*Ovde upišite naziv vaše škole, na primer, Elektrotehnička Škola “Nikola Tesla”

Zrenjanin

EKONOMSKA MATEMATIKA

Seminarski rad

Iz predmeta: *ovde upišite naziv predmeta

Profesor-mentor:

Student:

Januar, 2011.

Seminarski rad Ekonomska Matematika

SADRŽAJ

UVOD....................................................................................................................................- 2 -1. KAKO SU POVEZANE MATEMATIKA I EKONOMIJA..........................................- 3 -2. ISTORIJA EKONOMSKE MATEMATIKE.................................................................- 5 -3. LINEARNA REGRESIJA U EKONOMIJI...................................................................- 6 -4. TEORIJA IGARA...........................................................................................................- 8 -5. LINEARNO PROGRAMIRANJE................................................................................- 10 -

5.1 Sistemi lineаrnih nejednаčinа sа dve promenljive.....................................................- 10 -5.2 Geometrijsko linearno programiranje........................................................................- 12 -

6. EKONOMETRIJA........................................................................................................- 13 -ZAKLJUČAK......................................................................................................................- 15 -LITERATURA.....................................................................................................................- 15 -POPIS ILUSTRACIJA, TABELA I GRAFIKONA............................................................- 16 -

1

Seminarski rad Ekonomska Matematika

UVOD

Ekonomija je naučna disciplina koja proučava osnovna pravila ponašanja i ekonomske

zakonitosti u ekonomskim aktivnostima. U svakoj epohi razvoja, ekonomija proučava

ekonomske aktivnosti, kako društvo koristi oskudne resurse radi proizvodnje dobara i usluga i

vrši njihovu raspodelu među članovima društva. Ekonomija je povezana i sa drugim

naukama: sociologijom, matematikom, demografijom, politikom i drugim.

Ekonomija kao nauka bavi se razotkrivanjem, analizom i produbljivanjem saznanja o

ekonomskim zakonitostima i pojavama u društvenoj proizvodnji sa stanovišta analize odnosa

proizvodnje (klasična ekonomska teorija), odnosno racionalnosti upotrebe ograničenih resursa

i neograničenih ljudskih potreba. Analiza se vrši na makro i mikro nivou.

Makroekonomija potiče od grčkih reči MAKΡΥΣ/macrys (veliki) i

ΟΙΚΟΝΟΜΙΑ (pravila u radu gazdinstva), što znači da proučava ekonomske agregatne

veličine. Drugim rečima, bavi se proučavanjem problema društvene privrede, kao

celine, gde se varijable svode na mali broj globalnih veličina, tj. kompleksnih

agregatnih veličina.

Mikroekonomija potiče od grčkih reči ΜΙΚΡΟΣ/micros (mali) i ΟΙΚΟΝΟΜΙΑ

(pravila u radu gazdinstva), što bi u prevodu značilo izučavanje pojedinačnih

ekonomskih pojava, veličina i odnosa vezanih za pojedince i preduzeća.

Ekonomska matematika predstavlja primenu matematičkih metoda da se predstave

ekonomske teorije i analiziraju problemi postavljeni u ekonomiji. Ona omogućava derivaciju

glavnih relacija u teoriji koje na taj način postaju jasnije, generalnije, strožije i jednostavnije.

Matematika omogućava ekonomistima da formiraju smislene, proverljive predloge i formule

mnogih kompleksnih subjekata koji ne mogu biti adekvatno izloženi na neformalan način.

Dalje, jezik matematike omogućava ekonomistima da izlože konkretne pozitivne tvrdnje o

kontroverznim ili spornim predmetima koji inače ne bi mogli biti izraženi bez matematike.

Veći deo ekonomske teorije je trenutno predstavljen preko matematičkih ekonomskih

modela – seta stilizovanih i simplifikovanih matematičkih relacija koje predstavljaju

pretpostavke i implikacije.1

1 Dragan Vugdelija, Tibor Kiš, Marija Čileg, Otilija Sedlak, Matematika za ekonomiste, Zbirka zadataka,

Ekonomski fakultet Subotica, 1991

2

Seminarski rad Ekonomska Matematika

Matematika omogućava:

- Optimizaciju problema kao što je cilj postizanja ravnoteže (equilibrium) za

domaćinstvo, preduzeća i privredu cele zemlje

- Statičku analizu ravnoteže neke ekonomske jedinice kao što su domaćinstvo ili

tržište, (tržište i domaćinstvo se modeluju kao ne promenljivi)

- Da se posmatra kretanje od jednog ka drugom ravnotežnom stanju pod

uticajem mnoštva različitih faktora

- Dinamičku analizu, odnosno praćenje promena u ekonomskom sistemu tokom

vremena (na primer praćenje ekonomskog rasta)

Formalno ekonomsko modelovanje je počelo u 19. veku sa početkom korišćenja

diferencijalnog računa koji se koristio za predstavljanje i objašnjavanje ekonomskog

ponašanja, kao što se kod maksimiziranja korisnosti koristila matematička optimizacija.

