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Departamento de Ingeniería de Sistemas y Automática Departamento de Ingeniería de Sistemas y Automática Departamento de Ingeniería de Sistemas y Automática Automática 2º Curso del Grado en Ingeniería en Tecnología Industrial Tema 5. Análisis de la Respuesta Frecuencial de Sistemas LTI

Tema 5. Análisis de la Respuesta Frecuencial de …mapir.isa.uma.es/varevalo/teaching/automatica/pdfs/Tema 05... · La transformada de Laplace de la función seno es: ... -90-45

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    ca Automtica

    2 Curso del Grado en

    Ingeniera en Tecnologa Industrial

    Tema 5.

    Anlisis de la Respuesta Frecuencial

    de Sistemas LTI

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    Contenido

    TEMA 5.- Anlisis de respuesta en frecuencia

    5.1. Anlisis de sistemas en tiempo continuo en el dominio de la

    frecuencia.

    5.2. Representacin mediante diagramas de Bode.

    5.3. Trazado de diagramas de Bode.

    5.4. Sistemas de fase no mnima.

    5.5. Especificaciones del comportamiento en el dominio de la

    frecuencia.

    5.6. Anlisis de estabilidad. Mrgenes de ganancia y de fase.

    5.7. Relacin de la respuesta en frecuencia con la respuesta

    temporal.

    5.8. Determinacin experimental de la funcin de transferencia a

    partir de la respuesta en frecuencia.

    5.9. Compensacin en el dominio de la frecuencia.

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    Anlisis en frecuencia de sistemas LTI

    Respuesta en frecuencia:

    Se entiende por respuesta en frecuencia la respuesta en estado

    estacionario de un sistema estable ante una entrada senoidal.

    La respuesta en estado estacionario de un sistema LTI ante una

    entrada senoidal no depende de las condiciones iniciales, por lo

    que se van a suponer condiciones iniciales nulas.

    Una de las ventajas que ofrece el estudio de la respuesta en

    frecuencia de un sistema es que mediante pruebas sencillas se

    puede determinar de forma experimental su funcin de

    transferencia utilizando generadores de onda y equipos de

    medicin de uso frecuente en los laboratorios.

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    Funcin de transferencia senoidal:

    La transformada de Laplace de la funcin seno es:

    y la salida ser:

    Calculando la transformada inversa de Laplace y aplicando el

    lmite cuando el tiempo tiende a infinito se obtiene la salida en

    estado estacionario:

    La salida es una seal senoidal de la misma frecuencia que la

    seal de entrada pero multiplicada por una ganancia |G(j)| y

    desplazada en la fase por un ngulo G(j).

    Anlisis en frecuencia de sistemas LTI

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    Anlisis en frecuencia de sistemas LTI

    Funcin de transferencia senoidal (cont.):

    La respuesta en frecuencia de un sistema con funcin de

    transferencia G(s) se obtiene sustituyendo s=j, obteniendo la

    funcin G(j) denominada funcin de transferencia senoidal:

    donde se cumple que Y(j) = G(j) X(j).

    Grficamente:

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    Funcin de transferencia senoidal (cont.):

    El mdulo de la funcin de transferencia senoidal se obtiene del

    cociente entre las amplitudes de las seales de salida y entrada.

    El ngulo de la funcin de transferencia senoidal, denominado

    ngulo de fase, es la diferencia entre los ngulos de las seales

    de salida y entrada.

    Si el ngulo de fase es positivo, se denomina adelanto de fase,

    mientras que si es negativo se denomina atraso retardo de fase.

    Anlisis en frecuencia de sistemas LTI

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    Funcin de transferencia senoidal (cont.):

    Ejemplo:

    Entrada: x(t) = sin(4t)

    Salida 1: y1(t) = 1.5 sin(4t + /4) Adelanto de fase.

    Salida 2: y2(t) = 1.5 sin(4t - /4) Retardo de fase.

    Anlisis en frecuencia de sistemas LTI

    0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1-1.5

    -1

    -0.5

    0

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    1

    1.5Adelanto y atraso de fase

    t (segundos)

    x (

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    Contenido

    TEMA 5.- Anlisis de respuesta en frecuencia

    5.1. Anlisis de sistemas en tiempo continuo en el dominio de la

    frecuencia.

    5.2. Representacin mediante diagramas de Bode.

    5.3. Trazado de diagramas de Bode.

    5.4. Sistemas de fase no mnima.

    5.5. Especificaciones del comportamiento en el dominio de la

    frecuencia.

    5.6. Anlisis de estabilidad. Mrgenes de ganancia y de fase.

    5.7. Relacin de la respuesta en frecuencia con la respuesta

    temporal.

    5.8. Determinacin experimental de la funcin de transferencia a

    partir de la respuesta en frecuencia.

    5.9. Compensacin en el dominio de la frecuencia.

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    Representacin mediante diagramas de Bode

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    Mag

    nitud

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    Fase

    (deg

    )

    Diagrama de Bode

    Frequencia (rad/sec)

    Diagramas de Bode:

    Un diagrama de Bode representa la funcin de transferencia

    senoidal G(j) mediante dos grficas distintas, utilizando un eje

    de abscisas comn en escala logartmica para la frecuencia

    (rad/seg) y una escala lineal para los ejes de ordenadas:

    Expresada en dB (20log|G(j)|) para la grfica de magnitud.

    Expresada en grados para la grfica de ngulo de fase.

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    Representacin mediante diagramas de Bode

    Diagramas de Bode (cont.):

    La utilizacin de una escala logartmica para permite

    representar en un solo diagrama las caractersticas de alta y

    baja frecuencia de G(j).

    La frecuencia se expresa en dcadas, donde una dcada es

    la banda de frecuencia desde 1 a 101 siendo 1 cualquier

    valor de frecuencia.

    10-2

    10-1

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    10

    20

    nmeros en escala logartmica

    Deci

    belio

    s

    La figura muestra el |G(j)|=|j|.

    En escala logartmica (3

    dcadas) la grfica resultante

    es una lnea recta de 20

    dB/dcada que pasa por el

    punto (1 rad/s, 0dB).

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    Contenido

    TEMA 5.- Anlisis de respuesta en frecuencia

    5.1. Anlisis de sistemas en tiempo continuo en el dominio de la

    frecuencia.

    5.2. Representacin mediante diagramas de Bode.

    5.3. Trazado de diagramas de Bode.

    5.4. Sistemas de fase no mnima.

    5.5. Especificaciones del comportamiento en el dominio de la

    frecuencia.

    5.6. Anlisis de estabilidad. Mrgenes de ganancia y de fase.

    5.7. Relacin de la respuesta en frecuencia con la respuesta

    temporal.

    5.8. Determinacin experimental de la funcin de transferencia a

    partir de la respuesta en frecuencia.

