Dimensio 6-2011

MATEMAATTIS-LUONNONTIETEELLINEN AIKAKAUSLEHTI 75. VUOSIKERTA IRTONUMERO 12 €

6/2

011

Educa

Suomen suurin alan näyttely ja veloituksettomat luennot tarjoavatopetus- ja kasvatusalan ammattilaisille ainutlaatuisen katsauksen alan kehi-tykseen. Messuilla verkostoidutaan ja löyde tään virikkeitä jokapäiväiseen työhön.

VESO-kriteerit täyttävästä luento-ohjelmasta vastaa Opetusalan Ammattijärjestö OAJ yhteis työ kumppaneittensa kanssa.

Mediakumppani:

Helsingin Messukeskus 27.–28.1.2012

EDUCA 2012Opetusalan suurinvaltakunnallinenkoulutustapahtuma

Tätä tapahtumaa ei kannata jättää väliin. Tervetuloa!

Seminaareja ja luentoja mm:

Perjantaina 27.1.

Koulutuksen suuntaviivat – minne olemme menossa?

Hyvien käytänteiden foorumi

Oikein väärin ymmärretty. Kulttuurien välinen viestintä ja suomalainen kulttuurishokki

kirjailija/toimittaja Roman Schatz

Lauantaina 28.1.

Suuri koulutuskeskustelu Mitä uusi KESU, koulutuksen

kehittämissuunnitelma oppilaille ja opettajille lupaakaan? Miten valtakunnan politiikan päättäjät haluavat koulutusta lähivuosina uudistaa?

Oikeilla valinnoilla ravinnosta jaksamista ja hyvinvointia!

Nuorten hyvinvointi – mitä koulu voi tehdä? Raisa Cacciatore, lastenpsykiatri, tietokirjailija

Päivittäin:

Hörnan: FSL tarjoaa ruotsinkielisiä luentoja

Opettajan olohuone: pedagogisten opettajajärjestöjen ohjelmaa

Tutustu tarkemmin ohjelmaan ja rekisteröidy veloituksetta kävijäksi: www.educamessut.fi

Kuva

: Lili

Mar

ia S

chat

z

Kuva

: WSO

Y Ve

ikko

Som

erpu

ro

5 PääkirjoitusLeena Mannila

6 MAOLn Syysliittokokous 12.11.2011Leena Mannila

7 Kevään 2011 matematiikan valtakunnallinen koe 5. - 6. luokillaAnne Pennanen

10 Kevään 2011 matematiikan valtakunnallinen koe 9. luokallaHeidi Kivioja, Anne Pennanen ja Ari-Pekka Vallenius

16 Kemian vuosi 2011: Valokeilassa kantasolututkija Marisa Ojala

18 Hattulan silloiltaJukka O. Mattila

19 Matematiikan ylioppilaskirjoitus keväällä 2011Aatos Lahtinen

42 Fysiikan koe ylioppilastutkinnossa keväällä 2011Jukka Valjakka

48 Kemian koe ylioppilastutkinnossa keväällä 2011Marja Montonen

56 Toisen asteen yhteistyötä HelsingissäOlga Sipilä, Sari Slöör ja Krista Sormunen

58 Rautavaaran lukion matikkaleiritKalle Kärkkäinen ja Seppo Toivanen

59 Uutisia

62 Survo-ristikot 6

63 Kirjallisuutta: SMFL –> MAL. 50 vuotta ammattikunnan hyväksi

64 Vuoden opettajaJarmo Sirviö

67 Pulmasivu

Dimensio 6/2011 sisältö

3D i m e n s i o 6/2011

Kemian vuoden kunniaksi järjestetty Kemian valokuvakilpailu 2011 päättyi Kemian yössä 2.12.2011.

Tuomaristo julisti voittajaksi valokuvan Jähmettynyt, jonka on kuvannut Birgitta Kuronen. Jähmettynyt esittää kemiallista reaktiota, joka on meil-le kaikille arkielämästä tuttu. Kuva haastaa miettimään, mistä on kysy mys. Katsoja palkitaan oivaltamisen riemulla, että rumakin voi olla kaunista, kun sille antaa mahdollisuuden. Kuva on kuin abstrakti maalaus.Saippuakuplasarjan voittajaksi julistettiin Sari Vaaranvuon valokuva Pieni jälki, jälki kuitenkin. Kuva oli tuomariston mielestä pelkistetty peruskuva kuplasta, joka kertoo hyvin kuplan kestävyydestä.

MARJA HAPPONEN, FM, Kemianluokka Gadolin, Kemian laitos, HY

Toimiston valinta!Ihmeitä ilmassa

Kansikuva: Kemian valokuvakilpailu 2011 ehdokas no 18. Uusivuosi. Kuvaaja: Marko Junttila.

Kemian valokuvakilpailu 2011

Valokuvia kemiasta -sarja:1. Jähmettynyt. Kuvaaja: Birgitta Kuronen.2. Valoa lusikalla. Kuvaaja: Virva Lind.3. Drip. Kuvaaja: Jere Käyhkö.

Saippuakuplasarja:1. Pieni jälki, jälki kuitenkin. Kuvaaja: Sari Vaaranvuo.2. Talot. Kuvaaja: Matti Väisänen.3. Ihmeitä ilmassa. Kuvaaja: Pia Rautio.

ehdokas no 18. Uusivuosi.

Kemian valokuvakilpailun ehdokkaat koristavat ensi vuoden Dimensio-lehden kansia!

Kemian valokuvakilpailun kärki:

Kuvat nähtävissä osoitteessa http://www.eluova.fi/index.php?id=1294

Rautatieläisenkatu 6, 00520 Helsinkip. (09) 150 2338 | fax (09) 278 8778 [email protected] | www.maol.fi

JULKAISIJAMatemaattisten Aineiden Opettajien Liitto MAOL ryRautatieläisenkatu 6, 00520 Helsinki

PÄÄTOIMITTAJALeena Mannila, puh. 050 367 [email protected]

VASTAAVA PÄÄTOIMITTAJAIrma Iho, puh. 050 302 [email protected]

TOIMITUSSIHTEERIJarkko Narvanne, puh. 050 523 [email protected]

PAINOForssa Print 2011ISSN 0782-6648, ISO 9002

TILAUKSET JA OSOITTEENMUUTOKSETMAOL:n toimistopuh. (09) 150 2338

TILAUSHINTAVuosikerta 60 €, irtonumero 12 €, ilmestyy 6 numeroa vuodessa

TOIMITUSKUNTALeena Mannila (pj.), Tomi Alakoski, Marja Happonen, Irma Iho, Pasi Ketolainen, Jari Koivisto, Hannu Korhonen, Marita Kukkola, Jarkko Lampiselkä, Juha Oikkonen, Maija Rukajärvi-Saarela, Marika Suutarinen, Timo Tapiainen, Kaisa Vähähyyppä, Jarkko Narvanne (siht.)

NEUVOTTELUKUNTAprof. Maija Ahteeprof. Maija Akselajoht. Riitta Juvonenprof. Kaarle Kurki-Suonioprof. Aatos Lahtinenprof. Ilpo Laineprof. Jari Lavonenprof. Tapio Markkanenrehtori Jukka O. Mattilados. Jorma Merikoskiop.neuvos Marja Montonenprof. Erkki Pehkonenjoht. Kari Purhonenprof. Pekka Pyykköprof. Esko Valtaoja

Matemaattis-luonnontieteellinen aikakauslehti

75. vuosikerta

* [email protected]

MAOL ry HALLITUS

Puheenjohtaja Irma Iho * 050 302 1589

I varapuheenjohtaja, talous Jouni Björkman * 040 830 2352

II varapuheenjohtaja, koulutus Anne Rantanen * 040 073 5262

III varapuheenjohtaja, tiedotus, Dimensio Leena Mannila * 050 367 3421

Koulutustoiminta Tero Anttila * 044 733 4808

Oppilastoiminta Irene Hietala * 040 767 4238

Ruotsinkieliset palvelut Joakim Häggström * 040 736 8384

Kerhotoiminta Pasi Konttinen * 050 599 3917

OPS-työ, sähköinen tiedottaminen Marita Kukkola * 040 539 3185

Matematiikka/tietotekniikka Mika Setälä * 050 359 7297

Edunvalvonta Timo Tapiainen * 040 724 2129

Fysiikka, kemia Eeva Toppari * 050 557 9878

TOIMISTO [email protected]

Toiminnanjohtaja Juha Sola * (09) 150 2352

Koulutus- ja tiedotusassistentti Päivi Hyttinen * (09) 150 2377

Toimistoassistentti Katja Sopanen * (09) 150 2338

DIMENSION TOIMITUS

Toimitussihteeri Jarkko Narvanne, [email protected] 050 523 2768

MFKA-Kustannus Oy HALLITUS

Puheenjohtaja Päivi Ojala, [email protected] 040 575 2114

Sähköinen maailma Juha Leino, [email protected] 040 545 9042

Markkinointi Matti Rossi, [email protected] 040 901 5205

Koepalvelu Eeva Toppari * 050 557 9878

Tuotetietous, pedagogiikka Sami Sirviö, [email protected] 050 531 5723

Kirjat Sari Yrjänäinen, [email protected] 050 536 5372

AMK-yhteistyö Jouni Björkman * 040 830 2352

TOIMISTO [email protected]

Toimitusjohtaja Juha Sola * (09) 150 2352 050 584 8416

Tuotepäällikkö Lauri Stark * (09) 150 2370 050 587 8444

Myyntisihteeri Kirsi Vertanen * (09) 150 2378 050 339 6487

Rautatieläisenkatu 6, 00520 Helsinkip. (09) 150 2378 | fax (09) 278 8778 Tilaukset: http://verkkokauppa.mfka.fi/

Pääkirjoitus

Matematiikan oppiminen vaarassa

Perusopetuslain uudistukset astuivat voimaan 1.1.2011 ja opetussuunnitelman perus-

teiden muutokset ovat tulleet voi-maan kunnissa viimeistään 1.8.2011. Peruskoulun opetussuunnitelmas-sa suurimmat muutokset koskevat oppimisen ja koulunkäynnin tukea. Lukion opetukseen muutospaineen aiheutuvat ylioppilastutkintolauta-kunnan asettamista uusista oppiaine-kohtaisista määräyksistä, jotka astu-vat voimaan 1.1.2012. Määräyksessä matemaattisten aineiden kokeisiin sallitaan apuvälineiksi funktio- ja graafisen laskimen lisäksi symbolinen laskin. Nämä muutokset saattavat olla uhkana matematiikan ymmär-tävälle oppimiselle.

Uudistuneessa perusopetuslais-sa jako yleis- ja erityisopetukseen on poistunut. Oppilaan oppimisen ja koulunkäynnin tuki muodostuu yleisestä, tehostetusta ja erityisestä tuesta. Kaikille oppilaille tarjotaan ensisijaisesti yleistä tukea. Tämä tar-koittaa sitä, että opetusryhmien he-terogeenisuus kasvaa entisestään. Opettajan tulisi vastata luokassa sii-tä, että oppiminen tapahtuu oppi-laan omien oppimisedellytysten mu-kaisesti. Matematiikassa oppiminen on hyvin yksilöllistä ja ymmärtävä oppiminen vaatii eri oppilailta eri-laisen omaksumisajan. Toinen oppi-las tarvitsee henkilökohtaista tukea enemmän kuin toinen oppilas.

Uuden lain mukaan oppilas voi pedagogisen arvion jälkeen saada tehostettua tukea, mikäli yleinen tuki ei riitä. Jos nuori tarvitsee laa-jempaa tukea, laaditaan pedagogi-nen selvitys ja hallintopäätöksellä oppilas voi siirtyä erityiseen tukeen, joka muodostuu erityisopetuksesta ja muusta tuesta. Nämä kaikki aset-tavat luokassa olevalle aineenopet-

tajalle suuret vaatimukset. Yhden henkilön tulisi luokassa samaan ai-kaan eriyttää oppilaita heidän omi-en oppimisedellytysten mukaisesti ja lisäksi pystyä tulkitsemaan, ku-ka nuori tarvitsee laajempaa tu-kea. Entä mitä tehdään nopeille ja lahjakkaille matemaattisten ainei-den oppilaillemme. Vai onko meillä enää kohta matemaattisesti lahjak-kaita oppilaita?

Osa perusopetuksen oppilaista varmaan kaikesta huolimatta pää-tyy vielä lukioon ja valitsee mate-maattisia oppiaineita kurssitarjotti-melta. Erityisesti pitkän matema-tiikan valinneet opiskelijat joutu-vat uuden haasteen eteen laskinta valitessaan. Keväästä 2012 lähtien ylioppilaskokeessa sallitaan myös symboliset laskimet. Symbolisen laskimen vaikutukset oppitunneil-la voidaan nähdä jo nyt. Laskimen avulla pystytään ratkaisemaan me-kaaniset laskutoimitukset lausek-keen sievennyksestä derivointiin ja integrointiin. Opetuksen tulee siis muuttua. Jotta laskimien käytössä olisi jotakin mieltä, niitä on käytet-tävä muuhunkin kuin yksinkertais-ten perustehtävien ratkaisemiseen. Tällöin tehtävänä voi olla laajem-man tehtävän jäsentäminen, ratkai-sumenettelyn hallinnassa pitäminen ja yksityiskohtien laskeminen apu-välineitä käyttäen.

Laskinmuutos on ehdotto-masti askel oikeaan suuntaan. Matematiikan opetuksen ja opittua mittaavan ylioppilaskokeen pitää seurata aikaansa. Todennäköisesti symbolisten laskinten käyttö on vain välivaihe kohti tietokoneiden tuloa apuvälineeksi kaikissa yliop-pilaskokeissa. Kysymys on siitä, et-tä maailma matematiikan ympäril-lä on muuttunut. Koulussa on opit-

tava käyttämään samoja välineitä kuin elävässä elämässä.

Mutta miten käy matematiikan perusasioiden oppimiselle? On erit-täin tärkeää, että matematiikan pe-rusasiat opitaan ymmärtämään. Nyt on kuitenkin vaara, että opis-kelijat laskevat kaikki perustehtä-vät laskimen avulla ymmärtämättä tehtävän matemaattista luonnetta. Matematiikan kokeen muuttami-nen kaksiosaiseksi takaisi sen, että matematiikan perustehtävien hal-linta voidaan säilyttää tai jopa pa-rantaa osaamista ja ymmärtämistä. Kaksiosaisen kokeen ensimmäises-sä osassa ei saa käyttää taulukkokir-jaa ja laskinta ja toisessa osassa apu-välineet on sallittu. Ensimmäisessä osassa voidaan osaamista ja ymmär-tämistä testata mm. sääntö- tai sie-vennystehtävissä tai vaikkapa tutkia funktioiden, niiden derivaattojen ja vastaavien kuvaajien ominaisuuksi-en yhteyksiä. Olisi toivottavaa, että jokainen lukion matematiikan opet-taja siirtyisi kurssikokeissa toteutta-maan kaksiosaista koetta.

Isompi kysymys tässä on, mitkä ovat oleellisia perusasioita. Ne eivät varmastikaan ole kaikin osin samoja kuin ennen. Onkin pohtimisen ar-voista, mitä matematiikasta oikeas-taan pitäisi opettaa. Toisaalta mate-matiikan ylioppilaskoe on vielä tois-taiseksi yksiosainen. Toivottavasti lukion opettajat näkevät oppimisen laajempana asiana kuin ylioppilas-koe ja oppitunneilla tarjotaan op-pilaille matematiikan ymmärtämis-tä ja oivaltamista ja perusasiat ope-tellaan myös ilman laskinta. Jatko-opinnoissa vaaditaan kuitenkin lo-pulta matematiikan ymmärtämistä.

Joulun odotuksin,Leena Mannila, päätoimittaja

5D i m e n s i o 6/2011

Leena ManniLa

Liittokokouksen julkilausuma MAOLn kotisivuilla: http://www.maol.fi/fileadmin/users/Julkaisut/Lehdistotiedote_julkilausuma_12112011.pdf

MAOLn Syysliittokokous 12.11.2011

MAOL:n syysliittokokous pidettiin 12.11.2011 Helsingissä. Liittokokouksessa tehtiin seu-raavat henkilövalinnat:

I varapuheenjohtajana jatkaa FT Jouni Björkman Seinäjoen ammattikorkeakoulun Tekniikan yksi-köstä ja III varapuheenjohtajaksi valittiin FM Pasi Konttinen Oulusta, Kempeleen lukiosta. Pasi tulee ensi vuoden alusta lähtien Leena Mannilan tilalle ja hän vastuualueenaan on liiton tiedotus, ja lisäksi hän toimii Dimension päätoimittajana.

Liiton hallitukseen valittiin yksivuotiskaudeksi 1.1.2012–31.12.2012 FM Mika Antola Jyväskylän yliopiston normaalikoulusta.

Lisäksi liiton hallitukseen valittiin kolmivuotis-kaudeksi 1.1.2012-31.12.2014 FM Marita Kukkola, Kemin lyseon lukio sekä FM Tove Leuschel, Åshöjdens grundskola.

Onnittelut uusille ja hallituksessa jatkaville jäsenille!Pasi Konttinen aloittaa Dimension uutena päätoimittajana ensi vuoden alusta alkaen.

D i m e n s i o 6/2011

Huhtikuun puolivälin paikkeilla pi-detty koe osui monelle alakoulun opettajalle juuri kouluvuoden kii-reisimpään aikaan. Useat opettajat toivoivat myöhempää ajankohtaa myös siksi, että kaikki aihealueet olisi ehditty opiskella. Näistä sei-koista huolimatta kokeiden tulok-set olivat hyviä ja opettajilta tuli runsaasti myönteistä palautetta.

Kokeita pidettiin pääosin hyvinä ja onnistuneina. Viidennen luokan koe koet-

tiin helpoksi, ja sen keskiarvo oli 7,5 (1552 oppilaan tiedot). Kuudennen luokan koetta arvioitiin edellisiä vuosia vaikeammaksi. Kuva 1 esit-tää noin 4 700 kuudennen luokan oppilaan arvosanajakaumaa ja ar-vosanoja vastaavat pistemäärät. Kokeen keskiarvo oli 7,0.

Viimeisten neljän vuoden aika-na kokeiden keskiarvot ovat pysy-neet 7 – 7,5 välillä (Taulukko 1), mikä osaltaan kertonee siitä, että kokeiden sisältöön on onnistuttu saamaan alakoulun keskeinen ma-tematiikan oppiaines.

Kokeiden rakenne ja sisältöKokeiden kaksiosainen rakenne mahdollistaa sen, että opettaja saa halutessaan pitää kokeen kahtena erillisenä testinä jopa eri päivinä. Muutamassa palautteessa tuotiin esille, että ”oppilaat eivät jaksa kes-kittyä 2 tuntia yhteen putkeen”. Eri osioiden välillä onkin syytä pitää ai-nakin välitunnin mittainen tauko. Ne, jotka pitivät kokeen kahdessa osassa kritisoivat jälkimmäisen osion pituutta. Soveltavaan osioon varattu 45 minuutin aika koettiin liian lyhy-

eksi varsinkin kuudennen luokan ko-keessa. Yleisesti kokeiden rakennetta ja sisältöä pidettiin hyvinä, monipuo-lisina ja sopivina. ”Kokeessa tuli hyvin esille keskeiset alakoulun sisällöt.”

Jonkin verran harmia aiheutti-vat oppilaan koepaperiin huonos-ti kopioituneet ruudut ja viivat se-kä viidennen luokan kokeessa ol-leen suorakulmion mittasuhteiden muuttuminen tulostusvaiheessa.

Palautetta 5. luokan kokeestaPäässälaskuja kommentoitiin hy-viksi, selkeiksi ja helpohkoiksi. Viimeisenä ollutta ”kellotehtävää” pidettiin vaikeana, koska aikalasku-ja ei ollut laskettu pitkään aikaan.

Perustehtäviä oli viisi ja nii-den aiheina olivat allekkainlas-kut, laskujärjestys, murto-, desi-maali- ja prosenttiluvun yhteys, yksikönmuunnokset ja lukujono. Taulukkomuotoisessa murto-, de-simaali- ja prosenttilukutehtäväs-sä joillakin ”oppilailla oli vaikeuksia täyttää taulukko oikeassa suunnas-sa”. Yksikönmuutokset ovat oppi-

anne Pennanen , FM, Jämsä

Taulukko 1. Valtakunnallisten kokeiden keskiarvot vuosilta 2008-2011.

2008 2009 2010 20115. lk 7,25 7,50 7,25 7,50

6. lk 7,00 7,25 7,25 7,00

Kevään 2011 matematiikan valtakunnallinen koe 5. - 6. luokilla

Matematiikan valtakunnalliset ko-keet 5.–6. luokilla sekä 9. luo-

kalla ovat merkittävässä asemassa pe-rusopetuksen arvioinnissa. Opintojen aikaisen arvioinnin tehtävänä on an-taa ohjaavaa ja kannustavaa palautet-ta oppimisen tukemiseksi. Arviointi perustuu opetussuunnitelmaan ja sii-nä määriteltyihin hyvän osaamisen kuvauksiin. Opettajan kuuluu käyttää kuvauksia apunaan arvioidessaan, mi-

ten oppilas on opinnoissaan edistynyt. Matematiikan valtakunnalliset kokeet suuntaavat opettajan arviointia tavoit-teiden kannalta oleellisiin asioihin.

Päättöarvioinnin tehtävä-nä oli määritellä oppilaan osaami-sen taso perusopetuksen päättyessä. Päättöarvioinnin tulee olla valtakun-nallisesti vertailukelpoista ja sen tu-lee kohdella oppilaita tasavertaisesti. Matematiikan valtakunnallinen koe

9. luokalla toimii tasapuolisena mit-tarina mitattaessa oppilaan osaamis-ta. Valtakunnalliset kokeet noudatta-vat opetussuunnitelman perusteita ja niissä huomioidaan hyvän osaamisen ja päättöarvioinnin kriteerit. On tär-keää, että oppilaiden arviointi on ta-sapuolista perusopetuksen päättyes-sä, sillä päättötodistuksen arvosano-jen perusteella heidät valitaan jatko-opintoihin.

Valtakunnallisten kokeiden merkitys

Leena Mannila, MAOL ry

D i m e n s i o 6/2011

laista aina vaikeita ja niin oli täs-säkin kokeessa. Jotkut eivät olleet ehtineet käsitellä pinta-alan yk-siköitä ollenkaan eikä edellisinä vuosina käsiteltyjä ollut ehditty kerrata. Monet opettajat mainitsi-vat, että heidän käyttämässä kir-jasarjassa pinta-ala tulee vasta 6. luokan kirjassa. Valtakunnallisessa opetussuunnitelmassa piiri ja pin-ta-ala kuuluvat 3–5 luokan keskei-siin sisältöihin.

Pääsääntöisesti perustehtävistä pidettiin, koska ne mittasivat kat-tavasti tärkeitä ja keskeisiä asioita. Lisäksi niissä ”koettiin onnistumisia ja niistä näki, onko oppilas ymmärtä-nyt asian”.

Soveltavassa osiossa oli kuusi kaikille yhteistä tehtävää ja seit-semäs tehtävä piti valita kolmesta vaihtoehdosta. Näihin, etupäässä sanallisiin tehtäviin toivottiin hel-pompia tehtäviä. Joidenkin pa-lautteen antajien mielestä sovel-tavassa osiossa oli liikaa tehtäviä

ja muutamissa tehtävissä tehtä-vänanto oli pitkä ja monimutkai-nen. Tehtävistä todettiin kuiten-kin, että ne olivat hyviä siksi, et-tä ”ne testasivat ajattelua monipuoli-sesti”, mikä oli myös tekijäryhmällä keskeisenä päämääränä koetta laa-dittaessa.

Palautetta 6. luokan kokeestaPäässälaskut oli koettu helpoik-si ja hyviksi peruspäässälaskuiksi, jotka ”testasivat osaamisen hyvin”. Vaikeimmiksi osoittautuivat tila-vuuteen liittyvät tehtävät.

Perustehtävissä oli samat ai-healueet kuin viidennen luokan kokeessa, mutta haastavammilla luvuilla. Tämän osion tehtäviin ol-tiin hyvin tyytyväisiä: ”Perustehtävät olivat hyviä, koska ne mittasivat pe-ruslaskutaitoja”. Allekkainlaskuja on toivottu kokeeseen joka vuosi, koska niitä pidetään perusosaamis-ta mittaavina tehtävinä. Kokeessa ilmeni, että monilta oppilailta oli

unohtunut allekkainlaskujen me-kaaninen suorittaminen. Allekkain kertomista ja jakokulmassa jaka-mista kannattaa kerrata silloin täl-löin. Taitoa tarvitaan vielä perus-koulun jälkeenkin, sillä laskimen käyttö ei ole sallittua kaikissa op-pilaitoksissa - ei ainakaan kaikilla aloilla. Palautetta antaneet opetta-jat totesivat myös, että desimaali-luvuilla laskettaessa tehtiin paljon pilkkuvirheitä. Muutamia mainin-toja tuli siitä, että tilavuus ei kuulu koulun opetussuunnitelman kuu-dennen luokan sisältöihin.

