UNIVERSIDAD NACIONAL DE INGENIERIA FACULTAD DE INGENIERIA
GEOLOGICA, MINERA Y METALURGIA
UNIVERSIDAD NACIONAL DE INGENIERIAFACULTAD DE INGENIERA
GEOLGICA, MINERA Y METALRGICA
MATEMTICA BASICA IITRABAJO DE ESPACIOS VECTORIALES
ALUMNO : CULQUI VALLE DONALD ESA CDIGO : 20094505IESPECIALIDAD:
ING. MINASPROFESOR : ELBERT PEREZ DIAZCICLO VERANO 2009-III
ESPACIO VECTORIAL
Un espacio vectorial es un conjunto de objetos (llamados
vectores) que pueden escalarse y sumarse.Un espacio vectorial (o
espacio lineal) es el objeto bsico de estudio en la rama de la
matemtica llamada lgebra lineal. A los elementos de los espacios
vectoriales se les llama vectores. Sobre los vectores pueden
realizarse dos operaciones: escalarse (multiplicarlos por un
escalar) y sumarse. Estas dos operaciones se tienen que ceir a un
conjunto de axiomas que generalizan las propiedades comunes de las
tuplas de nmeros reales as como de los vectores en el espacio
eucldeo. Un concepto importante es el de dimensin.Histricamente,
las primeras ideas que condujeron a los espacios vectoriales
modernos se remontan al siglo XVII: geometra analtica, matrices y
sistemas de ecuaciones lineales. La primera formulacin moderna y
axiomtica se debe a Giuseppe Peano, a finales del siglo XIX. Los
siguientes avances en la teora de espacios vectoriales provienen
del anlisis funcional, principalmente de los espacios de funciones.
Los problemas de Anlisis funcional requeran resolver problemas
sobre la convergencia. Esto se hizo dotando a los espacios
vectoriales de una adecuada topologa, permitiendo tener en cuenta
cuestiones de proximidad y continuidad. Estos espacios vectoriales
topolgicos, en particular los espacios de Banach y los espacios de
Hilbert tienen una teora ms rica y complicada.Los espacios
vectoriales tienen aplicaciones en otras ramas de la matemtica, la
ciencia y la ingeniera. Se utilizan en mtodos como las series de
Fourier, que se utiliza en las rutinas modernas de compresin de
imgenes y sonido, o proporcionan el marco para resolver ecuaciones
en derivadas parciales. Adems, los espacios vectoriales
proporcionan una forma abstracta libre de coordenadas de tratar con
objetos geomtricos y fsicos, tales como tensores, que a su vez
permiten estudiar las propiedades locales de variedades mediante
tcnicas de linealizacin.Motivacin y definicin
El vector negro (x, y) = (5, 7) puede expresarse como combinacin
lineal de dos pares diferentes de vectores (5(1, 0) y 7(0, 1) azul;
3(1, 1) y 4(2, 1) amarillo).El plano R2, consistente en los pares
(x, y) de nmeros reales, es el tpico ejemplo de espacio vectorial:
cualesquiera dos pares de nmeros reales pueden sumarse,(x1, y1) +
(x2, y2) = (x1 + x2, y1 + y2),y cualquier par (x, y) puede
escalarse, multiplicarse por un nmero real s, para obtener otro
vector (sx, sy).Existe adems un vector, el (0,0), llamado vector
nulo que cumple que al sumarse con cualquier otro vector no lo
altera. Todo vector, por ejemplo el (1, 0), tiene su opuesto, el
(-1, 0), que sumados dan como resultante el vector nulo (0, 0).La
nocin de espacio vectorial es una generalizacin de esta idea. Es ms
general de varias maneras: en primer lugar, en lugar de los nmeros
reales otros cuerpos, como los nmeros complejos o los cuerpos
finitos, se permiten. En segundo lugar, la dimensin del espacio,
que es de dos en el ejemplo anterior, puede ser arbitraria, incluso
infinita. Otro punto de vista conceptual importante es que los
elementos de los espacios vectoriales no suelen estar expresados
como combinaciones lineales de un conjunto de vectores, es decir,
no hay preferencia de representar el vector (x, y ) como(x, y) = x
(1, 0) + y (0, 1)o como(x, y) = (1/3x + 2/3y) (1, 1) + (1/3x +
1/3y) (2, 1)Definicin formalLa definicin de un espacio vectorial
requiere de un cuerpo de escalares K (como el cuerpo de los nmeros
reales o el cuerpo de los nmeros complejos). Un espacio vectorial
es un conjunto V (no vaco) a cuyos elementos se llaman vectores,
dotado de dos operaciones: suma de vectores: cualquiera dos
vectores v y w pueden sumarse para obtener un tercer vector v + w
producto por un escalar: cualquier vector v puede multiplicarse por
un escalar, i.e. un elemento de K, a. El producto se denota como
av.que satisfacen las siguientes propiedades o axiomas (u, v, w son
vectores arbitrarios de V, y a, b son escalares,
respectivamente):PropiedadSignificado
Propiedad asociativa de la sumau + (v + w) = (u + v) + w
Propiedad conmutativa de la sumav + w = w + v
Existencia de elemento neutro o nulo de la sumaExiste un
elemento 0 V, llamado vector cero o nulo, de forma que v + 0 = v
para todo v V.