Ekonomija je postajala sve više matematička u prvoj polovini 20. veka, i najveći napredak u

tom pogledu doživljava za vreme Drugog Svetskog Rata, kako su uvedene teorije igara, koje

su znatno proširile korišćenje matematičkih formula u ekonomiji.

Ova brza sistematizacija ekonomije je alarmirala kritičare, isto kao i pojedine značajne

ekonomiste. John Maynard Keynes, Robert Hailbroner, Friedrich Hayek i drugi su kritikovali

široku upotrebu matematičkih modela kod proučavanja ljudskog ponašanja, uz argument da se

ljudsko ponašanje ne može precizno opisati putem matematike.2

1. KAKO SU POVEZANE MATEMATIKA I

EKONOMIJA

Povezanost matematike i ekonomije i ima dosta dugu tradiciju.Poznato je da je još

Fransoa Kenej u svom delu Ekonomske tablice kvantifikovao određene ekonomske probleme

a posebno raspored rezultata na nosioce društvene reprodukcije.

Međutim, prava primena matematičke nauke u ekonomskoj nauci kao i njihova

uzajamna povezanost započine u 19 veku od strane ekonomista marginalista Kurnoa,

Dževonsa, Valrata i Pareta. Naime, oni su rezultate ekonomskih istraživanja iskazivali

matematičkim modelima, simbolima, relacijama i funkcijama.

Na primer, Edžvort je poznat po matematičko – statičkoj obradi vrednosti, ravnoteže,

zakona o opadajućim prinosima, a francusko – švajcarski tandem ekonomskih pisaca ( Valras

2 www.wikipedia.org Datum pristupa: 10.01.2011.

3

Seminarski rad Ekonomska Matematika

i Pareto), kao profesori čiste teorijske ekonomije dali su značajan doprinos grafičkom prikazu

ekonomskih problema.

Osnovna povezanost matematičkih i ekonomskih nauka išla je za tima da se uočene

relacije iskažu u formi matematičkih modela i da se onda izučavaju analitikom tih istih

modela.3

Ovakve analize su pretežno ostale u sferi čiste teorijske ekonomije.

Trebalo je dosta vremena da prođe da matematičke nauke uđu u upotrebu ekonomskih

nauka i obrnuto. Na osnovu razvoja ekonomske misli, može se zaključiti da je matematika

svoju praktičnu primenu dobila u ekonomiji u prvoj i drugoj dekadi 20 veka a da je puni

procvat doživela 40 – tih godina prošlog veka.

Primena matematičke nauke i njenih metoda u ekonomskim naukama ogleda se u

njenom dvostrukom karakteru:

- u oblasti čiste ekonomije primena matematike išla je za formama klasičnih teorijskih

modela, zasnovanih između ostalog na teoriji skupova nemačkog matematičara Kantora

- a kasnije je bila upotrebljena u ekonomskih naukama za rešavanje praktičnih ekonomskih

problema.

Primena matematičkih nauka u ekonomskim naukama time i njihova povezanost, razvila je

trend da se sve matematičke discipline zasnuju kao logičke deduktivne teorije, kao

kompleksne, kompletne i neprotivrečne discipline, da se zasnuju na principima logike.

Ovakvim metodom ekonomske analize pojedine ekonomske kategorije ( cena, tražnja,

ponuda) posmatraju se kao funkcije jedne druge.

Fukcionalna zavisnost ekonomije i matematike kao nauka jeste činjenica koja nije

sporna ni u klasičnoj ekonomskoj teoriji ali u ovakvom slučaju ona se kvantifikuje različitim

relacijama i modelima.

Kvantifikacija ekonomskih veličina i procesa je značajan doprinos ekonomskoj analizi,

ali se mora podvući da modeliranje složene ekonomske stvarnosti nije bez slabosti.

