Embed Size (px)
Citation preview
Sveuciliste J. J. Strossmayera u OsijekuOdjel za matematiku
Dubravka Jakovac
Kompleksni vektori i matrice
Diplomski rad
Osijek, 2011.
Sveuciliste J. J. Strossmayera u OsijekuOdjel za matematiku
Dubravka Jakovac
Kompleksni vektori i matrice
Diplomski rad
Voditelj: doc. dr. sc. D.Markovic
Osijek, 2011.
Sadrzaj
Uvod 1
1 Kompleksni brojevi 3
1.1 Skup realnih brojeva . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3
1.2 Skup kompleksnih brojeva . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4
1.2.1 Operacije s kompleksnim brojevima . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6
1.2.2 Kompleksna ravnina . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8
1.2.3 Trigonometrijski oblik kompleksnog broja . . . . . . . . . . . . . . . 9
2 Vektori 11
2.1 Vektori u prostoru . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
2.2 Vektori u n-dimenzionalnom prostoru . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12
2.3 Operacije s vektorima . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12
2.4 Vektorski prostor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15
2.4.1 Linearna kombinacija vektora . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16
2.4.2 Skalarni produkt i norma vektora u Rn . . . . . . . . . . . . . . . . . 17
3 Matrice 19
3.1 Definicija matrice . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
3.2 Operacije s matricama . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
i
4 Kompleksni vektori i matrice 30
4.1 Svojstvene vrijednosti i svojstveni vektori . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30
4.2 Skalarni produkt, norma i udaljenost u Cn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33
4.3 Kompleksne matrice . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35
Bibliografija 41
Sazetak 43
Complex vectors and matrices
Summary 44
Zivotopis 45
ii
Uvod
Tema diplomskog rada su kompleksni vektori i matrice. Na pocetku smo uveli pojam broja,zatim vektor i matricu.
Prvi brojevi koji su se upotrebljavali u praksi za brojanje predmeta, jos u starom Egiptu,su prirodni brojevi. Nastava matematike je od prvog razreda osnovne skole vezana uz pri-rodan broj. U prvom poglavlju opisana je, zbog svojstva zatvorenosti, potreba prosirivanjaskupova brojeva. Npr. skup prirodnih brojeva je zatvoren u odnosu na operacije zbrajanjai mnozenja, ali za operaciju oduzimanja svojstvo zatvorenosti ne vrijedi. Objasnjavajucipotrebu stalnog prosirivanja skupova brojeva definirane su operacije koje su moguce u poje-dinim skupovima, od skupa prirodnih brojeva do skupa kompleksnih brojeva. Najopsirnijesu, uz primjere, opisane operacije s kompleksnim brojevima. Kompleksni broj moze bitiprikazan u ravnini, jer je svakom kompleksnom broju pridruzena jedinstvena tocka ravnine,i obrnuto. Tu ravninu nazivamo Gaussova ili kompleksna ravnina. Na kraju prvog poglavljapokazano je da se kompleksni broj moze zapisati i u trigonometrijskom obliku.
U drugom poglavlju definirani su vektori. Vektor je vazan pojam u fizici. Promatramo lipovijesno, primjena vektorskih operacija pocinje u klasicnoj mehanici, gdje se vektorimaopisuju sile i definiraju fizikalni zakoni. U drugom poglavlju su opisani vektori u ravnini iprostoru koji se mogu zorno predociti i prikazane su operacije s vektorima u ravnini. Opi-sani su i vektori u n-dimenzionalnom prostoru i definirane operacije s njima. Definiran jevektorski prostor i navedena su svojstva vektorskog prostora, koja se lako provjere u slucajuzbrajanja i mnozenja skalarom. Na kraju drugog poglavlja definiran je skalarni produkt.Predocimo si primjer iz fizike: ako se tijelo na koje djeluje sila pomakne za vektor u smijerute sile, onda se skalar W = f · s zove radnja sile na putu.
U trecem poglavlju definirana je matrica, pravokutna tablica elemenata sacinjena od redakai stupaca. Navedeni su tipovi matrica. Tip matrice pokazuje koliko matrica ima elemenata ina koji nacin su ti elementi poredani. Definirane su i uz primjere prikazane operacije s ma-tricama. Opisana je transponirana matrica i definirana inverzna matrica, te neka svojstvamatrica.
Potrebu za kompleksnim matricama i vektorima najbolje vidimo u trazenju svojstvenih vri-jednosti i svojstvenih vektora matrica, koji su definirani u cetvrtom poglavlju. Svojstvenevrijednosti i svojstveni vektori realne matrice cesto su kompleksni brojevi i vektori. Ucetvrtom poglavlju navedene su slicnosti i razlike izmedu realnih i kompleksnih matrica,
1
npr. hermitska matrica je u kompleksnom slucaju analogna simetricnoj realnoj matrici,zatim je unitarna matrica analogna ortonormalnoj matrici. Osim navedenih kompleksnihmatrica definirana je i normalna matrica.
2
Poglavlje 1
Kompleksni brojevi
1.1 Skup realnih brojeva
Nastava matematike je od prvog razreda osnovne skole vezana za pojam broja i razne skupovebrojeva. Kada kazemo skup, oznacen s velikim latinskim slovom, npr. S, podrazumijevamoda se radi o elementima (clanovima ili objektima) x koji cine jednu cjelinu. Mozemo josreci da je skup S sastavljen od elemenata x koji imaju odredeno svojstvo M(x) i kao takvipripadaju tom skupu.
Prvi brojevi koji su se upotrebljavali u praksi za brojanje predmeta, jos u starom Egiptu, suprirodni brojevi, koji cine skup prirodnih brojeva
N = {1, 2, 3, . . . , n, . . . } .
Ako zbrojimo bilo koja dva prirodna broja n1 ∈ N i n2 ∈ N, rezultat ce opet biti prirodanbroj, tj.
(n1 + n2) ∈ N.
Kazmo da je skup N zatvoren u odnosu na operaciju zbrajanja. Slicno vrijedi i za operacijumnozenja u skupu prirodnih brojeva, jer je umnozak dva prirodna broja uvijek prirodan broj.To ne vrijedi za operaciju oduzimanja, jer oduzimanjem dvaju prirodnih brojeva mozemodobiti kao rezultat negativan broj ili nulu.
Tako skupu prirodnih brojeva dodajemo nulu i negativne brojeve pa je skup N prosiren doskupa cijelih brojeva
Z = {. . . ,−n, . . . ,−3,−2,−1, 0, 1, 2, 3, . . . , n, . . . } .
Skup Z cijelih brojeva zatvoren je u odnosu na operacije zbrajanja, oduzimanja i mnozenja.Medutim, rjesenje jednostavne jednadzbe oblika ax = b, gdje su a, b ∈ Z, ne mora biti izskupa Z. Dijeljenje dvaju cijelih brojeva ne mora kao rezultat imati cijeli broj, sto znaci daskup cijelih brojeva nije zatvoren u odnosu na operaciju dijeljenja.
3
Zato se skup Z prosiruje do skupa racionalnih brojeva
Q ={
mn: m ∈ Z, n ∈ Z, n = 0
}.
Skup racionalnih brojeva Q zatvoren je s obzirom na operacije zbrajanja, oduzimanja,mnozenja i dijeljenja.
Skupovi prirodnih, cijelih i racionalnih brojeva mogu se prikazati na brojevnom pravcu, alina brojevnom pravcu postoje i tocke cije koordinate nisu iz ovih skupova brojeva. Ti brojevisu iracionalni brojevi. Iracionalni brojevi popunjavaju praznine na brojevnom pravcu, kojepostoje izmedu racionalnih brojeva.
Skup R realnih brojeva sastoji se od racionalnih i iracionalnih brojeva.Ovaj skup je zatvoren u odnosu na zbrajanje, oduzimanje, mnozenje, dijeljenje (osim s nu-lom) i na izracunavanje korijena iz nenegetivnih brojeva.
Potrebno je prosiriti i skup realnih brojeva jer jednostavna kvadratna jednadzba x2 + 1 = 0nema rjesenje u skupu relnih brojeva. Prosirenjem skupa R realnih brojeva dolazimo doskupa C kompleksnih brojeva sa svojstvima koja cemo navesti u iducoj cijelini.
1.2 Skup kompleksnih brojeva
Skup kompleksnih brojeva prema Jukic, Scitovski [8] definiran je na sljedeci nacin:
Definicija 1 Skup C := R× R = {(a, b) : a, b ∈ R} u kome je definiranozbrajanje: (
∀ (a, b), (c, d) ∈ R2)
(a, b) + (c, d) := (a+ c, b+ d)
i mnozenje: (∀ (a, b), (c, d) ∈ R2
)(a, b) · (c, d) := (ac− bd, ad+ bc)
zovemo skupom kompleksnih brojeva i oznacavamo C, a njegove elemente kompleksnim bro-jevima.
Kompleksan broj 0 = (0, 0) neutralni je element za zbrajanje, a kompleksan broj 1 = (1, 0)je neutralni element za mnozenje.
Broj i = (0, 1) se zove imaginarna jedinica i ima osnovnu ulogu u opisivanju skupa C.Iz definicije mnozenja vidi se da je i2 = −1:
i2 = (0, 1) · (0, 1) = (−1, 0) = −1 + 0i = −1.
4
Potenciranje imaginarne jedinice vrsi se po slijedecem pravilu:neka je n ∈ Z, tada je
ik =
1 , k = 4ni , k = 4n+ 1
−1 , k = 4n+ 2−i , k = 4n+ 3.
Tada potenciranje imaginarne jedinice izgleda ovako:
i0 = 1, i4 = 1, . . . , i4n = 1i1 = i, i5 = i, . . . , i4n+1 = ii2 = −1, i6 = −1, . . . , i4n+2 = −1i3 = −i, i7 = −i, . . . , i4n+3 = −i.
Primjer 1 Izracunajte i105!
Rjesenje: i105 = i4·26+1 = i1 = i
Rijesimo kvadratnu jednadzbu koju smo ranije naveli : x2 + 1 = 0.Rjesenje jednadzbe je broj za koji vrijedi x2 = −1, odnosno
x = i, x = −i.
Oznacimo li elemente skupa C sa z, tada kompleksni broj
z = (a, b) = (a, 0) + (0, b) = (a, 0) + (b, 0)(0, 1)
mozemo zapisati u algebarskom obliku
z = a+ bi,
gdje a zovemo realni, a b imaginarni dio broja z.
a = Re z, b = Im z
Primjer 2 Napisite Re z i Im z ako je z = 3− 5i!
Rjesenje: Re z = 3, Im z = −5
U sljedecem primjeru zelimo pokazati da formula koja vrijedi za realne nenegativne brojevenije tocna kada su oba broja negativna. Formula umnoska korijena
√a ·
√b =
√a · b vrijedi
za realne brojeve a > 0 i b > 0, ali nije tocna kada su i a i b negativni brojevi.
Primjer 3 Izracunajte√−9 ·
√−9!
Rjesenje: Kada bi formula vrijedila i za negativne brojeve, racunali bi ovako:√−9 ·
√−9 =
√(−9) · (−9) =
√81 = 9 sto nije tocno.