    5.9. Compensacin en el dominio de la frecuencia.

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    Trazado de diagramas de Bode

    Factores bsicos:

    La funcin de transferencia de un sistema puede representarse

    como un producto de factores bsicos (en forma normalizada):

    1. Ganancia K.

    2. Integradores y derivadores con orden de multiplicidad n.

    3. Polos y ceros .

    4. Polos y ceros ( ).

    Para dibujar el diagrama de Bode de cada uno de estos trminos,

    se calcula la correspondiente funcin de transferencia senoidal

    G(j) para varias frecuencias y se representan los puntos

    grficamente. El trazado se simplifica utilizando aproximacionesasintticas para cada uno de los factores.

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    Ganancia K:

    La curva de magnitud logartmica para una ganancia constante K

    es una recta horizontal cuya magnitud es de 20 log K decibelios.

    si K > 1 recta con valor positivo en dBs.

    si 0 < K < 1 recta con valor negativo en dBs.

    El ngulo de fase de la ganancia K es cero grados.

    El recproco de un nmero difiere de su valor slo en el signo:

    El efecto de variar la ganancia K en la funcin de transferencia

    es que sube o baja la curva de magnitud logartmica de la

    funcin de transferencia en la cantidad constante

    correspondiente, pero no afecta a la curva de fase.

    Trazado de diagramas de Bode

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    Integradores :

    Los valores de la magnitud expresada en dB y del ngulo

    expresado en grados son:

    Como w se expresa en escala logartmica, la representacin de

    la magnitud en dB es una lnea recta que pasa por el punto

    (1 rad/s, 0 dB) y pendiente de -20 dB/dcada.

    Trazado de diagramas de Bode

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    Trazado de diagramas de Bode

    Integradores (cont.):

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    Derivadores G( j) = j:

    Los valores de la magnitud expresada en decibelios y del ngulo

    expresado en grados son:

    La pendiente de la curva de magnitud es de +20 dB/dcada y el

    signo del ngulo de fase cambia de signo (pasa a ser positivo).

    Trazado de diagramas de Bode

  • Dep

    art

    am

    en

    to d

    e I

    ng

    en

    ier

    a

    de S

    iste

    mas y

    Au

    tom

    ti

    ca

    Dep

    art

    am

    en

    to d

    e I

    ng

    en

    ier

    a

    de S

    iste

    mas y

    Au

    tom

    ti

    ca

    Dep

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    ier

    a

    de S

    iste

    mas y

    Au

    tom

    ti

    ca

    Derivadores G( j) = j (cont.):

    Trazado de diagramas de Bode

  • Dep

    art

    am

    en

    to d

    e I

    ng

    en

    ier

    a

    de S

    iste

    mas y

    Au

    tom

    ti

    ca

    Dep

    art

    am

    en

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    e I

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    ier

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    de S

    iste

    mas y

    Au

    tom

    ti

    ca

    Dep

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    am

    en

    to d

    e I

    ng

    en

    ier

    a

    de S

    iste

    mas y

    Au

    tom

    ti

    ca

    Integradores y derivadores de orden superior a 1:

    Los valores de la magnitud expresada en decibelios y del ngulo

    expresado en grados seran:

    Trazado de diagramas de Bode

    Tanto las pendientes como los ngulos de fase se multiplican por n.

  • Dep

    art

    am

    en

    to d

    e I

    ng

    en

    ier

    a

    de S

    iste

    mas y

    Au

    tom

    ti

    ca

    Dep

    art

    am

    en

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    e I

    ng

    en

    ier

    a

    de S

    iste

    mas y

    Au

    tom

    ti

    ca

    Dep

    art

    am

    en

    to d

    e I

    ng

    en

    ier

    a

    de S

    iste

    mas y

    Au

    tom

    ti

    ca

    Integradores y derivadores de orden superior a 1 (cont.):

    Trazado de diagramas de Bode

  • Dep

    art

    am

    en

    to d

    e I

    ng

    en

    ier

    a

    de S

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    mas y

    Au

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    ti

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    Dep

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    en

    to d

    e I

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    ier

    a

    de S

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    mas y

    Au

    tom

    ti

    ca

    Dep

    art

    am

    en

    to d

    e I

    ng

    en

    ier

    a

    de S

    iste

    mas y

    Au

    tom

    ti

    ca

    Trazado de diagramas de Bode

    Polo real:

    La funcin de transferencia de un sistema de primer orden con

    constante de tiempo T es

    El diagrama de Bode de la magnitud se obtiene de la expresin

    que se aproxima a:

  • Dep

    art

    am

    en

    to d

    e I

    ng

    en

    ier

    a

    de S

    iste

    mas y

    Au

    tom

    ti

    ca

    Dep

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    am

    en

    to d

    e I

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    ier

    a

    de S

    iste

    mas y

    Au

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    ti

    ca

    Dep

    art

    am

    en

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    e I

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    en

    ier

    a

    de S

    iste

    mas y

    Au

    tom

    ti

    ca

    Trazado de diagramas de Bode

    Polo real (cont.):

    La representacin de la curva de ganancia es una recta de

    pendiente -20 dB/dcada. Para la frecuencia w=1/T, las

    asntotas de alta y baja frecuencia toman ambas 0 dB,

    denominndose frecuencia de cruce, con un error mximo de

    cul es el polo ?? cul es el polo ??

    En su forma normalizada (f.n.)

    OJO: En escala logartmica

  • Dep

    art

    am

    en

    to d

    e I

    ng

    en

    ier

    a

    de S

    iste

    mas y

    Au

    tom

    ti

    ca

    Dep

    art

    am

    en

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    e I

    ng

    en

    ier

    a

    de S

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    mas y

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    ti

    ca

    Dep

    art

    am

    en

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    e I

    ng

    en

    ier

    a

    de S

    iste

    mas y

    Au

    tom

    ti

    ca

    Trazado de diagramas de Bode

    Polo real (cont.):

    Para representar el ngulo de fase, se utiliza la expresin:

  • Dep

    art

    am

    en

    to d

    e I

    ng

    en

    ier

    a

    de S

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    mas y

    Au

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    ti

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    Dep

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    am

    en

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    e I

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    ier

    a

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    mas y

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    ti

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    Dep

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    en

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    e I

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    ier

    a

    de S

    iste

    mas y

    Au

    tom

    ti

    ca

    Trazado de diagramas de Bode

    Polo real (cont.):

    Diagrama de Bode en magnitud y fase de un sistema con un

    polo real.

    cruce

  • Dep

    art

    am

    en

    to d

    e I

    ng

    en

    ier

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    de S

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    Dep

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    en

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    ier

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    mas y

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    Dep

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    ier

    a

    de S

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    mas y

    Au

    tom

    ti

    ca

    Trazado de diagramas de Bode

    Cero real:

    La asntota de baja frecuencia del cero, recproco del polo real,

    es de 0 dB y la pendiente de la asntota de alta frecuencia de

    +20 dB/dcada. El ngulo de fase vara de 0 a +90 con el

    punto de inflexin en +45.