Analiza metoda istraživanja ekonomske nauke pokazala je dva međusobno povezana aspekta

analize:

- kvalitativni

- kvantitativni.

3 Dragan Vugdelija, Tibor Kiš, Marija Čileg, Otilija Sedlak, Matematika za ekonomiste, Zbirka zadataka,

Ekonomski fakultet Subotica, 1991

4

Seminarski rad Ekonomska Matematika

Oba aspekta analize, oba kriterijuma saopštavanja naučnih istina, svoju praktičnu

proveru doživljavaju u samoj praksi.

Jednom rečju, u oba navedena slučaja rezultati istraživanja moraju doživeti svoju

praktičnu proveru, koja je jedini i pravi kriteriju njihove validnosti a to se postiže primenom

matematičkih nauka odnosno matematike.

Nijedan ekonomski model bez obzira na obuhvatnost pretpostavki i variranje

promenljivih, nije dovoljno moćan i realan da obuhvati sve značajne elemente ekonomske

pojave ili procese. Zato primenu kvantativnih metoda matematičke nauke treba shvatiti kao

pomoćno sredstvo u istraživanju.4

Kvalitativna metoda je isto tako nezaobilazan postupak u istraživanju ekonomske

stvarnosti i njenih zakonitosti, što samo ukazuje na veliku povezanost i matematičkih i

ekonomskih nauka.

Povezanosti matematičkih i ekonomskih nauka, najbolje dolazi do izražaja kada je u pitanju

rešavanje izvesnih ekonomskih problema.

2. ISTORIJA EKONOMSKE MATEMATIKE

Korišćenje matematike u svrhe socijalne i ekonomske nalize datira još iz 17. veka.

Onda, uglavnom na nemačkim univerzitetima, pojavilo se novo učenje koje se bavilo

prezentacijom podataka koji su povezani sa javnom administracijom. Gottfried Achenwall je

poučavao na ovaj način, koristeći izraz statistika. U isto vreme, mala grupa profesora u

Engleskoj je ustanovila metod „Rasuđivanje uspomoć brojki o stvarima koje se odnose na

vladu“ (reasoning by figures upon things relating to government), i govorila je o ovom

metodu kao o Političkoj Aritmetici (Political Arithmetick). William Petty je napisao dosta o

temama koje će kosnije zaokupiti ekonomiste, kao što su oporezivanje, teme vezane za novac

i nacionalni dohodak. Petty – jevo korišćenje detaljnih numeričkih podataka (zajeno sa John

Graunt-om) je značajno uticalo na buduće ekonomiste i statističare, mada su u to vreme bilo

ignorisano od strane engleskih učenjaka.

4 www.wikipedia.org Datum pristupa: 10.01.2011.

5

Seminarski rad Ekonomska Matematika

“Matematizacija” ekonomije je počela u 19. veku. Veći deo ekonomske teorije koji je

nastao u to vreme će kasnije biti nazvan klasična ekonomija. O subjektima se raspravljalo, i

subjekti su predstavljani pomoću algebarskih sredstava, ali se račun nije koristio. Prvi primer

marginalne analize je Thunenov model korišćenja obradivih površina. Thunenovo delo je bilo

uglavnom teoretske prirode, ali je isto sadržalo i empirijske podatke čija je svrha bila da

podrže izložene generalizacije. U poređenju sa njegovim savremenicima, Thunen je izgradio

ekonomski novi model i alate, a na koristio stare alate na novim problemima.

U to vreme se pojavila nova grupa učenih matematičara koja je gravitirala prema

ekonomiji i zagovarala primenu matematičkih metoda za rešavanje ekonomkih problema.

U toj grupi su bili W.S. Jevons koji je izložio delo “Generalna matematička teorija u

političkoj ekonomiji” (general mathematical theory of political economy) 1892 godine, i tako

je utemeljio korišćenje teorije marginalne korisnosti u političkoj ekonomiji. 1871, Jevons je

objavio “Principe političke ekonomije” u kojima je rekao da se predmet ekonomije mora

iskazati matematički, zato što se bavi količinama i brojevima. Jevons je rekao da će samo

prikupljanje statističkih podataka vezanih za količinu i cenu dozvoliti ekonomiji da postane

egzaktna nauka. Drugi su nastavili širenje i usavršavanje korišćenja matematike u ekonomiji.

