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La respuesta en frecuencia se define como la respuesta de un sistema, en estado estacionario, ante una entrada sinusoidal. Tal como en capítulos anteriores, los procesos estudiados en este capítulo son lineales, por lo que al ser sometidos a este tipo de entrada presentan tambien una salida sinusoidal pero con diferente amplitud y ángulo de fase, tal como se observa en la Fig. 1.1. Entre las ventajas que proporciona el análisis de un sistema a través de su respuesta en frecuencia se encuentran la facilidad de reproducir señales de prueba que permiten una identificación frecuencial, la existencia de criterios de estabilidad a lazo cerrado, basados en la respuesta frecuencial del sistema a lazo abierto y finalmente la disposición de técnicas de diseño para el control de sistemas cuando las especificaciones de la respuesta son de carácter frecuencial. Además, cabe mencionar, que es posible establecer una relación entre la respuesta frecuencial y la temporal. -10 -8 -6 -4 -2 0 2 4 6 8 10 -3 -2 -1 0 1 2 3 Tiempo Salida r(t) = Rsen(wt) c(t) = Csen(wt + v) Figura 1.1: Entrada y salida sinosoidal de un sistema Una vez alcanzado el estado estacionario se puede obtener, en forma analítica, la respuesta frecuencial haciendo uso de la función de transferencia del sistema G(s), sustituyendo s = j ω en dicha función de transferencia tal como se muestra a continuación. G ( j ω )= Me jφ (1.1) donde M corresponde con la relación de amplitudes de las sinusoidales de salida y entrada, y φ viene a ser el ángulo de desfasaje. De la misma forma G( j ω ) viene a ser un vector con módulo y fase, los cuales pueden expresarse según las Ecs. 1.2 y 1.3, respectivamente. G ( j ω )= |G ( j ω )| e jφ (1.2) φ = tg -1 Im (G ( j ω )) Re (G ( j ω )) (1.3) 1

1 Respuesta Frecuencial - prof.usb.veprof.usb.ve/montbrun/Respuesta_Frecuencial primera version 26abril.pdf · 1 Respuesta Frecuencial La respuesta en frecuencia se define como la

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  • 1 Respuesta Frecuencial

    La respuesta en frecuencia se define como la respuesta de un sistema, en estado estacionario, anteuna entrada sinusoidal. Tal como en captulos anteriores, los procesos estudiados en este captulo sonlineales, por lo que al ser sometidos a este tipo de entrada presentan tambien una salida sinusoidalpero con diferente amplitud y ngulo de fase, tal como se observa en la Fig. 1.1. Entre las ventajasque proporciona el anlisis de un sistema a travs de su respuesta en frecuencia se encuentran lafacilidad de reproducir seales de prueba que permiten una identificacin frecuencial, la existencia decriterios de estabilidad a lazo cerrado, basados en la respuesta frecuencial del sistema a lazo abierto yfinalmente la disposicin de tcnicas de diseo para el control de sistemas cuando las especificacionesde la respuesta son de carcter frecuencial. Adems, cabe mencionar, que es posible establecer unarelacin entre la respuesta frecuencial y la temporal.

    10 8 6 4 2 0 2 4 6 8 103

    2

    1

    0

    1

    2

    3

    Tiempo

    Sal

    ida

    r(t) = Rsen(wt)

    c(t) = Csen(wt + v)

    Figura 1.1: Entrada y salida sinosoidal de un sistema

    Una vez alcanzado el estado estacionario se puede obtener, en forma analtica, la respuesta frecuencialhaciendo uso de la funcin de transferencia del sistema G(s), sustituyendo s = j en dicha funcinde transferencia tal como se muestra a continuacin.

    G( j) = Me j (1.1)

    donde M corresponde con la relacin de amplitudes de las sinusoidales de salida y entrada, y vienea ser el ngulo de desfasaje. De la misma forma G( j) viene a ser un vector con mdulo y fase, loscuales pueden expresarse segn las Ecs. 1.2 y 1.3, respectivamente.

    G( j) = |G( j)|e j (1.2)

    = tg1[

    Im(G( j))Re(G( j))

    ](1.3)

    1

  • 1 Respuesta Frecuencial

    Ahora, partiendo del hecho de que la funcin de transferencia de un sistema es una relacin entreentrada-salida, se pueden expresar el mdulo y el ngulo en funcin de la entrada R(s) y de la salidaC(s), tal como lo expresan las Ecs. 1.4 y 1.5, respectivamente. De all que, si se conoce G(s) esposible obtener, en forma analtica, la respuesta frecuencial del sistema evaluando el mdulo y la fasepara valores de frecuencia desde cero hasta infinito.

    |G( j)|= |C ( j)||R( j)|(1.4)

    G( j) = (

    C ( j)R( j)

    )(1.5)

    1.1. Obtencin de la respuesta frecuencial a partir de la

    funcin de transferencia

    Una funcin de transferencia puede ser expresada como una relacin de ceros y polos que, en formageneral, puede ser escrita tal y como se muestra en la Ec. 1.6, donde Kcorresponde con la gananciadel sistema, z con los ceros, p con los polos, m con el nmero de ceros y n con el nmero de polos.A partir de all, el mdulo de la respuesta fracuencial y su fase, para un valor especfico de , secalcularan segn las Ecs. 1.7 y 1.8, respectivamente.

    G( j) =K

    mi=1

    ( j + zi)

    nj=1

    (j + p j

    ) (1.6)

    |G( j)|=K

    mi=1| j + zi|

    nj=1

    j + p j (1.7)

    G( j) =m

    i=1

    ( j + zi)n

    j=1

    (

    j + p j)

    (1.8)

    Considerando una funcin de transferencia especfica como la expresada por la Ec. 1.9, es posibleconocer su respuesta frecuencial tal como se muestra a continuacin, donde el mdulo y la fase de-bern evaluarse para desde cero hasta infinito.

    G(s) =K (s+ z)

    s(s+ p)2(1.9)

    G( j) =K ( j + z)j ( j + p)

    (1.10)

    |G( j)|= K | j + z|| j| | j + p|(1.11)

    2

  • 1.2 Diagramas de Bode

    G( j) = ( j + z) ( j +( j + p)) (1.12)

    La representacin de la respuesta frecuencial puede hacerse de diferentes formas, entre las cualesse pueden nombrar los Diagramas de Bode y los Diagramas Polares, los cuales sern estudiados acontinuacin.