Tocno rjesenje je:√−9 ·
√−9 = 3i · 3i = 9 · i2 = 9 · (−1) = −9.
Za dva kompleksna broja z1 = a + bi i z2 = c + di kazemo da su jednaki i pisemo z1 = z2ako i samo ako su im jednaki realni i imaginarni dijelovi.
(z1 = z2) ⇔ (a = c i b = d)
5
1.2.1 Operacije s kompleksnim brojevima
Koristeci Definiciju 1. operacija za kompleksne brojeve zapisane u algebarskom obliku,vrsimo na sljedeci nacin.
Zbrajanje kompleksnih brojevaU definiciji kompleksnih brojeva zbrajanje je definirano na sljedeci nacin:
(a, b) + (c, d) := (a+ c, b+ d).
Kompleksni brojevi, zapisani u algebarskom obliku, zbrajaju se tako da se posebno zbrojerealni, a posebno imaginarni dijelovi.
z1 + z2 = (a+ bi) + (c+ di) = (a+ c) + (b+ d)i
Mnozenje kompleksnih brojevaU definiciji kompleksnih brojeva mnozenje je definirano na sljedeci nacin:
(a, b) · (c, d) := (ac− bd, ad+ bc).
Mnozenje kompleksnih brojeva, zapisanih u algebarskom obliku, vrsi se po slijedecem pravilu:
z1 · z2 = (a+ bi) · (c+ di) = (ac− bd) + (ad+ bc)i.
Ako primjetimo da se dva kompleksna broja mnoze kao dva binoma (svaki sa svakim) i daje i2 = −1, ne moramo pamtiti pravilo za mnozenje.
Oduzimanje kompleksnih brojevaZa oduzimanje kompleksnih brojeva koristit cemo definicije mnozenja i zbrajanja komplek-snih brojeva.
Koristeci definiciju mnozenja, komplesni broj z i broj −1, pomnozeni daju broj −z.
(−1) · z = (−1, 0) · (a, b) = (−a,−b) = −z
Oduzeti neki broj znaci dodati njegov suprotni, tako da oduzimanje kompleksnih brojevasvodimo na zbrajanje:
z1 − z2 = z1 + (−z2).
Primjer 4 Zadani su kompleksni brojevi z1 = 3 + 4i i z2 = −2 + 2i.Izracunajte z1 + z2, z1 − z2 i z1 · z2!
Rjesenje: z1 + z2 = (3 + 4i) + (−2 + 2i) = (3− 2) + (4 + 2)i = 1 + 6i
z1 − z2 = z1 + (−z2) = (3 + 4i) + (−(−2 + 2i)) = 3 + 4i+ 2− 2i = 5 + 2i
z1 · z2 = (3 + 4i) · (−2 + 2i) = (−6− 8) + (6− 8)i = −14− 2i
6
Konjugirano kompleksni brojeviAko je zadan kompleksni broj z = a+ bi, onda njegov konjugirano kompleksni brojoznacavamo sa z i definiramo z = a− bi.Primjetimo da kada se dva konjugirano kompleksna broja zbrajaju ili mnoze, rezultat jerealan broj.
z + z = (a+ bi) + (a− bi) = a+ bi+ a− bi = 2a
z · z = (a+ bi) · (a− bi) = a2 − abi+ abi− b2i2 = a2 + b2
Primjer 5 Zadan je kompleksni broj z = 3− 5i.Napisite z i izracunajte z + z i z · z!
Rjesenje: z = 3 + 5i
z + z = (3− 5i) + (3 + 5i) = 3− 5i+ 3 + 5i = 6
z · z = (3− 5i) · (3 + 5i) = 32 + 3 · 5i− 3 · 5i− 52i2 = 32 + 52 = 9 + 25 = 34
Navest cemo neka svojstva konjugiranja.Za sve kompleksne brojeve z, z1 i z2 vrijedi:
1. z1 + z2 = z1 + z2
2. z1 − z2 = z1 − z2
3. z1 · z2 = z1 · z2
4. ( z1z2) = z1
z2
5. z = z
Dokazat cemo samo 1. svojstvo, ostala svojstva dokazuju se na slican nacin.
Dokaz: Neka je z1 = a1 + b1i i z2 = a2 + b2i tada je:
z1 + z2 = (a1 + a2) + (b1 + b2)i = (a1 + a2)− (b1 + b2)i =
= (a1 − b1i) + (a2 − b2i) = z1 + z2.
�Dijeljenje kompleksnih brojevaKompleksni broj dijelimo realnim brojem (razlicitim od nule) tako da i realni i imaginarnidio kompleksnog broja podijelimo danim realnim brojem.
(a+ bi) : c =a
c+
b
ci, c = 0
Kompleksni broj dijelimo kompleksnim brojem z1z2, na slijedeci nacin:
z1z2
=z1z2
· z2z2,
7
tako smo uz pomoc formulea2 + b2 = (a+ bi) · (a− bi)
dijeljenje kompleksnih brojeva sveli na mnozenje kompleksnih brojeva i dijeljenje realnimbrojem.
Primjer 6 Zadani su kompleksni brojevi z1 = 2− 3i i z2 = 4 + i.
Izracunajtez1z2
!
Rjesenje:z1z2= 2−3i
4+i ·4−i4−i =
8−2i−12i−342+12
= 5−14i16+1 = 5
17 −1417i
Apsolutna vrijednost kompleksnog brojaSvakom kompleksnom broju z = a+bi, a, b ∈ R, pridruzujemo apsolutnu vrijednost ili modul|z|:
|z| = |a+ bi| =√a2 + b2,
odnosno,|z| =
√(Re z)2 + (Im z)2.
Sljedeci teorem nam prikazuje vezu izmedu z i |z|.
Teorem 1 Za svaki kompleksni broj z vrijedi:
z · z = |z|2.
Dokaz: Ako je z = a+ bi, tada je
z · z = (a+ bi) · (a− bi) = a2 + b2 = |z|2.
�
Primjer 7 Zadan je kompleksni broj z = 2− 3i. Izracunajte |z| i |z|2!
Rjesenje: |z| =√
22 + (−3)2 =√4 + 9 =
√13, |z|2 = 13.
1.2.2 Kompleksna ravnina
Svakom kompleksnom broju z = a+ bi odgovara jedinstvena tocka (a, b) ravnine i obrnuto,svakoj tocki (a, b) ravnine odgovara jedinstveni kompleksan broj z = a+ bi. Ravninu u kojojse svakom kompleksnom broju pridruzuje tocka nazivamo Gaussova ili kompleksna ravnina.Kompleksna ravnina je Euklidska ravnina s koordinatnim sustavom u kojem su dodatnodefinirane operacije zbrajanja i mnozenja medu tockama.
8
Slika 1.1: Gaussova ili kompleksna ravnina
1.2.3 Trigonometrijski oblik kompleksnog broja
Kompleksni broj z = a+ bi mozemo zapisati u trigonometrijskom obliku:
z = r(cosφ+ i sinφ).
U kompleksnoj ravnini r = |z|, a = r cosφ, b = r sinφ, a φ je kut sto ga spojnica odishodista 0 do tocke (a, b) zatvara s pozitivnim dijelom realne osi. Kut φ zovemo argumentkompleksnog broja z.
Slika 1.2: trigonometrijski oblik kompleksnog broja
Kao sto je u algebarskom obliku kompleksan broj odreden parom (a, b), tako je i u trigono-metrijskom obliku odreden parom (r, φ).
Slijedeci teoremi po Jukic, Scitovski [8] iskazuju pravilo za mnozenje i dijeljenje kompleksnihbrojeva zadanih u trigonometrijskom obliku, zatim de Moivreovu formulu i de Moivreovteorem.
9
Teorem 2 Neka je
z1 = r1(cosφ1 + i sinφ1), z2 = r2(cosφ2 + i sinφ2).
Tada vrijediz1 · z2 = r1 · r2 (cos(φ1 + φ2) + i sin(φ1 + φ2)),
z1z2
=r1r2(cos(φ1 − φ2) + i sin(φ1 − φ2)), z2 = 0.
Dokaz: Teorem cemo dokazati koristeci adicione formule:
cos(φ1 ± φ2) = cosφ1 cosφ2 ∓ sinφ1 sinφ2,
sin(φ1 ± φ2) = sinφ1 cosφ2 ± cosφ1 sinφ2.
za mnozenje imamo:
z1 · z2 = r1(cosφ1 + i sinφ1) · r2(cosφ2 + i sinφ2) =
= r1 · r2(cosφ1 cosφ2 + i cosφ1 sinφ2 + i sinφ1 cosφ2 + i2 sinφ1 sinφ2) =
= r1 · r2((cosφ1 cosφ2 − sinφ1 sinφ2) + i(cosφ1 sinφ2 + sinφ1 cosφ2)) =
= r1 · r2 (cos(φ1 + φ2) + i sin(φ1 + φ2))
za dijeljenje imamo:
z1z2
=r1(cosφ1 + i sinφ1)
r2(cosφ2 + i sinφ2)=
r1r2
· cosφ1 + i sinφ1
cosφ2 + i sinφ2
· cosφ1 − i sinφ1
cosφ2 − i sinφ2
=
=r1r2
· cosφ1 cosφ2 − i cosφ1 sinφ2 + i sinφ1 cosφ2 − i2 sinφ1 sinφ2
cos2 φ2 + sin2 φ2
=
=r1r2
· ((cosφ1 cosφ2 − i2 sinφ1 sinφ2) + i(sinφ1 cosφ2 − cosφ1 sinφ2)) =
=r1r2
· ((cosφ1 cosφ2 + sinφ1 sinφ2) + i(sinφ1 cosφ2 − cosφ1 sinφ2)) =
=r1r2(cos(φ1 − φ2) + i sin(φ1 − φ2)).
�
Korolar 1 Neka je z = r(cosφ+ i sinφ). Tada za svaki n ∈ N vrijedi
zn = rn(cosnφ+ i sinnφ).
Specijalno za r = 1 vrijedi de Moivreova formula:
(cosφ+ i sinφ)n = (cosnφ+ i sinnφ).
Teorem 3 (de Moivreov teorem) Neka je w = r(cosφ + i sinφ), r = 0, kompleksan brojzapisan u trigonometrijskom obliku. Tada jednadzba zn = w, n ∈ N, ima tocno n razlicitihrjesenja:
zk =n√r
(cos
φ+ 2kπ
n+ i sin
φ+ 2kπ
n
), k = 0, 1, . . . , n− 1.
10
Poglavlje 2
Vektori
2.1 Vektori u prostoru
Vektori su velicine koje imaju iznos, smjer i orijentaciju. Vektori sluze za potpuno odredivanjemnogih fizikalnih velicina, npr. pomak, brzina, ubrzanje, sila, itd.
Usmjerena duzina−→PQ je duzina kod koje su rubne tocke uredene, odnosno tocka P je pocetak
ili hvatiste, a tocka Q kraj.
