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Dise˜ no de controladores en el dominio frecuencial D. Lim´on, F. Cuesta, F. Salas, C. Vivas T. ´ Alamo y M. P´ erez de la Parte Departamento de Ingenier´ ıa de Sistemas y Autom´atica Universidad de Sevilla 1

Disen˜o de controladores en el dominio frecuencial€¦ · 2 Disen˜o frecuencial de controladores 5 ... 2.5 Ajuste de un PID mediante el m´etodo de Ziegler-Nichols . . . .

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  • Diseno de controladores

    en el dominio frecuencial

    D. Limon, F. Cuesta, F. Salas, C. Vivas

    T. Alamo y M. Perez de la Parte

    Departamento de Ingeniera de Sistemas y Automatica

    Universidad de Sevilla

    1

  • Contents

    1 Acciones basicas de control 1

    1.1 Un servomecanismo de posicion angular. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1

    1.2 Accion proporcional: el controlador P. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1

    1.3 Accion proporcional mas derivativa: el controlador PD. . . . . . . . . . . . 2

    1.4 Accion proporcional mas integral: el controlador PI. . . . . . . . . . . . . . 3

    2 Diseno frecuencial de controladores 5

    2.1 Ajuste de un controlador P . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6

    2.2 Ajuste de un controlador PD . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7

    2.3 Ajuste de un controlador PI . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12

    2.4 Ajuste de un controlador PID . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15

    2.5 Ajuste de un PID mediante el metodo de Ziegler-Nichols . . . . . . . . . . . 18

    2.5.1 Metodo de Ziegler-Nichols en bucle abierto . . . . . . . . . . . . . . 19

    2.5.2 Metodo de Ziegler-Nichols en bucle cerrado . . . . . . . . . . . . . . 20

    3 Diseno frecuencial de redes de compensacion 21

    3.1 Diseno de una red de avance de fase . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21

    3.2 Diseno de una red de retardo de fase . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25

    3.3 Diseno de una red de compensacion mixta . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28

    3.3.1 Diseno con coeficientes 1 y 2 distintos . . . . . . . . . . . . . . . 29

    3.3.2 Diseno con coeficientes 1 y 2 iguales . . . . . . . . . . . . . . . . 31

    2

  • 1 Acciones basicas de control

    En esta seccion se pretende ilustrar mediante un servomecanismo (o sistema de controlde posicion) el efecto de las acciones basicas a tomar a la hora de controlar un sistema.De una forma intuitiva se muestra el comportamiento del sistema ante las leyes de controlbasicas: proporcional, derivativa e integral. Asimismo, se extraen conclusiones que sepueden generalizar a un amplio abanico de sistemas. En la seccion siguiente se mostrarade una forma mas rigurosa el efecto de dichas acciones y se mostrara la generalidad de losresultados obtenidos.

    1.1 Un servomecanismo de posicion angular.

    Un ejemplo clasico para explicar las acciones basicas de control es el servomecanismo deposicion angular, cuyo esquema se muestra en la figura 1. Se pretende posicionar un ejeasociado al eje de un motor, que es solidario con una inercia J y una friccion viscosa f . Sise supone que el par motor es proporcional a la senal electrica u(t), la salida del sistemaviene dada por

    Jd2y(t)

    dt2+ f

    dy(t)

    dt= u(t) (1)

    donde y(t) es el angulo de giro y constituye la senal a controlar (o variable controlada).

    C(s)r(t)

    e(t) u(t)

    Amplif

    y(t)J

    f

    y(t)

    + -

    Figure 1: Servomecanismo de posicion angular.

    1.2 Accion proporcional: el controlador P.

    Un controlador proporcional calcula una actuacion proporcional al error en cada instante,es decir, u(t) = Ke(t). La respuesta ante un escalon de un servomecanismo realimen-tado unitariamente y controlado con un controlador proporcional u(t) = K1e(t), K1 > 0,se puede observar en la figura 2. En esta figura se muestra como al variar la referen-cia, aparece un aumento del error, lo cual provoca un aumento de la actuacion. Comoconsecuencia de ello la posicion se aproxima a la referencia disminuyendo el error y asla actuacion tambien disminuye. Cuando la posicion alcanza la referencia, el error seanula y no se aplica par sobre la carga. Sin embargo, la inercia de esta impulsa al sis-tema sobrepasando la referencia, haciendose el error negativo. En este caso se aplicara

    1

  • un par negativo que frena el sistema llevandolo hacia la referencia. Este proceso se repitesucesivamente provocandose una oscilacion del sistema.

    Si se desea hacer el sistema mas rapido, la forma de conseguirlo es actuar de una formamas energica para un error determinado, es decir, aumentar la ganancia. En la figura 2se muestra en trazo grueso la evolucion del sistema realimentado con una ganancia mayor(u(t) = K2e(t), K2 > K1). Como se puede observar, el sistema se hace mas rapido acosta de un comportamiento mas oscilante.

    Por lo tanto un controlador P puede no ser suficiente para regular satisfactoriamenteel sistema, por lo que tradicionalmente se recurre a la inclusion de la accion derivativa, dela accion integral o de ambas.

    0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 100

    1

    2

    r(t)

    , y(

    t)

    0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 101

    0

    1

    e(t)

    0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 102

    0

    2

    de(t

    )/dt

    0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 1010

    0

    10

    t

    u(t)

    Figure 2: Control P de un servomecanismo para K1 en trazo fino y K2 > K1 en trazogrueso.

    1.3 Accion proporcional mas derivativa: el controlador PD.

    La senal de control es la suma de un termino proporcional al error entre la referencia r(t)y la variable controlada, y otro termino proporcional a la derivada del error

    u(t) = K

    (

    e(t) + Tdde(t)

    dt

    )

    = Ke(t) + Kdde(t)

    dt(2)

    Aplicada al sistema cuya dinamica viene descrita por la ecuacion (1) se obtiene

    Jd2y(t)

    dt2+ f

    dy(t)

    dt= Ke(t) + Kd

    de(t)

    dt(3)

    2

  • y como el error e(t) = r(t) y(t) la ecuacion que describe la dinamica en bucle cerrado es

    Jd2y(t)

    dt2+ (f + Kd)

    dy(t)

    dt+ Ky(t) = Kr(t) + Kd

    dr(t)

    dt(4)

    La interpretacion cualitativa del efecto de esta accion derivativa es que la accion cor-rectora se aplica antes de que la variable controlada alcance la referencia. En la figura 3se muestra la evolucion de un servomencanismo con un controlador PD. En esta se ob-serva como la actuacion se hace negativa antes de que la posicion alcance la referencia,por lo el controlador se anticipa a la superacion de la referencia frenando la carga. Esteefecto anticipativo proporciona respuestas con menor sobreoscilacion. Por otra parte, enla ecuacion (4) se puede observar que la friccion del sistema original se ve aumentada conKd, y la parte derecha de la ecuacion depende de la referencia y de su derivada, lo quegenera respuestas mas rapidas con menor tiempo de subida. En la figura 3 se representael mismo servomecanismo del controlador proporcional con la mayor de las ganancias.Como se puede observar comparando las figuras 2 y 3, la respuesta es mucho mas rapiday ademas presenta una menor sobreoscilacion.

    0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 40

    0.5

    1

    1.5

    r(t)

    , y(t

    )

    0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 40.5

    0

    0.5

    1

    e(t)

    0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 45

    0

    5

    de(t

    )/dt

    0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 450

    0

    50

    100

    u(t)

    Figure 3: Efecto de la accion derivativa sobre un servomecanismo.