Existencia de elemento opuesto o simtrico de la sumaPara todo v
V, existe un elemento -v V, llamado opuesto de v, de forma que v +
(-v) = 0.
Propiedad distributiva del producto por un escalar respecto a la
suma de vectoresa (v + w) = a v + a w
Propiedad distributiva del producto por un vector respecto a la
suma de escalares(a + b) v = a v + b v
Propiedad asociativa mixta del producto por un escalara (b v) =
(ab) v[nb 1]
Existencia de elemento unidad del producto por un escalar1 v =
v, donde 1 es la identidad multiplicativa en K
Con esta definicin puede comprobarse que R2, con la suma y
producto vistos arriba, es por tanto un espacio vectorial.
Comprobar los axiomas se reduce a verificar identidades sencillas
como(x, y) + (0, 0) = (x, y),i.e. la suma de un vector nulo (0, 0)
con otro vector produce el mismo vector. La propiedad distributiva
lleva a(a + b) (x, y) = a (x, y) + b (x, y).Notas y definicin
alternativaEl requisito de que la suma de vectores y la
multiplicacin por un escalar sean operaciones binarias incluye (por
la definicin de las operaciones binarias) una propiedad llamada
cerradura, es decir, u + v y a v se encuentran en V para todos a, u
y v. Algunos autores optan por mencionar estas propiedades como
axiomas separados.Las primeras cuatro propiedades hacen referencia
a la suma de vectores y se resumen diciendo que el espacio
vectorial es un grupo conmutativo con la suma. El resto de
propiedades son equivalentes a la existencia de un homomorfismo de
anillos f del cuerpo en el anillo de endoformismos del grupo de
vectores. Luego, la multiplicacin por un escalar a v se define como
(f(a))(v). Esto puede ser visto como el punto de partida de la
definicin de un espacio vectorial sin referirse al cuerpo. En
particular, para cualquier a de , se llama homotecia de razn a al
morfismo de .Con estas premisas tenemos la siguienteDefinicinSe
dice que es un espacio vectorial sobre si y slo si se tiene, +,
*
es un morfismo de anillos.Consecuencias de esta definicin El
hecho que (V, + ) sea un grupo abeliano resume en s mismo los
axiomas de la suma vectorial. El que ha sea homotecia da cuenta del
axioma 4 del producto por escalares ya que es lineal. El que f sea
un morfismo de anillos significa que f(a + b) = f(a) + f(b), es
decir que ha + b = ha + hb, sea (axioma 10) , es decir , sea
(axioma 7) f(1) = I, sea h1 = I, donde 1 es el neutro de (K,.) e I
es la identidad, es decir la aplicacin de V. La identidad es
obviamente el neutro de End V. Esto se escribe para cualquier
vector . (axioma 8 ) Se podra aadir , la aplicacin nula de V, pero
es una consecuencia de la tercera premisa. El ltimo punto (f(1) =
I) equivale a afirmar que f no es la aplicacin nula.Propiedades del
espacio vectorial.Hay una serie de propiedades que se demuestran
fcilmente a partir de los axiomas del espacio vectorial. Algunas de
ellas se derivan de la teora elemental de grupos, aplicada al grupo
(aditivo) de vectores: por ejemplo, el vector nulo 0 V, y el
opuesto -v de un vector v son nicos. Otras propiedades se pueden
derivar de la propiedad distributiva, por ejemplo, la multiplicacin
por el escalar cero da el vector nulo y ningn otro escalar
multiplicado por un vector da cero:PropiedadSignificado
Unicidad del vector nulo
Unicidad del opuesto de un vector
Producto por el escalar cero0 v = 0. El 0 es el nico escalar que
cumple esta propiedad.