    1.2. Diagramas de Bode

    Los diagramas de bode se utilizan para representar la respuesta frecuencial de un sistema haciendouso de dos grficos, el primero representa el logaritmo del mdulo versus la frecuencia y el segundorepresenta el ngulo de fase versus la frecuencia. La magnitud logartmica de G( j) se representacomo una amplitud logartmica y se calcula como el 20log|G( j)|, siendo la unidad de dicha ampli-tud los decibeles (dB). La principal ventaja de realizar un diagrama logartmico es que el carctermultiplicativo de los mdulos en la funcin de transferencia se convierte en aditivo, lo cual simplificala representacin en cuestin. Para un sistema cuya funcin de transferencia sea la expresada por laEc. 1.13, se calcular su amplitud logartmica y su fase tal como lo expresan las Ecs.1.16 y 1.17, enlas que se puede observar el carcter aditivo de ambas.

    G(s) =K (s+ z1)(s+ z2)s(s+ p1)(s+ p2)

    (1.13)

    G( j) =K ( j + z1)( j + z2)

    j ( j + p1)( j + p2)(1.14)

    |G( j)|= K | j + z1| | j + z2|| j| | j + p1| | j + p2|(1.15)

    20log |G( j)| = 20logK +20log | j + z1|+20log | j + z2| (20log | j|+20log | j + p1|+20log | j + p2|)

    (1.16)

    G( j) = (( j + z1)+( j + z2)) ( j +( j + p1)+( j + p2)) (1.17)

    Partiendo del hecho de que, tanto la amplitud logartmica como la fase, pueden ser representadascomo la suma de las contribuciones de cada uno de sus factores, es posible obtener el diagrama deBode de un sistema cualquiera si se conocen los diagramas de Bode para los diferentes factores quela conformen. Es decir, conocidos los diagramas de Bode para los distintos factores que puedencomponer una funcin de transferencia, ser posible obtener el diagrama de Bode de una funcincompuesta por dichos factores de una forma muy sencilla. Para ello se desarrollar la representacinde los diagramas de Bode para los diferentes factores que conforman una funcin de transferencia, loscuales son los siguientes:

    Ganancia G( j) = K Polo y cero en el origen G( j) = ( j)1

    Factores de primer orden G( j) = (1+ j)1

    3

  • 1 Respuesta Frecuencial

    Factores cuadrticos G( j) =[1+2 ( j/n)+( j/n)2

    ]A continuacin se desarrollarn los diagramas de Bode de cada uno de dichos factores, para lo cual separtir de la funcin de transferencia de cada uno y se seguir el mismo procedimiento descrito conanterioridad para obtener la amplitud logartmica y la fase.

    1.2.1. Ganancia

    La obtencin del diagrama de Bode para el factor ganancia se realiza sustituyendo s = j en la funcinde transferencia, de forma tal que a partir de all se pueda obtener la amplitud logartmica y la fasepara los valores de frecuencia requeridos, tal como se muestra a continuacin.

    G(s) = K G( j) = K (1.18)

    |G( j)|= K 20log |G( j)|= 20log(K) (1.19)

    G( j) = = tg1(

    ImRe

    )= 00 (1.20)

    En la Fig. 1.2 (a) se puede observar el vector que representa G( j) en el plano s, en el cual se apreciaque dicho vector siempre tendr una fase igual 0o y un mdulo igual a K independiente del valor dela frecuencia. Adicionalmente, en la Fig 1.2 (b) se puede apreciar el diagrama de Bode para los casosen que sea K > 1 y K < 1, del cual destaca el hecho de que agregar un factor ganancia tendr comoresultado una subida o bajada del diagrama de amplitud dependiendo del valor de la ganancia, sin queello modifique en lo absoluto la fase.

    (a)

    101

    100

    101

    102

    30

    20

    10

    0

    10

    20

    30

    Mag

    nitu

    d (d

    B)

    101

    100

    101

    102

    1

    0.5

    0

    0.5

    1

    Fase

    (de

    g)

    Frecuencia (r/s)

    K = 10

    K = 0,1

    K = 10 K = 0,1

    (b)

    Figure 1.2: Diagrama de Bode. Ganancia G(s) = K

    4

  • 1.2 Diagramas de Bode

    1.2.2. Polo y cero en el origen

    Al igual que en el caso anterior, la obtencin del diagrama de Bode para este tipo de factor se realizasustituyendo s = j en la funcin de transferencia, de forma tal que se pueda obtener la amplitudlogartmica y la fase para los valores de frecuencia requeridos, tal como se muestra a continuacin.

    G(s) =1s G( j) = 1

    j G( j) = 1

    j

    (( j)( j)

    )=

    (1

    )j (1.21)

    |G( j)|= 1 20log |G( j)|= 20log(1)20log() =20log() (1.22)

    G( j) = = tg1(

    ImRe

    ) = tg1

    (1/

    0

    ) =900 (1.23)

    A partir de all se puede concluir que el vector que representar la respuesta frecuencial para varia-ciones de de cero a infinito, mostrado en la Fig 1.3, tendr siempre una fase igual a 900, en tantoque su mdulo variar desde infinito a cero. En dicha figura es posible observar el siguiente compor-tamiento para la fase, el cual confirma lo concluido respecto a la misma.

    0 Re = 0 Im 900

    Re = 0 Im = 0 =900

    Figure 1.3: Polo en el origen (Plano s)

    En cuanto a la amplitud logartmica, descrita segn la Ec. 1.22, se concluye que la representacin de lamisma en escala semilogartmica resulta ser una recta, cuya pendiente puede conocerse evaluando lafuncin para dos valores de frecuencia, como por ejemplo 1 y 2 cuya diferencia es una dcada. Enla Ec. 1.25 se demuestra que en una dcada la recta a cado 20 dB por lo que se concluye que la grficade la amplitud logartmica corresponder con una recta cuya pendiente sea de 20 dB/dc. En la Fig.1.4 se puede observar el diagrama de Bode para un polo en el origen, en la cual tambin se incluye eldiagrama para un cero en el origen el diagrama de amplitud ser una recta de pendiente 20 dB/dc y lafase ser de 900 para toda la frecuencia. Ambos diagramas pueden observarse .