    1.4 Accion proporcional mas integral: el controlador PI.

    La senal de control es la suma de un termino proporcional y otro integral, y su expresiongenerica es

    u(t) = Ke(t) + Ki

    t

    0

    e(t)dt (5)

    Supongamos que estando el sistema en regimen permanente (estacionario) aparece

    3

  • una perturbacion sobre el sistema en forma de par Pe en el eje de salida. Dicho pargenera un error de seguimiento que el sistema intentara compensar aplicando un parmayor creciente con el tiempo. Si la accion fuese unicamente proporcional se alcanzarael equilibrio cuando el par generado fuese igual a Pe. En la figura 4 se puede observar laevolucion del servomecanismo controlado por un controlador P de la figura 2 cuando ent = 10 s aparece un par de perturbacion. Como se puede observar, el sistema alcanza unregimen permanente con un error.

    0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 200

    1

    2

    r(t)

    , y(t

    )

    0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 201

    0

    1

    e(t)

    0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 205

    0

    5

    Inte

    gral

    de

    e(t)

    0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 2010

    0

    10

    u(t)

    Figure 4: Evolucion de un servomecanismo .

    Si se anade un termino integral al controlador, se obtiene un controlador PI. En estecaso la ecuacion del sistema sera

    Jd2y(t)

    dt2+ f

    dy(t)

    dt+ Pe = Ke(t) + Ki

    t

    0

    e(t)dt (6)

    y sustituyendo y en funcion del error, la ecuacion del sistema en bucle cerrado es

    Jd2r(t)

    dt2+ f

    dr(t)

    dt+ Pe = J

    d2e(t)

    dt2+ f

    de(t)

    dt+ Ke(t) + Ki

    t

    0

    e(t)dt (7)

    Como estamos estudiando el caso de regimen permanente (d2e(t)dt2

    = de(t)dt

    = 0) y entrada

    escalon (d2r(t)dt2

    = dr(t)dt

    = 0), la ecuacion se reduce a

    Pe = Kerp + Ki

    0

    e(t)dt (8)

    Si Pe es un par finito, el error en regimen permanente en posicion eprp1 debe ser nulo para

    1En este texto ep se usa para referirse al error en posicion, ev al error en velocidad y ea al error en

    aceleracion

    4

  • que se satisfaga la ecuacion (8). Por lo tanto el sistema reacciona eliminando el error enregimen permanente.

    En la figura 5 se muestra el mismo servomecanismo de la figura 4 pero controlado conun PI. Como se puede obsevar, en t = 10 s aparece un par de perturbacion, cuyo efectosobre el error desaparece en regimen permanente gracias al efecto integral. Observesecomo en la figura 4 la integral del error diverge, mientras que en la figura 5 la integral delerror se hace finita.

    0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 200

    1

    2

    r(t)

    , y(t

    )

    0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 201

    0

    1

    e(t)

    0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 202

    1

    0

    1

    Inte

    gral

    de

    e(t)

    0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 2010

    0

    10

    20

    u(t)

    Figure 5: Efecto de la accion integral sobre un servomecanismo con un par de perturbacionen t = 10 s.

    2 Diseno frecuencial de controladores

    La teora clasica de control se basa en el analisis frecuencial de los sistemas dinamicos. Poranalisis frecuencial se entiende al estudio del comportamiento del sistema ante cualquierentrada, a partir de su comportamiento ante senales sinusoidales, caracterizada por lafuncion G(j). Estos metodos de analisis se suelen basar en representaciones graficas,tales como el diagrama de Bode.

    En temas anteriores se mostro la relacion de la forma del diagrama de Bode de unsistema con su respuesta en bucle cerrado es aspectos tales como errores en regimen per-manente, rechazo a perturbaciones, sobreoscilacion o tiempo de subida. As pues unasdeterminadas especificaciones del comportamiento de un sistema controlado se traducenen una cierta forma de la funcion de transferencia en bucle abierto.

    El diseno frecuencial de un controlador consiste pues en determinar su funcion detransferencia C(s) para que el sistema en bucle abierto C(s)G(s) tenga la forma deseada,

    5

  • y as cumplir las especificaciones impuestas.

    La tarea de diseno de un controlador es una tarea compleja y se suele simplificarconsiderando cierto tipo de sistemas. As, en las tecnicas de diseno que se presentan acontinuacion se considera que el sistema a controlar (o planta) es un sistema estable y defase mnima o un sistema estable y de fase mnima con un integrador.

    A continuacion se muestra el ajuste de los distintos tipos de controladores: P, PD, PIy PID. A lo largo de este tema el sistema a controlar o planta vendra dado por G(s), elcontrolador por C(s) y el sistema en bucle abierto Gba(s) = C(s)G(s).

    2.1 Ajuste de un controlador P

    El controlador proporcional, o controlador P, responde a una ley de control

    u(t) = Kce(t)

    generando una actuacion proporcional al error. La funcion de transferencia del controladores

    C(s) = Kc

    es decir, una ganancia pura. Por tanto, el efecto de dicha ganancia sobre el sistema seproduce sobre el modulo, no alterando la fase. Si la ganancia Kc > 1 el controladoraumenta el modulo y si por el contrario Kc < 1, entonces el modulo disminuye.

    El aumento del modulo del sistema (Kc > 1) produce la reduccion del error en regimenpermanente as como la mejora del rechazo ante perturbaciones. De hecho, la especificacionsobre el regimen permanente suele imponer un lmite inferior a la ganancia de Bode delsistema en bucle abierto, y en consecuencia, sobre la ganancia del controlador Kc. Sinembargo, como es bien sabido, para la mayora de los sistemas considerados al aumentarla ganancia el sistema aumenta la frecuencia de corte c, aproximandose a la frecuencia decorte con 180o, 180 (vease la figura 6). Por tanto el ancho de banda del sistema aumenta,haciendose mas rapida la respuesta en bucle cerrado, pero reduciendose generalmente elmargen de fase Mf , y por lo tanto aumentando la sobreoscilacion de la respuesta. Dehecho, para valores de Kc mayores que el margen de ganancia Mg, la frecuencia de cortec > 180 y los margenes de estabilidad se hacen negativos, por lo que el sistema se vuelveinestable.

    Como se puede observar en la figura 6, la reduccion del modulo (Kc < 1) tiene el efectocontrario a lo anteriormente expuesto, de forma que generalmente aumenta el margen defase y se reduce la frecuencia de corte.

    Por tanto, en el ajuste de un controlador P existe un compromiso entre regimen per-manente y transitorio, pues la mejora de uno empeora el otro. No es habitual que con unsimple controlador P se puedan satisfacer las especificaciones impuestas sobre el sistemade contro, por lo que se suele recurrir a otro tipo de controladores como PD, PI o PID.

    6

  • 101

    100

    101

    102

    120

    100

    80

    60

    40

    20

    0

    20

    40Mdulo asinttico

    (rad/s)

    dBK

    c=K

    c*

    Kc>K

    c*

    Kc K

    c (lnea a trozos) y Kc < K

    c (lnea de puntos y rayas)

    2.2 Ajuste de un controlador PD

    El controlador proporcional derivativo, o controlador PD, responde a una ley de control

    u(t) = Kc(

    e(t) + Tdd e(t)

    d t

    )

    generando una actuacion proporcional al error y a su derivada. Los parametros del con-trolador son dos: la ganancia del controlador Kc y el denominado tiempo derivativo Td.La funcion de transferencia del controlador es

    C(s) = Kc(1 + Tds)

    En la figura 2.2 se muestra el diagrama de Bode del controlador. Como se puede ver,el controlador afecta tanto al modulo como a la fase del sistema en bucle abierto. Laganancia de controlador Kc traslada el modulo, generalmente aumentandolo. El efecto delcero produce un aumento del modulo a frecuencias mayores de 1

    Tdrad/s con una pendiente

    de 20dB/dec. Ademas la fase aumenta para toda frecuencia de 0o a 90o, de forma quepara frecuencias superiores a 1

    Tdrad/s, el aumento de la fase sera superior a 45o.