Skup svih usmjerenih duzina prostora oznacavamo s U3.Slijede, prema Jukic, Scitovski [8] definicija ekvivalencije usmjerenih duzina i definicija vek-tora:
Definicija 2 Za dvije usmjerene duzine−→PQ i
−−→P ′Q′ kazemo da su ekvivalentne i pisemo
−→PQ ∼
−−→P ′Q′ ako postoji translacija prostora koja tocku P prevodi u P ′ i istovremeno tocku
Q u Q′.
Biti ekvivalentan u skupu svih usmjerenih duzina U3 je relacija ekvivalencije:
1.−→PQ ∼
−→PQ za svaku usmjerenu duzinu
−→PQ (refleksivnost),
2.−→PQ ∼
−→RS ⇔
−→RS ∼
−→PQ (simetricnost),
3. (−→PQ ∼
−→RS &
−→RS ∼
−→TU) ⇔
−→PQ ∼
−→TU (tranzitivnost).
Definicija 3 Za svaku usmjerenu duzinu−→PQ skup (klasa ekvivalencije)
[−→PQ] =
{−→RS ∈ U3 :
−→RS ∼ −→
PQ}
svih usmjerenih duzina koje su ekvivalentne s−→PQ zovemo vektor.
Skup svih vektora oznacavamo s V 3.
11
Veza izmedu usmjeranih duzina i vektora daje nam vazno svojstvo euklidskog prostora:ako je P proizvoljna tocka i a zadani vektor, tada postoji jedinstvena tocka Q takva da je
a = [−→PQ]. Ovim postupkom je vektor a sveden na pocetak P , odnosno nanesen na P . Vektor
a = [−→PQ] geometrijski cemo predociti usmjerenom duzinom, npr.
−→PQ.
Za vektor a =−→PQ, vektor
−→QP zovemo suprotni vektor vektora a i oznacavamo ga s −a.
Udaljenost tocaka P iQ zove se duljina (norma ili intenzitet) usmjerene duzine−→PQ i oznacava
se s ∥−→PQ∥. Definiramo ju kao duljinu duzine PQ. Svaki vektor kome je duljina jednaka jedan
nazivamo jedinicni vektor.
Nul-vektor je vektor koji ima pocetak i kraj u istoj tocki. Nul-vektor oznacavamo s 0, vrijedi
∥0∥=0, to je na primjer usmjerena duzina oblika−→PP .
Vektori a i b su kolinearni ako leze na istom ili paralelnim pravcima. Ako su vektori a i bkolinearni mozemo odabrati tocke O, A i B koje leze na istom pravcu takve da je
a =−→OA, b =
−−→OB.
Pri tome vektori a i b imaju istu orijentaciju ako se tocke A i B nalaze s iste strane tockeO, a suprotnu ako se tocke A i B nalaze s razlicitih strana tocke O.
2.2 Vektori u n-dimenzionalnom prostoru
Ukoliko promatramo vektore u ravnini ili prostoru tada im je odreden smjer i velicina, pase mogu poistovjetiti s usmjerenim duzinama. Mogu se zbrajati i mnoziti, a ta primjenavektorskih operacija pocinje u klasicnoj mehanici, gdje se vektorima opisuju sile i fizikalnizakoni, npr. drugi Newtonov zakon, F = ma ili radnja sile na putu W = f s.
U ravnini odnosno prostoru vektor je odreden uredenim parom odnosno trojkom realnih bro-jeva. Dalje ce vektor (po Butkovic [3]) biti bilo koja uredena n-torka realnih ili kompleksnihbrojeva. Ostaje oznaka vektora kao usmjerene duzine:
v = (v1, v2, . . . , vn).
Brojevi v1, v2, . . . , vn su komponente vektora v. Ako su ti brojevi realni, vektor zovemo re-alan vektor.Geometrijska interpretacija n-torke (v1, v2, . . . , vn) je poistovjecivanje te n-torke s usmje-renom duzinom koja ide iz ishodista koordinatnog sustava do tocke P s koordinatama(v1, v2, . . . , vn). Zato se komponente vektora v nazivaju koordinate.Ako su brojevi v1, v2, . . . , vn kompleksni, vektor zovemo kompleksan vektor.
2.3 Operacije s vektorima
Vektori se mogu mnoziti skalarom (realnim ili kompleksnim brojem), sto im ne mijenja smjeri mogu se zbrajati.
12
Zbrajanje vektoraPromotrimo prvo nacin na koji zbrajamo vektore u realnom dvodimenzionalnom prostoru.Dva vektora zbrajamo po pravilu trokuta ili pravilu paralelograma, vise vektora zbrajamopo pravilu poligona.
Pravilo trokuta. Definirajmo zbroj c = a+ b vektora a i b. Izaberemo proizvoljnu tocku O
i odredimo tocke A i B takve da je a =−→OA, b =
−→AB (na kraj vektora a nanesemo pocetak
vektora b). Vektor c =−−→OB zovemo zbroj vektora a i b.
Slika 2.1: pravilo trokuta
Pravilo paralelograma. Izaberemo proizvoljnu tocku O i odredimo tocke A i B takve
da je a =−→OA, b =
−−→OB. Nadopunjavanjem do paralelograma dobivamo tocku C. Vektor
c =−→OC zovemo zbroj vektora a i b.
Slika 2.2: pravilo paralelograma
13
Zbroj c = a+ b u R2 definiramo na sljedeci nacin:
Definicija 4 Neka su a = (a1, a2) i b = (b1, b2) vektori u R2. Tada je zbroj a + b definirankao vektor c:
c = a+ b = (a1, a2) + (b1, b2) = (a1 + b1, a2 + b2).
Pravilo poligona. Zbroj d = a + b + c od tri vektora definira se kao vektor (a + b) + c.
Vektor d dobiva se jednostavnom geometrijskom konstrukcijom: na kraj vektora a nanesemopocetak vektora b, a zatim na kraj vektora b nanesemo pocetak vektora c. Pocetak vektorad podudara se s pocetkom vektora a, a kraj s krajem vektora c.
Slika 2.3: pravilo poligona
Na isti nacin odreduje se zbroj a1 + a2 + · · ·+ an od n vektora.
U n-dimenzoinalnom prostoru operaciju zbrajanja definiramo analogno definiciji u R2.
Definicija 5 Neka su a = (a1, . . . , an) i b = (b1, . . . , bn). Tada je zbroj a + b definiran kaovektor c s komponentama (a1 + b1, . . . , an + bn):
c = a+ b = (a1, . . . , an) + (b1, . . . , bn) = (a1 + b1, . . . , an + bn).
Mnozenje vektora skalaromPromotrimo nacin na koji mnozimo vektore skalarom u realnom dvodimenzionalnom pros-toru.Vektor a mnozimo s realnim brojem λ na sljedeci nacin: ako je a = 0 ili λ = 0 tada je
λ · a = 0. Ako je a = 0, odaberemo tocke O i A takve da je a =−→OA, ∀λ ∈ R. Produkt
vektora a i skalara λ je vektor
b = λ · a =−−→OB,
pri cemu tocka B lezi na pravcu koji prolazi kroz tocke O i A i
14
1. za λ > 0 tocka B lezi s iste strane tocke O kao i tocka A i vrijedi
d(O,B) = λ · d(O,A),
2. za λ < 0 tocka B lezi sa suprotne strane tocke O od tocke A i vrijedi
d(O,B) = |λ| · d(O,A).
Umnozak b = λ · a u Rn definiramo na sljedeci nacin:
Definicija 6 Neka su a = (a1, . . . , an) i λ ∈ R ili λ ∈ C. Tada je umnozak λ · a definiran
kao vektor b s komponentama (λa1, . . . , λan):
b = λ · a = λ(a1, . . . , an) = (λa1, . . . , λan).
2.4 Vektorski prostor
Skup V 3 je skup svih vektora u prostoru. Na ovom skupu definirane su dvije operacije:zbrajanje vektora i mnozenje skalarom.Postoje i drugi skupovi na kojima mozemo definirati zbrajanje i mnozenje skalarima, takoda te dvije operacije imaju ista algebarska svojstva kao zbrajanje i mnozenje sa skalarom naV 3. Zato te skupove svrstavamo u istu kategoriju, kategoriju vektorskih prostora.
Neka je K polje realnih brojeva R ili polje kompleksnih brojeva C i V bilo koji neprazanskup. Neka su definirane dvije funkcije
⊕ : V × V → V, (x, y) 7→ x⊕ y
i⊙ : K× V → V, (λ, x) 7→ λ⊙ x.
Funkciju ⊕ nazivamo zbrajanje na V , a funkciju ⊙ mnozenje skalarom. Neka za funkcije ⊕i ⊙ vrijede sljedeca svojstva:
1. (∀a, b ∈ V ) a⊕ b = b⊕ a (komutativnost)
2. (∀a, b, c ∈ V ) a⊕ (b⊕ c) = (a⊕ b)⊕ c (asocijativnost)
3. (∃!0 ∈ V )(∀a ∈ V ) a⊕ 0 = 0⊕ a = a (0 je neutralni element zbrajanja)
4. (∀a ∈ V )(∃!a′ ∈ V ) a⊕ a′= a
′ ⊕ a = 0 (a′je suprotni element elementa a)
5. (∀λ, µ ∈ K)(∀a ∈ V ) λ⊙ (µ⊙ a) = (λµ)⊙ a (kompatibilnost mnozenja)
6. (∀λ ∈ K)(∀a, b ∈ V ) λ ⊙ (a ⊕ b) = (λ ⊙ a) ⊕ (λ ⊙ b) (distributivnost mnozenjaprema zbrajanju u V)
15
7. (∀λ, µ ∈ K)(∀a ∈ V ) (λ+ µ)⊙ a = (λ⊙ a)⊕ (µ⊙ a) (distributivnost mnozenjaprema zbrajanju u K)
8. (∀a ∈ V ) 1⊙ a = a (netrivijalnost mnozenja)
Nakon ovih svojstava navest cemo definiciju realnog i kompleksnog vektorskog prostora poJukic, Scitovski [8]:
Definicija 7 Neka je K polje (R ili C). Neprazan skup V snabdjeven funkcijama⊕ : V ×V → V i ⊙ : K×V → V koje imaju navedena svojstva (1.-8.), nazivamo vektorskimprostorom nad poljem K, a njegove elemente vektorima. Elemente skupa K zovemo skala-rima. Ako je K = R, onda kazemo da je V realan vektorski prostor, a ako je K = C, ondakazemo da je V kompleksan vektorski prostor.
2.4.1 Linearna kombinacija vektora
Za zadane vektore a1, . . . , an i skalare λ1, . . . , λn vektor
a = λ1a1 + . . .+ λnan
nazivamo linearna kombinacija vektora a1, . . . , an s koeficijentima λ1, . . . , λn. Skup svihlinearnih kombinacija vektora a1, . . . , an oznacavat cemo s L(a1, . . . , an) (vidi [8]).
Definicija 8 Za vektore a1, . . . , an kazemo da su linearno zavisni ako se barem jedan od njihmoze prikazati kao linearna kombinacija preostalih vektora. U suprotnom, tj. ako se ni jedanod njih ne moze prikazati kao linearna kombinacija preostalih, za te vektore kazemo da sulinearno nezavisni.
