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Espacio vectorial Y COMBINACION LINEAL

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  • 1. Espacios vectoriales Estructuras algebraicas.Las estructuras algebraicas son conjuntos donde hay definidasciertas operaciones, que satisfacen unas determinadas propiedades.Las operaciones pueden ser de varios tipos. Por ejemplo, unaoperacin binaria interna, definida en un conjunto X , es unafuncin que a dos elementos de X (dados en orden), le hacecorresponder otro elemento de X . Es decir, una funcin p : X X X. La primera estructura algebraica que estudiaremos, una de las ms bsicas y utilizadas, es la de grupo:

2. GRUPO Sea G un conjunto no vaco, y sea una operacin interna definida en G. Se dice que (G, ) es un grupo, si se cumplen las siguientes propiedades:1. Asociativa: (a b) c = a (b c),a, b, c G.2. Elemento neutro: e G tal quea e = e a = a, a G.3. Elemento opuesto: a G, a Gtal que a a = a a = e.Normalmente, la operacin interna ser la suma o el producto de elementos. En la notacinaditiva, el elemento neutro se denota 0, y el elemento opuesto a a se denota a. En la notacinmultiplicativa, el elemento neutro se denota 1, y el elemento opuesto a a,que en este caso se llama el inverso de a, se suele denotar a1, o bien 1/a . 3. Sea (G, ) un grupo. Se dice que G es conmutativo o abeliano si,adems de las propiedades de grupo, verifica la siguiente:Propiedad conmutativa: a b = b a,a, b G.Ejemplo. Algunos ejemplos de grupos son los siguientes:(Z, +), (Q, +), (R, +) y (C, +) son grupos abelianos aditivos. El conjunto de matrices m n con entradas en un cuerpo K (ahora veremos la definicin de cuerpo), junto con la suma de matrices, es un grupo abeliano aditivo.Los vectores de n coordenadas, con la suma de vectores, forman un grupoabeliano. 4. AnilloSea A un conjunto no vacio, y sean +, dos operaciones internas, quellamaremos suma y producto, definidas en A. Se dice que (A, +, ) es un anillo, si se cumplen las siguientespropiedades:(A, +) es un grupo abeliano.Propiedad asociativa del producto: (a b) c = a (b c), a, b, c A.3. Propiedad distributiva del producto respecto a la suma:a (b + c) = a b + a c, a, b, c A,(a + b) c = a c + b c, a, b, c A.Dado un anillo (A, +, ), se dice que es unitario, o que tiene elemento unidad,si cumple la siguiente propiedad:Elemento neutro: u A tal que au = ua = aa A.Dado un anillo (A, +, ), se dice que es conmutativo si cumple la siguiente Propiedad: Propiedad conmutativa:a b = b a, a, b A. 5. Ejemplo Algunos ejemplos de anillo son los siguientes: (Z, +, ), (Q, +, ), (R, +, ) y (C, +, ) son anillos conmutativos.Si Z[x] es el conjunto de los polinomios en la variable x, con coeficientes en Z, y definimosnaturalmente la suma (+) y el producto () de dos polinomios, entonces (Z[x], +, ) es un anilloconmutativo.De igual modo, (Q[x], +, ),(R[x], +, ), y (C[x], +, ) son anillos conmutativos.El conjunto de matrices m n con entradas en un cuerpo K, con la suma y el producto dematrices, es un anillo no conmutativo.En resumen, si (A, +, ) es un anillo, entonces (A, +) es un grupo, y(A, ) es casi un grupo: slo le falta el elemento inverso, y puede que el elemento unidad. 6. Cuerpo Sea K un conjunto no vacio, y sean +, dos operaciones internas, que llamaremos suma y producto, definidas en K. Se dice que (K, +, ) es un cuerpo, si se cumplen las siguientes propiedades: (K, +) es un grupo abeliano. (K{0}, ) es un grupo abeliano, donde 0 es el elemento neutro de la suma. Propiedad distributiva del producto respecto a la suma: a (b + c) = a b + a c, a, b, c K,Dicho de otra forma, un cuerpo es un anillo conmutativo, con elemento unidad,donde todo elemento no nulo tiene inverso. Observemos que la propiedad distributivaslo tiene una condicin. Esto es porque el producto es conmutativo, luego la otracondicin es consecuencia de la primera. Ejemplo ;Algunos ejemplos de cuerpo son los siguientes: (Q, +, ), (R, +, ) y (C, +, ) son cuerpos. 