Soveltavat tehtävät sisälsivät yhden geometrisen piirtämis- ja mittaamistehtävän, arkielämään liittyviä raha-, tilavuus- ja mur-tolukutehtäviä sekä päättelyteh-täviä. Palautteen mukaan tehtä-viä pidettiin hyvinä, onnistuneina ja sopivan haastavina. ”Soveltavat tehtävät olivat parhaimpia, koska ne osoittivat selkeästi rajan oppilaiden osaamisen suhteen.” Sanallisissa

6. luokan arvosanajakauma

0

50

100

150

200

250

109,75

9,75 9,5

9,5

9,25

9,25 9 9

8,75

8,75 8,5

8,5

8,25

8,25 8 8

7,75

7,75 7,5

7,5

7,25

7,25 7 7

6,75

6,75 6,5

6,5

6,25

6,25 6 6

5,75

5,75 5,5

5,5

5,25

5,24 5 5

4,75

4,75 4,5

4,5

4,25

4,25 4 4

484746454443424140393837363534333231302928272625242322212019181716151413121110 9 8 7 6 5 4 3 2 1 0

pisteet / arvosana

oppilasm

äärä

Kuva 1. Valtakunnallisen 6. luokan matematiikan kokeen arvosanajakauma keväällä 2011. Mukana 4 677 oppilaan tiedot.

D i m e n s i o 6/2011

tehtävissä monen oppilaan ongel-maksi muodostui käsitteiden hal-linta. Matematiikka ei ole pelk-kää laskemista vaan siinä joutuu yhdistelemään monia osaamisen osa-alueita. Laskurutiinien lisäksi on ymmärrettävä mitä tehdään ja miksi. Soveltavien tehtävien rat-kaisemisessa tarvitaan peruslasku-

taitojen lisäksi loogista päättelyä ja aiemmin opittujen asioiden yhdis-tämistä uusiin tilanteisiin.

Viimeinen pakollinen sovelta-va tehtävä (#12) ihastutti monia opettajia erilaisuudellaan, sillä se oli ratkaistava joko piirtäen tai se-littämällä.

Yleisistä ohjeista ja arviointiohjeistaNoin 90 % palautteen antajista kiit-teli ohjeita hyviksi, selkeiksi ja toi-miviksi. Yleisistä ohjeista ei juu-rikaan ollut erikseen mainintoja, mutta tulkitsimme palautteen kos-kevan myös niitä. ”Ohjeet olivat sel-keät. Arviointi sujui yllättävän no-peasti, kun pisteytys oli niin selkeä.” Joillekin ongelmia tuotti osapistei-den antaminen, toiset näkivät sen hyvänä asiana. Toisten mielestä pis-teytys oli tiukka, toisten mielestä taas löysä. Nämä seikat kuvastavat,

että samasta asiasta ollaan hyvinkin eri mieltä ja niinpä yksityiskohtais-ten, tarkkojen ohjeiden antaminen on mahdotonta.

YhteenvetoPalautteen mukaan kokeisiin ol-tiin tyytyväisiä. Työryhmä on kii-tollinen saamastaan runsaasta pa-lautteesta, jonka perusteella tule-via kokeita on mahdollista kehit-tää paremmin mittaamaan koko vuosiluokan sisällön omaksumis-ta. Työryhmä haluaa vielä painot-taa, että valtakunnalliset kokeet perustuvat valtakunnalliseen ope-tussuunnitelmaan eikä mihinkään yksittäiseen kirjasarjaan. Myöskään eri koulujen omia opetussuunnitel-mia ei ole voitu ottaa huomioon kokeiden laadinnassa.

Työryhmä: Mari Aho, Arja Nokelainen ja Anne Pennanen

ww

w.s

tatii

vi.fi

Osastomme

Educa-messuilla

1c28

Suomalaisia opetusvälineitäIS-VET OY on suomalainen, luonnon-

tieteellisiin opetusvälineisiin ja erikois-

kalusteisiin keskittynyt yritys.

Se tarjoaa asiakkailleen tuotteita ja

palveluja, jotka mahdollistavat

korkeatasoisen opetuksen.

IS-VET OY pysyy kehityksen

kärjessä tekemällä yhteistyötä

eri alojen oppilaitosten kanssa.

Kilpivirrantie 7 74120 Iisalmi

Puh. 017-832 31 Fax 017-8323 570

[email protected]

Helsingintie 44 B04430 JärvenpääPuh. 09-5655 4310Fax 09-5655 [email protected]

Johta

vako

timai

nen

Vara

osa- ja huoltopalvelu Suomessa

Laitteistojenyhte

enso

pivu

us

Suom

enkielinen

tukimateriaali ja sen tuottaminen

Nopeat java

rmat

toim

ituks

et

Soveltava, pakollinen tehtävä 12

Serkukset Hanna ja Valtteri käyvät molemmat säännöllisesti katsomassa mummoaan. Hannan käyntien väliin jää aina kolme päivää ja Valtterin käyntien väliin jää viisi päivää. Kuin-ka monta kertaa he ovat yhtä aikaa mummon luona maaliskuun aikana, kun he ovat siellä molemmat maaliskuun ensimmäisenä päivänä?

Selitä tai piirrä, miten ratkaisit tehtävän.

D i m e n s i o 6/2011

Heidi Kivioja, anne Pennanen ja ari-PeKKa vaLLeniuS

Kevään 2011 matematiikan valtakunnallinen koe 9. luokalla

Matematiikan valtakunnal-linen koe laaditaan ma-tematiikan yleisen ope-

tussuunnitelman mukaan ja teh-täviä valittaessa otetaan huomioon edellisten vuosien kokeiden sisällöt ja palaute. Koulut päättävät itse, osallistuvatko kokeeseen. Vuoden 2011 kokeen osallistujamäärä jäi selvästi normaalia pienemmäksi, sillä Opetushallituksen 9. luokan matematiikan arviointikoe suoritet-tiin viime keväänä ympäri Suomen. Esimerkiksi Helsingissä kyseinen ar-viointi suoritettiin kaikissa kunnan yläkouluissa. Tämän vuoksi useat koulut eivät kokeneet tarvetta toi-selle laajalle matematiikan kokeelle. Tämä ehkä heijastui myös kokeen tuloksiin. Myös palautetta, varsin-kin sanallista, tuli niukasti: yleistä palautetta noin 150 opettajalta ja yksityiskohtaisempaa vain muuta-malta kymmeneltä.

Kokeen rakenteesta ja tasostaValtakunnallisen kokeen ensimmäi-nen osio koostui tuttuun tapaan päässälaskuista, monivalinta- ja pe-rustehtävistä. Osio oli jaettu kah-teen osaan ja paperiin: päässälas-ku- ja monivalintatehtäviin, joihin sai käyttää enintään 20 minuuttia sekä perustehtäviin, joiden ratkai-semisen sai aloittaa heti ensimmäi-

sen osan jälkeen. Näin perustehtä-viin jäi aikaa ainakin 25 minuuttia. Ensimmäistä osiota oli muutettu päässälaskujen osalta verrattuna viime vuosiin – yhden pisteen pääs-sälaskuja on palautteessa toivottu jo usean vuoden ajan.

Kokeen toinen osio koostui so-veltavista tehtävistä ja aikaa nii-den ratkaisemiseen oli 45 minuut-tia (ks. Taulukko 1). Tätä osiota ei muutettu viime vuodesta.

Kuva 1 esittää noin 10 000 oppilaan arvosanajakaumaa se-kä arvosanoja vastaavat piste-määrät. Kokeen keskiarvo jäi vii-meisiä vuosia alhaisemmaksi (ks. Taulukko 2). Poikien ja tyttöjen

välinen ero oli jälleen hyvin pieni – poikien keskiarvo oli 6,18 tyttöjen keskiarvon ollessa 6,30. Yleisesti ottaen kokeen koettiin vastaavan opetussuunnitelmaa hyvin, mut-ta koetta pidettiin melko vaikeana (ks. Kuva 2), erityisesti soveltavi-en tehtävien osalta. Enemmistö pi-ti koeaikaa riittävänä.

PäässälaskutPäässälaskuosiota oli uudistettu. Päässälaskuja oli yhteensä kymme-nen ja ne olivat kukin yhden pis-teen arvoisia. Laskut olivat edel-lisvuosista poiketen paperilla, jo-hon myös vastaukset kirjattiin. Tehtäviä ei luettu ääneen.

Matematiikan valtakunnallinen koe on kokenut viime vuosien aikana pieniä, rakenteellisia muutoskokeiluja ja painotuksen siirtymistä perustehtävien suuntaan. Rakennemuutokset jatkuivat tänä vuonna päässälas-kuosion uudistuksella. Huhtikuussa 2011 pidetyn kokeen osallistumisprosentti jäi tänä vuonna normaalia alhaisemmaksi OPH:n kansallisen arvioinnin takia. Alhaiseksi jäi myös kokeen keskiarvo; palautteeseen saatiin noin 10 000 oppilaan tulokset, joiden perusteella laskettu keskiarvo oli 6,24.

Päässälaskut ja

monivalintatehtävätPerustehtävät Soveltavat tehtävät

enintään 20 min vähintään 25 min 45 min

päässälaskut

10 tehtävää,

á 1 p.

monivalinnat

8 tehtävää,

á 1 p.

6 tehtävää,

á 3 p.

3 pakollista ja

1 valinnainen tehtävä,

á 6 p.

36 p. 24 p.

Taulukko 1. Valtakunnallisen 9. luokan matematiikan kokeen rakenne.

Taulukko 2. Valtakunnallisen kokeen keskiarvot vuosilta 2005–2011.

2005 2006 2007 2008 2009 2010 20116,47 6,22 6,50 6,44 7,21 6,71 6,24

10 D i m e n s i o 6/2011

Päässälaskut arvioitiin pääsään-töisesti sopiviksi vaikeustasoltaan (86 % vastaajista) ja aika niiden tekemiseen riitti hyvin.

Päässälaskut osattiin pää-sääntöisesti hyvin (ks. Kuva 3). Pistejakauma oli hieman muut-tunut rakennemuutoksen myötä;

pistemääriä 5–7 oli eniten (edellis-vuonna pistemääriä 8 ja 6 oli eni-ten). Poikien osaaminen oli edel-leen hieman parempaa kuin tyt-töjen osaaminen poikien saadessa pisteitä 7–10 enemmän kuin tytöt.

Tehtäväsarjaa pidettiin enim-mäkseen onnistuneena. Tehtävää

3 (32 – 5 ⋅ (–2) – 4 ⋅ 8) ei voisi pi-tää palautteen perusteella yhtä on-nistuneena kuin muita tehtäviä. Tehtävässä testattiinkin enemmän laskujärjestyksen osaamista kuin päässälaskutaitoja. Ohessa esimerk-ki päässälaskusta, joka arvioitiin yh-deksi onnistuneimmista tehtävistä.

Kuva 2. Valtakunnallisen kokeen vaikeustaso.

Koe oli kokonaisuudessaan...

11 %

34 %

53 %

2,6 %0 %0

10

20

30

40

50

60

70

80

90

liian helppo liian vaikea

vast

aajie

n lu

kum

äärä

Valtakunnallisen kokeen arvosanajakauma

0

100

200

300

400

500

600

700

800

10 10- 9½ 9+ 9 9- 8½ 8+ 8 8- 7½ 7+ 7 7- 6½ 6+ 6 6- 5½ 5+ 5 5- 4½ 4+ 4

59-60

57-58

54-56

52-53

49-51

47-48

44-46

42-43

39-41

37-38

34-36

31-33

28-30

26-27

24-25

22-23

20-21

18-19

16-17

14-15

12-13

10-11

7-9 3-6 0-2

pistemäärä / arvosana

oppi

lasm

äärä

Kuva 1. Valtakunnallisen 9. luokan matematiikan kokeen arvosanajakauma keväällä 2011 (yht. 9 976 oppilasta).

11D i m e n s i o 6/2011

Päässälaskutehtävä 7:Neliö muodostuu 81 ruudusta. Kuinka monta ruutua on neliön sivun pituus?

Yleisestikin palaute oli enimmäk-seen positiivista:

− ”hyviä, monipuolisia tehtäviä”− ”laidasta laitaan peruspäässä-

laskutehtäviä:)”

Myös päässälaskujen rakennemuutok-sesta saatiin positiivista palautetta:

− ”päässälaskuosan muutos oli mielestäni hyvä. Kokeen järjes-täminen on nyt helpompaa.”

− ”päässälaskut oppilaan omassa paperissa on hyvä ratkaisu”

Kritiikkiäkin muutos sai:

− ”Taidoiltaan heikot oppilaat hyötyvät luetusta tekstistä, päässälaskut ovat usein heidän vahvuutensa.”

− ”Päässälaskut tämän vuoden ko-keessa ei mittaa päässälaskua, kun tehtävät ovat oppilaan pa-perissa ja saa tehdä muitakin merkintöjä kuin vastauksen.”

Rakennemuutoksen takana oli eri-tyisesti ajatus kokeen sujuvasta jär-jestämisestä – nykyinen päässälas-kuosio on riippumaton tekniikan toimivuudesta. Viime vuosien pa-lautteiden perusteella viisi kahden pisteen tehtävää koettiin tylyksi, kun tehtävästä sai joko kaksi pistettä tai nolla pistettä. Monivalintatehtävät yhdistettiin päässälaskujen kanssa samalle vastauspaperille, jotta tur-haa paperinkulutusta vältettäisiin.

MonivalintatehtävätMonivalintaosiossa oli kahdek-san tehtävää. Osion tehtävät oli-vat mm. potensseista, neliöjuuris-ta, Pythagoraan lauseesta, suoran kulmakertoimesta, trigonometriasta ja lukujonosta.

Tehtävät olivat palautteen pe-rusteella hyviä ja onnistuneita. Vaikeustasoltaan niitä pidettiin oikein sopivina.− ”Aivan perusasioita, todella

hyviä! Tästä olisi pitänyt jokai-sen oppilaan saada vähintään viisi oikein, mutta ei!”

− ”Hyviä tehtäviä, joissa näkee onko oppilailla vääristymiä tie-doissa keskeisissä asioissa, mut-ta jotka helposti ymmärretään väärin…”

− ”Tehtävät vastasivat erinomai-sesti opsia ja annettua opetusta”

Kaikkein onnistuneimpina pidet-tiin tehtäviä 2 (neliöjuurilauseke) ja 4 (Pythagoraan lause) sekä 5 (suunnikkaan alan lauseke).

Monivalintatehtävä 2:

Luku 7 saadaan tulokseksi lausekkeesta

A) 916 B) 916

C) 916 D) 916

Epäonnistunein oli palautteen pe-rusteella suoran yhtälöön liittyvä tehtävä 6.

Monivalintatehtävä 6:

Suoran 2x + y = 3 kulmakerroin on A) –2 B) 1 C) 2 D) 3

− ”Jos kokeessa kysytään kulmaker-toimesta ja vakiotermistä, voisi termit olla ’paikoillaan’, kuten ne lähtökohdiltaan opetetaan.

Päässälaskujen osaaminen

0

200

400

600

800

1000

1200

1400

10 9 8 7 6 5 4 3 2 1 0

pisteet

oppi

laid

en lu

kum

äärä

Kuva 3. Päässälaskujen osaaminen.

12 D i m e n s i o 6/2011

Olisi tarpeeksi vaadittu oppilaal-ta muistaa termit, kun kuitenkin ollaan perustehtävissä vielä.”

Matematiikan oppikirjoissa moni-valintakysymyksiä esiintyy vähän, kun taas muissa oppiaineissa niitä käytetään hyvinkin paljon. Myös matematiikassa kannattaisi harjoi-tella monivalintoihin vastaamista ja opetella hakemaan vaihtoehdoista se oikea eikä vastata arvaamalla.

Monivalintatehtävien tarkoitus ei ole pelkästään osata poimia se tietty oikea vastaus vaan oppia sul-kemaan pois väärät vaihtoehdot. Samalla kehittyy suhteellisuuden-taju, kun joutuu pohtimaan mikä vaihtoehdoista on aivan mahdoton ja mikä on mahdollinen. Tätähän joudumme tekemään arkielämässä kaiken aikaa.

PerustehtävätPerustehtävissä oli osattava lasku-järjestys, polynomilausekkeen sie-ventäminen, helpon perusyhtälön ratkaiseminen, verrannon muotoi-sen yhtälön ratkaisu, murtoluku- ja potenssilausekkeen sieventäminen, kuvion peilaaminen suoran suhteen ja suoran yhtälön muodostaminen, epäsäännöllisen kuvion pinta-alan laskeminen ja lopuksi polynomi-lausekkeen muodostaminen ja sie-ventäminen.

Kaiken kaikkiaan tehtäviä pi-dettiin sopivina - ei liian vaikei-na mutta ei helppoinakaan, kuten kuvasta 4 nähdään.

Tehtävät olivat palautetta an-taneiden mielestä erittäin onnis-tuneita lukuun ottamatta tehtä-vää 3b.− ”Hyvät perustehtävät, joissa

kuitenkin (hyvilläkin) oppilail-la huolimattomuusvirheitä.”

Tehtävässä 2a oli todella helppo yhtälön ratkaiseminen, ja koska oppilaat osasivat sen hyvin, niin

sitä pidettiin onnistuneena teh-tävänä. Tehtävä 3b oli epäonnis-tunut mm. siitä syystä, että siitä tuli oikea vastaus väärin lasket-tunakin. Jos potenssikaavat ovat unohtuneet, niin tämän kaltaisessa tehtävässä oppilas ’heittää lonkal-ta’ mieluummin kuin alkaa pohtia ratkaisua potenssin määritelmään perustuen. Näin ollen tehtävä ei mittaa osaamista.

Perustehtävä 3b:

Sievennä. (a³ ∙ a²)³ =

Tehtävässä 4 peilaussuoran ni-menä oli kirjain k, ja se aiheutti sekaannusta suoran yhtälön mer-kitsemisessä. Kirjainvalinta ei ollut paras mahdollinen. Perustehtävissä on syytä pysyä perusmerkinnöissä eikä hankaloittaa osaamista poik-keavilla merkinnöillä.− ”B tehtävälle oma kuva ja suo-

ran nimi jotain muuta kuin k, koska se sekoitettiin kulmaker-toimeen.”

Perustehtävien pisteytyksestä oli useampi maininta, että jos a- ja b-kohdista annetaan eri pistemäärä, se on mainittava tehtäväpaperissa. Tämä otettakoon huomioon seu-raavia kokeita laadittaessa.

Soveltavat tehtävätSoveltavien tehtävien rakennetta ja koeaikaa ei muutettu tänä vuon-na. Oppilas vastasi kolmeen pakol-liseen tehtävään, joiden vaikeustaso vaihteli perustehtävästä vaativaan sekä valitsi yhden kolmesta valin-naisesta, keskivaikeasta tehtävästä. Pakollisista tehtävistä löytyi sanalli-sia yhtälötehtäviä, prosenttilaskuja sekä hankalahko Pythagoraan lau-seen sovellus. Valinnaisissa testattiin sanallisen funktiotehtävän, yhtälö-parin ja avaruusgeometrian hallin-taa. Valinnaiset yritettiin laatia kes-kenään samantasoisiksi, ja aihealuei-na olivat vanhaan malliin 9. luokan aiheet, joita käsitellään eri vaiheissa 9. luokkaa riippuen koulusta.

Soveltava, pakollinen tehtävä 3:

Television tuumakoolla tarkoite-taan ruudun lävistäjän pituutta tuumina. Yksi tuuma on 2,54 cm. Suorakulmion muotoisen tv-ruu-dun tuumakoko on 28 tuumaa. Ruudun korkeuden ja leveyden suhde on 2:3. Mikä on tv:n pin-ta-ala (neliösentteinä)?

− ”Kolmanneksi pakolliseksi oi-kein sopivan vaativa. Yksikään meidän koulusta ei osannut ratkaista tätä, vaikka ei kovin vaikea olekaan.”

Kuva 4. Perustehtävien vaikeustaso.

28 tuumaa

13D i m e n s i o 6/2011

Palautetta antaneista noin 140 opettajasta yli puolet oli sitä mieltä, että pakolliset tehtävät olivat vai-keita tai liian vaikeita, muiden mie-lestä ne olivat sopivia. Valinnaisia piti sopivina yli 60 % vastaajista, vaikeita tai liian vaikeina noin kol-mannes. Koeaika 45 min oli enem-mistön mielestä sopiva, mutta 23 % mielestä koeaika oli riittämätön.

Soveltava, valinnainen tehtävä 4:

Matkapuhelinoperaattori Alisa tarjoaa kännykkäliittymää, jon-ka perusmaksu on 7 eur kuukau-dessa ja puhelut 5 snt minuutilta. Operaattori RNA sen sijaan tar-joaa liittymää, jonka perusmak-su on 5 eur / kk ja puhelut 0,07 eur / min. Rajaton määrä teksti-viestejä sisältyy molempiin perus-maksuihin.

a) Merkitse puheaikaa mi-nuutteina t:llä ja muodos-ta funktiot f(t) ja g(t), jotka kuvaavat liittymien kuukau-sittaisten puhelinlaskujen suuruutta euroina (olettaen, että liittymällä vain soite-taan ja tekstataan).

b) Kuinka monta minuuttia kuukaudessa voi Alisan liit-tymällä puhua 25 eurolla?

c) Kuinka monta minuuttia kuukaudessa saa maksimis-saan puhua, jotta RNA:n liittymä tulisi halvemmaksi?

− ”(Valinnaisissa tehtävissä) Hyvin eri osa-alueita 9. luokan asioista. Olisi kaikille pitänyt olla ainakin joku tehtävä, mil-laisia oltaisiin lähiaikoina ysillä

harjoiteltu, olipa kirjasarja mi-kä tahansa.”

− ”Liian pitkä tehtävän anto – säikäytti oppilaat.”

Punaisena lankana kaikissa sovel-tavissa tehtävissä oli tehtävien liit-tyminen arkipäivän ilmiöihin ja lu-kuihin. Tämä tekikin niistä ehkä lii-an haastavia; sanallisen palautteen perusteella tehtävissä oli arkipäivä-kontekstin takia liian paljon tekstiä ja luvut saattoivat olla suuria (kym-menpotensseja avaruustehtävässä ja suuria katsojalukuja prosentti-tehtävässä). Tämä vaati oppilailta erityistä tarkkaavaisuutta, usean asian samanaikaista hallintaa sekä kykyä löytää tehtävästä olennainen – kaikkea mitä soveltavien pitäi-sikin työryhmän mielestä testata. Harva tieteen tai arkipäivän ongel-ma tulee eteen pelkkinä lukuina ja valmiina laskulausekkeena. Koska painopiste on jo useamman vuoden ollut perustehtävissä ja soveltavista saa alle puolet pisteistä, halusi työ-ryhmä pitää kaikki soveltavat teh-tävät melko haastavina - ja ennen kaikkea soveltavina.

Johtopäätöksiä palautteestaUuden muotoiset päässälaskut he-rättivät mielipiteitä puolesta ja vas-taan. Suurin osa oli osioon tyyty-väinen, mutta palautetta tuli esi-merkiksi siitä, että kyseessä ei ole päässälaskut, jos merkinnät ovat sallittuja ja heikommat oppilaat hyötyivät siitä, että päässälaskut luetaan ääneen. Työryhmä haluaa muistuttaa, että oppilaan koepa-perissa ei lukenut, että merkintö-jen teko päässälaskuihin on sallit-tua. Arvosteluohjeeseen laitettiin kuitenkin ohje, että mahdollisista merkinnöistä ei tarvitse vähentää pisteitä. Päässälaskujen lukemi-nen ääneen tehostettua ja erityis-tä tukea tarvitseville oppilaille on edelleen mahdollista, kuten kaikki

muutkin normaalit tukitoimet, joita koulu käyttää kokeissaan. Opettaja ja koulu päättävät itse, kuinka tu-kitoimet järjestetään ja keille oppi-laille koe ylipäänsä pidetään.

Sanallista palautetta saatiin vain noin 30 vastaajalta, joka on harmillisen pieni joukko. Hankala nettipohjainen tiedonkeruulomake saattaa turhauttaa opettajia, mut-ta olemme välittäneet muutoseh-dotukset MFKA:lle ja toivomme, että opettajat jaksaisivat antaa se-kä positiivista että rakentavaa pa-lautetta kokeesta. Myös työryh-mä miettii ensi vuodeksi tapoja, miten palaute saataisiin kerättyä koulussa mahdollisimman helpos-ti. Mainitsemisen arvoista lienee, että tietoja ei tarvitse koulussa ke-rätä yhteen ja syöttää tiedonkeruu-järjestelmään kerralla, vaan jokai-nen opettaja voi kirjata omat tu-loksensa - ja samalla omat mielipi-teensä - nettisivuilla.

Työryhmä ei aavistanut etukä-teen kokeen kokonaisuudessaan olevan liian vaativa Pisa-menes-tystä nauttiville suomalaiskoulu-laisille. Kiintoisaa olisi tietää, mi-ten OPH:n arviointikoe vaikutti kokeen osallistumisprosenttiin ja keskiarvoihin. Opettaja luonnol-lisesti itse päättää, miten käyttää koetta päättöarvioinnin välinee-nä. Jos koe on oppilaille selväs-ti haastavampi kuin aikaisempina vuosina, kannattaa se ottaa huo-mioon päättöarviointia tehdessä. Ensi vuoden koetta laadittaessa otetaan huomioon palautteet tä-män vuoden soveltavista tehtävis-tä ja tekstin määrästä, kuten muu-kin palaute.

Työryhmä haluaa kiittää kaikkia palautetta antaneita ja siten kokeen kehittämiseen osallistuneita opettajia!

14 D i m e n s i o 6/2011

MFKA 1/1 sivunilmoitus

MFKA-Kustannus Oyp. (09) 1502 378

[email protected] w w.mfk a.f i

HyödyllisetTilinpäätösostot

Lisätiedot ja tilaukset: http://verkkokauppa.mfka.fi

Kaikki tarvittava kätevästi yhdessä ”paketissa”! Lue Dimensiossa ilmestynyt vertailutesti verkkokaupassamme.