Teorem 4 Vektori a1, . . . , an su linearno zavisni onda i samo onda ako postoje skalariλ1, . . . , λn takvi da je barem jedan od njih razlicit od nule, a da je pri tome
λ1a1 + . . .+ λnan = 0.
Dokaz: ⇒ Pretpostavimo da su vektori a1, . . . , an linearno zavisni. Tada se prema Definiciji8, barem jedan od vektora a1, . . . , an moze prikazati kao linearna kombinacija preostalihvektora.Neka je
ak = µ1a1 + . . .+ µk−1ak−1 + µk+1ak+1 + . . .+ µnan,
tada jeµ1a1 + . . .+ µk−1ak−1 − ak + µk+1ak+1 + . . .+ µnan = 0.
⇐ Neka postoje skalari λi, i = 1, . . . , n, takvi da je barem jedan od njih razlicit od 0 i davrijedi λ1a1 + . . .+ λnan = 0. Neka je λk = 0, tada iz λ1a1 + . . .+ λnan = 0 slijedi:
ak = −λ1
λk
a1 − . . .− λk−1
λk
ak−1 −λk+1
λk
ak+1 − . . .− λn
λk
an.
Vektor ak prikazan je kao linearna kombinacija preostalih vektora te su vektori linearnozavisni. �
16
2.4.2 Skalarni produkt i norma vektora u Rn
Skalarni produkt promatran u R3 najlakse cemo si predociti primjerom iz fizike: problemradnje konstante (po smjeru i iznosu) sile f .
Ako se tijelo na koje djeluje sila f pomakne za vektor s u smjeru te sile, onda se skalarW := f · s zove radnja sile f na putu s.Definirat cemo skalarni produkt vektora (vidi [8]).
Neka su a i b, uz oznake: ∥a∥ =√a2x + a2y + a2z i ∥b∥ =
√b2x + b2y + b2z, vektori prostora.
Pretpostavimo da oni imaju zajednicki pocetak.
Definicija 9 Skalarni produkt vektora a i b je skalar koji oznacavamo s ⟨a|b⟩ i definiramona sljedeci nacin:
• ako je jedan od vektora a ili b jednak nul-vektoru onda je ⟨a|b⟩ = 0,
• ako su a, b = 0, onda je⟨a|b⟩ := ∥a∥ · ∥b∥ · cosφ,
gdje je φ kut izmedu vektora a i b takav da je 0 ≤ φ ≤ π.
Iz definicije vidimo da je skalarni produkt dvaju vektora jednak umnosku duljine jednogvektora i duljine projekcije drugog vektora na prvi vektor. Znaci, ako s ba oznacimo projekcijuvektora b na vektor a, odnosno s ab oznacimo projekciju vektora a na vektor b, onda je
⟨a|b⟩ = ∥a∥ · ∥ba∥ = ∥b∥ · ∥ab∥.
U trodimenzionalnom realnom prostoru skalarni produkt daje jednostavan kriterij jesu li dvavektora medusobno okomita ili ne.Iz definicije neposredno slijedi da je skalarni produkt dvaju vektora razlicitih od nul-vektorajednak nuli onda i samo onda ako su ti vektori medusobno okomiti, te da je ⟨a|a⟩ = ∥a∥2 zasvaki vektor a ∈ V 3.Skalarni produkt se oznacava na razne nacine, npr. u · v, u • v ili ⟨u|v⟩.
Skalarni produktFunkcija s Rn × Rn u R koja ima sljedeca svojstva:
1. ⟨u|u⟩ ≥ 0 (pozitivna semidefinitnost)
2. ⟨u|u⟩ = 0 ⇔ u = 0 (pozitivna definitnost)
3. ⟨u+ v|w⟩ = ⟨u|w⟩+ ⟨v|w⟩ (aditivnost u prvom argumentu)
4. ⟨λu|v⟩ = λ⟨u|v⟩ (λ ∈ R) (homogenost u prvom argumentu)
5. ⟨u|v⟩ = ⟨v|u⟩ (komutativnost)
naziva se skalarni produkt.
17
Euklidski skalarni produktNavest cemo, po Butkovic [3], definiciju euklidskog skalarnog produkta s Rn × Rn u R:
Definicija 10 Euklidski skalarni produkt paru realnih n-torki pridruzuje realan broj po for-muli
(u, v) 7→ u1v1 + · · ·+ unvn.
Definicija 11 Neka je V bilo koji vektorski prostor nad poljem K, a u, v ∈ V vektori uvektorskom prostoru. Kazemo da je u ortogonalan na v ako i samo ako je
⟨u|v⟩ = 0.
Euklidska norma vektoraNorma se moze definirati nizom svojstava, koja se mogu dobiti iz definicije skalarnog pro-dukta. Tako definirana funkcija opcenito se naziva norma, a svojstva koja ju odreduju,prema Butkovic [3], su:
1. ∥u∥ ≥ 0
2. ∥u∥ = 0 ⇔ u = 0
3. ∥λu∥ = |λ|∥u∥
4. ∥u+ v∥ ≤ ∥u∥+ ∥v∥.
Koristeci se euklidskim skalarnim produktom mozemo definirati euklidsku normu vektora uiz Rn, koja se oznacava ∥ ∥,
∥u∥ =√u21 + · · ·+ u2
n.
U slucaju R3 norma je duljina usmjerene duzine koja predstavlja vektor.Kvadrat te norme u Rn je
∥u∥2 = u21 + · · ·+ u2
n = ⟨u|u⟩,
pa je euklidska norma∥u∥ =
√⟨u|u⟩.
18
Poglavlje 3
Matrice
3.1 Definicija matrice
Matrica je pravokutna tablica sacinjena od redaka i stupaca. Navedimo nekoliko primjeramatrica:
B =
[2 13 4
], C =
[0 0 00 0 0
], D =
2− i 1 + 2i3− 3i 4 + i
i −i
.
Matrica B ima dva retka i dva stupca, C ima dva retka i tri stupca, a D ima tri retka i dvastupca.Prema Neralic, Sego [11] definicija matrice glasi:
Definicija 12 Matrica A tipa (reda) m × n je pravokutna shema elemenata aij koji suporedani u m redaka i n stupaca.
Matricu A pisat cemo na slijedeci nacin:
A =
a11 a12 . . . a1na21 a22 . . . a2n...
......
am1 am2 . . . amn
=[aij
]:i ∈ {1, 2, . . . ,m}j ∈ {1, 2, . . . , n} .
Skup svih matrica oznacavat cemo s M.Elementi matrice A pripadaju nekom skupu, npr. skupu R realnih brojeva ili skupu Ckompleksnih brojeva. Uzimat cemo da su aij ∈ R ili aij ∈ C za sve uredene parove (i, j).Prvi indeks (i) oznacava redak u kojem se element nalazi, a drugi indeks (j) stupac u kojemse element nalazi.Npr: u matrici B je a11 = 2 ili u matrici C je a23 = 0 ili u matrici D je a31 = i.
Pozicija svakog elementa u matrici je jednoznacno odredena pripadnoscu razmatranog ele-menta odredenom retku i stupcu matrice, te se matrica moze definirati kao funkcija kojauredenom paru prirodnih brojeva pridruzuje realan ili kompleksan broj.
19
Matrica je funkcijaA : {1, 2, . . . ,m} × {1, 2, . . . , n} → R
ili
A : {1, 2, . . . ,m} × {1, 2, . . . , n} → C.
Vrijednost funkcije A na mjestu (i, j) oznacavamo s
A(i, j) = aij ∈ R ili A(i, j) = aij ∈ C.
Tip matrice pokazuje koliko matrica ima elemenata m × n i na koji nacin su ti elementiporedani. Skup svih matrica tipa m× n oznacavat cemo s Mm,n ili Mmn.
Dvije matrice A i B ∈ Mmn su jednake ako i samo ako su im svi odgovarajuci elementijednaki, odnosno ako i samo ako su:
1. istog tipa, obje su iz skupa Mmn,
2. ako su svi odgovarajuci elementi jednaki, aij = bij, za sve uredene parove indeksa (i, j).
Koristeci se znakom ekvivalencije, jednakost matrica mozemo zapisati ovako:
A = B ⇐⇒ (A,B ∈ Mmn i aij = bij za sve (i, j)).
Vrste matrica
Opcenito je broj redaka razlicit od broja stupaca, m = n. Takve matrice zovemo pravokut-nim matricama. Navest cemo nekoliko vrsta matrica s posebnim svojstvima.
Kvadratna matricaAko je m = n, matrica A je kvadratna. U tom slucaju govorimo da je matrica A reda n ilin-tog reda.Skup svih matrica reda n oznacavat cemo oznakom Mn.
Glavna dijagonala kvadratne matrice A ∈ Mn sastavljena je od elemenata a11, a22, · · · , ann,a sporedna dijagonala matrice A ∈ Mn od elemenata an1, an−1 2, · · · , a1n.
Simetricna i antisimetricna matricaSimetricna matrica je kvadratna matrica kod koje su elementi, simetricno rasporedeni sobzirom na glavnu dijagonalu, jednaki. Za simetricnu matricu vrijedi:
aij = aji
za sve uredene parove indeksa (i, j).
20
Primjer simetricne matrice:
A =
2 5 −1 35 4 1 7−1 1 6 03 7 0 8
.
Ovo je kvadratna matrica, A ∈ M4 i simetricna je:
a12 = a21 = 5, a13 = a31 = −1, a14 = a41 = 3,
a23 = a32 = 1, a24 = a42 = 7, a34 = a43 = 0.
Antisimetricna matrica je kvadratna matrica za koju vrijedi:
aij = −aji
za sve uredene parove indeksa (i, j).Antisimetricna matrica ima nule na dijagonali. Po definiciji mora vrijediti aii = −aii iz cegaslijedi da je aii = 0.
Nul-matrica, dijagonalna i jedinicna matricaNul-matrica je matrica ciji su svi elementi nule i oznacava se s Omn.Primjeri nul-matrica:
O22 =
[0 00 0
], O23 =
[0 0 00 0 0
], O14 =
[0 0 0 0
].
Napomena: u slucaju ako je poznata dimenzija nul-matricu oznacavamo s O, tj. ispustimoindeks.
Dijagonalna matrica je kvadratna matrica za koju je aij = 0 za svaki i = j, odnosno svinedijagonalni elementi su jednaki 0.Primjeri dijagonalnih matrica:
D2 =
[3 00 −1
], D3 =
2 0 00 0 00 0 5
, Dn =
a11 0 . . . 00 a22 . . . 0...
.... . .
...0 0 . . . ann
.
Jedinicna matrica je dijagonalna matrica ciji su dijagonalni elementi jednaki 1. Oznacavamoju slovom In (nekada i slovom E).
I2 =
[1 00 1
], I3 =
1 0 00 1 00 0 1
, In =
1 0 . . . 00 1 . . . 0...
.... . .
...0 0 . . . 1
.
21
Napomena: u slucaju ako je poznata dimenzija jedinicnu matricu oznacavamo s I, tj. ispus-timo indeks.
Gornje i donje trokutasta matricaGornje trokutasta matrica je kvadratna matrica oblika:
Gn =
a11 a12 a13 . . . a1n0 a22 a23 . . . a2n0 0 a33 . . . a3n...