    Una ventaja de los diagramas de Bode es que para

    factores recprocos, las curvas de magnitud y ngulo

    de fase slo requieren un cambio de signo.

    polo cero?

  • Dep

    art

    am

    en

    to d

    e I

    ng

    en

    ier

    a

    de S

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    mas y

    Au

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    ti

    ca

    Dep

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    am

    en

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    e I

    ng

    en

    ier

    a

    de S

    iste

    mas y

    Au

    tom

    ti

    ca

    Dep

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    en

    to d

    e I

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    a

    de S

    iste

    mas y

    Au

    tom

    ti

    ca

    Trazado de diagramas de Bode

    Cero real (cont.):

    Diagrama de Bode en magnitud y fase de un sistema con un

    cero real.

  • Dep

    art

    am

    en

    to d

    e I

    ng

    en

    ier

    a

    de S

    iste

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    Dep

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    am

    en

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    ier

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    iste

    mas y

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    ti

    ca

    Dep

    art

    am

    en

    to d

    e I

    ng

    en

    ier

    a

    de S

    iste

    mas y

    Au

    tom

    ti

    ca

    Trazado de diagramas de Bode

    Polos complejos conjugados:

    En el caso de polos complejos conjugados la funcin de

    transferencia senoidal cuando G(s) expresada en funcin de n y

    de es:

    El mdulo de G(j) expresado en decibelios viene dada por

    que se aproxima a

    Ambas asntotas se cruzan en la frecuencia natural n que es la

    frecuencia de cruce.

  • Dep

    art

    am

    en

    to d

    e I

    ng

    en

    ier

    a

    de S

    iste

    mas y

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    ti

    ca

    Dep

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    am

    en

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    e I

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    ier

    a

    de S

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    mas y

    Au

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    ti

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    Dep

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    am

    en

    to d

    e I

    ng

    en

    ier

    a

    de S

    iste

    mas y

    Au

    tom

    ti

    ca

    Trazado de diagramas de Bode

    Polos complejos conjugados (cont.):

    Mientras que la representacin asinttica es independiente de ,

    la representacin exacta de la curva de magnitud depende del

    valor de este parmetro, producindose un mximo ms

    acentuado (pico de resonancia) a medida que el valor de es

    ms pequeo.

    La frecuencia a la que se produce el mximo de la curva de

    magnitud se denomina frecuencia de resonancia.

  • Dep

    art

    am

    en

    to d

    e I

    ng

    en

    ier

    a

    de S

    iste

    mas y

    Au

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    ti

    ca

    Dep

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    am

    en

    to d

    e I

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    en

    ier

    a

    de S

    iste

    mas y

    Au

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    ti

    ca

    Dep

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    am

    en

    to d

    e I

    ng

    en

    ier

    a

    de S

    iste

    mas y

    Au

    tom

    ti

    ca

    Trazado de diagramas de Bode

    Polos complejos conjugados (cont.):

    Diagrama de Bode en magnitud de sistema con polos complejos

    conjugados.

  • Dep

    art

    am

    en

    to d

    e I

    ng

    en

    ier

    a

    de S

    iste

    mas y

    Au

    tom

    ti

    ca

    Dep

    art

    am

    en

    to d

    e I

    ng

    en

    ier

    a

    de S

    iste

    mas y

    Au

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    ti

    ca

    Dep

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    am

    en

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    e I

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    en

    ier

    a

    de S

    iste

    mas y

    Au

    tom

    ti

    ca

    Trazado de diagramas de Bode

    Polos complejos conjugados (cont.):

    El ngulo de fase de los factores complejos conjugados tambin

    depende de segn

    Sustituyendo para diferentes valores de w se obtiene

    En ingeniera se utiliza la

    variante de atan que calcula el

    ngulo en 4 cuadrantes (atan2)

  • Dep

    art

    am

    en

    to d

    e I

    ng

    en

    ier

    a

    de S

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    mas y

    Au

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    ti

    ca

    Dep

    art

    am

    en

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    e I

    ng

    en

    ier

    a

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    mas y

    Au

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    ti

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    Dep

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    ier

    a

    de S

    iste

    mas y

    Au

    tom

    ti

    ca

    Trazado de diagramas de Bode

    Polos complejos conjugados (cont.):

    Diagrama de Bode en magnitud y fase de sistema con polos

    complejos conjugados.

  • Dep

    art

    am

    en

    to d

    e I

    ng

    en

    ier

    a

    de S

    iste

    mas y

    Au

    tom

    ti

    ca

    Dep

    art

    am

    en

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    e I

    ng

    en

    ier

    a

    de S

    iste

    mas y

    Au

    tom

    ti

    ca

    Dep

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    en

    to d

    e I

    ng

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    ier

    a

    de S

    iste

    mas y

    Au

    tom

    ti

    ca

    Trazado de diagramas de Bode

    Ceros complejos conjugados:

    El diagrama de Bode de magnitud tiene la asntota de alta

    frecuencia de pendiente +40 dB/dcada y el ngulo de fase vara

    de 0 a +180 con el punto de inflexin en +90.

  • Dep

    art

    am

    en

    to d

    e I

    ng

    en

    ier

    a

    de S

    iste

    mas y

    Au

    tom

    ti

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    Dep

    art

    am

    en

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    e I

    ng

    en

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    a

    de S

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    mas y

    Au

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    ti

    ca

    Dep

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    am

    en

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    e I

    ng

    en

    ier

    a

    de S

    iste

    mas y

    Au

    tom

    ti

    ca

    Trazado de diagramas de Bode.

    Procedimiento general:

    1. Reescribir la funcin de transferencia senoidal G(j) como

    producto de los factores bsicos.

    a. Considerando la forma general de una funcin de transferencia:

    b. se escribe como un producto de factores bsicos:

    donde la ganancia es:

  • Dep

    art

    am

    en

    to d

    e I

    ng

    en

    ier

    a

    de S

    iste

    mas y

    Au

    tom

    ti

    ca

    Dep

    art

    am

    en

    to d

    e I

    ng

    en

    ier

    a

    de S

    iste

    mas y

    Au

    tom

    ti

    ca

    Dep

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    am

    en

    to d

    e I

    ng

    en

    ier

    a

    de S

    iste

    mas y

    Au

    tom

    ti

    ca

    Trazado de diagramas de Bode.

    Procedimiento general:

    1. Reescribir la funcin de transferencia senoidal G(j) como

    producto de los factores bsicos.

    2. Obtener los trazados individuales de cada factor bsico, y

    representarlos.