1 valoanturi

1 lämpöanturi

4 infrapuna törmäysanturia

2 infrapuna viivan seuranta-anturia

3 kiihtyvyysanturia

Paristojen varauksen osoitin

Mikrofoni

–

–

–

–

–

–

–

MOWAY MINIROBOTTIMikä on Moway?– Moway, minirobotti ja sen hallintaohjelmisto!

Helpon ja käyttäjäystävällisen ohjelman sekä mukana tulevien esimerkkiohjelmien avulla oppilaat oppivat nopeasti ohjelmoimaan ja hallitsemaan robottia. Omien ohjelmien luominen on myös helppoa.

Mowayn liität tietokoneeseesi helposti USB-liitännällä.

Robotissa on liitäntä myös laajennusosille kuten radiotaajuusyksikölle tai piirilevylle, jonka avulla voidaan rakentaa lisää antureita ja ohjausyksiköitä.

PLANCKIN VAKION MÄÄRITYSLAITEYhdistetty jännite- /nanoampeerimittari

Koe on helppo – nopea – turvallinen

Tarkat tulokset (< 5 %)

–

–

–

”Parasta tutkijan työssä on vapaus. Tietenkin vapauden myötä tulee myös vastuu omasta työnteosta.”– Marisa Ojala

Tampereen yliopiston biolääketieteellisen teknologian yksikössä työskentelevälle 26-vuotiaalle Marisa Ojalalle kemia ja muut luonnontieteet tulivat tutuiksi jo pienenä tyttönä, kun hän sai olla äitinsä lehtori Päivi Ojalan kemian ja matematiikan tunneilla katselemassa, kuuntelemassa ja jotakin välillä kokeilemassakin.

Haastavimmaksi työssään kantasolualalla Marisa Ojala kokee melko nuoren tieteenalan nopean kehityksen tah-dissa pysymisen. Työtä motivoi se, että jonain päivänä tutkimuksesta saattaa oikeasti olla hyötyä potilaille.

Kemiasta se alkoiMariSa ojaLa , tutkija, Tampereen yliopisto, biolääketieteellinen teknologia

Kemian vuosi 2011: Valokeilassa kantasolututkija Marisa Ojala

Kansainvälinen kemian vuosi 2011 on päättymässä. Tässä kirjoitussarjassa tutustutaan suomalaisiin kemian alan osaajiin. He kertovat suhteestaan kemiaa ja sitä lähellä oleviin tieteisiin, omasta uravalinnastaan, työstään ja vapaa-ajastaan sekä elämästään muutenkin. Sarjan päättää tutkija Marisa OjalaTampereen yliopiston biolääketieteellisen teknologian yksiköstä.

1 D i m e n s i o 6/2011

KANSAINVÄLINEN KEMIAN VUOSI 2011

Olen Marisa Ojala, tampe-relainen kantasolututkija. Synnyin Kalajoella vuon-

na 1985 ja kirjoitin ylioppilaaksi Kalajoen lukiosta vuonna 2004. Kiinnostukseni kemian alaa koh-taan syntyi jo ennen ala-asteikää kuunnellessani äitini, Päivi Ojalan opetuksia Kalajoen lukiossa. Pikku-Marisa oli tuttu näky kemian ja ma-tematiikan oppitunneilla. Yleensä syynä siihen tosin oli kotiin jääneet avaimet. Yläasteella kemian opis-kelu tuntui helpolta, etenkin kun bunsenlampun sytytys oli opeteltu jo etukäteen.

Lukiossa aloin kiinnostua myös biologiasta, erityisesti solubiologi-asta ja Oulun yliopiston opinto-oppaasta löytyikin todella kiin-nostavalta kuulostava koulutus-ohjelma: biokemia. Aloitin opin-toni Oulun yliopiston biokemian laitoksella heti lukion jälkeen syk-syllä 2004. Vilkkaan opiskelijaelä-män lisäksi mieleen jäi myös erityi-sesti opintoihin kuuluvat laborato-rio-kurssit. Vuonna 2007 muutin Tampereelle ja jatkoin opintojani Biolääketieteellisen teknologian yksikössä, josta valmistuin bioke-mistiksi syksyllä 2009.

Kantasolujen pariin ajauduin muutama viikko Tampereelle muuttoni jälkeen. Aloitin tutki-jan urani Biolääketieteellisen tek-nologian yksikössä (silloinen soluja kudosteknologiakeskus Regea) aluksi tutkimusapulaisena ja gra-du-työtekijänä. Vuonna 2009 aloi-tin väitöskirja-projektini kardio-logi Katriina Aalto-Setälän vetä-mässä sydänryhmässä. Ryhmämme tavoitteena on valmistaa solumal-leja erilaisiin geneettisiin sydän-sairauksiin ihmisen pluripoten-teista kantasoluista. Ihmisen plu-ripotentit kantasolut pystyvät eri-laistumaan jokaiseksi ihmiskehon solutyypiksi ja niiden odotetaan-kin tulevaisuudessa mullistavan

useiden soluja kudosvauriois-ta johtuvien sairauksien hoidot. Ensimmäiset alkion kantasolu-linjat eristettiin alkioista vuonna 1998. Sydänryhmässä tavoitteena on valmistaa solumalleja sydän-sairauksille varsin uuden vuonna 2007 ensimmäistä kertaa julkais-tun iPS (engl. induced pluripotent stem cells) –teknologian avulla. iPS -solut ovat aikuisen jo erilais-tuneita soluja, jotka on uudelleen-ohjelmoitu takaisin alkion kanta-solujen kaltaisiksi pluripotenteiksi soluiksi. Kantasoluala on tieteen-alana melko nuori ja kehittyy jat-kuvasti, mistä johtuen haastavinta työssäni on pysyä alan nopean ke-hityksen tahdissa.

Parasta tutkijan työssä on vapa-us. Tietenkin vapauden myötä tu-lee myös vastuu omasta työnteos-ta. Työviikko alkaa yleensä töiden suunnittelulla kahvikupin äärellä. Välillä työ on ahkeraa puurtamista laboratoriossa solujen kasvatuksen ja analysoinnin parissa, kun taas välillä päivät kuluvat artikkelei-den ja apurahahakemusten kirjoit-

teluun. Elävän materiaalin kanssa työskentely voi välillä olla todella turhauttavaa, kun solut eivät toi-mi halutulla tavalla. Kokeen tulok-setkaan eivät välttämättä ole aina odotettuja, mutta välillä odotta-mattomien tulosten joukossa saat-taa olla hienoja löytöjä ja yllätyk-siä. Työn motivaattorina toimii se, että jonain päivänä tutkimukses-tamme saattaa oikeasti olla hyötyä potilaille.

Tietenkään elämä ei ole pelkkää tutkimusta ja työntekoa! Vapaa-aikani kuluu pääosin laulamisen, käsitöiden, urheilun ja lukemisen parissa. Laulan Tampereen yli-opiston laulajissa ja nelihenkises-sä Priima-nimisessä lauluyhtyees-sä. Parhaiten työasiat unohtuvat kunnon hikijumpassa, jonka jäl-keen pääsee vielä laulamaan. Asun avomieheni ja Maine Coon-rotui-sen Samu -kissan kanssa kerros-talossa Tampereen Hervannassa. Maaseudun kasvattina arvostan Hervannassa sitä, että takapihalta pääsee metsään juoksemaan ja hel-posti pois kaupungin vilinästä.

Erilaistumattomia pluripotentteja kantasoluja voidaan erilaistaa eri solutyypeiksi.

1D i m e n s i o 6/2011

KANSAINVÄLINEN KEMIAN VUOSI 2011

juKKa o. MattiLa [email protected]

SMFL – MAOL

Hattulan silloilta

Niin nimeltään, toimialaltaan kuin historialtaan-kin MAOL ry:tä lähellä oleva Matemaattis-luonnontieteellisten alojen Akateemiset MAL

ry vietti lokakuussa 50-vuotisjuhlaansa Vanhalla yliop-pilastalolla. Koska nimi MAL on otettu käyttöön vasta vuonna 2009, käytän seuraavassa yhdistyksestä sillä vuosikymmenet ollutta nimeä Suomen Matemaatikko- ja Fyysikkoliitto, SMFL ry.

Terhakkaan liiton 50-vuotisjuhlassaan julkistama historiateos ”SMFL –> MAL, 50 vuotta ammattikun-nan hyväksi” herättää monin paikoin ajatuksia siitä, kuinka nykyinen järjestäytynyt yhteiskuntamme on kaikkine valmiine sääntöineen yksittäisten henkilöi-den ja henkilöryhmien usein hyvinkin sinnikkään ja päättäväisen toiminnan tulosta.

Luonnontieteiden opettajat esimerkiksi pitänevät demonstraatiokorvauksia aina systeemiin kuulunei-na itsestäänselvyyksinä. Demokorvauksillakin on kui-tenkin äitinsä ja isänsä. Lokakuussa 1961 perustettu Suomen Matemaatikko- ja Fyysikkoliitto SMFL aloitti heti perustamistaan seuraavana vuonna ponnistelut de-monstraatiolisän saamiseksi fysiikan opettajille. MAOL ry oli myös mukana tässä kampanjassa. Vasta vuonna 1972 demonstraatioiden valmistelu tunnustettiin palk-kauksen piiriin kuuluvaksi (yksityiset oppikoulut ottivat fysiikan ja kemian opettajapulan siivittäminä 50 % de-monstraatiokorvaukset käyttöön jo aikaisemmin).

MAOL ry on perustettu 1935, joten se on nuo-rempaa veljeään SMFL:ää neljännesvuosisadan van-hempi. Silmiinpistävää on näiden kahden liiton int-ressien pitkäaikainen yhdensuuntaisuus. SMFL:n perustamiskokouksessa valittiin jopa koulukomitea, jossa vilisee myös MAOL ry:n historiasta tuttuja ni-miä: Erkki Rosenberg, Yrjö Juve, Uuno Nurmi, Vesa Lyytikäinen jne.

Alkuajan läheisten suhteiden pohjalta voisi spe-kuloida ajatuksella, että MAOL ry:n ja SMFL ry:n tiet olisivat jollakin tavalla yhdistyneet. Olisiko vuo-rovaikutus saman yhdistyksen alaisten teollisuudessa ja tutkimusaloilla toimivien kanssa ollut kenties omi-aan monipuolistamaan opettajina toimivien näkemys-tä omista tieteenaloistaan yhteiskunnassa?

Fysiikan merkityksen 1960-luvulla sairaaloissa kas-vaessa tulivat uutena ryhmänä mukaan sairaalafyysi-kot. Jäseniä saatiin myös silloisesta Säteilyturvallisuuslaitoksesta sekä vakuutus- ja muilta aloilta. SMFL:n jä-senmäärä junnasi ensimmäiset vuosikymmenet muu-tamissa sadoissa, mutta on sittemmin noussut enim-millään yli 3000:n.

Liiton hallitukseen pyrittiin valitsemaan aina myös opettajien edustajia, jotka toimivat linkkinä MAOL ry:n suuntaan. Tämä kirjoittamaton periaate on pä-tenyt viime vuosiin saakka. Esimerkiksi SMFL:n pu-heenjohtajina ovat toimineet 1998–2004 MAOL ry:n nykyinen ensimmäinen varapuheenjohtaja Jouni Björkman ja häntä ennen 1984–1991 MAOL-Helsingin kerhon pitkäaikainen puheenjohtaja Lasse Paajanen.

Läheistä yhteistyötä molemmilla liitoilla on toki riittänyt, muun muassa huolehtimisessa matemaattis-ten aineiden kouluopetuksen tasosta ja alan osaajien riittävästä määrästä ja heidän etujensa valvonnasta. SMFL eli nykyinen MAL lahjoittaa edelleenkin pää-palkinnot MAOL ry:n järjestämiin jokavuotisiin ma-tematiikka-, fysiikka- ja tietotekniikkakilpailuihin.

Järjestöjen toimintaa tarkastellaan useimmiten pääasiassa suhteessa niiden jäsenistöihin. Järjestö voi kuitenkin myös itse olla toiminnan ja muutosten koh-teena. SMFL tarjoaa mahdollisuuden molempien dy-namiikkojen tarkasteluun samanaikaisesti.

Jäsenkentäksi on vähitellen muodostunut nykyi-nen yhteiskunnan eri aloilla toimivien korkeasti kou-lutettujen matemaatikkojen ja fyysikoiden joukko. Toisaalta myös järjestökentässä SMFL on ollut liik-keissään valpas, notkea ja määrätietoinen, onnekas-kin.

Alun perin SMFL kanavoi edunvalvontansa itse-näisenä liittona Akavan kautta. Kun Akava 1970-luvun loppupuolella uudisti organisaatiomalliaan, SMFL liittyi Korkeakouluinsinöörien ja Arkkitehtien Keskusliitto KAL ry:hyn. Entinen Suomen Teknillinen Seura STS ja KAL yhdistyivät 1990-luvulla Tekniikan Akateemisten Liitoksi eli TEK:ksi. SMFL:n rooli ei tässä muuttunut.

1 D i m e n s i o 6/2011

Matematiikan koe ylioppilastutkinnossa keväällä 2011

onathan Swift julkaisi 1726 kirjan välskäri Lemuel Gulliverin matkoista neljään outoon maahan. Vaikka teoksen joitakin osia on julkaistu lastenkir-joina, se on todellisuudessa viiltävä satiiri hallitse-

misesta, politiikasta ja ihmisluonnosta. Kun kirjailija Volter Kilpi (1874–1939) alkoi suunnitella kriittistä teosta oman aikansa yhteiskunnasta, hän valitsi Gulliverin kritiikin kertojaksi.

Kilven ”löytämässä” käsikirjoituksessa Gulliver ker-too pohjoisnavan valloittamisyrityksestään. Jäättömällä (sic!) Jäämerellä hänen laivansa imeytyy äkkiarvaamat-ta valtavaan pyörteeseen, joka kieputtaa alusta alas-päin sellaisella vauhdilla, että aurinko näyttää kulke-van väärään suuntaan. Pelastuttuaan lopulta viikkojen pyörityksen jälkeen aluksen lujuuden ansiosta takai-sin Jäämeren pinnalle Gulliver huomaa ällistyksekseen olevansa valtavan jääkentän keskellä. Löytynyttä railoa pitkin eteneminen tuntui epävarmalta yritykseltä, mut-ta paikalleen jääminen varmalta perikadolta. Gulliver valitsi sitaatin mukaisesti epävarman ja onnistuikin pur-jehtimaan railossa kunnes päätyi oudolle Fantomimian mantereelle. Silloin ilmeni, että pyörre oli kuljettanut laivaa ajassa eteenpäin aina 1900-luvulle asti. Tästä al-kaa Kilven oman aikansa kritiikki, joka valitettavasti jäi kirjailijan kuoltua kesken. Arvoitukseksi jäi myös, miten Gulliver pääsi takaisin omaan aikaansa.

Abiturienttikin on löytöretkeilijä, joka pyrkii estei-den ja vastustusten läpi kohti omaa pohjoisnapaan-

sa, ylioppilaslakkia. Purjehdusta suunnitellessa on hy-vä muistaa Gulliverin kokemukset. Abiturientin on jo etukäteen rakennettava oma taitonsa mahdollisimman lujaksi, jotta sen avulla voisi ponnistella kurimusten nieluista ylöspäin kohti pelastusta. Tässä on muistet-tava, että taidon rakentaminen on samanlaista aikaa ja tarmoa vaativaa ponnistelua kuin Gulliverin aluk-sen rakentaminen lujatekoiseksi. Se on syytä alkaa jo lukion alussa, ettei joutuisi löytöretkelle heiveröisellä aluksella, joka uppoaa ensimmäiseen puhuriin. Pelkkä lujarakenteisuus ei kuitenkaan aina riitä, on osattava myös tehdä oikeita valintoja etenemissuunnasta. Jos kaikesta huolimatta joutuu tehtävässä umpikujaan jää-kentän keskelle, missä ei löydä yhtään selvää etenemis-tietä, ja missä paikallaan pysyminen merkitsee varmaa perikatoa, on uskallettava kokeilla epävarmaa, sillä se saattaa viedä päämäärään, vaikka näyttääkin vain um-peen kuroutuvalta kapealta railolta. Myös railoa pitkin purjehtimisessa on eduksi, että on liikkeellä lujaraken-teisen, monissa harjoituksissa koetellun tiedon avulla, joka ei muserru ensimmäiseen puristukseen.

YlioppilastutkinnostaYlioppilastutkintoa uudistettiin viimeksi vuonna 2007. Sen jälkeen tutkinto on kulkenut samaa rataa moit-teettomasti ja täsmällisyydellä, josta VR voi vain unek-sua. Muutoksen merkkejä alkaa kuitenkin jo havista ilmassa.

Matematiikan ylioppilaskirjoitus keväällä 2011aatoS LaHtinen

”On uskallettava epävarmaankin varman sijasta, jos varma on varmaa perikatoa ja epävarman takana ehkä piilee pelastus.” – Volter Kilpi: Gulliverin matka Fantomimian mantereelle

Pitkä matematiikka, kevät 2011. Lyhyt matematiikka, kevät 2011.

0

50

100

150

200

250

300

0 6 12 18 24 30 36 42 48 54 60 66

Pisteet

Lkm

I A B C M E L

0

50

100

150

200

250

300

350

400

0 4 8 12 16 20 24 28 32 36 40 44 48 52 56 60

Pisteet

Lkm

I A B C M E L

1D i m e n s i o 6/2011


Taulukko 1. Pakollinen pitkä matematiikka, kevät 2011Arvosana Pojat, lkm. % Tytöt, lkm. % Yht., lkm. 2011, % 2010, % 2009, % 2008, % 2007, %

L 487 9,1 170 5,4 657 7,7 7,0 7,5 9,0 7,5E 844 15,7 536 17,0 1380 16,2 17,3 16,8 17,9 19,4M 1168 21,7 794 25,2 1962 23,0 22,9 22,4 20,4 22,1C 1209 22,5 754 23,9 1963 23,0 22,0 25,1 23,4 22,6B 1012 18,8 531 16,8 1543 18,1 18,0 15,7 16,1 15,2A 437 8,1 255 8,1 692 8,1 8,6 9,2 9,1 7,5

I 223 4,1 114 3,6 337 3,9 4,2 3,3 4,1 5,6 Yhteensä 5380 3154 8534 8354 8779 8666 8283 7906

Keskiarvo 4,27 4,28 4,28 4,27 4,31 4,33 4,31 Hajonta 1,66 1,55 1,62 1,63 1,59 1,78 1,71

Arvosana Pojat, lkm. % Tytöt, lkm. % Yht., lkm. 2011, % 2010, % 2009, % 2008, % 2007, %

L 9 1,2 19 1,0 28 1,1 1,2 1,0 1,7 1,3

E 32 4,4 134 7,2 166 6,4 6,2 6,2 6,8 7,7M 88 12,0 335 18,1 423 16,4 15,0 15,6 14,9 15,1C 180 24,7 541 29,2 721 27,9 25,2 28,1 26,4 26,1B 202 27,7 446 24,1 648 25,1 28,0 24,4 24,8 21,8A 127 17,4 236 12,7 363 14,1 14,9 16,4 16,4 14,9I 92 12,6 141 7,6 233 9,0 9,5 8,3 8,9 13,1

Yhteensä 730 1852 2582 2582 2943 2993 3364 3893


Taulukko 2. Ylimääräinen pitkä matematiikka, kevät 2011

Taulukko 3. Pakollinen lyhyt matematiikka, kevät 2011Arvosana Pojat, lkm. % Tytöt, lkm. % Yht., lkm. 2011, % 2010, % 2009, % 2008, % 2007, %

L 230 4,7 326 6,3 556 5,6 5,6 5,4 5,2 5,8E 644 13,3 848 16,5 1492 14,9 14,5 15,1 13,9 14,3M 972 20,0 966 18,8 1938 19,4 18,8 19,7 18,7 20,0C 1195 24,6 1199 23,3 2394 23,9 23,0 24,6 23,0 22,7B 1047 21,5 952 18,5 1999 20,0 21,1 17,7 18,4 18,4A 526 10,8 545 10,6 1071 10,7 11,3 11,4 12,8 10,2I 246 5,1 309 6,0 555 5,5 5,7 6,0 8,1 8,7

Yhteensä 4860 5145 10005 10005 9739 9779 9990 10478


Taulukko 4. Ylimääräinen lyhyt matematiikka, kevät 2011Arvosana Pojat, lkm. % Tytöt, lkm. % Yht., lkm. 2011, % 2010, % 2009, % 2008, % 2007, %

L 29 5,8 90 5,6 119 5,6 6,4 5,8 5,8 5,3

E 73 14,5 260 16,0 333 15,7 16,3 17,1 15,7 13,3

M 95 18,9 356 22,0 451 21,2 21,7 21,1 20,0 20,3

C 130 25,9 399 24,6 529 24,9 23,1 25,4 22,9 24,3B 113 22,5 299 18,4 412 19,4 19,0 16,7 17,3 17,7A 44 8,8 125 7,7 169 8,0 9,3 9,1 11,6 10,6I 18 3,6 92 5,7 110 5,2 4,2 4,8 6,6 8,6

Yhteensä 502 1621 2123 2123 2061 2362 2484 3049


20 D i m e n s i o 6/2011


Pääministeri Jyrki Kataisen hallitusohjelmassa on 90 sivua. Ylioppilastutkinto mainitaan kahdessa koh-dassa, joissa on yhteensä seitsemän riviä. Näihin on mahdutettu useita tavoitteita. Hallitus haluaa mm. mahdollistaa ylioppilastutkinnon laajemman hyödyn-tämisen korkeakoulujen opiskelijavalinnoissa sekä val-mistella tietoja viestintätekniikan käyttöönottoa as-teittain ylioppilaskirjoituksissa, molemmat tärkeitä asi-oita. Hallituksen mielenkiintoisin tavoite on eittämät-tä sen aikomus kehittää ylioppilastutkinnon toisesta äidinkielen kokeesta ”yleissivistystä sekä tiedon käsit-telyn ja pätevyyden arvioinnin taitoja mittaava koe”. Tällainen olisi varmasti erittäin haastava koe sekä laa-

tijoille että abiturienteille. Matemaatikosta se kuulos-taa kuitenkin enemmän vanhalta reaalikokeelta uu-dessa leilissä kuin äidinkielen kokeelta. On kuitenkin muistettava, että hallitusohjelma on yleensä enemmän toivomuslista kuin valmis urakkasuunnitelma.

Konkreettisempi asia on, että ylioppilastutkintolau-takunta on uusinut matematiikan koetta koskevat mää-räyksensä ja ohjeensa. Suurin muutos on laskinohjeessa. Keväästä 2012 alkaen sallitaan kokeessa myös symbo-liset laskimet. Tämä tulee antamaan kaikille tällaisen laskimen käytön hallitseville aivan uudet mahdollisuu-det tehtävien suorittamiseen ja suoritusten tarkistami-seen. Samalla tämä muutos tulee vääjäämättä vähitel-

Tehtävä

6543210

9876543210

6543210

9876543210

6

5

4

3

2

1

0

6

5

4

3

2

1

0

Pakollinen lyhyt matematiikka, kevät 2011. Ylimääräinen lyhyt matematiikka, kevät 2011.

Pakollinen pitkä matematiikka I, kevät 2011. Pakollinen pitkä matematiikka II, kevät 2011.

Ylimääräinen pitkä matematiikka I, kevät 2011. Ylimääräinen pitkä matematiikka II, kevät 2011.

100 %

80 %

60 %

40 %

20 %

0 %1

Pist

ejak

aum

a

2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13

Tehtävät 1-13

100 %

80 %

60 %

40 %

20 %

0 %1

Pist

ejak

aum

a

2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13

Tehtävät 1-13

Tähtitehtävät

14 15

100 %

80 %

60 %

40 %

20 %

0 %

Tähtitehtävät

14 15

100 %

80 %

60 %

40 %

20 %

0 %

6

5

4

3

2

1

0

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15

Pist

ejak

aum

a

6

5

4

3

2

1

0

Tehtävä

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15

100 %

80 %

60 %

40 %

20 %

0 %

Pist

ejak

aum

a

100 %

80 %

60 %

40 %

20 %

0 %

21D i m e n s i o 6/2011


len muuttamaan koetehtävien luonnetta ja arvostelua. Koetehtävissä voidaan vähentää mekaanisen suoritta-misen osuutta ja keskittyä enemmän matemaattisen ajattelukyvyn mittaamiseen. Tässäkin ruusussa on piik-kinsä. Tuleeko muutos johtamaan siihen, että osa ma-tematiikan niukoista tunneista menee laskintekniikan opiskeluun? Entä miten käy kokeessa opiskelijoille, joilla ei ole varsinaista matemaattista ajattelukykyä, mutta on tyydyttävä tai hyvä matemaattinen käsityötaito? Nämä eivät ole vielä ensi kevään ongelmia, mutta ne on koh-dattava lähitulevaisuudessa. Samalla ne ovat alkusoit-toa vielä suuremmalle uudistukselle, nimittäin tietoko-neiden käyttöönotolle ylioppilastutkinnossa. Asia ei ole aivan yksinkertainen. Sen mietintä on aloitettu jo pal-jon ennen hallitusohjelmaa, mutta vielä ei selvää aika-taulua ole, vaikka opetusministeriö jo kertaalleen halusi sen tapahtuvan aivan lähitulevaisuudessa.

