 45 ................................................ 36

15.Componentes de un vector respecto de una base de ú3(ú)....... 38Ejemplo 46 ................................................ 38

16.Cambio de base en ú3(ú)...................................... 39Ejemplo 47 ................................................ 40Ejemplo 48 ................................................ 42Ejemplo 49 ................................................ 43

Matemáticas de 2º de bachillerato Página 1 El espacio vectorial ú3 (ú)

{ } R R R R R R R3 = × × = ∈ ∈ ∈( , , ) , ,x y z x y z

r r ru x y z o u x x x o a a a a etc= = =( , , ) ( , , ) ( , , ) .1 2 3 1 2 3

r ra y o= − =( , , ) ( , , )1 1 2 0 0 0

Antes del estudio de este tema, el alumno debe afrontar previamente losdesarrollados bajo los títulos “Matrices y determinantes” y “Sistemas deecuaciones lineales” perteneciente a esta colección de apuntes de matemáticas

para 2º de bachillerato (modalidad Ciencias de la Naturaleza y Salud o Científico Tecnológico).Hemos de suponer el conocimiento del espacio ú2 (ú) estudiado en el curso anterior como

paso previo al estudio del Plano Afín.

1.El conjunto ú3.-

R Sea ú el conjunto de los números reales.R Se define el conjunto ú3 como el producto cartesiano ú×ú×ú, es decir:

R La expresión se llama terna ordenada, siendo:( , , )x y zx es la primera componente de la ternay es la segunda componente de la ternaz es la tercera componente de la terna

Ejemplo 1.-

( )( )

( , , ) , ,

, , ,

, ,

− ′ ∈ − ∈ ∈ ′ ∈

∈ ∈ ∈ ∈

− ∉ ∉

3 0 4 7 3 0 4 7

6 165 4

) )R R R R

, -5 R R -5 R R

R -16 R

3

3 3 3

119

3 4

porque

e porque e

porque

π π

A los elementos de ú3 les denominamos vectores y los representaremos de la forma:

En definitiva: r ru u x y z siendo x y z∈ ⇔ = ∈R R3 ( , , ) , ,

Ejemplo 2.-serían dos vectores genéricos del conjunto ú3r ru x y z y v x y z= =( , , ) ( , , )1 1 1 2 2 2

Serían dos vectores concretos del conjunto ú3

El espacio vectorial ú3(ú)

Matemáticas de 2º de bachillerato Página 2 El espacio vectorial ú3 (ú)

{ { { { {r r ru v x y z x y z x x y y z z w

suma de vectores suma de numeros

+ = + ′ ′ ′ = + ′ + ′ + ′ = ∈↓ ↓ ↓ ↓ ↓

( , , ) ( , , ) ( , , )

&

R3

r

rr ru x y z

v x y zu v

x xy yz z

== ′ ′ ′

= ⇔= ′= ′= ′

( , , )( , , )

2.Igualdad de vectores de ú3.-

Dos vectores de ú3 son iguales cuando sus componentes son respectivamente iguales.Es decir:

Ejemplo 3.-Dados los vectores se verifica que ( )r r )

u y v= − = ′ − ′32

3 138 1 5 2 0 3, , ( , , ) ,

r ru v=

ya que 32

3 131 5 8 2 0 3= ′ − = − = ′; y

)

3.Operaciones en ú3.-

Ya hemos definido el conjunto ú3 y conocemos “la forma” de sus elementos, pero enmatemáticas, la definición de un conjunto, sin más, tiene poca utilidad, es “casi obligado” definiren él algunas operaciones entre sus elementos (suma, resta, etc.). Esto es lo que veremos acontinuación, es decir, qué operaciones se pueden realizar con los elementos (vectores) de ú3.

En matemáticas, en las operaciones entre los elementos de un mismo conjunto o de dosconjuntos distintos hay que distinguir, especialmente, dos tipos:

Operación interna (o ley de composición interna) : Es aquella operación que se realizaentre dos elementos de un mismo conjunto y el resultado de esa operación es otroelemento del mismo conjunto que los operandos.

Operación externa (o ley de composición externa) : Es aquella operación que serealiza entre dos elementos de dos conjuntos distintos y el resultado de esa operación esun elementos de uno de esos conjuntos.

4.Suma en ú3.-

Sea el conjunto ú3.Sean dos vectores cualesquiera de ú3.

r ru x y z y v x y z= = ′ ′ ′( , , ) ( , , )Se define la suma y se expresa de la siguiente forma:

r ru mas v&r ru v+

Observa que la suma de vectores o elementos de ú3 se basa en la suma de números realesObserva que a la suma de vectores la denotamos con el símbolo +, igual que a la suma

de números reales.Nótese también que el resultado de sumar dos elementos de ú3 es otro elemento de ú3.

Matemáticas de 2º de bachillerato Página 3 El espacio vectorial ú3 (ú)

∀ ∈ + = ∈r r r r ru v se verifica que u v w, ,R R3 3

( ) ( ) ( ) ( )r r ru v w+ = − + − = + − − + = − − =2 4 3 2 4 3 113

53

25

53

13

25

113

115, , , , , , , ,

∀ ∈ + + = + +r r r r r r r r ru v w R se verifica que u v w u v w, , , ( ) ( )3

[ ]( ) ( )( ) ( , , ) ( , , ) ( , , ) ( , , ) ( , , )

( ) ,( ) ,( ) ( ) , ( ) , ( )

( , , ) (

r r ru v w x y z x y z x y z x x y y z z x y z

x x x y y y z z z x x x y y y z z z

x y z

+ + = + + = + + + + =

+ + + + + + = + + + + + + =

+

1 1 1 2 2 2 3 3 3 1 2 1 2 1 2 3 3 3

1 2 3 1 2 3 1 2 3 1 2 3 1 2 3 1 2 3

1 1 1 [ ] ( )x x y y z z x y z x y z x y z u v w2 3 2 3 2 3 1 1 1 2 2 2 3 3 3+ + + = + + = + +, , ) ( , , ) ( , , ) ( , , ) r r r

Ejemplo 4.-Sean los vectores de ú3. Hallemos :( ) ( )r ru y v= − = −2 4 31

353

25, , , , r ru v+

Observa que el resultado de la suma es otro vector de ú3.

4.1.Propiedades de la suma en ú3.-Hemos visto como se suman elementos de ú3. Insistimos en que para sumar vectores de

ú3 sólo se necesita saber sumar números reales.Ahora veremos las propiedades que tiene la suma en ú3.

4.1.1. Ley de composición interna :“La suma de dos elementos cualesquiera de ú3 es otro elemento de ú3 “

Es decir:

Demostración:

r

ru x y z

v x y z

x y zx y z

x xy yz z

x x y y z z= ∈

= ∈

⇒

∈∈

⇒+ ∈+ ∈+ ∈

⇒ + + + ∈( , , )

( , , )

, ,, , ( , , )1 1 1

3

2 2 23

1 1 1

2 2 2

1 2

1 2

1 2

1 2 1 2 1 23R

R

RR

RRR

R

Ahora bien, por definición, luego c.q.d.( , , )x x y y z z u v1 2 1 2 1 3+ + + = +r r r ru v+ ∈ R3

4.1.2. Asociativa:“La suma en ú3 es asociativa”

Es decir:

Demostración:Sean tres vectores de ú3r r ru x y z v x y z y w x y z= = =( , , ) , ( , , ) ( , , )1 1 1 2 2 2 3 3 3

Portanto : ( ) ( ) . . .r r r r r ru v w u v w c q d+ + = + +Podemos expresar también que ( ) ( )r r r r r r r r ru v w u v w u v w+ + = + + = + +

Ejemplo 5.-Dados los vectores , hallar

r r ru v y w= − = − =( , , ) , ( , , ) ( , , )8 7 9 6 9 4 1 0 3r r ru v w+ +

Veamos:

Matemáticas de 2º de bachillerato Página 4 El espacio vectorial ú3 (ú)

( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( )

r r

r r

r r r r

a b

b a

a b b a

+ = − + = + − + + = −

+ = + − = + − + = −

+ = +

23

45

72

15

23

72

45

15

83

53

72

15

23

45

23

72

15

45

83

53

6 2 2 6 1

2 6 2 6 1

, , , , , , , ,

, , , , , , , ,

Por tanto

∃ ∈ ∀ ∈ + = + =r r r r r r ro u se verifica que u o o u uR R3 3

r r ru v w+ + = − + − + = + + − + + − + ==

( , , ) ( , , ) ( , , ) ( , , )( , , )8 7 9 6 9 4 1 0 3 8 6 1 7 9 0 9 4 315 2 8

∀ ∈ + = +v r v r r vu v R se verifica que u v v u, ,3

4.1.3. Conmutativa:“La suma en ú3 es conmutativa”

Es decir:

Demostración:Sean dos vectores cualesquiera de ú3r ru x y z v x y z= =( , , ) , ( , , )1 1 1 2 2 2

Vamos a ver que vr r ru v v u+ = +

r r

r ru v x y z x y z x x y y z z por la propiedad conmutativa

de numeros x x y y z z x y z x y z v u+ = + = + + + =

= + + + = + = +( , , ) ( , , ) ( , , )& ( , , ) ( , , ) ( , , )1 1 1 2 2 2 1 2 1 2 1 2

2 1 2 1 2 1 2 2 2 1 1 1

Es decir, c.q.dv r r ru v v u+ = +

Ejemplo 6.-Dados los vectores de ú3 , comprobar que .( ) ( )r r

a y b= − =23

45

72

156 2, , , , r r r ra b b a+ = +

Veamos:

4.1.4. Existencia de elemento neutro:“Existe un vector de ú3 tal que sumado con cualquier otro vector de ú3, el resultado es

este último”. A ese vector le llamaremos vector cero y lo representaremos como roEs decir:

Es evidente que siendo 0 0ú el elemento neutro de la suma en ú.vo = ( , , )0 0 0Demostración:

Sea un vector cualquiera de ú3. ru x y z= ( , , )

r r r

r r ru o x y z x y z x y z uPor la propiedad conmutataiva tambien es o u u

+ = + = + + + = =+ =

( , , ) ( , , ) ( , , ) ( , , )&

0 0 0 0 0 0

Matemáticas de 2º de bachillerato Página 5 El espacio vectorial ú3 (ú)

opuesto de u u x y z x y zr r= − = − = − − −( , , ) ( , , )

r r

ru u x y z x y z x x y y z z

x x y y z z o+ − = + − − − = + − + − + − =

= − − − = =( ) ( , , ) ( , , ) ( ( ) , ( ) , ( ) )

( , , ) ( , , )0 0 0

( ) ( )opuesto de u ur r= − = − ′ − = − ′ −2 45 3 7 2 45 3 7, , , ,

r r

ru o

u+ = − + = − + + + =

= − =( , , ) ( , , ) ( , , )( , , )

9 14 5 0 0 0 9 0 14 0 5 09 14 5

∀ ∈ ∃ − ∈ + − =r r r r ru u u u oR R3 3, ( ) ( )

Ejemplo 7.-Sea el vector . Vamos a sumarle el vector cero.ru = −( , , )9 14 5

4.1.5. Existencia de elemento opuesto:“Para todo vector de ú3 existe otro vector (también de ú3 ) tal que sumados ambos, el

resultado es el vector cero”.Es decir:Dado un vector cualquiera existe otro vector de ú3 tal que sumado con elru ∈ R3,

ruresultado el . A ese vector se le denomina opuesto de y se expresa . Quede claro que

ro ru − rucada vector tiene su opuesto y que es el opuesto de y es el opuesto de .− ru ru ru − ru

Matemáticamente esta propiedad se expresa del siguiente modo:

¿Cómo será elvector opuesto a un vector ?

ru x y z= ( , , )

Demostración:

Nota : la expresión se lee “opuesto de u” o “menos u”.− ru

Ejemplo 8.-Dado el vector , queremos obtener su opuesto.( )ru = ′ −2 45 3 7, ,

Veamos:

5.El grupo conmutativo de los vectores de ú3.-

3 Hemos definido el conjunto ú3.3 Hemos definido la suma en el conjunto ú3.3 Hemos visto las propiedades que tiene la suma en ú3.

4 Operación interna (o ley de composición interna).4 Asociativa.4 Conmutativa.4 Existencia de elemento neutro.4 Existencia de elemento opuesto.