    1 =210

    (1.24)

    5

  • 1 Respuesta Frecuencial

    20log |G( j1)|20log |G( j2)|= 20log(

    12

    )= 20log

    (1

    101

    )=20log(10) =20 dB

    (1.25)

    101

    100

    101

    20

    10

    0

    10

    20

    Mag

    nitu

    d (d

    B)

    101

    100

    101

    102

    100

    50

    0

    50

    100

    Fase

    (de

    g)Polo Cero

    Cero

    Polo

    Figure 1.4: Diagrama de Bode. Polo y cero en el origen G( j) = ( j)1

    Cabe destacar que si se tienen polos mltiples, G(s) = (s)n, la ganancia logartmica y la fase quedarnexpresadas segn las Ecs. 1.26 y 1.27, respectivamente. De all que se tendr una grfica de ganancialogartmica cuya pendiente ser n(20dB/dcada) y una grfica de fase cuyo valor ser (n90o).

    20log( j)n=20nlog() (1.26)

    =n(900)

    (1.27)

    1.2.3. Polo y cero en el eje real

    La obtencin del diagrama de Bode para un polo en el eje real se realiza en forma semejante a losanteriores, de forma tal que el mdulo y la fase quedarn expresados segn las Ecs. 1.31 y 1.32.

    G(s) =1

    s+1(1.28)

    G( j) =1

    ( j +1)( j +1)( j +1)

    =1 j

    1+()2(1.29)

    6

  • 1.2 Diagramas de Bode

    G( j) =

    (1

    1+()2

    )

    (

    1+()2

    )j (1.30)

    |G( j)|=

    1+()2(1+()2

    )2 = 11+()2

    (1.31)

    G( j) = = tg1(

    ImRe

    ) = tg1 () (1.32)

    Para este caso se utilizarn aproximaciones para graficar el diagrama de Bode, tanto para la amplitudlogartmica como para la fase, las cuales se conocern en adelante como aproximaciones asintticas.Para ello se evaluarn lasEcs. 1.31 y 1.32 en ciertos valores que se muestran a continuacin.

    1/ 20log |G( j)|=20log(1) = 0 dB Re 1+ Im 0 00

    = 1/ 20log |G( j)|=20log

    2 =3 dB Re = +12 Im =12 =45

    0

    1/ 20log |G( j)|=20log() Re 0+ Im 0 900

    Como se puede observar, la amplitud logartmica tiende a 0 dB cuando la frecuencia es mucho menorque 1/ y cuando la frecuencia es mucho mayor que 1/ tiende a una recta de pendiente 20 dB/dc,siendo 1/ el punto donde se cortan ambas asntotas conocido como frecuencia de corte o de transicinde ganancias. En cuanto a la fase, tambien se observan unas tendencias en los extremos de frecuenciaen los cuales la misma no presentar cambios. En la Fig. 1.5(a) se muestra tanto el diagrama de Bodeexacto para un polo en el eje real, como su aproximacin asinttica y en la Fig. 1.5(b) se muestra elcaso del cero en el eje real.

    102

    101

    100

    101

    102

    40

    30

    20

    10

    0

    10

    Mag

    nitu

    d (d

    B)

    102

    101

    100

    101

    102

    80

    60

    40

    20

    0

    Fase

    (de

    g)

    Frecuencia (r/s)

    Aproximacin Asinttica

    Curva Real

    20 dB/dc

    3 dB

    (a)

    102

    101

    100

    101

    102

    10

    0

    10

    20

    30

    40

    Mag

    nitu

    d (d

    B)

    102

    101

    100

    101

    102

    0

    20

    40

    60

    80

    Fase

    (de

    g)

    Frecuencia (r/s)

    Aproximacin Asinttica

    3 dB

    Curva Real

    20 dB/dc

    (b)

    Figure 1.5: Diagrama de Bode. Polo y cero en el eje real G( j) = (1+ j)1

    7

  • 1 Respuesta Frecuencial

    1.2.4. Polos y ceros conjugados

    La obtencin del diagrama de Bode para un par de polos conjugados se realiza en forma semejante alos anteriores, de forma tal que el mdulo y la fase quedarn expresados segn las Ecs. 1.36 y 1.37,respectivamente. A partir de all, la amplitud logartmica quedar expresada por la Ec. 1.38.

    G(s) =(

    s2

    2n+

    2 sn

    +1)1

    (1.33)

    G( j) =

    1[1(

    n

    )2]+2 n j

    [

    1(

    n

    )2]2 n j[

    1(

    n

    )2]2 n j

    (1.34)

    G( j) =

    [1(

    n

    )2]2 n j[

    1(

    n

    )2]2+[2 n

    ]2 (1.35)

    |G( j)|=

    [

    1(

    n

    )2]2+[2 n

    ]2[[

    1(

    n

    )2]2+[2 n

    ]2]2 =[1(

    n

    )2]2+[

    2n

    ]2 12 (1.36)

    G( j) = = tg1(

    ImRe

    ) = tg1

    2 n1(

    n

    )2 (1.37)

    20log |G( j)|=10log

    [1( n

    )2]2+[

    2n

    ]2 (1.38)Tambin se utilizarn aproximaciones para graficar el diagrama de Bode, tanto para la amplitud loga-rtmica como para la fase, para ello se evaluarn lasEcs. 1.38 y 1.37 en ciertos valores que se muestrana continuacin.

    n 20log |G( j)|=20log(1) = 0 dB Re 1+ Im 0 00

    = n 20log |G( j)|=20log2 Re = 0+ Im = 12 =900

    n 20log |G( j)|=40log(

    n

    )Re

    (n)2 0 Im(n )3 0(ms rpido) 1800

    8

  • 1.2 Diagramas de Bode

    Como se puede observar, la amplitud logartmica tiende a 0 dB cuando la frecuencia es mucho menorque n y cuando la frecuencia es mucho mayor que n tiende a una recta de pendiente 40 dB/dc,siendo n el punto donde se cortan ambas asntotas conocido como frecuencia de corte o de transicinde ganancias. En cuanto a la fase, tambin se observan tendencias en los extremos de frecuencia en loscuales la misma no presentar cambios. En la Fig. 1.5(a) se muestra tanto el diagrama de Bode exactopara un par de polos conjugados, como su aproximacin asinttica.

    101

    100

    101

    102

    60

    40

    20

    0

    20

    Mag

    nitu

    d (d

    B)

    101

    100

    101

    102

    180

    135

    90

    45

    0

    Fase

    (gr

    ados

    )

    Frecuencia (r/s)

    Aproximacin Asinttica

    Curvas Reales

    40 dB/dc

    Figure 1.6: Diagrama de Bode. Polos conjugados G( j) =[1+2 ( j/n)+( j/n)2

    ]

    El pico que se observa en el diagrama de Bode anterior se conoce como pico de resonancia (Mr)y ocurre a una frecuencia conocida como frecuencia de resonancia (r), ambos valores pueden sercalculados utilizando las Ecs. 1.39 y 1.40, respectivamente.