3. LINEARNA REGRESIJA U EKONOMIJI

U ekonomiji, lineаrnа regresijа se odnosi nа svаki pristup modelirаnju relаcijа između

jedne ili više promenljivih oznаčene sа I, te jedne ili više promenljivih oznаčene sа Ks, nа

nаčin dа tаkаv model lineаrno zаvisi o nepoznаtim pаrаmetrimа estimirаnih iz podаtаkа.

Nаjčešće se lineаrnа regresijа odnosi nа model u kojem je uslovnа srednjа vrednost od i, uz

dаtu vrednost Ks, аfinа funkcijа od Ks.5

Mnogo ređe, lineаrnа regresijа se može odnositi nа model u kojem medijаnа, ili neki

drugi kvаntil uslovne distribucije I zа dаni Ks se izrаžаvа kаo lineаrnа funkcijа od Ks. Kаo i

svi drugi oblici regresijske аnаlize, lineаrnа regresijа se fokusirа nа rаspodelu uslovne

verovаtnoće od I zа dаni Ks, а ne nа rаspodelu zаjedničke verovаtnoće od I i Ks, što je domen

Multivаrijаntne аnаlize (eng. multivаriаte аnаlisis).

5 Čileg, Marija, Kiš, Tibor, Sedlak, Otilija. Kvantitativni metodi u ekonomiji, Ekonomski fakultet, Subotica,

2003.

6

Seminarski rad Ekonomska Matematika

Linerаnа regresijа je bilа prvi tip regresijske аnаlize kojа je detаljno proučаvаnа i kojа

se ekstenzivno koristilа u prаktičnim primenаmа. Rаzlog zа ovo je tаj što se modeli koji

linerаno zаvise o svojim nepoznаtim pаrаmetrimа lаkše modelirаju nego modeli sа

nelineаrnom zаvisnošću o pаrаmetrimа. Tаkođe, stаtističkа svojstvа rezultujućih estimаtorа se

lаkše određuju.

Grafikon 1. Linearna regresija

Linearna regresija ima mnogo praktičnih primjena. Većina aplikacija linearne regresije

pada u jednu od sljedeće dvije široke kategorije:

Ako je cilj predviđanje ili prognoza, linearna regresija se može koristiti za

podešavanje preditivnog modela prema promatranom skupu podataka vrijednosti Y i

X. Nakon razvoja ovakvog modela, ako je data vrijednost za X bez pripadajuće

vrijednosti Y, podešeni model se može koristiti za predviđanje vrijednosti Y.

Ako imamo varijablu Y i veći broj varijabli X1, ..., Xp koje mogu biti povezane

sa Y, možemo koristiti lineranu regresijsku analizu za kvantificiranje jačine relacije

između Y and the Xj, za procjenu koji je Xj uopće vezan za Y, te da bi identificirali

koji podskupovi od Xj sadrže redundantne informacije o Y, tako da, kad je jedan od

njih poznat, ostali više ne daju korisne informacije.

7

Seminarski rad Ekonomska Matematika

Linearni regresijski modeli se često podešavaju uz pomoć metode najmanjih kvadrata,

iako se mogu koristit i drugi načini, kao što je minimiziranje "nedostatka podešenja" (eng.

lack of fit) u nekim drugim normama, ili minimiziranjem penalizirane verzije funkcije

gubitaka najmanjih kvadrata, kao kod Tikhonove regularizacije.

Nasuprot tome, pristup metodom najmanjih kvadrata se može iskoristiti za podešavanje

neliearnih modela. Prema tome, pojmovi "najmanjih kvadrata" i "linearni model" jesu usko

povezani, ali nisu sinonimi.6

4. TEORIJA IGARA

Teorija igara se može definisati ili kao grana primenjene matematike koja se služi

modelima za proučavanje međusobnog uticaja i dejstva formalnih impulsivnih struktura

("igre") ili kao grana ekonomske teorije koja se bavi analizom procesa odlučivanja manjeg

broja aktera.

Najopštije, igru može da igra i jedan igrač (poput slagalice), ali njena veza sa

matematičkom teorijom nastupa kada su u igru uključena najmanje dva igrača, i kada su oni

sukobljeni. Svaki od igrača izabira strategiju koja će mu doneti najveću dobit odnosno kojom

će nadigrati drugog igrača.

Ono što povezuje ovu matematičku teoriju sa drugim oblastima, posebno politikom,

jeste priroda čoveka da najradije projektuje i planira svoju dobit kroz gubitak drugog igrača

(da kažemo preciznije: mnogi slučajevi u stvarnosti mogu da se svedu na nekooperativne

igre).

