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1 Respuesta Frecuencial

La respuesta en frecuencia se define como la respuesta de un sistema, en estado estacionario, anteuna entrada sinusoidal. Tal como en capítulos anteriores, los procesos estudiados en este capítulo sonlineales, por lo que al ser sometidos a este tipo de entrada presentan tambien una salida sinusoidalpero con diferente amplitud y ángulo de fase, tal como se observa en la Fig. 1.1. Entre las ventajasque proporciona el análisis de un sistema a través de su respuesta en frecuencia se encuentran lafacilidad de reproducir señales de prueba que permiten una identificación frecuencial, la existencia decriterios de estabilidad a lazo cerrado, basados en la respuesta frecuencial del sistema a lazo abierto yfinalmente la disposición de técnicas de diseño para el control de sistemas cuando las especificacionesde la respuesta son de carácter frecuencial. Además, cabe mencionar, que es posible establecer unarelación entre la respuesta frecuencial y la temporal.

−10 −8 −6 −4 −2 0 2 4 6 8 10−3

−2

−1

0

1

2

3

Tiempo

Sal

ida

r(t) = Rsen(wt)

c(t) = Csen(wt + v)

Figura 1.1: Entrada y salida sinosoidal de un sistema

Una vez alcanzado el estado estacionario se puede obtener, en forma analítica, la respuesta frecuencialhaciendo uso de la función de transferencia del sistema G(s), sustituyendo s = jω en dicha funciónde transferencia tal como se muestra a continuación.

G( jω) = Me jφ (1.1)

donde M corresponde con la relación de amplitudes de las sinusoidales de salida y entrada, y φ vienea ser el ángulo de desfasaje. De la misma forma G( jω) viene a ser un vector con módulo y fase, loscuales pueden expresarse según las Ecs. 1.2 y 1.3, respectivamente.

G( jω) = |G( jω)|e jφ (1.2)

φ = tg−1[

Im(G( jω))Re(G( jω))

](1.3)

1


Ahora, partiendo del hecho de que la función de transferencia de un sistema es una relación entreentrada-salida, se pueden expresar el módulo y el ángulo en función de la entrada R(s) y de la salidaC(s), tal como lo expresan las Ecs. 1.4 y 1.5, respectivamente. De allí que, si se conoce G(s) esposible obtener, en forma analítica, la respuesta frecuencial del sistema evaluando el módulo y la fasepara valores de frecuencia desde cero hasta infinito.

|G( jω)|= |C ( jω)||R( jω)|

(1.4)

∠G( jω) = ∠

(C ( jω)R( jω)

)(1.5)

1.1. Obtención de la respuesta frecuencial a partir de la

función de transferencia

Una función de transferencia puede ser expresada como una relación de ceros y polos que, en formageneral, puede ser escrita tal y como se muestra en la Ec. 1.6, donde Kcorresponde con la gananciadel sistema, z con los ceros, p con los polos, m con el número de ceros y n con el número de polos.A partir de allí, el módulo de la respuesta fracuencial y su fase, para un valor específico de ω , secalcularan según las Ecs. 1.7 y 1.8, respectivamente.

G( jω) =K

m∏i=1

( jω + zi)

n∏j=1

(jω + p j

) (1.6)

|G( jω)|=K

m∏i=1| jω + zi|

n∏j=1

∣∣ jω + p j∣∣ (1.7)

∠G( jω) =m

∑i=1

∠( jω + zi)−n

∑j=1

∠(

jω + p j)

(1.8)

Considerando una función de transferencia específica como la expresada por la Ec. 1.9, es posibleconocer su respuesta frecuencial tal como se muestra a continuación, donde el módulo y la fase de-berán evaluarse para ω desde cero hasta infinito.

G(s) =K (s+ z)

s(s+ p)2 (1.9)

G( jω) =K ( jω + z)jω ( jω + p)

(1.10)

|G( jω)|= K | jω + z|| jω| | jω + p|

(1.11)

2

1.2 Diagramas de Bode

∠G( jω) = ∠( jω + z)− (∠ jω +∠( jω + p)) (1.12)

La representación de la respuesta frecuencial puede hacerse de diferentes formas, entre las cualesse pueden nombrar los Diagramas de Bode y los Diagramas Polares, los cuales serán estudiados acontinuación.

1.2. Diagramas de Bode

Los diagramas de bode se utilizan para representar la respuesta frecuencial de un sistema haciendouso de dos gráficos, el primero representa el logaritmo del módulo versus la frecuencia y el segundorepresenta el ángulo de fase versus la frecuencia. La magnitud logarítmica de G( jω) se representacomo una amplitud logarítmica y se calcula como el 20log|G( jω)|, siendo la unidad de dicha ampli-tud los decibeles (dB). La principal ventaja de realizar un diagrama logarítmico es que el caráctermultiplicativo de los módulos en la función de transferencia se convierte en aditivo, lo cual simplificala representación en cuestión. Para un sistema cuya función de transferencia sea la expresada por laEc. 1.13, se calculará su amplitud logarítmica y su fase tal como lo expresan las Ecs.1.16 y 1.17, enlas que se puede observar el carácter aditivo de ambas.