    Mr = |G( jr)|=1

    2

    1 2(1.39)

    r = n

    12 2 (1.40)

    Una vez conocidos los diagramas de Bode para cada uno de los factores, se puede obtener el diagramade bode para un sistema conformado por varios factores, para lo cual se debe seguir el procedimientoque se muestra a continuacin.

    Rescribir la funcin de transferencia como un producto de los factores bsicos analizados ante-riormente

    Identificar las frecuencias de corte de cada uno de los factores Identificar los factores que tienen influencia a baja frecuencia Dibujar las aproximaciones asintticas de la amplitud logartmica comenzando a baja frecuencia

    y aadiendo el efecto de cada factor al ir llegando a su frecuencia de ocurrencia Corregir las aproximaciones asintticas

    9

  • 1 Respuesta Frecuencial

    Dibujar las tendencias de la fase, tanto a baja frecuencia como a alta frecuencia. Entre dichosextremos aproximar la forma de la curva de fase segn la ocurrencia de los diferentes factores.

    Ejercicio 1.1 Realizar el diagrama de Bode de un sistema cuya funcin de transferencia es la expre-sada por la Ec. 1.41.

    G(s) =100(s+10)

    (s+1)(s+100)(1.41)

    SolucinLo primero que debe hacerse es reordenar la funcin de transferencia para identificar aisladamentecada uno de los factores que la conforman, lo cual queda descrito por la Ec. 1.42. a partir de allse enumeran los distintos factores, sus caractersticas y su frecuencia de ocurrencia. Finalmente, enla Fig. 1.7 se muestra el diagrama de Bode solicitado, en el cual se muestran las curvas reales y laaproximacin asinttica.

    G(s) =100

    ( s+1010

    )10

    (s+1)( s+100

    100

    )100

    =10( 1

    10s+1)

    (s+1)( 1

    100s+1) (1.42)

    Ganancia K = 10 Polo en el eje real (s+1)1 1 = 1 Cero en el eje real

    ( 110s+1

    ) 2 = 10

    Polo en el eje real( 1

    100s+1)1 3 = 100

    101

    100

    101

    102

    103

    104

    40

    30

    20

    10

    0

    10

    20

    30

    Mag

    nitu

    d (d

    B)

    101

    100

    101

    102

    103

    104

    90

    75

    60

    45

    30

    15

    0

    Fase

    (de

    g)

    Frecuencia (r/s)

    20 dB/dc

    20 dB/dc w1 w2 w3

    Comienza en 0

    Termina en 90

    Decreciente Decreciente

    Creciente

    Figure 1.7: Diagrama de Bode. G(s) = 100(s+10)(s+1)(s+100)

    10

  • 1.2 Diagramas de Bode

    Ejercicio 1.2 Realizar el diagrama de Bode de un sistema cuya funcin de transferencia es la expre-sada por la Ec.1.43.

    G(s) =5000(s+10)

    s(s+50)(s+100)(1.43)

    SolucinLo primero que debe hacerse es reordenar la funcin de transferencia para identificar aisladamentecada uno de los factores que la conforman, lo cual queda descrito por la Ec. 1.44. a partir de allse enumeran los distintos factores, sus caractersticas y su frecuencia de ocurrencia. Finalmente, enla Fig. 1.8 se muestra el diagrama de Bode solicitado, en el cual se muestran las curvas reales y laaproximacin asinttica.

    G(s) =5000

    ( s+1010

    )10

    s( s+50

    50

    )50( s+100

    100

    )100

    =10( 1

    10s+1)

    s( 1

    50s+1)( 1

    100s+1) (1.44)

    Ganancia K = 10 Polo en el origen Cero en el eje real

    ( 110s+1

    ) 1 = 10

    Polo en el eje real( 1

    50s+1)1 2 = 50

    Polo en el eje real( 1

    100s+1)1 3 = 100

    101

    100

    101

    102

    103

    104

    80

    60

    40

    20

    0

    20

    40

    Mag

    nitu

    d (d

    B)

    101

    100

    101

    102

    103

    104

    180

    160

    140

    120

    100

    80

    60

    40

    Fase

    (de

    g)

    Frecuencia (r/s)

    20 dB/dc

    20 dB/dc

    40 dB/dc

    Fase aumenta

    Fase disminuye

    Fase comienza en 90

    Fase termina en 180

    w1 w2 w3

    Figure 1.8: Diagrama de Bode. G(s) = 5000(s+10)s(s+50)(s+100)

    11

  • 1 Respuesta Frecuencial

    Ejercicio 1.3 Realizar el diagrama de Bode de un sistema cuya funcin de transferencia es la expre-sada por la Ec.1.45.

    G(s) =40(s+10)2

    s(s+1)(s+100)(1.45)

    SolucinLo primero que debe hacerse es reordenar la funcin de transferencia para identificar aisladamentecada uno de los factores que la conforman, lo cual queda descrito por la Ec. 1.46. a partir de allse enumeran los distintos factores, sus caractersticas y su frecuencia de ocurrencia. Finalmente, enla Fig. 1.9 se muestra el diagrama de Bode solicitado, en el cual se muestran las curvas reales y laaproximacin asinttica.

    G(s) =40(s+10)2

    s(s+1)(s+100)=

    40( 1

    10s+1)2

    s(s+1)( 1

    100s+1) (1.46)

    Ganancia K = 40 Polo en el origen Polo en el eje real (s+1) 1 = 1 Dos ceros en el eje real

    ( 110s+1

    )2 2 = 10 Polo en el eje real

    ( 1100s+1

    )1 3 = 100

    102

    101

    100

    101

    102

    103

    104

    40

    20

    0

    20

    40

    60

    80

    Mag

    nitu

    d (d

    B)

    102

    101

    100

    101

    102

    103

    104

    140

    120

    100

    80

    60

    40

    Fase

    (de

    g)

    Frecuencia (r/s)

    Fase comienza en 90 Fase termina en 90

    Fase aumenta

    Fase disminuye

    Fase disminuye

    20 dB/dc

    20 dB/dc

    40 dB/dc

    w1

    w2 w3

    Figure 1.9: Diagrama de Bode. G(s) = 40(s+10)2

    s(s+1)(s+100)

    12

  • 1.3 Identificacin de un proceso a partir de su diagrama de Bode

    1.3. Identicacin de un proceso a partir de su diagrama

    de Bode

    En captulos anteriores se estudi la identificacin de un proceso a partir de su respuesta temporal,el cual result ser un procedimiento sumamente sencillo que permita la aproximacin de la funcinde transferencia a la de un sistema de primer o segundo orden, segn fuese el caso. La identificacinque se estudiar en esta seccin se fundamenta en el conocimiento de la respuesta frecuencial delproceso, a partir de la cual ser posible identificar de forma ms detallada los distintos factores queconforman una funcin de transferencia. El procedimiento para realizar una identificacin frecuencialpuede resumirse a continuacin tal como se muestra.