    3. Sumar todos los trazados: los de magnitud o mdulo entre

    s (en dB) y los de ngulo o fase entre s (grados).

    Ganancia de G(j) en dB

    ngulo de G(j) en grados

  • Dep

    art

    am

    en

    to d

    e I

    ng

    en

    ier

    a

    de S

    iste

    mas y

    Au

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    ti

    ca

    Dep

    art

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    en

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    ier

    a

    de S

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    mas y

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    Dep

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    am

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    e I

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    ier

    a

    de S

    iste

    mas y

    Au

    tom

    ti

    ca

    Trazado de diagramas de Bode.

    Procedimiento general:

    1. Reescribir la funcin de transferencia senoidal G(j) como

    producto de los factores bsicos.

    2. Obtener los trazados individuales de cada factor bsico, y

    representarlos.

    3. Sumar todos los trazados: los de magnitud o mdulo entre

    s (en dB) y los de ngulo o fase entre s (grados).

    4. Si se desea registrar una aproximacin rpida, se puede

    hacer el trazado asinttico.

    La curva exacta, se encuentra

    cerca de la curva asinttica.

  • Dep

    art

    am

    en

    to d

    e I

    ng

    en

    ier

    a

    de S

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    Dep

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    am

    en

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    ier

    a

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    mas y

    Au

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    ti

    ca

    Dep

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    am

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    to d

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    ier

    a

    de S

    iste

    mas y

    Au

    tom

    ti

    ca

    Trazado de diagramas de Bode

    Ejemplo:

    Para evitar errores al trazar la curva de magnitud logartmica, es

    conveniente reescribir la funcin de transferencia en forma

    normalizada:

    Esta funcin se compone de los factores siguientes:

    1 2 3 4 5

    n y ?

  • Dep

    art

    am

    en

    to d

    e I

    ng

    en

    ier

    a

    de S

    iste

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    ti

    ca

    Dep

    art

    am

    en

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    ng

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    ier

    a

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    iste

    mas y

    Au

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    ti

    ca

    Dep

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    am

    en

    to d

    e I

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    en

    ier

    a

    de S

    iste

    mas y

    Au

    tom

    ti

    ca

    Trazado de diagramas de Bode

    Ejemplo:

    Las frecuencias de corte del tercer, cuarto y quinto trminos son

    w = 3, w = 2 y wn = , respectivamente.2

    Observe que el ltimo

    trmino tiene el factor

    de amortiguamiento

    relativo de 0.3536.

  • Dep

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    Contenido

    TEMA 5.- Anlisis de respuesta en frecuencia

    5.1. Anlisis de sistemas en tiempo continuo en el dominio de la

    frecuencia.

    5.2. Representacin mediante diagramas de Bode.

    5.3. Trazado de diagramas de Bode.

    5.4. Sistemas de fase no mnima.

    5.5. Especificaciones del comportamiento en el dominio de la

    frecuencia.

    5.6. Anlisis de estabilidad. Mrgenes de ganancia y de fase.

    5.7. Relacin de la respuesta en frecuencia con la respuesta

    temporal.

    5.8. Determinacin experimental de la funcin de transferencia a

    partir de la respuesta en frecuencia.

    5.9. Compensacin en el dominio de la frecuencia.

  • Dep

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    Sistemas de fase mnima y de fase no mnima:

    Un sistema de fase no mnima se caracteriza por tener para

    altas frecuencias una fase ms negativa de lo que era de

    esperar por el grado del polinomio del numerador y

    denominador de la funcin de transferencia.

    Ejemplos de sistemas de fase no mnima son sistemas con

    algn cero positivo y sistemas con retardo de transporte.

    Sistemas de fase no mnima

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    Sistemas de fase mnima y de fase no mnima (cont.):

    Ejemplo:

    Sistemas de fase no mnima

    G1 es de fase mnima G2 es de fase no mnima

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    Sistemas de fase mnima y de fase no mnima (cont.):

    Ejemplo:

    Sistemas de fase no mnima

    Las curvas de magnitud de

    ambos sistemas coinciden,

    sin embargo, las curvas de

    fase son bien distintas

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    Sistemas de fase mnima y de fase no mnima (cont.):

    Ejemplo:

    Sistemas de fase no mnima

    Los sistemas de fase no

    mnima son lentos en su

    respuesta. En la mayor parte

    de los sistemas de control, se

    debe tener cuidado en evitar

    un atraso de fase excesivo.

    Al disear un sistema, si una velocidad de respuesta rpida es de

    vital importancia, no deben usarse componentes de fase no mnima.

  • Dep

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    Sistemas de fase no mnima

    Cmo detectar si un sistema es de fase mnima:

    Sabiendo que p y q son los grados de los polinomios del

    denominador y numerador, respectivamente, de la funcin de

    transferencia, podemos afirmar que:

    1. En cualquier sistema, sea o no de fase mnima, la pendiente de

    la curva de magnitud para valores altos de frecuencia verifica la

    relacin

    -20(p-q) dB/dcada

    2. Slo si el sistema es de fase mnima la curva de ngulos de fase

    para valores altos de frecuencia verifica la relacin

    -90 (p-q) grados

    Para detectar si el sistema es de fase NO mnima se examina la

    pendiente de la asntota de la curva del ngulo de fase para

    valores altos de frecuencia y se comprueba si verifica, o no, la

    expresin del punto 2.

  • Dep

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    Retardo de transporte:El retardo existente entre la medicin y la accin de control da

    lugar a un tiempo muerto denominado retardo de transporte.

    Ejemplo:Sistema trmico en el que circula aire caliente para conservar

    constante la temperatura de una cmara. En este sistema, el

    sensor de temperatura se sita corriente abajo a una distancia de

    L metros del horno. La velocidad del aire es de v m/s por lo que

    transcurrir T = L / v segundos antes de que el termmetro

    detecte cualquier cambio en la temperatura del horno.

    Sistemas de fase no mnima

  • Dep

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    Sistemas de fase no mnima

    Sistemas con retardo:

    Los sistemas con retardo de transporte tienen un

    comportamiento de fase no mnima y presentan un atraso

    excesivo de fase sin atenuacin para valores altos de frecuencia.

    La entrada x(t) y la salida y(t) de un elemento de retardo de

    transporte se relacionan mediante:

    donde T es el tiempo de retardo.

    La funcin de transferencia se obtiene calculando la

    transformada de Laplace:

    Los retardos de transporte

    estn presentes normalmente

    en sistemas trmicos,

    hidrulicos y neumticos.

    No afecta a la curva de ganancia

  • Dep

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    Sistemas de fase no mnima

    Sistemas con retardo (cont.):

    El mdulo y argumento de la funcin de transferencia senoidal ser:

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    Sistemas de fase no mnima

    Sistemas con retardo (cont.):

    Comparacin entre sistemas con y sin retardo de primer orden:

    por qu

    fase G3 ms

    negativa ?