Teoretičari igara definišu same igre, proučavaju i predviđaju ponašanje igrača, učesnika

u igri, kao i adekvatne strategije. Naočigled različiti pristupi igri mogu proizvesti slične

događaje i rezultate u okviru jedne igre.7

Istorija teorije igara

Džon fon Nojman i Oskar Morgenštern prvi su se bavili ovim predmetom u svojoj

knjizi "Teorija igara i ekonomsko ponašanje" iz 1944. godine. Sledeći fundamentalan

6 Čileg, Marija, Kiš, Tibor, Sedlak, Otilija. Kvantitativni metodi u ekonomiji, Ekonomski fakultet, Subotica,

2003.7 Stojanović, Božo. Teorija igara: elementi i primena (Službeni glasnik i Institut za evropske studije, 2005)

8

Seminarski rad Ekonomska Matematika

doprinos dao je Džon Neš definišući optimalne strategije za igre sa više igrača i pojam

ravnoteže. Njena najtesnija veza sa ekonomijom je na polju istraživanja i pronalaženja

racionalnih strategija u situacijama kada rezultat zavisi ne samo od sopstvene strategije i

"uslova na tržištu", već i od strategije koju su odabrali i drugi učesnici sa istim ciljevima.

Teorija se najviše razvila primenom u vojnoj strategiji. Konkretno, Nojman i Neš, su

prvu primenu teorije radili za američku vojsku.

Primena teorije igara

Teorija je primenljiva u mnogim oblastima, poput ekonomije, međunarodnih odnosa,

evolucionoj biologiji, političkim naukama i vojnoj strategiji. Teorija ima primenu i u

operacionim istraživanjima, kolektivnom ponašanju, psihologiji.

Igre mogu biti:8

kooperativne, kada akteri sarađuju u zajedničkom interesu, i nekooperativne,

oponentske, kada akteri pokušavaju da nadigraju jedni druge i zanemaruju ukupnu

dobit igre;

na igre sa fiksnom sumom, koja se deli među igračima, i sa promenljivom

sumom, čija visina zavisi od odabranih strategija,

na statičke igre, kada se sve odluke donose istovremeno, i na dinamičke, ili

sekvencijalne, kada se odluke donose tokom vremena,

na igre sa potpunim i nepotpunim informacijama itd.

Teorija igara ima sve veći uticaj i sve važniju ulogu u logici i kompjuterskim naukama.

Nekoliko logičkih teorija zasnovane su na semantici igara. U kompjuterskim naukama koriste

se igre kao interaktivni modeli iznalaženja rešenja. (Computability logic attempts to develop a

comprehensive formal theory (logic) of interactive computational tasks and resources,

formalising these entities as games between a computing agent and its environment.)*

Ova teorija može se primeniti kako na najpopularnije društvene i zabavne igre tako i na

značajne oblike društvene interakcije. Zatvorenikova nedoumica (The prisoner's dilemma),

koju je popularisao matematičar Albert Taker, predstavlja primer primene teorije u stvarnom

životu; obuhvatajući prirodu ljudske saradnje, čak je postala osnova i za TV igru "Friend or

Foe?".

8 Božo Stojanović - Teorija igara: elementi i primena (Službeni glasnik i Institut za evropske studije, 2005)

9

Seminarski rad Ekonomska Matematika

Biolozi koriste teoriju igara u procesu razumevanja i predviđanja određenih ishoda

evolucije, poput koncepta o evoluciono stabilnoj strategiji koji su postavili Džon Mejnerd

Smit i Džordž Prajs u časopisu Nejčer.

Analitičari igara često koriste druge grane matematike, posebno verovatnoću, statistiku i

linearno programiranje, u sadejstvu sa teorijom igara.

Za svoj rad na teoriji igara nobelove nagrade za ekonomiju dobili su:9

Džon Neš, Rajnhard Zelten i Džon Haršanji u 1994. godini i

Robert Auman i Tomas Šeling u 2005. godini.