    Anlisis a baja frecuencia

    Para el caso de la amplitud logartmica se debe observar si presenta o no pendiente, pueseso determinar la presencia de polos el origen. Si la curva no tiene pendiente el sistemaser de tipo 0 y la ganancia se calcular a partir del valor del 20log |G( j)|= 20logK. Siposee pendiente el tipo del sistema depender de la pendiente, es decir, ser de tipo I si lapendiente es de 20dB/dc, tipo II si la pendiente es de 40dB/dc y as sucesivamente. Eneste caso, la ganancia debe calcularse leyendo el valor de la magnitud y comparndolo conel que debera tener si no existiese ganancia, de existir una dieferencia, sera debida a laganancia.

    Para el caso de la fase se debe observar a que valor tiende, si tiende a 00 indica que no haypolos ni ceros en el origen, en tanto si tiende a n900ello indicara la presencia de n poloso ceros en el origen.

    Anlisis a alta frecuencia

    Para el caso de la amplitud logartmica se debe observar el valor de la pendiente quedefinir la diferencia entre los polos y los ceros de la funcin de transferencia, pues param ceros y n polos, dicha pendiente ser igual a (nm)(20dB/dc). Para el caso de la fase se debe observar la tendencia pues ello debe coincidir con el diagra-

    ma de amplitud en lo que respecta a la diferencia entre polos y ceros, es decir, dicho valorser igual a (nm)

    (900

    ).

    Anlisis de los valores intermedios

    Se debe analizar primero la fase para determinar la ocurrencia de polos o ceros, basndoseen el hecho de que los ceros elevan el diagrama y los polos lo bajan.

    En base a lo anterior se deben ubicar las rectas de las aproximaciones asintticas tal quecoincidan con los razonamientos anteriores.

    Ejercicio 1.4 Para un sistema cuya respuesta frecuencial es la que se muestra en la Fig. 1.10, sesolicita que identifique la funcin de transferencia que lo representa.

    13

  • 1 Respuesta Frecuencial

    101

    100

    101

    102

    103

    104

    100

    80

    60

    40

    20

    0

    20

    40

    Mag

    nitu

    d (d

    B)

    101

    100

    101

    102

    103

    104

    180

    150

    120

    90

    60

    30

    0Fa

    se (

    deg)

    Frecuencia (r/s)

    Figure 1.10: Diagrama de Bode. Identificacin I

    SolucinTal como se mencion en el procedimiento anterior se realizar el anlisis a baja frecuencia, a altafrecuencia y en los valores intermedios.

    Anlisis a baja frecuencia

    El diagrama de magnitud no presenta pendiente por lo que la funcin de transferencia serde tipo 0. 20logK = 20 dB K = 10 La fase tiende a 00, lo cual coincide con lo esperado, es decir, la funcin de transferencia

    ser de tipo 0.

    Anlisis a alta frecuencia

    El el diagrama de magnitud la pendiente tiende a 40dB/dc y la fase a 1800, por lo quese concluye que mn = 2, es decir, existirn dos polos ms que ceros.

    Anlisis a frecuencias intermedias

    Tanto la magnitud como la fase presentan unas curvas que decrecen montonamente, porlo que se concluye que no deben existir ceros sino solamente polos.

    Tomando en cuenta lo anterior se puede concluir que la forma de la funcin de transferencia podra sercomo la que se expresa por la Ec. 1.47, de la cual solo hay que comprobar la frecuencia de ocurrenciade los polos. Ello es posible dibujando las aproximaciones asintticas sobre el diagrama de amplitud,tal como se muestra en la Fig. 1.11, a partir de donde se puede identificar la funcin de transferenciatal como lo expresa la Ec. 1.48.

    G(s)H (s) =K

    (1s+1)(2s+1)(1.47)

    14

  • 1.3 Identificacin de un proceso a partir de su diagrama de Bode

    G(s)H (s) =10( 1

    10s+1)( 1

    100s+1) (1.48)

    101

    100

    101

    102

    103

    104

    100

    80

    60

    40

    20

    0

    20

    40

    Mag

    nitu

    d (d

    B)

    101

    100

    101

    102

    103

    104

    180

    150

    120

    90

    60

    30

    0

    Fase

    (de

    g)

    Frecuencia (r/s)

    20 dB/dc

    40 dB/dc

    Siempre decreciente

    w1

    w2

    Comienza en 0

    Termina en 180

    Figure 1.11: Diagrama de Bode asinttico. Identificacin I

    Ejercicio 1.5 Para un sistema cuya respuesta frecuencial es la que se muestra en la Fig. 1.12, sesolicita que identifique la funcin de transferencia que lo representa.

    101

    100

    101

    102

    80

    70

    60

    50

    40

    30

    20

    10

    0

    10

    20

    Mag

    nitu

    d (d

    B)

    101

    100

    101

    102

    300

    250

    200

    150

    100

    50

    Fase

    (de

    g)

    Frecuencia (r/s)

    Figure 1.12: Diagrama de Bode. Identificacin II

    15

  • 1 Respuesta Frecuencial

    SolucinTal como en el ejemplo anterior se realizar el anlisis a baja frecuencia, a alta frecuencia y en losvalores intermedios.

    Anlisis a baja frecuencia

    El diagrama de magnitud presenta una pendiente igual a20dB/dc por lo que la funcin detransferencia ser de tipo I.

    Para una = 0,1 la magnitud es de aproximadamente 16 dB, la cual debera ser de 20 dBsi la ganancia fuese unitaria. Ello indica que la ganancia hace que el diagrama baje4 dB,por lo que la misma puede calcularse como sigue, 20logK =4 dB K = 0,63 La fase tiende a900, lo cual coincide con lo esperado, es decir, la funcin de transferencia

    ser de tipo I.

