1 TEMA 2 CARACTERIZACIÓN FRECUENCIAL DE SEÑALES Y SISTEMAS

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TEMA 2TEMA 2

CARACTERIZACIÓN FRECUENCIAL DE CARACTERIZACIÓN FRECUENCIAL DE SEÑALES Y SISTEMASSEÑALES Y SISTEMAS

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DESARROLLO EN SERIES DE DESARROLLO EN SERIES DE FOURIERFOURIER

Toda señal x(t) periódica y bajo ciertas condiciones, puede representarse de modo único mediante un desarrollo en series de exponenciales complejas:

• La serie converge hacia la señal en el sentido de que el error cuadrático medio integral tiende a cero al aumentar N.

33


• Propiedades:

1.1. Líneas espectrales equiespaciadas.Líneas espectrales equiespaciadas.

2.2. CC00 es el valor medio de la señal. es el valor medio de la señal.

3.3. Si x(t) es real , entonces: C Si x(t) es real , entonces: C -n-n = C* = C*nn

4.4. Si x(t) es par => Cn es real; arg [Cn] = 0, ±Si x(t) es par => Cn es real; arg [Cn] = 0, ±ππ

44


• Propiedades:

5.5. Si x(t) es impar => Cn es imaginario; arg[Cn] = ± Si x(t) es impar => Cn es imaginario; arg[Cn] = ± ππ/2 /2

6.6. Para señales reales:Para señales reales:

7.7. Teorema de Parseval: Teorema de Parseval:

55

TRANSFORMADA DE FOURIERTRANSFORMADA DE FOURIER

Para señales x(t) de cuadrado integrable:Para señales x(t) de cuadrado integrable:

El dominio de la frecuencia se define por laEl dominio de la frecuencia se define por la

Transformada de Fourier: Transformada de Fourier:

y se define la Transformada inversa de Fourier: y se define la Transformada inversa de Fourier:

66


La Transformada de Fourier es un caso límite de las series La Transformada de Fourier es un caso límite de las series

de Fourier:de Fourier:

77


Algunas Propiedades: Algunas Propiedades:

Sea el par Sea el par

• Linealidad. Linealidad.

• DualidadDualidad

• Retraso Temporal Retraso Temporal

• Modulación en FrecuenciaModulación en Frecuencia

• Teorema de RayleighTeorema de Rayleigh

Establece que:Establece que:

88


Demostración:Demostración:

99


La función:La función:

Es la denominada Es la denominada Densidad de EnergíaDensidad de Energía de una de una

señal en el dominio de la frecuencia. Esta es unaseñal en el dominio de la frecuencia. Esta es una

función real, positiva y par: función real, positiva y par:

Ancho de Banda: Ancho de Banda: Se denomina Ancho de Banda de Se denomina Ancho de Banda de una señal al intervalo de frecuencia dentro del cual su una señal al intervalo de frecuencia dentro del cual su Densidad Espectral de Energía es superior a la mitad Densidad Espectral de Energía es superior a la mitad del valor máximo.del valor máximo.

1010


Cualquier señal que pueda ser expresada como suma de Cualquier señal que pueda ser expresada como suma de fasores conjugados, tendrá un espectro contínuo fasores conjugados, tendrá un espectro contínuo consistente en pares de impulsos.consistente en pares de impulsos.

Para señales periódicas: Para señales periódicas:

GENERALIZACIÓN: ESPECTRO CONTÍNUO PARA SEÑALES PERIÓDICAS

1111

FUNCIÓN DE TRANSFERENCIAFUNCIÓN DE TRANSFERENCIA

Todo Sistema Lineal puede caracterizarse por una Todo Sistema Lineal puede caracterizarse por una Función Función de Transferenciade Transferencia, , de forma que: de forma que:

La función de transferencia de un Sistema lineal puede La función de transferencia de un Sistema lineal puede determinarse a partir de la amplitud y fase de la señal de determinarse a partir de la amplitud y fase de la señal de salida cuando la señal de entrada es un fasor. salida cuando la señal de entrada es un fasor.

Conexiones de Funciones de Transferencia. Ejemplos. Conexiones de Funciones de Transferencia. Ejemplos.