Matemáticas de 2º de bachillerato Página 6 El espacio vectorial ú3 (ú)

r

r

r r r r

r

u x y zv x y z

u v u v x y z x y zx y z x y zx x y y z z w

==

⇒

− = + − = − == + − − − == − − − =

( , , )( , , )

( ) ( , , ) ( , , )( , , ) ( , , )( , , )

1 1 1

2 2 2

1 1 1 2 2 2

1 1 1 2 2 2

1 2 1 2 1 2

( ) ( ) ( ) ( )r ru v− = − − − = − + − − = −2 4 2 0 2 2 4 0 0 425

43

25

43

2615, , , , , , , ,

r r r

ru x y z u u x y z x y z

x x y y z z o= ⇒ − = − =

= − − − = =( , , ) ( , , ) ( , , )

( , , ) ( , , )0 0 0

( )R es una estructura3 , .+

( )R es un grupo conmutativo3 , .+

( ) ( ) ( )( )

r r r r r r

ru x v x v u

x

+ = ⇒ = − = − − − = − − − + =

= − − =

4 1 5 3 4 5 1 3

1 4

23

35

23

35

1915

, , , , , ,

, ,

Pues bien:Un conjunto dotado de una o más operaciones internas, se dice que es una estructura. La

forma de expresarlos es . En nuestro caso:( )Conjunto Simbolo de la operacion, &

Una estructura con una operación interna que tiene las cinco propiedades mencionadasanteriormente, se dice que es un grupo conmutativo o grupo abeliano.

6.Resta en ú3.-

Sean dos vectores de ú3.r ru y v

Se define la resta “ ” y se expresa como la suma de con el opuestor ru menos v

r ru v− rude . Nótese que se utiliza el mismo símbolo que para la resta de números.

rvEs decir:

Observa que la resta de vectores se define a partir de la suma.

Ejemplo 9.-Sean los vectores . Hallar el vector ( ) ( )r ru y v= − = −2 4 2 02

543, , , ,

r ru v−Veamos:

Si restamos dos vectores iguales, el resultado es el vector cero. Es decir:

Ejemplo 10.-Sean los vectores Buscamos el vector tal que ( ) ( )r ru y v= − = −5 3 4 13

525, , , , . rx r r ru x v+ =

Veamos:

Matemáticas de 2º de bachillerato Página 7 El espacio vectorial ú3 (ú)

( ) ( ) ( )r rv u= = − = ⋅ ⋅ − ⋅ = −3 3 2 5 3 3 2 3 5 1 6 3 513

3 13

3 3, , , ( ) , , ,

α α α α αr ru x y z x y z v= = ⋅ ⋅ ⋅ = ∈( , , ) ( , , ) R3

7.Producto de un número real por un vector de ú3.-

‘ Sea α un número real cualquiera, es decir, α0ú.‘ Sea un vector cualquiera de ú3.

ru x y z= ( , , )

Se define el producto del número real α por el vector , y se expresa (o también )ru α ru α ⋅ ru

de la siguiente forma:

Nótese que las operaciones son productos de números reales, es decir, elα α α⋅ ⋅ ⋅x y z, ,producto de un número real por un vector de ú3 se apoya en el producto de números reales.Nótese que el producto de un número real por un vector es un vector.

En general utilizaremos la notación en lugar de α αru x y z= ( , , ) α α⋅ = ⋅ru x y z( , , )

Ejemplo 11.-Dado el vector , hallar el vector ( )ru = −1

332 5, , 3 ru

Veamos:

Nótese que 3 r r r ru u u u= + +

Ejemplo 12.-Dado el vector , queremos hallar el vector sabiendo que ( )ra = − −7

283 2, , ru r ra u= 4

5Veamos:

( ) ( )

Llamamos u x y z Buscamos x y z

u x y z x y z

x x

y y

z z

r

r

=

= = = − − ⇒

= − ⇒ = −

= ⇒ =

= − ⇒ = −

( , , ). , ,

( , , ) , , , ,45

45

45

45

45

72

83

45

72

358

45

83

103

45

52

2

2

Por tanto es el vector buscado.( )ru = − −358

103

52, ,

7.1.Propiedades del producto de un número real por un vector de ú3.-

Hemos definido una nueva operación en la que los operandos son un número real y unvector de ú3, es decir, operamos dos elementos pertenecientes a dos conjuntos distintos, ú y ú3.

Ahora veremos las propiedades de esta nueva operación.

7.1.1. Ley de composición externa:El producto de un número real por un vector de ú3 es otro vector de ú3. Es decir:

Matemáticas de 2º de bachillerato Página 8 El espacio vectorial ú3 (ú)

∀ ∈

∀ ∈

= ∈α

αR

RRr

r r

ues u v3

3

R R R× →

→ =

3 3

( , )α αr r ru u v

15 3 5 3 5 3 10 10 25 30 30 75r r ru u u= ⋅ = = − = −( ) ( ) ( , , ) ( , , )

∀ ∈

∀ ∈

+ = +α β

α β α β,

( )R

Ry use verifica que u u ur

r r r3

Es decir, a cada par formado por un número real α y un vector le corresponde un únicoruvector

rv.Una forma de expresar matemáticamente esta operación es como una aplicación del

conjunto ú×ú3 en el conjunto ú3, siendo ú×ú3 el producto cartesiano del conjunto ú por ú3

Es decir:

Al estar el conjunto ú3 dotado de una ley de composición externa (u operación externa)y ser el otro operando el conjunto ú, se expresa ú3( ú).

7.1.2. Asociativa: ∀ ∈

∀ ∈

⋅ =α β

α β α β,

( ) ( )R

Ry use verifica que u ur

r r3

Nótese que el · es la operación “producto de números” y la no existencia de punto es “productode un número por un vector”. En ocasiones, también se omite el “· “

Demostración:Sean . Demostremos que :α β, ( , , )∈ = ∈R Ry u x y zr 3 ( ) ( )α β α β⋅ =r ru u

( ) ( )[ ] ( )

( ) ( ) ( , , ) ( ) ,( ) ,( ) ( ) , ( ) , ( )

( , , ) ( , , ) . . .

α β α β α β α β α β α β α β α β

α β β β α β α β

⋅ = ⋅ = ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ = ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ =

= ⋅ ⋅ ⋅ = =

r

ru x y z x y z x y z

x y z x y z u c q d

Nótese que en la demostración hemos utilizado la propiedad asociativa del producto denúmeros reales.

Ejemplo 13.-Sea el vector . La operación podemos hacerla de varias formas:

ru = −( , , )2 2 5 15 ru

7.1.3. Distributividad respecto de la suma en ú: “El producto de un número real por un vector de ú 3 es distributiva respecto de la suma

de número reales”Es decir:

Observa en la igualdad anterior que el primer + es “suma de números” y el segundo + es“suma de vectores”.

Matemáticas de 2º de bachillerato Página 9 El espacio vectorial ú3 (ú)

∀ ∈

∀ ∈

+ = +α

α α αR

R

y

u vse verifica que u v u vr r

r r r r

,( )3

Demostración:Sean Demostremos que :α β, ( , , ) .∈ = ∈R Ry u x y zr 3 ( )α β α β+ = +r r ru u u

( )( ) ( ) ( , , ) ( ) ,( ) ,( ) ( , , )( , , ) ( , , ) ( , , ) ( , , ) . . .

α β α β α β α β α β α β α β α βα α α β β β α β α β

+ = + = + ⋅ + ⋅ + ⋅ = ⋅ + ⋅ ⋅ + ⋅ ⋅ + ⋅ == ⋅ ⋅ ⋅ + ⋅ ⋅ ⋅ = + = +

r

r ru x y z x y z x x y y z z

x y z x y z x y z x y z u u c q d

Nótese como en la demostración se combinan las operaciones “suma de números”, “suma devectores”, “producto de números” y “producto de número por vector”.

Ejemplo 14.-Dado el vector , comprobar que

ru = −( , , )6 5 2 8 5 3 5 3r r r ru u u u= + = +( )Veamos:

8 8 6 5 2 48 40 165 5 6 5 2 30 25 103 3 6 5 2 18 15 65 3 30 18 25 15 10 6 48 40 16

8 5 3

r

r

r

r r

r r r

uuuu u

u u u

= − = −= − = −= − = −+ = + − − + = −

⇒ = +

( , , ) ( , , )( , , ) ( , , )( , , ) ( , , )

( , , ) ( , , )

7.1.4. Distributividad respecto de la suma en ú3 : “El producto de un número real por un vector de ú 3 es distributiva respecto de la suma

de número vectores”Es decir:

Observa en la igualdad anterior que los dos signos + que aparecen es “suma de vectores”.

Demostración:Sean dos vectores de ú3.α ∈ = =R y u x y z v x y zr r( , , ) , ( , , )1 1 1 2 2 2

[ ]( ) ( )

α α α

α α α α α α α α αα α α α α α α α

( ) ( , , ) ( , , ) ( , , )

( ) , ( ) , ( ) , ,( , , ) ( , , ) ( , , ) ( ,

r ru v x y z x y z x x y y z z

x x y y z z x x y y z zx y z x y z x y z x y

+ = + = + + + =

= + + + = + + + == + = +

1 1 1 2 2 2 1 2 1 2 1 2

1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2

1 1 1 2 2 2 1 1 1 2 2 , )z u v2 = +α αr r

Ejemplo 15.-Dados los vectores , comprobar que r ru y v= − = −( , , ) ( , , )4 3 1 3 5 6 3 3 3( )r r r ru v u v+ = +

Veamos:

[ ]3 3 4 3 1 3 5 6 3 4 3 3 5 1 6 3 1 2 7 3 6 213 3 3 4 3 1 3 3 5 6 12 9 3 9 15 18 12 9 9 15 3 18 3 6 21

( ) ( , , ) ( , , ) ( , , ) ( , , ) ( , , )( , , ) ( , , ) ( , , ) ( , , ) ( , , ) ( , , )

r r

r ru v

u v+ = − + − = − − + + = =

+ = − + − = − + − = − − + + =

7.1.5. Elemento neutro en el producto de un número por un vector de ú3 : “Si multiplicamos el número 1 por un vector cualquiera de ú3, el resultado es ese vector”.

Matemáticas de 2º de bachillerato Página 10 El espacio vectorial ú3 (ú)

∀ ∈ =r r ru R severifica que u u3 1,

1 1 1 1 1r ru x y z x y z x y z u= = ⋅ ⋅ ⋅ = =( , , ) ( , , ) ( , , )

( ) ( ) ( )1 1 7 1 7 1 1 7r ru e e e u= − = ⋅ ⋅ − ⋅ = − =, , , ( ) , , ,π π π

α α α α αr ro o= = ⋅ ⋅ ⋅ = =( , , ) ( , , ) ( , , )0 0 0 0 0 0 0 0 0

Es decir:

Demostración:Se un vector cualquiera de ú3. Veamos que :

ru x y z= ( , , ) 1 r ru u=

Ejemplo 16.-Sea el vector . Hallemos ( )ru e= −7 , ,π 1 ru

8.El espacio vectorial ú3(ú).-

Recordemos lo que hemos visto anteriormente:T El conjunto ú3. A sus elementos les hemos llamado vectores.T Suma en ú3, es decir, suma de vectores.T Propiedades de la suma en ú3, es decir, propiedades de la suma de vectores.T El grupo conmutativo (ú3 , +)T Producto de un número real por un vector de ú3.T Propiedades del producto de un número real por un vector de ú3.

Pues bien:Con estas dos operaciones y sus propiedades, se dice que el conjunto ú3 es un espacio

vectorial sobre el conjunto ú.Se expresa ú3(ú) o también (ú3 , + , · ú)En la segunda expresión, el · indica el producto de un número real por un vector.

8.1.Propiedades del espacio vectorial ú3 (ú) : Veamos algunas propiedades del espacio vectorial ú3(ú)

8.1.1. Producto de un número real por el vector cero:“El producto de un número real cualquiera por el vector cero de ú3(ú) es el vector cero”Es decir: ∀ ∈ =α αR , es o or r

Demostración:Sea α un número real cualquiera.

Ejemplo 17.-( ) ( )7 7 0 0 0 7 0 7 0 7 0 0 0 0r vo o= = ⋅ ⋅ ⋅ = =, , , , ( , , )

Matemáticas de 2º de bachillerato Página 11 El espacio vectorial ú3 (ú)

( )( ) ( ) ( , , ) ( ) , ( ) , ( ) ( , , )( , , ) . . .