G(s) =K (s+ z1)(s+ z2)s(s+ p1)(s+ p2)

(1.13)

G( jω) =K ( jω + z1)( jω + z2)

jω ( jω + p1)( jω + p2)(1.14)

|G( jω)|= K | jω + z1| | jω + z2|| jω| | jω + p1| | jω + p2|

(1.15)

20log |G( jω)| = 20logK +20log | jω + z1|+20log | jω + z2|− · · ·· · · (20log | jω|+20log | jω + p1|+20log | jω + p2|)

(1.16)

∠G( jω) = (∠( jω + z1)+∠( jω + z2))− (∠ jω +∠( jω + p1)+∠( jω + p2)) (1.17)

Partiendo del hecho de que, tanto la amplitud logarítmica como la fase, pueden ser representadascomo la suma de las contribuciones de cada uno de sus factores, es posible obtener el diagrama deBode de un sistema cualquiera si se conocen los diagramas de Bode para los diferentes factores quela conformen. Es decir, conocidos los diagramas de Bode para los distintos factores que puedencomponer una función de transferencia, será posible obtener el diagrama de Bode de una funcióncompuesta por dichos factores de una forma muy sencilla. Para ello se desarrollará la representaciónde los diagramas de Bode para los diferentes factores que conforman una función de transferencia, loscuales son los siguientes:

→ Ganancia G( jω) = K

→ Polo y cero en el origen G( jω) = ( jω)±1

→ Factores de primer orden G( jω) = (1+ τ jω)±1

3


→ Factores cuadráticos G( jω) =[1+2ζ ( jω/ωn)+( jω/ωn)2

]A continuación se desarrollarán los diagramas de Bode de cada uno de dichos factores, para lo cual separtirá de la función de transferencia de cada uno y se seguirá el mismo procedimiento descrito conanterioridad para obtener la amplitud logarítmica y la fase.

1.2.1. Ganancia

La obtención del diagrama de Bode para el factor ganancia se realiza sustituyendo s = jω en la funciónde transferencia, de forma tal que a partir de allí se pueda obtener la amplitud logarítmica y la fasepara los valores de frecuencia requeridos, tal como se muestra a continuación.

G(s) = K ⇒ G( jω) = K (1.18)

|G( jω)|= K ⇒ 20log |G( jω)|= 20log(K) (1.19)

∠G( jω) = φ = tg−1(

ImRe

)= 00 (1.20)

En la Fig. 1.2 (a) se puede observar el vector que representa G( jω) en el plano s, en el cual se apreciaque dicho vector siempre tendrá una fase igual 0o y un módulo igual a K independiente del valor dela frecuencia. Adicionalmente, en la Fig 1.2 (b) se puede apreciar el diagrama de Bode para los casosen que sea K > 1 y K < 1, del cual destaca el hecho de que agregar un factor ganancia tendrá comoresultado una subida o bajada del diagrama de amplitud dependiendo del valor de la ganancia, sin queello modifique en lo absoluto la fase.

(a)

10−1

100

101

102

−30

−20

−10

0

10

20

30

Mag

nitu

d (d

B)

10−1

100

101

102

−1

−0.5

0

0.5

1

Fase

(de

g)

Frecuencia (r/s)

K = 10

K = 0,1

K = 10 K = 0,1

(b)

Figure 1.2: Diagrama de Bode. Ganancia G(s) = K

4


1.2.2. Polo y cero en el origen

Al igual que en el caso anterior, la obtención del diagrama de Bode para este tipo de factor se realizasustituyendo s = jω en la función de transferencia, de forma tal que se pueda obtener la amplitudlogarítmica y la fase para los valores de frecuencia requeridos, tal como se muestra a continuación.

G(s) =1s⇒ G( jω) =

1jω⇒ G( jω) =

1jω

((− jω)(− jω)

)=−

(1ω

)j (1.21)

|G( jω)|= 1ω⇒ 20log |G( jω)|= 20log(1)−20log(ω) =−20log(ω) (1.22)

∠G( jω) = φ = tg−1(

ImRe

)⇒ φ = tg−1

(1/ω

0

)⇒ φ =−900 (1.23)

A partir de allí se puede concluir que el vector que representará la respuesta frecuencial para varia-ciones de ω de cero a infinito, mostrado en la Fig 1.3, tendrá siempre una fase igual a −900, en tantoque su módulo variará desde infinito a cero. En dicha figura es posible observar el siguiente compor-tamiento para la fase, el cual confirma lo concluido respecto a la misma.

ω → 0 Re = 0 Im→ ∞− φ →−900

ω → ∞ Re = 0 Im = 0− φ =−900

Figure 1.3: Polo en el origen (Plano s)

En cuanto a la amplitud logarítmica, descrita según la Ec. 1.22, se concluye que la representación de lamisma en escala semilogarítmica resulta ser una recta, cuya pendiente puede conocerse evaluando lafunción para dos valores de frecuencia, como por ejemplo ω1 y ω2 cuya diferencia es una década. Enla Ec. 1.25 se demuestra que en una década la recta a caído 20 dB por lo que se concluye que la gráficade la amplitud logarítmica corresponderá con una recta cuya pendiente sea de −20 dB/dc. En la Fig.1.4 se puede observar el diagrama de Bode para un polo en el origen, en la cual también se incluye eldiagrama para un cero en el origen el diagrama de amplitud será una recta de pendiente 20 dB/dc y lafase será de 900 para toda la frecuencia. Ambos diagramas pueden observarse .

ω1 =ω2

10(1.24)

5


20log |G( jω1)|−20log |G( jω2)|= 20log(

ω1

ω2

)= 20log

(ω1

10ω1

)=−20log(10) =−20 dB

(1.25)

10−1

100

101

−20

−10

0

10

20

Mag

nitu

d (d

B)

10−1

100

101

102

−100

−50

0

50

100

Fas

e (d

eg)

Polo Cero

Cero

Polo

Figure 1.4: Diagrama de Bode. Polo y cero en el origen G( jω) = ( jω)±1

Cabe destacar que si se tienen polos múltiples, G(s) = (s)±n, la ganancia logarítmica y la fase quedaránexpresadas según las Ecs. 1.26 y 1.27, respectivamente. De allí que se tendrá una gráfica de ganancialogarítmica cuya pendiente será ±n(20dB/dcada) y una gráfica de fase cuyo valor será (±n90o).

20log∣∣( jω)±n∣∣=±20nlog(ω) (1.26)

φ =±n(900) (1.27)

1.2.3. Polo y cero en el eje real

La obtención del diagrama de Bode para un polo en el eje real se realiza en forma semejante a losanteriores, de forma tal que el módulo y la fase quedarán expresados según las Ecs. 1.31 y 1.32.