Kevään 2011 ylioppilastutkinto kulki kuitenkin vie-lä vankasti entisiä raiteita eikä junan matkustajissakaan tapahtunut mainittavia muutoksia. Tutkinnossa järjes-tettäviin 42 kokeeseen ilmoittautui yhteensä 41 526 abi-turienttia (41 294 keväällä 2010). Osallistujat valitsivat entistä harvempia kokeita, sillä ilmoittautumismäärä kasvoi vain 12 aineessa. Suurin nousu oli lyhyessä ma-tematiikassa (+394) ja toiseksi suurin terveystiedossa (+335). Samalla terveystieto valtasi psykologialta suo-situimman reaaliaineen gloorian. Suurin ilmoittautumis-määrän lasku oli, valitettavasti, pitkässä matematiikassa (–614) ja toiseksi suurin keskipitkässä ruotsissa (–308).

Pohjoissaamen ja inarinsaamen kokeisiin ei ollut ilmoittautuneita lainkaan.

Pitkän matematiikan karttelu johti siihen, että ma-tematiikan kirjoittajien kokonaismäärä jatkoi infinite-simaalista laskuaan, nyt 220 kokelaalla. Samalla ma-tematiikkaan ilmoittautuneiden määrä laski 57 pro-senttiin kaikista tutkintoon ilmoittautuneista. Koska matematiikka kuuluu siihen viisikkoon, josta neljä pa-

kollista ainetta valitaan, valitsee ilmeisesti entistä har-vempi matematiikan ylimääräiseksi aineeksi. Jokainen opiskelee kuitenkin matematiikkaa koko kouluajan, joten luulisi, että se olisi helppo ottaa ylimääräiseksi aineeksi ja vieläpä menestymisen toivossa.

Matematiikan kokeestaKeväällä 2010 käyttöönotettu nelisivuinen tehtäväarkki mahdollistaa tehtävien kirjoittamisen entistä helppolu-kuisempaan muotoon. Samalla voidaan tehdä entistä monipuolisempia tehtäviä liittämällä kuvia tai taulukoita tehtävänantoon. Niinpä nyt oli sekä pitkän että lyhyen matematiikan kokeessa kahdessa tehtävässä kuva tai kuvio helpottamassa probleeman havainnollistamista. Lisäksi lyhyessä matematiikassa oli melko suuren taulu-kon käyttöä vaativa tehtävä. Toivon mukaan tehtävä-paperin uudistus johtaa monipuolisemman osaamisen mittaamisen lisäksi parempaan osaamiseen.

Jatkuvasti löytyy kokelaita, jotka ohjeiden vastai-sesti laskevat useita tehtäviä samalle arkille tai puo-liarkille. Osa opettajista kirjoittaa huomaavaisesti täl-laisen suorituksen alkuun varoituksen tehtävien sul-lomisesta. Toivoisin, että kaikki noudattaisivat tätä hyvää tapaa. Jostain syystä jotkut opettajat ottavat kopioita samalle arkille suoritetuista tehtävistä ja eh-kä jopa arvostelevat alustavasti vain suorituksen ko-pion. Sama lautakunnan sensori arvostelee aina ko-kelaan kaikki tehtävät, joten kopioiden ottaminen on aivan turhaa ja kopioiden arvosteleminen alkuperäis-ten sijasta väärä menettelytapa.

Nykyisessä taloudellisessa turbulenssissa vaaditaan julkisten menojen leikkauksia. Tätä ei kuitenkaan pi-dä tehdä harkitsematta. Punakynän säästäminen opet-tajan alustavassa arvioinnissa on väärää säästämistä, joka vaikeuttaa lopullista arvostelua ja saattaa leikata abiturientin oikeusturvaa. Virheet tai ainakin virhe-ketjun alku on selvästi merkittävä näkyviin. Tällöin ei

Taulukko 5. Tehtäväkohtaisia tuloksia, pitkän oppimäärän koe, kevät 2011.

Teht. nro Pakollisena Ylimääräisenä YhteensäSuoritusten ka hajonta Vastaus-% Suoritusten ka hajonta Vastaus-% Suoritusten ka hajonta Vastaus-%

1 5,34 1,1 100,0 5,05 1,3 99,9 5,28 1,2 100,02 5,03 1,2 99,8 4,59 1,3 99,9 4,93 1,2 99,83 3,66 2,1 96,3 2,84 2,0 95,0 3,47 2,1 96,04 4,65 2,2 85,2 3,93 2,4 79,2 4,49 2,2 83,85 4,46 2,0 97,6 3,75 2,1 96,1 4,30 2,0 97,26 3,18 2,4 70,6 2,38 2,3 68,8 3,00 2,4 70,27 4,74 1,8 87,4 4,29 2,0 86,4 4,63 1,8 87,28 1,73 2,0 47,7 1,27 1,6 57,4 1,61 1,9 50,09 4,25 2,2 43,0 3,31 2,4 32,3 4,08 2,3 40,510 3,13 2,6 21,0 1,46 2,2 14,5 2,84 2,6 19,511 3,35 1,9 52,9 2,46 1,8 40,4 3,18 1,9 50,012 2,30 2,7 23,1 1,41 2,3 18,7 2,13 2,7 22,113 3,37 2,8 57,5 2,31 2,7 50,3 3,15 2,8 55,8*14 2,27 2,8 32,5 0,85 1,5 27,0 1,98 2,6 31,3*15 6,07 3,4 4,6 2,06 3,1 1,2 5,77 3,6 3,8

22 D i m e n s i o 6/2011


kuitenkaan saa täydentää kokelaan suoritusta punaky-nällä; sellainen menettely vaikeuttaa sensorin työtä.

Pitkä matematiikkaPitkän matematiikan kokeeseen osallistui 11 116 koke-lasta (11 722 kokelasta keväällä 2010). Suhteutettuna koko kokelasmäärään tämä tarkoitti noin kuuden pro-sentin vähenemistä. Toivottavasti tämä oli vain satun-naisilmiö. Pakollisuuden suosio kasvoi edelleen hieman. Pitkän matematiikan kokeen kirjoittajista valitsi 77 prosenttia kokeen pakolliseksi (75 prosenttia keväällä 2010). Valitettavasti pakolliseksi valitseminen ei näytä aina merkinneen asianmukaista harjoittelua.

Valintojen sukupuoliriippuvuus säilyi entisenkaltai-sena. Kokeen valitsi pakolliseksi tytöistä 63 prosenttia (61 % keväällä 2010) ja pojista 88 prosenttia (87 % keväällä 2009). Tyttöjen osuus kaikista pitkän kirjoit-tajista oli 45 prosenttia, kun se vuotta aiemmin oli 47 prosenttia. Pitkän kokeen ylimääräisenä suorittavista oli tyttöjä 72 prosenttia (73 prosenttia keväällä 2010). Lukuja voisi tulkita niin, että pitkän matematiikan tä-mänkeväinen suosion väheneminen johtuu tytöistä. Toivottavasti tämä on virhetulkinta.

Pakollisena kirjoittavien osuuden kasvu ei ole muuttanut tasoeroa ylimääräisenä kirjoittaviin. Se on edelleen entinen vajaa yksi arvosanayksikkö. Lähes kaikki laudatur-arvosanat (96 prosenttia) päätyivät entiseen malliin pakollisena kirjoittaville. Tilanteen tasapainottamiseksi pakollisena kirjoittavat suostui-vat ottamaan myös suurimman osan reputuksista (59 prosenttia). Heidän kohdallaan voisi epäillä koevalin-tojen onnistumista. Samanlaiseen epäilyyn antaa ai-hetta se, että hylätyn pakollisen pitkän matematiikan kokeen uusijoista puolet reputti uudelleen. Kuitenkin riman olisi ylittänyt kahden alkutehtävän perusasioi-den osaamisella. Malliesimerkkinä huolellisesta val-mistautumisesta olivat ne kaksi reputtajaa, jotka uu-sinnassa keräsivät yli 40 pistettä.

Tutkinnon hajautetusti suorittavat menestyvät pit-kässä matematiikassa vain hivenen paremmin kuin ker-ralla suorittajat (ero 0,1 arvosanayksikköä). Jälkimmäisiä oli muuten pitkässä matematiikassa vain 736.

Kuuden tunnin suoritusajasta huolimatta vain osa kokelaista jättää tarkastettavaksi maksimaaliset kym-menen tehtävää. Näin teki pitkän matematiikan kir-joittajista 62 prosenttia eli pakolliseksi valinneista 65 prosenttia (67 % keväällä 2010) ja ylimääräiseksi va-linneista 49 prosenttia (51 % keväällä 2010). Tämä merkitsee sitä, että keskimääräinen kirjoittaja tyytyy yhdeksän tehtävän suorittamiseen. Jotkut abiturientit ehkä pitävät jo laskettujen laskujen tarkistamista tär-

keämpänä kuin kymmenennen, heistä vaikealta näyt-tävän tehtävän ratkaisua. Silti kuudessa tunnissa pitäisi huolella valmistautuneelle olla aikaa kymmenen teh-tävän suorittamiseen ja tarkastamiseen. Monissa ulko-maisissa matematiikan ylioppilaskokeissa lasketaan lä-hes poikkeuksetta aina maksimimäärä tehtäviä. Täysin turha pistemenetystapa on jättää tarkastettavaksi yli kymmenen tehtävää. Keväällä 2011 oli kymmenen täl-laista parhaan suorituksensa mitätöivää masokistia.

Pitkän matematiikan kokeen rakenteessa ei ollut muutoksia. Kolme ensimmäistä tehtävää koostuivat yk-sinkertaisista osatehtävistä, joilla mitattiin perusasioi-den osaamista. Tehtävät 4-10 muodostivat kokeen vai-keutuvan keskiosan. Tehtävät 11–13 olivat pääasiassa syventävien kurssien tietoja vaativia ja tähtitehtävät 14 ja 15 huipensivat kokeen. Tähtitehtävät olivat edelleen määritelmänsä mukaan tavallista tehtävää laajempia tai vaativampia ja niissä edellytettiin selkeyttä perusteluissa ja esityksessä. Vastapainoksi osaamista palkittiin muita tehtäviä suuremmalla pistemäärällä, jopa 9 pisteellä.

Kevään 2011 pitkän matematiikan kokeen keskiar-vo 35,28 oli tavallista korkeampi. Silti hyväksymisrajak-si tuli vain 12 pistettä. Tarkasteltaessa tehtäväryhmien pistekertymiä nähdään, että alkutehtävien 1-3 osuus ko-keen keskiarvosta oli 13,5 pistettä (2010 keväällä 14,6) eli kolme neljäsosaa tarjolla olleista pisteistä. Tätä ei voi pitää aivan tyydyttävänä. Keskiosan eli tehtävien 4-10 osuus keskiarvosta oli 17,1 pistettä (2010 keväällä 12,3) eli 40 prosenttia tarjolla olleista pisteistä. Tästä näkyy, että keskiosan tehtävät koettiin tavallista helpommik-si. Syventävien kurssien tehtävien 11–13 anti keskiar-voon oli 3,8 pistettä (2010 keväällä 1,8). Tähtitehtävien osuus keskiarvosta oli vain 0,8 pistettä (2010 kevääl-lä 1,6), mikä johtui toisaalta tähtitehtävien luonteesta, mutta myös nollasuoritusten suuresta määrästä.

Kuusi pistettä oli yleisin pistemäärä peräti kymme-nessä tehtävässä (1-7,9,13,15). Neljä oli yleisin pis-temäärä tehtävässä 11. Lopuissa neljässä tehtävässä nolla oli yleisin pistemäärä. Kolme eniten valittua teh-tävää olivat 1, 2, ja 5 ja kaksi selvästi vähiten valittua (ja huonoimmin osattua) kuuden pisteen tehtävää in-tegrointitehtävä 10 ja lukuteorian tehtävä 12.

Ensimmäisen, funktioiden ominaisuuksia käsittele-vän tähtitehtävän valitsi joka kolmas kokelas, useimmat turhan optimistisesti, sillä nolla oli selvästi yleisin piste-määrä. Täyteen yhdeksään pisteeseen pääsi vain 175 kokelasta. Jälkimmäinen tähtitehtävä olisi ollut vähem-män haastava, mutta siihen tykästyi vain 426 kokelasta. Heistä peräti kolmasosa ylsi yhdeksään pisteeseen.

Tähtitehtävät nostavat pitkän matematiikan ko-keen maksimipistemäärän 66:een. Tällä kertaa 300

23D i m e n s i o 6/2011


kokelaan pistemäärä nousi yli kuudenkymmenen (306 keväällä 2010). Maksimipisteisiin ylsi 42 kokelasta. Molemmat luvut ovat pieniä tähtitehtäviä valinnei-den lukumäärään nähden.

Pitkän matematiikan kokeen pistejakaumassa huo-mio kiintyy ensimmäiseksi välin 52–60 pistettä epä-tavallisen suureen painoon. Tyypillinen tähän väliin päässyt kokelas on ilmeisesti löytänyt tehtävistä 4–10 monta sellaista, joista hän keräsi korkeita pistemää-riä. Näissä tehtävissä olisi ehkä ollut vaikeuttamisen varaa. Kuudenkymmenen jälkeen jakaumassa on äk-kipudotus, joka kertoo siitä, että useimmat kokelaat ovat ”varmuuden vuoksi” valinneet vain kuuden pis-teen tehtäviä. Tällainen strategia saattaa toimia, jos tavoitteena on vain magna tai eximia, mutta lauda-turia haluavalle se on liian vaarallinen, olihan tämän kevään laudatur-raja peräti 59 pistettä. Jos valitsee omaksi maksimipistemääräkseen 60, niin pienikin huolimattomuusvirhe tekee helposti laudaturin vain unelmaksi. Varmempi strategia laudaturia haluavalle on valita ainakin toinen tähtitehtävistä.

Lyhyt matematiikkaLyhyen matematiikan kokeen osallistujamäärä hei-lahti tällä kertaa hieman ylöspäin päätyen lukuun 12 128 (11 800 keväällä 2010). Ylioppilaskokelaiden määrään suhteutettuna lyhyen matematiikan suosio pysyi ennallaan. Pakollisuuden suosiossa ei myöskään tapahtunut oleellista muutosta. Viime kevään tapaan 82 prosenttia lyhyen matematiikan kirjoittajista va-litsi kokeen pakolliseksi. Jokohan muutoskäyrän as-ymptootti lähestyisi? Toivottavasti ainakin osaamisen tasossa tapahtuisi jatkossa selvää kasvua.

Pakollisena kirjoittavista oli 51 prosenttia tyttöjä ja 49 prosenttia poikia (52 % tyttöjä ja 48 % poikia keväällä 2010). Tytöt olivat edelleen poikia arempia valitsemaan koetta pakolliseksi. Näin teki edelliske-

vään tapaan tytöistä 76 prosenttia ja pojista 91 pro-senttia (90 % keväällä 2010). Erolle ei löydy osaami-seen liittyviä selityksiä, ennemminkin se johtuu eri oppiaineiden henkilökohtaisista suosituimmuuksista. Tähän viittaa sekin, että kokeen ylimääräiseksi valin-neista tytöt muodostivat tavanomaisen selvän enem-mistön (76 prosenttia).

Kaikkiaan 1 445 pitkän matematiikan lukijaa suo-ritti viime keväänä lyhyen matematiikan kokeen. Heistä 1 105 valitsi kokeen pakolliseksi, loppujen 340 tyytyessä ylimääräiseen kokeeseen. Loikkareita oli hiven enemmän kuin edellisenä keväänä (1 343), mutta muutos lienee satunnaisuutta. He menestyivät entiseen tapaan keskimäärin vajaan yhden arvosanan verran lyhyen lukijoita paremmin. Loikkareiden ta-so oli entisenkaltainen. Laudaturin ansaitsi edellisen kevään tapaan 10 prosenttia ja eximian 26 prosenttia (2010 keväällä 25 %). Loikkareista reputti vajaa pro-sentti ja approbaturiin jäi kolme prosenttia.

Yksittäisissä tehtävissä loikkareiden keskimääräi-nen paremmuus oli entiseen malliin keskimäärin puo-li pistettä. Suurimmat erot olivat perustehtävässä 2 ja polynomiepäyhtälötehtävässä 9 (molemmissa 0,9 pistettä). Ääriarvotehtävä 10 meni loikkareilta yhtä huonosti kuin lyhyen lukijoiltakin, vaikka juuri sii-nä heidän olisi luullut selviävän oleellisesti parem-min. Samasta syystä on hämmästyttävää, että vain 151 loikkaria uskalsi valita vektoritehtävän 15. Siinä näiden urhoollistenkin menestys oli vain keskinker-tainen ja 0,5 pistettä lyhyen lukijoita parempi.

Lyhyen matematiikan ylimääräiseksi valinneet menestyivät edellisen kevään tapaan hivenen pa-kolliseksi valinneita paremmin. Keskimääräinen ero oli 0,1 arvosanayksikköä. Syy ei selviä tilastoista. Luontevampaa sen sijaan oli, että hajauttajat menes-tyivät lyhyen matematiikan kokeessa tutkinnon pa-remmin kuin kerralla suorittajat, joita muuten oli ly-

Taulukko 6. Tehtäväkohtaisia tuloksia, lyhyen oppimäärän koe, kevät 2011.

Teht. nro Pakollisena Ylimääräisenä YhteensäSuoritusten ka hajonta Vastaus-% Suoritusten ka hajonta Vastaus-% Suoritusten ka hajonta Vastaus-%

1 4,62 1,7 99,8 4,81 1,6 99,8 4,65 1,7 99,82 3,11 1,7 95,3 3,28 1,6 96,9 3,14 1,7 95,63 4,04 1,8 95,8 4,08 1,7 95,9 4,05 1,8 95,84 4,33 1,9 91,2 4,38 1,9 93,5 4,34 1,9 91,35 3,17 1,7 42,9 3,24 1,6 48,1 3,18 1,7 43,86 0,24 1,0 69,0 0,20 0,9 63,7 0,23 1,0 68,07 1,97 1,8 62,0 2,08 1,8 61,1 1,99 1,8 61,98 1,68 1,8 54,5 1,50 1,7 52,0 1,65 1,8 54,19 2,56 1,7 76,1 2,75 1,7 81,1 2,60 1,7 77,010 0,22 0,9 18,3 0,17 0,8 22,2 0,21 0,9 19,011 2,17 2,6 45,7 2,37 2,7 43,7 2,20 2,6 45,312 1,02 1,6 11,0 0,97 1,6 11,0 1,01 1,6 11,013 4,05 1,9 55,6 4,18 1,9 56,7 4,07 1,9 55,814 4,33 1,8 78,3 4,33 1,8 75,6 4,33 1,8 77,815 1,48 2,3 7,1 1,66 2,5 8,4 1,52 2,3 7,3

24 D i m e n s i o 6/2011


hyen matematiikan kokeessa 1 243. Keskimääräinen ero oli tosin vain 0,2 arvosanayksikköä.

Lyhyen matematiikan kokeessa kolme ensimmäis-tä tehtävää koostui entiseen tapaan toisistaan riippu-mattomista yksinkertaisista perustehtävistä. Niistä oli-si voinut helposti ansaita läpipääsyyn tarvittavan piste-määrän. Kaikki kokelaat eivät kuitenkaan usko osaa-vansa perusasioita. Ensimmäisestä tehtävästä laisti 29 kokelasta, toisesta 531 ja kolmannesta 509. Tämä on osittain seurausta siitä, että lyhyen matematiikan ope-tussuunnitelmien perusteissa perustaidot ovat jääneet liian vähälle huomiolle. Kuitenkin matemaatikko il-man perustaitoja on kuin purjealus ilman purjeita.

Eri tehtäväryhmien pistekertymät jäivät edellistä kevättä matalammiksi. Kokeen kolmesta ensimmäi-sestä tehtävästä kertyi yhteensä 11,1 pistettä eli 62 prosenttia tarjolla olevista pisteistä. Tätä ei voi pitää tyydyttävänä. Keskiosan eli tehtävien 4-9 osuus kes-kiarvosta oli 8,2 pistettä eli vain viidesosa siitä, mitä olisi voinut saada. Suurin pettymys oli tehtävän 6 kar-tan pienennyksen huono menestys. Tehtävien 10–15 muodostaman loppuosan kontribuutio keskiarvoon oli 7,1 pistettä. (Kevään 2010 vastaavat luvut olivat: alkuosa 11,3, keskiosa 11,7 ja loppuosa 8,3 pistettä.) Alkuosan tuotto oli siis viime ja edellisenä keväänä alle 65 prosenttia maksimista, mikä ei ole paljon.

Tehtävien pistejakaumista näkyy, että kuusi pistet-tä oli yleisin pistemäärä vain viidessä tehtävässä (1, 3, 4, 13, 14). Yhdessäkään näistä eivät kuusipisteiset muodostaneet ehdotonta enemmistöä, joskin ensim-mäisessä se oli aika lähellä (48 %). Erityisen epätyy-dyttävää oli tehtävän 2 puuttuminen joukosta. Siinä vain joka kahdeksas kokelas ansaitsi täydet pisteet.

Nolla pistettä pääsi ykkössijalle kuudessa tehtäväs-sä (6, 8, 10,11, 12, 15) yltäen neljässä ehdottomaksi enemmistöksi. Kartan pienennystehtävässä 6 ja ääri-arvotehtävässä 10 jäi kummassakin yli 90 prosenttia kokelaista pisteittä. Suuri osa nollapisteistä kertyi enti-seen tapaan papereista, joissa tehtävässä ei ollut edetty juuri esimerkkiä pitemmälle. Eikö tällaiselle tehtävälle todellakaan löytynyt tuottavampaa vaihtoehtoa?

Maksimimäärään tehtäviä vastasi lyhyessä mate-matiikassa vain 60 prosenttia (69 prosenttia keväällä 2010). Vain yhdeksään tehtävään vastasi 13 prosenttia ja vain kahdeksaan 10 prosenttia. Keskimääräisesti vas-tattiin yhdeksään tehtävään. Syyttäisin tässäkin huo-nosti painotettua OPS:ia, joka ei pysty antamaan riit-tävää laskurutiinia. Laskutaidon puute ilmeni räikeim-min niillä 20 kokelaalla, jotka jättivät tarkastettavaksi 11 tehtävää. Paras tehtävä mitätöityi aivan turhaan.

Lyhyen kokeen pistejakauma oli melko tasapainoi-

nen. Pienten pisteiden valitettavan suuri massa pudotti keskiarvon hieman alhaiseen lukuun 28,0. Vielä enem-män se tuntui alhaisessa hyväksymisrajassa, vain yh-deksän pistettä eli puolitoista tehtävää. Tämäkin jäi saavuttamatta 665 kokelaalta.. Lyhyen matematiikan pelkkää perusosaamista edellyttävistä alkutehtävistä olisi jokaisen pitänyt voida kerätä ainakin kymmenen pistettä. Täydet 60 pistettä ansaitsi vain 17 kokelasta, mikä on kovin vähän.

Uusijoiden kohtaloista voidaan sen verran maini-ta, että lyhyen matematiikan hyväksytyn kokeen uusi-joista viisi prosenttia jäi alle hyväksymisrajan. Hylätyn pakollisen kokeen uusijoilla oli paljon tylympi kohtalo, uudelleen reputti peräti 36 prosenttia. Toisaalta kaksi hylättyä ylsi uusinnassa laudaturiin ja viisi eximiaan.

Lyhyen matematiikan suorituksia vaivaa jatkuvas-ti matematiikan kirjoittamisen sääntöjen tuntematto-muus, joka johtaa pisteet nielevään pyörteeseen. Jopa peruslaskutoimituksia sekoitetaan; jakamisen sijasta vähennetään ja kertomisen sijasta lasketaan yhteen. Väärät merkinnät, kuten sulkujen puute johtavat usein kirjoittajan itsensä harhaan. Murtolausekkeiden mieli-kuvituksellinen supistus on etenkin huonosti menestyvi-en kokelaiden vitsaus. Muodikasta tuntuu olevan myös kuvioiden huono laatu tai tarkemmin sanottuna laadut-tomuus. Viivoitin ja harppi eivät taida enää kuulua abi-turientin penaaliin, abiturientin omaksi vahingoksi, sillä viime aikoina on ollut entistä enemmän tehtäviä, joissa saa pisteitä hyvin piirretystä oikeasta kuviosta.

Navigare necesse estPaikallaan pysymisellä ei tavoiteta päämäärää, pohjois-napaa, vaan purjehtiminen on välttämätöntä, navigare necesse est. Joka säässä purjehtiminen ei taas luonnistu il-man lujarakenteista alusta ja purjehdustaitoa. Molemmat edellyttävät ennen matkaa tehtävää työtä ja harjoittelua. Tämä on itsestään selvää jokaiselle joka tosissaan purjeh-tii. Yhtä selvää tämän pitäisi olla jokaiselle, joka tosissaan purjehtii kohti ylioppilaslakkia. Siitä huolimatta monen purjehdus keskeytyy joka tutkintokerta joko tiedon tai taidon heikkouteen. Varmat ovatkin varmaa perikatoa ja jäljelle jää vain epävarma, jota pitkin eteneminen ei onnistukaan. Työn ja harjoittelun tärkeydestä puhuminen tai kirjoittaminen ei tunnu auttavan. Olisikohan asian konkretisoinnista enemmän apua? Seuraavan tuntijaon valmisteluissa on esitetty aina hallitusohjelmaa myöten taitoja taideaineiden osuuden lisäämistä. Voisikohan siihen kiintiöön ottaa pakollisen projektin purjeveneen valmistamisesta ja sillä tehtävistä purjehduksista? Silloin jokainen opiskelija voisi aivan konkreettisesti todeta etu-käteistyön ja harjoittelun merkityksen.

25D i m e n s i o 6/2011


Pitkän matematiikan suorituksista

Kokeessa sai vastata enintään kymmeneen tehtä-vään. Tähdellä (*) merkittyjen tehtävien maksimi-pistemäärä oli 9. Muiden tehtävien maksimipiste-määrä oli 6.