− = − = − ⋅ − ⋅ − ⋅ = − − − == − = −

1 1 1 1 1r

ru x y z x y z x y z

x y z u c q d

( )0

2 8 50 0 2 8 5 0 2 0 8 0 5 0 0 03

∈

= − ∈⇒ = − = ⋅ ⋅ ⋅ − = =

R

uu orr r

( , , )( , , ) , , ( ) ( , , )

R

( )− ∈

= − ∈⇒ − = − − = − ⋅ − ⋅ − ⋅ − = − − = − − = −

1

2 8 51 1 2 8 5 1 2 1 8 1 5 2 8 5 2 8 53

R

uu urr r

( , , )( ) ( ) ( , , ) ( ) ,( ) ,( ) ( ) ( , , ) ( , , )

R

0 0 0 0 0 0 0 0r ru x y z x y z o= = ⋅ ⋅ ⋅ = =( , , ) ( , , ) ( , , )

8.1.2. Producto del número cero por un vector cualquiera:“El producto del número cero por cualquier vector de ú3(ú) es el vector cero”Es decir: ∀ ∈ =r r ru es u oR3 , 0

Demostración:Sea un vector cualquiera del espacio vectorial ú3(ú).

ru x y z= ( , , )

Ejemplo 18.-

8.1.3. Producto del número &1 por un vector cualquiera:“El producto de &1 por un vector cualquiera del espacio vectorial ú3(ú), es igual al

opuesto de ese vector”.Es decir: ∀ ∈ − = −r r r ru se verifica que u u opuesto de uR3 1, ( ) ( )

Demostración:Sea un vector cualquiera del espacio vectorial ú3(ú).

ru x y z= ( , , )

Ejemplo 19.-

9.Combinación lineal de vectores de ú3(ú).-

‘ Sean dos vectores del espacio vectorial ú3(ú), que sean distintos de .r ru y v ro

“Se dice que el vector es combinación lineal del vector , si existe un número realrurv

α (α…0) tal que “r ru v= α

Matemáticamente:

Si es combinación lineal de , entonces es combinación lineal de . ru rv rv ru

En efecto:Supongamos dos vectores distintos de tales que es combinación lineal de

r ru y v ro ru rv

{r r r ru es combinacion lineal de v R u v⇔ ∃ ∈ =

≠α α

α 0

Matemáticas de 2º de bachillerato Página 12 El espacio vectorial ú3 (ú)

( ) ( )r ru v= − = ⋅ − ⋅ ⋅ = − =( , , ) , , , ,6 10 3 2 3 5 2 2 2 3 5 232

32

( ) ( ) ( )r rv u= − = − = ⋅ ⋅ − ⋅ = − =3 5 6 10 3 6 10 332

62

102

32

12

12

12

12

12, , , , , ( ) , ( , , )

r r r ru es combinacion lineal de v u v& ( , , ) ( , , )

( , , ) ( , , )

⇔ ∃ ∈ = ⇔ − − = − − ⇔

⇔ − − = − − ⇔− = − → =

= → =− = − → =

α α α

α α αα α

α αα α

R 27 18 9 9 6 3

27 18 9 9 6 39 27 36 18 33 9 3

r r r ru es combinacion lineal de v u v

dos valores para

& ( , , ) ( , , )

( , , ) ( , , )

⇔ ∃ ∈ = ⇔ − = − ⇔

⇔ − = − ⇔

= → =

= → =

− = − → =

α α α

α α αα αα αα α

α

R 32

43

23

32

43

23

32

1212

23

43

4 3 8

4 3 8

3

8 4

2

{ ( )( )

r r r r r r r r r r

r r r r

u comb lineal de v u v u v v v v v

Es decir v u siendo v es combinacion lineal de u

. ( )

:

⇒ ∃ ∈ = ⇒ = = ⋅ = = =

= ≠ ⇒

≠α α α α

αα α α

αα

α α

0

1 1 1

1 1

1

0

R

Ejemplo 20.-Sean los vectores .( )r ru y v= − = −( , , ) , ,6 10 3 3 5 3

2

Observa que el vector es combinación lineal del vector ya que:ru rv

Es decir: ∃ ∈ =2 2R r ru vVeamos que también el vector es combinación lineal del vector :

rv ru

E sdecir: ∃ ∈ =1

212R r rv u

Ejemplo 21.-Sean los vectores .¿Es combinación lineal de ?r ru y v= − − = − −( , , ) ( , , )27 18 9 9 6 3

ru rvVeamos:

Por tanto, , es decir, es combinación lineal de .r ru v= 3 ru rv

También es combinación lineal de ya que .rv ru r rv u= 1

3

Ejemplo 22.-Sean los vectores .¿Es combinación lineal de ?( ) ( )r ru y v= − = −3

243

234 3 8, , , , ru rv

Veamos:

Por tanto, òα0ú , es decir, ninguno de los dos vectores es combinación lineal del otror ru v= α

Matemáticas de 2º de bachillerato Página 13 El espacio vectorial ú3 (ú)

r r r r r r r r r ru v w u v o u v v u= + ⇒ = + ⇒ = ⇒ =α α α α01

‘ Sean tres vectores del espacio vectorial ú3(ú).r r ru v y w,

“Se dice que el vector es combinación lineal de los vectores , si existen dosrur rv y w

números reales α y β (alguno de ellos distinto de cero) tal que “.r r ru v w= +α β

Matemáticamente:

Si “ es combinación lineal de “ y α y β son distintos de cero, entonces “ esru r rv y w rv

combinación lineal de ” y “ es combinación lineal de “.r ru y w rw r ru y v

En efecto: es combinación lineal de y α y β son distintos de cero ru r rv y w ⇒ = + ⇒

r r ru v wα β

⇒ = − ⇒ = − ⇒ = − ⇒α β α α α β αβα

r r r r r r r r r r r rv u w v u w v u w v es comb lineal de u y w1 1 1

( ) .

Del mismo modo obtendríamos que , es decir, es comb. lineal de r r rw u v= −

1β

αβ

rwr ru y v

¿Qué ocurre si α = 0 o β = 0 (no ambos)?Supongamos que “ es combinación lineal de “ con α…0 y β = 0 :

ru r rv y w

Es decir, “ es combinación lineal de “ y “ es combinación lineal de “, sin embargo ru rv rv ru rw

no es combinación lineal de los otros dos ya que sería lo cual no existe.r r rw u v= −1

0 0α ,

Ejemplo 23.-Construye tres vectores que sean combinación lineal de r ru y v= − = −( , , ) ( , , )1 6 3 65

425

Veamos:Cualquier vector obtenido de la forma con α y/o β distintos de cero, es unaα βr ru v+

combinación lineal de r ru y v

1 1 1 6 3 6 1 3 6 6 2

1 1 1 6 3 6 1 3 6 6 4

0 2 2 0 0 0 2

54

25

25

54

325

194

54

25

25

54

285

294

r r r r r

r r r r r

r r r r

u v u v a

u v u v b

u v o v

+ = + = − + − = − + + − = − =

− = − = − − − = − − − + = − =

+ = + = +

( , , ) ( , , ) ( , , ) ( , , )

( , , ) ( , , ) ( , , ) ( , , )

( , , ) (3 6 2 3 2 2 6 6 1225

25

45, , ) ( , , ( ) ) ( , , )− = ⋅ ⋅ ⋅ − = − = rc

Los vectores son combinación lineal de los vectores .r r ra b y c, r ru y v

Ejemplo 24.-Sean tres vectores. Queremos saber

r r ru v y w= − = − =( , , ) , ( , , ) ( , , )2 1 5 2 2 3 2 11 3si es combinación lineal de ru r rv y w.

r r r r r r

6 7444 8444

u es combinacion lineal de v y w R u v w

y o

& ,

/

⇔ ∃ ∈ = +

≠ ≠↑

α β α β

α β0 0

Matemáticas de 2º de bachillerato Página 14 El espacio vectorial ú3 (ú)

r r r r r ru es comb lineal de v y w R u v w. ,⇔ ∃ ∈ = +α β α β

S ′+ = −+ =

( ):( ):1 2 2 22 2 11 1

α βα β

Veamos:

El problema es:• ¿Existen α y β?• ¿Qué valores tiene α y β?

Intentemos responder a estas preguntas:α βα β

α α α β β β

α β α β α βα βα β

α β

r r rv w u+ =− + = −

− + = −

+ + − + = − ⇒+ = −+ =

− + =

( , , ) ( , , ) ( , , )( , , ) ( , , ) ( , , )

( , , ) ( , , )

2 2 3 2 11 3 2 1 52 2 3 2 11 3 2 1 5

2 2 2 11 3 3 2 1 52 2 22 11 1

3 3 5Por tanto, las dos preguntas anteriores se reducen a saber si el sistema anterior, de tres ecuacionescon dos incógnitas (α y β) es compatible (tiene solución) y cuál o cuales son esas soluciones.Es decir:

r r ru es comb lineal de v y w S es compatible. :⇔+ = −+ =

− + =

2 2 22 11 13 3 5

α βα βα β

Discutamos y resolvamos el sistema S :

A matriz de coeficientes y A matriz ampliada=−

=−

−

2 22 113 3

2 2 22 11 13 3 5

*

El sistema es compatible ] Rango A = Rango A*

Hallemos Rango A = 1 o 2

M Rango A2

2 22 11

22 4 18 0 2= = − = ≠ ⇒ =

Hallemos Rango A* = 2 o 3

A Rango A* *=−

−= − − − − − = ⇒ =

2 2 22 11 13 3 5

110 12 6 66 6 20 0 2

Por tanto: Rango A = Rango A* = 2 = número de incógnitas Y S es compatible determinadoConclusión: Ya sabemos que es combinación lineal de

ru r rv y wAhora resolveremos el sistema S para determinar dicha combinación :

De la obtención del rango de A* sacamos la conclusión que la tercera fila de A* escombinación lineal de las dos primeras, es decir, la tercera ecuación del sistema es combinaciónlineal de las dos primeras. Eliminando la tercera ecuación obtenemos un sistema S ́ equivalente.

Se trata de un sistema de dos ecuaciones con dos incógnitas que resolvemos por reducción

Matemáticas de 2º de bachillerato Página 15 El espacio vectorial ú3 (ú)

A y A

v w v w u

=−

=−

−

↑ ↑ ↑ ↑ ↑

2 22 113 3

2 2 22 11 13 3 5

*

r r r r r

resolvemos

SUMAMOS

( )

( )

: ; ; ;

( )

1 2 2 2

2 2 11 1

9 3 2 2 2 2

1

13

13

83

43

→ + = −

→ − − = −

− = − ⇒ = + ⋅ = − = − = −

× −

α β

α β

β β α α α

Por tanto:

Observación importante:Observa las matrices A y A* del ejemplo anterior (ejemplo 24). Las columnas de la matriz

A son las componentes de los vectores , mientras que en la matriz A* aparece .r rv y w ru

Es decir:

De ello interpretamos que para saber si uno de los vectores es combinación lineal de otroo de los otros dos, basta con analizar los rangos de esas matrices. Veamos:4 Si Rango A = 1, entonces un columna es combinación lineal de la otra, es decir, uno de

los vectores es combinación lineal del otro.r rv o w

4 Si Rango A = 2, entonces ninguna de las dos columnas es combinación lineal de la otra,es decir, ninguno de los vectores es combinación lineal del otro.

r rv o w4 Si Rango A* = Rango A = 1, entonces hay dos columnas que son combinación lineal

(múltiplo) de la otra, es decir, hay dos vectores que son combinación lineal de otro.4 Si Rango A* = Rango A = 2, entonces hay una columna que es combinación lineal de las

otras dos, es decir, uno de los vectores es combinación lineal de los otros dos.4 Si Rango A* = 3 , entonces ninguna columna es combinación lineal de las otras dos, es

decir, ninguno de los tres vectores es combinación lineal de los otros dos.

Ejemplo 25.-Dados los vectores del ejemplo anterior (ejemplo 24), expresar el vector como

rvcombinación lineal de los vectores .

r ru y wVeamos:

Vimos que r r ru v w= − +4

313

Despejamos: 43

13

14

344 3r r r r r r r r rv w u v w u v w u= − = − = −; ;

La última expresión nos da el vector como combinación lineal de .rv r ru y w

3 es combinación lineal de ru r rv y w

3r r ru v w= − +4

313

Matemáticas de 2º de bachillerato Página 16 El espacio vectorial ú3 (ú)

M Es evidente que Rango M o o=−

− −

=2 1 0

0 1 00 1 1

1 2 3

Mvw y M

vwu

=−

→→

=−

− −

→→→

2 5 34

2 5 34

3 4 112

92

12

92

r

r

r

r

r

*

Ejemplo 26.-Dados los vectores , averigua si algunor r ru v y w= − = − = −( , , ) , ( , , ) ( , , )2 0 0 1 1 1 0 0 1

de ellos es combinación lineal de los otros dos.Veamos:Consideremos la matriz formada por los tres vectores anteriores situados en columna:

Hallemos el rango de la matriz M :

MEl vector u no es c l de v ni v de uRango M o

M Rango MNinguna columna es combinacionlineal de lasotras dos

22 1

0 1 2 0 2 3

2 1 00 1 00 1 1

2 0 3

=−

= − ≠ ⇒•• =

=−

− −= ≠ ⇒ = ⇒

r r r r. .

&

.

Conclusión : Ninguno de los tres vectores dados es combinación lineal de los otros dos.