G(s) =1

τs+1(1.28)

G( jω) =1

(τ jω +1)(−τ jω +1)(−τ jω +1)

=1− τω j

1+(τω)2 (1.29)

6


G( jω) =

(1

1+(τω)2

)−

(τω

1+(τω)2

)j (1.30)

|G( jω)|=

√√√√√ 1+(−τω)2(1+(τω)2

)2 =1√

1+(τω)2(1.31)

∠G( jω) = φ = tg−1(

ImRe

)⇒ φ = tg−1 (−τω) (1.32)

Para este caso se utilizarán aproximaciones para graficar el diagrama de Bode, tanto para la amplitudlogarítmica como para la fase, las cuales se conocerán en adelante como aproximaciones asintóticas.Para ello se evaluarán lasEcs. 1.31 y 1.32 en ciertos valores que se muestran a continuación.

ω � 1/τ 20log |G( jω)|=−20log(1) = 0 dB Re→ 1+ Im→ 0− φ → 00

ω = 1/τ 20log |G( jω)|=−20log√

2 =−3 dB Re = +12 Im =−1

2 φ =−450

ω � 1/τ 20log |G( jω)|=−20log(τω) Re→ 0+ Im→ 0− φ →−900

Como se puede observar, la amplitud logarítmica tiende a 0 dB cuando la frecuencia es mucho menorque 1/τ y cuando la frecuencia es mucho mayor que 1/τ tiende a una recta de pendiente −20 dB/dc,siendo 1/τ el punto donde se cortan ambas asíntotas conocido como frecuencia de corte o de transiciónde ganancias. En cuanto a la fase, tambien se observan unas tendencias en los extremos de frecuenciaen los cuales la misma no presentará cambios. En la Fig. 1.5(a) se muestra tanto el diagrama de Bodeexacto para un polo en el eje real, como su aproximación asintótica y en la Fig. 1.5(b) se muestra elcaso del cero en el eje real.

10−2

10−1

100

101

102

−40

−30

−20

−10

0

10

Mag

nitu

d (d

B)

10−2

10−1

100

101

102

−80

−60

−40

−20

0

Fase

(de

g)

Frecuencia (r/s)

Aproximación Asintótica

Curva Real

−20 dB/dc

3 dB

(a)

10−2

10−1

100

101

102

−10

0

10

20

30

40

Mag

nitu

d (d

B)

10−2

10−1

100

101

102

0

20

40

60

80

Fase

(de

g)

Frecuencia (r/s)


3 dB

Curva Real

20 dB/dc

(b)

Figure 1.5: Diagrama de Bode. Polo y cero en el eje real G( jω) = (1+ τ jω)±1

7


1.2.4. Polos y ceros conjugados

La obtención del diagrama de Bode para un par de polos conjugados se realiza en forma semejante alos anteriores, de forma tal que el módulo y la fase quedarán expresados según las Ecs. 1.36 y 1.37,respectivamente. A partir de allí, la amplitud logarítmica quedará expresada por la Ec. 1.38.

G(s) =(

s2

ω2n

+2ζ sωn

+1)−1

(1.33)

G( jω) =

1[1−(

ω

ωn

)2]+2ζ

ω

ωnj

[

1−(

ω

ωn

)2]−2ζ

ω

ωnj[

1−(

ω

ωn

)2]−2ζ

ω

ωnj

(1.34)

G( jω) =

[1−(

ω

ωn

)2]−2ζ

ω

ωnj[

1−(

ω

ωn

)2]2

+[2ζ

ω

ωn

]2(1.35)

|G( jω)|=

√√√√√√√√√[

1−(

ω

ωn

)2]2

+[2ζ

ω

ωn

]2

[[1−(

ω

ωn

)2]2

+[2ζ

ω

ωn

]2]2 =

[1−(

ω

ωn

)2]2

+[

2ζω

ωn

]2− 1

2

(1.36)

∠G( jω) = φ = tg−1(

ImRe

)⇒ φ = tg−1

− 2ζω

ωn

1−(

ω

ωn

)2

(1.37)

20log |G( jω)|=−10log

[1−(

ω

ωn

)2]2

+[

2ζω

ωn

]2 (1.38)

También se utilizarán aproximaciones para graficar el diagrama de Bode, tanto para la amplitud loga-rítmica como para la fase, para ello se evaluarán lasEcs. 1.38 y 1.37 en ciertos valores que se muestrana continuación.

ω � ωn 20log |G( jω)|=−20log(1) = 0 dB Re→ 1+ Im→ 0− φ → 00

ω = ωn 20log |G( jω)|=−20log2ζ Re = 0+ Im =− 12ζ

φ =−900

ω � ωn 20log |G( jω)|=−40log(

ω

ωn

)Re→−

(ωnω

)2→ 0− Im→−(

ωnω

)3→ 0−(más rápido) φ →−1800

8


Como se puede observar, la amplitud logarítmica tiende a 0 dB cuando la frecuencia es mucho menorque ωn y cuando la frecuencia es mucho mayor que ωn tiende a una recta de pendiente −40 dB/dc,siendo ωn el punto donde se cortan ambas asíntotas conocido como frecuencia de corte o de transiciónde ganancias. En cuanto a la fase, también se observan tendencias en los extremos de frecuencia en loscuales la misma no presentará cambios. En la Fig. 1.5(a) se muestra tanto el diagrama de Bode exactopara un par de polos conjugados, como su aproximación asintótica.