    Anlisis a alta frecuencia

    En el diagrama de magnitud la pendiente tiende a 60dB/dc y la fase a 2700, por lo quese concluye que mn = 3, es decir, existirn tres polos ms que ceros.

    Anlisis a frecuencias intermedias

    La fase aumenta ligeramente a baja frecuencia y luego decrece todo el tiempo, al igual quela pendiente que comienza negativa y tiende a cero para luego pasar a ser negativa, lo cualindica la ocurrencia de un cero a bajas frecuencias. Adicionalmente se observa un pico enel diagrama de magnitud, lo que implica que existen un par de polos conjugados, los cualesdeben sumarse al polo en el origen y a otro polo adicional para que mn = 3. Los polos congugados presentan un pico cuyo valor se puede leer de la grfica y calcular

    el valor de utilizando la Ec. 1.49.

    20logMr = 12 dB Mr = 12

    1 2= 4 = 0,126 (1.49)

    Tomando en cuenta lo anterior se puede concluir que la forma de la funcin de transferencia podra sercomo la que se expresa por la Ec. 1.50, de la cual solo hay que comprobar la frecuencia de ocurrenciade los polos. Ello es posible dibujando las aproximaciones asintticas sobre el diagrama de amplitud,tal como se muestra en la Fig. 1.13, a partir de donde se puede identificar la funcin de transferenciatal como lo expresa la Ec. 1.51.

    G(s)H (s) =K (1s+1)

    s(2s+1)[(

    12n

    )s2 +

    (2n

    )s+1

    ] (1.50)G(s)H (s) =

    0,63(s+1)

    s(

    11,8s+1

    )[( 164

    )s2 +

    (20,126

    64

    )s+1

    ] (1.51)

    16

  • 1.3 Identificacin de un proceso a partir de su diagrama de Bode

    101

    100

    101

    102

    80

    70

    60

    50

    40

    30

    20

    10

    0

    10

    20

    Mag

    nitu

    d (d

    B)

    101

    100

    101

    102

    300

    250

    200

    150

    100

    50

    Fase

    (de

    g)

    Frecuencia (r/s)

    w1 w2 w3

    20 log Mr = 12 dB

    Comienza en 90

    Creciente

    Decreciente

    Decreciente

    Termina en 270

    20 dB/dc 20 dB/dc

    60 dB/dc

    Figure 1.13: Diagrama de Bode asinttico. Identificacin II

    Ejercicio 1.6 Para un sistema cuya respuesta frecuencial es la que se muestra en la Fig. 1.14, sesolicita que identifique la funcin de transferencia que lo representa.

    102

    101

    100

    101

    102

    103

    104

    40

    20

    0

    20

    40

    60

    80

    Mag

    nitu

    d (d

    B)

    102

    101

    100

    101

    102

    103

    104

    140

    120

    100

    80

    60

    40

    Fase

    (de

    g)

    Frecuencia (r/s)

    Figure 1.14: Diagrama de Bode. Identificacin III

    17

  • 1 Respuesta Frecuencial

    Solucin

    Tal como en el ejemplo anterior se realizar el anlisis a baja frecuencia, a alta frecuencia y en losvalores intermedios.

    Anlisis a baja frecuencia

    El diagrama de magnitud presenta una pendiente igual a20dB/dc por lo que la funcin detransferencia ser de tipo I.

    Para una = 0,01 la magnitud es de aproximadamente 72 dB, la cual debera ser de 40 dBsi la ganancia fuese unitaria. Ello indica que la ganancia hace que el diagrama suba 32 dB,por lo que la misma puede calcularse como sigue, 20logK ' 32 dB K = 39,8.

    La fase tiende a900, lo cual coincide con lo esperado, es decir, la funcin de transferenciaser de tipo I.

    Anlisis a alta frecuencia

    En el diagrama de magnitud la pendiente tiende a 20dB/dc y la fase a 180, por lo que seconcluye que mn = 1, es decir, existir un polo ms que ceros.

    Anlisis a frecuencias intermedias

    La pendiente de la magnitud y la fase comienzan disminuyendo, lo que indica la ocurrenciade un polo. Luego la fase comienza a aumentar sobrepasando los 900 que inicialmentetena sin alcanzar los 900, igualmente la pendiente tiende a decrecer abruptamente, amboscomportamientos indican la aparicin de dos ceros que podran ser iguales o diferentes de-pendiendo de las aproximaciones asintticas que se apeguen ms al diagrama. Finalmente,la pendiente decrece a 20dB/dc y la fase tiende a 900.

    Tomando en cuenta lo anterior se puede concluir que la forma de la funcin de transferencia podra sercomo la que se expresa por la Ec. 1.52, de la cual solo hay que comprobar la frecuencia de ocurrenciade los polos. Ello es posible dibujando las aproximaciones asintticas sobre el diagrama de amplitud,tal como se muestra en la Fig. 1.15, a partir de donde se puede identificar la funcin de transferenciatal como lo expresa la Ec. 1.53.

    G(s)H (s) =K (2s+1)2

    s(1s+1)(3s+1)(1.52)

    G(s)H (s) =39,8

    ( 110s+1

    )2s(s+1)

    ( 1100s+1

    ) (1.53)

    18

  • 1.4 Relacin entre la curva de amplitud logartmica y el error

    102

    101

    100

    101

    102

    103

    104

    40

    20

    0

    20

    40

    60

    80

    Mag

    nitu

    d (d

    B)

    102

    101

    100

    101

    102

    103

    104

    140

    120

    100

    80

    60

    40

    Fase

    (de

    g)

    Frecuencia (r/s)

    Fase comienza en 90 Fase termina en 90

    Fase aumenta

    Fase disminuye

    Fase disminuye

    20 dB/dc

    20 dB/dc

    40 dB/dc

    w1

    w2 w3

    Figure 1.15: Diagrama de Bode asinttico. Identificacin III

    1.4. Relacin entre la curva de amplitud logartmica y el

    error

    Considerando un sistema de control de retroalimentacin simple, es posible utilizar la respuesta fre-cuencial a lazo abierto para conocer el error a lazo cerrado. Es importante recordar que el error deun sistema depende del tipo del sistema y de la entrada a la cual se vea sometido, pudindose cal-cular el error en funcin de los coeficientes de error esttico (K p, Kv y Ka), donde los valores delos mismos son calculados a partir de las Ecs. 1.54, 1.55 y 1.56, respectivamente. A continuacin semostrar, segn el tipo del sistema, como puede ser utilizada la respuesta frecuencial a lazo abiertopara el clculo del error.