1. a) Ratkaise yhtälö .2

32xx

b) Ratkaise epäyhtälö x² 2 x.

c) Ratkaise yhtälö .6623

x

1. a) Yhtälö. 2 3

2( 2) 3 42

x x xx x

. (2 p.)

b) Epäyhtälö. 2 22 2 0.x x x x Vasen puoli esittää

ylöspäin aukeavaa paraabelia, jonka nollakohdat ovat 1x ja 2x . Vastaus: 1 2x . (2 p.)

c) Itseisarvoyhtälö. 3 3

| 6| 6 6 62 2

x x . Siis

3 2(6 6)6 6 8

2 3x x tai

36 6 0

2x x . (2 p.)

Sarjan avajaistarjouksena oli kuusi pistettä kolmen yksinkertaisen perustehtävän ratkaisemisesta. Tar-jouksen vastaanotti vain 61 prosenttia kokelaista. Toisaalta yli 91 prosenttia keräsi vähintään neljä pistettä. Pisteistä kieltäytyi kokonaan 50 kokelasta. Tehtävän keskiarvo 5,28/6 oli sarjan paras.

Osakohtien pistemääriä ei tilastoitu, joten arvioin suorituksia vain omien kokemusteni pohjalta.

a)-kohta oli lähes aina oikein. Muutama omia teitään kulkeva muunsi yhtälön toisen asteen yhtä-löksi, mutta lautakunta ei tästä palkinnut.

b)-kohta meni hivenen huonommin. Tarvittava toisen asteen yhtälö ratkaistiin kyllä oikein, mutta johtopäätökset olivat joskus vääriä. Saatettiin tarjo-ta oikean välin komplementtia tai vain pisteitä –1 ja 2. Välimaastoon sijoittui vastaus: 1x ja 2x .

c)-kohdassa aloitustapoja oli yllä olevan lisäksi 2 23

( 6) 62

x , joka johti yleensä, muttei aina,

oikeaan tulokseen sekä virheellinen 3

6 62

x .

Muutama puolisivistynyt aloitti hajoitelmalla 3

6 62

x , kun x>0 ja 3

6 62

x , kun x<0.

2. a) Osakkeen arvo oli 35,50 euroa. Se nousi ensin 12 %, mutta laski seuraavana päivänä 10 %. Kuinka monta prosenttia arvo nousi yhteensä näiden muutosten jälkeen?

b) Suora kulkee pisteiden ( 2,1) ja (5, 3)kautta. Määritä sen kulmakerroin.

c) Sievennä e5ln2 ln8 välivaiheet esittäen.

2. a) Prosenttilasku. Osakkeen arvo oli nousun jälkeen 1,12 35,50 euroa ja laskun jälkeen 0,9 1,12 35,50 = 1,008 35,50 euroa. Arvo nousi 0,8 prosenttia. (2 p.)

b) Analyyttinen geometria.

Kulmakerroin on 3 1 4

5 2 7. (2 p.)

c) Eksponentti- ja logaritmifunktiot.

5 ln 2 – ln 8 = ln 25 – ln 8 = ln 328

= ln 4.

Siis 5ln2 ln 8 ln 4 4e e . (2 p.)

Seuraavien kolmen perustehtävän osaaminen ei noussut edellisen kolmikon tasolle. Kuusi pistettä oli edelleen selvästi yleisin pistemäärä, mutta siihen ylsi enää vajaa puolet. Vähintään neljä pistettä kertyi 88 prosentille kokelaista ja nollille jäi ilahduttavasti vain 17 kokelasta. Keskiarvo jäi jo alle viiden ollen kuitenkin sarjan toiseksi paras.

Osakohtien pistemääriä ei tilastoitu, joten kom-menttini pohjautuvat taas omiin kokemuksiini.

a)-kohdan prosenttilasku meni pääsääntöisesti hyvin. Tosin tavalliseen tapaan joukkoon oli eksy-nyt väärän kantaluvun käyttäjiä. Muutama valistu-nut oli kiitettävästi huomannut, ettei tulos riipu osakkeen arvosta.

b)-kohta oli myös yleensä oikein, mutta laskuja huolimattomuusvirheet painoivat sen tulosta

2 D i m e n s i o 6/2011


a)-kohtaa alemmas. Jotkut olivat varmuuden vuoksi kirjoittaneet näkyviin myös suoran yhtälön, vaikkei sitä kysytty.

c)-kohta oli selvästi vaikein. Suorituksista löytyi kosolti fataaleja käsittelyvirheitä kuten

e5ln(2/8) 5 2/8 tai 5 3ln2 ln2 5 32 2e . Merkintä

ln 4 ln4 4e e oli mielenkiintoinen. Sulkujen vas-tustamisyhdistys kirjoitti aatteelleen uskollisena tyyliin 5ln2 3ln2 5 3ln2 ja joutui taas aattees-taan kärsimään.

3. Olkoon f(x) = xe–x² ja g(x) = 2e–x².

a) Ratkaise yhtälö f(x) = g(x).

b) Laske f´(1).

c) Laske integraali 1

0.)( dxxf

3. a) Yhtälö. .20)2(2)()( ²²² xexexexgxf xxx

(2 p.)

b) Derivointi. 2 2 22'( ) ( 2 ) (1 2 )x x xf x e x xe x e .

Siis 1 1'(1) (1 2)f e

e. (2 p.)

c) Integrointi. 2 21 1 1

00 0

1 1 1( ) / (1 )

2 2x xf x dx xe dx e

e. (2 p.)

Tämä kolmikko oli vähemmän helppo kuin kaksi edellistä ja se näkyi tuloksista. Yli 400 kokelasta sai rimakauhun. Kuuden pisteiden suorituksia oli alle 30 prosenttia ja vähintään neljään pisteeseen ylsi enää joka toinen. Yli 1 200 yrittäjää jäi pistejaon ulkopuolelle. Keskiarvo 3,47/6 oli kaukana mita-lisijoista.

Osakohtien pistemääriä ei tässäkään tilastoitu, joten huomautukset pohjautuvat taas omiin koke-muksiini.

a)-kohta tuntui monesta liian yksinkertaiselta, joten he siirtyivät erilaisille kiertoteille esimerkik-si ottamalla puolittain logaritmi. Kiertoteiden käyttö on toki sallittua, mutta ne lisäävät kuri-mukseen joutumisvaaraa, kuten vaikkapa näin:

2 2 2 2ln ln2 ln ln2x xxe e x xe x e .

b)-kohdassa osa hukkasi pisteensä derivointivir-heisiin. Derivoinnin oikein suorittaneet sijoittivat yleensä pisteen x=1 sieventämättömään lausekkee-seen. Sulut aiheuttivat epätavallista harmia tyyliin

2 2( 1) ( 1)'(1) 2f e e .c)-kohdassa oli paljon oikeita suorituksia, mutta

myös paljon sekoilua. Oli lukuisia integrointivirhei-tä, vaikka b)-kohdassa oli vihje integraalifunktiosta ja vaikka integraalifunktion olisi voinut varmistaa derivoimalla. Samoin sijoituksen laskussa oli aivan turhia huolimattomuusvirheitä.

4. Määritä se toisen asteen polynomi, joka saa pisteissä x = 0, x =1 ja x = 2 samat arvot kuin funktio f(x) = 2x.

4. Polynomin yhtälö. Polynomin 2( )P x ax bx c on toteutettava eh-dot: 0(0) 2 1P c c ,

1(1) 2 1P a b c a b ja 2(2) 4 2 2 4 2 3P a b c a b , (3 p.). Saa-

dun yhtälöparin a+b=1 ja 4 2 3a b ratkaisu on 12

a b , (+2 p.). Vastaus: 21 11

2 2x x .

Lähes 1 800 kokelasta sivuutti tämän suoraviivaisen tehtävän. Ehkä olisi kannattanut harkita uudelleen, sillä kaksi kolmasosaa suorituksista ansaitsi täydet pisteet. Toisaalta viidesosa jäi yhteen pisteeseen. Suoritusten keskiarvo 4,49/6 oli sarjan kolmanneksi korkein.

Yhden pisteen suorituksissa oli usein vain laske-tut kolme f(x):n arvoa (0) 1, (1) 2f f ja (2) 4f .Arvoitukseksi jäi, miksei siitä osattu jatkaa eteen-päin. Näiden vastakohtana löytyi muutama kokelas, joiden paperissa oli kyllä oikea vastaus, muttei mi-tään järkevää selitystä siitä, miten siihen oli päädyt-ty. Lautakunta ei edelleenkään uskonut ylhäältä tuleviin ilmoituksiin. Yhtälöryhmän ratkaisemisessa ei yleensä ollut ongelmia. Yhtälöihin harrastuneet eivät vauhtiin päästyään tyytyneet tavanomaiseen vastaukseen, vaan ilmoittivat lopputuloksen olevan

21 11 0

2 2x x .

2D i m e n s i o 6/2011


5. Määritä polynomin x(x + 3)(5 x) suurin ja pienin arvo välillä [ 1,5].

5. Ääriarvotehtävä. Polynomi 3 2( ) ( 3)(5 ) 2 15P x x x x x x x ja derivaatta 2'( ) 3 4 15P x x x , (2 p.). Derivaa-tan nollakohdat ovat

6144

61512164

x eli ovat 53

x

ja 3x , (+1 p.).

Vain 3x kuuluu tarkasteluvälille. Koska ( 1) 12, (3) 36, (5) 0P P P (+1 p.), saadaan

vastaus: Suurin arvo on 36 ja pienin -12.

Perusääriarvotehtävä oli lähes kaikkien mieleen ja tulostasokin oli kohtuullinen. Lähes puolet pääsi kuuteen pisteeseen ja lähes kolme neljäsosaa vähin-tään neljään pisteeseen. Suoritusten keskiarvo 4,30 oli sarjan neljänneksi korkein, mutta tehtävän yk-sinkertaisuuden vuoksi sen olisi kyllä pitänyt olla vielä korkeampi.

Ääriarvotehtävän ratkaiseminen oli pääsääntöi-sesti hallinnassa. Tosin diskretoinnille omistautu-neet tyytyivät laskemaan funktion arvoja erillisissä pisteissä. Jotkut vähensivät heti alussa pistekerty-määnsä kopioimalla funktion lausekkeen väärin. Tarpeettomia virheitä esiintyi myös funktion lau-sekkeen auki kehittämisessä ja derivoinnissa. Jäl-kimmäiset johtivat yleensä derivaatan ei-rationaalisiin nollakohtiin ja sen kautta kurimuk-seen. Tämänkaltaisten ongelmien ilmetessä olisi syytä pysähtyä tarkastamaan suoritustaan, lautakun-ta ei kiusaa tarpeettomilla hankaluuksilla. Suurin osa kokelaista huomasi, että toinen derivaatan nol-lakohta ei kuulunut tarkasteluvälille. Pari kokelasta innostui tästä huomiosta väittämään, että funktiolla ei ole pienintä arvoa.

6. Lasten Lotossa rastitaan alle kuvatusta ruudukosta kolme ruutua ja arvonnassa muodostetaan kolmen numeron oikea rivi. Laske todennäköisyydet saada nolla, yksi, kaksi tai kolme oikein. Mikä on näiden todennäköisyyksien summa?

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

6. Todennäköisyyslaskentaa. Kymmenestä ruudusta voidaan rastittaa kolme

10120

3 eri tavalla, (2 p.). Nolla oikein saadaan

3 735

0 3 eri tavalla, joten sen todennäköisyys

35 7(0)

120 24P . Yksi oikein saadaan

3 763

1 2

eri tavalla, joten 63 21

(1)120 40

P . Kaksi oikein

saadaan3 7

212 1

eri tavalla, joten

21 7(2)

120 40P . Kolme oikein saadaan vain yhdellä

tavalla, joten 1

(3)120

P , (+3 p.).

Todennäköisyyksien summa P(0)+P(1)+P(2)+P(3)=1, koska se kattaa kaikki mahdolliset tapaukset.

Lähes kolmasosa kokelaista katsoi arvolleen sopi-mattomaksi ryhtyä lasten lottoon. Ehkä he eivät mitään menettäneet, sillä vaikka tehtävässä tarvit-tiin vain perusasioiden osaamista, suoritustaso jäi yllättävän matalaksi. Tosin kuusi pistettä oli edel-leen yleisin pistemäärä, mutta siihen ylsi vain joka kolmas. Neljäsosa yrittäjistä ei pystynyt ansaitse-maan ainuttakaan pistettä, joten keskiarvo jäi vaa-timattomaan lukuun 3,00.

Yllä olevaa tapaa yleisempi ratkaisumenetelmä oli laskea todennäköisyyksiä tuloperiaatteella rastimalla ruutuja yksi kerrallaan. Tämä osoittautui käytän-nössä hyvin virhealttiiksi menetelmäksi. Suuri osa kokelaista unohti, että tapaukset yksi oikein ja kaksi oikein voidaan saada useammalla kuin yhdellä ta-valla. Sen lisäksi yksittäisissä termeissä esiintyi lu-kuisia lipsahduksia. Esimerkiksi todennäköisyydelle saada nolla oikein tarjottiin mm. seuraavanlaisia

lausekkeita: 9 8 7

10 9 8,

7 6 510 10 10

, 37( )10

ja

7 6 510 9 8

. Todennäköisyyksien summa aiheutti

eräitä mielenkiintoisuuksia. Tyyppisuorituksessa laskettiin saadut todennäköisyydet yhteen ja ilmoi-tettiin niiden summa vastaukseksi sen enempää selittämättä tai yhdestä poikkeavaa tulosta kum-meksumatta. Suurin näkemäni vastaus oli 14,3.

2 D i m e n s i o 6/2011


Sitten oli niitä, jotka laskivat todennäköisyydet väärin, mutta ilmoittivat, että summan pitää olla yksi käyttämättä tätä tietoa kuitenkaan omien las-kujensa tarkistamiseen.

7. Osa Helsingin Keskuskatua muutettiin kävelykaduksi ja päällystettiin Penrosen laatoilla, jotka keksi englantilainen matemaatikko Roger Penrose 1970-luvulla. Niiden avulla taso voidaan laatoittaa äärettömän monella eri tavalla niin, ettei laatoitus ole jaksollinen. Laattoja on kahta eri muotoa, leija ja nuoli. Molemmat ovat nelikulmioita, joiden kulmien suuruudet ja osa sivujen pituuksista on merkitty kuvioon.

a) Laske muiden sivujen pituuksien likiarvot kolmen desimaalin tarkkuudella.

b) Laske laattojen pinta-alojen likiarvot kolmen desimaalin tarkkuudella.

72 72

72

144

36

36

216

72

nuoli

leija

o o

o

o

o

o

o o

1

11

1

7. Geometriaa. a) Yhdistetään leijan 144o kärki vastakkaiseen kär-keen, jolloin syntyy kaksi yhteneväistä tasakylkistä kolmiota. Kyljen pituus x saadaan sinilauseesta

1 sin721,618034

sin72 sin 36 sin 36

o

o o o

xx , (2 p.).

Kun nuolen 216o kärki yhdistetään vastakkaiseen kärkeen, saadaan samoin kaksi yhteneväistä tasa-kylkistä kolmiota. Kyljen pituudelle y saadaan sini-

lauseesta36sin72sin

36sin108sin

36sin1

108siny

y

618034,1x (+1 p.).

b) Leijan pinta-ala saadaan sen osakolmioiden

summana: .5388418,136sin²21

2 xAL

Samoin nuolen pinta-ala:

,9510565,0108sin21

2NA (+2 p.). Vastaus:

a) Muut 1,618. b) Leijan ala 1,539 ja nuolen 0,951.

Lähes 10 000 kokelasta lähti tutkailemaan Penrosen laattoja lukuisilla erilaisilla ratkaisutavoilla. Heistä puolelle annettiin täydet pisteet. Kolme neljäsosaa sai vähintään neljä pistettä. Suoritusten keskiarvok-si tuli hyvähkö 4,63.

a)-kohdassa jaettiin laattoja yllä olevan lisäksi monenlaisiin toinen toistaan monimutkaisempiin osiin, joita saattoi yhdessä laatassa olla jopa kuusi. Selväpiirteisistä ratkaisuideoista kannattaa mainita huomio, että laatat voidaan yhdistää nelikulmioksi, joka on suunnikas. Ydinkohta lähes kaikissa ratkai-sutavoissa oli tietyn symmetrian tai yhtenevyyden osoittaminen. Esimerkiksi yllä olevassa ratkaisussa perustelu on, että kolmioissa kaksi sivua ja toisen vastainen kulma ovat yhtenevät ja toisen sivun vastaiset kulmat eivät ole vinoja suplementtikulmia. Tyyppisuorituksissa eri vaiheet annettiin kuitenkin vain ilmoitusasioina, ilman perusteluja. Lautakunta harkitsi tällä kertaa hyväksi soveltaa selvänoloisissa tapauksissa lempeää arvostelulinjaa. Liian karkeat välilikiarvot tuottivat varsinkin monimutkaisissa tapauksissa virhettä sivun pituuteen. Muutama matemaatikonalku oli osannut laskea tarkan arvon sivun pituudelle.

b)-kohdassa kysytyt pinta-alat saatiin yleensä yk-sinkertaisissa ratkaisuissa helposti ja monimutkaisis-sa työläästi. Jälkimmäisissä vaani myös lisääntynyt laskuvirhevaara.

2D i m e n s i o 6/2011


8. Olkoon kjia 354 ja .22 kjibEsitä vektori a summana vektoreista u ja v ,joista u on yhdensuuntainen vektorin b

kanssa ja v kohtisuorassa vektoria b vastaan.

8. Vektoreita. On oltava a u v , missä u tb ja 0bv , (1 p.). Edelleen

bbtbabbtabv )(

)1(3)414(231524 tt , (+2 p.).

Pistetulo on siis nolla, kun 13

t , (+1 p.).

Näin ollen 1 1

(2 2 )3 3

u b i j k ja

1 14 14 73 3 3 3

v a b i j k , (+1 p.).

Vastaus:2 1 23 3 3

u i j k ja 14 14 73 3 3

v i j k .

Puolet kokelaista halusi näyttää vektoriosaamistaan. Tulos ei ollut kehuttava. Tehtävästä tuli sarjan ensimmäinen, jossa yleisin pistemäärä oli nolla. Lisäksi toiseksi yleisin pistemäärä oli yksi ja kolman-neksi yleisin kaksi. Kuuteen pisteeseen ylsi vain 594 kokelasta. Suoritusten keskiarvo 1,61/6 olikin sarjan toiseksi huonoin. Kyseessä oli hieman tavallista vaativampi vektoritehtävä, mutta en odottanut näin heikkoa tulosta.

Tyyppisuorituksessa oli todettu, että on oltava u tb ja 0bv , mutta siitä ei osattu lähteä mihin-kään tai lähdettiin väärään suuntaan. Esimerkiksi kuvi-teltiin, että on olemassa vain yksi annettua vektoria vastaan kohtisuora suunta. Niinpä saatettiin todeta

vaikkapa, että 0)22( bki , joten ( 2 2 )v s i k .Sen jälkeen jotkut jopa onnistuivat ratkaisemaan ker-toimet t ja s yhtälöstä ( 2 2 )a tb s i k , vaikka kon-servatiiviset olisivat sanoneet sen olevan mahdotonta. Jotkut ylivarovaiset oikeaan suuntaan etenevät lähtivät ehdon u tb jälkeen ratkaisemaan yliparametrisoitua yhtälöä a su wv , missä s on vain haitaksi.

9. Lukujonon termit määritellään rekursiokaavalla

,...3,2,43

,45

11 naaa nn

a) Määritä jonon yleisen termin an lauseke.

b) Laske .1n

na

9. Lukujonoista.

a) Koska aina 1

34

n

n

aa

, on jono geometrinen,

(1 p.) suhdeluvun ollessa 34

q , (+1 p.). Jonon

yleinen termi on 15 3( )

4 4n

na , (+1 p.).

b) Koska 3

14

q , sarja suppenee, (+1 p.).

.75

43

1

145

1nna

Lukujonot ovat yleensä kiinnostaneet abiturientteja, mutta tällä kertaa 60 prosenttia kokelaista jätti tehtävän väliin. Sen he tekivät ehkä omaksi vahin-gokseen, sillä yleisin pistemäärä oli kuusi ja suoritus-ten keskiarvo nousi yli neljän.

a)-kohdassa oli melko turvallista lähteä hypotee-sista, että jono on geometrinen. Vahvistuksen asial-le olisi saanut yllä olevaan tapaan suoraan rekur-siokaavasta. Melkein kaikki lähtivät kuitenkin epä-

varmemmalle tielle. He laskivat suhteet 32

1 2

,aa

a a ja

ehkä vielä 4

3

aa

ja ilmoittivat tällä perusteella yleisen

termin olevan 15 3( )

4 4n

na .

b)-kohdassa saatiin yleensä oikea vastaus. Ylei-simmät pistevähennykset tulivat siitä, että jonoa ei missään vaiheessa todettu geometriseksi ja siitä, että ei todettu, että 1q . Molempia tarvitaan geomet-

risen summan lausekkeen käytön edellytykseksi. Epäkorrektia merkintää q esiintyi jonkin verran.

30 D i m e n s i o 6/2011


Muutama varovainen laski summan arvon äärellisen summan raja-arvona.

10. Funktio f :[0, 2 ] on jatkuva. Laske käyrien y = f(x), y = f(x) + sinx ja suorien x = 0, x = 2 rajaaman alueen pinta-ala.

10. Integrointia. Pinta-ala on

2 2

0 0( ( ) sin ) ( ) sinA f x x f x dx x dx , (2 p.).

Välillä [0, ] on sin 0x ja välillä ] ,2 ] on

sin 0x . Siis 2

0sinsin xdxxdxA

20/ cos / cosx x 1+1+1+1=4,

(+1 p. +2 p. +1 p.).

Tehtävä oli sarjan toiseksi epäsuosituin, yli neljä viidesosaa kokelaista vierasti sitä. Runsas kolmannes yrittäjistä hukkui nollan pisteen pyörteeseen. Toi-saalta vajaa kolmannes navigoi täysiin pisteisiin. Suoritusten keskiarvo 2,84 kuvaa hyvin tätä kaksi-jakoisuutta.

Tehtävän suurin vaikeus oli ilmeisesti tunte-mattoman funktion f aiheuttama järkytys. Tämä johti yleensä paperille piirtyneiden merkkien pienen lukumäärän kautta ansiottomuuteen. Järkytyksestä selvinneiden suoritus oli yleensä hyvin selkeä ja suoraviivainen. Osa yrityksistä kariutui virheelliseen pinta-alan lausekkeeseen

tyyliin2 2

0 0( ( ) sin ( )) sinA f x x f x dx xdx .

Tällekin pinta-alan lausekkeelle jotkut saivat positiivi-sen arvon. Konkretiaa haluavat valitsivat f:lle kiinteän lausekkeen, yleisimmin vakion. Joidenkin suoritus

alkoi heti lausekkeesta 2

0sin sinA xdx xdx ,

mitä ei voinut pitää täysiarvoisena.

11. a) Määritä sellainen kerroin a, että

,1², xax)(xf

,1,²1

²x

xx

on jatkuva kaikkialla.

b) Onko funktio f(x) tällöin derivoituva kaikkialla?

c) Laske ).(lim xfx

11. Funktion jatkuvuus ja derivoituvuus. a) Funktio f(x) on jatkuva, kun x<–1 sekä kun x>–1.

Kohdassa –1 on ( 1)

1 1lim ( )

1 1 2xf x ja

( 1)lim ( ) ( 1)

xf x f a . Siis f(x) on jatkuva kohdassa

x= –1, kun 12

a , (2 p.).

b) Kun x< –1, on '( )f x x ja ( 1)

lim '( ) 1x

f x .

Kun x >–1, on 2 2

2'( )

(1 )x

f xx

ja

2( 1)

2 1lim '( )

2(1 1)xf x . Koska toispuoliset raja-

arvot ovat erisuuret, ei f(x) ole derivoituva kohdassa x= –1, (2 p.).

c)2

1 1lim ( ) lim 1

1 1 01x xf x

x

, (2 p.).

Vaikka tehtävä oli vaativa, sitä lähti yrittämään puolet kokelaista. Suoritusten yleisimmästä piste-määrästä kilpailivat tasaisesti kaksi ja neljä. Täysiin pisteisiin nousi vain 926 suoritusta. Keskiarvoksi tuli kohtuullisen hyvä 3,18. Sitä kyllä avitti lautakunnan tähän tehtävään sopima arvostelulinja, joka palkitsi oikeansuuntaisesta ajatuksesta silloinkin, kun ma-temaattinen perustelu ei ollut riittävä.

a)-kohdassa oli yleensä saatu oikea kertoimen aarvo. Monet päätyivät siihen raja-arvoitta eli muo-

dostamalla suoraan yhtälön 2

22

( 1)( 1)

1 ( 1)a .

Enemmistö muodosti toispuoliset raja-arvot. Eräs optimisti ilmoitti, ettei jatkuvuus voi kaatua käyt-täytymiseen yhdessä pisteessä.