7. Sea (V,K,+,*), Espacio Vectorial,Se dice que un vector es combinacin lineal de un conjunto de vectores si es que existe alguna forma de expresarlo como suma de parte de todos los vectores de S, multiplicados a cada uno de ellos por un escalarcualquiera .El vector es combinacin lineal de los vectores S sital que: 8. ES DECIR:Cualquier vector se puede poner como combinacin lineal de otros dos quetengan distinta direccin. 9. Ejemplo:Sea, espacio VectorialS = {(1,-1,0),(-2,3,-1),(2,1,-3)}Combinacin Lineal:3(1,-1,0) + 4(-2,3,-1) - 2(2,1,-3) = (-9,7,2) 4(1,-1-0) + 5(-2,3,-1) - 6(2,1,-3) = (18,5, 13) 10. Por Ejemplo:Determine si es combinacin lineal.S = {(1,0) , (0,1)} ( 1, 0 ) + ( 0 , 1 ) = ( 0 , 0 )( , ) = ( 0 , 0 ) Realizamos la matriz ampliada 1 0 00 1 0 Al desarrollar el determinante de la matriz ampliada, podemos ver que tiene nica solucin, debido a que su determinante es diferente de cero, por lo tanto, ninguno de sus vectores es combinacin lineal de otro. 11. 2. S = { ( 1,2,3 ), ( 2, -1,0), (3,1,3) }Entonces, como primer paso: ( 1, 2, 3 ) + ( 2 , -1, 0 ) + (3, 1, 3 ) = ( 0 , 0 , 0) Al desarrollarlo tenemos:( , 2 ,3 ) + ( 2, - , ) + (3 ,3 ) = ( 0, 0, 0 ) Al Hacer la matriz ampliada, tenemos:12 3 02 -1 1 030 3 0Al obtener el determinante , nos da como resultado igual a cero, por lo que podemos concluir dos cosas, que el sistema no tiene solucin o tiene infinitas soluciones, pero como es un sistema de ecuaciones homogneas,concluimos que tiene infinitas soluciones. 12. EJERCICIOS RESUELTOS1. Dado el espacio vectorial: ( R, R 2 ,+, * ). u = (3,3), es combinacin lineal deT?, SIENDO T = {(2, -1), (1, -2)} Procedemos de la siguiente manera: (3,3) = a(2,-1) + b (1,-2) (3,3) = (2a, -a) + (b,-2b) (3,3) = (2a + b , -a - 2b )2a + b = 32 1 3-a - 2b = 3 -1 -2 3Entonces al sacar el determinante, podemos ver que es diferente de cero, por lo tanto podemos concluir que el u=(3,3)es combinacin lineal de T 13. 2. Dado el espacio vectorial: ( ). u = (1, 3,0), es combinacin lineal de T? T = {(2, -1,3), (4, 1,2), (1, 0,0)} Procedemos de la siguiente manera: (1, 3,0) = a(2,-1,3) + b (4,1,2) + t (1, 0,0) (1, 3,0) = (2a, -a, 3a) + (4b,b, 2b ) +(t, 0, 0)(1, 3,0) = (2a + 4b + t, -a +b, 3a + 2b) 2a + 4b + t = 1 2 4 1 1 -a +b = 3 -1 10 3 3a + 2b =0-1 -2 3 0Entonces al sacar el determinante, podemos ver que es diferente de cero, por lotanto podemos concluir que el u= (1, 3,0) es combinacin lineal de T 14. EJERCICIOS PROPUESTOS:Determine si existe o no combinacin lineal en los siguientesejercicios. 1. S = {(1,1,0),(0,2,3),(1,2,3),(0,0,0)}2. S = {( t2+1), (t-2), (t+3)}3. S = {(2 t2 +t), (3 t2 +t-5), (t+13)} 4. Sean T = {(3, 0,-2), (2,-1,-5)} y V = (1,-2,-5)a) Para qu valor de X el vector (1,-2, X), se expresa como combinacin lineal de T? b) Se puede expresar v como combinacin lineal de T ? 15. RESUMENDefinicin.- Un vector es unitario si su mdulo es 1ngulo de dos vectores.- Dados los vectores u=(x,y), v=(a,b), se define el ngulo dedos vectores mediante:Ejemplo.- Halla el ngulo que forman los vectores u=(1,2) y v=(2,-1). 16. PROYECCION ORTOGONALDefinicin.- Dos vectores se dicen ortogonales si su producto escalar es cero.

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