......
. . ....
0 0 0 . . . ann
.
Za gornje trokutastu matricu vrijedi
aij = 0 ako je i > j.
Donje trokutasta matrica je kvadratna matrica oblika:
Ln =
a11 0 0 . . . 0a21 a22 0 . . . 0a31 a32 a33 . . . 0...
......
. . ....
an1 an2 an3 . . . ann
.
Za donje trokutastu matricu vrijedi
aij = 0 ako je i < j.
Transponirana matricaTransponirana matrica matrice A = [aij] ∈ Mmn je matrica koju oznacavamo s AT . Tran-sponiranu matricu dobijemo tako da elemente prvog retka matrice A, ne mijenjajuci njihovporedak, zapisemo na mjesto prvog stupca transponirane matrice, tj. i-ti redak postaje i-tistupac, a j-ti stupac j-ti redak.Znaci, za matricu A = [aij] ∈ Mmn definira se matrica AT = [aji] ∈ Mnm koju zovemotransponiranom matricom matrice A.
Primjeri transponiranih matrica:
A =
[2 −14 1
]=⇒ AT =
[2 4−1 1
],
A =
5 0−1 2−3 4
=⇒ AT =
[5 −1 −30 2 4
],
A =
a11 a12 . . . a1na21 a22 . . . a2n...
......
am1 am2 . . . amn
=⇒ AT =
a11 a21 . . . am1
a12 a22 . . . am2...
......
a1n a2n . . . amn
.
22
Navest cemo svojstva operacije transponiranja matrice. Neka su A,B ∈ Mmn, tada vrijedi:
1. (A+B)T = AT +BT
2. (AT )T = A
3. (AB)T = BT AT .
Ako je A kvadratna matrica, tada se transponirana matrica dobiva tako da se elementi ma-trice A zrcale s obzirom na njezinu dijagonalu.Matrica A je simetricna ako je AT = A, tj. aij = aji, ∀i, j. U tom se slucaju zrcaljenjem sobzirom na dijagonalu matrica ne mijenja.Matrica je antisimetricna ako vrijedi AT = −A, tj. aij = −aji, ∀i, j.
Determinanta matriceSvakoj kvadratnoj matrici pridruzen je skalar, njezina determinanta. Taj broj oznacavamos detA i koristimo zapis: ∣∣∣∣∣∣∣∣∣
a11 a12 . . . a1na21 a22 . . . a2n...
......
an1 an2 . . . ann
∣∣∣∣∣∣∣∣∣ .Determinantu cemo definirati induktivno, krenut cemo od matrica prvog reda.Determinanta za matricu n = 1:
detA = |a11| = a11.
Determinanta za matricu n = 2:
detA =
∣∣∣∣ a11 a12a21 a22
∣∣∣∣ = a11a22 − a21a12.
Determinanta za matricu n = 3:
detA =
∣∣∣∣∣∣a11 a12 a13a21 a22 a23a31 a32 a33
∣∣∣∣∣∣ = a11
∣∣∣∣ a22 a23a32 a33
∣∣∣∣− a12
∣∣∣∣ a21 a23a31 a33
∣∣∣∣+ a13
∣∣∣∣ a21 a22a31 a32
∣∣∣∣ .Opcenito, determinanta matrice reda n definirana je Laplaceovim razvojem determinante.
Laplaceov razvoj determinanteNeka Dij oznacava determinantu podmatrice koja se dobije kada iz kvadratne matrice Aispustimo i-ti redak i j-ti stupac. Algebarski komplement ili kofaktor elemenata aij (koji senalaze u i-tom retku i j-tom stupcu determinante) je broj:
Aij = (−1)i+j ·Dij.
23
Ako pribrojnike u sljedecim formulama grupiramo po elementima koji se nalaze u i-tomretku dobijemo Laplaceov razvoj determinante po elementima i-tog retka,
detA =n∑
j=1
aijAij.
Ako pribrojnike grupiramo po elementima koji se nalaze u j-tom stupcu, tada dobijemorazvoj determinante po elementima j-tog stupca,
detA =n∑
i=1
aijAij.
Za prakticno racunanje determinanti reda n ≥ 2 korisno je znati neka svojstva determinanti:
a) Ako su svi elementi nekog retka ili stupca nule, onda je determinanta jednaka nuli.
b) Determinanta trokutastih matrica jednaka je produktu brojeva na glavnoj dijagonali.
c) Ako dva stupca ili dva retka zamijene mjesta, onda determinanta mijenja predznak.
d) Ako su dva stupca ili dva retka jednaka, onda je determinanta jednaka nuli.
e) Ako nekom stupcu ili nekom retku dodamo linearnu kombinaciju preostalih stupaca iliredaka, onda se determinanta ne mijenja.
f) Determinanta se mnozi brojem tako da se neki redak ili stupac pomnozi tim brojem.
g) (Binet-Cauchyjev teorem) Determinanta produkta dvije matrice jednaka je produktudeterminanti, tj. det(AB) = detA detB.
h) Ako je neki stupac ili redak linearna kombinacija preostalih stupaca ili redaka, onda jedeterminanta jednaka nuli.
i) Determinanta matrice je jednaka determinanti njene transponirane matrice, tj.detA = detAT .
Vektor kao matricaMatrice koje imaju samo jedan redak ili samo jedan stupac nazivamo vektorima. Takogovorimo o vektor-retku ili vektor-stupcu.Primjeri vektor-stupaca: 3
5−1
,
[01
],
b1b2...bn
.
24
Prvi je dimenzije 3, drugi je dimenzije 2, a posljednji dimenzije n. Vektor je matrica tipan× 1 ili 1× n. Ako je b vektor-stupac, tada je njemu transponirani vektor bT vektor-redak
b1b2...bn
T
=[b1 b2 . . . bn
],
i obratno, transponiranjem vektor-retka dobiva se vektor-stupac.Stupce i retke matrice mozemo shvatiti kao vektore. Matrica
A =
a11 a12 . . . a1na21 a22 . . . a2n...
......
am1 am2 . . . amn
sastavljena je od sljedecih vektor-redaka
a1 =[a11 a12 . . . a1n
],
a2 =[a21 a22 . . . a2n
],
...
am =[am1 am2 . . . amn
].
Matrica A se moze i ovako zapisati
A =
a1a2...am
.
3.2 Operacije s matricama
Zbrajanje matricaDefinicija zbroja matrica prema Neralic, Sego [11] glasi:
Definicija 13 Za proizvoljne matrice A, B ∈ Mmn definira se zbroj tih dviju matrica,oznaka A+B, kao matrica ciji elementi predstavljaju zbroj odgovarajucih elemenata matricaA i B, to jest
A+B = [aij + bij].
25
Da bi zbroj matrica bio definiran, matrice A i B moraju biti istog tipa m × n. Elementmatrice A + B na mjestu (i, j) jednak je zbroju elemenata matrica A i B na istom tommjestu. a11 . . . a1n
...am1 . . . amn
+
b11 . . . b1n...
bm1 . . . bmn
=
a11 + b11 . . . a1n + b1n...
am1 + bm1 . . . amn + bmn
Primjer 8 Zadane su matrice A =
[−3 14 −1
]i B =
[1 2−2 1
]. Izracunajte A+B.
Rjesenje: A+B=
[−3 14 −1
]+
[1 2−2 1
]=
[−3 + 1 1 + 24 + (−2) −1 + 1
]=
[−2 32 0
]Ako je matrica zapisana u obliku vektor-stupaca, zbrajanje matrica mozemo zapisati nasljedeci nacin:
a1a2...am
+
b1b2...bm
=
a1 + b1a2 + b2
...am + bm
.
Mnozenje matrice sa skalaromTakoder prema Neralic, Sego [11], mnozenje matrice sa skalarom, definirano je na sljedecinacin:
Definicija 14 Za proizvoljnu matricu A ∈ Mmn i proizvoljni skalar α ∈ R definira seumnozak te matrice A i skalara α, oznaka αA, kao matrica ciji elementi predstavljajuumnozak skalara α i odgovarajucih elemenata matrice A, to jest
αA = [αaij].
Matrica se mnozi skalarom tako da se svaki njezin element mnozi tim skalarom.
α
a11 . . . a1n...
am1 . . . amn
=
αa11 . . . αa1n...
αam1 . . . αamn
Primjer 9 Neka je α = 2 i matrica A =
[−3 14 −1
]. Izracunajte αA.
Rjesenje: αA = 2
[−3 14 −1
]=
[2 · (−3) 2 · 12 · 4 2 · (−1)
]=
[−6 28 −2
]Matricu (−1)A oznacavamo −A. Racunanje razlike dviju matrica svodi se na vec uvedeneoperacije:
A−B = A+ (−1)B.
26
Lako se provjeri da skup matrica Mmn s operacijama zbrajanja matrica i mnozenja matricaskalarom zadovoljava svojstva 1.− 8. iz definicije vektorskog prostora, te on cini vektorskiprostor.
Mnozenje matricaDa bi umnozak dviju matrica bio definiran, one moraju biti ulancane: broj stupaca prvemora biti jednak broju redaka druge matrice. Znaci da ,,duljina” retka prve mora bitijednaka ,,duljini” stupca druge matrice. Ako je matrica A tipa m × n da bi umnozak ABpostojao, matrica B mora biti tipa n × p. Pri tome m i p mogu biti proizvoljni. Rezultatmnozenja bit ce matrica tipa m× p.
Definicija 15 Umnozak matrica A = [aij] ∈ Mmn i B = [bij] ∈ Mnp definira se na sljedecinacin:
[AB]ij =n∑
k=1
aikbkj, AB ∈ Mmp .
Ovaj umnozak prepoznajemo kao skalarni umnozak i-toga retka ai matrice A i j-tog stupcabj matrice B, onda je umnozak: [AB]ij = ⟨ai|bj⟩.
[AB]ij =[ai1 ai2 . . . ain
]
b1jb2j...bnj
Napomena: Za razliku od mnozenja brojeva, mnozenje matrica opcenito nije komutativno.
Navest cemo primjer mnozenja matrica i pokazati da komutativnost opcenito ne vrijedi.
Primjer 10 Zadane su matrice A =
[−3 14 −1
]i B =
[1 2−2 1
].
Izracunajte umnozak AB i BA.
Rjesenje:
AB =
[−3 14 −1
] [1 2−2 1
]=
[−3 · 1 + 1 · (−2) −3 · 2 + 1 · 14 · 1 + (−1) · (−2) 4 · 2 + (−1) · 1
]=
[−5 −56 7
]BA =
[1 2−2 1
] [−3 14 −1
]=
[1 · (−3) + 2 · 4 1 · 1 + 2 · (−1)−2 · (−3) + 1 · 4 −2 · 1 + 1 · (−1)
]=
[5 −110 −3
]Iz ovog primjera mozemo vidjeti da je AB = BA, sto znaci da komutativnost opcenito nevrijedi.Dvije kvadratne matrice A i B istog reda komutiraju ako vrijedi:
AB = BA.
Inverzna matricaNeka je A ∈ Mn zadana matrica. Matrica A
′za koju vrijedi
A′A = AA
′= I
naziva se inverzna matrica. Inverzna matrica oznacava se s A−1.