Producto de un escalar por el vector nuloa 0 = 0
Opuesto del producto de un vector por un escalar- (a v) = (-a) v
= a (-v)
Espacios de coordenadas y de funcionesEl primer ejemplo de un
espacio vectorial sobre un cuerpo K es el propio cuerpo, equipado
con la suma y multiplicacin definida en el cuerpo. Esto se
generaliza por el espacio vectorial conocido como el espacio de
coordenadas representado generalmente como Kn, donde n es un
entero. Sus elementos son n-tuplas(a1, a2, ..., an), donde los ai
son elementos de K.Las sucesiones infinitas de coordenadas, y, ms
generalmente, las funciones de cualquier conjunto fijo en un cuerpo
K tambin forman espacios vectoriales, mediante la suma y la
multiplicacin escalar puntual, es decir, la suma de dos funciones
de f y g viene dada por(f + g)(w) = f(w) + g(w)y de igual modo para
la multiplicacin. Tales espacios de funciones se producen en muchas
situaciones geomtricas, cuando es la recta real, un intervalo, o
algn subconjunto de Rn. Muchos conceptos en topologa y anlisis,
tales como continuidad, integrabilidad o diferenciabilidad tienen
un buen comportamiento respecto a la linealidad, es decir, sumas y
mltiplos por un escalar de funciones que posean una determinada
propiedad seguirn tenindola. Por lo tanto, el conjunto de tales
funciones son espacios vectoriales. Estos espacios se estudian con
ms detalle utilizando los mtodos de anlisis funcional, vase ms
abajo. Las desigualdades algebraicas tambin producen espacios
vectoriales: el espacio vectorial K[x] formado por funciones
polinmicas, i.e.f(x) = rnxn + rn1xn1 + ... + r1x + r0,donde los
coeficientes rn, ..., r0 se encuentran en K. Las series de
potencias son similares, salvo que se permiten infinitos
trminos.Ecuaciones linealesLos sistemas de ecuaciones lineales
homogneas estn estrechamente vinculados a los espacios vectoriales.
Por ejemplo, las soluciones dea+3b+c= 0
4a+2b+2c= 0
vienen dadas por tripletas de la forma a, b = a/2, y c = 5a/2
para un a arbitrario. Forman un espacio vectorial: las sumas y
mltiplos de esas tripletas sigue cumpliendo las ecuaciones, por lo
que son soluciones, tambin. Las matrices se pueden utilizar para
condensar mltiples ecuaciones lineales en una sola ecuacin, con el
ejemplo anterior,Ax = 0,donde A es la matriz,, x es el vector (a,
b, c), y 0 = (0, 0) es el vector nulo. De forma similar, las
soluciones de ecuaciones diferenciales lineales homogneas forman
espacios vectoriales. Por ejemplo, las soluciones de la
ecuacinf''(x) + 2f'(x) + f(x) = 0son de la forma f(x) = a ex + bx
ex, donde a y b son constantes arbitrarias, y e = 2.718....Teora de
nmeros algebraicosUna situacin comn en la teora de nmeros
algebraicos es un cuerpo K que contiene un subcuerpo E. Por las
operaciones de multiplicacin y adicin de K, K se convierte en un
E-espacio vectorial, es decir, una extensin de E. Por ejemplo, los
nmeros complejos son un espacio vectorial sobre R. Otro ejemplo es
Q(z), el cuerpo ms pequeo que contiene los nmeros racionales y algn
nmero complejo z.Bases y dimensinLas bases revelan la estructura de
los espacios vectoriales de una manera concisa. Una base es el
menor conjunto (finito o infinito) B = {vi}i I de vectores que
generan todo el espacio. Esto significa que cualquier vector v
puede ser expresado como una suma (llamada combinacin lineal) de
elementos de la basea1vi1 + a2vi2 + ... + anvin,donde los ak son
escalares y vik (k = 1, ..., n) elementos de la base B. La
minimalidad, por otro lado, se hace formal por el concepto de
independencia lineal. Un conjunto de vectores se dice que es
linealmente independiente si ninguno de sus elementos puede ser
expresado como una combinacin lineal de los restantes.