31D i m e n s i o 6/2011


b)-kohta oli enemmistölle liian vaativa. Muutama toiveajattelija kuittasi kohdan ilmoittamalla, että jat-kuvuudesta seuraa derivoituvuus. Toiset kuvittelivat, että funktio oli automaattisesti derivoituva myös arvol-la x= –1 ja 2

1'( 1) ( )

xf D ax . Toinen huono tapa

oli verrata suoraan suureita 2

1( )

xD ax ja

2

21

( )1

x

xD

x. Viimeksi mainitun derivaatan laskemi-

nen oli muuten yllättävän takkuista. Erotusosamääriä käyttävät sijoittivat usein erheellisesti lausekkeisiin

2

2

( 1)( 1)

1 ( 1)f . Joukossa oli toki myös hyviä suori-

tuksia, joissa laskettiin korrektisti toispuolisten ero-tusosamäärien raja-arvot.

c)-kohta oli yleensä oikein. Jotkut saivat tästä ai-noat pisteensä. Aivan kaikki eivät olleet huoman-neet, että riittää tutkia arvoja x>–1. Merkinnät olivat toisinaan absurdeja. Saatettiin kirjoittaa

lim ( ) 1x

f x tai .10²1

1² Jotkut

tyytyivät sanalliseen, enemmän tai vähemmän va-kuuttavaan perusteluun.

12. Tutki, onko luku 4678 + 8967 jaollinen viidellä

12. Lukuteoriaa. 46 1 (mod 5) 78 7846 1 (mod 5)

7846 1 (mod 5), (2 p.). Samoin 89=–1(mod5) 8967=(–1)67(mod5) 8967=–1(mod5), (+2 p.).

Siis 78 6746 89 1 1 0(mod 5), (+1 p.), joten luku on jaollinen viidellä.

Jaollisuustehtävä oli kolmanneksi epäsuosituin, vain hieman yli viidennes uskoi selviävänsä siitä. Heistä neljännes oli arvioinut oikein, täydet pisteet, mutta yli puolella usko oli täysin väärä, ei pistettäkään. Suoritusten keskiarvo 2,13 oli sarjan kolmanneksi huonoin. Usko on hyvä, mutta tieto vielä parempi.

Osa kokelaista eteni yllä esitetyn mukaisesti, mutta tyyppisuorituksessa ei kongruenssia käytetty. Sen sijaan tutkittiin lukujen 46 ja 89 kokonaispo-tensseja ja huomattiin, että luvun 46n viimeinen numero on aina 6 ja luvun 89n viimeinen numero parittomilla n:n arvoilla on aina 9. Näin ollen sum-man 4678 + 8967 viimeinen numero on 5, mikä

osoittaa viidellä jaollisuuden. Pistesaldoa vähensi valitettavasti se, että viimeisten numeroiden 6 ja 9 perusteluita ei kaikissa papereissa ollut lainkaan tai oli liian viitteellisesti. Pari kokelasta väitti, että heidän laskimensa antaa summalle tarkan arvon, jonka viimeinen numero on 5. Koska luvussa on 131 numeroa, on vaikea uskoa, että sen tarkan arvon saisi sallitusta laskimesta.

13. Jaa polynomi 2x4 x3 + x2 x 1mahdollisimman matalaa astetta oleviin tekijöihin.

13. Polynomin jaollisuus. Polynomille 4 3 2( ) 2 1P x x x x x pätee P(1)= 0, joten P(x) on jaollinen tekijällä x-1, (1 p.). Jakolaskulla saadaan ( ) ( 1) ( )P x x Q x , missä

3 2( ) 2 2 1Q x x x x , (+2 p.). Koska 1

( ) 02

Q , on Q(x) jaollinen tekijällä 12

x ,

(+1 p.). Jakolaskulla saadaan 21

( ) ( )(2 2)2

Q x x x , (+1 p.). Polynomilla

22 2x ei ole reaalisia nollakohtia, joten sitä ei voi enää jakaa ensi asteen tekijöihin. Vastaus:

212( 1)( )( 1)

2x x x .

Vähän yli puolet kokelaista tunsi harrastusta tällai-seen käsityötehtävään. Tulos oli harvinaisen selvästi kaksijakoinen, 44 prosenttia keräsi kuusi pistettä ja toiset 44 prosenttia jäi pisteittä. Yhteen pisteeseen jääneet 15 prosenttia yrittäjistä pudottivat keskiar-von hieman alle kolmen.

Pisteettömissä suorituksissa oli joko hyvin vä-hän merkintöjä tai vain pisteettömiä merkintöjä. Saatettiin esimerkiksi kuvitella, että kehitelmä

4 3 2 3 22 1 (2 1) 1x x x x x x x x edustaa tekijöihin jakoa. Jokunen kokelas tyytyi ensimmäiseen jakolaskuun, eikä jatkanut pitemmälle. Muut suorituk-set etenivät yleensä yllä olevan käsikirjoituksen mukaan rikkeettömästi loppuun asti. Pistevähennyksiä aiheutti-vat lähinnä erilaiset kömmähdykset, kuten tekijän 2 unohtaminen vastauksesta. Joukossa oli myös hyvien oikopolkujen löytäjiä. Eräs oikopolku oli kehitelmä

3 2 2 22 2 1 (2 1) 2 1 ( 1)(2 1)x x x x x x x x .Toinen oli huomio siitä, että jos polynomilla on nolla-

kohdat x=1 ja 12

x , on se jaollinen tulolla

32 D i m e n s i o 6/2011


1( 1)( )

2x x , jolloin selvitään yhdellä jakolaskulla.

Pari kompleksilukujen suosijaa oli vielä jakanut 2 1 ( )( )x x i x i , mutta siitä ei lisäansiota saanut.

*14. Funktiota f(x) = cos x approksimoidaan

polynomilla .2²

1)(x

xg

a) Näytä, että f(x) g(x) kaikilla muuttujan xarvoilla. (3 p.)

b) Ratkaise yhtälö f(x) = g(x). (2 p.)

c) Määritä funktioiden f(x) ja g(x) erotuksen suurin arvo, kun x . (2 p.)

d) Laske funktioiden f(x) ja g(x) kuvaajien väliin jäävän alueen pinta-ala, kun x .(2 p.)

*14. Funktioista.

a) 21( ) ( ) ( ) cos 1 0

2f x g x h x x x . Nyt

'( ) sinh x x x (1 p.) ja ''( ) cos 1h x x . Kos-ka cos 1x ja cos x = 1 vain kun 2x n , on

''( ) 0h x ja ''( ) 0h x vain kun 2x n . Näin ollen h’(x) on aidosti kasvava kaikilla arvoilla x jasillä on korkeintaan yksi nollakohta, (+1 p.). Edel-leen, '(0) sin 0 0 0h , joten x= 0 on h’(x):nainoa nollakohta. Koska '( ) 0h x , kun x<0 ja

'( ) 0h x , kun x>0, saa ( )h x pienimmän arvonsa kohdassa x=0 ja (0) cos0 1 0h . Siis ( ) 0h xeli ( ) ( )f x g x kaikilla arvoilla x, (+1 p.).

b) ( ) ( ) ( ) 0f x g x h x 0x kohdan a) päät-telyn perusteella, (2 p.).

c) Kohdan a) perusteella suurin arvo on joko ( )h tai ( )h , (1 p.).

Nyt 2 21 1( ) cos( ) 1 ( ) 2

2 2h ja

2 21 1( ) cos 1 2

2 2h .

Siis suurin arvo on 212

2, (+1 p.).

d) Pinta-ala21

( ( ) ( )) (cos 1 )2

A f x g x dx x x dx

31/ sin

6x x x , (1 p.), joten

3 31 12(sin ) 2

6 3A , (+1 p.).

Ensimmäinen tähtitehtävä oli tähtensä mukaisesti aika vaativa. Silti lähes kolmannes kokelaista uskalsi tarttua siihen. Lähes puolet teki huonon valinnan, sillä he joutuivat kurimukseen pääsemättä pisteille. Yli kuuden pisteen pääsi vain joka kymmenes yrittä-jä. Yhdeksästä pisteestä sai nauttia vain 175 koke-lasta. Suoritusten keskiarvo 1,98/9 oli sarjan huo-noin.

Monesti tähtitehtävien ensimmäinen osio on ol-lut helpohko. Tällä kertaa a)-kohdan kynnys oli korkea ja perussyy nollasuorituksiin. Osa kokelaista yritti todistaa väitteen tarkastelemalla erikseen funktioita f ja g, mikä ei ollut pisteitä tuottava lähes-tymistapa. Niistä, jotka muodostivat erotusfunktion h, hyvin harva ymmärsi ratkaisun avaimen olevan toisessa derivaatassa h’’. Tyyppisuorituksessa yritet-tiin lähinnä sanallisesti perustella h’:n käyttäytymis-tä ilman matemaattista vakuuttavuutta. Eräs ylei-nen virhepäätelmä oli, että jos '(0) 0h ja

'( ) 0h x yhdessä pisteessä 1 0x ja yhdessä pis-teessä 2 0x , niin siitä seuraa. että x=0 on h’:n ainoa nollakohta.

Onnistuminen b)-kohdassa edellytti käytännössä, että oli kunnialla selvinnyt kohdasta a). Tämä teki pisteiden saamisen tästä kohdasta harvojen huviksi. Muutama oli yrittänyt numeerisesti havainnollistaa, että nolla on ainoa ratkaisu, mutta siitä ei saa sito-vaa perustelua.

c)-kohdassa tiedetään, että erotusfunktion suurin arvo on joko välin päätepisteissä tai h’(x):n välillä olevassa nollakohdassa. Toisin sanoen, on oltava varma tieto derivaatan nollakohdista. Tätä ei yleen-sä papereissa ollut, mikä vaikutti pisteisiin.

d)-kohtaa oli usein yritetty laskea erillisenä olet-taen, että a)-kohdan väite on tosi. Joitakin integ-rointi- ja sijoitusvirheitä lukuun ottamatta erotuk-sen integrointi välin yli oli yleensä tehty oikein.

Aika monet opettajat olivat tehneet tehtävän alustavan arvostelun hyvin optimistisesti. Toivotta-vasti he olivat varoittaneet oppilaitaan, että lauta-kunta saattaa käyttää realistisempaa arvosteluskaalaa.

33D i m e n s i o 6/2011


*15. Olkoon f(x) = x². Paraabelin y = f(x)kaarevuutta origossa voidaan tutkia Isaac Newtonin (1642 1727) esittämällä sivuavien ympyröiden (circulum osculans) menetelmällä. Menetelmä perustuu siihen, että jokaisella parametrin t >0 arvolla paraabelin pisteiden O(0,0), A(–t,t²) ja B(t,t²)kautta kulkee yksikäsitteinen ympyrän kehä.

a) Määritä tämän ympyrän säde R(t) parametrin t avulla lausuttuna. (3 p.)

b) Laske rajaympyrän säde )(lim0

0 tRRt

. Tätä

kutsutaan paraabelin kaarevuussäteeksi origossa. (2 p.)

c) Johda lauseke funktiolle g(x), jonka kuvaaja on rajaympyrän alapuoli. (2 p.)

d) Näytä, että )0()0( fg = 1/ R0. Tämä on paraabelin kaarevuus origossa. (2 p.)

x

R(t)

O

BA

y

*15. Funktioista. a) Parametria t vastaavan ympyrän keskipiste on (0, ( ))R t ja säde ( )R t . Ympyrän yhtälö on muotoa

2 2 2( 0) ( ( )) ( )x y R t R t . Piste A toteuttaa ympy-

rän yhtälön, joten 2 2 2 2( ( )) ( )t t R t R t , (1 p.).

Tästä saadaan 4 2 21

(1 2 ( )) 0 ( ) (1 )2

t R t t R t t , (+2 p.).

b) 20 0

1 1 1lim (1 ) (1 0)

2 2 2tR t , (2 p.).

c) Rajaympyrä on 2 2 2 2 2

0 0 0( ) 2 0x y R R y R y x , (1 p.).

Tästä ratkeaa 2 20 0y R R x , missä

ympyrän alapuolen antaa miinus-merkki.

Siis 2 2 20 0

1 1( )

2 4g x R R x x , (+1 p.).

d) 0'( ) 2 ''( ) 2 1/f x x f x R , (1 p.).

Toisaalta 2 2 1/20'( ) ( )g x x R x ja

2 2 1/2 2 2 2 3/20 0''( ) ( ) ( )g x R x x R x ,

joten 2 1/20 0''(0) ( 0) 1/g R R .

Siis 0''(0) ''(0) 1/g f R , (+1 p.).

Mielikuvat voivat pettää. Tämä toinen tähtitehtävä näytti ilmeisesti vaikealta, sillä se oli koko sarjan epäsuosituin, vain joka 26. kokelas uskaltautui Newtonin jalanjäljille. Silti tehtävä oli oleellisesti helpompi kuin ensimmäinen tähtitehtävä, johon ryhtyi lähes joka kolmas. Siitä osoituksena on mm., että yhdeksän oli nyt selvästi yleisin pistemäärä, varmaankin ensimmäisen kerran tähtitehtävien historiassa, ja suoritusten keskiarvo oli kohtuullinen 5,77/9. Erityisesti viimeisten tehtävien valintoja kannattaisi harkita huolellisesti. Tässä olisi ollut mukavaa pistelisää useammallekin.

a)-kohdassa käytettiin useita teitä, mutta kaikki veivät yleensä nopeasti oikeaan lopputulokseen.

b)-kohdan yksinkertainen rajaympyrän säde sujui muutamaa poikkeusta lukuun ottamatta ongelmitta.

c)-kohdassa nostivat ongelmat jo päätään. Pis-tesaldoa verottivat lähinnä erilaiset käsittelyvirheet. Kaikki eivät osanneet valita neliöjuurelle oikeaa merkkiä, tarjosipa joku varmuuden vuoksi molempia merkkejä.

d)-kohtaa alkoi ilmeisesti koeväsymys jo painaa. Kaikki eivät enää löytäneet oikealle tielle viitoi-tuksesta huolimatta ja derivointivirheet kantoivat kohtalaisen ankaraa veroa. Silti kolmannes yrittä-jistä selvisi tästäkin kohdasta, joskin joskus rimaa hipoen.

34 D i m e n s i o 6/2011


Lyhyen matematiikan suorituksista

Kokeessa sai vastata enintään kymmeneen tehtävään.

1. a) Ratkaise yhtälö 4x + (5x 4) =12 + 3x.

b) Sievennä lauseke x2 + x (x2 x) ja laske

sen arvo, kun x = .21

c) Ratkaise yhtälöpari

02yx

.13yx

1. a) Ensimmäisen asteen yhtälö. 8

4 (5 4) 12 3 6 163

x x x x x . (2 p.)

b) Sievennys. 2 2 2 2( ) 2x x x x x x x x x . Kun

12

x ,

on 2x=1. (2 p.)

c) Yhtälöryhmä. Vähentämällä yhtälöt 2 0, 3 1x y x y toisis-taan saadaan 1 2 2y x y . (2 p.)

Sarja alkoi tavanomaisesti kolmella yksinkertaisella perustehtävällä, joiden ei olisi pitänyt tuottaa kenel-lekään ongelmia. Ongelmia kuitenkin esiintyi. Tosin vain 29 jätti tehtävän väliin, mutta yli 400 kokelasta jäi pisteittä. Täydet pisteet keräsi sentään lähes puo-let kokelaista, joten keskiarvoksi tuli 4,65, mikä oli sarjan korkein. Osakohtien pistemääriä ei tilastoitu, joten arvioin niitä omien havaintojeni pohjalta.

a)-kohta oli yleensä oikein, paitsi että jotkut sievensivät vasenta puolta surrealistisesti tyyliin

24 (5 4) 20 16x x x x .b)-kohta oli myös yleensä oikein. Monet laski-

vat lausekkeen arvon sen sieventämättömästä muodosta lisäten laskuvirheen mahdollisuuksia, mutta välttyen sievennysvirheiltä, kuten esim. x²+ x – ( x² – x) = x²+x – 0 ( x² – x) = x² – x.

c)-kohta meni myös hyvin. Monet monimutkais-tivat suoritusta ratkaisemalla ensin y:n. Laskuvir-heet pilasivat turhan usean suorituksia.

2. a) Suorakulmaisen kolmion toisen kateetin pituus on 2 ja hypotenuusan pituus 5. Laske kolmion terävien kulmien suuruudet asteen tarkkuudella.

b) Sievennä lauseke .2)1( 2 xx

c) Laske |x y|, kun x = 2 ja y = 5.

2. a) Geometriaa. Sivujen väliselle kulmalle pätee

2cos 66,42

5o . Toinen terävä kulma on

90 23,58o o . Vastaus: 66° ja 24°. (2 p.)

b) Sievennys. 2( 1) 2 2 1 2 1x x x x x x . (2 p.)

c) Itseisarvo. 2 5 3 3x y . (2 p.)

Toisen kolmen yksinkertaisen perustehtävän ryp-pään menestys jäi odottamattoman huonoksi. Lähes 600 kokelasta jätti tehtävän väliin ja nollasuorituk-sia kertyi pedon luvun verran. Yleisin pistemäärä oli kohdista a) ja b) tullut neljä. Niinpä keskiarvoksi tuli vain piin likiarvo 3,14. Osakohtien pistemääriä ei tilastoitu, joten arvioin niitä taas omien havainto-jeni pohjalta.

a)-kohta oli yleensä oikein. Jotkut laskivat toi-senkin kateetin ja sitten sen avulla toisen terävän kulman, jolloin virhettä saattoi tulla liian karkeista likiarvoista. Orwellmaista uuskieltä tyyliin

2cos 66

5o esiintyi taas aivan liikaa. Pistemene-

tyksiä syntyi vastauksen väärästä tarkkuudesta. b)-kohdassa oli runsaasti virheitä neliöön koro-

tuksessa. 2( 1)x saattoi olla 1x tai 2( ) 1x .

Kaikki eivät tienneet, että 2( )x x . Esiintyi myös aivan uusia tulkintoja laskusäännöistä. Yh-tälöiden ystäväyhdistyksen jäsenet kirjoittivat

2( 1) 2 ... 1 0 1x x x x .c)-kohta oli suurelle osalle ylivoimainen. Itseisar-

volle 2 5 keksittiin toinen toistaan eksoottisem-

pia tulkintoja, kuten 2 2 22 5 ,(2 5) ,2 5 tai 2+5, muutamia mainitakseni.

Helppo osatehtävä aiheutti käsittämättömästi keskiarvoon lähes kahden pisteen notkahduksen.

35D i m e n s i o 6/2011


3. a) Määritä sellainen vakio a, että x = 2 toteuttaa yhtälön x² 4ax + 4a² = 0.

b) Positiivinen luku a kasvaa 20 % ja pienenee tämän jälkeen 17 %. Onko tulos suurempi vai pienempi kuin alkuperäinen luku a? Kuinka monta prosenttia alkuperäisestä luvusta muutos on?

3. a) Toisen asteen yhtälö. Kun x=2, on 2 2 24 4 4 8 4x ax a a a , (1 p.). On saatu yhtälö 2 24 8 4 0 4( 1) 0a a a ,(+1 p.). Ratkaisu on a=1, (+1 p.).

b) Prosenttilasku. Luvusta a tulee ensin 1,2a, (1 p.), sitten (1 0,17)1,2 0,996 (1 0,004)a a a , (+1 p.). Luku on pienentynyt 0,4 %, (+1 p.).

Tehtäväparin a)-kohdassa vaikeusaste nousi jo hieman, kun taas b) oli perusprosenttilaskua. Kuusi pistettä oli yleisin pistemäärä, mutta siihen ylsi vain 28 prosenttia yrittäjistä. Keskiarvo 4,05 olisi voinut olla korkeampi.

a)-kohdassa löytyi toki runsaasti oikeita suorituk-sia, mutta monilla oli vaikeuksia päästä tarvittavaan toisen asteen yhtälöön. Jotkut turvautuivat deri-vointiin, toiset kokeiluun. Pessimistit ilmoittivat, ettei tehtävällä ole ratkaisua ja optimistit, että kaik-ki a:n arvot kelpaavat. Realisteillakin suorituksen arvo saattoi pysähtyä yllättäviin laskusääntöihin, kuten 44a a tai 2 84a a .

b)-kohta oli pääsääntöisesti oikein. Jotkut pie-nensivät pistemääräänsä valitsemalla a:lle kiinteän lukuarvon. Omituisia tai vääriä merkintätapoja esiintyi tässäkin tehtävässä. Saatettiin kirjoittaa vaikkapa (100% 20%) 1,2a a tai päätellä tulok-seksi (1,2 0,17) 1,03a a .

4. Muinaiset egyptiläiset laskivat ympyrän pinta-alan sellaisen neliön alana, jonka sivun pituus on 8/9 ympyrän halkaisijasta.

a) Laske tällä säännöllä ympyrän ala, kun sen halkaisija on 5.

b) Onko edellä saatu ala liian suuri vai liian pieni? Kuinka suuri virhe on prosentteina? Anna vastaus prosentin kymmenesosan tarkkuudella.

4. Geometriaa ja prosentteja.

a) Neliön sivun pituus on 940

598

ja ala 240( )

9,

(2 p.). Ympyrän ala on tämän mukaan 240 1600

( ) 19,7530869 81EA , (+1 p.).

b) Ympyrän todellinen pinta-ala on 25 25

( ) 19,6349542 4

A , joten egyptiläisten

arvio on liian suuri, (+2 p.). Virhe on prosentteina

.6016,0100A

AAE

Vastaus: a) 1600

81, b) 0,6 prosenttia liian suuri.

Tehtävä sujui edellistä paremmin. Tosin osallistu-misprosentti 91,3 jäi edellistä matalammaksi. Kuu-teen pisteeseen ylsi yli kolmasosa yrittäjistä ja vii-teen pisteeseen runsas neljäsosa. Keskiarvo nousi siedettävään lukuun 4,34.

a)-kohdassa oli yleistä siirtyä sivun pituuden li-kiarvoon. Jotkut tyytyivät liian karkeaan arvoon 4,4, joka käänsi tuloksen päälaelleen; egyptiläisten pin-ta-alasta tuli liian pieni! Samoin pinta-alalle käytet-tiin liian karkeita likiarvoja, jotka vääristivät b)-kohdan lopputulosta. Neliön ystävien mukaan pin-ta-alassa on oltava potenssi kaksi, joten heille pinta-ala oli 19,632 tms.

b)-kohdan prosenttilasku sujui yleensä oikein. Tavallisimpia virheitä olivat väärän kantaluvun käyttö ja liian karkeat välilikiarvot, jotka muuttivat vastausta.

5. Alla on taulukoituina erään funktion arvot 0,1:n välein välillä [ 1,1]. Hahmottele funk-tion kuvaaja ja määritä sen avulla likimää-räisesti funktion derivaatta kohdassa x = 0.

0,00 0,5 5,64 0,1 10,51 0,6 11,191,05 0,4 6,72 0,2 10,89 0,7 11,012,18 0,3 7,70 0,3 11,14 0,8 10,743,34 0,2 8,59 0,4 11,27 0,9 10,404,51 0,1 9,36 0,5 11,28 1,0 10,00

0,0 10,00

x ( )f x x ( )f x x ( )f x x ( )f x1,0 0,00 0,5 5,64 0,1 10,51 0,6 11,190,9 1,05 0,4 6,72 0,2 10,89 0,7 11,010,8 2,18 0,3 7,70 0,3 11,14 0,8 10,740,7 3,34 0,2 8,59 0,4 11,27 0,9 10,400,6 4,51 0,1 9,36 0,5 11,28 1,0 10,00

0,0 10,00

3 D i m e n s i o 6/2011


5. Graafinen esitys ja derivaatta. Funktion selkeä graafinen esitys 3 p. Eräs likiarvo derivaatalle on

(0,1) (0) 10,51 10,00'(0) 5,1

0,1 0,0 0,1f f

f , (3 p.).

Tehtävän valitsi vain 44 prosenttia kokelaista. Ylei-sin pistemäärä oli lähinnä graafisesta esityksestä tullut kolme pistettä, jonka sai 39 prosenttia koke-laista. Täysin oikeiksi arvioituja suorituksia oli vain 778 ja täysin vääriksi arvioituja 452. Keskiarvo jäi keskinkertaiseen arvoon 3,18.

Tehtävän valinneet olivat kyllä lähes aina piirtäneet kuvaajan, mutta monissa niistä oli toivomisen varaa. Kuvaaja saattoi olla suttuinen tai liian pieneksi piper-retty; kuvaajasta oli piirretty vain osa tai siihen oli käytetty vain osa funktion arvoista. Jotkut olivat ekst-rapoloineet kuvaajaa annetun välin ulkopuolelle. Jois-sakin kuvioissa oli akseleilla eri mittakaava. Näin voi tehdä, jos yksiköt on selvästi merkitty näkyviin. Jotkut uskoivat funktion olevan paraabeli, mitä se ei ollut.

Derivaatan arviointi tuotti pisteitä vain kolmas-osalle tehtävää yrittäneistä. Osa piirsi likimääräisen tangentin ja arvioi siitä kulmakertoimen. Jotkut tosin kuvittelivat, että tangentti on se kysytty deri-vaatta. Valtaosa yritti laskea derivaatan arvoa ero-tusosamäärän tai vastaavan lausekkeen avulla. Joil-lakin derivaatan arvo ilmestyi tyhjästä, mikä ei an-siota tuottanut. Eri mittakaavaisia akseleita käyttä-neet tangentin piirtäjät unohtivat usein erimitta-kaavaisuuden arvioidessaan tangentin kulmaker-rointa. Näkemäni derivaatan arvot vaihtelivat ar-vosta -0,5 arvoon 12. Lautakunta otti arvostelussa huomioon sen, että eri arviointimenetelmät tuotti-vat erilaisia tuloksia ja hyväksyi välille [4,5; 7] osu-vat derivaatan arvot.

6. A4-kokoisen kartan mittakaava on 1:20 000. Kartta pienennetään kopiokoneella A5-kokoiseksi, jolloin sen pinta-ala pienenee puoleen, mutta muoto säilyy. Mikä on pienennetyn kartan mittakaava?