27
Definicija 16 Kvadratna matrica A je regularna (invertibilna) ako postoji kvadratna ma-trica B za koju vrijedi
AB = BA = I.
Matrica je singularna ako nije regularna.
Teorem 5 Inverzna matrica, ukoliko postoji, jedinstvena je.
Dokaz: Neka je A ∈ Mn. Pretpostavimo da su B i C njoj inverzne matrice. Tada je
BA− CA = O.
Pomnozimo ovu jednakost s desne strane s B. Dobivamo
(BA− CA)B = O,
(B − C)AB = O,
B − C = O.
Dakle,B = C.
�Opisat cemo jedan postupak invertiranja matrice, potrebne su nam elementarne transforma-cije nad retcima matrice. Elementarne transformacije su:
1. zamjena dvaju redaka,
2. mnozenje nekoga retka skalarom razlicitim od nule,
3. dodavanje nekoga retka (pomnozenog skalarom) nekom drugom retku.
Postupak invertiranja se sastoji u tome da formiramo prosirenu matricu tako da matrici Adopisemo jedinicnu matricu I istog reda. Zatim elementarnim transformacijama nad retcimaprvi dio prosirene matrice (onaj gdje se prvobitno nalazila matrica A) svedemo na jedinicnumatricu. U drugom dijelu prosirene matrice se tada nalazi A−1.
Primjer 11 Invertirajte matricu A =
[1 23 4
].
Rjesenje: Koristimo postupak invertiranja:[1 2 | 1 03 4 | 0 1
]∼
[1 2 | 1 00 −2 | −3 1
]∼
[1 2 | 1 00 1 | 3
2−12
]∼
[1 0 | −2 10 1 | 3
2−12
].
U drugom dijelu transformirane prosirene matrice je
A−1 =
[−2 132
−12
].
Pri postupku invertiranja matricu A pokusavamo svesti na jedinicnu matricu, ali se jedinicnamatrica ne moze uvijek dobiti (dovoljno je da se u jednom retku prvobitno zadane matriceA pojave sve nule), znaci da inverzna matrica ne postoji. Ranije smo definirali regularnu isingularnu matrice. Matrica A ciji inverz ne postoji je singularna matrica.Navest cemo jednu matricu i pokazati da je singularna.
28
Primjer 12 Invertirajte matricu A =
[1 11 1
].
Rjesenje: Koristimo postupak invertiranja:[1 1 | 1 01 1 | 0 1
]∼
[1 1 | 1 00 0 | −1 1
]Vec nakon prvog koraka u drugom retku zadane matrice A su se pojavile sve nule, matricaA je singularna.Definirat cemo ortonormalnu matricu.
Definicija 17 Za kvadratnu matricu A kazemo da je ortonormalna ako vrijedi
AAT = ATA = I.
Primjetimo da ortonormalna matrica A mora biti kvadratna i invertibilna, za nju vrijedi
A−1 = AT .
29
Poglavlje 4
Kompleksni vektori i matrice
U ovom poglavlju promatrat cemo kompleksne vektore i matrice, slicnosti i razlike izmedurealnih i kompleksnih matrica, npr. dvije klase kvadratnih matrica iz Rn×n se relativno lakoprosire na Cn×n. To su unitarne matrice, koje generaliziraju ortonormalne realne matrice ihermitske matrice, koje generaliziraju realne simetricne matrice.
4.1 Svojstvene vrijednosti i svojstveni vektori
Potrebu za kompleksnim matricama i vektorima najbolje vidimo u trazenju svojstvenih vri-jednosti i svojstvenih vektora matrica. Svojstvene vrijednosti i svojstveni vektori realnematrice cesto su kompleksni brojevi i vektori.
Definicija 18 Neka je A kvadratna matrica reda n. Za broj λ kazemo da je svojstvenavrijednost matrice A, a za vektor x = 0 kazemo da je svojstveni vektor matrice A ako vrijedi
Ax = λx.
Na Mn(R) svojstvene vrijednosti i svojstveni vektori imaju jasno geometrijsko znacenje.Djelovanje matrice A na vektor x = 0 mijenja smjer i velicinu tog vektora. Ako za nekix = 0 djelovanje A ne mijenja smjer vektora x, znaci da ako je Ax = λx, za neki λ ∈ Rbroj λ je svojstvena vrijednost matrice A, a vektor x = 0 je svojstveni vektor matrice Apridruzen svojstvenoj vrijednosti λ. Svaki vektor αx za α = 0 takoder je svojstveni vektormatrice A pridruzen istoj svojstvenoj vrijednosti λ:
A(αx) = αAx = α(λx) = λ(αx).
Naveli smo da je x = 0 svojstveni vektor, a λ svojstvena vrijednost matrice A. Uocimo daAx = λx, mozemo pisati u obliku
(λI − A)x = 0,
gdje je I jedinicna matrica n-tog reda.
Prema definiciji, λ je svojstvena vrijednost matrice A onda i samo onda ako postoji vektorx = 0 takav da je Ax = λx, tj. ako matricna jednadzba (λI − A)x = 0 ima netrivijalno
30
rjesenje. Matricna jednadzba (λI −A)x = 0 ima jedinstveno trivijalno rjesenje x = 0 onda isamo onda ako je det(λI −A) = 0. Dakle, matricna jednadzba imat ce netrivijalno rjesenjeonda i samo onda ako je det(λI − A) = 0.Napomena: jedina mogucnost da λ bude svojstvena vrijednost jest da λI−A bude singularnamatrica, sto je ekvivalentno uvjetu det(λI − A) = 0.
Polinom p(λ) = det(λI − A) nazivamo karakteristicnim (svojstvenim) polinomom, a jed-nadzbu det(λI − A) = 0 karakteristicnom jednadzbom.Rjesenja karakteristicne jednadzbe det(λI − A) = 0 su svojstvene vrijednosti λ.
Navest cemo primjer realne matrice cije su svojstvene vrijednosti realne.
Primjer 13 Zadana je matrica A =
[1 32 −4
]. Izracunajte svojstvene vrijednosti i svoj-
stvene vektore matrice A.
Rjesenje: Karakteristicna jednadzba det(λI − A) = 0 je
det(λI − A) =
∣∣∣∣ λ− 1 0− 30− 2 λ− (−4)
∣∣∣∣ = ∣∣∣∣ λ− 1 −3−2 λ+ 4
∣∣∣∣ == (λ− 1) · (λ+ 4)− (−3) · (−2) = λ2 + 4λ− λ− 4− 6 = λ2 + 3λ− 10 = 0.
Rjesavanjem jednadzbe vidimo da matrica A ima svojstvene vrijednosti:
λ1 = −5 , λ2 = 2.
Odredimo njima pridruzene svojstvene vektore:Za λ1 = −5 treba rijesiti sustav.
−6x1 − 3x2 = 0 / : (−3) ⇒ 2x1 + x2 = 0
−2x1 − x2 = 0 / : (−2) ⇒ 2x1 + x2 = 0
−x2 = 2x1 / : (−1) ⇒ x2 = −2x1
Rjesenje ovog sustava je (x1, x2) = (x1,−2x1). Svi vektori x oblika
x = x1
[1−2
], x1 ∈ R
jesu svojstveni vektori pridruzeni svojstvenoj vrijednosti λ1 = −5.Za λ2 = 2 treba rijesiti sustav.
x1 − 3x2 = 0 ⇒ x1 − 3x2 = 0
−2x1 + 6x2 = 0 / : (−2) ⇒ x1 − 3x2 = 0
x1 = 3x2
31
Rjesenje ovog sustava je (x1, x2) = (3x2, x2). Svi vektori x oblika
x = x2
[31
], x2 ∈ R
jesu svojstveni vektori pridruzeni svojstvenoj vrijednosti λ2 = 2.
Navest cemo jos jednu realnu matricu i pokazati da svojstvene vrijednosti ne moraju bitirealne.
Primjer 14 Zadana je matrica A =
[0 1−1 0
]. Izracunajte svojstvene vrijednosti matrice
A.
Rjesenje: Karakteristicna jednadzba det(λI − A) = 0 je
det(λI − A) =
∣∣∣∣ λ− 0 0− 10− (−1) λ− 0
∣∣∣∣ = ∣∣∣∣ λ −11 λ
∣∣∣∣ = λ · λ− 1 · (−1) = λ2 + 1 = 0.
Rjesenja jednadzbe λ2 = −1 su:
λ1 = i , λ2 = −i.
Svojstvene vrijednosti ove matrice su kompleksni brojevi. Odredimo njima pridruzene svoj-stvene vektore.Za λ1 = i treba rijesiti sustav.
ix1 − x2 = 0
x1 + ix2 = 0
x2 = ix1
Rjesenje ovog sustava je (x1, x2) = (x1, ix1). Svi vektori x oblika
x = x1
[1i
], x1 ∈ C
jesu svojstveni vektori pridruzeni svojstvenoj vrijednosti λ1 = i.Za λ2 = −i treba rijesiti sustav.
−ix1 − x2 = 0
x1 − ix2 = 0
x1 = ix2
Rjesenje ovog sustava je (x1, x2) = (ix2, x2). Svi vektori x oblika
x = x2
[i1
], x2 ∈ C
jesu svojstveni vektori pridruzeni svojstvenoj vrijednosti λ2 = −i.
32
4.2 Skalarni produkt, norma i udaljenost u Cn
Podsjetimo se da je u Rn euklidski skalarni produkt dva vektora u = (u1, u2, . . . , un) iv = (v1, v2, . . . , vn) definiran na sljedeci nacin:
⟨u|v⟩ = u1v1 + u2v2 + · · ·+ unvn,
a euklidska norma vektora u:
∥u∥ =√
u21 + u2
2 + · · ·+ u2n.
Na ovaj nacin ne mozemo definirati normu u Cn. Na primjer, za vektor u = (i, 1) u C2 dobilibi
∥u∥ =√i2 + 12 =
√0 = 0.
Vektor u nije nul-vektor, a imao bi normu (duljinu) jednaku 0, sto je u kontradikciji sa svoj-stvom pozitivne definitnosti norme.
Za definiciju norme i udaljenosti u Cn, moramo definirati kompleksni euklidski skalarniprodukt.Sljedeca definicija vrijedi za vektore u Cn (vidi[3]).
Definicija 19 Ako su u = (u1, u2, . . . , un) i v = (v1, v2, . . . , vn) vektori u Cn, tada je njihovkompleksni euklidski skalarni produkt definiran s
⟨u|v⟩ = u1v1 + u2v2 + · · ·+ unvn,
gdje su v1, v2, . . . , vn konjugirani v1, v2, . . . , vn.
Sljedeci teorem navodi svojstva kompleksnog skalarnog produkta.
Teorem 6 Ako su u, v i w proizvoljni vektori iz Cn i k neki kompleksni broj tada je:
1. ⟨u|u⟩ ≥ 0
2. ⟨u|u⟩ = 0 ako i samo ako je u = 0
3. ⟨u+ v|w⟩ = ⟨u|w⟩+ ⟨v|w⟩
4. ⟨ku|v⟩ = k⟨u|v⟩
5. ⟨u|v⟩ = ⟨v|u⟩.