Equivalentemente, una ecuacina1vi1 + ai2v2 + ... + anvin = 0slo se
consigue si todos los escalares a1, ..., an son iguales a cero. Por
definicin cada vector puede ser expresado como una suma finita de
los elementos de la base. Debido a la independencia lineal este
tipo de representacin es nica. Los espacios vectoriales a veces se
introducen desde este punto de vista.Todo espacio vectorial tiene
una base. Este hecho se basa en el lema de Zorn, una formulacin
equivalente del axioma de eleccin. Habida cuenta de los otros
axiomas de la teora de conjuntos de Zermelo-Fraenkel, la existencia
de bases es equivalente al axioma de eleccin. El ultrafilter lemma,
que es ms dbil que el axioma de eleccin, implica que todas las
bases de un espacio vectorial tienen el mismo "tamao", es decir,
cardinalidad. A sta, se le llama la dimensin del espacio vectorial,
representada por dim V. Si el espacio es generado por un nmero
finito de vectores, todo lo anterior puede demostrarse sin
necesidad de acudir a la teora de conjuntos.La dimensin de un
espacio de coordenadas Fn es n, pues cualquier vector (x1, x2, ...,
xn) puede expresarse de forma nica como combinacin lineal de n
vectores (llamados vectores coordenadas) e1 = (1, 0, ..., 0), e2 =
(0, 1, 0, ..., 0), a en = (0, 0, ..., 0, 1), es decir, la sumax1e1
+ x2e2 + ... + xnen,La dimensin de los espacios de funciones, como
por ejemplo el espacio de funciones definidas en algn intervalo
acotado o no, es infinita. Bajo unas adecuadas asunciones de
regularidad de los coeficientes involucrados, la dimensin del
espacio de soluciones de una ecuacin diferencial ordinaria homognea
es igual al grado de la ecuacin. Por ejemplo, la ecuacin anterior
tiene grado 2. El espacio de soluciones est generado por ex y xex
(que son linealmente independientes en R), por lo que la dimensin
de este espacio es dos. El grado de una extensin como por ejemplo
Q(z) sobre Q depende de si z es o no algebraico, i.e. satisface una
cierta ecuacin polinomialqnzn + qn1zn1 + ... + q0 = 0, con
coeficientes racionales qn, ..., q0.Si es algebraico, la dimensin
es finita. Es ms, es igual al grado del polinomio mnimo del que z
es raz. Por ejemplo, el conjunto de los nmeros complejos es un
espacio vectorial bidimensional sobre los nmeros reales, generado
por 1 y la unidad imaginaria i. sta ltima cumple i2 + 1 = 0, una
ecuacin de grado dos. Si z no es algebraico, la dimensin es
infinita. As, para z = no existe dicha ecuacin, pues es
trascendente.Aplicaciones lineales y matricesComo ocurre con muchas
entidades algebraicas, la relacin entre dos espacios vectoriales se
expresa por las aplicaciones entre ellos. En el contexto de los
espacios vectoriales, el concepto correspondiente se denomina
aplicacin lineal o transformacin lineal. Se tratan de funciones f:
V W que son compatibles con la estructura relevante, i.e.,
preservan la suma de vectores y el producto por un escalar:f(v + w)
= f(v) + f(w) y f(a v) = a f(v).Un isomorfismo es aquella aplicacin
lineal f: V W para la cual existe una inversa g: W V. Si existe un
isomorfismo entre V y W, los dos espacios se dice que son
isomorfos, siendo esencialmente idnticos como espacios vectoriales,
ya que a cualquier identidades en V le corresponde, a travs de f,
otra similar en W, y viceversa a travs de g.Dados dos espacios
vectoriales V y W, las aplicaciones lineales de V en W forman un
espacio vectorial representado como HomF (V, W) o como L(V, W).Una
vez se elige una base de V, las aplicaciones lineales f: V W estn
completamente determinadas por las imgenes de los vectores de la
base, ya que cualquier elemento de V se expresa de forma nica como
una combinacin lineal de stos. Si los dos espacios tienen la misma
dimensin se puede elegir una biyeccin entre dos bases fijas de V y
W. La aplicacin que aplica cualquier elemento de la base de V en el
correspondiente elemento de la base de W, es, por su propia
definicin, un isomorfismo. Luego todo espacio vectorial est
completamente determinado (salvo isomorfismos) por su dimensin, un
simple nmero. En particular, cualquier espacio vectorial de
dimensin n sobre F es isomorfo a Fn.Matrices
Una matriz tpicaLas matrices son un concepto til para
representar las aplicaciones lineales. Se escriben como una tabla
rectangular de escalares, es decir, elementos de algn cuerpo K.