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    Contenido

    TEMA 5.- Anlisis de respuesta en frecuencia

    5.1. Anlisis de sistemas en tiempo continuo en el dominio de la

    frecuencia.

    5.2. Representacin mediante diagramas de Bode.

    5.3. Trazado de diagramas de Bode.

    5.4. Sistemas de fase no mnima.

    5.5. Especificaciones del comportamiento en el dominio de la

    frecuencia.

    5.6. Anlisis de estabilidad. Mrgenes de ganancia y de fase.

    5.7. Relacin de la respuesta en frecuencia con la respuesta

    temporal.

    5.8. Determinacin experimental de la funcin de transferencia a

    partir de la respuesta en frecuencia.

    5.9. Compensacin en el dominio de la frecuencia.

  • Dep

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    Especificaciones del comportamiento en frecuencia

    Especificaciones:

    Las especificaciones estudiadas en el dominio del tiempo, tales

    como la sobreoscilacin o el tiempo de subida, no se pueden

    utilizar directamente en el dominio de la frecuencia.

    Partiendo del diagrama de Bode de la funcin de transferencia

    las especificaciones que se utilizan frecuentemente en la

    prctica son:

    Pico de resonancia y frecuencia de resonancia.

    Ancho de banda, frecuencia de corte y razn de corte.

    Margen de fase y de ganancia.Especificaciones

    de bucle abierto,

    pero ojo, estn

    relacionadas con

    la estabilidad del

    sistema en bucle

    cerrado.

    Especificaciones

    de bucle cerrado

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    10

    -3 dB

    Mr(dB)

    wbwr

    BW

    Especificaciones:

    Especificaciones del comportamiento en frecuencia

    Pico de resonancia

    Frecuencia de resonancia

    Ancho de banda

    Razn de corte

    Frecuencia de corte

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    Especificaciones del comportamiento en frecuencia

    Pico de resonancia (Mr):

    Es el valor mximo de la curva de magnitud del diagrama de

    Bode. Indica la estabilidad relativa de un sistema estable en

    bucle cerrado.

    Un valor grande de Mr se corresponde en general con una

    constante de amortiguamiento pequea. En la prctica, el valor

    deseado se encuentra entre 1.1 y 1.5.

    Frecuencia de resonancia (wr):Es la frecuencia en la que se produce el pico de resonancia Mr

    Frecuencia de corte (wb):Es la frecuencia en la cual la magnitud de respuesta en

    frecuencia en lazo cerrado est 3 dB debajo de su valor de baja

    frecuencia.

  • Dep

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    Especificaciones del comportamiento en frecuencia

    Ancho de banda (BW)

    El rango de la frecuencia en el cual la magnitud en

    lazo cerrado no desciende a -3 dB se denomina ancho de

    banda del sistema.

    La especificacin del ancho de banda se relaciona con:

    1. La capacidad de reproducir la seal de entrada.

    2. Las caractersticas de filtrado necesarias para el ruido de alta

    frecuencia.

    Un ancho de banda grande corresponde a un tiempo de subida

    pequeo, es decir, a una respuesta rpida. En trminos

    generales, puede decirse que el ancho de banda es

    proporcional a la velocidad de respuesta.

  • Dep

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    Especificaciones del comportamiento en frecuencia

    Razn de corte:

    La razn de corte es la pendiente de la curva de magnitud

    logartmica cercana a la frecuencia de corte.

    La razn de corte indica la capacidad de un sistema para

    distinguir la seal del ruido.

  • Dep

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    Especificaciones del comportamiento en frecuencia

    Ejemplo:

  • Dep

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    Contenido

    TEMA 5.- Anlisis de respuesta en frecuencia

    5.1. Anlisis de sistemas en tiempo continuo en el dominio de la

    frecuencia.

    5.2. Representacin mediante diagramas de Bode.

    5.3. Trazado de diagramas de Bode.

    5.4. Sistemas de fase no mnima.

    5.5. Especificaciones del comportamiento en el dominio de la

    frecuencia.

    5.6. Anlisis de estabilidad. Mrgenes de ganancia y de fase.

    5.7. Relacin de la respuesta en frecuencia con la respuesta

    temporal.

    5.8. Determinacin experimental de la funcin de transferencia a

    partir de la respuesta en frecuencia.

    5.9. Compensacin en el dominio de la frecuencia.

  • Dep

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    Anlisis de estabilidad en frecuencia

    Introduccin:

    Al disear un sistema de control se requiere que el sistema sea

    estable. Adems es necesario que tenga una estabilidad relativa

    adecuada por lo que es necesario conocer su grado de

    estabilidad.

    En el anlisis de estabilidad que se va a realizar, se va a trabajar

    con la funcin de transferencia en bucle abierto G(s)H(s) y con

    sistemas de fase mnima.

    La funcin de transferencia en bucle abierto coincide con G(s)

    slo si se considera realimentacin unitaria H(s)=1.

    La mayor o menor estabilidad de un sistema en bucle cerrado se

    suele expresar en trminos de margen de fase y de ganancia,

    cuyas definiciones son las siguientes cuando se trata de

    sistemas de fase mnima.

  • Dep

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    Anlisis de estabilidad en frecuencia

    Margen de ganancia (Mg o Kg):

    El margen de ganancia es el recproco de la magnitud |G(j)| de

    la funcin de transferencia en lazo abierto en la frecuencia de

    cruce de fase.

    o bien en decibelios:

    donde w1 es la frecuencia de cruce de fase.

    La frecuencia de cruce de fase es la frecuencia en la cual el

    ngulo de fase de la funcin de transferencia en lazo abierto es

    igual a 180.

  • Dep

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    Anlisis de estabilidad en frecuencia

    Margen de fase (Mf o g ):

    El margen de fase es la cantidad de atraso de fase adicional en

    la frecuencia de cruce de ganancia requerida para llevar el

    sistema al borde de la inestabilidad:

    g = 180 + f

    donde f es el ngulo de fase de la funcin de transferencia enlazo abierto en la frecuencia de cruce de ganancia.

    La frecuencia de cruce de ganancia es la frecuencia en la cual

    la magnitud de la funcin de transferencia en lazo abierto es

    unitaria, |G(j)|=1 (i.e. 0 dBs).

  • Dep

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    Anlisis de estabilidad en frecuencia

    Margen de fase y de ganancia:

    En el diagrama de Bode de la funcin de transferencia en bucle

    abierto del sistema, los mrgenes de ganancia y de fase se

    determinan como indica la figura.