    En general, para disenar un controlador PD lo primero que se hace es determinarel mnimo valor que debe tomar la ganancia del controlador Kc para que se satisfaga laespecificacion en regimen permanente. A continuacion se toma Kc como este valor mnimoy se representa el diagrama de Bode de KcG(s), siendo G(s) la funcion de transferenciadel sistema. En lo que sigue se denota c y Mf a la fracuencia de corte y margen de fasemedido de KcG(s) y c y M f a los del sistema en bucle abierto C(s)G(s). Una vez hecho

    7

  • Mdulo asinttico

    (rad/s)

    dB

    0

    15

    30

    45

    60

    75

    90Fase

    grad

    os

    1/Td

    Kc

    20 dB/dec

    Figure 7: Diagrama de Bode asintotico de un controlador PD.

    esto, se determina el valor del tiempo derivativo Td para que se cumplan (si es posible)las especificaciones del comportamiento del sistema (en su aproximacion frecuencial deMargen de fase mnimo y/o frecuencia de corte mnima). Este valor se puede tomar dedos formas:

    1Td

    < c: en este caso el efecto del aumento de magnitud producida por el cero delcontrolador es un aumento en la frecuencia de corte del sistema en bucle abierto(c), frente a la del sistema anadiendo la ganancia del controlador Kc, (c). Enconsecuencia, el sistema se hace mas rapido.Ademas, la fase del sistema se incrementara por encima de 45o para frecuenciassuperiores al cero, lo que habitualmente se traduce en un aumento del margen defase Mf y por lo tanto en un comportamiento en bucle cerrado menos sobreoscilante.En la figura 2.2 se puede ver el diagrama de Bode de KcG(s) en trazo fino y como elbode del sistema en bucle abierto (trazo grueso) se modifica por la accion del cero.Es importante observar que el aumento de la frecuencia de corte suele hacer que lafase a la frecuencia de corte disminuya y por lo tanto el incremento de margen defase no sea el esperado al disenar el controlador PD. En efecto, el margen de fase delsistema en bucle abierto sera

    M f = 180 + 6 G(jc) + 6 C(j

    c) = 180 + 6 G(jc)

    Mf

    +6 C(jc) + 6 G(jc) 6 G(jc)

  • 120

    100

    80

    60

    40

    20

    0

    20

    40

    60Mdulo asinttico

    (rad/s)

    dB

    270

    225

    180

    135

    90

    45

    0Fase

    grad

    os

    1/Td

    c

    Figure 8: Diagrama de Bode asintotico de KcG(s) y de Gba(s) = C(s)G(s) con 1/Td < c.

    fase que se puede lograr es de 45o.En la figura 2.2 se muestra el diagrama de Bode de KcG(s) y Gba(s) en este caso.Se muestra como en efecto la frecuencia de corte no vara y el aumento de margende fase es inferior a 45o.

    En consecuencia, el tiempo derivativo Td se suele tomar de forma que1Td

    < c paraconseguir un mejor comportamiento en cuanto a rapidez y sobreoscilacion. As, cabrapensar que cuanto mayor sea Td mejor comportamiento se obtendra.Sin embargo, el controlador PD presenta un problema: si el sistema presenta un ruidode alta frecuencia (lo cual es frecuente y generalmente ruido electrico introducido por loselementos de medida), el controlador amplifica dichos ruidos produciendo una senal decontrol u(t) con un ruido apreciable superpuesto de alta frecuencia. Si bien este ruidoafecta poco a la salida del sistema, hace que el actuador se comporte con oscilaciones dealta frecuencia, muy nocivas para su funcionamiento. Observese que cuanto mayor sea Tdmayor sera la amplificacion que experimenta una senal de una determinada frecuencia.Por tanto a la hora de elegir Td se lo suficientemente grande como para que

    1Td

    < c, perono mucho para no amplificar demasiado los ruidos. Una regla practica consiste en tomarlo

    1

    Td[

    c10

    , c

    ]

    es decir, de forma que el cero no este a mas de media decada de c.

    El efecto de la amplificacion del ruido y la imposibilidad de su implementacion porser un sistema no causal (el orden del numerador de C(s) es superior al del denominador)hacen que el PD no se utilice en la practica. Mas adelante se mostrara un controlador queconsigue el efecto de un PD solventando los problemas que este presenta: la red de avancede fase.

    9

  • 120

    100

    80

    60

    40

    20

    0

    20

    40

    60Mdulo asinttico

    (rad/s)

    dB

    270

    225

    180

    135

    90

    45

    0Fase

    grad

    os

    1/Td

    c

    Figure 9: Diagrama de Bode asintotico de KcG(s) y de Gba(s) = C(s)Gs) con1/Td c.

    Ejemplo 1-

    Dado el sistema de fase mnima crticamente amortiguado de la figura determinar sufuncion de transferencia y los margenes de fase y ganancia del sistema realimentado sincontrolador (K = 1). A continuacion, disenar un controlador PD tal que la respuesta enbucle cerrado presente un error en regimen permanente ante entrada en escalon del 1% yla frecuencia de corte c del sistema controlado sea de 2 rad/s.

    Solucion:

    El diagrama de Bode de la figura corresponde a un sistema descrito por una funcionde transferencia de Laplace de la forma

    G(s) =10

    (10s + 1)2

    y sus magenes de fase y ganancia se calculan segun

    Mf = 180o + 6 G(jg) = 40o

    |G(jg)|dB = 0 dBMG = |G(jp)|dB = 6 G(jp) = 180

    o

    La funcion de transferencia de la cadena directa es

    GBA(s) =10Kp(1 + Tds)

    (10s + 1)2

    10

  • 103

    102

    101

    100

    101

    80

    60

    40

    20

    0

    20

    40

    (rad/s)

    dB

    103

    102

    101

    100

    101

    200

    150

    100

    50

    0

    grad

    os

    Figure 10: Diagrama de Bode del sistema propuesto en el ejemplo 1.

    por lo que el error en regimen permanente ante entrada en escalon ha de cumplir lasiguiente igualdad, de la que se obtiene el valor de la ganancia Kp

    erp =1

    1 + GBA(0)=

    1

    1 + 10Kp= 0.01

    Kp = 9.9 = 20 dB

    Para asignar el valor apropiado a Td, se ha de tener en cuenta que a la frecuencia = 1

    Tdse va a aumentar la pendiente de |GBA(j)|dB en 20 dB/dec, por lo que el punto

    ( |GBA(j)|dB , log10()) del diagrama de Bode ha de pertenecer a las dos rectas siguientes

    |GBA(j)|dB = 40(log10() log10(1))|GBA(j)|dB = 20(log10() log10(c))

    Resolviendo el sistema

    =1

    Td= 0.5 = Td = 2 s

    -

    11

  • Figure 11: Modulo del sistema con PD del ejercicio 1.

    2.3 Ajuste de un controlador PI

    El controlador proporcional integral, o controlador PI, responde a una ley de control

    u(t) = Kc(

    e(t) +1

    Ti

    t

    0e()d

    )

    generando una actuacion proporcional al error y al error acumulado. Los parametros delcontrolador son dos: la ganancia del controlador Kc y el denominado tiempo integral Ti.La funcion de transferencia del controlador es

    C(s) = Kc(1 +1

    Tis) = Kc(

    1 + TisTis

    )

    En la figura 2.3 se muestra el diagrama de Bode de un controlador PI. Como se puedeobservar, el controlador gracias a su efecto integral presenta una alta ganancia en frecuen-cias inferiores a 1/Ti. Para frecuencias superiores, el efecto integral desaparece debido alcero, tendiendo el modulo a la ganancia del controlador Kc. Por lo tanto, el controladorproduce una mejora en la respuesta en regimen permanente del sistema en bucle cerradoas como el rechazo de perturbaciones. Observese que el controlador es de tipo 1, por loque aumenta el tipo del sistema en bucle abierto en una unidad, lo cual reduce el error enregimen permanente.Sin embargo, la fase del sistema es negativa evolucionando de -90o a 0o, lo que producirauna bajada de fase del sistema en bucle abierto y por lo tanto se reducira el margen de faseMf . En consecuencia, el comportamiento del sistema se hace mas oscilante pudiendosealcanzar incluso la inestabilidad.