1212


Sea :Sea :

SiSi

Donde por definiciónDonde por definición

es la es la Respuesta en frecuenciasRespuesta en frecuencias de un filtro caracterizado de un filtro caracterizadopor h(n). por h(n).

e )H(e e h(k)e e h(k)y(n) e x(n) jwnjw-jwkjwnk)-jw(njwn

REPRESENTACION FRECUENCIAL PARA SISTEMAS DISCRETOS LINEALES E INVARIANTES

e h(k) )H(e -jwkjw

1313


Propiedades :Propiedades :

1)1) H(eH(ejwjw ) es una función continua de w. ) es una función continua de w.

2)2) H(eH(ejwjw ) es una función periódica de periodo 2 ) es una función periódica de periodo 2ππ , por , por lo que podemos desarrollarla en series, siendo los lo que podemos desarrollarla en series, siendo los valores de los coeficientes del desarrollo: valores de los coeficientes del desarrollo:

Transformada inversaTransformada inversa

REPRESENTACION FRECUENCIAL PARA SISTEMAS DISCRETOS LINEALES E INVARIANTES

1414


En general: Si , se define :En general: Si , se define :

Representación de una secuencia a partir de exponenciales Representación de una secuencia a partir de exponenciales complejas:complejas:

La respuesta de un sistema discreto lineal e invariante, a una La respuesta de un sistema discreto lineal e invariante, a una entrada x(n) es la superposición de las respuestas a cada una entrada x(n) es la superposición de las respuestas a cada una de las exponenciales complejas contenidas en la de las exponenciales complejas contenidas en la representación de x(n).representación de x(n).

TRANSFORMADA DE FOURIER PARA SECUENCIAS DISCRETAS

1515

RELACIONES ENTRADA/SALIDARELACIONES ENTRADA/SALIDA

Sea Sea

Se verifican las siguientes relacionesSe verifican las siguientes relaciones

1616



1) Linealidad : Sean 1) Linealidad : Sean

entoncesentonces

2) Desplazamiento temporal: 2) Desplazamiento temporal:

3) Inversión:3) Inversión:

1717



4) Desplazamiento en frecuencia: 4) Desplazamiento en frecuencia:

5) Modulación:5) Modulación:

6) Diferenciación: 6) Diferenciación:

1818



7) Teorema de Parseval:7) Teorema de Parseval:

8) Teorema de Convolución:8) Teorema de Convolución:

9) Teorema de las Ventanas:9) Teorema de las Ventanas:

1919



10) Transformada de Fourier de secuencias con 10) Transformada de Fourier de secuencias con simetría:simetría:

• La Transformada de Fourier de una secuencia par La Transformada de Fourier de una secuencia par es una función real. es una función real.

• La Transformada de Fourier de una secuencia La Transformada de Fourier de una secuencia impar es impar es

una función imaginaria. una función imaginaria.

2020


Un sistema lineal no presenta distorsión si la salida difiere Un sistema lineal no presenta distorsión si la salida difiere de la entrada, a lo sumo, en una amplificación y un retardo. de la entrada, a lo sumo, en una amplificación y un retardo.

Es decir: Es decir:

por lo que la Función de Transferencia de un filtro parapor lo que la Función de Transferencia de un filtro paraque no produzca distorsión ha de ser de módulo que no produzca distorsión ha de ser de módulo constante y fase lineal con la frecuencia: constante y fase lineal con la frecuencia:

DISTORSIÓN

2121


Las características de fase lineal solo son posibles para Las características de fase lineal solo son posibles para filtros FIR.filtros FIR.

Existen 4 tipos de filtros FIR de fase lineal: Existen 4 tipos de filtros FIR de fase lineal:

Tipo 1 Tipo 1 h(n)=h(N-1-n) siendo N impar h(n)=h(N-1-n) siendo N impar Tipo 2 Tipo 2 h(n)=h(N-1-n) siendo N par h(n)=h(N-1-n) siendo N par Tipo 3 Tipo 3 h(n)=-h(N-1-n) siendo N impar h(n)=-h(N-1-n) siendo N impar Tipo 4 Tipo 4 h(n)=-h(N-1-n) siendo N par h(n)=-h(N-1-n) siendo N par

SISTEMAS DE FASE LINEAL

2222


Cualquier secuencia genérica Cualquier secuencia genérica x(n)x(n) puede expresarse como: puede expresarse como:

• Desde el punto de vista simbólico :Desde el punto de vista simbólico :

MUESTREO DE SEÑALES CONTÍNUAS

2323


Muestreo ideal o instantáneoMuestreo ideal o instantáneo


2424


En la práctica En la práctica

Muestreo no instantáneoMuestreo no instantáneo


2525


Desde el punto de vista analítico:Desde el punto de vista analítico:


2626


1)1) ¿ Qué relación existe entre y ?¿ Qué relación existe entre y ?