  • Dep

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    Anlisis de estabilidad en frecuencia

    Condicin de estabilidad:

    Un sistema de fase mnima es estable si los mrgenes de fase y

    de ganancia deben ser ambos positivos. Basta con que uno de

    estos mrgenes sea negativo para que el sistema sea inestable.

    Los mrgenes adecuados de fase y de ganancia aseguran

    contra las variaciones de los componentes del sistema y se

    especifican para valores de frecuencia definidos.

    Para obtener un comportamiento satisfactorio, el margen de

    fase debe estar entre 30 y 60, y el margen de ganancia debe

    ser mayor que 6 dB.Con estos valores, un sistema de fase

    mnima tiene una estabilidad garantizada,

    incluso si la ganancia en lazo abierto y

    las constantes de tiempo de los

    componentes varan en cierto grado.

  • Dep

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    Anlisis de estabilidad en frecuencia

    Condicin de estabilidad:

    Ejemplo 1:

    Sistema estable

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    Anlisis de estabilidad en frecuencia

    Condicin de estabilidad:

    Ejemplo 2:

    Sistema inestable

  • Dep

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    Anlisis de estabilidad en frecuencia

    Condicin de estabilidad:

    Ejercicio 1:

    Para un sistema de realimentado, la funcin de transferencia de la

    planta es:

    y el factor de realimentacin es:

    Se pide:

    1. Estudiar la estabilidad del sistema calculando mrgenes de

    ganancia y fase.

    2. Obtener el ancho de banda del sistema en bucle cerrado.

  • Dep

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    Anlisis de estabilidad en frecuencia

    Condicin de estabilidad:

    Ejercicio 1:

    Para obtener los mrgenes de ganancia y de fase, se trabaja con el

    Bode de la funcin de transferencia en bucle abierto.

  • Dep

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    Anlisis de estabilidad en frecuencia

    Condicin de estabilidad:

    Ejercicio 1:

    Para obtener el ancho de banda, trabajamos con el Bode de la

    funcin de transferencia en bucle cerrado.

  • Dep

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    Anlisis de estabilidad en frecuencia

    Condicin de estabilidad:

    Ejercicio 2:

    En la figura se muestra un sistema realimentado donde aparece un

    parmetro que es la ganancia K.

    Tambin se incluye el diagrama de Bode del sistema para tres

    valores diferentes, K=0.1, K=2 y K = 10 (ver siguiente trasparencia).

    Se pide:

    1. Calcular los mrgenes de ganancia y de fase para los tres valores

    de K y

    2. Determinar la estabilidad del sistema en los tres casos.

  • Dep

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    Anlisis de estabilidad en frecuencia

    Condicin de estabilidad:

    Ejercicio 2:

    Se puede observar

    cmo la curva de fase

    es la misma mientras

    que la de magnitud

    sube o baja en el

    diagrama dependiendo

    de K.

  • Dep

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    Condicin de estabilidad:

    Ejercicio 2:

    Para K = 0.1 el

    sistema es estable,

    pues tanto el margen

    de ganancia como el

    de fase son positivos.

    Anlisis de estabilidad en frecuencia

  • Dep

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    Condicin de estabilidad:

    Ejercicio 2:

    Para K = 2 el sistema

    est en el lmite de la

    estabilidad, por tanto

    el margen de

    ganancia y el de fase

    son nulos.

    Anlisis de estabilidad en frecuencia

  • Dep

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    Condicin de estabilidad:

    Ejercicio 2:

    Anlisis de estabilidad en frecuencia

    Para K = 10 el

    sistema es inestable,

    pues tanto el

    margen de ganancia

    como el de fase son

    negativos.

  • Dep

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    Condicin de estabilidad:

    Ejercicio 2:

    Anlisis de estabilidad en frecuencia

    Para K = 2 el

    sistema est

    en el lmite de

    la estabilidad.

    Para K = 0.1

    el sistema es

    estable.

    Para K = 10 el

    sistema es

    inestable.

  • Dep

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    Contenido

    TEMA 5.- Anlisis de respuesta en frecuencia

    5.1. Anlisis de sistemas en tiempo continuo en el dominio de la

    frecuencia.

    5.2. Representacin mediante diagramas de Bode.

    5.3. Trazado de diagramas de Bode.

    5.4. Sistemas de fase no mnima.

    5.5. Especificaciones del comportamiento en el dominio de la

    frecuencia.

    5.6. Anlisis de estabilidad. Mrgenes de ganancia y de fase.

    5.7. Relacin de la respuesta en frecuencia con la respuesta

    temporal.

    5.8. Determinacin experimental de la funcin de transferencia a

    partir de la respuesta en frecuencia.

    5.9. Compensacin en el dominio de la frecuencia.

  • Dep

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    Relacin de la respuesta frecuencial y temporal

    Estudio del transitorio de la respuesta temporal:

    Se va a estudiar la relacin de respuesta en frecuencia con la

    temporal para el caso de un sistema prototipo de segundo orden.

    La correspondiente funcin de transferencia senoidal es:

    Si el orden es superior a

    dos, pero tiene dos polos

    complejos conjugados

    dominantes las relaciones

    tambin son vlidas.

  • Dep

    art

    am

    en

    to d

    e I

    ng

    en

    ier

    a

    de S

    iste

    mas y

    Au

    tom

    ti

    ca

    Dep

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    ier

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    de S

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    mas y

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    ti

    ca

    Dep

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    de S

    iste

    mas y

    Au

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    ti

    ca

    Relacin de la respuesta frecuencial y temporal

    Estudio del transitorio de la respuesta temporal

    Operando en la expresin del mdulo se obtiene el mximo, que

    se producir en la frecuencia de resonancia, y el valor del

    mximo obtenido ser el pico de resonancia. Los valores

    calculados son:

    Estas ecuaciones son validas para valores de la relacin de

    amortiguamiento 0 < x < 0.707

    Observando las ecuaciones se puede deducir que:

    a) El pico de resonancia Mr depende slo del coeficiente x.

    b) Si x 0 el pico de resonancia Mr .

    c) Cuando aumenta x el pico de resonancia Mr disminuye.

    (cont.):

    ?

  • Dep

    art

    am

    en

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    Dep

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    iste

    mas y

    Au

    tom

    ti

    ca

    Relacin de la respuesta frecuencial y temporal

    Estudio del transitorio de la respuesta temporal

    Operando, tambin se puede obtener la expresin analtica del

    ancho de banda para un sistema de segundo orden que es:

    y realizando una aproximacin lineal de la misma, se obtiene

    Observando las ecuaciones se puede deducir que:

    a) De la que se puede deducir que el ancho de banda BW es

    directamente proporcional a la frecuencia natural wn.b) Para un valor de la frecuencia natural fijo, el ancho de banda

    disminuye a medida que la relacin de amortiguamiento xaumenta.

