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El Espacio Vectorial - Edición Especial

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  • Revista Espacio Vectorial Edicin No. 1

    Vectores

    Editores y Escritores:

    -Grupo No. 4-

    Pablo Daz 13203 Angel Morales 13332

    Mario Barrientos 13039 William Fuentes 13324

    lgebra Lineal

    Universidad del Valle de Guatemala Facultad de Ingeniera

  • 1. Vectores

    Tomando en cuenta un plano cartesiano en dos dimensiones (o R2) como se acostumbra, cualquier segmento de recta dirigido que representa un desplazamiento desde un punto inicial a un punto final, es considerado un vector. Caractersticas de un vector:

    Magnitud: longitud de la flecha o tambin conocida como norma

    Direccin: ngulo que forma la representacin de la flecha tomando como referencia el eje positivo de x, este ngulo se trabajar en la mayora de los casos en radianes.

    (Imagen 1.1 Representacin de un vector)

    Forma de Escritura de un Vector: Se puede escribir de dos maneras distintas: Vector rengln [x, y]

    Vector Columna

    Vector en Posicin Estndar: Hace referencia a aquellos vectores que inician en el origen. Notacin: Un vector se representa mediante una letra minscula con flecha

    encima o en negrita. Ejemplo: . Para poder observar un ejemplo grfico de un vector en la Imagen 1 est el vector estndar con sus componentes en ambos ejes del plano cartesiano R2.

    (Imagen 1.2: Vector en posicin estndar)

  • Producto punto o escalar: El producto punto o producto escalar de dos vectores est dado por la siguiente frmula:

    u v =u1v1+u2v2+vnun

    Esta operacin no da como resultado un vector, sino solo nicamente un nmero. Si el producto escalar como resultado da 0, quiere decir que ambos vectores son paralelos.

    ngulo entre dos vectores:

    = cos-1 (uv / uv)

    (Imagen 1.3: ngulo entre vectores)

    Distancia entre vectores:

    La distancia que hay entre dos vectores en el espacio est dada por la siguiente frmula:

    d(u, v)= u-v

    Dos vectores son iguales si tienen misma direccin y magnitud

    Dos vectores son paralelos si tienen la misma pendiente, es decir, si los

    vectores son mltiplos escalares mutuos.

    Dos vectores son perpendiculares u ortogonales en Rn si el producto

    punto entre ellos es 0

  • Vectores iguales:

    misma direccin

    misma magnitud

    Vectores paralelos:

    Esto se cumple cuando los vectores son mltiplos escalares mutuos.

    Vectores perpendiculares:

    Tambin conocidos como ortogonales.

    se sabe que dos vectores son ortogonales cuando su producto punto entre ellos es igual a 0.

    Proyeccin de v sobre u

    Se traza una lnea perpendicular desde la terminal de un vector hasta el otro vector. La sombra o proyeccin es la lnea que se forma entre el vector A a la perpendicular. La proyeccin es un vector. Si el ngulo entre ambos vectores es menor a 90, la proyeccin va a la misma direccin sobre el vector en donde se proyect.

    (Imagen 1.4 Proyeccin entre dos vectores, en este caso de v sobre u)

    Consulta el siguiente enlace para practicar los vectores

    paralelos y perpendiculares.

    http://www.youtube.com/watch?v=QQSa3cuaPBo

  • Combinacin lineal de vectores

    Sean v1, vk vectores en Rn y sea v un elemento cualquiera de Rn. Entonces decimos que v es una combinacin lineal de los vectores v1, vk si existen escalares c1, ck tal que: v= c1v1++ckvk

    Si S={v1, vk} es un conjunto de vectores, entonces el conjunto de todas las combinaciones lineales de los vectores de S, se denomina el espacio generado de S.

    Desigualdad de Cauchy-Schwarz en Rn

    |uv|uv

    Desigualdad del tringulo en Rn

    u+vu+v

    Propiedades de los vectores en Rn

    Sean u, v y w vectores en Rn

    i. u+v= v+u

    ii. (u+v)+ w =(w + u) + v

    iii. C(u+v)= cu+cv

    iv. (C + D) u = Cu+Du

    v. C(Du)=CDu

    Vector unitario/Normalizar un vector

    Algo muy importante que se debe recordar es el concepto de un vector unitario. Un vector unitario, como su nombre lo indica es un vector con magnitud 1. El hecho de normalizar un vector sirve para convertir el vector que se va a normalizar para que sea unitario. Este vector tendr la misma direccin que el anterior, y est dado por la siguiente frmula:

    u=1/u * u

  • Producto vectorial o producto cruz (slo est definido para R3) Al hacer producto cruz entre dos vectores, el vector resultante es ortogonal a ambos.

    Propiedades del producto vectorial:

    i. u x v= -(v x u) ii. u x u= 0 iii. u x 0=0 iv. Ku x v=k(u x v) v. (u x v) u = 0 vi. (u x v) v = 0

    (Imagen 1.5 Producto Cruz entre vectores en R3)

    Es posible calcular el rea de un tringulo en r3 haciendo producto cruz entre dos vectores que comparten vrtice y despus sacar la norma del producto cruz por un medio.