10−1

100

101

102

−60

−40

−20

0

20

Mag

nitu

d (d

B)

10−1

100

101

102

−180

−135

−90

−45

0

Fase

(gr

ados

)

Frecuencia (r/s)


Curvas Reales

− 40 dB/dc

Figure 1.6: Diagrama de Bode. Polos conjugados G( jω) =[1+2ζ ( jω/ωn)+( jω/ωn)2

]

El pico que se observa en el diagrama de Bode anterior se conoce como pico de resonancia (Mr)y ocurre a una frecuencia conocida como frecuencia de resonancia (ωr), ambos valores pueden sercalculados utilizando las Ecs. 1.39 y 1.40, respectivamente.

Mr = |G( jωr)|=1

2ζ√

1−ζ 2(1.39)

ωr = ωn

√1−2ζ 2 (1.40)

Una vez conocidos los diagramas de Bode para cada uno de los factores, se puede obtener el diagramade bode para un sistema conformado por varios factores, para lo cual se debe seguir el procedimientoque se muestra a continuación.

→ Rescribir la función de transferencia como un producto de los factores básicos analizados ante-riormente

→ Identificar las frecuencias de corte de cada uno de los factores→ Identificar los factores que tienen influencia a baja frecuencia→ Dibujar las aproximaciones asintóticas de la amplitud logarítmica comenzando a baja frecuencia

y añadiendo el efecto de cada factor al ir llegando a su frecuencia de ocurrencia→ Corregir las aproximaciones asintóticas

9


→ Dibujar las tendencias de la fase, tanto a baja frecuencia como a alta frecuencia. Entre dichosextremos aproximar la forma de la curva de fase según la ocurrencia de los diferentes factores.

Ejercicio 1.1 Realizar el diagrama de Bode de un sistema cuya función de transferencia es la expre-sada por la Ec. 1.41.

G(s) =100(s+10)

(s+1)(s+100)(1.41)

SoluciónLo primero que debe hacerse es reordenar la función de transferencia para identificar aisladamentecada uno de los factores que la conforman, lo cual queda descrito por la Ec. 1.42. a partir de allíse enumeran los distintos factores, sus características y su frecuencia de ocurrencia. Finalmente, enla Fig. 1.7 se muestra el diagrama de Bode solicitado, en el cual se muestran las curvas reales y laaproximación asintótica.

G(s) =100

( s+1010

)10

(s+1)( s+100

100

)100

=10( 1

10s+1)

(s+1)( 1

100s+1) (1.42)

→ Ganancia K = 10→ Polo en el eje real (s+1)−1 ⇒ ω1 = 1→ Cero en el eje real

( 110s+1

)⇒ ω2 = 10

→ Polo en el eje real( 1

100s+1)−1 ⇒ ω3 = 100

10−1

100

101

102

103

104

−40

−30

−20

−10

0

10

20

30

Mag

nitu

d (d

B)

10−1

100

101

102

103

104

−90

−75

−60

−45

−30

−15

0

Fase

(de

g)

Frecuencia (r/s)

− 20 dB/dc

− 20 dB/dc w1 w2 w3

Comienza en 0

Termina en −90

Decreciente Decreciente

Creciente

Figure 1.7: Diagrama de Bode. G(s) = 100(s+10)(s+1)(s+100)

10


Ejercicio 1.2 Realizar el diagrama de Bode de un sistema cuya función de transferencia es la expre-sada por la Ec.1.43.

G(s) =5000(s+10)

s(s+50)(s+100)(1.43)


G(s) =5000

( s+1010

)10

s( s+50

50

)50( s+100

100

)100

=10( 1

10s+1)

s( 1

50s+1)( 1

100s+1) (1.44)

→ Ganancia K = 10→ Polo en el origen→ Cero en el eje real

( 110s+1

)⇒ ω1 = 10


50s+1)−1 ⇒ ω2 = 50


100s+1)−1 ⇒ ω3 = 100

10−1

100

101

102

103

104

−80

−60

−40

−20

0

20

40

Mag

nitu

d (d

B)

10−1

100

101

102

103

104

−180

−160

−140

−120

−100

−80

−60

−40

Fase

(de

g)

Frecuencia (r/s)

− 20 dB/dc

− 20 dB/dc

− 40 dB/dc

Fase aumenta

Fase disminuye

Fase comienza en −90

Fase termina en −180

w1 w2 w3

Figure 1.8: Diagrama de Bode. G(s) = 5000(s+10)s(s+50)(s+100)

11


Ejercicio 1.3 Realizar el diagrama de Bode de un sistema cuya función de transferencia es la expre-sada por la Ec.1.45.

G(s) =40(s+10)2

s(s+1)(s+100)(1.45)


G(s) =40(s+10)2

s(s+1)(s+100)=

40( 1

10s+1)2

s(s+1)( 1

100s+1) (1.46)

→ Ganancia K = 40→ Polo en el origen→ Polo en el eje real (s+1) ⇒ ω1 = 1

→ Dos ceros en el eje real( 1

10s+1)2 ⇒ ω2 = 10


100s+1)−1 ⇒ ω3 = 100

10−2

10−1

100

101

102

103

104

−40

−20

0

20

40

60

80

Mag

nitu

d (d

B)

10−2

10−1

100

101

102

103

104

−140

−120

−100

−80

−60

−40

Fase

(de

g)

Frecuencia (r/s)

Fase comienza en −90 Fase termina en −90

Fase aumenta

Fase disminuye

Fase disminuye

− 20 dB/dc

− 20 dB/dc

− 40 dB/dc

w1

w2 w3

Figure 1.9: Diagrama de Bode. G(s) = 40(s+10)2

s(s+1)(s+100)

12

1.3 Identificación de un proceso a partir de su diagrama de Bode

1.3. Identi�cación de un proceso a partir de su diagrama

de Bode

En capítulos anteriores se estudió la identificación de un proceso a partir de su respuesta temporal,el cual resultó ser un procedimiento sumamente sencillo que permitía la aproximación de la funciónde transferencia a la de un sistema de primer o segundo orden, según fuese el caso. La identificaciónque se estudiará en esta sección se fundamenta en el conocimiento de la respuesta frecuencial delproceso, a partir de la cual será posible identificar de forma más detallada los distintos factores queconforman una función de transferencia. El procedimiento para realizar una identificación frecuencialpuede resumirse a continuación tal como se muestra.