    El controlador PI es adecuado pues para controlar sistemas en los que se requiera unamejora del regimen permanente. Es especialmente indicado cuando las especificacionesdel sistema requieren un aumento del tipo del sistema: supongase por ejemplo un sistemade tipo cero (es decir, sin integradores) que se pretende controlar de forma que el error enregimen permanente en posicion sea nulo y en velocidad inferior al 1%.

    Por otro lado, dado que el controlador reduce la fase del sistema, se suele elegir eltiempo integral Ti de forma que 1/Ti sea inferior a la frecuencia de corte c con el fin de

    12

  • Mdulo asinttico

    (rad/s)

    dB

    90

    75

    60

    45

    30

    15

    0Fase

    grad

    os

    1/Ti

    Kc

    20 dB/dec

    Figure 12: Diagrama de Bode asintotico de un controlador PI.

    reducir la cada de fase. Esta cada es tanto menor cuanto mas alejado se encuentra el cero1/Ti de la frecuencia de corte y por lo tanto, parece razonable elegir un Ti tal que 1/Tisea mucho menor que c. Sin embargo, se puede demostrar que el sistema bucle cerradopresentara un polo real de constante de tiempo Ti aproximadamente. Este polo induce uncomportamiento muy lento del sistema que se pone de manifiesto en la ultima parte deltransitorio, cuando el sistema se estabiliza tendiendo a la referencia. Por lo tanto, con elobjeto de no hacer la respuesta del sistema en bucle cerrado demasiado lenta, el tiempointegral no se toma demasiado grande. Una regla practica aconseja tomar el cero (1/Ti)entre una decada y decada y media a la izquierda de la frecuencia de corte c, es decir,

    1

    Ti[

    c

    10

    10,c10

    ]

    En el diseno de un controlador PI pueden aparecer dos casos:

    1. Las especificaciones del sistema en bucle cerrado determinan la ganancia de Bodedel controlador. Por ejemplo, considerese el sistema

    G(s) =1

    (0.1s + 1)(0.05s + 1)(s + 1)

    que se desea controlar de forma que el error en velocidad sea inferior a 0.1.Dado que el sistema a controlar es de tipo 0 y que el controlador PI anade unintegrador, el sistema compensado (es decir, el sistema con el controlador en bucleabierto) es de tipo 1 por lo que el error en velocidad esta acotado. El valor de laconstante de error en velocidad Kv es

    Kv = lims0

    sG(s)CPI(s) = 1KcTi

    13

  • que es proporcional a la ganancia de Bode del controlador que es Kc/Ti.

    La especificacion en regimen permanente require que Kv 10 y por lo tanto Kc/Ti 10.

    Con este ejemplo se ilustra el hecho de que la especificacion en regimen permaneneintroduce una condicion que relaciona los dos parametros del controlador Kc y Ti,por lo que no son parametros independientes que se pueden fijar de forma separada.

    Esto hace complicado establecer un procedimiento sencillo para el diseno frecuencialdel PI. As, quiza la forma mas sencilla sera la siguiente:

    Expresar el controlador en forma de Bode C(s) = K (1+Tis)s

    , donde K = Kc/Ti.

    Tomar como valor de la ganancia K el mnimo valor tal que se cumplen lasespecificaciones.

    Trazar el diagrama de Bode del sistema modificado G(s) = K G(s)s

    .

    Disenar el controlador modificado C (s) = (1 + Tis), que resulta ser un PD,para el sistema modificado G(s), obteniendose un valor de Ti.

    Calcular la ganancia del PI, Kc = KTi.

    Para el ejemplo anterior la ganancia a tomar sera K = 10 y el sistema modificadosera

    G(s) =10

    s(0.1s + 1)(0.05s + 1)(s + 1)

    Este sistema se puede controlar fijando el cero del PD en la frecuencia de cortec = 3 rad/s; esto equivale a tomar un valor de Ti = 0.33. As, la ganancia del PIsera Kc = 100.33 = 3.3.

    2. La ganancia de Bode del controlador no esta fijada. En este caso, este grado delibertad permite que el controlador PI se puede disenar para mejorar tambien eltransitorio del sistema. Esto puede ocurrir por ejemplo

    Cuando la especificacion en regimen permanente no requiere subir el tipo delsistema en bucle abierto, pero s una alta ganancia del controlador. Esta altaganancia hace que el sistema KcG(s) presente un margen de fase muy pequenoo incluso negativo lo cual hace muy difcil el diseno del controlador.

    Cuando se exige un error en regimen permanente nulo, sin imponer condicionesadicionales sobre el error en regimen permanente ante entradas de mayor orden.Por ejemplo si se exige que el sistema tenga error en posicion nulo, pero no seimpone un lmite al error en regimen permanente en velocidad.

    En cualquiera de estos casos, si se utiliza un controlador PI, se aumenta el tipogarantizandose la especificacion en regimen permanente, quedando libre la gananciadel controlador. En este caso el diseno se podra realizar del siguiente modo:

    Buscar en el diagrama de Bode una frecuencia c a la que se cumplan lasespecificaciones impuestas sobre el transitorio (margen de fase, frecuencia decorte, etc). Si no existe esta frecuencia es que el sistema no se podra controlarcon un PI.

    14

  • Dado que el modulo del PI a altas frecuencias es Kc, se tomara un Kc tal quec sea la frecuencia de corte del sistema compensado. Para ello basta con queKc(dB) = |G(jc)|.

    Tomar un Ti tal que la cada de fase sea pequena1

    Ti[

    c10

    10

    ,c10

    ]

    As, dado que el efecto integral del PI garantiza la satisfaccion de las especificacionesen regimen permanente, la ganancia del controlador nos permite variar la frecuenciade corte del sistema en bucle abierto y su margen de fase de una forma semejante aun controlador P, con el mismo compromiso entre rapidez y sobreoscilacion.

    2.4 Ajuste de un controlador PID

    El controlador proporcional, integral y derivativo, o controlador PID, responde a una leyde control

    u(t) = Kc(

    e(t) + Tdd e(t)

    d t+

    1

    Ti

    t

    0e()d

    )

    generando una actuacion proporcional al error, a su derivada y al error acumulado. Losparametros del controlador son la ganancia del controlador Kc y el tiempo derivativo Tdy el tiempo integral Ti. Por tanto auna los efectos beneficiosos en el regimen transitoriodel termino derivativo y los del regimen permanente del termino integral. La funcion detransferencia del controlador es

    C(s) = Kc

    (

    1 + Tds +1

    Tis

    )

    = Kc

    (

    1 + Tis + TiTds2Tis

    )

    Como se puede ver este controlador presenta un par de ceros y un integrador puro. Lanaturaleza real o compleja de los ceros dependera de la eleccion de Ti y Td: si Ti > 4Td,los ceros seran reales. El diagrama de Bode de este controlador (para el caso de cerosreales) se presenta en la figura 2.4.

    Se puede observar que gracias al efecto integral la ganancia del controlador a bajasfrecuencias es muy alta, mejorando el regimen permanente as como el rechazo de pertur-baciones. Si embargo, a altas frecuencias el termino derivativo influye mas aumentandoel modulo y aumentando la fase. Esto se traduce en un aumento del ancho de banda delsistema (y por lo tanto mayor rapidez de respuesta) y mayor margen de fase (y por lotanto menor sobreoscilacion).