    K p = lms0

    G(s) (1.54)

    K p = lms0

    sG(s) (1.55)

    K p = lms0

    s2G(s) (1.56)

    1.4.1. Sistemas tipo 0

    Para un sistema tipo 0 cuando la frecuencia tiende a cero G( j) tiende a K p, por lo tanto, a partir dela grfica de amplitud logartmica se puede obtener K p, pues a baja frecuencia la amplitud logartmicade 20log |G( j)|= 20logK p. En la Fig. 1.16 se puede apreciar lo enunciado anteriormente.

    19

  • 1 Respuesta Frecuencial

    Figure 1.16: Diagrama de amplitud. Clculo de K p

    1.4.2. Sistemas Tipo I

    Para un sistema de tipo I para cuando 1 se puede aproximar el mdulo del G(s) segn se muestraen la Ec. 1.57, lo cual se representa como una recta de pendiente 20 dB/dc a baja frecuencia. Siadems se evala esta aproximacin en = 1 se tiene que para esa frecuencia la recta tiene unamagnitud igual a 20logKv. Finalmente, si se extiende la recta hasta que corte los 0 dB, se determinaque dicho valor de frecuencia, 1, ser igual a Kv, tal como lo expresa la Ec.1.58. En la Fig. 1.17, sepuede apreciar lo emncionado anteriormente pero en forma grfica.

    G( j) Kvj |G( j)|= Kv

    20log |G( j)|= 20log

    (Kv

    )(1.57)

    20logKv=1

    = 0 dB Kv = 1 (1.58)

    Figure 1.17: Diagrama de amplitud. Clculo de Kv

    1.4.3. Sistemas Tipo II

    Para un sistema de tipo II para cuando 1 se puede aproximar el mdulo del G(s) segn semuestra en la Ec. 1.59, lo cual se representa como una recta de pendiente 40 dB/dc a baja frecuencia.

    20

  • 1.5 Relacin entre el diagrama de amplitud logartmica y la respuesta transitoria a lazo cerrado

    Si adems se evala esta aproximacin en = 1 se tiene que para esa frecuencia la recta tiene unamagnitud igual a 20logKa. Finalmente, si se extiende la recta hasta que corte los 0 dB, se determinaque dicho valor de frecuencia, 1, ser igual a Kv, tal como lo expresa la Ec.1.60. En la Fig. 1.18, sepuede apreciar lo emncionado anteriormente pero en forma grfica.

    G( j) Ka( j)2

    |G( j)|= Ka2 20log |G( j)|= 20log

    (Ka2

    )(1.59)

    20logKa2

    =1

    = 0 dB 1 =

    Ka (1.60)

    Figura 1.18: Diagrama de Amplitud. Clculo de Ka

    1.5. Relacin entre el diagrama de amplitud logartmica

    y la respuesta transitoria a lazo cerrado

    Para un sistema a lazo cerrado con retroalimentacin unitaria se define M(s) como la funcin detransferencia a lazo cerrado, en funcin de la funcin de transferencia a lazo abierto G(s), tal como loexpresa la Ec. 1.61. A partir all se obtiene el diagrama de amplitud a lazo cerrado sustituyendo s = jy representado dicha amplitud segn la Ec. 1.62. Considerando un sistema particular a lazo cerradocon ganancia unitaria cuyo diagrama de amplitud se muestra en la Fig. 1.19, se define la frecuencia decorte b como la frecuencia a partir de la magnitud a lazo cerrado est por debajo de los3 dB, de allque el ancho de banda se define como el rango de frecuencias entre 0 b. De igual forma, parasistemas a lazo cerrado cuya ganancia no sea unitaria, el valor de la frecuencia de corte b es aquellafrecuencia en la cual la magnitud est 3 dB por debajo de su valor de frecuencia cero, tal como loexpresa la Ec. 1.63.

    M(s) =C(s)R(s)

    =G(s)

    1+G(s)(1.61)

    20log |M( j)|= 20log G( j)1+G( j)

    (1.62)|M( j)|< |M( j0)|3 dB, > b (1.63)

    21

  • 1 Respuesta Frecuencial

    Figura 1.19: Grfica de la amplitud a lazo cerrado. Ancho de Banda

    El ancho de banda viene a ser una caracterstica del sistema ntimamente relacionada con la respuestatransitoria del sistema, siendo las siguientes las consideraciones que se deben tomar en cuenta alanalizar un sistema a lazo cerrado.

    La respuesta del sistema para valores de frecuencia mayores al wb estar atenuada. El ancho de banda se puede definirse como la capacidad que tiene un sistema a lazo cerrado de

    reproducir adecuadamente una seal de entrada. Para un ancho de banda es grande corresponde una rapidez de la respuesta alta, o lo que es lo

    mismo, el ancho de banda es directamente proporcional a la velocidad de respuesta. El valor del ancho de banda se encuentra limitado pues el ruido ocurre a alta frecuencia y debe

    evitarse que el mismo perturbe la salida.

    Tal como se describi anteriormente, el ancho de banda es una caracterstica del sistema a lazo cerrado,cuyo valor puede ser identificado a partir del diagrama de amplitud del sistema a lazo cerrado. Asmismo, se puede utilizar el diagrama de amplitud a lazo abierto para conocer el ancho de banda a lazocerrado pues las caractersticas del diagrama de amplitud a alta frecuencia son bastantes parecidastanto a lazo cerrado como a lazo abierto, tal como se aprecia en la Fig. 1.20.

    Figura 1.20: Grficas de la amplitud a lazo abierto y cerrado. Ancho de Banda

    22

  • 1.6 Diagramas Polares

    1.6. Diagramas Polares

    Los diagramas polares son una representacin de la respuesta frecuencial de un sistema, en la cual seutiliza el plano s para representar punto a punto la variacin de G( j) cuando 0 , en otraspalabras, es el lugar geomtrico de los vectores que representan el mdulo y la fase de G( j) paraesos valores de frecuencia. El procedimiento a seguir para la obtencin de un diagrama polar difierede lo realizado para los diagramas de Bode, pues los mismos no tienen las mismas caractersticas deaditividad que tienen los diagramas de Bode. Es por ello que para la obtencin de un diagrama polarno se parte del desarrollo previo de los diferentes factores que conforman una funcin de transferen-cia, sino que se analiza trabaja caso particular. Cabe destacar que, habiendo estudiado previamentelos diagramas de Bode, esto puede servir de base para el estudio de los diagramas polares que sedesarrollarn a continuacin.Para el caso de una ganancia, se destaca en la Ec. 1.18, que solamente se modifica el mdulo de larespuesta frecuencial por lo que su efecto sobre un diagrama polar es aumentar el mdulo propor-cionalmente a la ganancia sin afectar la fase. Para el caso de un polo o cero en el origen, en la Fig.1.21(a) se muestran los diagramas polares correspondientes, los cuales se fundamentan en los razon-amientos realizados para la obtencin de los diagramas de Bode para estos factores. As mismo, semuestra en la Fig. 1.21(b) los diagramas polares para un polo y un cero en el eje real.