Observación:En el ejemplo anterior hemos llamado M a la matriz formada por los tres vectores

situados como columnas y hemos hallado su rango. Recordando el tema “matrices ydeterminantes”, sabemos que una matriz y su traspuesta tienen el mismo rango, es decir, que lamatriz M la podemos construir poniendo los vectores como filas, siendo el resultado el mismo,esto es, si el rango es 3, ninguna de las filas es combinación lineal de las otras dos.

Ejemplo 27.-Sean los vectores . Queremos saber:( )u v y w= − − = − =( , , ) , ( , , ) , ,3 4 1 2 5 3 41

292

a) ¿Es el vector combinación lineal de los otros dos?ru

b) En caso que la respuesta anterior sea afirmativa, encuentra esa combinación.Veamos:a) Construimos una matriz (M) con los vectores puestos como filas. Posteriormente

r rv y wotra matriz (M * ) a la que añadimos el vector el vector en la última fila :

ru

Sabemos que r r rw es combinacion lineal de v y w Rango M Rango M⇔ = *

M Rango M2 12

52

212

2 54

8 0 2=−

= − − = − ≠ ⇒ =

Matemáticas de 2º de bachillerato Página 17 El espacio vectorial ú3 (ú)

M * =−

− −= + − + − − =

+ − + − −= =

2 5 34

3 4 18 6 36 36

135 16 12 5 72 722

02

012

92

1352

52

( )( ) ( )

( )

α β

α β

α α α β β β

α β α β α βα β

α βα β

r r rv w u

S

+ =

− + = − −

− + = − −

− + + + = − − ⇒− + =

+ = −

+ = −

( , , ) , , ( , , )

, , , , ( , , )

, , ( , , ) :

2 5 3 4 3 4 1

2 5 3 4 3 4 1

2 5 4 3 3 4 12 3

5 4 4

3 1

12

92

12

92

12

92

12

92

B y B=−

=

−= − − = −

25 4

25 4

8212

12

12 5

2

α β=−

−=

+−

= − =

−−

−=

−−

=

34 4 12 2 4

3

2 35 4 8 15 2

3

12

212

212

212

212

;

De lo anterior se deduce que “ni el vector es combinación lineal de ni este de “,rvrw rv

ya que las dos filas son linealmente independientes.Hallemos Rango M * = 2 o 3

Es decir, Rango M * = 2 = Rango MConclusión:

b) Del apartado anterior deducimos que ∃ ∈ + = ≠ ≠α β α β α β, ( / )R v w u y or r r 0 0

Hallemos α y β :

Sistema de 3 ecuaciones con 2 incógnitas que sabemos es compatible. Construyamos lasmatrices de coeficientes y ampliada:

A y A siendo Rango A Rango A=−

=−

−−

= =2

5 43

2 35 4 43 1

2

12

92

12

92

* *

Como Rango A* = 2 , podemos asegurar que la tercera fila (tercera ecuación) escombinación lineal de las dos primeras. Eliminamos esa ecuación y obtenemos unsistema S1 equivalente a S.

S siendo S S1

12

12 3

5 4 4:

− + =+ = −

⇔α β

α βComo el sistema S1 es de Cramer, resolvemos por este método:

El vector es combinación lineal de rur rv y w

Matemáticas de 2º de bachillerato Página 18 El espacio vectorial ú3 (ú)

Conclusión: r r ru v w= − +43

23

Ejemplo 28.-Sean los vectores . Se pide:( )r r ru v y w= − = − = −( , , ) , ( , , ) , ,2 1 3 6 3 9 1 1

232

a) ¿Hay algún vector que sea combinación lineal de los otros dos?b) En caso afirmativo, encuentra una combinación de cada una con los otros dos.

Veamos:a y b) Construyamos la matriz formada por los tres vectores:

Muvw

Rango M o o Hallemos y analicemos el rango=−−−

→→→

=2 1 36 3 91

1 2 312

32

r

r

r.

M yLa fila es multiplo de laEl vector v es comb lineal de u2

2 16 3

02 36 9

02 1

=−−

=−−

= ⇒

ª & ª.r r

De lo anterior deducimos que . Hallemos el valor de αr rv u= α

( , , ) ( , , ) ( , , )− = − = − ⇒− = − → =

== → =

6 3 9 2 1 3 2 32 6 3

33 9 3

α α α αα ααα α

Por tanto:

Si eliminamos la segunda fila de la matriz M obtenemos otra matriz con igual rango :

T siendo RangoT Rango M o

T RangoT Rango M

=−−

= =

=−−

= − + =−−

= − + = ⇒ = ⇒ =

2 1 31 1 2

2 11 1 1 0

2 31 3 3 0 1 1

12

32

2 12

32

;

De lo anterior deducimos que la segunda fila de T es combinación lineal de la primera,es decir, el vector es combinación lineal de . Hallemos esa combinación:

rw ru

( , , ) ( , , ) ( , , )− = − = − ⇒

− = − → =

=

= → =

1 2 1 3 2 3

2 1

3

12

32

12

1232

12

α α α αα ααα α

Por tanto:

Hemos expresado cada vector como combinación lineal de los otros dos.

” “el vector es comb. lineal de “r r r rv u w u= + =3 0 3 rv r ru y w

” “el vector es comb. lineal de “r r r ru v w v= + =13

130

ru r rv y w

” “el vector es comb. lineal de “r r r rw u v u= + =12

120

rw r ru y v” “el vector es comb. lineal de “r r r ru w v w= + =2 0 2

ru r rv y w

Matemáticas de 2º de bachillerato Página 19 El espacio vectorial ú3 (ú)

r

r

r

r

r

uvwt

¿Es t combinacion lineal de los otros tres

= −= −= −= −

( , , )( , , )( , , )( , , )

?

1 2 10 1 34 2 35 3 6

r r r r r r r rt es comb lineal de u v y w t u v w. , , ,( , , ) ( , , ) ( , , ) ( , , )( , , ) ( , , ) ( , , ) ( , , )( , , ) ( , ,

⇔ ∃ ∈ = + + ⇔⇔ − = − + − + − ⇔⇔ − = − + − + − ⇔⇔ − = − + + − + + −

α β γ α β γα β γ

α α α β β γ γ γα γ α β γ α β

R5 3 6 1 2 1 0 1 3 4 2 35 3 6 2 0 3 4 2 35 3 6 0 4 2 2 3 3

0 4 52 2 3

3 3 6

γ

α β γα β γα β γ

)

:

⇔

⇔− + + =

− + = −+ − =

S es un sistema compatible

A A=−

−−

=−

− −−

1 0 42 1 21 3 3

1 0 4 52 1 2 31 3 3 6

; *

‘ Sean cuatro vectores del espacio vectorial ú3(ú).r r r ru v w y t, ,

“Se dice que el vector es combinación lineal de si existen tres númerosrt r r ru v y w,

reales α , β y γ (alguno de ellos distinto de cero), tal que “r r r rt u v w= + +α β γ

Matemáticamente:

Ejemplo 29.-Sean los vectores

Veamos:

Por tanto: r r r rt es comb lineal de u v y w S es compatible. , ⇔

Discutamos el sistema S (averiguar si es compatible determinado o indeterminado o esincompatible). Para ello construimos las matrices de coeficientes y ampliada del sistema S.

Observa que las columnas de la matriz A corresponden a los vectores . La matriz A*r r ru v y w,tiene como cuarta columna al vector

rt

S es compatible ] Rango A = Rango A*

Hallemos Rango A = 1 o 2 o 3

Menor principal de orde ARango A ov no es comb lineal de u

21 0

2 11 0

2 32= =

−−

= ≠ ⇒• =•

r r.

r r r r123

r r r rt es combinacion lineal de u v y w R t u v wa uno

& , , ,lg

⇔ ∃ ∈ = + +≠

α β γ α β γ0

Matemáticas de 2º de bachillerato Página 20 El espacio vectorial ú3 (ú)

ARango ANingunode los vectores u v wes combinacion lineal de los otrosdos

=−

−−

= − + + + = ≠ ⇒• =•

1 0 42 1 21 3 3

3 24 4 6 31 03

r r r, ,&

Es evidente que Rango A* = 3 Conclusiones:

Î Rango A = Rango A* = 3 Ï El sistema S es de Cramer y, por tanto, compatible determinado.Ð › α , β, γ 0ú (α , β y γ son únicos)

r r r rt u v w= + +α β γÑ El vector es combinación lineal de

rt r r ru v y w,

NOTA:Quede claro que para averiguar si es combinación lineal de los otros tres vectores, es

rt

suficiente con averiguar que Rango A* = 3, ya que esto significa que la cuarta columna ( ) esrt

combinación lineal de las tres primeras (los otros vectores).

Ejemplo 30.-Queremos expresar el vector del ejemplo anterior (ejemplo 29) como combinación

rt

lineal de los vectores .r r ru v y w,

Veamos:El problema se reduce a encontrar la solución del sistema S del ejemplo anterior. Dicho

sistema sabemos que es de Cramer. Resolvemos por este método:

α β γ=

− −−

=− + −

= − =

−−

−= =

−− −

=

5 0 43 1 2

6 3 3 15 36 24 3031

2731

1 5 42 3 21 6 3 103

31

1 0 52 1 31 3 6 32

31A A A; ;

Por tanto : r r r rt u v w= − + +

2731

10331

3231

En general, supongamos que tenemos cuatros vectores y queremos saber sir r r ru v w y t, ,

alguno de ellos es combinación lineal de los demás. Para ello, construimos una matriz M en laque las filas (o columnas) son los cuatro vectores. Las decisiones se toman según el rango de M,es decir:

r

r

r

r

u x y zv x y zw x y zt x y z

M

x y zx y zx y zx y z

Rango M o o o

====

⇒ =

⇒ =

( , , )( , , )( , , )( , , )

1 1 1

2 2 2

3 3 3

4 4 4

1 1 1

2 2 2

3 3 3

4 4 4

0 1 2 3

Matemáticas de 2º de bachillerato Página 21 El espacio vectorial ú3 (ú)

Pues bien:

Si Rango M

los cuatro vectores son el oHay tres filas vectores comb lineal de una de un vectorHay dos filas vectores comb lineal de otras dos de otrosdosHay una fila un vector comb lineal de las otras tres de los otros tres

=

⇒⇒⇒⇒

01 32 23

r

( ) . ( )( ) . ( )( ) . ( )

10.Vectores de ú3(ú) linealmente dependientes.-

” Sean dos vectores de ú3(ú). r ru y v

“Se dice que son linealmente dependientes si existen dos números reales α y βr ru y v(alguno de ellos distinto de cero) tales que .α βr r ru v o+ =Matemáticamente:

Si los vectores son linealmente dependientes, uno de ellos es combinaciónr ru y v

lineal del otro. En efecto:

{r r r r

r r r r r r

u y v son linealmente dependientes u v o ongamos

u v u v u es combinacion lineal de vUn vector es combinacionlineal del otro c q d

a uno

⇒ ∃ ∈ + = ≠ ⇒

⇒ = − ⇒ = − ⇒ ⇒

≠

α β α β α

α β βα

, (sup )

&&

( . . .)

lg 0

0R

Si un vector es combinación lineal de otro, entonces ambos son linealmentedependientes. En efecto:

{

r r r r r r r r r r

r r

u comb lineal de v u v u v o u v o

u y v son linealmente dependientes c q d

. ,

( . . .)

⇒ ∃ ∈ = ⇒ − = ⇒ ∃ ∈ + = ⇒

⇒= ≠

β β β α β α βα

R R1 0

Ejemplo 31.-Los vectores son linealmente dependientes.

r ru y v= − = −( , , ) ( , , )2 3 8 4 6 16En efecto:

º

2 2 2 3 8 4 6 16 4 6 16 4 6 164 6 16 4 6 16 0 0 0

2 1

r r

r

r r r

u vo

Es decir y tal que u v o

− = − − − = − − − == − − − = =

∃ = = − + =

( , , ) ( , , ) ( , , ) ( , , )( , , ) ( , , ) ( , , ), α β α β

También:

º6 3 6 2 3 8 3 4 6 16 12 18 48 12 18 48

0 0 0 6 3

r r

r r r ru v

o y u v o

− = − − − = − − − =

= = ∃ = = − + =

( , , ) ( , , ) ( , , ) ( , , )

( , , ) α β α β

Es decir, observa que los valores de α y β no son únicos.