    Este controlador presenta problemas semejantes a los del controlador PD: amplificalos ruidos de alta frecuencia y ademas no es implementable fsicamente por ser un sistemano causal. Para evitar estos problemas se suele recurrir a dos soluciones

    1. Utilizar un filtro de la derivada. Esto consiste en sustituir el termino derivativo delPID, Tds, por el siguiente termino

    TdsTds + 1

    15

  • Mdulo asinttico

    (rad/s)

    dB

    90

    60

    30

    0

    30

    60

    90Fase

    grad

    os

    20 dB/dec 20 dB/dec

    Figure 13: Diagrama de Bode asintotico de un controlador PID.

    donde es un parametro que suele tomarse como = 0.1. Observese que estetermino no es mas que el termino derivativo afectado por un sistema de primerorden, lo cual reduce el modulo a altas frecuencias.

    2. Utilizar la red de compensacion mixta, que se explicara mas adelante.

    En el caso en que los ceros sean reales (Ti > 4Td), el controlador PID se puedeentender como un controlador PI (de parametros K1 y 1)y otro PD (de parametros K2 y2) conectados en serie. En este caso el controlador viene dador por

    C(s) = K1K2(1 + 1s)(1 + 2s)

    1s

    que equivale a un PID con

    Kc =K1K2(1 + 2)

    1, Td =

    121 + 2

    , Ti = 1 + 2

    Esto pone de manifiesto un hecho: el tiempo integral y derivativo del PID no tienenla misma interpretacion que el tiempo integral de un PI y el derivativo de un PD. Porejemplo, al modificar el tiempo integral del PI (1) se modifican tanto Kc como Td y Tidel PID. As, la interpretacion intuitiva que ofrecen el PD y el PI de sus parametros, sepierde en el caso del PID, lo cual hace su ajuste no tan inmediato.

    El diseno frecuencial del controlador PID es, al igual que en el caso del controladorPI, una tarea que puede ser compleja debido al efecto integral. As, al igual en el PI, sepueden distinguir dos casos:

    16

  • 1. La ganancia de Bode del controlador Kc/Ti esta fijada. Esta relacion hace que losparametros del controlador no sean independientes en su eleccion lo cual hace muycompleja su determinacion.

    As se puede disenar mediante el siguiente procedimiento.

    Considerar que el controlador tiene ceros reales y expresar el controlador enforma de Bode

    C(s) = K(1 + 1s)

    s(1 + 2s),

    donde K = Kc/Ti.

    Tomar como valor de la ganancia K el mnimo valor tal que se cumplen lasespecificaciones.

    Trazar el diagrama de Bode del sistema modificado G(s) = K G(s)s

    .

    Disenar el controlador modificado C (s) = (1+1s)(1+2s) para el sistema mod-ificado G(s) de forma que se cumplan las especificaciones sobre el transitorio.Observese que el controlador C (s) se podra entender como dos controladoresPD en serie. Quiza lo mas sencillo para el diseno sea elegir 1 = 2.

    Calcular Ti y Td del PID a partir de los valores obtenidos de 1y 2, de formaque

    Ti = 1 + 2 y Td =12

    1 + 2

    Calcular la ganancia del PID, Kc = KTi.

    2. La ganancia del controlador no esta fijada. En este caso se anade un grado delibertad que simplifica el diseno del PID y lo hace muy flexible. As, el PID permitecontrolar el sistema en cualquier frecuencia en la que no se requiera un incrementode margen de fase superior a 90 grados. Para ello se puede poner el PID como unPI y un PD en serie dado por

    C(s) = K(1 + 1s)

    1s(1 + 2s),

    y seguir el siguiente procedimiento

    Elegir una frecuencia de corte del sistema compensado c que cumpla las es-pecificaciones de forma que tal que el incremento de margen de fase requerido

    Mf = Mfd Mf = Mfd [180 6 G(jc)]

    sea Mf < 90.Si no existe una frecuencia posible, es que el sistema no se puede controlar conun PID con las especificaciones impuestas.

    Calcular el 2 de forma que el PD aporte el incremento de margen de fasenecesario, lo cual implica que

    c2 = arctan (Mf )

    17

  • Determinar la ganancia del controlador K de forma que c sea la frecuencia decorte del sistema compensado. Para ello basta observar que el valor del moduloen la frecuencia media entre los dos ceros del controlador, 1/1 y 1/2, es K.As se tiene que

    K + 20 log10(2c) = |G(jc)|

    Elegir el cero del PI 1/1, de forma que

    1

    1[

    c10

    10

    ,c10

    ]

    Calcular Ti y Td del PID a partir de los valores obtenidos de 1y 2, de formaque

    Ti = 1 + 2 y Td =12

    1 + 2

    El PID es el controlador que mas se utiliza en la industria por combinar los efectosderivativo e integral. Sin embargo, como se ha visto anteriormente, su diseno resulta unatarea compleja desde un punto de vista practico y poco intuitiva. Esto ha motivado labusqueda de tecnicas de ajuste de PIDs mas sencillas y en base a la respuesta temporal delsistema ante entradas en escalon, generalmente. Existen una serie de tecnicas establecidasen funcion de los objetivos de control propuestos, pero quiza, las mas extendidas son lasconocidas como reglas de Ziegler-nichols.

    2.5 Ajuste de un PID mediante el metodo de Ziegler-Nichols

    En la disciplina de control automatico se han realizado numerosos esfuerzos para encontrarreglas practicas para el ajuste de un controlador PID. Quiza las mas relevantes desde unpunto de vista practico son las reglas de Ziegler-Nichols. Estos investigadores se plantearonel problema de sintonizar un PID para controlar sistema de cierto tipo, del cual no sedispone un modelo matematico ni un diagrama de Bode del mismo. As, a partir desencillos ensayos a realizar sobre la planta, se pueden determinar unas caractersticas dela misma en funcion de las cuales se tabulan los parametros del controlador. El objetivodel ajuste es controlar el sistema con una sobreoscilacion inferior al 25%.

    Se distinguen dos situaciones:

    Se puede realizar un ensayo en escalon en la planta (sistema a controlar) y determinarsu respuesta. Esto da lugar al denominado metodo de ajuste en bucle abierto.

    No se puede realizar un ensayo en escalon en la planta, pero s se puede ensayarsobre el sistema en bucle cerrado, es decir, con el PID conectado en realimentacion.Esto da lugar al denominado metodo de ajuste en bucle cerrado.

    A continuacion se detallan los dos metodos. Merece la pena destacar, que estos metodosproporcionan una primera aproximacion al ajuste del controlador, y requieren un posteriorajuste para el cumplimiento de las especificaciones.

    18

  • 2.5.1 Metodo de Ziegler-Nichols en bucle abierto

    Se asume conocida la respuesta ante escalon del sistema a controlar (denominada curvade reaccion) y que esta es sobreamortiguada y con cierto retraso en la respuesta, tal ycomo se muestra en la figura 15. Por tanto se considera que el sistema es estable, nopresenta polos complejos. Ademas el retraso que presenta el sistema puede deberse a unretardo puro en la respuesta (por ejemplo inducidos por el proceso de medida del sensoro derivados del fenomeno de transporte de masas)o bien una respuesta muy lenta debidoa que el sistema es de alto orden.

    As, el sistema se aproxima por un sistema de primer orden, de constante de tiempoT y ganancia estatica K, con un retardo puro L, cuya funcion de transferencia es

    G(s) =K

    1 + TseLs (9)

    Los valores K,T y L se calculan a partir de la curva de reaccion. La ganancia estatica Kes inmediata, sin embargo la determinacion de T y L se puede hacer de dos formas:

    1. Se traza la tangente en el punto de inflexion de la curva, que se produce en elinstante tm en un valor de la salida ym (vease la figura 14. Sea m la pendiente dedicha tangente. La constante de tiempo sera T = yrp/m, asumiendo que se parte decondiciones iniciales nulas. El retardo L sera L = tm ym/m.

    yrp

    u(t)

    y(t)

    T L

    ym

    tm

    Figure 14: Curva de reaccion ante entrada en escalon para el metodo 1.