Cualquier matriz m-por-n A da lugar a una aplicacin lineal de Kn a
Km, por la siguiente frmula:,o mediante el producto de la matriz A
con el vector de coordenadas x:x Ax.Adems, despus de la eleccin de
bases de V y W, cualquier aplicacin lineal f: V W se representa de
forma nica por una matriz a travs de esta frmula.
El volumen de este paraleleppedo es el valor absoluto del
determinante de la matriz 3-por-3 formada por los vectores r1, r2,
y r3.El determinante det (A) de una matriz cuadrada A es un escalar
que nos dice si la correspondiente aplicacin lineal es o no un
isomorfismo: para serlo la condicin necesaria y suficiente es que
el determinante no sea cero.Vectores y valores propiosUn caso
especialmente importante de aplicacin lineal son los endomorfismos,
es decir, aplicaciones f: V V. En este caso, los vectores v pueden
compararse con sus imgenes por f, f(v). Cualquier vector v
satisfaciendo f(v) = v, donde es un escalar, se dice que es un
vector propio de f con valor propio .[nb 2] Equivalentemente, v es
un elemento del ncleo de la diferencia f Id (la aplicacin identidad
V V). En el caso finito-dimensional, esto puede ser reformulado
utilizando determinantes como: f tiene el valor propio siidet (f
Id) = 0.Al desarrollar el determinante, la expresin del lado
izquierdo resulta ser una funcin polinmicas en , llamada polinomio
caracterstico de f. Si el cuerpo F es lo suficientemente grande
como para contener un cero de este polinomio (que siempre ocurrir
si F es algebraicamente cerrado, por ejemplo C) la aplicacin lineal
tendr al menos un vector propio. El espacio vectorial V puede o no
tener una base formada por vectores propios. Este fenmeno se rige
por la forma cannica de Jordn del endomorfismo. El teorema
espectral describe el caso infinito-dimensional; para lograr este
objetivo, son necesarios los mecanismos de anlisis funcional,
consulte ms abajo.Construcciones bsicasAdems de lo expuesto en los
ejemplos anteriores, hay una serie de construcciones que nos
proporcionan espacios vectoriales a partir de otros. Adems de las
definiciones concretas que figuran a continuacin, tambin se
caracterizan por propiedades universales, que determina un objeto X
especificando las aplicaciones lineales de X a cualquier otro
espacio vectorial.Espacios vectoriales con estructura
adicionalDesde el punto de vista del lgebra lineal, los espacios
vectoriales se comprenden completamente en la medida en que
cualquier espacio vectorial se caracteriza, salvo isomorfismos, por
su dimensin. Sin embargo, los espacios vectoriales ad hoc no
ofrecen un marco para hacer frente a la cuestin fundamental para el
anlisis de si una sucesin de funciones converge a otra funcin.