    (a) polo y cero en el origen (b) Polo y cero en el eje Real

    Figure 1.21: Diagramas polares

    Ahora, para obtener el diagrama polar de una funcin de transferencia cualquiera se debe tomar encuenta que, debido a que los sistemas bajo estudio siempre tienen ms polos que ceros, el mdulo dela respuesta frecuencial siempre tender a cero cuando tiende a infinito. Es por ello que, para cadacaso particular, se realizar un anlisis de la fase para todo el barrido de frecuencia con lo que podraproximarse la forma del diagrama polar. A continuacin se mostrarn varios ejemplos de forma talque ello permita generalizar una metodologa para la obtencin de los diagramas polares.

    Ejercicio 1.7 Desarrolle el diagrama polar para un sistema cuya funcin de transferencia se expresasegn la Ec. 1.64.

    G(s) =1

    s(s+1)(1.64)

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  • 1 Respuesta Frecuencial

    SolucinLo primero que se debe hacer es sustituir en la funcin de transferencia del sistema s = j , de formatal que se tenga la funcin de la respuesta frecuencial a representar. A partir de all, se analiza lacontribucin de cada uno de los factores tanto a baja como a alta frecuencia, encontrndose para estecaso, que la fase del polo en el origen se mantiene siempre en 900, en tanto la del polo en el eje realno afecta la fase a baja frecuencia pero va aadiendo una fase negativa que finalmente tiende a 900.En cuanto al mdulo, el mismo comienza como infinito a baja frecuencia para luego terminar en cero.Tomando en cuenta estos razonamientos se obtiene el diagrama polar que se muestra en la Fig. 1.22.

    G( j) =1

    j ( j +1)(1.65)

    1j

    1( j+1)

    0 |G( j)| =900|G( j)|= 1

    = 00

    |G( j)| 0 =900|G( j)| 0

    =900

    Figure 1.22: Diagramas polares

    Ejercicio 1.8 Desarrolle el diagrama polar para un sistema cuya funcin de transferencia se expresasegn la Ec. 1.66, para la cual debe considerar que 1 > 2 > 3.

    G(s) =K (2s+1)2

    s(1s+1)(3s+1)(1.66)

    SolucinAl igual que en el ejemplo anterior se sustituye en la funcin de transferencia del sistema s = j , deforma tal que se tiene la funcin de la respuesta frecuencial a representar. A partir de all, se analiza la

    24

  • 1.6 Diagramas Polares

    contribucin de cada uno de los factores tanto a baja como a alta frecuencia, encontrndose para estecaso, que la fase comienza y termina en900decreciendo a baja frecuencia por accin del primer polopara luego aumentar por la aparicin de los dos ceros y finalmente regresar a la fase inicial debido a laapaticin del otro polo. En cuanto a la amplitud, la misma comienza en infinito para terminar en cero.Tomando en cuenta estos razonamientos se obtiene el diagrama polar que se muestra en la Fig. 1.23.

    G( j) =K (1 j +1)2

    j (2 j +1)(3 j +1)(1.67)

    K 1j (1 j +1)2 (2 j +1)1 (3 j +1)1

    0 |G( j)|= K = 00|G( j)|

    =900|G( j)| 1

    = 00|G( j)| 1

    = 00|G( j)| 1

    = 00

    |G( j)|= K = 00|G( j)| 0

    =900|G( j)| 0

    = 1800|G( j)| 0

    =900|G( j)| 0

    =900

    Figure 1.23: Diagramas polares

    1.6.1. Formas generales

    Los diagramas polares presentan unas formas generales que dependen exclusivamente del tipo delsistema y de la diferencia entre el nmero de polos y de ceros de la funcin de transferencia, puesello define la tendencia del diagrama tanto a baja como a alta frecuencia, atl como se muestra acontinaucin. A partir de all se representan las formas generales, que se muestran en la Fig. 1.24, deforma tal que puedan utilizarse para desarrollar diagramas polarse con mayor facilidad. Como se puedeobservar, dichas formas solamente ofrecen las tendencias en los valores extremos de la frecuencia, locual es debido a que lo que sucede en las frecuencias intermedias depender de la forma particualr decada funcin de transferencia.

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  • 1 Respuesta Frecuencial

    Tipo 0 Tipo I Tipo II

    0 |G( j)|= K = 00|G( j)|

    =900|G( j)| =1800

    |G( j)|= 0 = (mn)(900

    ) |G( j)| 0 = (mn)

    (900

    ) |G( j)| 0 = (mn)

    (900

    )

    Figure 1.24: Formas generales de lso diagramas polares

    Ejercicio 1.9 Desarrolle el diagrama polar para un sistema cuya funcin de transferencia se expresasegn la Ec. 1.68, para la cual debe considerar que 1 > 2 > 3 > 4.

    G(s) =K (2s+1)2

    s2 (1s+1)(3s+1)(4s+1)(1.68)

    SolucinComo se puede observar el sistema es de tipo II, por lo que el diagrama polar comenzar a bajafrecuencia con mdulo infinito y = 1800, en tanto que cuando la frecuencia tienda a infinito elmdulo tender a cero y = (mn)

    (900

    )= 3

    (900

    )= 2700. En cuanto a lo que sucede en

    als frecuencias intermedias se observa que, debido a los valores de las constantes de tiempo, primeroocurre un polo que llevar a la fase a valores ms negativos, luego ocurren dos ceros que harn que lafase pase a valores mayores a los 1800, para que luego aparezcan dos polos que finalmente llevarna la fase a los 2700. En la Fig. 1.25 se puede observar el diagrama polar correspondiente.

    Figure 1.25: Diagrama polar G(s) = K(2s+1)2

    s2(1s+1)(3s+1)(4s+1)

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