2)2) ¿ Qué efecto tiene el valor de T ?¿ Qué efecto tiene el valor de T ?

Unión de ambas fórmulasUnión de ambas fórmulas

(1)(1)


2727


Transformando la en : Transformando la en :


2828


Comparando (1) y (2) se obtiene :Comparando (1) y (2) se obtiene :


2929


A continuación se muestran el espectro de salida de unas A continuación se muestran el espectro de salida de unas señales muestreadas con frecuencias mayor y menor que la señales muestreadas con frecuencias mayor y menor que la indicada en el criterio de Nyquist. indicada en el criterio de Nyquist.


3030


Conclusiones : Conclusiones :

1) 1) Si xSi xaa(t) está limitada en banda de ancho (t) está limitada en banda de ancho ΩΩ00 , y el , y el periodo de muestreo T es tal que periodo de muestreo T es tal que ΩΩ00 < < ππ/T, entonces la /T, entonces la secuencia de muestras x(n) presentará un espectro secuencia de muestras x(n) presentará un espectro periódico X(eperiódico X(ejwjw) tal que contiene a X) tal que contiene a Xaa((ΩΩ) en un periodo, ) en un periodo, y por tanto es posible reconstruir xy por tanto es posible reconstruir xaa(t) a partir de x(n). (t) a partir de x(n).

2) 2) La condición para que en un proceso de muestreo de La condición para que en un proceso de muestreo de una señal xuna señal xaa(t) limitada en banda de ancho (t) limitada en banda de ancho ΩΩ00 no se no se pierda información acerca de la misma, es que la pierda información acerca de la misma, es que la frecuencia de muestreo ffrecuencia de muestreo fmm=1/T sea al menos el doble =1/T sea al menos el doble de fde f00= = ΩΩ00 /2 /2 ππ . A esta relación se le denomina . A esta relación se le denomina relación de Nyquist o de Shannonrelación de Nyquist o de Shannon. .


3131


Conclusiones : Conclusiones :

3) Si en el proceso de muestreo no se cumple esta3) Si en el proceso de muestreo no se cumple esta relación, entonces X(erelación, entonces X(ejwjw) sufre un proceso de ) sufre un proceso de perturbación en altas frecuencias, proceso perturbación en altas frecuencias, proceso

equiparable a un ruido que se denomina aliasing equiparable a un ruido que se denomina aliasing (alias). (alias).

4) La mayoría de las señales con interés práctico suelen 4) La mayoría de las señales con interés práctico suelen estar limitadas en banda, por lo que será posible estar limitadas en banda, por lo que será posible construir un sistema de proceso de señal, es decir, construir un sistema de proceso de señal, es decir, basado en muestras de la señal analógica, de tal basado en muestras de la señal analógica, de tal

forma que no se pierda información relevante acerca forma que no se pierda información relevante acerca de aquella. de aquella.


3232

RECONSTRUCCIÓN DE RECONSTRUCCIÓN DE SEÑALES CONTÍNUASSEÑALES CONTÍNUAS

Reconstruir Reconstruir x(t) x(t) a partir de a partir de x(n).x(n).

Si Si

Luego:Luego:

Como:Como:

3333


Por lo que:Por lo que:

LuegoLuego

3434


Lo anterior es equivalente a una expansión funcional:Lo anterior es equivalente a una expansión funcional:

El sistema que genera xEl sistema que genera xrr(t) partir de la secuencia x(n) se (t) partir de la secuencia x(n) se denomina Bloqueador denomina Bloqueador

3535


Bloqueador Ideal:Bloqueador Ideal: xxrr(t)=x(t)=xaa(t)(t)

Inconvenientes:Inconvenientes:

1) No es Causal 1) No es Causal

2) Precisa de un número infinito de términos2) Precisa de un número infinito de términos

3636


Muestreo Simbólico:Muestreo Simbólico:

Ideal:Ideal:

Por Pulsos:Por Pulsos:

3737


Análogamente, puede contemplarse el proceso de Análogamente, puede contemplarse el proceso de Reconstrucción como un filtrado de x*(t) Reconstrucción como un filtrado de x*(t)

pero pero

con lo cual :con lo cual :

3838


Bloqueador Ideal:Bloqueador Ideal:

3939


Bloqueador de orden cero:Bloqueador de orden cero: xxrr(t) = x(n)(t) = x(n) para para nT < t < (n+1)TnT < t < (n+1)T