6. Verrannollisuus. A5 ja A4 kartat ovat yhdenmuotoisia pinta-alojen suhteessa 1:2. Niissä olevien janojen suhde on pin-ta-alojen suhteen neliöjuuri, (2 p.) eli on 1 : 2 ,(+2 p.). Jana, jonka pituus luonnossa on a, saa A5

kartalla pituuden .220000200002

1 aa

Pienennetyn kartan mittakaava on siis 1 : 20000 2 1 : 28300 , (+2 p.).

Tehtävää yritti kaksi kolmasosaa kokelaista. Tulos oli pettymys sekä heille että lautakunnalle.

Yli 90 prosenttia yrittäjistä joutui pisteettömyy-den pyörteeseen ja täysin oikeita suorituksia oli vain 162. Niinpä keskiarvoksi tuli perin vaatimaton 0,23. Vielä ikävämpää oli, että tämä oli vasta toiseksi huonoin keskiarvo sarjassa!

Tyyppisuorituksessa oli mittakaava jaettu kahdel-la ja kerrottu vastauksen olevan 1:40 000. Peruste-luna oli joskus käytetty omituista verrantoa, kuten 1 200001 / 2x

. Muita suoraan nähtyjä vastauksia olivat

mm. 1:10 000 ja 1:80 000. Oikeaan suuntaan kul-kevat suoritukset käyttivät yleensä verrantoa tyyliin

22 1/ 20000( ) ... 1 / (20000 2)

1x

x. Valitet-

tavasti läheskään kaikki toista potenssia käyttävät verrannot eivät olleet oikeita. Pari käytännön järkeä omaavaa keräsi kokeellisesti muutaman pisteen. He mittasivat A4-kokoisen koepaperinsa, saivat jostain A5-kokoisen paperin mitat ja laskivat tämän avulla likiarvon mittakaavalle.

7. Eräässä kokeessa annettiin suoritusten arvosanoiksi 0, 1, 2, 3, 4, 5 tai 6. Näiden prosenttiosuudet olivat seuraavat:

arvosana 0 1 2 3 4 5 6osuus 5,80 10,99 17,54 24,78 19,95 15,48 5,46

Laske kokeen keskiarvo ja keskihajonta.

7. Keskiarvo ja keskihajonta. Jos arvosanan n, n= 0,1,2,...,6 prosenttiosuus on nf ,

on arvosanojen keskiarvo 6

0

1100 nx nf , (2 p.).

Siis 3,1037 3,10x , (+1 p.). Arvosanojen keski-

hajonta on 6 20

0,01 ( )n ns f n x , (+2 p.). Siis

1,5609 1,56ns , (+1 p.).

Tähän perustehtävään uskaltautui 60 prosenttia koke-laista. Yleisin pistemäärä oli keskiarvon laskemisesta tullut kolme pistettä, joskin nolla pistettä hävisi tälle vasta kalkkiviivoilla. Täysin oikeita suorituksia oli perin vähän, vain 430. Keskiarvo 1,99 oli pettymys.

3D i m e n s i o 6/2011


Keskiarvon laskemisen pisteitä hävitettiin monel-la tavalla. Jakajaksi saatettiin merkitä sadan sijasta seitsemän, kiinnitettiin jokin tietty oppilasmäärä, käytettiin täysin virheellistä kaavaa kuten esimer-

kiksi0 1 2 3 4 5 6

7. Joidenkin laskijoiden

kaava tuotti yli kuuden menevän keskiarvon, mutta sekin kirjattiin iloisesti vastaukseksi.

Keskihajonnan laskemisen sato oli niukka, voisi jopa puhua katovuodesta. Monet jättivät keskiha-jonnan kokonaan laskematta, toiset käyttivät kaa-voja, joita mikään taulukko- tai oppikirja ei tunne, jotkut sijoittivat oikeaan kaavaan arvot väärin ja jotkut laskivat vain hajonnan neliön.

On masentavaa, että ei edes osata käyttää tau-lukkokirjasta löytyviä kaavoja oikein.

8. Alla olevan kuvion 1 kukin ruutu väritetään satunnaisesti ja toisista riippumatta joko ruskeaksi tai siniseksi.

a) Millä todennäköisyydellä saadaan kuvion 2 shakkilautakuvio?

b) Millä todennäköisyydellä mikään vaakarivi ei ole yksivärinen?

8. Todennäköisyyttä. a) Kussakin ruudussa on kaksi värivaihtoehtoa, joten yhdeksässä ruudussa on 92 512 eri vaihto-ehtoa, (1 p.). Yhden värikombinaation todennäköi-

syys on 1

512, (+2 p.).

b) Yhdessä rivissä on 23=8 värivaihtoehtoa, joista 6 ei ole yksiväristä, (1 p.).

P(rivi ei yksivärinen) =6 38 4

ja P(mikään rivi ei

ole yksivärinen) = 33 27( )4 64

, (+2 p.).

Vähän yli puolet kokelaista halusi värittää. Joka toisella olivat värit ilmeisesti kuivuneet, koska pape-rilta ei löytynyt mitään ansiota tuottavaa. Yleisin positiivinen pistemäärä oli alkuosasta saatu kolme, johon päätyi vajaa kolmannes yrittäjistä. Täysin

Kuvio 2

Kuvio 1

oikeita suorituksia oli taas niukasti, vain 336. Kes-kiarvo jäi matalaan lukemaan 1,65.

a)-kohtaa ratkottiin yllä olevan lisäksi laskemalla yhden rivin värivaihtoehdot, josta tietyn rivin to-dennäköisyydeksi tuli 1/8. Kysytyn kuvion todennä-köisyys oli siten (1/8)3 = 1/512. Kokonaispistesaldoa verottivat olemattomat perustelut ja väärät mallin-nukset.

b)-kohdan pistesaalis jäi kovin niukaksi johtuen pääasiassa vääristä malleista, kuten

P(mikään ei yksivärinen)=1 – P(jokainen yksivä-rinen). Löytyi myös papereita, joissa oli ylhäältä saatu väärä ilmoitus, kuten vaikkapa seuraava sana-

ton laulu: 3 31 1 1 7 7( ) 1 ( )2 8 8 8 8

P .

9. Olkoon f(x) = x³ + x + 2 ja g(x) = x³ x 2. Millä muuttujan x arvoilla on f´(x) > g´(x)?

9. Toisen asteen epäyhtälö. 2'( ) 3 1f x x ja 2'( ) 3 1g x x , (2 p.).

Nyt 2 2 2 1'( ) '( ) 3 1 3 1

3f x g x x x x ,

(+2 p.). 2 1 1 13 3 3

x x , (+2 p.)

Kolme neljäsosaa kokelaista tarttui tehtävään, ei välttämättä hyvällä menestyksellä. Viidesosa jäi nollille, kaksi oli yleisin pistemäärä ja kuuden pis-teen arvoisia suorituksia oli vain 611. Tästä kaikesta kertyi keskiarvoksi matalahko 2,60.

Ensimmäinen kynnys oli derivointi. Siinä esiintyi yllättävän paljon huteja. Esimerkiksi g’(x):lle tarjot-tiin oikean muodon lisäksi mm. lausekkeita 3 1x ,

22 1x ja 23x x . Derivoinnin jälkeen moni lähti laskemaan '( )f x :n ja '( )g x :n nollakohtia. Oikein laskeneet olivat onnekkaita, nollakohdat olivat samat, joten siitä saattoi edetä ratkaisuun. Jos nolla-kohdat eivät olisi olleet samoja, he olisivat tehneet turhaa työtä. Oikeaoppisesti epäyhtälön muodosta-neet saivat sen yleensä sievennettyä muotoon

2 26

x , mutta sen jälkeen meni moni harhaan.

Vääristä lopputuloksista voidaan mainita vaikkapa

3 D i m e n s i o 6/2011


26

x ja 13

x . Sen lisäksi usea siirtyi käyttä-

mään likiarvoja omaksi vahingokseen. Lopussa saatettiin vielä luopua yhdestä pisteestä ilmoittamal-la vastaukseksi suljettu väli.

10. Suorakulmion yhtenä sivuna on x -akselin väli [ a, a], missä 0 < a < 2. Suorakulmion kaksi kärkeä ovat paraabelilla y = 4 x². Millä luvun a arvolla suorakulmion pinta-ala on suurin?

10. Ääriarvotehtävä. Suorakulmion ylemmät kärjet ovat 2( ,4 )a a .Suorakulmion pinta-ala on

2 3( ) 2 (4 ) 8 2f a a a a a , (2 p.). Derivaatta

2'( ) 8 6f a a häviää, kun 2 4 23 3

a a ,

(+2 p.). Koska a > 0, vain positiivinen juuri hyväk-

sytään. Selvästi '( ) 0f a , kun 2

03

a ja

'( ) 0f a , kun 2

23

a . Näin ollen pinta-alan

suurin arvo saadaan arvolla 2

3a , (+2 p.).

Neljä viidesosaa kokelaista jätti suorakulmion omaan rauhaansa. He tekivät ehkä viisaasti, sillä yli 90 prosenttia yrittäneistä ajautui oikopäätä nollan pisteen kurimukseen. Täysiarvoisia suorituksia oli vain 21. Ei siis ihme, että suoritusten keskiarvo 0,21 oli sarjan alhaisin. Tehtävä oli kuitenkin hyvin suoraviivainen ääriarvotehtävä.

Tyyppisuorituksessa oli vain tilanteesta piirretty kuva ja ehkä vielä perustelematon arvaus a:n arvos-ta. Suorakulmio oli vieläpä usein väärä tai ei edes suorakulmio. Vain harvassa paperissa oli edes yritet-ty muodostaa pinta-alan lauseketta. Tehtävä ei voinut tulla yllätyksenä, sillä samantyyppisiä ääriar-votehtäviä esiintyy runsaasti oppikirjoissa ja ylioppi-laskirjoituksissa. Siihen nähden perin laiha pistesaa-lis oli pettymys.

11. Radioaktiivisen näytteen aktiivisuudeksi mitattiin 25,0 kBq ja viisi vuorokautta myöhemmin 16,2 kBq. Laske puoliintumisaika ja näytteen aktiivisuus kymmenen vuorokautta ennen ensimmäistä mittausta. Radioaktiivisuus vähenee eksponentiaalisesti, ja puoliintumisaika on aika, jonka kuluessa aktiivisuus vähenee puoleen.

11. Eksponenttifunktio. Radioaktiivisuuden vuorokautiselle vähenemisker-toimelle q pätee 525,0 16,2q , (2 p.), josta

516,2

0,9168852825,0

q , (+1 p.). Puoliintu-

misajalle n vrk pätee 0,5nq , josta

ln 0,5ln ln 0,5 7,988 8

lnn q n

q, (+2 p.).

Kymmenen vrk aiempi radioaktiivisuus x kBq to-teuttaa yhtälön 10 25,0xq , josta

10

25,059,5374 59,5x

q, (+1 p.).

Yli puolet kokelaista pelkäsi radioaktiivisuutta. Pelkäämättömistä taas yli puolet joutui nollan pis-teen laskeumaan, vaikka kyseessä oli tyyppitehtävä. Joka neljännellä yrittäjällä oli kuitenkin täysiarvoi-nen suoritus. Keskiarvo 2,20 oli turhan alhainen.

Linearisointipuolue valtasi jälleen kerran enem-mistön pisteettömien ryhmän paikoista. Pisteitä keräävät pystyivät yleensä muodostamaan oikean alkuyhtälön joko q:lle tai puoliintumiseksponentille x (25 0,5x=16,2). Jotkut sotkeentuivat laskutoimi-tuksiin väittämällä, että 5 25,0 16,2q tms.

Näytteen aiemman aktiivisuuden mittausta ei näemmä ollutkaan helppo mallintaa, koska siinä sattui lukuisia lipsahduksia. Kyllä näin tavanomai-sen tehtävän pitäisi mennä paremmin.

3D i m e n s i o 6/2011


12. Havaintopisteestä A nähtiin trombi merellä suunnassa 133,8° ja havaintopisteestä B sama trombi suunnassa 205,0°. Suunnat on ilmoi-tettu pohjoissuunnasta lähtien myötäpäivään. Pisteiden A ja B koordinaatit ovat (6 670 801, 2 549 572) ja (6 670 015, 2 554 955) koordi-naatistossa, jonka x-akseli suuntautuu pohjoi-seen ja y-akseli itään ja jonka yksikkönä on metri. Laske trombin sijainnin koordinaatit.

12. Analyyttista geometriaa. Vaihdetaan laskun ajaksi kartan x- ja y-akselit.Uudessa koordinaatistossa on

( , ) (2549572,6670801)A AA x y ja ( , ) (2554955,6670015)B BB x y sekä trombi pis-

teessä ( , )P PP x y . Pisteiden A ja P kautta kulkevan

suoran suuntakulma on (133,8 90 ) 43,8o o o ja kulmakerroin tan( 43,8 ) 0,958965522o

Ak .Vastaavasti saadaan, että pisteiden B ja P kautta kulkevan suoran suuntakulma on 65o ja vastaava kulmakerroin tan 65 2,144506922o

Bk , (3 p.).

Suoran AP yhtälö on ( )A A Ay y k x x ja suoran BP yhtälö ( )B B By y k x x , (+1 p.). Ratkaisemalla yhtälöpari saadaan

2553545A B A A B BP

B A

y y k x k xx x

k k ja

( ) 6666991P A A P Ay y y k x x . Vaihtamalla x-ja y-koordinaatit saadaan trombin sijainniksi alkuperäi-sessä koordinaatistossa (6666991, 2553545), (+2 p.)

Trombi ei kuulostanut houkuttelevalta ja niinpä siitä tuli sarjan toiseksi epäsuosituin, vain joka kymmenes kokelas lähti paikallistamaan sitä. Teh-tävä oli periaatteessa yksinkertainen, mutta oudosta koordinaatistosta ja moninumeroisista koordinaa-teista varmaan johtui, että yli puolet havainnoijista jäi vaille ansiota. Muillekaan ei paljon kertynyt.

Täysiarvoisia suorituksia oli vain 61. Niinpä kes-kiarvo 1,01 oli sarjan kolmanneksi alhaisin.

Tyyppisuorituksessa oli piirretty apukuvio, johon oli merkitty trombin sijaintipiste ja laskettu kuviosta pari kulmaa pääsemättä sen pitemmälle. Jotkut olivat yrit-täneet ratkaista asiaa graafisesti kuviosta saaden yhden tai kaksi hajapistettä. Välimuotona oli arvattu trombin toinen koordinaatti ja laskettu sen avulla toinen. Suo-rien leikkauspisteen lisäksi oli mallina käytetty tri-gonometrian avulla kolmion geometriaa. Perustelujen niukkuus leimasi lähes kaikkia suorituksia.

13. Aritmeettisen jonon ensimmäinen termi on 10 ja toinen termi 12. Geometrisen jonon ensim-mäinen termi on 2 ja suhdeluku q = 21/20. Monennestako termistä lähtien geometrisen jonon termi on suurempi kuin vastaava aritmeettisen jonon termi? Muodosta tarvittava epäyhtälö ja etsi sille ratkaisu kokeilemalla.

13. Jonoista. Aritmeettisessa jonossa termien erotus d on aina sama, joten 12 10 2d , (1 p.). Jonon n. termi on 10 2( 1) 8 2 , 1,2,...na n n n ,(+1 p.).

Geometrisen jonon n. termi 1212( ) , 1,2,...

20n

nb n ,

(+2 p.). On määrättävä pienin luku n, jolle 1 121

2( ) 8 2 1,05 4 020

n nn nb a n n ,

(+1 p.). Koska arvolla n=95 on 941,05 95 4 0,8717 0 ja arvolla n=96 on 951,05 96 4 3,0346 0 , niin pienin luku n=96.

Tehtävä houkutti vain runsasta puolta kokelaista, mutta heidän valintansa oli yleensä onnistunut. Kuusi oli yleisin pistemäärä ja nollaan jäi vain joka kahdeksastoista yrittäjä. Niinpä keskiarvo nousi siedettävään arvoon 4,07.

Tyyppisuorituksessa oli otettu selvää kummankin jonon yleisen termin muodosta ja sitten laskettu taulukkoon kummankin jonon termien arvoja kun-nes oli päästy haluttuun tilanteeseen. Yleisten ter-mien muodostusperustelut olivat yleensä niukat tai olemattomat. Useasti yleisten termien lausekkeita ei ollut edes kirjoitettu näkyviin, oli vain niiden arvoja taulukossa. Sulkumerkkien vastustamisyhdistyksenjäsenet kirjoittivat yhdistyksen sääntöjen mukaisesti

2021

21n

nb . Fanaattisimmat jatkoivat tästä ikään

40 D i m e n s i o 6/2011


kuin lauseke olisi oikea – ja kärsivät vakaumukses-taan. Löytyi myös uusi uskonlahko, joka oli vakuut-tunut siitä, että vastaus on kätketty negatiivisten lukujen n joukkoon. Jotkut kirjoittivat yleiset termit

siirretyllä indeksillä, 1na a nd ja21

2( )20

nnb .

Pari kokelasta, joilla oli oikea bn:n lauseke, käytti

laskuissa tosiasiallisesti lauseketta 21

2( ) 120

nnb ;

varmaankin laskimen käyttövirhe.

14. a) Säätiöllä on 1,8 miljoonan euron pääoma, jon-ka vuosittainen tuotto on 5,4 prosenttia. Eräänä vuonna säätiö on päättänyt siirtää tuotosta 30 prosenttia pääomaan ja jakaa lopusta tuotosta kaksi 21 000 euron suuruista apurahaa opiskeluun ulkomailla sekä 14 yhtä suurta matka-apurahaa. Kuinka suuria matka-apurahat ovat?

b) Kuinka suureksi säätiön 1,8 miljoonan euron pääoma kasvaa viidessä vuodessa, jos tuotto on jokaisena vuotena 5,4 prosenttia pääomasta ja vuosittain pääomaan siirretään 30 prosenttia tuotosta?

14. Talousmatematiikkaa. a) Pääoman tuotto on 0,054 1,8 106 = 97200 euroa, (1 p.). Siitä siirretään pääomaan 0,3 97200 = 29160 euroa ja jaetaan 42 000 euroa opiskelustipendeinä, (+1 p.). Matkastipendeihin jää 97200 – 29160 – 42000 = 26 040 euroa. Yhden stipendin suuruudek-si tulee 26000/14=1860 euroa, (+1 p.)

b) Tuotosta siirretään pääomaan joka vuosi 0,3 5,40 % =1,62 %. Pääoma on ensimmäisen vuo-den lopussa 1,0162 1,8 106, (1 p.) ja viidennen vuo-den lopussa 1,01625 1,8 106 1,950601 106, (+1 p.).

Vastaus. a) 1860 euroa, b) 1,95 miljoonaan euroon.

Neljäsosa kokelaista ei lähtenyt kirjoittamaan stipen-dihakemusta. He tekivät ehkä virhevalinnan, sillä tehtävässä jaettiin runsaasti pistestipendejä. Yli 40 prosenttia anojista sai täydet pisteet ja vain joka 17. anomus hylättiin kokonaan. Niinpä keskimääräiseksi pistestipendiksi tuli 4,33, mikä jäi äärimmäisen niukasti kolmanneksi kilpailussa korkeimmista keskiarvoista.

a)-kohta osattiin lähes poikkeuksetta. Muutama saituri siirsi pääomaan peräti 70 prosenttia ja jotkut

peukaloivat stipendien kokoa kirjoittamalla miljoo-naan joko liikaa tai liian vähän nollia.

b)-kohta meni myös useimmilta hyvin, mutta vir-heitä oli enemmän kuin a)-kohdassa. Yllä olevaa käsit-telytapaa ei juuri näkynyt. Tyyppisuorituksessa lasket-tiin pääoman kasvua vuosi kerrallaan, mikä tietysti lisäsi laskuvirheiden todennäköisyyttä. Pessimistit eivät laskenut korkoa korolle vaan tyytyivät vakion suurui-seen vuosilisäykseen. Joukossa oli myös Roope Ankko-ja jotka kasvattivat ties millä keinoilla pääomaa yli kaikkien rajojen. Suurimmat näkemäni rahasäiliöt sisälsivät toinen 18000004860 euroa ja toinen 1800000 291605 euroa. Suomella ja EU:lla olisi käyttöä heidän taidoilleen Kreikasta puhumattakaan.

15. Laske avaruuden kulman BAC suuruus asteen tarkkuudella, kun A = (1,2,3),B = (4,5,6) ja C = (9,8,7).

15. Vektorilaskentaa. Vektori 3 3 3AB i j k ja vektori

8 6 4AC i j k , (1 p.). Pituudet ovat 3 3AB

ja 2 29AC , (+1 p.). Pistetulo ACAB

54436383 (+1 p.). Kulmalle BAC

pätee87

9

29233

54cos

ACAB

ACAB

,964901,0 (+2 p.), joten 15,23o . Vastaus: 15o.

Tämän uusimman syventävän kurssin suosio pysyy edelleen vähäisenä. Tänä keväänä vektoritehtävä oli sarjan epäsuosituin. Sen valitsi vain 891 kokelasta. Valitettavasti ylivoimaisesti yleisin pistemäärä oli nolla. Täysin oikeita oli 138 ja keskiarvo jäi lukuun 1,52. Tehtävän olisi pitänyt olla vain suupala pitkän kurssin lukeneille 1415 loikkarille. Siitä huolimatta heistä vain 151 valitsi tehtävän. Heidän tuloksensa ei edes ollut kehuttava, puolet jäi nollille ja vain 32 sai täydet pisteet. Loikkareiden keskiarvo oli 2,03. Ilmei-sesti he olivat loikanneet myös vektorikurssista.

Itse näin vain muutaman suorituksen, jotka ja-kaantuivat lähes poikkeuksetta täysin vääriin tai täysin oikeisiin. Virheistä voisi mainita väärät vek-torit, väärä piste kulman kärkenä ja lisäksi laskuvir-heet. Muutama oli yrittänyt ratkaista tehtävää vek-toreitta, mutta huonolla menestyksellä.

41D i m e n s i o 6/2011

Fysiikan koe ylioppilastutkinnossa keväällä 2011

juKKa vaLjaKKa , Ylioppilastutkintolautakunta


Fysiikan kokeen keväisin kirjoittavien määrä näyt-tää vakiintuneen reiluun viitteen tuhanteen. Keväällä 2011 osallistujia oli 5 100, edellisenä

keväänä 5 019. Miesten ja naisten osuudet säilyivät lähes ennallaan, samoin ylimääräisenä ja pakollisena kirjoittavien suhde. Pisteiden keskiarvo nousi edelli-sestä keväästä ja oli nyt 28,00. Kuvassa 1 on fysiikan kokeen pistejakauma. Hyväksymisraja nousi 13 pis-teeseen. Muutkin pisterajat nousivat, kuten nähdään

taulukosta 1. Laudaturin pisteraja nousi 45 pisteeseen. Koe oli siis liiankin helppo, sillä tavoite läpipääsyraja on 12 ja laudaturin raja 42-43 pistettä. Koe oli oikeastaan tasapaksu, siitä puuttui selkeä vaikeusgradientti.

Kuvassa 2 on esitetty fysiikan tehtävien vastaus-määrät ja vastauksista saatujen pisteiden määrät. Kuvassa 3 on vastaavasti eri pistemäärien prosentti-osuudet. Taulukkomuodossa tehtäväkohtaiset tilastot löytyvät taulukosta 2.

Kevät 08Arvosana I A B C M E LPisteraja 10 15 20 27 34 43

Osuus, % 4,09 13,05 18,87 24,43 19,19 15,52 4,86


Osuus, % 4,48 12,16 21,17 21,93 19,74 15,16 5,37


Osuus, % 4,58 12,09 21,18 24,13 18,37 14,74 4,9


Osuus, % 5,51 11,10 22,02 23,67 18,39 14,33 4,98

Taulukko 1. Fysiikan kokeen arvosanarajat ja arvosanojen prosenttiosuudet.

Kuva 1. Fysiikan kokeen pistejakauma.

020406080100120140160180200

1 4 7 10 13 16 19 22 25 28 31 34 37 40 43 46 49 52

Pistemäärä

Luku

määrä

42 D i m e n s i o 6/2011


Tehtävä: 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13

Pistettä lkm lkm lkm lkm lkm lkm lkm lkm lkm lkm lkm lkm lkm

0 21 3 216 24 591 524 412 252 283 615 43 182 84

1 121 9 263 143 418 325 564 244 360 295 82 158 287

2 500 51 279 731 551 345 540 188 342 105 164 123 417

3 915 166 364 354 609 297 389 179 298 36 211 110 417

4 1008 464 853 580 602 150 376 220 300 37 325 86 303

5 904 1297 1478 943 702 373 330 349 323 54 252 79 149

6 635 2366 654 816 757 410 354 271 250 12 376 88 84

7 105 44

8 81 40

9 36 10

Vastauksia yht.: 4104 4356 4107 3591 4230 2424 2965 1703 2156 1154 1453 1048 1835

Pistekeskiarvo: 3,95 5,31 4,05 4,07 3,26 2,82 2,73 3,18 2,90 0,96 4,03 3,54 3,03

Keskihajonta: 1,38 0,93 1,67 1,60 2,03 2,19 1,94 2,09 1,94 1,43 1,67 2,81 1,81

Vastaus-% 91,18 96,78 91,25 79,78 93,98 53,85 65,87 37,84 47,90 25,64 32,28 23,28 40,77

Taulukko 2. Fysiikan kokeen tehtäväkohtaiset pistejakaumat.

Kuva 2. Fysiikan kokeen tehtäväkohtaiset pisteiden lukumäärät.