    (cont.):

  • Dep

    art

    am

    en

    to d

    e I

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    ier

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    Dep

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    Dep

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    Au

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    ti

    ca

    Relacin de la respuesta frecuencial y temporal

    Estudio del transitorio de la respuesta temporal

    Aumentar la relacin de amortiguamiento implica que tanto el

    ancho de banda como el valor del pico de resonancia se hacen

    ms pequeos.

    (cont.):

  • Dep

    art

    am

    en

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    e I

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    ier

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    Dep

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    Dep

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    ti

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    Relacin de la respuesta frecuencial y temporal

    Estudio del estacionario de la respuesta temporal:

    Considerando un sistema de control con realimentacin unitaria,

    las constantes estticas de error de posicin, velocidad y

    aceleracin describen el comportamiento de baja frecuencia de

    los sistemas de tipo 0, tipo 1 y tipo 2, respectivamente.

    Para un sistema definido, slo es finita y significativa una de las

    constantes de error esttico.

    El tipo de sistema determina la pendiente de la curva de

    magnitud logartmica en frecuencias bajas.

    La existencia y la magnitud del error en

    estado estacionario se determina a partir de

    la observacin en baja frecuencia de la

    curva de magnitud logartmica

  • Dep

    art

    am

    en

    to d

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    ier

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    Relacin de la respuesta frecuencial y temporal

    Estudio del estacionario de la respuesta temporal

    Para el caso de un sistema de tipo 0, la grfica de la magnitud

    G(jw) logartmica en baja frecuencia es igual a Kp.

    (cont.):

  • Dep

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    am

    en

    to d

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    Relacin de la respuesta frecuencial y temporal

    Estudio del estacionario de la respuesta temporal

    Para el caso de un sistema tipo 1, la interseccin del segmento

    inicial -20 dB/dcada (o su extensin) con la lnea w = 1 tiene la

    magnitud de 20 log Kv.

    por tanto

    Tambin se puede comprobar que

    donde w1 = 1 es la frecuencia a la que |G(jw)|=1.

    (cont.):

  • Dep

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    ti

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    Relacin de la respuesta frecuencial y temporal

    Estudio del estacionario de la respuesta temporal

    Para el caso de un sistema tipo 1.

    (cont.):

  • Dep

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    am

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    Relacin de la respuesta frecuencial y temporal

    Estudio del estacionario de la respuesta temporal

    Para el caso de un sistema de tipo 2, dado que a bajas

    frecuencias,

    se deduce que

    Adems

    donde wa = 1 es la frecuencia a la que |G(jw)|=1.

    (cont.):

  • Dep

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    Relacin de la respuesta frecuencial y temporal

    Estudio del estacionario de la respuesta temporal

    Para el caso de un sistema de tipo 2

    (cont.):

  • Dep

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    Contenido

    TEMA 5.- Anlisis de respuesta en frecuencia

    5.1. Anlisis de sistemas en tiempo continuo en el dominio de la

    frecuencia.

    5.2. Representacin mediante diagramas de Bode.

    5.3. Trazado de diagramas de Bode.

    5.4. Sistemas de fase no mnima.

    5.5. Especificaciones del comportamiento en el dominio de la

    frecuencia.

    5.6. Anlisis de estabilidad. Mrgenes de ganancia y de fase.

    5.7. Relacin de la respuesta en frecuencia con la respuesta

    temporal.

    5.8. Determinacin experimental de la funcin de transferencia a

    partir de la respuesta en frecuencia.

    5.9. Compensacin en el dominio de la frecuencia.

  • Dep

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    ca

    Determinacin experimental de la funcin de transferencia

    Identificacin de sistemas:

    Si es posible medir la razn de amplitudes E/S del sistema y el

    cambio de fase para un nmero suficiente de frecuencias dentro

    del rango de frecuencias de inters, se puede graficar por

    puntos el diagrama Bode.

    Posteriormente se puede determinar la funcin de transferencia

    mediante aproximaciones asintticas.

  • Dep

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    Determinacin experimental de la funcin de transferencia

    Identificacin de sistemas (cont.):

    Para el ajuste experimental es necesario el uso de generadores

    de seales senoidales.

    Los rangos de frecuencia necesarios para la prueba son,

    aproximadamente, 0.001 - 10 Hz para sistemas con constantes

    de tiempo grandes y 0.1 - 1000 Hz para sistemas con

    constantes de tiempo pequeas. Las frecuencias han de convertirse arad/s antes de calcular las constantes

    de tiempo de cada polo o cero.

  • Dep

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    Determinacin experimental de la funcin de transferencia

    Consideraciones a tener en cuenta:

    1. Por lo general es ms fcil obtener mediciones precisas de

    la amplitud que de la fase.

    2. Los sistemas fsicos tienen varios tipos de no linealidades.

    Por tanto, es necesario considerar con cuidado la amplitud

    de las seales senoidales de entrada:

    Si la amplitud de la seal de entrada es demasiado grande, el

    sistema se saturar.

    En cambio, una seal pequea provocar errores debidos a la

    zona muerta.

    Es necesario comprobar que la forma de la onda de la salida

    sea senoidal y de que el sistema opere en su regin lineal

    durante el periodo de prueba.

    La respuesta en

    frecuencia producir

    resultados imprecisos

  • Dep

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    ti

    ca

    Determinacin experimental de la funcin de transferencia

    Pasos para identificar una funcin de transferencia

    1. Determinar la pendiente para bajas frecuencias en la curva de

    magnitud (nmero de polos en el origen).

    2. Determinar la pendiente para altas frecuencias en la curva de

    magnitud (diferencia del orden del polinomio del denominador y el

    numerador (p-q)).

    3. Determinar los ngulos en la curva de fases para bajas y altas

    frecuencias (detecta si se trata de un sistema de fase mnima o no).

    4. Determinar la ganancia de baja frecuencia (Kp, Kv Ka).

    5. Detectar el nmero de frecuencias de cruce, su posicin y dibujar las

    asntotas. Para los trminos de segundo orden estimar la relacin de

    amortiguamiento.

    6. Utilizar el diagrama de fases para en caso de tratarse de un retardo

    de transporte y estimar la constante de tiempo del mismo.

    7. Calcular la respuesta en frecuencia de la funcin de transferencia

    estimada y compararla con las curvas experimentales iniciales.

    8. Iterar y repetir el proceso para afinar la posicin de los polos y ceros.

  • Dep

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    ti

    ca

    Ejemplo 1:

    A partir del diagrama de Bode de la figura, determinar

    experimentalmente la funcin de transferencia del sistema:

    Determinacin experimental de la funcin de transferencia

  • Dep

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    ti

    ca

    Ejemplo 1 (cont.):

    Estimacin de la pendiente inicial.

    Determinacin experimental de la funcin de transferencia

    Pendiente inicial = -20 dB/dcada.