{r r r r ru y v son linealmente dependientes u v o

y o

⇔ ∃ ∈ + =

≠ ≠↓

α β α β

α β

,

/

R

0 0

Matemáticas de 2º de bachillerato Página 22 El espacio vectorial ú3 (ú)

( ) ( ) ( ) ( )

( )

r r r r ru y v son linelamente dependientes a uno u v o

S

⇔ ∃ ∈ ≠ + = ⇔

⇔ − + − = ⇔ − + − = ⇔

⇔ + + − − = ⇔

+ =

+ =

−

α β α β

α β α α α β β β

α β α β α βα βα β

, ( lg )

, , , , ( , , ) , , , , ( , , )

, , ( , , ) :

R 0

3 0 0 0 3 0 0 0

3 0 0 0

0

3 0

35

92

14

25

16

35

92

14

25

16

35

25

92

14

16

35

25

92

14

16 0α β− =

compatible indeterminado

SSistema de una ecuacioncon dos incognitas1

35

25 0:

&

& .α β+ = →

Ejemplo 32.-Sean los vectores de dos vectores de ú3(ú).( ) ( )r ru y v= − = −3

592

14

25

163, , , ,

¿Son linealmente dependientes?Veamos:

Es decir:Los vectores son linealmente dependientes si el sistema homogéneo S de tres

r ru y vecuaciones con dos incógnitas (α y β ) tiene alguna solución distinta de la solución α = β = 0, esdecir, el sistema S es compatible indeterminado (infinitas soluciones).

Discutamos el sistema S :

A matriz de coeficientes A matriz ampliada=

=

− − − −

35

25

921

41

6

35

25

921

41

6

30

3 00

; *

Es evidente que Rango A = Rango A* = 1 o 2 ( es decir, el sistema es compatible)

Rango A Rango A S u y v lin dep

Rango A Rango A S u y v no son lin dep

= = ⇒ ⇒

= = ⇒ ⇒

*

*

. . .

. . .

1

2

comp indet.

comp deter.

r r

r r

Hallemos Rango A

M y Rango A2

35

25

92

35

25

14

163

95

95

01

101

100 1= = − = = − + = ⇒ =− −

Conclusión: Los vectores son linealmente dependientes

r ru y v

Ahora vamos a encontrar valores de α y β tales que . Para ello resolvemosα βr r ru v o+ =el sistema S :

De lo visto anteriormente deducimos que las ecuaciones 2ª y 3ª del sistema S soncombinación lineal de la primera. Eliminamos esas dos ecuaciones y obtenemos otro sistemaequivalente :

Número de incógnitas principales = Rango A = 1 (elegimos α )Número de incógnitas secundarias = 1 ( β )

Matemáticas de 2º de bachillerato Página 23 El espacio vectorial ú3 (ú)

S135

25 3 2

23

: α β α β α β= − ⇒ = − ⇒ = −

Por ejemplou v o

u v oetc

β αβ α

= ⇒ = − ⇒ − + == − ⇒ = ⇒ − =

13 2 2 3

23

23r r r

r r r .

Ax y zx y z

=

1 1 1

2 2 2

Auv

Rango A o=− −

− −

→→

=4 3 5

4 3 61 2

r

r

Conjunto solución del sistema ( ){ }C s= = − ∈ ⊂r 23

2β β β, R R

En general:

Si tenemos dos vectores de ú3(ú) y queremos( ) ( )r ru x y z y v x y z= =1 1 1 2 2 2, , , ,saber si son linealmente dependientes, actuamos del siguiente modo:e Construimos una matriz en la que los vectores están como filas o columnas (será una

matriz de orden 2×3 o 3×2).

e El rango de la matriz A nos dirá si ambos vectores son linealmente dependientes:

RangoAUna fila un vector es comb lineal de la otra Son linealmente dependientesNinguna fila nigun vector es comb lineal de la otra No son linealmente dependientes

=⇒ ⇒⇒ ⇒

12

( ) .( & ) .

e Supongamos que Rango A = 1En este caso,

{∃ ∈ + =≠

α β α β, ( , , ) ( , , ) ( , , )lga uno

R x y z x y z0

1 1 1 2 2 2 0 0 0

Nos encontramos con un sistema homogéneo de 3 ecuaciones con 2 incógnitas (α , β) quees compatible indeterminado.

e Supongamos que Rango A = 2En este caso:

{No existen R x y z x y za uno

α β α β, ( , , ) ( , , ) ( , , )lg ≠

∈ + =0

1 1 1 2 2 2 0 0 0

Nos encontramos con un sistema homogéneo de 3 ecuaciones con 2 incógnitas (α , β) quees compatible determinado ( la única solución es α = β = 0 ).

Ejemplo 33.-Averiguar si los vectores son linealmenter ru y v= − − = − −( , , ) ( , , )4 3 5 4 3 6

dependientes y, en caso que lo sean, expresar uno de ellos como combinación lineal del otro.Veamos:

M Rango A Nimguna fila es comb lineal de la otra

Ningun vector es comb lineal del otro Los vectores no son linealmente dependientes

24 3

4 30

4 54 6

44 0 2=−

−=

− −−

= ≠ ⇒ = ⇒ ⇒

⇒ ⇒

; .

.

Matemáticas de 2º de bachillerato Página 24 El espacio vectorial ú3 (ú)

S siendo S S134

12 10: α β+ = ⇔

Ejemplo 34.-Sean los vectores . Se pide:( ) ( )r ru y v= − = −3

4152

65

12

455, , , ,

a) Averiguar si son linealmente dependientesb) En caso que lo sean, encontrar una combinación lineal de ambos que sea igual al

vector cero.c) En caso que sean linealmente dependientes, expresar cada uno de ellos como

combinación lineal del otro.Veamos:v

ruv

linealmente dependientesuno de ellos escomb lineal del otro

Rango

⇔

⇔−

=

−

.

34

152

65

12

455

1

Hallemos el rango:

M y Rango2

34

152

12

34

65

12

45

34

152

65

12

455

154

154

035

35

05

1=−

= − + = = − = ⇒−

=

− −

Por tanto:¸ La segunda fila de la matriz es combinación lineal de la primera (o la primera de la

segunda).¸ El vector es combinación lineal de (o de ).

rv ru ru rv¸ Los vectores son linealmente dependientes.

r ru y vConclusión:

a) son linealmente dependientesr ru y v

b) Podemos asegurar que . Busquemos esos valores:{∃ ∈ + =

≠

α β α βα β

,o

u v o0

R r r r

( ) ( )α βα β

α βα β

34

152

65

12

45

34

12

152

65

45

5 0 0 0

0

5 0

0

32, , , , ( , , ) :

hom &

&

det min

− + − = ⇒

+ =

− − =

+ =

Ssistema ogeneodeecuaciones con incognitas quesabemos es compatible in er ado

Resolvemos:

Rango Las ecuaciones y son multiplos de la

34

12

15265

45

5000

1 2 3 1− −

= ⇒ ª ª & ª

Eliminamos esas dos ecuaciones y obtenemos un sistema (una ecuación) equivalente a S :

Número de incógnitasprincipales = 1 (elegimos α)Número de incógnitas secundarias = 1 ( β )

34

12

23

23

32

32 3

α β α βαβ

αβ

= − = − ⇒= −=

= ⇒= −=

⇒ − + =

; & :( & )

Solucion del sistema St

t parametro

Para t u v or r r

Matemáticas de 2º de bachillerato Página 25 El espacio vectorial ú3 (ú)

− + = ⇒ = ⇒= →

= →

2 3 3 2

2332

r r rr r r r

r r r ru v o v uv u v combinacion lineal de u

u v u combinacion lineal de v

Conclusión:

− + =

2 3r r rru v o

una combinacion de ambosque nos da el vector o

c) Expresemos cada vector como combinación lineal del otro:

” Sean tres vectores de ú3(ú). r r ru v y w,

“Se dice que son linealmente dependientes si existen tres números reales α ,r r ru v y w,β y γ (alguno de ellos distinto de cero) tales que .α β γr r r ru v w o+ + =Matemáticamente:

Podemos considerar que:

Demostremos esta última equivalencia:

Y)r r r r r r r

r r r r r r

u v w lin depen R u v w o

que u v w u es comb lineal de v y w

, , . . , , ( )

( ) .

⇒ ∃ ∈ ≠ + + = ⇒

⇒ ≠ = − − ⇒

α β γ α β γ

α βα

γα

alguno

supongamos

0

0

Z)

Supongamos que u es comb lineal de v y w u v w

u v w o u v w ou v y w

son lin dependientes

r r r r r r

r r r r123

r r r rr r r

. ,

, ,,.

⇒ ∃ ∈ = + ⇒

⇒ − + = ⇒ ∃ ∈ − + = ⇒

= ≠

β γ β γ

β γ α β γ α β γα

R

R1 0

Ejemplo 35.-Sean los vectores de ú3(ú).r r ru v y w= − = − =( , , ) , ( , , ) ( , , )4 3 6 2 5 1 4 4 14

Se pide:a) ¿Son linealmente dependientes?b) En caso que lo sean, encuentra una combinación de ellos que sea igual a roc) Expresa, si es posible, el vector como combinación lineal de los otros dos.

ru

Observa que existen infinitospares (α,β) tales queα βr r ru v o+ =

r r r123

r r r ru v y w son linealmente dependientes u v w o

A uno

, , ,

lg

⇔ ∃ ∈ + + =↓

≠

α β γ α β γ

0

R

r r ru v y wson linealmente dependientes

Uno de ellos es combinacionlineal de los otros dos

,

⇔

Matemáticas de 2º de bachillerato Página 26 El espacio vectorial ú3 (ú)

Veamos:a)r r r r r r r

123

u v y w son linealmente dependientes u v w o

S

, , , ( )( , , ) ( , , ) ( , , ) ( , , )

( , , ) ( , , )

, , :

⇔ ∃ ∈ ≠ + + = ⇔⇔ − + − + = ⇔⇔ − + − + + + + = ⇔

⇔ ∃ ∈− + =

− +≠

α β γ α β γα β γ

α β γ α β γ α β γ

α β γα β γα β

R alguno

Ralguno

04 3 6 2 5 1 4 4 14 0 0 0

4 2 4 3 5 4 6 14 0 0 0

4 2 4 03 5

0

+ =+ + =

⇔

4 06 14 0

3γ

α β γ

El sistema homogeneo S de ecuaciones con 3 incognitas es compatible indeterminado infinitas soluciones

&

( )

Ahora bien:

A y S compatible Rango A

matriz de coeficientes

=−

−

⇔ <4 2 43 5 4

6 1 143

1 244 344

indeterminado

Hallemos el rango de la matriz A (observa que las filas de la matriz son los vectores):

M Rango A o

A Rango A

2

4 23 5 20 6 14 2 3

4 2 43 5 4

6 1 14280 12 48 120 16 84 0 2

=−

−= − = ⇒ =

=−

− = − − − − − = ⇒ =

.&

Ademas,la segunda fila no escombinacion lineal de la primera

De lo anterior deducimos lo siguiente:ú Los vectores son linealmente dependientes.ú Al menos la tercera fila es combinación lineal de las otras dos (el vector es

rwcombinación lineal de ).

r ru y vú La tercera ecuación es combinación lineal de las dos primeras. Si eliminamos esta

ecuación obtenemos otro sistema S1 equivalente a S.

Conclusión: Los vectores dados son linealmente dependientes

b) Se trata de encontrar una solución del sistema S (o S1 ):

S Consideramosincognitas principalesincognitas undarias1

4 2 4 03 5 4 0

:& ,& sec

α β γα β γ

α βγ

− + =− + + =

==

Pasamos la incógnita γ a la derecha de la igualdad y la tratamos como una constante:

SSistema de dos ecuacionescondos incognitas y de Cramer1

4 2 43 5 4

:.

α β γα β γ

− = −− + = −

Resolvemos por el método de Cramer:

Llamando γ = tα

γγ γ

γ β

γγ γ

γ=

− −−

−−

=−

= − =

−− −

−−

=−

= −

4 24 54 23 5

2814

2

4 43 44 23 5

2814

2;

Matemáticas de 2º de bachillerato Página 27 El espacio vectorial ú3 (ú)

− + =− +

= − + = − + =2 22

222

12

12

r r rr r

r r r r r r rv w uv w

u v w u v w u; ; ;

r

r

r

r r r ruvw

no son lineal dependientesPara que seadebe ser necesariamente

⇔= = =

.α β γ

α β γu+ v + w=o

0

∀ ∈ ∃ ∈ + + + =≠

r r r r1 24 34

r r r r ru u u u u u u u oa uno

1 2 3 43

01 2 3 4, , , ( ) , , , ,

lg

R R Rα β γ λ α β γ λ

La solución del sistema S es αβγ

= −= −=

22

tt

t parametro( & )Una solución : t = ⇒ = − = − =1 2 2 1α β γ; ;Conclusión:

− − + =2 2r r r ru v w o es una combinacion posible&

c) Expresemos el vector como combinación lineal de los otros dos:ru

Conclusión:

vector como combinación lineal de los otros dosr r ru v w= − +

12

ru

En general:

Supongamos tres vectores de ú3(ú),

r

r

r

u x y zv x y zw x y z

===

( , , )( , , )( , , )

1 1 1

2 2 2

3 3 3

El problema de saber si son linealmente dependientes se resuelve hallando el rango de lamatriz que construimos poniendo los vectores como filas (o como columnas), es decir:

Rangox y zx y zx y z

Son linealmente dependientes y cada fila es multiplo de cualquier otraSon linealmente dependientes y cada fila es comb lineal de lasotras dosNo son linealmente depend y ninguna fila es comb lineal de las otras dos

1 1 1

2 2 2

3 3 3

123

=⇒⇒⇒

" ".