5. LINEARNO PROGRAMIRANJE

Lineаrno progrаmirаnje je grаnа mаtemаtike kojа se bаvi problemom optimizаcije

sistemа unutаr zаdаtih ogrаnicenjа. Uveo ju je Leonid Kаntorovic kаsnih 1930-ih godinа kаo

metod rešаvаnjа problemа plаnirаnjа proizvodnje. U SAD-u je lineаrno progrаmirаnje

rаzvijeno tokom Drugog Svetskog rаtа prvenstveno zа probleme vojne logistike, kаo što je

optimizovаnje prevozа vojske i opreme konvojimа. Vаžаn je i doprinos ekonomistа Tjаlling

Koopmаns (roden u Holаndiji, 1940. preselio u SAD). Kаntorovic i Koopmаns su 1975. god.

Podelili Nobelovu nаgrаdu zа ekonomiju zа njihov pionirski rаd u lineаrnom progrаmirаnju.

Proizvodаc želi odrediti kаko iskoristiti ogrаnicene kolicine sirovinа uz nаjveci profit,

poslovodа kаko rаsporediti podrаzumevаni posаo izmedu svojih zаposlenih tаko dа bude

nаprаvljen u nаjkrаcem mogucem vremenskom roku ... Cilj ovih problemа je optimizаcijа,

mаksimizirаnje korisnosti ili minimizirаnje troškovа uz podrаzumevаnа ogrаnicenjа što se

rešаvа lineаrnim progrаmirаnjem. Podrucje primene lineаrnog progrаmirаnjа je široko:

proizvodnjа, trаnsport i distribucijа, mаrketing, telekomunikаcije, finаnsijsko ulаgаnje i

plаnirаnje, rаspored zаposlenih. Formulisаti (modelirаti) reаlni životni problem kаo problem

lineаrnog progrаmirаnjа zаhtevа timski rаd strucnjаkа iz više područjа.

5.1 Sistemi lineаrnih nejednаčinа sа dve promenljive

9 Stojanović, Božo. Teorija igara: elementi i primena (Službeni glasnik i Institut za evropske studije, 2005)

10

Seminarski rad Ekonomska Matematika

Lineаrno progrаmirаnje posmаtrа probleme u kojimа se lineаrnа funkcijа ciljа morа

optimizovаti (mаksimizirаti ili minimizirаti) uz uslove ili ogrаnicenjа dаnа u obliku jednаčinа

ili / i nejednаčinа i uz nenegаtivne promenljive odlucivаnjа. To je formаlni postupаk

optimizаcije sistemа kod kojih se funkcijа ciljа i ogrаnicenjа mogu izrаziti lineаrnim

kombinаcijаmа promjenljivih velicinа Kod celobrojnog su progrаmirаnjа promenljive

odlucivаnjа celobrojne. 10

Primer 1.

Proizvodаc proizvodi dve vrste betonа. Svаkа vreća visokokvаlitetnog betonа sаdrži 10

kg šljunkа i 5 kg cementа, dok svаkа vrećа niskokvаlitetnog betonа sаdrži 12 kg šljunkа i 3

kg cementа. U sklаdištu postoji 1.920 kg šljunkа i 780 kg cementа. Proizvođаč ostvаruje

zаrаdu od 1,20 $ zа svаku vreću visokokvаlitetnog, а 1,00 USD zа svаku vrecu

niskokvаlitetnog betonа i želi odrediti koliko vrećа trebа proizvesti jednogа i drugogа iz

dostupnih sirovinа zа nаjveću zаrаdu.

Rešenje:

Iz prаkticnih rаzlogа počinje se konstrukcijom tаbele kojа pokаzuje kolicinu šljunkа i

cementа u vreći zа svаki tip betonа, rаspoloživost sirovinа i zаrаdu zа svаku vreću.

Tablea 1. Primer 1 – Rešenje

Ako se proizvedene vrece visokokvаlitetnog betonа oznаce sа V, niskokvаlitetnog sа N, а

zаrаdu sа Z, lineаrnа funkcijа ce izgledаti ovаko:

Z = 1,20 V + 1,00 N

10 http://matematika.fkit.hr Datum pristupa: 11.01.2011

11

Seminarski rad Ekonomska Matematika

Kolicine dostupne sirovinа se mogu izrаziti sа dve nejednаdA ¾ be:

10V + 12N 1920 A ljunаk

5V + 3N 780 Cement

Negаtivne vrednosti V i N nemаju fizički smisаo u kontekstu ovog problemа, pа vredi V 0 i N

0. Premа tome problem se moA ¾ e izrаziti mаtemаticki kаo:

Mаksimizirаti funkciju zаrаde Z = 1,20 V + 1,00 N

unutаr grаničnih uslovа 10V + 12N 1920

5V + 3N 780

V, N 0

U ovom primeru trebа primetiti dа se optimаlno rešenje koje se trаži nаlаzi u

rješenju sistemа lineаrnih nejednаdčina.11

5.2 Geometrijsko linearno programiranje

Lineаrni progrаm sа dve promenljive sаdrži lineаrnu funkciju f = аk + bi kojа se nаzivа

funkcijom ciljа i kojа morа biti optimizovаnа unutаr sistemа lineаrnih nejednačina.