Tvrdnje dokazujemo na sljedeci nacin:
1. ⟨u|u⟩ = u1u1 + u2u2 + · · ·+ unun = |u1|2 + |u2|2 + · · ·+ |un|2 ≥ 0
2. (⇒) ⟨u|u⟩ = u1u1+u2u2+· · ·+unun = |u1|2+|u2|2+· · ·+|un|2 = 0 ⇒ |ui| = 0 ⇒ ui = 0(⇐)ui = 0,∀i, ⟨u|u⟩ = |u1|2 + |u2|2 + · · ·+ |un|2 = 0
33
3. ⟨u+ v|w⟩ = (u1 + v1)w1 + (u2 + v2)w2 + · · ·+ (un + vn)wn == (u1w1 + u2w2 + · · ·+ unwn) + (v1w1 + v2w2 + · · ·+ vnwn) = ⟨u|w⟩+ ⟨v|w⟩
4. ⟨ku|v⟩ = (ku1)v1 + · · ·+ (kun)vn = k(u1v1 + · · ·+ unvn) = k⟨u|v⟩
5. ⟨u|v⟩ = u1v1 + u2v2 + · · ·+ unvn = v1 u1 + v2 u2 + · · ·+ vn un == (v1u1) + (v2u2) + · · ·+ (vnun) = (v1u1 + v2u2 + · · ·+ vnun) = ⟨v|u⟩.
�
Nakon ove definicije i teorema definiramo euklidsku normu za vektor u = (u1, u2, . . . , un) izCn:
∥u∥ =√⟨u|u⟩ =
√|u1|2 + |u2|2 + · · ·+ |un|2,
i euklidsku udaljenost izmedu u = (u1, u2, . . . , un) i v = (v1, v2, . . . , vn):
d(u, v) = ∥u− v∥ =√|u1 − v1|2 + |u2 − v2|2 + · · ·+ |un − vn|2.
Sada mozemo odrediti normu vektora u = (i, 1) iz C2.
∥u∥ =√|i|2 + |1|2 =
√1 + 1 =
√2
Norma izvedena iz skalarnog produkta gdje su u, v ∈ Cn, proizvoljni vektori, λ ∈ Cn, imasljedeca svojstva:
1. ∥u∥ ≥ 0
2. ∥u∥ = 0 ⇔ u = 0
3. ∥λu∥ = |λ|∥u∥
4. ∥u+ v∥ ≤ ∥u∥+ ∥v∥.
Primjer 15 Zadani su vektori u = (1− i, 2 + 3i) i v = (2− 5i, 3− i) u C2. Izracunajte:a) ⟨u|v⟩, b) ⟨v|u⟩, c) ∥u∥, d) d(u, v).
Rjesenje:a) ⟨u|v⟩ = u1v1+u2v2 = (1− i)(2− 5i)+ (2+3i)(3− i) = (1− i)(2+5i)+ (2+3i)(3+ i) == 7 + 3i+ 3 + 11i = 10 + 14i
b)⟨v|u⟩ = v1u1 + v2u2 = (2− 5i)(1− i) + (3− i)(2 + 3i) = (2− 5i)(1+ i) + (3− i)(2− 3i) == 7− 3i+ 3− 11i = 10− 14i
Rjesenja a) i b) zadatka su pokazala da je ⟨u|v⟩ = ⟨v|u⟩.
c) ∥u∥ =√
|u1|2 + |u2|2 =√u1 · u1 + u2 · u2 =
√(1− i)(1 + i) + (2 + 3i)(2− 3i) =
=√1 + 1 + 4 + 9 =
√15
d) d(u, v) = ∥u− v∥ =√
|u1 − v1|2 + |u2 − v2|2 ==
√|(1− i)− (2− 5i)|2 + |(2 + 3i)− (3− i)|2 =
=√| − 1 + 4i|2 + | − 1 + 4i|2 =
√(−1 + 4i)(−1− 4i) + (−1 + 4i)(−1− 4i) =
=√1 + 16 + 1 + 16 =
√34
34
4.3 Kompleksne matrice
Adjungirana matricaZa matricu A definiramo konjugiranu matricu A formulom
A = [aij] .
A je matrica s konjugirano-kompleksnim elementima matrice A.Definiramo (prema Elezovic [4]) adjungiranu matricu A∗ formulom
A∗ = AT.
Ako je matrica A realna tada je A∗ = AT .Postupak racunanja A∗ zovemo adjungiranje ili hermitsko adjungiranje.Postupak: matrica A i njoj konjugirana matrica A:
A =
[3 + i 12− i −1 + i
]⇒ A =
[3− i 12 + i −1− i
].
Konjugirano-kompleksnu matricu transponiramo:
A =
[3− i 12 + i −1− i
]⇒ A
T=
[3− i 2 + i1 −1− i
].
Matrica A i njoj adjungirana matrica A∗:
A =
[3 + i 12− i −1 + i
]⇒ A∗ =
[3− i 2 + i1 −1− i
].
U sljedecem teremu, (vidi [9]), navest cemo neka svojstva konjugiranih matrica:
Teorem 7 Neka su A,B ∈ Mmn i k ∈ C, tada vrijedi:
1. A+B = A+B
2. kA = k · A
3. A = A
4. AB = A ·B
5. (A)T = AT .
Dokazat cemo samo prvu tvrdnju, ostale se dokazuju na slican nacin.
Dokaz:Matrice cemo zapisati A = [aij], B = [bij] i A+B = [cij], slijedi
cij = aij + bij = aij + bij = A+B.
Tada je A+B = A+B. �
Hermitske matriceU uvodu poglavlja smo spomenuli da simetricne realne matrice mozemo u kompleksnomslucaju poopciti.
35
Definicija 20 Kvadratna matrica A s kompleksnim elementima je hermitska matrica ako je
A = A∗.
Definicija 21 Kazemo da je A ∈ Mn(C) antihermitska ako je A∗ = −A.
Navest cemo jednu matricu, zatim njenu adjungiranu matricu i vidjeti da li je ista kaopocetna matrica.
Primjer 16 Zadana je matrica A, odredi adjungiranu matricu A.
A =
1 i 1 + i−i −5 2− i1− i 2 + i 3
Rjesenje: matricu A prvo konjugiramo, a zatim transponiramo
A =
1 i 1 + i−i −5 2− i1− i 2 + i 3
⇒ A =
1 −i 1− ii −5 2 + i
1 + i 2− i 3
⇒ A∗ =
1 i 1 + i−i −5 2− i1− i 2 + i 3
.
Vidimo da je A = A∗, tj. zadana matrica A je hermitska.
Navest cemo neka svojstva hermitskog adjungiranja matrica koja ce nam trebati kasnije pridokazivanju teorema.
1. (A+B)∗ = A∗ +B∗
2. (kA)∗ = kA∗
3. (A∗)∗ = A
4. (AB)∗ = B∗A∗
Svojstva dokazujemo na sljedeci nacin:
1. (A+B)∗ = (A+B)T = (A+B)T = AT+B
T= A∗ +B∗
2. (kA)∗ = (kA)T = (k A)T = k AT= k A∗
3. (A∗)∗ = (AT)T = ((A)T )T = (AT )T = A
4. (AB)∗ = (AB)T = (AB)T = BTA
T= B∗A∗.
�
Koristeci svojstva hermitskog adjungiranja matrice i definicije hermitske i antihermitskematrice dokazat cemo sljedeci teorem.
36
Teorem 8 Neka je A kvadratna matrica, tada vrijedi:
1. A+ A∗ je hermitska matrica,
2. A− A∗ je antihermitska matrica.
Dokaz:
1. (A+ A∗)∗ = A∗ + (A∗)∗ = A∗ + A = A+ A∗
2. (A− A∗)∗ = A∗ − (A∗)∗ = A∗ − A = −(A− A∗).
�Postoji jedan nacin kako prepoznati hermitsku matricu: na glavnoj dijagonali se nalaze re-alni brojevi, a s obzirom na glavnu dijagonalu elementi koji se nalaze jedan nasuprot drugomsu konjugirano-kompleksni.
Uvjet za hermitsku matricu je: aij = aji. Svaka realna simetricna matrica je hermitska, jerse konjugiranjem realni brojevi ne mijenjaju.
Sljedeca matrica je takoder hermitska:
A =
[2 3− 3i
3 + 3i 5
].
Na glavnoj dijagonali su realni brojevi 2 i 5: znaci da je aii = aii. Konjugirano-kompleksnibrojevi 3 + 3i i 3− 3i se nalaze jedan nasuprot drugom s obzirom na glavnu dijagonalu.Ovaj primjer ce predociti tri vazna pravila (vidi [1]) za hermitske matrice: neka su A ∈ Cn×n
i z ∈ Cn.
1. pravilo : Ako je A = A∗ i z bilo koji vektor, broj z∗Az je realan.
Dokaz: Neka je zadana matrica A, A = A∗ i vektor z.
z∗Az =[z1 z2 . . . zn
]
a11 a12 . . . a1na21 a22 . . . a2n...
......
an1 an2 . . . ann
z1z2...zn
=
=[z1 z2 . . . zn
]
a11z1 + a12z2 + . . .+ a1nzna21z1 + a22z2 + . . .+ a2nzn
...an1z1 + an2z2 + . . .+ annzn
=
= z1(a11z1+a12z2+. . . a1nzn)+z2(a21z1+a22z2+. . .+a2nzn)+. . .+zn(an1z1+an2z2+. . .+annzn) =
= z1z1a11 + . . .+ znznann +n∑
i=1
n∑j=1j =i
zizjaij =
37
= |z1|2a11 + . . .+ |zn|2ann +n∑
i=1
n∑j=1j =i
zizjaij =
=n∑
i=1
|zi|2aii +n∑
i=1
n∑j=i+1
2Re (zizjaij)
�
U nasem primjeru z∗Az je:[z1 z2
] [ 2 3− 3i3 + 3i 5
] [z1z2
]= 2z1z1 + 5z2z2 + (3− 3i)z1z2 + (3 + 3i)z1z2 =
= 2|z1|2 + 5|z2|2 + (3− 3i)z1z2 + (3 + 3i)z1z2.
Mnozenjem dva konjugirano kompleksna broja rezultat je realan broj. Izrazi 2|z1|2 i 5|z2|2 suoba realni zbog mnozenja. Kod preostalih izraza imaginarni dijelovi se poniste kod zbrajanja,tako da je cijeli izraz realan.
2. pravilo : Sve svojstvene vrijednosti hermitske matrice su realne.
Dokaz: Pretpostavimo da je Az = λz. Pomnozimo obje strane sa z∗, dobijamo z∗Az =λz∗z. S lijeve strane, z∗Az je realan po 1.pravilu. S desne strane, z∗z je norma vektora kojaje realna i pozitivna. Tako je omjer λ = z∗Az
z∗zrealan broj. �
Provjerimo na navedenom primjeru:Karakteristicna jednadzba det(λI − A) = 0 je
det(λI − A) =
∣∣∣∣ λ− 2 −3 + 3i−3− 3i λ− 5
∣∣∣∣ = (λ− 2)(λ− 5)− (−3− 3i)(−3 + 3i) =
= λ2 − 5λ− 2λ+ 10− 18 = λ2 − 7λ− 8 = 0.