    2. Sea t1 el instante en el que la senal alcanza el 28.3% del valor final y sea t2 el tiempoal 63.2% del valor final (vease la figura 15). Entonces tomar T = 1.5(t2 t1) yL = 1.5(t1 13 t2).

    En la tabla 1 se indica por filas la sintonizacion de los parametros de tres controladores(P, PI y PID) en funcion de los parametros del modelo aproximado. Merece la pena resaltarque, como se deduce de la tabla, este metodo no se puede aplicar si la planta no tieneretardo (L = 0). Ademas, esta tabla se ha calculado bajo la hipotesis de que la relacion

    19

  • Figure 15: Curva de reaccion ante entrada en escalon para el metodo 2.

    entre el retardo y la constante de tiempo esta limitada a

    0.1 LT

    1

    Control\Parametros Kp Ti Td

    P TKL

    0

    PI 0.9 TKL

    L0.3 0

    PID 1.2 TKL

    2L 0.5L

    Table 1: Ajuste con metodo de Ziegler-Nichols en bucle abierto

    2.5.2 Metodo de Ziegler-Nichols en bucle cerrado

    Se asume que si la planta se controla mediante un controlador P, existe un valor deganancia a partir del cual el sistema se inestabiliza presentando oscilaciones. Merece lapena indicar que una planta de alto orden o bien una planta de primer orden con retardosiempre cumple esta hipotesis.

    El procedimiento consiste en mantener el control proporcional (que se consigue ha-ciendo Ti = y Td = 0 en el PID) y aumentar Kc hasta lograr que la respuesta presenteuna oscilacion automantenida, es decir, una respuesta crticamente estable, como se mues-tra en la figura 16. La ganancia a la cual se produce esto se denomina ganancia crticaKcr. . El perodo de la senal oscilante se denomina perodo crtico Pcr.

    Observese que estos parametros estan muy relacionados con el diagrama de Bode de laplanta (con Kc = 1). En efecto, la ganancia crtica resulta ser el margen de ganancia delsistema, por lo que Kcr = Mg. Ademas, cuando el sistema se hace crticamente estable elmargen de fase es nulo y la frecuencia de oscilacion sera la frecuencia a la que la fase es-180o, es decir = 180; por lo tanto el perodo crtico viene dado por Pcr = 2/180.

    En la tabla 2 se indica por filas la sintonizacion de los parametros de tres controladores(P, PI y PID) en funcion de los parametros del modelo aproximado.

    20

  • Pcr

    t

    y(t)

    Figure 16: Respuesta ante escalon de un sistema crticamente estable y determinacion delperodo crtico.

    Control\Parametros Kp Ti Td

    P 0.5Kcr 0

    PI 0.45Kcr Pcr/1.2 0

    PID 0.6Kcr 0.5Pcr 0.125Pcr

    Table 2: Ajuste con metodo de Ziegler-Nichols en bucle cerrado

    3 Diseno frecuencial de redes de compensacion

    3.1 Diseno de una red de avance de fase

    Una red de avance de fase esta caracterizada por una ganancia, un cero de baja frecuenciay un polo de alta frecuencia. Esta red se representa de forma generica por la funcion detransferencia

    C(s) = Kc1 + s

    1 + s, con < 1 (10)

    de forma que el cero se situa en 1/ y el polo en 1/(). El diagrama de Bodeasintotico de esta red se ilustra en la figura 3.1. Notese que al considerar < 1, el cero sesitua a la izquierda del polo, lo cual hace que el efecto de esta red sobre el sistema en bucleabierto sea semejante al del controlador PD: produce un aumento de fase y un aumentodel modulo a altas frecuencias (mayores que el cero). As el margen de fase aumenta,disminuyendo la sobreoscilacion y la frecuencia de corte aumenta, haciendo el sistema masrapido. De hecho cuanto menor sea , mas parecida es la red de avance a un controladorPD con un tiempo derivativo .

    La ventaja que presenta esta red es que resuelve los problemas del PD: el efecto delpolo a altas frecuencias limita la amplificacion del ruido (que resulta ser de 20 log(1/)dB) y ademas el sistema resulta ser causal y por lo tanto implementable. Por otro ladola adicion de este polo produce una disminucion del maximo aumento (o avance) de faseque se puede lograr con la red, m.

    21

  • Mdulo asinttico

    (rad/s)

    dB

    0

    15

    30

    45

    60

    75

    90Fase

    grad

    os

    1/

    Kc

    20 dB/dec

    1/()

    20log(1/) 10log(1/)

    m

    m

    Figure 17: Diagrama de Bode asintotico de una red de avance de fase.

    En efecto, en el dominio de la frecuencia tenemos que (10) es

    C(j) =1 + 22 + j(1 )

    1 + 222(11)

    y la fase correspondiente es

    = 6 C(j) = tg1(1 )1 + 22

    (12)

    El maximo avance de fase m se da a la frecuencia media geometrica entre el cero y elpolo

    log m =log 1

    + log 1

    2

    m =1

    (13)

    y sustituyendo la ecuacion (13) en la ecuacion (12) obtenemos la expresion de m enfuncion de

    senm =1 1 +

    (14)

    El objetivo del diseno de la red de avance de fase es basicamente aumentar el margende fase del sistema en bucle abierto, lo que equivale a hacer coincidir la frecuencia m a lacual se va a producir el avance de fase maximo m con la frecuencia de corte del sistemaen bucle abierto c. A continuacion se van a dar las pautas generales de diseno de unared de avance de fase en el dominio de la frecuencia.

    22

  • Considerese que la planta a controlar responde a la funcion de transferencia G(s) yque las especificaciones impuestas sobre el sistema controlado se traducen en un valor dela ganancia del controlador mnima Kcd, un margen de fase mnimo Mfd y una frecuenciade corte mnima cd. Para realizar el diseno se debe seguir el siguiente procedimiento:

    1. Se fija la ganancia del controlador a la mnima Kc = Kcd y se traza el diagrama deBode del sistema KcG(s). De aqu se obtiene el margen de fase Mf y la frecuenciade corte c.

    2. Se determina el incremento de margen de fase que debe aportar la red de avance.Para ello se procede de forma semejante a la que se expuso para el controlador PD.El margen de fase del sistema en bucle abierto C(s)G(s) sera

    M f = 180 + 6 G(jc) + 6 C(j

    c) = 180 + 6 G(jc)

    Mf

    +6 C(jc) + 6 G(jc) 6 G(jc)

  • 100

    101

    60

    40

    20

    10

    0

    20

    40Mdulo asinttico

    (rad/s)

    dB

    100

    101

    270

    225

    180

    135

    90Fase

    grad

    os

    10log(1/)

    m

    = =5.6 rad/s 1/ 1/( )

    Figure 18: Diagrama de Bode asintotico de KcG(s) (lnea fina), C(s)/Kc (lnea a trazos)y C(s)G(s) (trazo grueso) para ilustrar la determinacion de . Se ha considerado = 0.1,para el cual = 5.6 rad/s.

    la frecuencia de corte de KcG(s) sea c = cd. Dado que la red de avance produceun aumento de frecuencia de corte, la especificacion se cumplira con seguridad. Sinembargo, al aumentar Kc tambien disminuye el margen de fase de KcG(s) y porlo tanto aumenta el incremento margen de fase requerido. Si este incremento esmayor que 78.5o entonces la red de avance no podra controlar el sistema con lasespecificaciones impuestas.

    Ejercicio 2 -

    Dado el sistema

    G0(s) =1

    s(1 + s)(1 + 0.0125s)

    calcular una red de avance de fase de forma que el sistema en bucle cerrado cumpla lasespecificaciones de sobreoscilacion menor del 18% y error en regimen permanente anteentrada en rampa menor o igual que el 1%.