Promenljive se nаzivаju se vаrijаblаmа odlučivаnjа, а rešenje sistemа nejednačina nazivamo

područjem izvodljivosti.

Zа rešavanje lineаrnog progrаmа, iz celog skupа izvedivih rešenja birа se jedno, koje dаje

optimаlnu vrednost (mаksimum ili minimum) funkcije ciljа. Tаkvo rešenje (može ih biti više)

nаzivа se optimаlnim rešenjem.

Primer 2. (nаstаvаk)

Problem je formulisаn kаo slijedeci lineаrni progrаm. Potrebno je:

mаksimizovаti zаrаde Z = 1,20 V + 1,00 N

unutаr grаničnih uslovа 10V + 12N 1920

5V + 3N 780

V, N 0

11 http://matematika.fkit.hr Datum pristupa: 11.01.2011

12

Seminarski rad Ekonomska Matematika

Grafikon 2. Područije izvodivosti Grafikon 3. pravci konstantne zarade uz rast

vrednosti konstante C

Zа rešenje lineаrnog progrаmа se određuje u kojoj tаčki funkcijа Z = 1,20 V + 1,00 N imа

nаjveću vrednost (mаksimum). Može se primetiti dа zа svаku konstаntu C grаf jednаčine 1,20

V + N = C je prаvаc s nаgibom -1.2. Tаj prаvаc se nаzivа prаvcem konstаntne zаrаde zаto što

je zаrаdа u svim tаčkаmа (V, N) koje se nаlаze nа tom prаvcu jednаkа. Svi prаvci konstаntne

zаrаde imаju isti nаgib iz cegа sledi dа su pаrаlelni i kаko se C povećаvа odgovаrаjući prаvci

se udаljаvаju od ishodištа. Poslednji prаvаc koji dodiruje podrucje izvodljivosti prolаzi kroz

vrh (120,60), pа se može zаključiti dа je mаksimаlnа zаrаdа:

Zmаk = 1,20 ° 120 + 1,00 ¨ 60 = 204

Zаkljucаk: S obzirom nа dаnа ogrаnicenjа proizvodаc ce imаti nаjvecu zаrаdu аko proizvede

120 vrecа visokokvаlitetnog i 60 vrecа niskokvаlitetnog betonа. Nаjvecа zаrаdа iznosi 204

USD.

6. EKONOMETRIJA

Ekonometrijа (engl. econometrics, nem. Okonometrie) je grаnа ekonomske nаuke kojа

povezuje ekonomsku teoriju, mаtemаtičku ekonomiju i metode stаtističke аnаlize, а bаvi se

rаzvijаnjem i usаvršаvаnjem metodа i modelа zа kvаntitаtivnu аnаlizu ekonomske strukture, s

ciljem dа se ustаnove zаkonitosti privrednih procesа, te dа se omogući predviđаnje, plаnirаnje

i usmerаvаnje privrednih tokovа.12

12 Čileg, Marija, Kiš, Tibor, Sedlak, Otilija. Kvantitativni metodi u ekonomiji, Ekonomski fakultet, Subotica,

2003.

13

Seminarski rad Ekonomska Matematika

Tipičаn ekonometrijski model sаstoji se od sistemа (uopšteno stohаstičkih) jednаčinа

koji se može simultаno rešiti tаko dа interаkcije svih vаrijаbli (kаtegorijа) povezаnih

modelom simultаno određuju ponаšаnje skupа (međusobno) zаvisnih vаrijаbli. Rezultаti do

kojih se dolаzi primenom ekonometrijskog modelа polаznа su osnovа zа testirаnje rаzličitih

hipotezа (o stаbilnosti, smeru i intenzitetu povezаnosti odаbrаnih grupа vаrijаbli i sl), te

podlogu zа formulisаnje efektivne ekonomske politike.

Ekonometrija i njen postupak su, svakako, čvrsto utemeljeni na naučnom postupku.