. .

El que los tres vectores no sean linealmente dependientes significa que si existen tresnúmeros α, β, γ tales que , debe ser necesariamente que α = β = γ = 0α β γr r r ru v w o+ + =

Es decir:

Nota : Recuerda que 0 0 0r r r r r r ru v w o o o o+ + = + + =Sin entrar en detalles, diremos que si tenemos cuatro o más vectores cualesquiera del

espacio vectorial ú3(ú), entonces son linealmente dependientes, es decir:

Lo anterior es válido para más de cuatro vectores.

Matemáticas de 2º de bachillerato Página 28 El espacio vectorial ú3 (ú)

11.Vectores de ú3(ú) linealmente independientes.-

” Sean dos vectores de ú3(ú). r ru y v

“Se dice que son linealmente independientes si la relación r ru y v α βr r ru v o+ =

implica necesariamente que α = β = 0. Matemáticamente:

De otra forma:

Si los vectores son linealmente independientes, no son linealmenter ru y v

dependientes y si son linealmente dependientes, no son independientes. A dos vectores de ú3(ú) le pueden ocurrir alguna de las dos situaciones siguientes:

Que sean linealmente dependientes o que sean linealmente independientes. Si los vectores son linealmente independientes, ninguno de ellos es

r ru y vcombinación lineal del otro. En efecto:™ Supongamos que son linealmente independientes.

r ru y vEntonces, si fuese combinación lineal de , sería y, por

ru rvr ru v= β

tanto, , es decir, no son linealmenter r ru v o con− = = ≠β α( )1 0

independientes, en contra de lo que hemos supuesto. Dados dos vectores tales que ninguno de ellos es combinación lineal del otro,

entonces son linealmente independientes.

Ejemplo 36.-Sean los vectores de ú3(ú) . Queremos saber si sonr ru y v= − = −( , , ) ( , , )3 1 5 2 4 6

linealmente dependientes o linealmente independientes.Veamos:Imaginemos una combinación lineal de ambos que sea igual al vector cero, es decir:

( )α β α β α β α β α β

α βα βα β

r r ru v o

S sistema de ecuaciones con incognitas

+ = ⇔ − + − = ⇔ − + + − = ⇔

⇔− + =

+ =− =

( , , ) ( , , ) ( , , ) , , ( , , )

: &

3 1 5 2 4 6 0 0 0 3 2 4 5 6 0 0 0

3 2 04 0

5 6 03 2homogeneo

Recordemos que los sistemas homogéneos son compatibles (determinados oindeterminados). En este caso:

{r r r r ru y v son linealmente independientes u v o

a uno

⇔ /∃ ∈ + =

≠↓

α β α β,

lg

R

0

r rr r r

u y v son linealmente independientesu v o

unicamente si⇔+ =

= =

α βα β& 0

Matemáticas de 2º de bachillerato Página 29 El espacio vectorial ú3 (ú)

A matriz de loscoeficientes Rango A o=−

−

=3 2

1 45 6

1 2.

Ax y zx y z

uv

=

←←

1 1 1

2 2 2

r

r

Rango ALos vectores son linealmente dependientesLos vectores son linealmente independientes=

⇒⇒

12

ö Si S es compatible determinado (solución única α = β = 0), los vectores son linealmenteindependientes.

ö Si S es compatible indeterminado (infinitas soluciones), los vectores son linealmentedependientes.

Discutamos el sistema S:

Hallemos el rango de A: M Rango A2

3 21 4

12 2 14 0 2=−

= − − = − ≠ ⇒ =

Rango ALa fila de A es comblineal de las primeras

S S= ⇒

⇒ ≡

− + =+ =

23

23 2 0

4 01ª .

:α βα β

Sabemos que el sistema S1 es de Cramer y, por tanto, compatible determinado, es decir existesolución única α = β = 0.

Conclusión: Los vectores son linealmente independientes.

En general, si tenemos dos vectores de ú3(ú) yr ru x y z y v x y z= =( , , ) ( , , )1 1 1 2 2 2queremos saber si son linealmente dependientes o independientes, actuamos del siguiente modos:P Construimos una A matriz en la los vectores dados están como filas (o columnas):

P Hallamos el rango de lamatriz A y aplicamos el siguiente criterio:

Ejemplo 37.-Sean los vectores de ú3(ú) , queremos saber si se( ) ( )r ru y v= − = −3

412

32

12

13 1, , , ,

puede expresar uno de ellos como combinación lineal del otro.Veamos:Se trata de averiguar si son linealmente dependientes o independientes.

Muv

Rango A o

M y Rango A

=−

←←

=

= = − =−

= − + = ⇒ =

−

−

34

12

32

12

13

2

34

12

12

13

14

14

34

32

12

34

34

11 2

01

0 1

r

r

Matemáticas de 2º de bachillerato Página 30 El espacio vectorial ú3 (ú)

Por tanto, los vectores dados son linealmente dependientes.Expresemos como combinación lineal de :ru

rv

( ) ( ) ( ) ( )r ru v S= ⇒ − = − ⇒ − = − ⇒

= → =

= → =

− = − → =

α α α α αα αα αα α

34

12

32

12

13

34

12

32

12

13

12

34

32

13

12

32

32

32

1, , , , , , , , :

Por tanto:

” Sean tres vectores de ú3(ú). r r ru v y w,

“Se dice que son linealmente independientes si la relación entre ellosr r ru v y w, implica necesariamente que α = β = γ = 0.α β γr r r ru v w o+ + =

Matemáticamente:

De otra forma:

Si los vectores son linealmente independientes, no son linealmenter r ru v y w,

dependientes y si son linealmente dependientes, no son independientes. A tres vectores de ú3(ú) le pueden ocurrir alguna de las dos situaciones siguientes:

Que sean linealmente dependientes o que sean linealmente independientes. Si los vectores son linealmente independientes, ninguno de ellos es

r r ru v y w,combinación lineal de los otros dos. En efecto:™ Supongamos que son linealmente independientes.

r r ru v y w,Entonces, si fuese combinación lineal de , sería

ru r rv y wy, por tanto, , es

r r ru v w= +β γ r r r ru v w o con− − = = ≠β γ α( )1 0decir, no son linealmente independientes, en contra de lo que hemossupuesto.

Dados tres vectores tales que ninguno de ellos es combinación lineal de los otrosdos, entonces son linealmente independientes.

r r r r

r r r r

u v u combinacion lineal de v

v u v combinacion lineal de u

= →

= →

2332

&

&

r r r123

r r r ru v y w son linealmente independientes u v w o

a uno

, , ,

lg

⇔ /∃ ∈ + + =

≠↓

α β γ α β γR

0

r r rr r r r

u v y w son linealmente independientesu v w o

unicamente si,

&⇔

+ + == = =

α β γα β γ 0

Matemáticas de 2º de bachillerato Página 31 El espacio vectorial ú3 (ú)

Ejemplo 38.-Sean los vectores de ú3(ú).r r ru v y w= = − =( , , ) ; ( , , ) ( , , )1 0 2 1 1 0 0 1 0Queremos saber si son linealmente dependientes o independientes. Caso que sean

linealmente dependientes, expresar alguno de ellos como combinación lineal de los otros dos.Veamos:

r r r r r r ru v w son linealmente independientes u v w o entonces tieneque ser unicamentesi unicamente si

S sistema con soluci

, , ,( , , ) ( , , ) ( , , ) ( , , ) , &

( , , ) ( , , ) , &

: &

⇔ + + == = = ⇔ + − + =

= = = ⇔ − + = = = = ⇔

⇔− =+ =

=

α β γα β γ α β γ

α β γ α β β γ α α β γ

α ββ γ

α

0 1 0 2 1 1 0 0 1 0 0 0 00 2 0 0 0 0

00

2 0on unica& α β γ= = = 0

Discutamos el sistema S :

A A Rango A S compatible=−

=−

= − ≠ ⇒ = ⇒1 1 00 1 12 0 0

1 1 00 1 12 0 0

2 0 3; determinado

Por tanto:¯ El sistema S tiene solución única α = β = γ = 0¯ La expresión ocurre únicamente si α = β = γ = 0α β γr r r ru v w o+ + =¯ Los vectores son linealmente independientes y, por tanto, no son linealmente

r r ru v w, ,dependientes.

¯ Ninguno de ellos puede expresarse como combinación lineal de los otros dos.¯ Obsérvese que en la matriz A, las columnas son los vectores dados.

En general, para averiguar si tres vectores son linealmente independientes, se construyeuna matriz en la que las filas (o columnas) son los tres vectores y se estudia el rango de esa matrizcon el siguiente criterio:

r

r

r

r

r

r

u x y zu x y zu x y z

tres vectores de Mx y zx y zx y z

uuu

1 1 1 1

2 2 2 2

3 3 3 3

31 1 1

2 2 2

3 3 3

1

2

3

===

=

←←←

( , , )( , , )( , , )

( ) ;R R

Entonces:

Rango M

Los vectores son linealmente dependientesCualquier vector es multiplo de otro

Losvectores son linealmente dependientes A uno deellos o todos es combinacion lineal de los otrosdos

Los vectores son linealmente independientesNinguno de ellos es combinacion lineal de los otros dos

=

⇒

⇒

⇒

1

2

3

." & " .

. lg( ) &

.&

Recuérdese que Rango M = 3 ]*M *…0

Matemáticas de 2º de bachillerato Página 32 El espacio vectorial ú3 (ú)

Ejemplo 39.- Sean los vectores del espacio vectorialr r ru v y w= − = − − =( , , ) ; ( , , ) ( , , )2 1 3 1 3 2 1 11 0

ú3(ú). Queremos saber si son linealmente dependientes o independientes.Veamos:

Muvw

Rango M o o M Rango M o=−

− −

←←←

= =−

= − ≠ ⇒ =2 1 31 3 21 11 0

1 2 32 11 3 7 0 2 32

r

r

r; ;

Hallemos el determinante de M :

M Rango MLos vectores son linealmente dependientes

=−

− − = − − − + = ⇒ = ⇒−

2 1 31 3 21 11 0

33 2 9 44 0 2

De lo anterior podemos asegurar que la tercera fila de M ( el vector ) es combinación lineal derwlas dos primeras (de los vectores ). Hallemos esa combinación lineal:

r ru y v

r r rw u v= + ⇒ = − + − − ⇒ = − + − − ⇒

⇒ = + − − −α β α β α α α β β β

α β α β α β( , , ) ( , , ) ( , , ) ( , , ) ( , , ) ( , , )( , , ) ( , , )1 11 0 2 1 3 1 3 2 1 11 0 2 3 3 21 11 0 2 3 3 2

De lo anterior deducimos:

2 13 11

3 2 0

2 11 33 2

2 1 11 3 113 2 0

2

0 3 3

α βα βα β

+ =− =

− − =

= −− −

= −− −

= =

= ⇒

S sistema que sabemos es compatible

A matriz de los coeficientes y A matriz ampliada

SabemosqueRango A Rango A

A La fila la ecuacion es combinacion lineal de las dos primeras

:

.

ª ( ª & ) & .

*

*

*

Eliminamos la tercera ecuación y obtenemos otro sistema S1 equivalente a S :

S11 2 12 3 11

11 7 14 21 2 2 1 4 3

:( ):( ):

& ) ; ;; ;

α βα β

β αα α α αβ β β

+ =− =

= = == − ⋅ = − = −

Resolvemos por sustitucion= 1-2- 3(1-2

Por tanto:Nos da el vector como combinación lineal de los

rwvectores

r ru y v

Ejemplo 40.- Averiguar si los vectores de ú3(ú) son

r r ri j y k= = =( , , ) ; ( , , ) ( , , )1 0 0 0 1 0 0 0 1

linealmente dependientes o independientes.Veamos:

r r rw u v= −2 3

Matemáticas de 2º de bachillerato Página 33 El espacio vectorial ú3 (ú)

M

uuuu

Rango M o o=

−−

−

←←←←

=

1 0 11 1 00 2 00 1 2

1 2 3

1

2

3

4

r

r

r

r

;

MRango Mu u u son linealmente independientesLa fila u es comb lineal de las otras u u u

3 1 2 3

4 1 2 3

1 0 11 1 00 2 0

2 03

4 3=

−− = ≠ ⇒

=

r r r

r r r r, ,

ª ( ) . ( , , )

α β γr r r ru u u u1 2 2 4+ + =

Construimos una matriz con los vectores colocados como filas y hallamos su determinate:

M M Rango MLos vectores i j k sonlinealmente independientes

=

= = ≠ ⇒ = ⇒

1 0 00 1 00 0 1

1 0 00 1 00 0 1

1 0 3;, ,

.

r r r

Podemos asegurar que ninguno de ellos es combinación lineal de los otros dos.