    Solucion:

    24

  • 1. Para satisfacer que evrp. 0.01 es necesario aplicar una ganancia Kc 40 dB. Eldiagrama de Bode del sistema KcG0(s) se muestra en la figura 19. Se puede ob-servar que el sistema es aproximadamente crticamente estable, por lo que el controlproporcional no sera suficiente para satisfacer todas las especificaciones.

    101

    100

    101

    102

    103

    120

    100

    80

    60

    40

    20

    0

    20

    40

    60Mdulo asinttico

    (rad/s)

    dB

    101

    100

    101

    102

    103

    270

    225

    180

    135

    90Fase

    grad

    os

    Figure 19: Diagrama de Bode asintotico de KcG0(s) (trazo fino) y C(s)G0(s) (trazogrueso) del ejercicio 2.

    2. Con las ecuaciones (15) y (16) se obtiene el valor de para la especificacion desobreoscilacion convertida a especificacion de margen de fase deseado. Escogiendoeste por ejemplo como Mfd = 50

    o , se obtiene 0.1.

    3. La red va a amplificar 10 dB en m, as que observando la frecuencia a la que seatenua el modulo dicha cantidad en el diagrama de Bode, se obtiene una frecuenciam 18 rad/s. Sustituyendo los valores calculados en la ecuacion (17), ajustamoslas frecuencias del cero y del polo en

    z =1

    = 5.7 rad/s

    p =1

    = 57 rad/s

    y la red propuesta es

    C(s) = 1001 + 0.1754s

    1 + 0.01754s

    -

    3.2 Diseno de una red de retardo de fase

    Una red de retardo de fase esta caracterizada por una ganancia, un polo de alta frecuenciay un cero de baja frecuencia. Esta red se representa de forma generica por la funcion de

    25

  • transferencia

    C(s) = Kc1 + s

    1 + s, con > 1 (18)

    El diagrama de Bode se ilustra en la figura 20 y en el cual se puede ver que el controladorpresenta una alta ganancia a frecuencias menores que el polo (Kc) y una ganancia menor aaltas frecuencias (Kc 20 log() dB). Esto nos permite aumentar el modulo del sistema abajas frecuencias mejorando el regimen permanente y el rechazo a perturbaciones. Ademasla fase de esta red es negativa, por lo que la red puede empeorar el regimen transitorio,pues puede reducir el margen de fase del sistema. Es claro que para minimizar este efectointeresa situar el cero a frecuencias menores que la frecuencia de corte.

    Por tanto esta red mejora el regimen permanente pero sin aumentar el tipo del sis-tema, por lo que nunca podra hacer nulo el error en regimen permanente. Esta red decompensacion se suele emplear en sistemas en los que el diagrama de Bode presenta unadisminucion rapida de la fase en torno a 180.

    Como se puede observar, esta red es en cierta medida similar a un PI, al cual se le haanadido un cero a altas frecuencias. De hecho, cuanto mayor es mas parecida es la redal controlador PI.

    Mdulo asinttico

    (rad/s)

    dB

    90

    75

    60

    45

    30

    15

    0Fase

    grad

    os

    1/

    Kc

    20 dB/dec

    1/()

    20log()

    Figure 20: Diagrama de Bode asintotico de una red de retardo de fase.

    En el ajuste de la red de retardo se pueden fijar las ganancias a alta y baja frecuenciaa voluntad mediante Kc y . El tiempo permite variar el rango de frecuencias en el quese ubican el cero y el polo. Por tanto el procedimiento de ajuste se reduce a tomar unaalta ganancia a bajas frecuencias y un ganancia a baja frecuencia para situar la frecuenciade corte del sistema donde se desee. Esto ultimo afecta al transitorio pues al variar lafrecuencia de corte se vara tambien el margen de fase. Para evitar una cada de fase delsistema, se debe tomar para que el cero este a la izquierda de la frecuencia de corte.

    26

  • Para el ajuste de los parametros de una red tal que compense un sistema G(s), deforma que el sistema compensado satisfaga especificaciones en margen de fase deseadoMfd y error en regimen permanente Kcd, se va a seguir el siguiente procedimiento:

    1. Se hace Kc = Kcd y se dibuja el diagrama de Bode del sistema KcG(s). De este semide el margen de fase Mf y la frecuencia de corte c.

    2. Se elige una frecuencia c a la cual el sistema tiene una fase 6 G(j) =180 + Mfd + . El termino cuantifica la caida de fase producida por la red, quedado que es desconocida a priori, se toma un valor tpico de = 5o. Si es menorque cd o bien no existe

    entonces el sistema no se puede controlar con una redretardo y las especificaciones impuestas.

    3. Se determina para que la frecuencia de corte del sistema en bucle abierto c seaigual a . El valor de se deduce de imponer que

    |KcG(j)| = 20 log() dB

    donde |KcG(j)| se mide directamente del diagrama de Bode.

    4. Por ultimo se determina para que la red no produzca una cada de fase apreciableal sistema. Por lo tanto, interesa altos valores de para que el cero y polo estensuficientemente alejados de la frecuencia de corte c. Sin embargo, al igual que en elcaso de un controlador PI, si el controlador situa un cero lento, el sistema en buclecerrado presentara un polo de constante de tiempo semejante y por lo tanto lento,lo cual empeora la respuesta . Por tanto no interesa tomar demasiado alto. Unaregla practica consiste en tomar

    1

    [

    c10

    10

    ,c10

    ]

    Ejercicio 3 -

    Dado el sistema

    G(s) =1

    s(1 + s)(1 + 0.5s)

    calcular una red de retardo de fase de forma que el sistema en bucle cerrado cumpla lasespecificaciones de margen de fase mayor o igual que 40o y error en regimen permanenteante entrada en rampa menor o igual que el 20%.

    Solucion:

    1. Para satisfacer que evrp 0.2 es necesario aplicar una ganancia Kc 14 dB, queinestabiliza el sistema. El diagrama de Bode del sistema KcG(s) se muestra en lafigura 21.

    27

  • 101

    100

    101

    60

    40

    20

    0

    20

    40

    60Mdulo asinttico

    (rad/s)

    dB

    270

    225

    180

    135

    90Fase

    grad

    os

    c

    180

    50o

    Figure 21: Diagrama de Bode de KcG(s) en el ejercicio 3.

    2. Para conseguir Mfd = 50o se observa el diagrama de Bode y se encuentra que

    cd 0.5 rad/s. El modulo para esta frecuencia es B = |KcG(j)| = 20dB. Asse tiene que tomando = 10 se garantiza que B = 20 log().

    3. Por ultimo se escoge un valor de , por ejemplo, para que 1

    = 0.5/10rad/s. Esdecir, = 20s.

    Por tanto la red propuesta es

    C(s) = 51 + 20s

    1 + 200s

    -

    3.3 Diseno de una red de compensacion mixta

    Una red mixta es una red de compensacion que superpone los efectos de la red de avancecon los de la red de retardo. Para ello se dispone una red de retardo (en bajas frecuencias)en serie con una red de avance de fase (en altas frecuencias). As, esta red se suele expresarcon la siguiente funcion de transferencia

    C(s) = Kc1 + 11s

    1 + 1s

    1 + 2s

    1 + 22s, con 0 < 1 < 1, 0 < 2 < 1 y 1 > 2 (19)

    En su forma mas general, los coeficientes 1 y 2 se consideran distintos, aunque, como severa mas adelante, el diseno de la red se puede simplificar si ambos se consideran iguales.En lo que sigue se va a abordar el diseno de esta red en ambos casos.

    28

  • Como es habitual, la ganancia del controlador se fija para mejorar el regimen perma-nente y el rechazo a perturbaciones. El transitorio se puede mejorar mediante la com-posicion de dos efectos: la reduccion de ganancia (inducido por la red de retardo), lo quenos permite ajustar la frecuencia de corte y el aumento de margen de fase (derivado de lared de avance).