, , , ,

4040

CUANTIZACIÓNCUANTIZACIÓN

Es el proceso de convertir números con precisión infinita en Es el proceso de convertir números con precisión infinita en

números de un conjunto finito.números de un conjunto finito. • Si las amplitudes de las muestras están en el rango Si las amplitudes de las muestras están en el rango

(x(xminmin,x,xmaxmax) y se utilizan L niveles, entonces el tamaño ) y se utilizan L niveles, entonces el tamaño del intervalo de cuantización es: del intervalo de cuantización es:

y los niveles de amplitud permitidos son: y los niveles de amplitud permitidos son:

i= i=

0,...,L-10,...,L-1

4141


• En la figura se muestran dos tipos de En la figura se muestran dos tipos de características I/O: características I/O:

(a) Midtread-type quantizer, (b) Midriser-type quantizer (a) Midtread-type quantizer, (b) Midriser-type quantizer

4242


• La Cuantización da lugar a una pérdida de La Cuantización da lugar a una pérdida de precisión, de forma que la secuencia de salida del precisión, de forma que la secuencia de salida del cuantizador puede expresarse como: cuantizador puede expresarse como:

x(n)=x(n)+ ex(n)=x(n)+ eqq(n) (n)

• La amplitud de cada muestra de eLa amplitud de cada muestra de eqq(n) está en el (n) está en el rango: rango:

• Potencia ó valor cuadrático medio de la señal de Potencia ó valor cuadrático medio de la señal de error (de cuantización): error (de cuantización):

4343


• Para una señal de longitud finita, una estimación Para una señal de longitud finita, una estimación de la potencia del error es: de la potencia del error es:

• Se define la relación señal-ruido como la relación Se define la relación señal-ruido como la relación entre la potencia de la señal y la potencia del entre la potencia de la señal y la potencia del ruido: ruido:

4444


• Para una señal de longitud finita: Para una señal de longitud finita:

• Frecuentemente la relación señal ruido se Frecuentemente la relación señal ruido se expresa también en una escala en decibelios: expresa también en una escala en decibelios:

4545

MODIFICADOR DE LA MODIFICADOR DE LA FRECUENCIA DE MUESTREOFRECUENCIA DE MUESTREO

La frecuencia de muestreo de una señal discreta temporal La frecuencia de muestreo de una señal discreta temporal puede modificarse mediante dos métodos diferentes: puede modificarse mediante dos métodos diferentes:

1)1) Convertir la señal discreta en una señal contínua Convertir la señal discreta en una señal contínua y remuestrearla. y remuestrearla.

2)2) Procesar directamente la señal discreta Procesar directamente la señal discreta

4646


DECIMADOR:DECIMADOR:

• Sistema que reduce la frecuencia de muestreo en una Sistema que reduce la frecuencia de muestreo en una relación de enteros relación de enteros

• Un Un downsampler downsampler tiene una caracterísitca I/O: xD(n)=x(nD) tiene una caracterísitca I/O: xD(n)=x(nD)

• Retener una de cada D muestras de la señal de entrada.Retener una de cada D muestras de la señal de entrada.

4747



• Puede demostrarse que: Puede demostrarse que:

4848



• Para prevenir el aliasing, x(n) debe estar limitada en banda de Para prevenir el aliasing, x(n) debe estar limitada en banda de forma que:forma que:

X(w)=0 para X(w)=0 para

• En la práctica: En la práctica:

4949


INTERPOLADORINTERPOLADOR ::

• Sistema que incrementa la frecuencia de muestreo en una Sistema que incrementa la frecuencia de muestreo en una relación de enterosrelación de enteros

• UnUn upsampler upsampler se define por: se define por:

xxUU(n)= x(n/U) para n=kU y 0 para cualquier otro n.(n)= x(n/U) para n=kU y 0 para cualquier otro n.

En este caso, la señal de salida se obtiene insertando U-1En este caso, la señal de salida se obtiene insertando U-1muestras de amplitud 0 entre cada dos muestras consecutivas de muestras de amplitud 0 entre cada dos muestras consecutivas de

x(n).x(n).

5050



• En la práctica: En la práctica:

5151



• El espectro en frecuencias de la señal sobremuestreada es: El espectro en frecuencias de la señal sobremuestreada es:

XXUU(w)=X(w(w)=X(wUU))

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1 TEMA 2 CARACTERIZACIÓN FRECUENCIAL DE SEÑALES Y SISTEMAS