Fundamentos Matemticosde la Ingenier­a1 Tema 5.- ESPACIOS VECTORIALES ESPACIO VECTORIAL ESPACIO VECTORIAL SUBESPACIO VECTORIAL SUBESPACIO VECTORIAL BASE

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  • Fundamentos Matemticosde la Ingeniera1 Tema 5.- ESPACIOS VECTORIALES ESPACIO VECTORIAL ESPACIO VECTORIAL SUBESPACIO VECTORIAL SUBESPACIO VECTORIAL BASE Y DIMENSIN DE UN ESPACIO VECTORIAL BASE Y DIMENSIN DE UN ESPACIO VECTORIAL
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  • Fundamentos Matemticosde la Ingeniera2 Aunque histricamente el primer trabajo de lgebra Lineal consisti en resolver sistemas de m ecuaciones lineales con n incgnitas, comenzaremos este curso estudiando la estructura de espacio vectorial. Los vectores libres del plano (del espacio) pueden sumarse unos con otros (por la ley del paralelogramo) y multiplicarse por un nmero real: Pero, qu es un vector libre del plano? Definimos como el conjunto de vectores con. Es evidente que se puede pensar que cualquier punto en el plano es un vector de (definicin algebraica de vector), y viceversa. Sin embargo, para muchas aplicaciones fsicas (incluyendo las nociones de fuerza, velocidad, aceleracin y momento) es importante pensar en un vector no como un punto sino como una entidad que tiene longitud y direccin.
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  • Fundamentos Matemticosde la Ingeniera3 Tanto en Fsica como en Ingeniera un vector se caracteriza por dos magnitudes (longitud y direccin) y se representa por un segmento recto dirigido. Un vector en el plano puede ubicarse en diferentes lugares. Sin embargo, con independencia de dnde est situado, si la longitud y direccin no varan se trata del mismo vector. El conjunto de los vectores libres del plano ( ) es slo un ejemplo entre los muchos ejemplos de objetos matemticos que pueden sumarse entre s y multiplicarse por nmeros reales, y que adems satisfacen unas mismas propiedades. Este ejemplo de los vectores libres del plano (o el de los vectores libres del espacio) es importante porque su representacin geomtrica ayuda a entender la definicin general de vector.
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  • Fundamentos Matemticosde la Ingeniera4 Algunos ejemplos que podemos mencionar son: los propios nmeros reales, los propios nmeros reales, los nmeros complejos, los nmeros complejos, los vectores en el plano, los vectores en el plano, los vectores en el espacio, los vectores en el espacio, los polinomios de grado menor o igual que n, los polinomios de grado menor o igual que n, las funciones reales de variable real con dominio D, las funciones reales de variable real con dominio D, las funciones continuas en un intervalo, las funciones continuas en un intervalo, las funciones derivables en un punto, las funciones derivables en un punto, las funciones integrables en un intervalo, las funciones integrables en un intervalo,.......................................................................... Un vector puede ser un nmero, una n-tupla, un polinomio, una funcin continua, etc.
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  • Fundamentos Matemticosde la Ingeniera5 Tambin hay magnitudes fsicas de tipo vectorial con las mismas propiedades: fuerzas, velocidades, aceleraciones,.... Cuando en varios conjuntos distintos aparecen estructuras similares, es conveniente axiomatizar stas y dar un nombre al ente resultante. Aunque este primer tema tiene el inconveniente de trabajar en el mundo abstracto de los espacios vectoriales arbitrarios, tambin presenta una gran ventaja. La abstraccin resulta ser matemticamente eficiente en el sentido de que ahora pueden demostrarse resultados generales cuya validez afecta a todos los espacios vectoriales. Es decir, una vez que se establecen los hechos sobre los espacios vectoriales en general, se pueden aplicar estos hechos a todos los espacios vectoriales. De otro modo, habra que probar cada hecho una y otra vez, para cada nuevo espacio vectorial que nos encontrramos (y existen un sin fin de ellos).
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  • Fundamentos Matemticosde la Ingeniera6 En este curso, bsicamente trabajaremos con cuatro espacios vectoriales. En el tema 1 definimos la estructura de espacio vectorial y trabajaremos con los espacios vectoriales siguientes: En el tema 2 estudiamos el espacio vectorial de las matrices reales de m filas y n columnas, que denotamos: Por ltimo, en el tema 6 trabajaremos tambin con espacios vectoriales de funciones reales de variable real y continuas sobre un intervalo. A continuacin, presentamos un ejemplo introductorio que proporciona una motivacin para desarrollar las matemticas subsecuentes., normalmente n=3 o n=4., normalmente n=3 o n=4., normalmente n=2 o n=3., normalmente n=2 o n=3.