” Es imposible que cuatro vectores de ú3(ú) sean linealmente independientes, es decir,dados cuatro vectores cualesquiera, siempre es posible expresar uno como combinaciónlineal de los otros tres. En efecto:

r

r

r

r

r

r

r

r

u x y zu x y zu x y zu x y z

Cuatro vectores cualesquiera Construimos M

x y zx y zx y zx y z

uuuu

1 1 1 1

2 2 2 2

3 3 3 3

4 4 4 4

1 1 1

2 2 2

3 3 3

4 4 4

1

2

3

4

====

=

←←←←

( , , )( , , )( , , )( , , )

.

Sabemos que Rango M = 1 o 2 o 3Es decir, Rango M … 4, lo cual significa que una de las cuatro filas es combinación linealde las otras tres, esto es, uno de los cuatro vectores es combinación lineal de los otros tres

Ejemplo 41.-Sean los cuatro vectores de ú3(ú) siguientes:

Expresar uno de ellos como combinación lineal de los otros tres.

r

r

r

r

uuuu

1

2

3

4

1 0 11 1 0

0 2 00 1 2

= −= −== −

( , , )( , , )( , , )( , , )

Veamos:Construimos una matriz con los cuatro vectores:

Menor principal de orden 3:

Ahora vamos a expresar el vector como combinación lineal de los otros tres:ru4

Matemáticas de 2º de bachillerato Página 34 El espacio vectorial ú3 (ú)

α β γα α β β γ

α β β γ α

α β β

β γ γ γ

α α

( , , ) ( , , ) ( , , ) ( , , )( , , ) ( , , ) ( , , ) ( , , )

( , , ) ( , , )

º

º

º

1 0 1 1 1 0 0 2 0 0 1 20 0 0 2 0 0 1 2

2 0 1 2

0 2

2 1 2 1

2 2

2

3 12

1

− + − + = −− + − + = −

− + − = − ⇒

− = → =

+ = → = − → =

− = − → =

−

Por tanto:

Observación : Cuando nos referimos a que cuatro vectores de ú3(ú) no pueden ser linealmenteindependientes, nos referimos a cuatro vectores distintos del vector cero.

12.Base del espacio vectorial ú3(ú).-

“Un conjunto formado por tres vectores de ú3(ú), que sean linealmente independientes,se dice que es una base (o que forman una base) del espacio vectorial ú3(ú)”

Es decir:Supongamos tres vectores del espacio vectorial ú3(ú). Entonces:

r r ru u u1 2 3, ,

E x p resado de otra forma:

Por tanto, saber si un conjunto de tres vectores es una base de ú3(ú), se reduce a hallar elrango de una matriz de orden 3×3.

Ejemplo 42.-Sean los vectores de ú3(ú) .r r ru u u1 2 31 2 1 1 0 3 0 3 0= − = − =( , , ) ; ( , , ) ; ( , , )Queremos saber si forman una base del espacio vectorial ú3(ú).

Veamos:es un subconjunto de tres vectores de ú3(ú) y, por tanto, puede ser una base.{ }B u u u= r r r

1 2 3, ,

r r ru u u u4 1 212 32 2= + −

{ }B u u u es una base deu u u son linealmenteindependientes= ⊂ ⇔

r r rr r r

1 2 33 3 1 2 3, , ( ) ( )

, ,R R R R

{ }r

r

r

r r ru x y zu x y zu x y z

B u u u base de Rangox y zx y zx y z

1 1 1 1

1 2 2 2

3 3 3 3

1 2 33

1 1 1

2 2 2

3 3 3

3===

= ⇔

=( , , )( , , )( , , )

, , ( )R R

Matemáticas de 2º de bachillerato Página 35 El espacio vectorial ú3 (ú)

{ }B u u u es base Rango= ⇔−

−

=r r r1 2 3

1 2 11 0 3

0 3 03, ,

Debemos hallar el determinantede la matriz

1 2 11 0 30 3 0

0 3 0 0 9 0 6 01 2 11 0 30 3 0

3−

− = + + − − − = − ≠ ⇒−

−

=Ramgo

Conclusiones Los tres vectores son linealmente independientes y, por tanto, { }B u u u= r r r1 2 3, ,

forman una base del espacio vectorial ú3(ú).Ninguno de los tres vectores puede expresarse como combinación lineal de losotros dos.

Ejemplo 43.-Queremos saber si el conjunto es{ }B v v v= = − = = −r r r

1 2 35 3 2 1 0 1 3 3 0( , , ) , ( , , ) , ( , , )una base del espacio vectorial ú3(ú).

Veamos:

{ }B v v v base v v v linealmente independientes Rango= ⇔ ⇔−

−

=r r r r r r1 2 2 1 2 3

5 3 21 0 13 3 0

3, , , ,

Hallemos el determinante de la matriz:

M Rango o

M Rango M

=−

−= − − − + + = ⇒

−

−

=

=−

= ≠ ⇒ =

5 3 21 0 13 3 0

0 6 9 0 15 0 05 3 21 0 13 3 0

1 2

5 31 0 3 0 22

Conclusiones:X El conjunto B no es una base de ú3(ú)X Los tres vectores de B son linealmente dependientes (no son linealmente independientes).X Como dos filas cualesquiera de la matriz son linealmente independientes, pero las tres son

linealmente dependientes, podemos asegurar que cualquiera de los tres vectores puedeexpresarse como combinación lineal de los otros dos.

Si tenemos cuatro vectores de ú3(ú), ya sabemos que no pueden ser linealmenteindependientes, pero tres cualesquiera de ellos si pueden serlo, así que esos tres pueden formaruna base. Quede claro que una base la forman tres vectores.

Quede claro también que el vector cero no puede formar parte de una base, porqueentonces no serian linealmente independientes, o dicho de otra forma, la matriz formada por losvectores no tendría rango igual a 3.

Es evidente que en ú3(ú) existen infinitas bases.

Matemáticas de 2º de bachillerato Página 36 El espacio vectorial ú3 (ú)

r r ri j k= = =( , , ) ; ( , , ) ; ( , , )1 0 0 0 1 0 0 0 1

13.Base canónica del espacio vectorial ú3(ú).-

Hemos dicho que en ú3(ú) existen infinitas bases, es decir, existen infinitos conjuntosformados por tres vectores linealmente independientes. De todos ellos destacaremos el formadopor los siguientes vectores:

Veamos que son linealmente independientes:

{ }1 0 00 1 00 0 1

1 01 0 00 1 00 0 1

3= ≠ ⇒

= ⇒ ⇒ =Rango i j k lin indep B i j k es baser r r r r, , . . , ,

A esta base se le denomina Base Canónica.

14.Propiedad de las bases del espacio vectorial ú3(ú).-

Sea una base cualquiera de ú3(ú).{ }B u u u= r r r1 2 3, ,

Cualquier vector de ú3(ú) puede expresarse como combinación lineal y de forma únicade los vectores de la base B, es decir:

S Supongamos que es un vector cualquiera de ú3(ú).ru

S Existen tres números únicos tales que α β γ, , ∈ Rr r r ru u u u= + +α β γ1 2 3

S Algunos casos concretos:P Para el vector será : , es decir, α = β = γ = 0

ro r r r ro u u u= + +0 0 01 2 3

P Para el vector será : , es decir, α = 1 ; β = γ = 0ru1

r r r ru u u u1 1 2 31 0 0= + +P Para el vector será : , es decir, β = 1 ; α = γ = 0

ru2r r r ru u u u2 1 2 30 1 0= + +

P Para el vector será : , es decir, γ = 1 ; α = β = 0ru3

r r r ru u u u3 1 2 30 0 1= + +Para cualquier otro vector se encuentran α , β , γ resolviendo un sistema.

Ejemplo 44.-Sean los vectores de ú3(ú) Quer r ru u u1 2 31 2 1 1 0 3 0 3 0= − = − =( , , ) ; ( , , ) ; ( , , )

sabemos forman una base (ver ejemplo 42). Sea el vector .ru = −( , , )4 6 3

Queremos expresar el vector como combinación lineal de los vectores de esa base.ru

Veamos:

α β γα β γα α α β β γα β α γ α β

α βα γα β

r r r ru u u u

S

1 2 3

1 2 1 1 0 3 0 3 0 4 6 32 0 3 0 3 0 4 6 3

2 3 3 4 6 3

42 3 6

3 3

+ + =− + − + = −− + − + = −

− + − + = −

⇒− = −

+ =− + =

( , , ) ( , , ) ( , , ) ( , , )( , , ) ( , , ) ( , , ) ( , , )( , , ) ( , , )

:

{ }B i j k base canonica de= = = =r r r

( , , ) , ( , , ) , ( , , ) & ( )1 0 0 0 1 0 0 0 1 3R R

Matemáticas de 2º de bachillerato Página 37 El espacio vectorial ú3 (ú)

r

v r ru x y z x y z

x y z x i y j z k

= = + + =

= + + = + +

( , , ) ( , , ) ( , , ) ( , , )

( , , ) ( , , ) ( , , )

0 0 0 0 0 0

1 0 0 0 1 0 0 0 1

Para hallar los valores α , β , γ debemos resolver el sistema S que es compatibledeterminado (de Cramer) ya que la matriz de los coeficientes está formada por los vectores de labase (que son linealmente independientes).

Resolvamos el sistema S :

A matriz de los coeficientes A ver ejemplo=−

−

=−

−= −

1 1 02 0 31 3 0

1 1 02 0 31 3 0

6 42. ( )

Por el método de Cramer:

α β γ=

− −

=−

= − =

−

−=

−= − =

− −

−=

−−

=

4 1 06 0 33 3 0 27

692

1 4 02 6 31 3 0 3

612

1 1 42 0 61 3 3 30

65

A A A; ;

Por tanto:Tenemos expresado el vector como

rucombinación lineal de los vectores de

la base { }B u u u= r r r1 2 3, ,

Ejemplo 45.-Sea el vector . Queremos expresarlo como combinación lineal de los( )ru = − −2

532 1, ,

vectores de la base canónica.Veamos:

( ) ( ) ( ) ( )r

r r ru

i j k

= − − = + − + − = − − =

= − −

25

32

25

32

25

32

25

32

1 0 0 0 0 0 0 1 1 0 0 0 1 0 1 0 0 1, , , , , , , , ( , , ) ( , , ) ( , , )

Por tanto:Expresión de la combinación lineal del vector en

rufunción de los vectores de la base canónica.

En general, si tenemos un vector de ú3(ú), su expresión como combinaciónru x y z= ( , , )

lineal de los vectores de la base canónica es:{ }B i j k=r r r

, ,

Por tanto:

r r r ru u u u= − − +92

12

51 2 3

r r r ru i j k= − −2

532

r r r ru x y z x i y j z k= = + +( , , )

Matemáticas de 2º de bachillerato Página 38 El espacio vectorial ú3 (ú)

r r r rw u u u= + +α β γ1 1 1 2 1 3

r r r rw v v v= + +α β γ2 1 2 2 2 3

{ }{ }

r r r r

r r rw

x y z

respecto de la base B u u u

respecto de la base B v v v

= =

=

( , , )

( , , ) , ,

( , , ) , ,

α β γ

α β γ1 1 1 1 1 2 3

2 2 2 2 1 2 3

15.Componentes de un vector respecto de una base de ú3(ú).-

q Supongamos una base de ú3(ú).{ }B u u u1 1 2 3= r r r, ,q Sea un vector cualquiera de ese espacio vectorial.

rw x y z= ( , , )q Sabemos que puede expresarse como combinación lineal de los vectores de B1.

rwSupongamos que es:

q A los números reales se les denomina “componentes del vector respectoα β γ1 1 1, ,rw

de la base “{ }B u u u1 1 2 3= r r r, ,Puede expresarse del siguiente modo:

q Nótese que respecto de la base canónica es , es decir,{ }B i j k=r r r

, , r r r rw xi y j z k= + +

las componentes del vector respecto de la base canónica son los números de la ternarw

que definen al vector.q Imaginemos otra base distinta y el mismo vector . { }B v v v2 1 2 3= r r r, ,

rw x y z= ( , , )Este vector podrá expresarse como combinación lineal de los vectores de B2, es decir:

A los números reales se les denomina “componentes del vector respectoα β γ2 2 2, ,rw

de la base “{ }B v v v1 1 2 3= r r r, ,Puede expresarse del siguiente modo:

q Por tanto, un mismo vector puede expresarse respecto de cada una de la infinitas bases,indicando sus componentes y la base respectiva, es decir:

Nótese que cuando no se indica la base, nos referimos a la base canónica.