→ Análisis a baja frecuencia

• Para el caso de la amplitud logarítmica se debe observar si presenta o no pendiente, pueseso determinará la presencia de polos el origen. Si la curva no tiene pendiente el sistemaserá de tipo 0 y la ganancia se calculará a partir del valor del 20log |G( jω)|= 20logK. Siposee pendiente el tipo del sistema dependerá de la pendiente, es decir, será de tipo I si lapendiente es de −20dB/dc, tipo II si la pendiente es de −40dB/dc y así sucesivamente. Eneste caso, la ganancia debe calcularse leyendo el valor de la magnitud y comparándolo conel que debería tener si no existiese ganancia, de existir una dieferencia, sería debida a laganancia.

• Para el caso de la fase se debe observar a que valor tiende, si tiende a 00 indica que no haypolos ni ceros en el origen, en tanto si tiende a ±n900ello indicaría la presencia de n poloso ceros en el origen.

→ Análisis a alta frecuencia

• Para el caso de la amplitud logarítmica se debe observar el valor de la pendiente quedefinirá la diferencia entre los polos y los ceros de la función de transferencia, pues param ceros y n polos, dicha pendiente será igual a (n−m)(−20dB/dc).

• Para el caso de la fase se debe observar la tendencia pues ello debe coincidir con el diagra-ma de amplitud en lo que respecta a la diferencia entre polos y ceros, es decir, dicho valorserá igual a (n−m)

(−900).

→ Análisis de los valores intermedios

• Se debe analizar primero la fase para determinar la ocurrencia de polos o ceros, basándoseen el hecho de que los ceros elevan el diagrama y los polos lo bajan.

• En base a lo anterior se deben ubicar las rectas de las aproximaciones asintóticas tal quecoincidan con los razonamientos anteriores.

Ejercicio 1.4 Para un sistema cuya respuesta frecuencial es la que se muestra en la Fig. 1.10, sesolicita que identifique la función de transferencia que lo representa.

13


10−1

100

101

102

103

104

−100

−80

−60

−40

−20

0

20

40

Mag

nitu

d (d

B)

10−1

100

101

102

103

104

−180

−150

−120

−90

−60

−30

0Fa

se (

deg)

Frecuencia (r/s)

Figure 1.10: Diagrama de Bode. Identificación I

SoluciónTal como se mencionó en el procedimiento anterior se realizará el análisis a baja frecuencia, a altafrecuencia y en los valores intermedios.


• El diagrama de magnitud no presenta pendiente por lo que la función de transferencia seráde tipo 0.• 20logK = 20 dB ⇒ K = 10• La fase tiende a 00, lo cual coincide con lo esperado, es decir, la función de transferencia

será de tipo 0.


• El el diagrama de magnitud la pendiente tiende a −40dB/dc y la fase a −1800, por lo quese concluye que m−n = 2, es decir, existirán dos polos más que ceros.

→ Análisis a frecuencias intermedias

• Tanto la magnitud como la fase presentan unas curvas que decrecen monótonamente, porlo que se concluye que no deben existir ceros sino solamente polos.

Tomando en cuenta lo anterior se puede concluir que la forma de la función de transferencia podría sercomo la que se expresa por la Ec. 1.47, de la cual solo hay que comprobar la frecuencia de ocurrenciade los polos. Ello es posible dibujando las aproximaciones asintóticas sobre el diagrama de amplitud,tal como se muestra en la Fig. 1.11, a partir de donde se puede identificar la función de transferenciatal como lo expresa la Ec. 1.48.

G(s)H (s) =K

(τ1s+1)(τ2s+1)(1.47)

14


G(s)H (s) =10( 1

10s+1)( 1

100s+1) (1.48)

10−1

100

101

102

103

104

−100

−80

−60

−40

−20

0

20

40

Mag

nitu

d (d

B)

10−1

100

101

102

103

104

−180

−150

−120

−90

−60

−30

0

Fase

(de

g)

Frecuencia (r/s)

− 20 dB/dc

− 40 dB/dc

Siempre decreciente

w1

w2

Comienza en 0

Termina en −180

Figure 1.11: Diagrama de Bode asintótico. Identificación I


10−1

100

101

102

−80

−70

−60

−50

−40

−30

−20

−10

0

10

20

Mag

nitu

d (d

B)

10−1

100

101

102

−300

−250

−200

−150

−100

−50

Fase

(de

g)

Frecuencia (r/s)

Figure 1.12: Diagrama de Bode. Identificación II

15


SoluciónTal como en el ejemplo anterior se realizará el análisis a baja frecuencia, a alta frecuencia y en losvalores intermedios.


• El diagrama de magnitud presenta una pendiente igual a−20dB/dc por lo que la función detransferencia será de tipo I.

• Para una ω = 0,1 la magnitud es de aproximadamente 16 dB, la cual debería ser de 20 dBsi la ganancia fuese unitaria. Ello indica que la ganancia hace que el diagrama baje−4 dB,por lo que la misma puede calcularse como sigue, 20logK =−4 dB ⇒ K = 0,63

• La fase tiende a−900, lo cual coincide con lo esperado, es decir, la función de transferenciaserá de tipo I.


• En el diagrama de magnitud la pendiente tiende a −60dB/dc y la fase a −2700, por lo quese concluye que m−n = 3, es decir, existirán tres polos más que ceros.


• La fase aumenta ligeramente a baja frecuencia y luego decrece todo el tiempo, al igual quela pendiente que comienza negativa y tiende a cero para luego pasar a ser negativa, lo cualindica la ocurrencia de un cero a bajas frecuencias. Adicionalmente se observa un pico enel diagrama de magnitud, lo que implica que existen un par de polos conjugados, los cualesdeben sumarse al polo en el origen y a otro polo adicional para que m−n = 3.