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  • Fundamentos Matemticosde la Ingeniera7 Un poco de historia El matemtico alemn Grassmann es reconocido como el primero que introdujo la idea de un espacio vectorial (aunque no lo llam de esta manera, sino sistema de nmeros hipercomplejos) y de independencia lineal en 1844. Desafortunadamente su trabajo era muy difcil de leer y no recibi la atencin que mereca. Peano en su libro Calcolo geometrico (1898) acalar el trabajo de Grassmann y estableci los axiomas de espacio vectorial como los conocemos en la actualidad. En este mismo libro introdujo las operaciones de conjuntos. Sus notaciones, y son las que todava utilizamos, aunque no fueron aceptadas de inmediato. La definicin axiomtica de Peano de un espacio vectorial tambin tuvo muy poca influencia durante muchos aos. Su aceptacin se produjo en 1918, despus de que Hermann Weyl la repitiera en su libro Space, time, matter, una introduccin a la teora de la relatividad general de Einstein. Tambin podemos mencionar a William R. Hamilton, que durante los veinte ltimos aos de su vida, dedic la mayor parte de su creacin matemtica a desarrollar la tera de un tipo especial de nmeros, los cuaterniones. Con estos trabajos ciment la moderna nocin de vector. Todava hoy se utiliza la notacin i, j, k de Hamilton para los vectores de la base cannica en el espacio tridimensional.
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  • Fundamentos Matemticosde la Ingeniera8 ESTRUCTURA DE ESPACIO VECTORIAL REAL Sean (cjto. nmeros reales) y operacin interna en operacin interna en V operacin externa en con dominio de operadores operacin externa en V con dominio de operadores Definiremos cuando es un espacio vectorial real Definiremos cuando V es un espacio vectorial real
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  • Fundamentos Matemticosde la Ingeniera9 Como hemos visto, partimos de un conjunto no vaco V, cuyos elementos se denotan..., y se denominan vectores y del cuerpo conmutativo (estructura algebraica) de los nmeros reales. En general se puede trabajar con cualquier cuerpo conmutativo K y en este curso surgirn algunos ejercicios con espacios vectoriales complejos ( K= ). La ley de composicin interna se suele denotar con el smbolo de la suma ( ) y se suele denominar suma de vectores. Es una aplicacin que a cada par de elementos de V les hace corresponder el elemento, tambin de V,, denominado suma de e. La ley de composicin externa con dominio de operadores (en general, con dominio de operadores K) es una aplicacin que denominamos producto por un escalar y denotamos con el smbolo del producto ( ) que a todo elemento de V y a todo elemento de (o K) hace corresponder el elemento. OBSERVACIN.- Es la suma de polinomios una ley de composicin interna sobre el conjunto de los polinomios de grado exactamente 2?
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  • Fundamentos Matemticosde la Ingeniera10 ESTRUCTURA DE ESPACIO VECTORIAL 1.- Para ( + ) (operacin interna) se cumple: 2.- Para ( ) (op. externa con dominio ) se cumple:
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  • Fundamentos Matemticosde la Ingeniera11 Los elementos de un espacio vectorial reciben el nombre genrico de vectores y en general se utiliza la notacin vectorial (,...) para denotarlos. Esto no es obstculo para que en algunos casos particulares (polinomios, matrices, funciones,...) se utilice la notacin propia en cada caso. Los axiomas 1.- de la definicin de espacio vectorial real se refieren a la suma de vectores, los axiomas 2.- c.- y 2.- d.- se refieren exclusivamente a la multiplicacin por escalares (nmeros reales) y las propiedades 2.- a.- y 2.- b.- son las propiedades distributivas de una operacin con respecto a otra. A continuacin presentamos varios ejemplos de espacios vectoriales. Para comprobar que tienen estructura de espacio vectorial deberamos ver que se satisfacen los 8 axiomas de la definicin con las operaciones suma y producto por un escalar definidas. Este trabajo es muy sencillo y se basa exclusivamente en propiedades de los nmeros reales (no olvidar que estamos trabajando, en principio, con espacios vectoriales reales). Dado que tambin es una labor muy tediosa omitiremos las comprobaciones, pero hay que insistir en que es absolutamente necesario comprobar los 8 axiomas.
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  • Fundamentos Matemticosde la Ingeniera12 EJEMPLOS DE ESPACIOS VECTORIALES -EJEMPLO 1.- conjunto de los vectores libres del espacio Cmo se suman dos vectores libres? Cmo se multiplica un vector por un nmero real? Cul es el vector nulo?
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  • Fundamentos Matemticosde la Ingeniera13 -EJEMPLO 2.- Cmo se suman dos vectores libres? Cmo se multiplica un vector por un nmero real? Cul es el vector nulo?
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  • Fundamentos Matemticosde la Ingeniera14 -EJEMPLO 3.-Conjunto de los polinomios de grado menor o igual que n. -EJEMPLO 3.- Conjunto de los polinomios de grado menor o igual que n. Cmo se suman dos polinomios? Cmo se multiplica un polinomio por un nmero real? Cul es el polinomio nulo? (coeficiente a coeficiente) (se multiplica cada coeficiente por el nmero real)
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  • Fundamentos Matemticosde la Ingeniera15 -EJEMPLO 4.-Conjunto de las matrices reales de m filas y n columnas. -EJEMPLO 4.- Conjunto de las matrices