    Para que puedas observar grficamente lo que representa el producto cruz, puedes ver la siguiente imagen:

    (Imagen 1.6 Producto Cruz entre vectores en R3, grficamente)

  • 2. Rectas y planos en R3

    Forma Normal de la ecuacin de una recta L en en R2

    nx = np

    Forma general de la ecuacin de L

    ax+by=c

    donde [a, b] es un vector normal para L

    Forma vectorial de la ecuacin de una recta L en en R2 o en R3

    x=p+td

    Aunque est en R3 solo es necesario un vector direccin.

    Forma general de la ecuacin de un plano P en en R3

    Esta es una forma de generalizar la ecuacin de la recta en en R3.

    ax+by+cz=d

    Donde n = [a, b, c] es un vector normal para P.

    Forma vectorial de la ecuacin de un plano P en R3

    p es un punto sobre P, u y v son vectores direccin distintos de cero y no paralelos mutuamente.

    x=p+su+tv

    En caso de que no hayan dos vectores direccin es necesario escribirla en su forma normal y luego pasarla a forma general.

    Para una explicacin ms detallada de lo visto anteriormente, ac puedes

    consultar dos enlaces sobre ecuaciones de la recta en R3:

    http://www.youtube.com/watch?v=fgcH6K6109c

    as como la ecuacin del plano en R3:

    http://www.youtube.com/watch?v=ajmQQJquosY

  • Distancia desde un punto B hasta una recta L

    d(B,L)=v-proy d (v)

    En el caso que la recta L est en R2 y su ecuacin tiene la forma general ax + by =c, la distancia d (B, L) desde B = (x0, y0)

    d(B,L)=|ax0+by0-c|a2+b2

    Distancia desde un punto B hasta un plano P

    d(B, P)= proy n (v)

    En general, la distancia d(B,P) desde el punto B= (x0, y0, z0) hasta el plano cuya ecuacin general es ax +by+ cz=d

    d(B,P)=|ax0+by0+cz0-d|a2+b2+c2

    Es posible calcular la distancia desde un plano a otro plano, sacando un punto de un plano hasta el otro plano.

    3. Aritmtica Modular

    Los vectores utilizados en el estudio de los cdigos no son familiares en vectores de n , si no vectores con nicamente un nmero finito de selecciones para los componentes y dependen de un tipo diferente de aritmtica, llamada: la aritmtica mdulo n

    El inverso aditivo y el inverso multiplicativo varan dependiendo en qu mdulo se est operando.

    Los vectores m-arios (con componentes en Zm) de longitud n se denotan por Zmn y los cdigos que utilizan estos vectores se llaman cdigos m-arios.

    Para una explicacin ms detallada de lo visto anteriormente, ac puedes

    consultar dos enlaces sobre ecuaciones de la recta en R3:

    http://www.youtube.com/watch?v=fgcH6K6109c

    as como la ecuacin del plano en R3:

    http://www.youtube.com/watch?v=ajmQQJquosY

  • El cdigo de verificacin de paridad ha sido creado al agregar una componente extra a cada vector binario, llamada dgito verificador de tal manera que el nmero total de unos sea par.

    El Cdigo Universal del producto (UPC) es un cdigo asociado con los cdigos de barras encontrados en muchos tipos de mercancas. Las barras en blanco y negro, exploradas por un lser corresponden a un vector.

    u = [u1, u2, . . ., u11, d] en Z1012.

    c = [3, 1, 3, 1, 3,. . ., 1].

    d es un dgito verificador seleccionado de tal modo que c u = 0

    El Nmero Estndar Internacional de Libros (ISBN) es otro cdigo de dgito verificador muy til.

    Para este cdigo, el vector de verificacin es c = [10, 9, 8, 7, 6, 5, 4, 3, 2, 1] si el ISBN consta de 10 dgitos y se requiere que c b = 0 en Z11, donde b es el ISBN escrito como vector

    Si el ISBN consta de 13 dgitos, se utiliza el mismo vector de verificacin correspondiente al UPC y se requiere que c b = 0 en Z10

    (Imagen 1.7 ISBN de lbros)

    4. Sistema de Ecuaciones lineales

    Una ecuacin lineal de n variables x1, x2, xn es una ecuacin que puede escribirse a1x1 + a2x2 ++ anxn = b. Donde a son coeficientes y b son constantes.

  • Un sistema de ecuaciones lineales se llama consistente si tiene al menos una solucin. Un sistema sin soluciones se llama inconsistente.

    5. Mtodos directos para resolver matrices

    En cada rengln distinto de cero, la primera entrada distinta de cero se llama entrada principal

    Una matriz est en forma escalonada por renglones si satisface las siguientes propiedades:

    i. Cualquier rengln que consiste completamente cero est en la parte baja ii. En cada rengln distinto de cero, el primer elemento distinto de cero, est

    en una columna a la izquierda de cualquier elemento pivote bajo l.

    Las operaciones elementales con renglones pueden realizarse sobre una matriz

    i. Intercambiar dos renglones ii. Multiplicar un rengln por una constante distinta de cero iii. Sumar un mltiplo de un rengln a otro rengln (rengln = fila) iv. Si se convierte una matriz A a una B por medio de operaciones elementales

    se dice

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