    Un polo en el origen Tipo 1.

  • Dep

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    ti

    ca

    Ejemplo 1 (cont.):

    Clculo de la ganancia esttica de un sistema de tipo 1.

    Determinacin experimental de la funcin de transferencia

    15 dB = 20 log(Kv) Kv=5.62

    w =1

  • Dep

    art

    am

    en

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    ng

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    Au

    tom

    ti

    ca

    Ejemplo 1 (cont.):

    Aproximacin asinttica de la curva de ganancia.

    Determinacin experimental de la funcin de transferencia

    wc = 4 wc = 25 wc = 70

  • Dep

    art

    am

    en

    to d

    e I

    ng

    en

    ier

    a

    de S

    iste

    mas y

    Au

    tom

    ti

    ca

    Dep

    art

    am

    en

    to d

    e I

    ng

    en

    ier

    a

    de S

    iste

    mas y

    Au

    tom

    ti

    ca

    Dep

    art

    am

    en

    to d

    e I

    ng

    en

    ier

    a

    de S

    iste

    mas y

    Au

    tom

    ti

    ca

    Ejemplo 1 (cont.):

    Estimacin de las cadas de dB/dcada para cada asntota.

    Determinacin experimental de la funcin de transferencia

    -20 dB / dcada

  • Dep

    art

    am

    en

    to d

    e I

    ng

    en

    ier

    a

    de S

    iste

    mas y

    Au

    tom

    ti

    ca

    Dep

    art

    am

    en

    to d

    e I

    ng

    en

    ier

    a

    de S

    iste

    mas y

    Au

    tom

    ti

    ca

    Dep

    art

    am

    en

    to d

    e I

    ng

    en

    ier

    a

    de S

    iste

    mas y

    Au

    tom

    ti

    ca

    Ejemplo 1 (cont.):

    Estimacin de las cadas de dB/dcada para cada asntota.

    Determinacin experimental de la funcin de transferencia

    -40 dB / dcada polo real

    wc = 4

  • Dep

    art

    am

    en

    to d

    e I

    ng

    en

    ier

    a

    de S

    iste

    mas y

    Au

    tom

    ti

    ca

    Dep

    art

    am

    en

    to d

    e I

    ng

    en

    ier

    a

    de S

    iste

    mas y

    Au

    tom

    ti

    ca

    Dep

    art

    am

    en

    to d

    e I

    ng

    en

    ier

    a

    de S

    iste

    mas y

    Au

    tom

    ti

    ca

    Ejemplo 1 (cont.):

    Estimacin de las cadas de dB/dcada para cada asntota.

    Determinacin experimental de la funcin de transferencia

    -60 dB / dcada polo real

    wc = 25

  • Dep

    art

    am

    en

    to d

    e I

    ng

    en

    ier

    a

    de S

    iste

    mas y

    Au

    tom

    ti

    ca

    Dep

    art

    am

    en

    to d

    e I

    ng

    en

    ier

    a

    de S

    iste

    mas y

    Au

    tom

    ti

    ca

    Dep

    art

    am

    en

    to d

    e I

    ng

    en

    ier

    a

    de S

    iste

    mas y

    Au

    tom

    ti

    ca

    Ejemplo 1 (cont.):

    Estimacin de la pendiente final.

    Determinacin experimental de la funcin de transferencia

    Pendiente final = -40 dB / dcada

    cero real (p-q) = 2

    wc = 70

  • Dep

    art

    am

    en

    to d

    e I

    ng

    en

    ier

    a

    de S

    iste

    mas y

    Au

    tom

    ti

    ca

    Dep

    art

    am

    en

    to d

    e I

    ng

    en

    ier

    a

    de S

    iste

    mas y

    Au

    tom

    ti

    ca

    Dep

    art

    am

    en

    to d

    e I

    ng

    en

    ier

    a

    de S

    iste

    mas y

    Au

    tom

    ti

    ca

    Ejemplo 1 (cont.):

    Es el sistema de fase mnima o no?

    Determinacin experimental de la funcin de transferencia

    wc = 4 wc = 25 wc = 70

    -90 (p-q) = -180

    2

    Fase mnima

    SI

  • Dep

    art

    am

    en

    to d

    e I

    ng

    en

    ier

    a

    de S

    iste

    mas y

    Au

    tom

    ti

    ca

    Dep

    art

    am

    en

    to d

    e I

    ng

    en

    ier

    a

    de S

    iste

    mas y

    Au

    tom

    ti

    ca

    Dep

    art

    am

    en

    to d

    e I

    ng

    en

    ier

    a

    de S

    iste

    mas y

    Au

    tom

    ti

    ca

    Determinacin experimental de la funcin de transferencia

    Ejemplo 1 (cont.):

    Como resultado de la identificacin del Ejemplo 1 se obtiene la

    siguiente funcin de transferencia senoidal:

    y la forma final haciendo el cambio jw=s sera:

  • Dep

    art

    am

    en

    to d

    e I

    ng

    en

    ier

    a

    de S

    iste

    mas y

    Au

    tom

    ti

    ca

    Dep

    art

    am

    en

    to d

    e I

    ng

    en

    ier

    a

    de S

    iste

    mas y

    Au

    tom

    ti

    ca

    Dep

    art

    am

    en

    to d

    e I

    ng

    en

    ier

    a

    de S

    iste

    mas y

    Au

    tom

    ti

    ca

    Ejemplo 1 (cont.):

    Es el sistema estable en bucle cerrado?

    Determinacin experimental de la funcin de transferencia

    Mg = 19 dB

    Mf = 40wcp = 13

    wcg = 4

    SI

  • Dep

    art

    am

    en

    to d

    e I

    ng

    en

    ier

    a

    de S

    iste

    mas y

    Au

    tom

    ti

    ca

    Dep

    art

    am

    en

    to d

    e I

    ng

    en

    ier

    a

    de S

    iste

    mas y

    Au

    tom

    ti

    ca

    Dep

    art

    am

    en

    to d

    e I

    ng

    en

    ier

    a

    de S

    iste

    mas y

    Au

    tom

    ti

    ca

    Determinacin experimental de la funcin de transferencia

    Ejemplo 2:

    A partir del diagrama de Bode de la figura, determinar

    experimentalmente la funcin de transferencia del sistema:

  • Dep

    art

    am

    en

    to d

    e I

    ng

    en

    ier

    a

    de S

    iste

    mas y

    Au

    tom

    ti

    ca

    Dep

    art

    am

    en

    to d

    e I

    ng

    en

    ier

    a

    de S

    iste

    mas y

    Au

    tom

    ti

    ca

    Dep

    art

    am

    en

    to d

    e I

    ng

    en

    ier

    a

    de S

    iste

    mas y

    Au

    tom

    ti

    ca

    D