• Los polos congugados presentan un pico cuyo valor se puede leer de la gráfica y calcularel valor de ζ utilizando la Ec. 1.49.

20logMr = 12 dB ⇒ Mr =1

2ζ√

1−ζ 2= 4 ⇒ ζ = 0,126 (1.49)


G(s)H (s) =K (τ1s+1)

s(τ2s+1)[(

1ω2

n

)s2 +

(2ζ

ωn

)s+1

] (1.50)

G(s)H (s) =0,63(s+1)

s(

11,8s+1

)[( 164

)s2 +

(2∗0,126

64

)s+1

] (1.51)

16


10−1

100

101

102

−80

−70

−60

−50

−40

−30

−20

−10

0

10

20

Mag

nitu

d (d

B)

10−1

100

101

102

−300

−250

−200

−150

−100

−50

Fase

(de

g)

Frecuencia (r/s)

w1 w2 w3

20 log Mr = 12 dB

Comienza en − 90

Creciente

Decreciente

Decreciente

Termina en −270

− 20 dB/dc − 20 dB/dc

− 60 dB/dc

Figure 1.13: Diagrama de Bode asintótico. Identificación II


10−2

10−1

100

101

102

103

104

−40

−20

0

20

40

60

80

Mag

nitu

d (d

B)

10−2

10−1

100

101

102

103

104

−140

−120

−100

−80

−60

−40

Fase

(de

g)

Frecuencia (r/s)

Figure 1.14: Diagrama de Bode. Identificación III

17


Solución

Tal como en el ejemplo anterior se realizará el análisis a baja frecuencia, a alta frecuencia y en losvalores intermedios.


• El diagrama de magnitud presenta una pendiente igual a−20dB/dc por lo que la función detransferencia será de tipo I.

• Para una ω = 0,01 la magnitud es de aproximadamente 72 dB, la cual debería ser de 40 dBsi la ganancia fuese unitaria. Ello indica que la ganancia hace que el diagrama suba 32 dB,por lo que la misma puede calcularse como sigue, 20logK ' 32 dB ⇒ K = 39,8.

• La fase tiende a−900, lo cual coincide con lo esperado, es decir, la función de transferenciaserá de tipo I.


• En el diagrama de magnitud la pendiente tiende a −20dB/dc y la fase a −180, por lo que seconcluye que m−n = 1, es decir, existirá un polo más que ceros.


• La pendiente de la magnitud y la fase comienzan disminuyendo, lo que indica la ocurrenciade un polo. Luego la fase comienza a aumentar sobrepasando los −900 que inicialmentetenía sin alcanzar los 900, igualmente la pendiente tiende a decrecer abruptamente, amboscomportamientos indican la aparición de dos ceros que podrían ser iguales o diferentes de-pendiendo de las aproximaciones asintóticas que se apeguen más al diagrama. Finalmente,la pendiente decrece a −20dB/dc y la fase tiende a −900.


G(s)H (s) =K (τ2s+1)2

s(τ1s+1)(τ3s+1)(1.52)

G(s)H (s) =39,8

( 110s+1

)2

s(s+1)( 1

100s+1) (1.53)

18

1.4 Relación entre la curva de amplitud logarítmica y el error

10−2

10−1

100

101

102

103

104

−40

−20

0

20

40

60

80

Mag

nitu

d (d

B)

10−2

10−1

100

101

102

103

104

−140

−120

−100

−80

−60

−40

Fase

(de

g)

Frecuencia (r/s)

Fase comienza en −90 Fase termina en −90

Fase aumenta

Fase disminuye

Fase disminuye

− 20 dB/dc

− 20 dB/dc

− 40 dB/dc

w1

w2 w3

Figure 1.15: Diagrama de Bode asintótico. Identificación III

1.4. Relación entre la curva de amplitud logarítmica y el

error

Considerando un sistema de control de retroalimentación simple, es posible utilizar la respuesta fre-cuencial a lazo abierto para conocer el error a lazo cerrado. Es importante recordar que el error deun sistema depende del tipo del sistema y de la entrada a la cual se vea sometido, pudiéndose cal-cular el error en función de los coeficientes de error estático (K p, Kv y Ka), donde los valores delos mismos son calculados a partir de las Ecs. 1.54, 1.55 y 1.56, respectivamente. A continuación semostrará, según el tipo del sistema, como puede ser utilizada la respuesta frecuencial a lazo abiertopara el cálculo del error.

K p = lı́ms→0

G(s) (1.54)

K p = lı́ms→0

sG(s) (1.55)

K p = lı́ms→0

s2G(s) (1.56)

1.4.1. Sistemas tipo 0

Para un sistema tipo 0 cuando la frecuencia tiende a cero G( jω) tiende a K p, por lo tanto, a partir dela gráfica de amplitud logarítmica se puede obtener K p, pues a baja frecuencia la amplitud logarítmicade 20log |G( jω)|= 20logK p. En la Fig. 1.16 se puede apreciar lo enunciado anteriormente.

19


Figure 1.16: Diagrama de amplitud. Cálculo de K p

1.4.2. Sistemas Tipo I

Para un sistema de tipo I para cuando ω� 1 se puede aproximar el módulo del G(s) según se muestraen la Ec. 1.57, lo cual se representa como una recta de pendiente −20 dB/dc a baja frecuencia. Siademás se evalúa esta aproximación en ω = 1 se tiene que para esa frecuencia la recta tiene unamagnitud igual a 20logKv. Finalmente, si se extiende la recta hasta que corte los 0 dB, se determinaque dicho valor de frecuencia, ω1, será igual a Kv, tal como lo expresa la Ec.1.58. En la Fig. 1.17, sepuede apreciar lo emncionado anteriormente pero en forma gráfica.

G( jω)→ Kv

jω⇒ |G( jω)|= Kv

ω⇒ 20log |G( jω)|= 20log

(Kv

ω

)(1.57)

20log∣∣∣∣Kv

ω

∣∣∣∣ω=ω1

= 0 dB ⇒ Kv = ω1 (1.58)

Figure 1.17: Diagrama de amplitud. Cálculo de Kv

1.4.3. Sistemas Tipo II

Para un sistema de tipo II para cuando ω � 1 se puede aproximar el módulo del G(s) según semuestra en la Ec. 1.59, lo cual se representa como una recta de pendiente −40 dB/dc a baja frecuencia.

20

1.5 Relación entre el diagrama de amplitud logarítmica y la respuesta transitoria a lazo cerrado

Si además se evalúa esta aproximación en ω = 1 se tiene que para esa frecuencia la recta tiene unamagnitud igual a 20logKa. Finalmente, si se extiende la recta hasta que corte los 0 dB, se determinaque dicho valor de frecuencia, ω1, será igual a Kv, tal como lo expresa la Ec.1.60. En la Fig. 1.18, sepuede apreciar lo emncionado anteriormente pero en forma gráfica.

G( jω)→ Ka

( jω)2 ⇒ |G( jω)|= Ka

ω2 ⇒ 20log |G( jω)|= 20log(

Ka

ω2

)(1.59)

20log∣∣∣∣Ka

ω2

∣∣∣∣ω=ω1

= 0 dB ⇒ ω1 =√

Ka (1.60)

Figura 1.18: Diagrama de Amplitud. Cálculo de Ka

1.5. Relación entre el diagrama de amplitud logarítmica

y la respuesta transitoria a lazo cerrado

Para un sistema a lazo cerrado con retroalimentación unitaria se define M(s) como la función detransferencia a lazo cerrado, en función de la función de transferencia a lazo abierto G(s), tal como loexpresa la Ec. 1.61. A partir allí se obtiene el diagrama de amplitud a lazo cerrado sustituyendo s = jωy representado dicha amplitud según la Ec. 1.62. Considerando un sistema particular a lazo cerradocon ganancia unitaria cuyo diagrama de amplitud se muestra en la Fig. 1.19, se define la frecuencia decorte ωb como la frecuencia a partir de la magnitud a lazo cerrado está por debajo de los−3 dB, de allíque el ancho de banda se define como el rango de frecuencias entre 0≤ ω ≤ ωb. De igual forma, parasistemas a lazo cerrado cuya ganancia no sea unitaria, el valor de la frecuencia de corte ωb es aquellafrecuencia en la cual la magnitud está −3 dB por debajo de su valor de frecuencia cero, tal como loexpresa la Ec. 1.63.

M(s) =C(s)R(s)

=G(s)

1+G(s)(1.61)

20log |M( jω)|= 20log∣∣∣∣ G( jω)1+G( jω)

∣∣∣∣ (1.62)

|M( jω)|< |M( j0)|−3 dB, ω > ωb (1.63)

21


Figura 1.19: Gráfica de la amplitud a lazo cerrado. Ancho de Banda

El ancho de banda viene a ser una característica del sistema íntimamente relacionada con la respuestatransitoria del sistema, siendo las siguientes las consideraciones que se deben tomar en cuenta alanalizar un sistema a lazo cerrado.

→ La respuesta del sistema para valores de frecuencia mayores al wb estará atenuada.→ El ancho de banda se puede definirse como la capacidad que tiene un sistema a lazo cerrado de

reproducir adecuadamente una señal de entrada.→ Para un ancho de banda es grande corresponde una rapidez de la respuesta alta, o lo que es lo

mismo, el ancho de banda es directamente proporcional a la velocidad de respuesta.→ El valor del ancho de banda se encuentra limitado pues el ruido ocurre a alta frecuencia y debe

evitarse que el mismo perturbe la salida.

Tal como se describió anteriormente, el ancho de banda es una característica del sistema a lazo cerrado,cuyo valor puede ser identificado a partir del diagrama de amplitud del sistema a lazo cerrado. Asímismo, se puede utilizar el diagrama de amplitud a lazo abierto para conocer el ancho de banda a lazocerrado pues las características del diagrama de amplitud a alta frecuencia son bastantes parecidastanto a lazo cerrado como a lazo abierto, tal como se aprecia en la Fig. 1.20.

Figura 1.20: Gráficas de la amplitud a lazo abierto y cerrado. Ancho de Banda

22

1.6 Diagramas Polares

1.6. Diagramas Polares

Los diagramas polares son una representación de la respuesta frecuencial de un sistema, en la cual seutiliza el plano s para representar punto a punto la variación de G( jω) cuando 0 ≤ ω ≤ ∞, en otraspalabras, es el lugar geométrico de los vectores que representan el módulo y la fase de G( jω) paraesos valores de frecuencia. El procedimiento a seguir para la obtención de un diagrama polar difierede lo realizado para los diagramas de Bode, pues los mismos no tienen las mismas características deaditividad que tienen los diagramas de Bode. Es por ello que para la obtención de un diagrama polarno se parte del desarrollo previo de los diferentes factores que conforman una función de transferen-cia, sino que se analiza trabaja caso particular. Cabe destacar que, habiendo estudiado previamentelos diagramas de Bode, esto puede servir de base para el estudio de los diagramas polares que sedesarrollarán a continuación.Para el caso de una ganancia, se destaca en la Ec. 1.18, que solamente se modifica el módulo de larespuesta frecuencial por lo que su efecto sobre un diagrama polar es aumentar el módulo propor-cionalmente a la ganancia sin afectar la fase. Para el caso de un polo o cero en el origen, en la Fig.1.21(a) se muestran los diagramas polares correspondientes, los cuales se fundamentan en los razon-amientos realizados para la obtención de los diagramas de Bode para estos factores. Así mismo, semuestra en la Fig. 1.21(b) los diagramas polares para un polo y un cero en el eje real.

(a) polo y cero en el origen (b) Polo y cero en el eje Real

Figure 1.21: Diagramas polares

Ahora, para obtener el diagrama polar de una función de transferencia cualquiera se debe tomar encuenta que, debido a que los sistemas bajo estudio siempre tienen más polos que ceros, el módulo dela respuesta frecuencial siempre tenderá a cero cuando ω tiende a infinito. Es por ello que, para cadacaso particular, se realizará un análisis de la fase para todo el barrido de frecuencia con lo que podráaproximarse la forma del diagrama polar. A continuación se mostrarán varios ejemplos de forma talque ello permita generalizar una metodología para la obtención de los diagramas polares.

Ejercicio 1.7 Desarrolle el diagrama polar para un sistema cuya función de transferencia se expresasegún la Ec. 1.64.

G(s) =1

s(τs+1)(1.64)

23


SoluciónLo primero que se debe hacer es sustituir en la función de transferencia del sistema s = jω , de formatal que se tenga la función de la respuesta frecuencial a representar. A partir de allí, se analiza lacontribución de cada uno de los factores tanto a baja como a alta frecuencia, encontrándose para estecaso, que la fase del polo en el origen se mantiene siempre en −900, en tanto la del polo en el eje realno afecta la fase a baja frecuencia pero va añadiendo una fase negativa que finalmente tiende a −900.En cuanto al módulo, el mismo comienza como infinito a baja frecuencia para luego terminar en cero.Tomando en cuenta estos razonamientos se obtiene el diagrama polar que se muestra en la Fig. 1.22.

G( jω) =1

jω (τ jω +1)(1.65)

1jω

1(τ jω+1)

ω → 0|G( jω)| → ∞

φ =−900|G( jω)|= 1

φ = 00

ω → ∞|G( jω)| → 0

φ =−900|G( jω)| → 0

φ =−900


Ejercicio 1.8 Desarrolle el diagrama polar para un sistema cuya función de transferencia se expresasegún la Ec. 1.66, para la cual debe considerar que τ1 > τ2 > τ3.

G(s) =K (τ2s+1)2

s(τ1s+1)(τ3s+1)(1.66)

SoluciónAl igual que en el ejemplo anterior se sustituye en la función de transferencia del sistema s = jω , deforma tal que se tiene la función de la respuesta frecuencial a representar. A partir de allí, se analiza la

24

1.6 Diagramas Polares

contribución de cada uno de los factores tanto a baja como a alta frecuencia, encontrándose para estecaso, que la fase comienza y termina en−900decreciendo a baja frecuencia por acción del primer polopara luego aumentar por la aparición de los dos ceros y finalmente regresar a la fase inicial debido a laapatición del otro polo. En cuanto a la amplitud, la misma comienza en infinito para terminar en cero.Tomando en cuenta estos razonamientos se obtiene el diagrama polar que se muestra en la Fig. 1.23.

G( jω) =K (τ1ω j +1)2

ω j (τ2ω j +1)(τ3ω j +1)(1.67)

K 1jω (τ1ω j +1)2 (τ2ω j +1)−1 (τ3ω j +1)−1

ω → 0|G( jω)|= K

φ = 00|G( jω)| → ∞

φ =−900|G( jω)| → 1

φ = 00|G( jω)| → 1

φ = 00|G( jω)| → 1

φ = 00

ω → ∞|G( jω)|= K

φ = 00|G( jω)| → 0

φ =−900|G( jω)| → 0

φ = 1800|G( jω)| → 0

φ =−900|G( jω)| → 0

φ =−900


1.6.1. Formas generales

Los diagramas polares presentan unas formas generales que dependen exclusivamente del tipo delsistema y de la diferencia entre el número de polos y de ceros de la función de transferencia, puesello define la tendencia del diagrama tanto a baja como a alta frecuencia, atl como se muestra acontinaución. A partir de allí se representan las formas generales, que se muestran en la Fig. 1.24, deforma tal que puedan utilizarse para desarrollar diagramas polarse con mayor facilidad. Como se puedeobservar, dichas formas solamente ofrecen las tendencias en los valores extremos de la frecuencia, locual es debido a que lo que sucede en las frecuencias intermedias dependerá de la forma particualr decada función de transferencia.

25


Tipo 0 Tipo I Tipo II

ω → 0|G( jω)|= K

φ = 00|G( jω)| → ∞

φ =−900|G( jω)| → ∞

φ =−1800

ω → ∞|G( jω)|= 0

φ = (m−n)(−900

) |G( jω)| → 0φ = (m−n)

(−900

) |G( jω)| → 0φ = (m−n)

(−900

)

Figure 1.24: Formas generales de lso diagramas polares

Ejercicio 1.9 Desarrolle el diagrama polar para un sistema cuya función de transferencia se expresasegún la Ec. 1.68, para la cual debe considerar que τ1 > τ2 > τ3 > τ4.

G(s) =K (τ2s+1)2

s2 (τ1s+1)(τ3s+1)(τ4s+1)(1.68)

SoluciónComo se puede observar el sistema es de tipo II, por lo que el diagrama polar comenzará a bajafrecuencia con módulo infinito y φ = −1800, en tanto que cuando la frecuencia tienda a infinito elmódulo tenderá a cero y φ = (m−n)

(−900) = 3

(−900) = −2700. En cuanto a lo que sucede en

als frecuencias intermedias se observa que, debido a los valores de las constantes de tiempo, primeroocurre un polo que llevará a la fase a valores más negativos, luego ocurren dos ceros que harán que lafase pase a valores mayores a los −1800, para que luego aparezcan dos polos que finalmente llevarána la fase a los −2700. En la Fig. 1.25 se puede observar el diagrama polar correspondiente.

Figure 1.25: Diagrama polar G(s) = K(τ2s+1)2

s2(τ1s+1)(τ3s+1)(τ4s+1)

26