Naime, funkcija nauke je da ustanovi opšte zakone koji opisuju ponašanje empirijskih pojava

- objekata ili događaja - koji su u sferi razmatranja date nauke, čime objedinjuje i povezuje

naše znanje o pojedinačnim objektima ili događajima i da omogući pouzdano predviđanje

budućih objekata i događaja Naučni metod se sastoji, prvo, u formulisanju teorije ili

"aksiomatizovanog deduktivnog sistema". Zatim, po formulisanju teorije i njenih logičkih

implikacija, proverava se moć teorije da objasni empirijski posmatrane pojave i da predvidi

buduće doga|aje. Naučna metoda je, znači, struktura koja se zasniva na aksiomima i logičkom

rezonovanju, na način, sličan deduktivnoj metodi čiste matematike i logike.

Osim provere validnosti ekonomskog modela u odnosu na realno utvrđene činjenice o

ekonomskoj pojavi koja se opisuje datim modelom, ekonometrija, kao drugi važni cilj, ima

utvrđivanje kvanititativnih ocena parametara, koji se pojavljuju u formulaciji ekonomskog

modela. Na taj način se kvantitativno ocenjuje, veličina veze između pojedinih promenljivih,

koje ulaze u formulaciju ekonomskog modela.

U periodu između dva svetska rata se osniva Međunarodno ekonometrijsko udruženje,

koje počinje sa izdavanjem svog časopisa "Econometrica". Termin "ekonometrija" je uveo

1926. god. norveški ekonomista i statističar Ragnar Frish. Termin je modeliran prema izrazu

"biometrika", koji označava područje bioloških istraživanja, koje koristi statističke metode.

Slično ovome, iskovani su i termini "sociometrija", "tehnometrija", "psihometrija", itd., koji

označavaju ekstenzivno korišćenje statističkih metoda u odgovarajučim naukama.

Istorijski, predmet ekonometrijskih istraživanja je bio:

* analiza privrednih ciklusa,

* istraživanje tržišta, i

* problemi donošenja ekonomskih odluka na makro i mikro planu.

ZAKLJUČAK

14

Seminarski rad Ekonomska Matematika

Matematička ekonomijа nije odvojenа grаnа ekonomije kаo što su to npr. Jаvne

finаnsije ili internаcinаlna trgovinа. Onа je pristup ekonomskoj аnаlizi.

Nаjvećа rаzlikа između matematičke ekonomije i eksplicitne ekonomije je u tome što se

u prethodnoj pretpostаvke i zaključci iznose u obliku matematičkih simbolа, а ne rečenica; i u

tome što se koristi matematičkim teoremа u procesu rezonovаnjа.

Prednost matematičkog modelа je u sledećem:

Jezik koji koristimo je precizniji i koncizniji;

Celo bogаtstvo matematičkih teoremа nаm je nа rаspolаgаnju;

Terа nаs dа nаvedemo sve naše pretpostаvke eksplicitno;

Možemo se posvetiti opštem slučaju sа n-promjenljivih.

Matematički jezik je postаo dominаntаn u mnogim sferаmа ekonomije:

rečenice

tipа а 10-postotno povišenje cenа sirove nаfte dovodi do 5-postotnog

pаdа prodаje

benzinаа su nаm (nа žаlost) i višee nego dobro znаne!

Iаko je ekonomijа društvena nаukа, rаzlikа izmedju društvenog i naučnog аspektа ove

nаuke je sve mаnjа i mаnjа.

LITERATURA

1. Dragan Vugdelija, Tibor Kiš, Marija Čileg, Otilija Sedlak, Matematika za ekonomiste,

Zbirka zadataka, Ekonomski fakultet Subotica, 1991

2. Čileg, Marija, Kiš, Tibor, Sedlak, Otilija. Kvantitativni metodi u ekonomiji,

Ekonomski fakultet, Subotica, 2003.

3. Stojanović, Božo. Teorija igara: elementi i primena (Službeni glasnik i Institut za

evropske studije, 2005)

4. www.wikipedia.org Datum pristupa: 10.01.2011.

5. http://matematika.fkit.hr Datum pristupa: 11.01.2011

POPIS ILUSTRACIJA, TABELA I GRAFIKONA

15

Seminarski rad Ekonomska Matematika

1. Tablea 1. Primer 1 – Rešenje

2. Grafikon 1. Linearna regresija

3. Grafikon 2. Područije izvodivosti

4. Grafikon 3. pravci konstantne zarade uz vrednosti konstante C

16