Ejemplo 46.-Sea el vector visto en el ejemplo 44. Vimos que este vector, con respecto

ru = −( , , )4 6 3

a la base se expresaba de la forma:{ }B u u u= = − = − =r r r1 2 31 2 1 1 0 3 0 3 0( , , ) , ( , , ) , ( , , )

{ }r r r rw respecto de B u u u= =( , , ) , ,α β γ1 1 1 1 1 2 3

{ }r r r rw respecto de B v v v= =( , , ) , ,α β γ2 2 2 2 1 2 3

Matemáticas de 2º de bachillerato Página 39 El espacio vectorial ú3 (ú)

r r r ru u u u= − − +92

12

51 2 3

( )ru

respecto de B=

−

− −

( , , )

, ,

4 6 3

592

12

( ){

{ ( ){

r

1 244 344

r

r

r6 7444 8444

6 744 844

wuuu

matriz devectores matriz denumeros

de ordenmatriz de

vectores

↓

×

×

×

↓

↓

=

" " & ,

" "1 1

1 1 1

1 3

1

2

3

3 1

α β γ

(Ver ejemplo 44)

Por tanto:

respecto de la base , ( )ru = − −92

12 5, , { }B u u u= = − = − =r r r

1 2 31 2 1 1 0 3 0 3 0( , , ) , ( , , ) , ( , , )

o lo que es lo mismo, son las componentes del vector respecto de la− −92

12 5, , ru = −( , , )4 6 3

base B.En definitiva:

Sin olvidar que el vector esru

un sólo vector que cambia de“ a s p e c t o ” s e g ú n l oexpresemos en función de unau otra base.

16.Cambio de base en ú3(ú).-

. Supongamos una base del espacio vectorial ú3(ú).{ }B u u u1 1 2 3= r r r, ,

. Sea un vector cualquiera de ú3(ú), que expresado como combinación lineal de losrw

vectores de la base B1 es . Dicho de otro modo, lasr r r rw u u u= + +α β γ1 1 1 2 1 3

componentes de respecto de B1 son .rw ( , , )α β γ1 1 1

Vamos a expresar esta combinación de un modo o “forma” matricial:

Obsérvese que operando enforma matricial, tenemos elproducto de una matriz 1×3 porotra “matriz” 3×1, siendo elresultado otra “matriz” 1×1.

. Sea otra base de ú3(ú). Los vectores de la base B1 tendrán una{ }B v v v2 1 2 3= r r r, ,expresión como combinación lineal de los vectores de la base B2, es decir:

r r r r

r r r r

r r r r

r

r

r

r

r

r

u x v y v z vu x v y v z vu x v y v z v

y en forma matricialuuu

x y zx y zx y z

vvv

1 1 1 1 2 1 3

2 2 1 2 2 2 3

3 3 1 3 2 3 3

1

2

3

1 1 1

2 2 2

3 3 3

1

2

3

= + += + += + +

=

" "

. Nos hacemos la siguiente pregunta : ¿Podemos expresar en función de la base B2 ?

rwEs decir, se trata de cambiar de base en la combinación del vector , o lo que es lo

rwmismo, hallar sus componentes respecto de la base B2 . La respuesta es que sí y veremos que para ello es necesario conocer la relación entre unabase y otra. Resolveremos esto de dos formas, en una de ellas utilizaremos las expresionesmatriciales que hemos definido.

Matemáticas de 2º de bachillerato Página 40 El espacio vectorial ú3 (ú)

{ }r

r r r rw x x x y y y z z z

componentes de w respecto de B v v v

= + + + + + + =

= → =

( , , )

( , , ) , ,

α β γ α β γ α β γ

α β γ1 1 1 2 1 3 1 1 1 2 1 3 1 1 1 2 1 3

2 2 2 2 1 2 3

r r r r

r r r

r r r r

u v v vu v vu v v v

1 1 2 3

2 1 2

3 1 2 3

3 548 3 11

= − + += −= + −

( ) ( ) ( )

( )

r

r

r

r

r

r

r

r

r

r

wuuu

x y zx y zx y z

vvv

x x x y y y z z zvvv

x

=

=

=

= + + + + + +

=

= +

α β γ α β γ

α β γ α β γ α β γ

α

1 1 1

1

2

3

1 1 1

1 1 1

2 2 2

3 3 3

1

2

3

1 1 1 2 1 3 1 1 1 2 1 3 1 1 1 2 1 3

1

2

3

1 1( β γ α β γ α β γ α β γ1 2 1 3 1 1 1 1 2 1 3 2 1 1 1 2 1 3 3 2 1 2 2 2 3x x v y y y v z z z v v v v+ + + + + + + = + +) ( ) ( )r r r r r r

r r r r r r r r r r r r r

r r r r r r r rw u u u x v y v z v x v y v z v x v y v z v

x v y v z v x v y v z v x v y v

= + + = + + + + + + + + =

= + + + + + + + +

α β γ α β γα α α β β β γ γ γ

1 1 1 2 1 3 1 1 1 1 2 1 3 1 2 1 2 2 2 3 1 3 1 3 2 3 3

1 1 1 1 1 2 1 1 3 1 2 1 1 2 2 1 2 3 1 3 1 1 3 2

( ) ( ) ( )

1 3 3

1 1 1 2 1 3 1 1 1 1 2 1 3 2 1 1 1 2 1 3 3

z vx x x v y y y v z z z v

r

r r r=

= + + + + + + + +( ) ( ) ( )α β γ α β γ α β γ

Tenemos así:

Por tanto:

{ }{ }

rr r r

r r rwrespecto de B u u u

respecto de B v v v=

=

=

( , , ) , ,

( , , ) , ,

α β γ

α β γ1 1 1 1 1 2 3

2 2 2 2 1 2 3

Hagámoslo en forma matricial:

Por tanto:

Ejemplo 47.-Un vector respecto de una base es .

rw { }B u u u= r r r1 2 3, , r r r rw u u u= + −2 5 41 2 3

Queremos expresar este vector respecto de otra base sabiendo que:{ }C v v v= r r r1 2 3, ,

Veamos:La combinación de respecto de B y la relación entre las bases B y C las podemos

rwexpresar matricialmente:

r r r r

r r rw x x x v y y y v z z z v

v v v= + + + + + + + + == + +

( ) ( ) ( )α β γ α β γ α β γα β γ

1 1 1 2 1 3 1 1 1 1 2 1 3 2 1 1 1 2 1 3 3

2 1 2 2 2 3

Matemáticas de 2º de bachillerato Página 41 El espacio vectorial ú3 (ú)

r r r r

r r r r

r r r r

r

r

r

r

r

r

u v v vu v v vu v v v

y matricialmenteuuu

vvv

1 11 1 12 2 13 3

2 21 1 22 2 23 3

3 31 1 32 2 33 3

1

2

3

11 12 13

21 22 23

31 32 33

1

2

3

= + += + += + +

=

α α αα α αα α α

α α αα α αα α α

r

r

r

r

r

r

r

r

r

uuu

vvv

uuu

1

2

3

11 12 13

21 22 23

31 32 33

1

2

3

11 12 13

21 22 23

31 32 33

11

2

3

11 12 13

21 22 23

31 32 33

111

=

⇒

=

− −α α αα α αα α α

α α αα α αα α α

α α αα α αα α α

α α 12 13

21 22 23

31 32 33

1

2

3

αα α αα α α

r

r

r

vvv

α α αα α αα α α

11 12 13

21 22 23

31 32 33

11

2

3

1

2

3

1 2 3

1 2 3

1 2 3

3 1

1 0 00 1 00 0 1

0 00 00 0 1

=

=+ +

+ ++ +

−

×

r

r

r

r

r

r

r r r

r r r

r r r1 2444 3

uuu

vvv

v v vv v vv v v

matriz vectorial" "444

r

r

r=

vvv

1

2

3

( )r

r

r

r

r

r

r

r

r

r

uuu

vvv

y wuuu

1

2

3

1

2

3

1

2

3

1 3 54 1 08 3 11

2 5 4

=−

−−

= −

( )

Operando matricialmente:

( ) ( ) ( )

( ) ( )

r

r

r

r

r

r

r

r

r

r

r r r r1 24444 34

r

wuuu

vvv

vvv

w v v vTenemos el vector w como combinacionlineal de los vectores de la base C

= −

= −−

−−

=

= − −

= − − ⇒ = − − +

2 5 4 2 5 41 3 5

4 1 08 3 11

14 11 54 14 11 54 14 11 54

1

2

3

1

2

3

1

2

3

1 2 3&

444

Hemos visto como una base (sus vectores) puede expresarse como combinación lineal delos vectores de otra base del espacio vectorial ú3(ú) y como la expresión puede ponerse en formamatricial.

Supongamos que tenemos los vectores de una base expresados como{ }B u u u1 1 2 3= r r r, ,

combinación lineal de los de otra base , es decir:{ }B v v v2 1 2 3= r r r, ,

Nos preguntamos lo siguiente:

¿Podemos expresar los vectores de en función de ?{ }B v v v2 1 2 3= r r r, , { }B u u u1 1 2 3= r r r, ,Veamos como:L Multiplicamos en ambos miembros de la igualdad matricial por la inversa de la matriz

numérica de orden 3×3:

L Como el producto de una matriz por su inversa es la matriz I, tenemos:

Por tanto, encontramos la relación buscada sin más que hallar la inversa de una matriz

Matemáticas de 2º de bachillerato Página 42 El espacio vectorial ú3 (ú)

r

r

r

r

r

r

vvv

uuu

1

2

3

11 12 13

21 22 23

31 32 3

11

2

3

=

−α α αα α αα α α

Tenemosu v v vu v vu v v v

es deciruuu

vvv

r r r r

r r r

r r r r

r

r

r

r

r

r

1 1 2 3

2 1 2

3 1 2 3

1

2

3

1

2

3

3 548 3 11

1 3 54 1 08 3 11

= − + += −= + −

=−

−−

Ejemplo 48.-Consideremos las bases B y C del ejemplo 47 y la relación de los vectores de B como

combinación lineal de los de C que se expresa en icho ejemplo. Ahora queremos expresar losvectores de C como combinación lineal de los de B.

Veamos:

Despejando la matriz vectorial de la base C:

r

r

r

r

r

r

vvv

uuu

Debemos hallar la inversa de M1

2

3

11

2

3

1 3 54 1 08 3 11

1 3 54 1 08 3 11

=−

−−

=−

−−

−

M =−

−−

= − + + + =1 3 5

4 1 08 3 11

11 60 40 132 221

La inversa de M será:

MM M MM M MM M M

siendo

M M M

M M M

M M M

− =

=−

−= = −

−= =

−=

= −−

= =−

−= − = −

−=

=−

= = −−

= =−

−= −

111 21 31

12 22 32

13 23 33

11 21 31

12 22 32

13 23 33

1221

1 03 11 11

3 53 11 48

3 51 0 5

4 08 11

441 5

8 1129

1 54 0

20

4 18 3

201 3

8 327

1 34 1

11

; ;

; ;

; ;

En definitiva

M

:

− −

−= −

−

=

1

11221

48221

5221

44221

29221

20221

20221

27221

11221

1221

11 48 544 29 2020 27 11

La expresión que nos determina la base C en función de la base B es :

Matemáticas de 2º de bachillerato Página 43 El espacio vectorial ú3 (ú)

r

r

r

r

r

r

r r r r

r r r r

r r r r

vvv

uuu

v u u u

v u u u

v u u u

1

2

3

11221

48221

5221

44221

29221

20221

20221

27221

11221

1

2

3

111221 1

48221 2

5221 3

244221 1

29221 2

20221 3

320221 1

27221 2

11221 3

=

⇒

= + +

= − +

= + −

−

−

Ejemplo 49.-Consideremos las bases B y C del ejemplo anterior. Sea el vector que está expresado respecto de la base C.r r r rw v v v= − − −11 14 541 2 3Queremos expresar en función de la base B.rw

Veamos:

( ) ( ) ( )

( ) ( )

r

r

r

r

r

r

r

r

r

r

r

r

r

wvvv

uuu

uuu

uuu

= − −

= − −

=

= − + + + − −

= −

−

−

− − −

14 11 54 14 11 54

2 5 4

1

2

3

11221

48221

5221

44221

29221

20221

20221

27221

11221

1

2

3

154221

484221

1080221

672221

319221

1458221

70221

220221

594221

1

2

3

1

2

3

= + −Por w u u u tanto: r r r r2 5 41 2 3

NOTA: Observa en el ejemplo 47 que se trata del mismo vector expresado en ambasrw

bases y coincide con el resultado obtenido en ese ejemplo.