    Esta red de compensacion esta especialmente indicada cuando la cada de fase delsistema en torno a 180 es muy acusada. Por ejemplo, se emplea cuando el modulopresenta una pendiente de al menos -60 dB/dec en torno a la frecuencia de corte, yademas se requiere que el ancho de banda apenas disminuya.

    La red mixta supone una forma practica de implementar un PID pues el diagrama deBode de ambos es semejante y sus efectos sobre la planta analogos. Ademas no presentael problema de no causalidad y de amplificacion de ruidos de alta frecuencia que presentaun PID. Sin embargo, notese que una red mixta no aumenta el tipo del sistema, por loque no sera capaz de anular el error en regimen permanente.

    3.3.1 Diseno con coeficientes 1 y 2 distintos

    Como ya se comento anteriormente, una vez fijada la ganancia del controlador para con-seguir que el error en regimen permanente sea el deseado, la forma general de disenar unared mixta consiste en fijar la frecuencia de corte con la parte de retardo y aumentar elmargen de fase con la parte de avance de fase.

    El diseno de la red se puede hacer siguiendo los siguientes pasos, determinados a partirdel diagrama de Bode del sistema KcG(s):

    1. Elegir la frecuencia de corte deseada c. Esta frecuencia debe ser igual o mayor quela frecuencia de corte deseada cd para que se cumplan las especificaciones. Ademas,como se vera en los pasos sucesivos, para que el diseno se pueda realizar se debencumplir las siguientes condiciones:

    La frecuencia de corte elegida c debe ser menor que la frecuencia , que vienedada por

    |KcG(j)| = 10 log10(

    1

    0.01

    )

    = 20dB

    en el que 0.01 es el mnimo valor del parametro 2.

    de corte del sistema en bucle abierto c para garantizar que |KcG(jc)| > 0dB.

    Si no se cumple esta condicion, se debe aumentar la ganancia del controladorhasta conseguir que se cumpla.

    El argumento del sistema debe ser tal que el mnimo incremento de margen defase a realizar Mfd (180+ 6 G(jc)) sea inferior (tpicamente en mas de 5o) al

    29

  • maximo incremento de fase que puede realizar la parte de avance de fase (78.5o,tomando 2 > 0.01). Es decir

    Mfd (180 + 6 G(jc)) < 78.5 5 = 73.5

    Si no existe una c para la que se cumpla esta condicion, se puede determi-nar que no se puede disenar una red mixta que controle el sistema con lasespecificaciones impuestas.

    2. Calcular el valor de 2 para conseguir el aumento de fase deseado. Para ello seprocede de forma analoga a una red de avance, calculandose el avance de fase mde forma que

    Mfd = 180 6 G(jc) + m + siendo una variable que cuantifica posibles errores de calculo y que se suele tomarentre 5o y 10o. Una vez calculado m, se determina 2 de la siguiente expresion:

    2 =1 senm1 + senm

    Observese que si la frecuencia c cumple la segunda condicion impuesta en el primerpaso garantiza que m < 78.5

    o y por lo tanto que el valor de 2 obtenido debe sersuperior a 0.01.

    3. Tomese un valor de 2 de forma que el maximo incremento de fase se produzca a lafrecuencia c, es decir, de forma que

    m =122

    = c

    4. Con los valores de 2 y 2 elegidos se ha disenado la parte de avance de fase deforma que se obteniene el margen de fase deseado. A continuacion se disena la partede retardo para garantizar que la frecuencia de corte deseada c sea la frecuenciade corte del sistema controlado. Para ello observese que gracias a que m =

    c y

    asumiendo que 1/1 < 1/(2 2), se tiene que

    |C(jc)/Kc| = 20 log(

    1

    1

    )

    + 10 log

    (1

    2

    )

    Para garantizar que c sea la frecuencia de corte se debe cumplir que

    |C(jc)G(jc)| = |C(jc)/Kc| + |KcG(jc)| = 0 dB

    luego

    |KcG(jc)| = 20 log(

    1

    1

    )

    10 log(

    1

    2

    )

    Dado que 2 se ha determinado previamente y que el valor de |KcG(jc)| se puededeterminar del diagrama de Bode, por ejemplo, de esta expresion se determina elvalor de 1.

    30

  • 5. Por ultimo se determina el valor de 1 de forma tal que 1/1 sea menor que 1/(2 2)y ademas lo suficientemente alejado para que la cada de fase que introduce la partede retardo afecte poco al incremento de fase que anade la parte de avance de fase.As se suele tomar valores de 1 de forma que

    1

    11=

    c10

    Al igual que en el caso de la red de avance y retardo, en el diseno de la red mixta existenlmites practicos de los coeficientes 1 y 2: 2 debe ser superior a 0.01 por cuestionespracticas de implementacion; 1 no debe ser tampoco demasidado pequeno, pues un valormuy pequeno de 1 produce un polo muy lento del controlador, y por lo tanto del sistemaen bucle abierto, lo cual produce una respuesta muy lenta del sistema en bucle cerrado ensu evolucion hacia el regimen permanente. Observese que en el diseno propuesto, cuantomayor sea |KcG(jc)| menor sera 1. Por ello, es conveniente elegir una frecuencia decorte c para la cual el valor de |KcG(jc)| no sea demasiado grande.

    3.3.2 Diseno con coeficientes 1 y 2 iguales

    En este caso la representacion en diagrama de Bode asintotico se ilustra en la figura 22.Como se puede observar, el sistema presenta una ganancia Kc a bajas frecuencias (ytambien muy altas) y una ganancia menor en (un rango de) frecuencias altas. Ademas lafase disminuye a frecuencias bajas y aumenta a altas.

    Mdulo asinttico

    (rad/s)

    dB

    90

    45

    0

    45

    90Fase

    grad

    os

    Kc

    1/1 1/( 2)1/21/( 1)

    20 dB/dec 20 dB/dec 20 dB/dec 20log(1/)

    Figure 22: Diagrama de Bode de una red mixta.

    Para el ajuste de los parametros de una red tal que compense un sistema G(s), de

    31

  • forma que el sistema compensado satisfaga especificaciones en margen de fase deseadoMfd y error en regimen permanente Kcd, se va a seguir el siguiente procedimiento:

    1. Fijar la ganancia del controlador Kc = Kcd y se traza el diagrama de Bode deKcG(s). Las caractersticas de este sistema se denominaran Mf , Mg y c.

    2. Determinar la frecuencia 180, que viene dada por que 6 G(j180) = 180 (estafrecuencia sera la nueva frecuencia de corte del sistema en bucle abierto c). La redde retardo se toma de forma que este a la izquierda de la frecuencia de corte, porejemplo, una decada. As se tomara

    1

    1=

    18010

    (20)

    3. Ajustar para fijar el margen de fase del sistema. As se tiene que

    m = MFd + (21)

    donde representa el error en la aproximacion y se suele tomar como [5, 10]o.Comocido m se determina pues

    =1 sinm1 + sinm

    4. Una vez conocido , de la ecuacion (20) se determina 1.

    5. Determinar 2 para que la frecuencia de corte del sistema en bucle abierto c sea

    180. Para ello, calcular |KcG(j180| (observese que este valor es Mg). Fijar 1/2para que en la frecuencia 180, se tenga que

    |C(j180)/Kc| = Mg

    Este calculo se puede realizar graficamente sobre el diagrama de Bode: para ellose traza la recta de pendiente 20 dB/dec que pase por el punto de modulo Mg a lafrecuencia 180. Sea

    la frecuencia en la cual esta recta toma un valor 20 log(1/).Entonces 1/2 =

    .

    Este calculo tambien se puede hacer analticamente, teniendo en cuenta que la rectade pendiente 20 dB/dec que pase por el punto de modulo Mg a la frecuencia 180viene dada por la ecuacion Mg+20(log log 180). As, 2 se deduce de la ecuacion

    Mg + 20(log(1/2) log 180) = 20 log(1/)

    Observese que para que este paso se pueda realizar se debe cumplir que |Mg|