Asimismo, el lgebra lineal no est adaptada per se para hacer frente
a series infinitas, ya que la suma solo permite un nmero finito de
trminos para sumar. Las necesidades del anlisis funcional requieren
considerar nuevas estructuras.PROCESO DE ORTOGONALIZACIN DE
GRAM-SCHMIDTEn lgebra lineal, el proceso de ortogonalizacin de
GramSchmidt es un algoritmo para construir, a partir de un conjunto
de vectores de un espacio prehilbertiano (usualmente, el espacio
eucldeo Rn), otro conjunto ortonormal de vectores que genere el
mismo subespacio vectorial.Este algoritmo recibe su nombre de los
matemticos Jrgen Pedersen Gram y Erhard Schmidt.Descripcin del
algoritmo de ortogonalizacin de GramSchmidt
Los dos primeros pasos del proceso de GramSchmidtSe define, en
primer lugar, el operador proyeccin mediante
donde los corchetes angulares representan el producto interior.
Es evidente que
es un vector ortogonal a . Entonces, dados los vectores , el
algoritmo de GramSchmidt construye los vectores ortonormales de la
manera siguiente:
A partir de las propiedades de la proyeccin y del producto
escalar, es sencillo probar que la sucesin de vectores es
ortogonal.
EJERCICIOS RESUELTOS1.- Analizar la dependencia lineal.SOLUCIN:
Transformando a sistemas de ecuaciones: Por lo tanto estos dos
vectores son linealmente independientes formando as un espacio
vectorial de dim=2.2.-Demostrar que el conjunto de puntos en que
estn sobre una recta que no pasa por el origen no constituye un
espacio vectorial.
SOLUCIN:
Sea Suponiendo que estn en V. Entonces:
Si el vector de la derecha pertenece a V
Pero y , por lo cual no cumple la propiedad de la suma cerrada
en el espacio mismo.
3.-Demostrar que el conjunto de puntos en que estn en un plano
que pasa por el origen e espacio vectorial.
SOLUCIN:
Sea Suponiendo que estn en V.Entonces V Porque Probndose as la
propiedad de cerradura de la suma.4.-Demostrar que un conjunto de
puntos en el plano () no puede formar un espacio vectorial.
SOLUCIN:
Sea . V consiste en los puntos en en el semiplano superior(los
primeros dos cuadrantes).Si y , entonces ; as si V Entonces .Pero
sin embargo no cumple con la propiedad de multiplicacin por un
escalar, ejemplo (1,1) V, pero:(-1)(1,1)=(-1,-1) V 5.-
Ortonormalizar los siguientes vectores
SOLUCIN:Ahora, aplicamos GramSchmidt, para obtener un conjunto
de vectores ortogonales:
Verificamos que los vectores u1 y u2 son de hecho
ortogonales:
Entonces podemos normalizar los vectores dividiendo por su norma
como hemos mostrado anteriormente:
6.-Determinacin de la dependencia o independencia lineal de tres
vectores .SOLUCIN:
Escribiendo en la forma de matriz aumentada Se ve que este
sistema tiene infinitas soluciones, por lo cual estos vectores son
linealmente dependientes.
7.-Determine si forman un espacio.SOLUCIN:
Para que sea un espacio debe cumplirse para todo nmero real x.
Haciendo x=0 Haciendo x=1,-1,2
Por lo tanto tiene solucin nica Y llegan a formar un espacio
vectorial.
8.-Encuentre una base para el conjunto de vectores del plano
SOLUCIN:
Para encontrar una base primero se observa que si x, z se
escogen arbitrariamente y si pertenece a
As los vectores tienen la forma
De lo cual y generan a , formando as una base para .
9.-Encuentre una base para el espacio de la solucin S del
sistema homogneoX+2y-z=02x-y+3z=0
SOLUCIN:
La matriz adjunta es
As , entonces es una base para S donde DimS=10.-
SOLUCIN:
11.-
SOLUCIN:
12.- Calcular el espacio nulo de la matriz
SOLUCIN:
Por operaciones elementales la forma escalonada es
Como AX=0, sus soluciones son las mismas que UX=0. Si
Dando como resultado
De manera que si X
Esto es, 13.-
SOLUCIN:
14.-
SOLUCIN:
15.-
SOLUCIN:
