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ca Automtica
2 Curso del Grado en
Ingeniera en Tecnologa Industrial
Tema 5.
Anlisis de la Respuesta Frecuencial
de Sistemas LTI
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Contenido
TEMA 5.- Anlisis de respuesta en frecuencia
5.1. Anlisis de sistemas en tiempo continuo en el dominio de
la
frecuencia.
5.2. Representacin mediante diagramas de Bode.
5.3. Trazado de diagramas de Bode.
5.4. Sistemas de fase no mnima.
5.5. Especificaciones del comportamiento en el dominio de la
frecuencia.
5.6. Anlisis de estabilidad. Mrgenes de ganancia y de fase.
5.7. Relacin de la respuesta en frecuencia con la respuesta
temporal.
5.8. Determinacin experimental de la funcin de transferencia
a
partir de la respuesta en frecuencia.
5.9. Compensacin en el dominio de la frecuencia.
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Anlisis en frecuencia de sistemas LTI
Respuesta en frecuencia:
Se entiende por respuesta en frecuencia la respuesta en
estado
estacionario de un sistema estable ante una entrada
senoidal.
La respuesta en estado estacionario de un sistema LTI ante
una
entrada senoidal no depende de las condiciones iniciales, por
lo
que se van a suponer condiciones iniciales nulas.
Una de las ventajas que ofrece el estudio de la respuesta en
frecuencia de un sistema es que mediante pruebas sencillas
se
puede determinar de forma experimental su funcin de
transferencia utilizando generadores de onda y equipos de
medicin de uso frecuente en los laboratorios.
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Funcin de transferencia senoidal:
La transformada de Laplace de la funcin seno es:
y la salida ser:
Calculando la transformada inversa de Laplace y aplicando el
lmite cuando el tiempo tiende a infinito se obtiene la salida
en
estado estacionario:
La salida es una seal senoidal de la misma frecuencia que la
seal de entrada pero multiplicada por una ganancia |G(j)| y
desplazada en la fase por un ngulo G(j).
Anlisis en frecuencia de sistemas LTI
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Anlisis en frecuencia de sistemas LTI
Funcin de transferencia senoidal (cont.):
La respuesta en frecuencia de un sistema con funcin de
transferencia G(s) se obtiene sustituyendo s=j, obteniendo
la
funcin G(j) denominada funcin de transferencia senoidal:
donde se cumple que Y(j) = G(j) X(j).
Grficamente:
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Funcin de transferencia senoidal (cont.):
El mdulo de la funcin de transferencia senoidal se obtiene
del
cociente entre las amplitudes de las seales de salida y
entrada.
El ngulo de la funcin de transferencia senoidal, denominado
ngulo de fase, es la diferencia entre los ngulos de las
seales
de salida y entrada.
Si el ngulo de fase es positivo, se denomina adelanto de
fase,
mientras que si es negativo se denomina atraso retardo de
fase.
Anlisis en frecuencia de sistemas LTI
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Funcin de transferencia senoidal (cont.):
Ejemplo:
Entrada: x(t) = sin(4t)
Salida 1: y1(t) = 1.5 sin(4t + /4) Adelanto de fase.
Salida 2: y2(t) = 1.5 sin(4t - /4) Retardo de fase.
Anlisis en frecuencia de sistemas LTI
0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1-1.5
-1
-0.5
0
0.5
1
1.5Adelanto y atraso de fase
t (segundos)
x (
entr
ada)
y1 (
salid
a a
dela
nto
)
y2 (
salid
a a
traso)
x
y1
y2
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Contenido
TEMA 5.- Anlisis de respuesta en frecuencia
5.1. Anlisis de sistemas en tiempo continuo en el dominio de
la
frecuencia.
5.2. Representacin mediante diagramas de Bode.
5.3. Trazado de diagramas de Bode.
5.4. Sistemas de fase no mnima.
5.5. Especificaciones del comportamiento en el dominio de la
frecuencia.
5.6. Anlisis de estabilidad. Mrgenes de ganancia y de fase.
5.7. Relacin de la respuesta en frecuencia con la respuesta
temporal.
5.8. Determinacin experimental de la funcin de transferencia
a
partir de la respuesta en frecuencia.
5.9. Compensacin en el dominio de la frecuencia.
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Representacin mediante diagramas de Bode
-80
-60
-40
-20
0
20
Mag
nitud
(dB)
10-2
10-1
100
101
102
-180
-135
-90
-45
0
Fase
(deg
)
Diagrama de Bode
Frequencia (rad/sec)
Diagramas de Bode:
Un diagrama de Bode representa la funcin de transferencia
senoidal G(j) mediante dos grficas distintas, utilizando un
eje
de abscisas comn en escala logartmica para la frecuencia
(rad/seg) y una escala lineal para los ejes de ordenadas:
Expresada en dB (20log|G(j)|) para la grfica de magnitud.
Expresada en grados para la grfica de ngulo de fase.
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Representacin mediante diagramas de Bode
Diagramas de Bode (cont.):
La utilizacin de una escala logartmica para permite
representar en un solo diagrama las caractersticas de alta y
baja frecuencia de G(j).
La frecuencia se expresa en dcadas, donde una dcada es
la banda de frecuencia desde 1 a 101 siendo 1 cualquier
valor de frecuencia.
10-2
10-1
100
101
-40
-30
-20
-10
0
10
20
nmeros en escala logartmica
Deci
belio
s
La figura muestra el |G(j)|=|j|.
En escala logartmica (3
dcadas) la grfica resultante
es una lnea recta de 20
dB/dcada que pasa por el
punto (1 rad/s, 0dB).
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Contenido
TEMA 5.- Anlisis de respuesta en frecuencia
5.1. Anlisis de sistemas en tiempo continuo en el dominio de
la
frecuencia.
5.2. Representacin mediante diagramas de Bode.
5.3. Trazado de diagramas de Bode.
5.4. Sistemas de fase no mnima.
5.5. Especificaciones del comportamiento en el dominio de la
frecuencia.
5.6. Anlisis de estabilidad. Mrgenes de ganancia y de fase.
5.7. Relacin de la respuesta en frecuencia con la respuesta
temporal.
5.8. Determinacin experimental de la funcin de transferencia
a
partir de la respuesta en frecuencia.
5.9. Compensacin en el dominio de la frecuencia.
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Trazado de diagramas de Bode
Factores bsicos:
La funcin de transferencia de un sistema puede representarse
como un producto de factores bsicos (en forma normalizada):
1. Ganancia K.
2. Integradores y derivadores con orden de multiplicidad n.
3. Polos y ceros .
4. Polos y ceros ( ).
Para dibujar el diagrama de Bode de cada uno de estos
trminos,
se calcula la correspondiente funcin de transferencia
senoidal
G(j) para varias frecuencias y se representan los puntos
grficamente. El trazado se simplifica utilizando
aproximacionesasintticas para cada uno de los factores.
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Ganancia K:
La curva de magnitud logartmica para una ganancia constante
K
es una recta horizontal cuya magnitud es de 20 log K
decibelios.
si K > 1 recta con valor positivo en dBs.
si 0 < K < 1 recta con valor negativo en dBs.
El ngulo de fase de la ganancia K es cero grados.
El recproco de un nmero difiere de su valor slo en el signo:
El efecto de variar la ganancia K en la funcin de
transferencia
es que sube o baja la curva de magnitud logartmica de la
funcin de transferencia en la cantidad constante
correspondiente, pero no afecta a la curva de fase.
Trazado de diagramas de Bode
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Integradores :
Los valores de la magnitud expresada en dB y del ngulo
expresado en grados son:
Como w se expresa en escala logartmica, la representacin de
la magnitud en dB es una lnea recta que pasa por el punto
(1 rad/s, 0 dB) y pendiente de -20 dB/dcada.
Trazado de diagramas de Bode
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Trazado de diagramas de Bode
Integradores (cont.):
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Derivadores G( j) = j:
Los valores de la magnitud expresada en decibelios y del
ngulo
expresado en grados son:
La pendiente de la curva de magnitud es de +20 dB/dcada y el
signo del ngulo de fase cambia de signo (pasa a ser
positivo).
Trazado de diagramas de Bode
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de S
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Derivadores G( j) = j (cont.):
Trazado de diagramas de Bode
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Integradores y derivadores de orden superior a 1:
Los valores de la magnitud expresada en decibelios y del
ngulo
expresado en grados seran:
Trazado de diagramas de Bode
Tanto las pendientes como los ngulos de fase se multiplican por
n.
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Integradores y derivadores de orden superior a 1 (cont.):
Trazado de diagramas de Bode
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Trazado de diagramas de Bode
Polo real:
La funcin de transferencia de un sistema de primer orden con
constante de tiempo T es
El diagrama de Bode de la magnitud se obtiene de la expresin
que se aproxima a:
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Trazado de diagramas de Bode
Polo real (cont.):
La representacin de la curva de ganancia es una recta de
pendiente -20 dB/dcada. Para la frecuencia w=1/T, las
asntotas de alta y baja frecuencia toman ambas 0 dB,
denominndose frecuencia de cruce, con un error mximo de
cul es el polo ?? cul es el polo ??
En su forma normalizada (f.n.)
OJO: En escala logartmica
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Trazado de diagramas de Bode
Polo real (cont.):
Para representar el ngulo de fase, se utiliza la expresin:
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Trazado de diagramas de Bode
Polo real (cont.):
Diagrama de Bode en magnitud y fase de un sistema con un
polo real.
cruce
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Trazado de diagramas de Bode
Cero real:
La asntota de baja frecuencia del cero, recproco del polo
real,
es de 0 dB y la pendiente de la asntota de alta frecuencia
de
+20 dB/dcada. El ngulo de fase vara de 0 a +90 con el
punto de inflexin en +45.
Una ventaja de los diagramas de Bode es que para
factores recprocos, las curvas de magnitud y ngulo
de fase slo requieren un cambio de signo.
polo cero?
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Trazado de diagramas de Bode
Cero real (cont.):
Diagrama de Bode en magnitud y fase de un sistema con un
cero real.
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Trazado de diagramas de Bode
Polos complejos conjugados:
En el caso de polos complejos conjugados la funcin de
transferencia senoidal cuando G(s) expresada en funcin de n
y
de es:
El mdulo de G(j) expresado en decibelios viene dada por
que se aproxima a
Ambas asntotas se cruzan en la frecuencia natural n que es
la
frecuencia de cruce.
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Trazado de diagramas de Bode
Polos complejos conjugados (cont.):
Mientras que la representacin asinttica es independiente de
,
la representacin exacta de la curva de magnitud depende del
valor de este parmetro, producindose un mximo ms
acentuado (pico de resonancia) a medida que el valor de es
ms pequeo.
La frecuencia a la que se produce el mximo de la curva de
magnitud se denomina frecuencia de resonancia.
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Trazado de diagramas de Bode
Polos complejos conjugados (cont.):
Diagrama de Bode en magnitud de sistema con polos complejos
conjugados.
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Trazado de diagramas de Bode
Polos complejos conjugados (cont.):
El ngulo de fase de los factores complejos conjugados tambin
depende de segn
Sustituyendo para diferentes valores de w se obtiene
En ingeniera se utiliza la
variante de atan que calcula el
ngulo en 4 cuadrantes (atan2)
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Dep
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Trazado de diagramas de Bode
Polos complejos conjugados (cont.):
Diagrama de Bode en magnitud y fase de sistema con polos
complejos conjugados.
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Trazado de diagramas de Bode
Ceros complejos conjugados:
El diagrama de Bode de magnitud tiene la asntota de alta
frecuencia de pendiente +40 dB/dcada y el ngulo de fase vara
de 0 a +180 con el punto de inflexin en +90.
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Trazado de diagramas de Bode.
Procedimiento general:
1. Reescribir la funcin de transferencia senoidal G(j) como
producto de los factores bsicos.
a. Considerando la forma general de una funcin de
transferencia:
b. se escribe como un producto de factores bsicos:
donde la ganancia es:
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Trazado de diagramas de Bode.
Procedimiento general:
1. Reescribir la funcin de transferencia senoidal G(j) como
producto de los factores bsicos.
2. Obtener los trazados individuales de cada factor bsico, y
representarlos.
3. Sumar todos los trazados: los de magnitud o mdulo entre
s (en dB) y los de ngulo o fase entre s (grados).
Ganancia de G(j) en dB
ngulo de G(j) en grados
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Trazado de diagramas de Bode.
Procedimiento general:
1. Reescribir la funcin de transferencia senoidal G(j) como
producto de los factores bsicos.
2. Obtener los trazados individuales de cada factor bsico, y
representarlos.
3. Sumar todos los trazados: los de magnitud o mdulo entre
s (en dB) y los de ngulo o fase entre s (grados).
4. Si se desea registrar una aproximacin rpida, se puede
hacer el trazado asinttico.
La curva exacta, se encuentra
cerca de la curva asinttica.
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Trazado de diagramas de Bode
Ejemplo:
Para evitar errores al trazar la curva de magnitud logartmica,
es
conveniente reescribir la funcin de transferencia en forma
normalizada:
Esta funcin se compone de los factores siguientes:
1 2 3 4 5
n y ?
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Trazado de diagramas de Bode
Ejemplo:
Las frecuencias de corte del tercer, cuarto y quinto trminos
son
w = 3, w = 2 y wn = , respectivamente.2
Observe que el ltimo
trmino tiene el factor
de amortiguamiento
relativo de 0.3536.
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Contenido
TEMA 5.- Anlisis de respuesta en frecuencia
5.1. Anlisis de sistemas en tiempo continuo en el dominio de
la
frecuencia.
5.2. Representacin mediante diagramas de Bode.
5.3. Trazado de diagramas de Bode.
5.4. Sistemas de fase no mnima.
5.5. Especificaciones del comportamiento en el dominio de la
frecuencia.
5.6. Anlisis de estabilidad. Mrgenes de ganancia y de fase.
5.7. Relacin de la respuesta en frecuencia con la respuesta
temporal.
5.8. Determinacin experimental de la funcin de transferencia
a
partir de la respuesta en frecuencia.
5.9. Compensacin en el dominio de la frecuencia.
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Sistemas de fase mnima y de fase no mnima:
Un sistema de fase no mnima se caracteriza por tener para
altas frecuencias una fase ms negativa de lo que era de
esperar por el grado del polinomio del numerador y
denominador de la funcin de transferencia.
Ejemplos de sistemas de fase no mnima son sistemas con
algn cero positivo y sistemas con retardo de transporte.
Sistemas de fase no mnima
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Sistemas de fase mnima y de fase no mnima (cont.):
Ejemplo:
Sistemas de fase no mnima
G1 es de fase mnima G2 es de fase no mnima
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Sistemas de fase mnima y de fase no mnima (cont.):
Ejemplo:
Sistemas de fase no mnima
Las curvas de magnitud de
ambos sistemas coinciden,
sin embargo, las curvas de
fase son bien distintas
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Sistemas de fase mnima y de fase no mnima (cont.):
Ejemplo:
Sistemas de fase no mnima
Los sistemas de fase no
mnima son lentos en su
respuesta. En la mayor parte
de los sistemas de control, se
debe tener cuidado en evitar
un atraso de fase excesivo.
Al disear un sistema, si una velocidad de respuesta rpida es
de
vital importancia, no deben usarse componentes de fase no
mnima.
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Sistemas de fase no mnima
Cmo detectar si un sistema es de fase mnima:
Sabiendo que p y q son los grados de los polinomios del
denominador y numerador, respectivamente, de la funcin de
transferencia, podemos afirmar que:
1. En cualquier sistema, sea o no de fase mnima, la pendiente
de
la curva de magnitud para valores altos de frecuencia verifica
la
relacin
-20(p-q) dB/dcada
2. Slo si el sistema es de fase mnima la curva de ngulos de
fase
para valores altos de frecuencia verifica la relacin
-90 (p-q) grados
Para detectar si el sistema es de fase NO mnima se examina
la
pendiente de la asntota de la curva del ngulo de fase para
valores altos de frecuencia y se comprueba si verifica, o no,
la
expresin del punto 2.
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Retardo de transporte:El retardo existente entre la medicin y la
accin de control da
lugar a un tiempo muerto denominado retardo de transporte.
Ejemplo:Sistema trmico en el que circula aire caliente para
conservar
constante la temperatura de una cmara. En este sistema, el
sensor de temperatura se sita corriente abajo a una distancia
de
L metros del horno. La velocidad del aire es de v m/s por lo
que
transcurrir T = L / v segundos antes de que el termmetro
detecte cualquier cambio en la temperatura del horno.
Sistemas de fase no mnima
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Sistemas de fase no mnima
Sistemas con retardo:
Los sistemas con retardo de transporte tienen un
comportamiento de fase no mnima y presentan un atraso
excesivo de fase sin atenuacin para valores altos de
frecuencia.
La entrada x(t) y la salida y(t) de un elemento de retardo
de
transporte se relacionan mediante:
donde T es el tiempo de retardo.
La funcin de transferencia se obtiene calculando la
transformada de Laplace:
Los retardos de transporte
estn presentes normalmente
en sistemas trmicos,
hidrulicos y neumticos.
No afecta a la curva de ganancia
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Sistemas de fase no mnima
Sistemas con retardo (cont.):
El mdulo y argumento de la funcin de transferencia senoidal
ser:
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Sistemas de fase no mnima
Sistemas con retardo (cont.):
Comparacin entre sistemas con y sin retardo de primer orden:
por qu
fase G3 ms
negativa ?
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Contenido
TEMA 5.- Anlisis de respuesta en frecuencia
5.1. Anlisis de sistemas en tiempo continuo en el dominio de
la
frecuencia.
5.2. Representacin mediante diagramas de Bode.
5.3. Trazado de diagramas de Bode.
5.4. Sistemas de fase no mnima.
5.5. Especificaciones del comportamiento en el dominio de la
frecuencia.
5.6. Anlisis de estabilidad. Mrgenes de ganancia y de fase.
5.7. Relacin de la respuesta en frecuencia con la respuesta
temporal.
5.8. Determinacin experimental de la funcin de transferencia
a
partir de la respuesta en frecuencia.
5.9. Compensacin en el dominio de la frecuencia.
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Especificaciones del comportamiento en frecuencia
Especificaciones:
Las especificaciones estudiadas en el dominio del tiempo,
tales
como la sobreoscilacin o el tiempo de subida, no se pueden
utilizar directamente en el dominio de la frecuencia.
Partiendo del diagrama de Bode de la funcin de transferencia
las especificaciones que se utilizan frecuentemente en la
prctica son:
Pico de resonancia y frecuencia de resonancia.
Ancho de banda, frecuencia de corte y razn de corte.
Margen de fase y de ganancia.Especificaciones
de bucle abierto,
pero ojo, estn
relacionadas con
la estabilidad del
sistema en bucle
cerrado.
Especificaciones
de bucle cerrado
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100
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102
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-60
-50
-40
-30
-20
-10
0
10
-3 dB
Mr(dB)
wbwr
BW
Especificaciones:
Especificaciones del comportamiento en frecuencia
Pico de resonancia
Frecuencia de resonancia
Ancho de banda
Razn de corte
Frecuencia de corte
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Especificaciones del comportamiento en frecuencia
Pico de resonancia (Mr):
Es el valor mximo de la curva de magnitud del diagrama de
Bode. Indica la estabilidad relativa de un sistema estable
en
bucle cerrado.
Un valor grande de Mr se corresponde en general con una
constante de amortiguamiento pequea. En la prctica, el valor
deseado se encuentra entre 1.1 y 1.5.
Frecuencia de resonancia (wr):Es la frecuencia en la que se
produce el pico de resonancia Mr
Frecuencia de corte (wb):Es la frecuencia en la cual la magnitud
de respuesta en
frecuencia en lazo cerrado est 3 dB debajo de su valor de
baja
frecuencia.
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Especificaciones del comportamiento en frecuencia
Ancho de banda (BW)
El rango de la frecuencia en el cual la magnitud en
lazo cerrado no desciende a -3 dB se denomina ancho de
banda del sistema.
La especificacin del ancho de banda se relaciona con:
1. La capacidad de reproducir la seal de entrada.
2. Las caractersticas de filtrado necesarias para el ruido de
alta
frecuencia.
Un ancho de banda grande corresponde a un tiempo de subida
pequeo, es decir, a una respuesta rpida. En trminos
generales, puede decirse que el ancho de banda es
proporcional a la velocidad de respuesta.
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Especificaciones del comportamiento en frecuencia
Razn de corte:
La razn de corte es la pendiente de la curva de magnitud
logartmica cercana a la frecuencia de corte.
La razn de corte indica la capacidad de un sistema para
distinguir la seal del ruido.
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Especificaciones del comportamiento en frecuencia
Ejemplo:
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Contenido
TEMA 5.- Anlisis de respuesta en frecuencia
5.1. Anlisis de sistemas en tiempo continuo en el dominio de
la
frecuencia.
5.2. Representacin mediante diagramas de Bode.
5.3. Trazado de diagramas de Bode.
5.4. Sistemas de fase no mnima.
5.5. Especificaciones del comportamiento en el dominio de la
frecuencia.
5.6. Anlisis de estabilidad. Mrgenes de ganancia y de fase.
5.7. Relacin de la respuesta en frecuencia con la respuesta
temporal.
5.8. Determinacin experimental de la funcin de transferencia
a
partir de la respuesta en frecuencia.
5.9. Compensacin en el dominio de la frecuencia.
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Anlisis de estabilidad en frecuencia
Introduccin:
Al disear un sistema de control se requiere que el sistema
sea
estable. Adems es necesario que tenga una estabilidad
relativa
adecuada por lo que es necesario conocer su grado de
estabilidad.
En el anlisis de estabilidad que se va a realizar, se va a
trabajar
con la funcin de transferencia en bucle abierto G(s)H(s) y
con
sistemas de fase mnima.
La funcin de transferencia en bucle abierto coincide con
G(s)
slo si se considera realimentacin unitaria H(s)=1.
La mayor o menor estabilidad de un sistema en bucle cerrado
se
suele expresar en trminos de margen de fase y de ganancia,
cuyas definiciones son las siguientes cuando se trata de
sistemas de fase mnima.
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Anlisis de estabilidad en frecuencia
Margen de ganancia (Mg o Kg):
El margen de ganancia es el recproco de la magnitud |G(j)|
de
la funcin de transferencia en lazo abierto en la frecuencia
de
cruce de fase.
o bien en decibelios:
donde w1 es la frecuencia de cruce de fase.
La frecuencia de cruce de fase es la frecuencia en la cual
el
ngulo de fase de la funcin de transferencia en lazo abierto
es
igual a 180.
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Anlisis de estabilidad en frecuencia
Margen de fase (Mf o g ):
El margen de fase es la cantidad de atraso de fase adicional
en
la frecuencia de cruce de ganancia requerida para llevar el
sistema al borde de la inestabilidad:
g = 180 + f
donde f es el ngulo de fase de la funcin de transferencia enlazo
abierto en la frecuencia de cruce de ganancia.
La frecuencia de cruce de ganancia es la frecuencia en la
cual
la magnitud de la funcin de transferencia en lazo abierto es
unitaria, |G(j)|=1 (i.e. 0 dBs).
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Anlisis de estabilidad en frecuencia
Margen de fase y de ganancia:
En el diagrama de Bode de la funcin de transferencia en
bucle
abierto del sistema, los mrgenes de ganancia y de fase se
determinan como indica la figura.
-
Dep
art
am
en
to d
e I
ng
en
ier
a
de S
iste
mas y
Au
tom
ti
ca
Dep
art
am
en
to d
e I
ng
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ier
a
de S
iste
mas y
Au
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ti
ca
Dep
art
am
en
to d
e I
ng
en
ier
a
de S
iste
mas y
Au
tom
ti
ca
Anlisis de estabilidad en frecuencia
Condicin de estabilidad:
Un sistema de fase mnima es estable si los mrgenes de fase y
de ganancia deben ser ambos positivos. Basta con que uno de
estos mrgenes sea negativo para que el sistema sea
inestable.
Los mrgenes adecuados de fase y de ganancia aseguran
contra las variaciones de los componentes del sistema y se
especifican para valores de frecuencia definidos.
Para obtener un comportamiento satisfactorio, el margen de
fase debe estar entre 30 y 60, y el margen de ganancia debe
ser mayor que 6 dB.Con estos valores, un sistema de fase
mnima tiene una estabilidad garantizada,
incluso si la ganancia en lazo abierto y
las constantes de tiempo de los
componentes varan en cierto grado.
-
Dep
art
am
en
to d
e I
ng
en
ier
a
de S
iste
mas y
Au
tom
ti
ca
Dep
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am
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to d
e I
ng
en
ier
a
de S
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mas y
Au
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ca
Dep
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am
en
to d
e I
ng
en
ier
a
de S
iste
mas y
Au
tom
ti
ca
Anlisis de estabilidad en frecuencia
Condicin de estabilidad:
Ejemplo 1:
Sistema estable
-
Dep
art
am
en
to d
e I
ng
en
ier
a
de S
iste
mas y
Au
tom
ti
ca
Dep
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am
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to d
e I
ng
en
ier
a
de S
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mas y
Au
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ti
ca
Dep
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am
en
to d
e I
ng
en
ier
a
de S
iste
mas y
Au
tom
ti
ca
Anlisis de estabilidad en frecuencia
Condicin de estabilidad:
Ejemplo 2:
Sistema inestable
-
Dep
art
am
en
to d
e I
ng
en
ier
a
de S
iste
mas y
Au
tom
ti
ca
Dep
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ng
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a
de S
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mas y
Au
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Dep
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am
en
to d
e I
ng
en
ier
a
de S
iste
mas y
Au
tom
ti
ca
Anlisis de estabilidad en frecuencia
Condicin de estabilidad:
Ejercicio 1:
Para un sistema de realimentado, la funcin de transferencia de
la
planta es:
y el factor de realimentacin es:
Se pide:
1. Estudiar la estabilidad del sistema calculando mrgenes de
ganancia y fase.
2. Obtener el ancho de banda del sistema en bucle cerrado.
-
Dep
art
am
en
to d
e I
ng
en
ier
a
de S
iste
mas y
Au
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ng
en
ier
a
de S
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mas y
Au
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Dep
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am
en
to d
e I
ng
en
ier
a
de S
iste
mas y
Au
tom
ti
ca
Anlisis de estabilidad en frecuencia
Condicin de estabilidad:
Ejercicio 1:
Para obtener los mrgenes de ganancia y de fase, se trabaja con
el
Bode de la funcin de transferencia en bucle abierto.
-
Dep
art
am
en
to d
e I
ng
en
ier
a
de S
iste
mas y
Au
tom
ti
ca
Dep
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am
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to d
e I
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a
de S
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mas y
Au
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ca
Dep
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am
en
to d
e I
ng
en
ier
a
de S
iste
mas y
Au
tom
ti
ca
Anlisis de estabilidad en frecuencia
Condicin de estabilidad:
Ejercicio 1:
Para obtener el ancho de banda, trabajamos con el Bode de la
funcin de transferencia en bucle cerrado.
-
Dep
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am
en
to d
e I
ng
en
ier
a
de S
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mas y
Au
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a
de S
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mas y
Au
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to d
e I
ng
en
ier
a
de S
iste
mas y
Au
tom
ti
ca
Anlisis de estabilidad en frecuencia
Condicin de estabilidad:
Ejercicio 2:
En la figura se muestra un sistema realimentado donde aparece
un
parmetro que es la ganancia K.
Tambin se incluye el diagrama de Bode del sistema para tres
valores diferentes, K=0.1, K=2 y K = 10 (ver siguiente
trasparencia).
Se pide:
1. Calcular los mrgenes de ganancia y de fase para los tres
valores
de K y
2. Determinar la estabilidad del sistema en los tres casos.
-
Dep
art
am
en
to d
e I
ng
en
ier
a
de S
iste
mas y
Au
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en
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de S
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mas y
Au
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am
en
to d
e I
ng
en
ier
a
de S
iste
mas y
Au
tom
ti
ca
Anlisis de estabilidad en frecuencia
Condicin de estabilidad:
Ejercicio 2:
Se puede observar
cmo la curva de fase
es la misma mientras
que la de magnitud
sube o baja en el
diagrama dependiendo
de K.
-
Dep
art
am
en
to d
e I
ng
en
ier
a
de S
iste
mas y
Au
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am
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to d
e I
ng
en
ier
a
de S
iste
mas y
Au
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Dep
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am
en
to d
e I
ng
en
ier
a
de S
iste
mas y
Au
tom
ti
ca
Condicin de estabilidad:
Ejercicio 2:
Para K = 0.1 el
sistema es estable,
pues tanto el margen
de ganancia como el
de fase son positivos.
Anlisis de estabilidad en frecuencia
-
Dep
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am
en
to d
e I
ng
en
ier
a
de S
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mas y
Au
tom
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am
en
to d
e I
ng
en
ier
a
de S
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mas y
Au
tom
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ca
Dep
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am
en
to d
e I
ng
en
ier
a
de S
iste
mas y
Au
tom
ti
ca
Condicin de estabilidad:
Ejercicio 2:
Para K = 2 el sistema
est en el lmite de la
estabilidad, por tanto
el margen de
ganancia y el de fase
son nulos.
Anlisis de estabilidad en frecuencia
-
Dep
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am
en
to d
e I
ng
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ier
a
de S
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mas y
Au
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e I
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a
de S
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mas y
Au
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am
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to d
e I
ng
en
ier
a
de S
iste
mas y
Au
tom
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ca
Condicin de estabilidad:
Ejercicio 2:
Anlisis de estabilidad en frecuencia
Para K = 10 el
sistema es inestable,
pues tanto el
margen de ganancia
como el de fase son
negativos.
-
Dep
art
am
en
to d
e I
ng
en
ier
a
de S
iste
mas y
Au
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ti
ca
Dep
art
am
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to d
e I
ng
en
ier
a
de S
iste
mas y
Au
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Dep
art
am
en
to d
e I
ng
en
ier
a
de S
iste
mas y
Au
tom
ti
ca
Condicin de estabilidad:
Ejercicio 2:
Anlisis de estabilidad en frecuencia
Para K = 2 el
sistema est
en el lmite de
la estabilidad.
Para K = 0.1
el sistema es
estable.
Para K = 10 el
sistema es
inestable.
-
Dep
art
am
en
to d
e I
ng
en
ier
a
de S
iste
mas y
Au
tom
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to d
e I
ng
en
ier
a
de S
iste
mas y
Au
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ti
ca
Dep
art
am
en
to d
e I
ng
en
ier
a
de S
iste
mas y
Au
tom
ti
ca
Contenido
TEMA 5.- Anlisis de respuesta en frecuencia
5.1. Anlisis de sistemas en tiempo continuo en el dominio de
la
frecuencia.
5.2. Representacin mediante diagramas de Bode.
5.3. Trazado de diagramas de Bode.
5.4. Sistemas de fase no mnima.
5.5. Especificaciones del comportamiento en el dominio de la
frecuencia.
5.6. Anlisis de estabilidad. Mrgenes de ganancia y de fase.
5.7. Relacin de la respuesta en frecuencia con la respuesta
temporal.
5.8. Determinacin experimental de la funcin de transferencia
a
partir de la respuesta en frecuencia.
5.9. Compensacin en el dominio de la frecuencia.
-
Dep
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am
en
to d
e I
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en
ier
a
de S
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mas y
Au
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de S
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mas y
Au
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am
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to d
e I
ng
en
ier
a
de S
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mas y
Au
tom
ti
ca
Relacin de la respuesta frecuencial y temporal
Estudio del transitorio de la respuesta temporal:
Se va a estudiar la relacin de respuesta en frecuencia con
la
temporal para el caso de un sistema prototipo de segundo
orden.
La correspondiente funcin de transferencia senoidal es:
Si el orden es superior a
dos, pero tiene dos polos
complejos conjugados
dominantes las relaciones
tambin son vlidas.
-
Dep
art
am
en
to d
e I
ng
en
ier
a
de S
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mas y
Au
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ca
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to d
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ng
en
ier
a
de S
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mas y
Au
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en
to d
e I
ng
en
ier
a
de S
iste
mas y
Au
tom
ti
ca
Relacin de la respuesta frecuencial y temporal
Estudio del transitorio de la respuesta temporal
Operando en la expresin del mdulo se obtiene el mximo, que
se producir en la frecuencia de resonancia, y el valor del
mximo obtenido ser el pico de resonancia. Los valores
calculados son:
Estas ecuaciones son validas para valores de la relacin de
amortiguamiento 0 < x < 0.707
Observando las ecuaciones se puede deducir que:
a) El pico de resonancia Mr depende slo del coeficiente x.
b) Si x 0 el pico de resonancia Mr .
c) Cuando aumenta x el pico de resonancia Mr disminuye.
(cont.):
?
-
Dep
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e I
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de S
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mas y
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de S
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mas y
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to d
e I
ng
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ier
a
de S
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mas y
Au
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ca
Relacin de la respuesta frecuencial y temporal
Estudio del transitorio de la respuesta temporal
Operando, tambin se puede obtener la expresin analtica del
ancho de banda para un sistema de segundo orden que es:
y realizando una aproximacin lineal de la misma, se obtiene
Observando las ecuaciones se puede deducir que:
a) De la que se puede deducir que el ancho de banda BW es
directamente proporcional a la frecuencia natural wn.b) Para un
valor de la frecuencia natural fijo, el ancho de banda
disminuye a medida que la relacin de amortiguamiento
xaumenta.
(cont.):
-
Dep
art
am
en
to d
e I
ng
en
ier
a
de S
iste
mas y
Au
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am
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to d
e I
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en
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a
de S
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mas y
Au
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am
en
to d
e I
ng
en
ier
a
de S
iste
mas y
Au
tom
ti
ca
Relacin de la respuesta frecuencial y temporal
Estudio del transitorio de la respuesta temporal
Aumentar la relacin de amortiguamiento implica que tanto el
ancho de banda como el valor del pico de resonancia se hacen
ms pequeos.
(cont.):
-
Dep
art
am
en
to d
e I
ng
en
ier
a
de S
iste
mas y
Au
tom
ti
ca
Dep
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am
en
to d
e I
ng
en
ier
a
de S
iste
mas y
Au
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ca
Dep
art
am
en
to d
e I
ng
en
ier
a
de S
iste
mas y
Au
tom
ti
ca
Relacin de la respuesta frecuencial y temporal
Estudio del estacionario de la respuesta temporal:
Considerando un sistema de control con realimentacin
unitaria,
las constantes estticas de error de posicin, velocidad y
aceleracin describen el comportamiento de baja frecuencia de
los sistemas de tipo 0, tipo 1 y tipo 2, respectivamente.
Para un sistema definido, slo es finita y significativa una de
las
constantes de error esttico.
El tipo de sistema determina la pendiente de la curva de
magnitud logartmica en frecuencias bajas.
La existencia y la magnitud del error en
estado estacionario se determina a partir de
la observacin en baja frecuencia de la
curva de magnitud logartmica
-
Dep
art
am
en
to d
e I
ng
en
ier
a
de S
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mas y
Au
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a
de S
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mas y
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en
to d
e I
ng
en
ier
a
de S
iste
mas y
Au
tom
ti
ca
Relacin de la respuesta frecuencial y temporal
Estudio del estacionario de la respuesta temporal
Para el caso de un sistema de tipo 0, la grfica de la
magnitud
G(jw) logartmica en baja frecuencia es igual a Kp.
(cont.):
-
Dep
art
am
en
to d
e I
ng
en
ier
a
de S
iste
mas y
Au
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art
am
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ier
a
de S
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mas y
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ca
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am
en
to d
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ng
en
ier
a
de S
iste
mas y
Au
tom
ti
ca
Relacin de la respuesta frecuencial y temporal
Estudio del estacionario de la respuesta temporal
Para el caso de un sistema tipo 1, la interseccin del
segmento
inicial -20 dB/dcada (o su extensin) con la lnea w = 1 tiene
la
magnitud de 20 log Kv.
por tanto
Tambin se puede comprobar que
donde w1 = 1 es la frecuencia a la que |G(jw)|=1.
(cont.):
-
Dep
art
am
en
to d
e I
ng
en
ier
a
de S
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mas y
Au
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de S
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mas y
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am
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to d
e I
ng
en
ier
a
de S
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mas y
Au
tom
ti
ca
Relacin de la respuesta frecuencial y temporal
Estudio del estacionario de la respuesta temporal
Para el caso de un sistema tipo 1.
(cont.):
-
Dep
art
am
en
to d
e I
ng
en
ier
a
de S
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mas y
Au
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am
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to d
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ier
a
de S
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mas y
Au
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am
en
to d
e I
ng
en
ier
a
de S
iste
mas y
Au
tom
ti
ca
Relacin de la respuesta frecuencial y temporal
Estudio del estacionario de la respuesta temporal
Para el caso de un sistema de tipo 2, dado que a bajas
frecuencias,
se deduce que
Adems
donde wa = 1 es la frecuencia a la que |G(jw)|=1.
(cont.):
-
Dep
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am
en
to d
e I
ng
en
ier
a
de S
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mas y
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ng
en
ier
a
de S
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mas y
Au
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ca
Relacin de la respuesta frecuencial y temporal
Estudio del estacionario de la respuesta temporal
Para el caso de un sistema de tipo 2
(cont.):
-
Dep
art
am
en
to d
e I
ng
en
ier
a
de S
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mas y
Au
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ier
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de S
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mas y
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Dep
art
am
en
to d
e I
ng
en
ier
a
de S
iste
mas y
Au
tom
ti
ca
Contenido
TEMA 5.- Anlisis de respuesta en frecuencia
5.1. Anlisis de sistemas en tiempo continuo en el dominio de
la
frecuencia.
5.2. Representacin mediante diagramas de Bode.
5.3. Trazado de diagramas de Bode.
5.4. Sistemas de fase no mnima.
5.5. Especificaciones del comportamiento en el dominio de la
frecuencia.
5.6. Anlisis de estabilidad. Mrgenes de ganancia y de fase.
5.7. Relacin de la respuesta en frecuencia con la respuesta
temporal.
5.8. Determinacin experimental de la funcin de transferencia
a
partir de la respuesta en frecuencia.
5.9. Compensacin en el dominio de la frecuencia.
-
Dep
art
am
en
to d
e I
ng
en
ier
a
de S
iste
mas y
Au
tom
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de S
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am
en
to d
e I
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en
ier
a
de S
iste
mas y
Au
tom
ti
ca
Determinacin experimental de la funcin de transferencia
Identificacin de sistemas:
Si es posible medir la razn de amplitudes E/S del sistema y
el
cambio de fase para un nmero suficiente de frecuencias
dentro
del rango de frecuencias de inters, se puede graficar por
puntos el diagrama Bode.
Posteriormente se puede determinar la funcin de
transferencia
mediante aproximaciones asintticas.
-
Dep
art
am
en
to d
e I
ng
en
ier
a
de S
iste
mas y
Au
tom
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to d
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de S
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mas y
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am
en
to d
e I
ng
en
ier
a
de S
iste
mas y
Au
tom
ti
ca
Determinacin experimental de la funcin de transferencia
Identificacin de sistemas (cont.):
Para el ajuste experimental es necesario el uso de
generadores
de seales senoidales.
Los rangos de frecuencia necesarios para la prueba son,
aproximadamente, 0.001 - 10 Hz para sistemas con constantes
de tiempo grandes y 0.1 - 1000 Hz para sistemas con
constantes de tiempo pequeas. Las frecuencias han de convertirse
arad/s antes de calcular las constantes
de tiempo de cada polo o cero.
-
Dep
art
am
en
to d
e I
ng
en
ier
a
de S
iste
mas y
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tom
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en
to d
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de S
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mas y
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to d
e I
ng
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a
de S
iste
mas y
Au
tom
ti
ca
Determinacin experimental de la funcin de transferencia
Consideraciones a tener en cuenta:
1. Por lo general es ms fcil obtener mediciones precisas de
la amplitud que de la fase.
2. Los sistemas fsicos tienen varios tipos de no
linealidades.
Por tanto, es necesario considerar con cuidado la amplitud
de las seales senoidales de entrada:
Si la amplitud de la seal de entrada es demasiado grande, el
sistema se saturar.
En cambio, una seal pequea provocar errores debidos a la
zona muerta.
Es necesario comprobar que la forma de la onda de la salida
sea senoidal y de que el sistema opere en su regin lineal
durante el periodo de prueba.
La respuesta en
frecuencia producir
resultados imprecisos
-
Dep
art
am
en
to d
e I
ng
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ier
a
de S
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mas y
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ng
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ier
a
de S
iste
mas y
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tom
ti
ca
Determinacin experimental de la funcin de transferencia
Pasos para identificar una funcin de transferencia
1. Determinar la pendiente para bajas frecuencias en la curva
de
magnitud (nmero de polos en el origen).
2. Determinar la pendiente para altas frecuencias en la curva
de
magnitud (diferencia del orden del polinomio del denominador y
el
numerador (p-q)).
3. Determinar los ngulos en la curva de fases para bajas y
altas
frecuencias (detecta si se trata de un sistema de fase mnima o
no).
4. Determinar la ganancia de baja frecuencia (Kp, Kv Ka).
5. Detectar el nmero de frecuencias de cruce, su posicin y
dibujar las
asntotas. Para los trminos de segundo orden estimar la relacin
de
amortiguamiento.
6. Utilizar el diagrama de fases para en caso de tratarse de un
retardo
de transporte y estimar la constante de tiempo del mismo.
7. Calcular la respuesta en frecuencia de la funcin de
transferencia
estimada y compararla con las curvas experimentales
iniciales.
8. Iterar y repetir el proceso para afinar la posicin de los
polos y ceros.
-
Dep
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am
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to d
e I
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ier
a
de S
iste
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am
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to d
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ng
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ier
a
de S
iste
mas y
Au
tom
ti
ca
Ejemplo 1:
A partir del diagrama de Bode de la figura, determinar
experimentalmente la funcin de transferencia del sistema:
Determinacin experimental de la funcin de transferencia
-
Dep
art
am
en
to d
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mas y
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de S
iste
mas y
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tom
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ca
Ejemplo 1 (cont.):
Estimacin de la pendiente inicial.
Determinacin experimental de la funcin de transferencia
Pendiente inicial = -20 dB/dcada.
Un polo en el origen Tipo 1.
-
Dep
art
am
en
to d
e I
ng
en
ier
a
de S
iste
mas y
Au
tom
ti
ca
Dep
art
am
en
to d
e I
ng
en
ier
a
de S
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mas y
Au
tom
ti
ca
Dep
art
am
en
to d
e I
ng
en
ier
a
de S
iste
mas y
Au
tom
ti
ca
Ejemplo 1 (cont.):
Clculo de la ganancia esttica de un sistema de tipo 1.
Determinacin experimental de la funcin de transferencia
15 dB = 20 log(Kv) Kv=5.62
w =1
-
Dep
art
am
en
to d
e I
ng
en
ier
a
de S
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mas y
Au
tom
ti
ca
Dep
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de S
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mas y
Au
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ti
ca
Dep
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am
en
to d
e I
ng
en
ier
a
de S
iste
mas y
Au
tom
ti
ca
Ejemplo 1 (cont.):
Aproximacin asinttica de la curva de ganancia.
Determinacin experimental de la funcin de transferencia
wc = 4 wc = 25 wc = 70
-
Dep
art
am
en
to d
e I
ng
en
ier
a
de S
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mas y
Au
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ti
ca
Dep
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de S
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mas y
Au
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ca
Dep
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am
en
to d
e I
ng
en
ier
a
de S
iste
mas y
Au
tom
ti
ca
Ejemplo 1 (cont.):
Estimacin de las cadas de dB/dcada para cada asntota.
Determinacin experimental de la funcin de transferencia
-20 dB / dcada
-
Dep
art
am
en
to d
e I
ng
en
ier
a
de S
iste
mas y
Au
tom
ti
ca
Dep
art
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to d
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ng
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a
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mas y
Au
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ti
ca
Dep
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am
en
to d
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ng
en
ier
a
de S
iste
mas y
Au
tom
ti
ca
Ejemplo 1 (cont.):
Estimacin de las cadas de dB/dcada para cada asntota.
Determinacin experimental de la funcin de transferencia
-40 dB / dcada polo real
wc = 4
-
Dep
art
am
en
to d
e I
ng
en
ier
a
de S
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mas y
Au
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ca
Dep
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a
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mas y
Au
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ti
ca
Dep
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am
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to d
e I
ng
en
ier
a
de S
iste
mas y
Au
tom
ti
ca
Ejemplo 1 (cont.):
Estimacin de las cadas de dB/dcada para cada asntota.
Determinacin experimental de la funcin de transferencia
-60 dB / dcada polo real
wc = 25
-
Dep
art
am
en
to d
e I
ng
en
ier
a
de S
iste
mas y
Au
tom
ti
ca
Dep
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ng
en
ier
a
de S
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mas y
Au
tom
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ca
Dep
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am
en
to d
e I
ng
en
ier
a
de S
iste
mas y
Au
tom
ti
ca
Ejemplo 1 (cont.):
Estimacin de la pendiente final.
Determinacin experimental de la funcin de transferencia
Pendiente final = -40 dB / dcada
cero real (p-q) = 2
wc = 70
-
Dep
art
am
en
to d
e I
ng
en
ier
a
de S
iste
mas y
Au
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ca
Dep
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en
to d
e I
ng
en
ier
a
de S
iste
mas y
Au
tom
ti
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Dep
art
am
en
to d
e I
ng
en
ier
a
de S
iste
mas y
Au
tom
ti
ca
Ejemplo 1 (cont.):
Es el sistema de fase mnima o no?
Determinacin experimental de la funcin de transferencia
wc = 4 wc = 25 wc = 70
-90 (p-q) = -180
2
Fase mnima
SI
-
Dep
art
am
en
to d
e I
ng
en
ier
a
de S
iste
mas y
Au
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ti
ca
Dep
art
am
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to d
e I
ng
en
ier
a
de S
iste
mas y
Au
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Dep
art
am
en
to d
e I
ng
en
ier
a
de S
iste
mas y
Au
tom
ti
ca
Determinacin experimental de la funcin de transferencia
Ejemplo 1 (cont.):
Como resultado de la identificacin del Ejemplo 1 se obtiene
la
siguiente funcin de transferencia senoidal:
y la forma final haciendo el cambio jw=s sera:
-
Dep
art
am
en
to d
e I
ng
en
ier
a
de S
iste
mas y
Au
tom
ti
ca
Dep
art
am
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to d
e I
ng
en
ier
a
de S
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mas y
Au
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ca
Dep
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am
en
to d
e I
ng
en
ier
a
de S
iste
mas y
Au
tom
ti
ca
Ejemplo 1 (cont.):
Es el sistema estable en bucle cerrado?
Determinacin experimental de la funcin de transferencia
Mg = 19 dB
Mf = 40wcp = 13
wcg = 4
SI
-
Dep
art
am
en
to d
e I
ng
en
ier
a
de S
iste
mas y
Au
tom
ti
ca
Dep
art
am
en
to d
e I
ng
en
ier
a
de S
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mas y
Au
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ca
Dep
art
am
en
to d
e I
ng
en
ier
a
de S
iste
mas y
Au
tom
ti
ca
Determinacin experimental de la funcin de transferencia
Ejemplo 2:
A partir del diagrama de Bode de la figura, determinar
experimentalmente la funcin de transferencia del sistema:
-
Dep
art
am
en
to d
e I
ng
en
ier
a
de S
iste
mas y
Au
tom
ti
ca
Dep
art
am
en
to d
e I
ng
en
ier
a
de S
iste
mas y
Au
tom
ti
ca
Dep
art
am
en
to d
e I
ng
en
ier
a
de S
iste
mas y
Au
tom
ti
ca
D