Rjesavanjem jednadzbe vidimo da ima svojstvene vrijednosti λ1 = 8 i λ2 = −1.
3. pravilo : Svojstveni vektori hermitske matrice koji pripadaju razlicitim svojstvenimvrijednostima su ortogonalni, tj. ako je Az = λz i Ay = µy tada je yT z = 0.
Dokaz: Upotrijebit cemo svojstva konjugiranih i transponiranih matrica. Neka je Az = λzi Ay = µy:
Az = λz Ay = µy
Az = λz (Ay)T = (µy)T
A z = λ z yTAT = yTµ
Pomnozimo A z = λ z s lijeve strane s yT .Pomnozimo yTAT = yTµT s desne strane sa z:
yTA z = λyT z yTAT z = yTµz.
38
Lijeve strane su jednake jer je iz A∗ = A transponiranjem dobijemo A = AT . Zbog toga sudesne strane jednake. Kako je µ razlicito od λ, drugi faktor yT z mora biti 0. �
Provjerimo na navedenom primjeru:Svojstveni vektori su ortogonalni, kao u primjeru s λ1 = 8 i λ2 = −1:
(8I − A)z =
[6 −3 + 3i
−3− 3i 3
] [z1z2
]=
[00
]i z =
[1
1 + i
]
(−I − A)y =
[−3 −3 + 3i
−3− 3i −6
] [y1y2
]=
[00
]i y =
[i− 11
].
Racunamo yT z = 0 sa svojstvenim vektorima y i z:
yT z =[i− 1 1
] [ 11− i
]= i− 1 + 1− i = 0.
Pokazali smo da jesu ortogonalni svojstveni vektori.
Unitarne matricePodsjetimo se da je matrica s realnim elementima ortonormalna ako je A−1 = AT .Na pocetku poglavlja smo rekli da je ortonormalnoj matrici analogna unitarna matrica:
Definicija 22 Kvadratna matrica A s kompleksnim elementima je unitarna matrica ako je
A−1 = A∗,
tj. AA∗ = A∗A = I.
Navest cemo jednu matricu, njene vektor-retke, njihovu normu i euklidski skalarni produktredaka i pokazati da je ta matrica unitarna.
Primjer 17 Zadana je matrica A, ispisi vektor-retke, normu i euklidski skalarni produktredaka.
A =
[1+i2
1+i2
1−i2
−1+i2
]Rjesenje: Vektor-redci su a1 i a2;
a1 =
(1 + i
2,1 + i
2
), a2 =
(1− i
2,−1 + i
2
).
Norme vektor-redaka;
∥a1∥ =
√∣∣∣∣1 + i
2
∣∣∣∣2 + ∣∣∣∣1 + i
2
∣∣∣∣2 =√
1
2+
1
2=
√1 = 1,
∥a2∥ =
√∣∣∣∣1− i
2
∣∣∣∣2 + ∣∣∣∣−1 + i
2
∣∣∣∣2 =√
1
2+
1
2=
√1 = 1.
39
Euklidski skalarni produkt u Cn;
⟨a1|a2⟩ =(1 + i
2
)(1− i
2
)+
(1 + i
2
)(−1 + i
2
)=
=
(1 + i
2
)(1 + i
2
)+
(1 + i
2
)(−1− i
2
)=
=i
2− i
2= 0.
Po definiciji a1 je ortogonalan na a2 ako i samo ako je ⟨a1 |a2⟩ = 0. Pokazali smo da suvektor-retci ortogonalni i da je matrica A unitarna.Navest cemo neka svojstva unitarne matrice.1. svojstvo : A je unitarna ako i samo ako je A∗ unitarna.Dokaz: U izraz AA∗ = A∗A = I umjesto A uvrstimo A∗, slijedi:
A∗(A∗)∗ = (A∗)∗A∗ = A∗A = AA∗ = I.
�2. svojstvo : Umnozak AB unitarnih matrica je takoder unitarna matrica.Dokaz: U izraz AA∗ = A∗A = I uvrstimo umnozak AB:
(AB)(AB)∗ = (AB)(B∗A∗) = A(BB∗)A∗ = AIA∗ = AA∗ = I.
�3. svojstvo : Ako je A unitarna tada je A−1 unitarna.Dokaz: Zadano je da A je unitarna, po definiciji je A∗ = A−1. U 1. svojstvu smo dokazali daA∗ je unitarna pa slijedi da je i A−1 unitarna. �
Normalne matriceIz Lipshutz, Linear Algebra [9], navedimo definiciju normalne matrice.
Definicija 23 Matrica A je normalna ako je realna i vrijedi
AAT = ATA
ili matrica A je normalna ako je kompleksna i vrijedi
AA∗ = A∗A.
Tako da realne matrice koje su simetricne, antisimetricne ili ortonormalne i kompleksnematrice koje su hermitske, antihermitske ili unitarne cine specijalne slucajeve normalnihmatrica.
Primjer 18 Zadana je realna matrica A, provjeri da li je A normalna matrica.
A =
[2 53 −1
]
40
Rjesenje: Izracunat cemo AAT i ATA i vidjeti da li su umnosci jednaki.
AAT =
[2 53 −1
] [2 35 −1
]=
[29 11 10
]
ATA =
[2 35 −1
] [2 53 −1
]=
[13 77 26
]AAT = ATA, matrica A nije normalna matrica.
Primjer 19 Zadana je kompleksna matrica A, provjeri da li je A normalna matrica.
A =
[2 + 3i 1
i 1 + 2i
]Rjesenje: Izracunat cemo AA∗ i A∗A i vidjeti da li su umnosci jednaki.
AA∗ =
[2 + 3i 1
i 1 + 2i
] [2− 3i −i
1 1− 2i
]=
[14 4− 4i
4 + 4i 6
]
A∗A =
[2− 3i −i
1 1− 2i
] [2 + 3i 1−i 1 + 2i
]=
[14 4− 4i
4 + 4i 6
]AA∗ = A∗A, matrica A je normalna matrica.
Na kraju je pregled nekih slicnih i razlicitih oznaka, pojmova, naziva i formula izmedu realnihi kompleksnih matrica i vektora.
REALNO nasuprot KOMPLEKSNOM
Rn: vektori s n realnih elemenata ↔ Cn: vektori s n kompleksnih elemenata
norma: ∥u∥ =√
u21 + · · ·+ u2
n ↔ norma: ∥z∥ =√|z1|2 + · · ·+ |zn|2
AT =[aTij
], aTij = aji ↔ A∗ =
[a∗ij
], a∗ij = aji
simetricna matrica: A = AT ↔ hermitska matrica: A = A∗
antisimetricna matrica: AT = −A ↔ antihermitska matrica: A∗ = −A
ortonormalna matrica: AT = A−1 ↔ unitarna matrica: A∗ = A−1
41
Bibliografija
[1] H.Anton, C.Rorres: Elementary Linear Algebra, Library of Congress Cataloging-in-Publication Data, Sons, Danvers, 2000.
[2] D.Butkovic: Kompleksni konacno-dimenzionalni vektorski prostori, Osijek, 2007.
[3] D.Butkovic: Predavanja iz linearne algebre, Osijek, 2008.
[4] N. Elezovic: Linearna algebra, Zagreb, 1995.
[5] K.Horvatic: Linearna algebra 1, Zagreb, 1999.
[6] K.Horvatic: Linearna algebra 2, Zagreb, 1999.
[7] K.Horvatic: Linearna algebra 3, Zagreb, 1999.
[8] D. Jukic, R. Scitovski: Matematika I, Osijek, 2000.
[9] S. Lipshutz: Linear algebra, 3000 solved problems, Temple university, 1989.
[10] S. Lipshutz: Linear algebra, 2nd Edition, Temple university, 1989.
[11] L.Neralic, B. Sego: Matematika, Element, Zagreb, 2009.
[12] G. Strang: Introduction to Linear Algebra 3rd Edition, Wellesley-Cambridge Press,Cambridge, 2003.
42
Sazetak
U diplomskom radu obradeni su kompleksni vektori i matrice.U prvom poglavlju se nalazi nadogradnja skupova brojeva od prirodnih do kompleksnih.Opisana je potreba za konstantnim prosirivanjem skupova brojeva do kompleksnih brojevakojima je posvecen veci dio prvog poglavlja. Opisane su operacije s kompleksnim brojevima.
Drugo poglavlje sadrzi osnovna svojstva i definicije o vektorima. Od vektora u ravnini i pros-toru do vektora u n-dimenzionalnom prostoru. Navedene su i operacije s vektorima. Zatimsu definirani skalarni produkt i norma vektora koje cemo definirati i u cetvrtom poglavljuda pokazmo razliku izmedu realnih i kompleksnih vektora.
U trecem poglavlju opisane su neke realne matrice, njihova svojstva i operacije s matricama.Opisane su i vrste matrica, npr. simetricne i ortonormalne koje cemo u cetvrtom poglavljupoopciti na kompleksnim matricama.
U cetvrtom poglavlju su opisani kompleksni vektori i matrice, te potreba za kompleksnimvektorima i matricama. Definiraju se svojstvene vrijednosti i svojstveni vektor. Opisane suneke vrste kompleksnih matrica: hermitske, unitarne i normalne. Na kraju diplomskog radase nalaze neke slicnosti i razlike realnih i kompleksnih vektora i matrica.
43
Complex vectors and matricesSummary
In this thesis, complex vectors and matrices, are reviewed.In chapter one, we follow the development from set of natural numbers to set of complexnumbers. Constant need for expansion of sets of numbers is described. Operations withcomplex numbers are described.
In chapter two, there are basic properties and definitions of vectors, from vectors in plainand spaces, to vectors in n-dimensional space. The operations with vectors are introduced.After that, we define inner product and norm. In chapter four we will show the differencebetween real and complex vectors.
In chapter three, real matrices are described, as well as their properties and the operationswith matrices. Some types of real matrices, such as symmetric and orthonormal, which wewill use in chapter four for generalization of complex matrices, are described.
In chapter four, complex vectors and matrices are described, as well as the need for theiruse. Also, eigenvalues and eigenvectors are defined. Some types of complex matrices aredescribed , such as Hermitian matrices, unitary matrices, normal matrices.In the end of thesis, similarities and differences between real and complex vectors and ma-trices are stated.
44
Zivotopis
Rodena sam 26.09.1975. u Osijeku.Prvih pet razreda osnovne skole zavrsila sam u Osijeku, O.S. Bratstvo i jedinstvo. Nakonpreseljenja u Cepin nastavljam skolovanje u O.S. Vladimir Nazor u Cepinu i osnovnu skoluzavrsavam 1990. godine. Maturirala sam u Matematickoj gimnaziji u Osijeku 1994. godine.Nakon gimnazije nastavljam skolovanje na Pedagoskom fakultetu, Sveuciliste Josipa JurjaStrossmayera u Osijeku, smjer matematika-informatika. Preustrojem Pedagoskog fakulteta,prelazim na Odjel za matematiku.
45