0500100015002000250030003500400045005000

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13

Tehtävä

Vastauksia

9

8

7

6

5

4

3

2

1

00

500100015002000250030003500400045005000

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13

Tehtävä

Vastauksia

9

8

7

6

5

4

3

2

1

0

0500100015002000250030003500400045005000

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13

Tehtävä

Vastauksia

9

8

7

6

5

4

3

2

1

0

Kuva 3. Tehtäväkohtaisten pisteiden prosenttiosuuudet.

0 %

20 %

40 %

60 %

80 %

100 %

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9

0 %

20 %

40 %

60 %

80 %

100 %

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9

43D i m e n s i o 6/2011


Tehtävä 1.Alla on lueteltu joukko kappaleita ja kokoelma pituu-den suuruusluokkia. Valitse kappaleille oikea suu-ruusluokka. Anna vastauksena numeron ja kirjaimen yhdistelmät, joissa kirjain vastaa kappaleen oikeaa suuruusluokkaa.

1. atomin ydin A. 10-18 m2. tiikeri B. 10-15 m3. Aurinko C. 10-12 m4. veren punasolu D. 10-10 m5. Maa E. 10-5 m6. vesimolekyyli F. 10-3 m

G. 100 mH. 103 mI. 105 mJ. 107 mK. 109 mL. 1011 m

Tehtävää laadittaessa pyrittiin siihen, että suuruus-luokkien väli on riittävä sekaannusten välttämiseksi. Silti yllättävän paljon vastauksissa oli virheitä. Monia suuruusluokkia olisi voinut tarkistaa taulukkokirjas-ta. Tulosten valossa tehtävä oli selvästi kakkostehtä-vää vaikeampi. Pisteet jakautuivat varsin tasaisesti, kolmen, neljän ja viiden pisteen vastauksia oli kuta-kin yli 20 %.

Tehtävä 2.Pallo heitettiin suoraan ylöspäin ja tapahtuma kuvat-tiin videolle. Videolta mitattiin pallon paikka ajan funktiona. Mittauksessa saatiin oheisen taulukon mu-kaiset tulokset

Aika (s) 0,00 0,12 0,24 0,36 0,48 0,60

Paikka (m) 0,00 0,26 0,38 0,37 0,19 –0,09

a) Piirrä pallon paikka ajan funktiona. (3 p.)b) Arvioi kuvaajan perusteella milloin pallo on

lakipisteessä ja kuinka korkealla pallo käy (2 p.)c) Arvioi kuvaajan perusteella, millä hetkellä pallo

on takaisin lähtökorkeudellaan. (1 p.)

Sarjan suosituin ja helpoin tehtävä. Yli puolet vas-taajista sai 6 pistettä ja keskiarvo oli 5,31. En muis-ta, että olisimme aikaisemmin onnistuneet laatimaan näin helppoa tehtävää. Vastauksien puutteet olivat tyypillisiä graafisille esityksille, suureet tai yksiköt puuttuivat, akselit, skaalat tai mittauspisteet merkit-ty huonosti jne.

Tehtävä 3.Lyijykuula, jonka massa on 9,30 g, on raskaan alasimen päällä. Kuulaa lyödään pajavasaralla, jolloin se litistyy ja lämpenee. Vasara pysähtyy litistyneen kuulan päälle.a) Mistä kuulan lämpeneminen johtuu? (2 p.)b) Kuinka paljon kuulan lämpötila hetkellisesti

nousee yhdellä iskulla? Vasaran massa 1,2 kg ja sen nopeus ennen kuulaan osumista on 5,3 m/s. Oletetaan, että iskun vaikutus ilmenee vain kuulan lämpötilan nousuna. (4 p.)

Myös tämä kuului sarjan helppoihin suosikkeihin, vas-tausprosentti yli 90 ja keskiarvo yli 4.

Tehtävän pistejako a 2, b 4 ei mennyt ihan vaikeus-tason mukaisesti. B-kohdan lasku on suoraviivainen, koska tarvittavat oletukset on tehty tehtävänannossa.

Tehtävä 4.Vesialtaassa etenee tasoaaltoja, joiden taajuus on 7,1 Hz. Aallot kohtaavat veden alle jäävän, allasta madalta-van esteen, jonka reuna on aaltojen kannalta rajapinta. Ennen estettä vesiaaltojen aallonpituus on 3,2 cm ja es-teen päällä aallonpituus on 2,6 cm. Esteen reuna on suo-ra ja 60° kulmassa aaltojen etenemissuuntaan nähden.a) Kuinka suuri on vesiaaltojen nopeus ennen

estettä?b) Kuinka suuri on vesiaaltojen taajuus ja nopeus

esteen päällä?c) Laske vesiaaltojen taitekulma rajapinnassa.

Tätäkin tehtä-vää osattiin hyvin. Keskiarvo oli yli 4 pistettä. Vastauksen antoi noin 80 % kir-joittajista. Eniten virheitä aiheutui siitä, ettei muistet-tu tulo- ja taittumiskulmien olevan mitattu taittumis-laissa rajapinnan normaalista.

Tehtävä 5.Urheiluharjoituksissa kilpaillaan voimistelupatjan liu’uttamisessa hyppäämällä vauhdilla sen päälle. Poika, jonka massa on 29 kg, hyppää patjalle vaaka-suoralla nopeudella 5,0 m/s, jolloin patja ja poika liu-kuvat yhdessä 1,3 m. Laske patjan ja lattian välinen liukukitkakerroin, kun patjan massa on 21 kg.

Fysiikan kokeen tehtäväkohtainen tarkastelu

44 D i m e n s i o 6/2011


Klassinen tehtävä uudella kehyskertomuksella. Ensin kimmoton törmäys, jossa liikemäärä säilyy ja sitten liukuminen, jossa voi soveltaa energiaperiaatetta. Jälkimmäinen osa osattiin hyvin mutta liikemäärän säilyminen unohtui usein. Sarjan toiseksi suosituin tehtävä heti kakkostehtävän jälkeen. Keskiarvo jäi 3,26 pisteeseen.

Tehtävä 6.Tasapaksu lankku asetetaan nojaamaan liukasta sei-nää vasten. Lankun ja lattian välinen kitkakerroin on 0,42. Kuinka suureen kulmaan lankku voidaan kor-keintaan asettaa seinään nähden, jotta lankku ei lähde liukumaan?

Tämän tehtävän ruot-sinkielisessä versiossa oli virhe. Kitkakerroin oli siinä lankun ja seinän välillä. Tehtävä muut-tuu hankalammaksi, ei-kä tilanne ole yhtä selvä kuin suomenkielisessä statiikan perustehtäväs-sä. Luonnollisesti ruot-sinkieliset kokelaat valitsivat muita tehtäviä. Vaikka tämän kaltainen statiikan tehtävä on varmasti käyty läpi kaikissa kouluissa ja kirjoissa ei tehtävä mennyt kovin hyvin. Keskiarvopisteet 2,82.

Tehtävä 7.Sähköankerias (Electrophorus electricus) pystyy an-tamaan saaliilleen lamaannuttavia sähköiskuja. Sähkö tuotetaan erityisten sähköelinten avulla, jotka koos-tuvat suuresta joukosta sähkösoluja. Kukin solu voi luoda 0,15 V lähdejännitteen ja solun sisäinen resis-tanssi on 0,25 Ω. Sähköelimessä on rinnankytketty-nä 140 riviä sähkösoluja ja kussakin rivissä on 5 000 sähkösolua sarjaankytkettynä. Ankerias saa aikaan sähkövirran ympäröivään veteen, jonka resistanssi on 800 Ω muodostuvassa virtapiirissä.a) Piirrä periaatteellinen kytkentäkaavio.b) Kuinka suuren maksimivirran ankerias voi

aiheuttaa veteen?c) Kuinka suuri virta kulkee tällöin yhden

sähkösolun läpi?

Jännitelähteiden kytkentä biologiaan liittyvällä kehys-kertomuksella. Tehtävään vastasi 65 % osallistujista. Pisteiden keskiarvo jäi 2,73:een, joten tätä varsin yksin-kertaista virtapiiritehtävää osattiin varsin huonosti.

Tehtävä 8.Neliön muotoinen johdinsilmukka, jonka sivun pi-tuus on 25 cm ja resistanssi 1,25 Ω, liikkuu vakiono-peudella 0,20 m/s kuvan mukaisesti homogeenisen magneettikentän poikki. Magneettikentän magneetti-vuon tiheys on 15 mT. Esitä graafisesti sil-mukassa kulkeva virta ajan funktiona.

Induktiotehtävä oli kerrankin niin helppo, että keskiarvo nousi yli kolmen pisteen. Mutta suosittu se ei ollut, vain 38 % kokelaista vastasi tehtävään. Kun tämä on yksi ylei-simpiä induktiotehtäviä olisin kyllä odottanut parem-paakin tulosta. Kovin monessa graafisessa esityksessä näkyi muuttuva virta, vaikka silmukka liikkuu vakio-nopeudella ja kenttä on homogeeninen.

Tehtävä 9.a) Mitä β+-hajoamisessa tapahtuu? Kirjoita 22Na:n

hajoamisen reaktioyhtälö.b) Yleensä β+-hiukkanen häviää nopeasti. Mitä sille

tapahtuu? Kirjoita reaktioyhtälö.c) Elektronisieppaus kilpailee β+ - hajoamisen

kanssa. Mitä elektronisieppauksessa tapahtuu? Kirjoita 127Xe:n hajoamisen reaktioyhtälö.

Tämän tehtävän taisivat ruotsinkieliset kokelaat usein valita kuudennen tehtävän sijasta. He osasivatkin tä-män hiukan paremmin kuin suomenkieliset. Kaiken kaikkiaan keskiarvo jäi alle kolmen ja vastausprosent-ti alle 50. Odotusten mukaisesti elektronisieppaus oli hankala. Monessa vastauksessa elektroni siepattiin naapuriatomilta.

Tehtävä 10.Oheiset kuvat esittävät perinteistä oven-sulkijaa. Punnus on ripustettu naruun, joka on kiinnitetty kahden väkipyö-rän kautta oven yläreunaan. Oven leve-ys on 1,0 m ja hitausmomentti saran-oiden kautta kulkevan akselin suhteen on 11 kgm2. Kuinka suurella nopeudel-la oven ulkoreuna törmää karmiin, kun se päästetään sulkeutumaan 90° kulmasta? Punnuksen massa on 1,1 kg ja vastusvoimat aiheuttavat keskimäärin 1,5 Nm liikettä vastus-tavan momentin.

45D i m e n s i o 6/2011


Taas kerran vähän vaikeampi mekaniikan tehtävä osoittautui suurimmalle osalle vastaajista ylivoimai-seksi. Vain 12 kokelasta osasi tehtävän kuuden pis-teen arvoisesti. Energiaperiaatteen avulla tehtävä menee varsin näppärästi. Vastausprosentti toiseksi alhaisin, alle 26 %.

Tehtävä 11.Ihmisen sydämen oikea kammio pumppaa verta pie-neen verenkiertoon ja vasen isoon verenkiertoon. Kammioiden toimintaa voidaan verrata yksinkertai-sen mäntäpumpun toimintaan (kuva).

a) Osoita, että mäntäpumpun siirtäessä nestettä tilavuuden ∆V, niin mäntään kohdistuva voima tekee työn p∆V, jossa p on nesteen paine.

b) Kuinka suuren työn sydän tekee yhden syklin aikana, kun vasemman kammion supistuksessa verta siirtyy 70 ml ja verenpaine supistuksen aikana (systolinen paine) on 120 mmHg? Oikean kammion työ on kuudesosa vasemman kammion tekemästä työstä.

c) Kuinka suuri on sydämen keskimääräinen teho, kun syke on 76 min-1?

Virtausmekaniikka ei kuulu lukiokursseihin. Tästä syystä tehtävän a-kohdassa pyydetään johtamaan työn lauseke, joka on kyllä tuttu kaasusysteemeistä. Tämä oli loppupään tehtäväksi helppo, keskiarvo oli yli 4. Erityisesti tämän tehtävän kohdalla kiinnitti huomiota se kuinka huono käsitys ihmisillä on usein suuruusluo-kista. Jos sydämen teho olisi kilowatteja, ei kyllä ros-karuokakaan lihottaisi.

Tehtävä +12.Elektronin varauksen ja massan suhde e/m voidaan määrittää kuvan esittämällä laitteella. Keskellä sijait-sevan lasikuvun sisällä on pienipaineista heliumkaa-sua sekä elektronitykki, joka kiihdyttää elektroneja sähkökentän avulla. Elektronisuihku osuu heliuma-tomeihin, jotka virittyvät. Tällöin suihkun rata nä-kyy putken sisällä vihreänä juovana. Kuvun ympärillä olevilla käämeillä saadaan aikaan elektronisuihkuun nähden kohtisuora homogeeninen magneettikenttä. Elektronit asettuvat magneettikentässä ympyräradal-le. Taulukossa on eri kiihdytysjännitteillä ja magneet-tivuon tiheyksillä mitattuja radan säteitä.

U (V) B (mT) r (cm)

111 0,94 3,8

140 0,94 4,2

171 0,94 4,6

220 1,48 3,4

261 1,48 3,7

296 1,48 3,9

a) Miksi elektronisuihku asettuu ympyrä-radalle? (2 p.)

b) Miten elektronisuihkun rata muuttuu kun kiihdytysjännitettä kasvatetaan ja magneettivuon tiheys pidetään vakiona? Perustele. (2 p.)

c) Määritä sopivaa graafista esitystä käyttäen elektronin varauksen ja massan suhde. (5 p.)

Klassinen oppilastyö yliopistoissa ja ammattikorkeakou-luissa. Sarjan epäsuosituin tehtävä. c)-kohta osoittautui hankalaksi. 36 vastaajaa sai yhdeksän pistettä.

Tehtävä +13.Euroopan unionissa on päätetty luopua asteittain hehkulamppujen käytöstä valaistuksessa. Aluksi heh-kulamput korvataan useimmiten pienoisloisteputkil-la, mutta tulevaisuudessa yleisimmät valolähteet lie-nevät LED-lamppuja.a) Miksi hehkulampuista ollaan luopumassa? (1 p.)b) Mitä haittapuolia pienoisloisteputkissa on

verrattuna LED-lamppuihin? (2 p.)c) Miten valo syntyy hehkulampussa,

pienoisloisteputkessa ja LED-lampussa? (6 p.)

Paljon suositumpi kuin edellinen jokeri, mutta meni huonommin. a)- ja b)-kohtiin vastattiin kohtuulli-sesti, mutta lamppujen toimintaa ei tunnettu.

Ensin laskimet sitten tietokoneetEnsi keväänä saa fysiikan kokeessa käyttää aikai-sempaa monipuolisempia laskimia uudistuneen las-kinohjeen mukaisesti. Muuttuuko fysiikan koe? En näe tarvetta kokeen muuttamiselle. Vastauksista tulee edelleen ilmetä miten lopputulokseen on pää-dytty.

Tietokoneetkin ovat tulossa ennemmin tai myö-hemmin ylioppilaskokeisiin. Siinä vaiheessa tehtä-vät kyllä välttämättä muuttuvat. Tässä vaiheessa voi käydä niin, että testataan jotain muuta kuin fysiikan osaamista.

4 D i m e n s i o 6/2011

Texas

1/1 sivunilmoitus

Texas InstrumentsTeknologiaa lukuvuoteen 2011-2012

UUSI TI-NspireTM CX CASon lukion pitkän matematiikan opiskelijan ykkösvalinta symboliseksi graafiseksi laskimeksi. Tämä laskin on sallittu YO-kirjoituksissa vuo-den 2012 alusta alkaen.

TI-Nspire CX CAS -laskimen vahvuuksia ovat

TI-Nspire CX CAS -opettajapaketti(laskin+opeohjelma) 75 €Lähetä tilauksesi sähköpostitse osoitteeseen: [email protected] (tarjous voimassa 30.12.2011)

UUSI TI-30X Pro MultiViewTM

YO-kokeen uuden laskinohjeen myötä myös tarkkoja-arvoja tulok-seksi antavat funktiolaskimet ovat sallittuja vuoden 2012 alusta al-

parhain valinta lukion lyhyen matematiikan opiskelijan laskimeksi.

TI-30X Pro MultiView -funktiolaskimen vahvuuksia:

-

30 -päivän kokeiluversio: www.laskentavaline.fi

© 2011 Texas Instruments

Lisätiedot ja tilaukset:Laskentaväline Oy, p. 09 388 1912

TI-NspireTM CX CAS laskimen tarkka taustavalaistu värinäyttö soveltuu vaikka valokuvien sisältämän mate-matiikan tutkimiseen.

TI-30X Pro MultiViewTM -laskimen iso ja tarkka näyttö selkeyttää funktiolas-kimella työskentelyä.

education.ti.com/suomi

Kemian koe ylioppilastutkinnossa keväällä 2011

Marja Montonen

Reaaliaineiden koe on toimeenpantu keväästä 2006 lähtien. Terveystieto tuli mukaan keväällä 2007. Ylioppilastutkinnon hajauttaminen kah-

delle tutkintokerralle vaikeuttaa eri aineiden osallistu-jamäärien vertailua, mutta vuosittainen suorittajamäärä voidaan arvioida laskemalla yhteen saman lukuvuoden syksyn ja kevään varsinaiset kokelaat (ensimmäistä ker-taa kokeeseen osallistujat). Oheisesta kuvasta (Kuva 1) ilmenee eri aineiden osallistujamäärien muuttuminen syksystä 2007 lähtien. Kemian kokeessa hajauttajien määrä näyttää kasvavan vuosi vuodelta, mutta on pie-nempi kuin muiden aineiden kokeissa, fysiikkaa lukuun ottamatta. Eniten hajautetaan aineita, joissa kurssimää-rä on suhteellisen pieni, kuten terveystiedossa, maan-tieteessä ja katsomusaineissa.

Hallitusohjelmassa on esitetty vaatimus ylioppi-lastutkinnon eri kokeiden vertailtavuuden paran-tamisesta. Kovin haasteellisena pidän tehtävää esi-merkiksi kemian ja terveystiedon kokeiden vertai-lusta. Tämä merkitsisi kriteeripohjaiseen arvioin-tiin siirtymistä, jolloin puolestaan menetetään sa-man aineen kokeen eri koekertojen vertailtavuus. Huomioon ei myöskään ole otettu sitä, että kysymys on kovin erilaisesta vastaajajoukosta ja jatko-opin-tosuunnitelmista. Ongelma eri kokeiden vertailta-vuudesta on paremminkin korkeakoulujen valinta-perusteissa, jos minkä tahansa reaaliaineen paras ar-vosana otetaan huomioon alkupisteissä, kuten jois-sakin korkeakouluissa menetellään.

, Ylioppilastutkintolautakunta


Kuva 1. Reaaliaineiden kokeeseen osallistuneet varsinaiset kokelaat lukuvuosina 2007−2008, 2008−2009, 2009 – 2010 ja 2010 – 2011.

4 D i m e n s i o 6/2011


Kemian koe

Keväällä 2011 kemian kokeeseen osallistuneiden ko-kelaiden määrä 3 620 oli 9,4 % kaikkiin reaaliaineiden kokeisiin osallistuneista (Kuva 2). Määrä on laskenut 0,3 prosenttiyksikköä edellisestä vuodesta. Kevään ko-keessa oli eniten terveystiedon suorittajia (16,4 %). Terveystiedon suosioon vaikuttanee osaltaan suhteel-lisen suppea oppimäärä, jonka pohjalta koe laaditaan. Samana koepäivänä suoritettavien kokeiden vastaa-jamääriin terveystiedon suosio näyttää vaikuttavan eniten maantieteessä ja katsomusaineissa.

Kemian kokeen summapistearvo 24,97 oli tällä ker-taa alempi kuin fysiikassa (28,0). Korkein pistemäärä kemian kokeessa oli 51, ja sen saavutti kaksi kokelas-ta. 50 pisteeseen ylsi viisi kokelasta. Opettajien mu-kaan tehtäväsarja oli vaikeustasoltaan sopiva, ja piste-jakauman perusteella vähintään riittävän erotteleva. Koulujen välillä sekä suoritusten tasossa että määrässä ovat erot kuitenkin edelleen harmillisen suuret.

Pistejakauma (Kuva 3) muodostui likimain sym-metriseksi, kuten yleensäkin keväällä. Syksyn ko-keessa sitä vastoin näyttää mukana olevan suhtees-sa enemmän kokeen uusijoita tai kokeilijoita, jotka tulevat tutustumaan toimintaympäristöön. Tällöin myöskään hylättyjen määrä ei aina noudata tavoite-jakaumaa.

Kuva 2. Reaaliaineiden kokeeseen osallistuneet kaikki kokelaat keväällä 2011.

Kuva 3. Kemian kokeen pistejakauma keväällä 2011 (kaikki kokelaslajit).

Kuva 4. Pakollisen ja ylimääräisen kokeen suorittajat sukupuolen mukaan.

Kemian kokeen pakollisena suoritti 28 % koke-laista, mikä on sama osuus kuin edellisenä kevää-nä. Kemian kokeeseen osallistuvien sukupuolija-kauma näyttää pysyvän vuodesta toiseen lähes sama-na. Miespuolisten kokelaiden osuus kokeessa oli tällä kertaa 56,4 %.

Nais- ja mieskokelaiden menestys kokeessa on mil-tei samantasoista (Kuva 4). Hylätyistä kokeista mies-ten osuus oli miltei 60 %, ja laudaturarvosanan saa-neiden miesten osuus oli 59 %.

4D i m e n s i o 6/2011


Kuva 6. Tehtävistä saadut vastaukset (lkm) ja niistä annetut pisteet sekä pistekeskiarvot (varsinaiset kokelaat).

Laudaturin pisteraja 42 asettui normaa-lille tasolle (Kuva 5), mutta approbaturin raja painui valitettavan alas 9 pisteeseen. Tehtävien laatiminen siten, että heikoimmat-kin suorittajat pääsisivät useammassa tehtä-vässä edes pisteille, tuntuu edelleen haasteel-liselta. Suhteellinen arvostelu tuottaa kuiten-kin kaikissa reaaliaineissa likimain samanlai-sen jakauman.

Tehtäväkohtaiset pistejakautumat (Kuva 6) ovat hartaista pyynnöistä huolimat-ta olleet saatavilla vain varsinaisten kokelai-den suorituksista, mutta ne kuvaavat hyvin suoritusten tasoa, sillä varsinaisia kokelaita oli 76 % kaikista kemian kokeeseen osallistu-neista. Tehtäväsarjan alkupää on pyritty laa-timaan siten, että kokelas voisi osoittaa osaa-mistaan kohtuullisilla perustehtävillä, ja tä-mä näytti tuloksen perusteella onnistuneen. Erityisesti syvällisempää osaamista tai laajoja tietoja edellyttävät jokeritehtävät osoittau-tuivat monille yrittäjille liian vaativiksi.

Kuva 5. Kemian kokeen arvosanarajat (kaikki kokelaslajit) k09 – k11.

50 D i m e n s i o 6/2011


Tehtävä 2.Mahan liikahappoisuutta neutraloidaan hedelmäsuo-lalla, joka sisältää natriumvetykarbonaattia ja sitruu-nahappoa. Kun hedelmäsuolaa liuotetaan veteen, syn-tyy kuplimista, joka johtuu reaktiosta:

3HCO (aq) + C6H8O7(aq) → CO2(g) + H2O(l) + C6H5

-37O (aq)

a) Tasapainota reaktioyhtälö. (2 p.)b) Kuinka monta grammaa hiilidioksidia muodostui,

kun lähtöaineena oli 1,00 g natriumvetykarbonaattia ja 1,00 g sitruunahappoa? (4 p.)

Stoikiometrinen lasku oli sijoitettu sarjaan va-kiopaikalleen. Se oli täl-läkin kertaa suosituim-pien joukossa ja piste-keskiarvoltaan 3,98 kor-kein. Lasku perustui io-nimuodossa annettuun reaktioyhtälöön, eikä sen tasapainottaminen tuottanut normaalia enempää vaikeuksia. Kovin monimutkaiselta tuntuvat ratkaisut, joissa yksinkertaisenkin reaktio-yhtälön kertoimet haetaan muodostamalla laaja yh-tälöryhmä, jota sitten ratkaistaan parin kolmen sivun verran. Ainakin vastausaikaa tällaiseen menettelyyn tuhlataan melkoisesti.

Tehtävän vaikeus piili siinä, että varsin monet vas-taajista eivät huomanneet, että reaktion toisena läh-töaineena oli natriumvetykarbonaatti, eikä reaktioyh-tälössä esiintynyt vetykarbonaatti-ioni. Tällöin vety-karbonaatin ainemäärä saatiin liian suureksi. Virheen seurauksena myös lopputuotteen määrää rajoittava aine vaihtui toiseksi. Arvostelussaan lautakunta kui-tenkin suhtautui tähän virheeseen sangen lempeästi (–1 p.), mikäli käsittely muilta osin oli moitteetonta.

Tehtävä 3.a) Mitä tarkoitetaan käsitteellä isotooppi? (1 p.)b) Hiilellä on kaksi pysyvää isotooppia C12

6 ja C136 .

Miten nämä isotoopit eroavat kemiallisesti ja fysikaalisesti toisistaan? (1 p.)

c) Mihin alkuainetaulukoissa esiintyvä hiilen suhteellinen atomimassa 12,01 perustuu? (2 p.)

d) Hiilellä esiintyy myös pitkäikäinen pysymätön isotooppi C14

6 . Mihin tarkoitukseen tätä isotooppia käytetään? (2 p.)

Kemian tehtäväkohtaiset kommentit

Tehtävä 1.Seuraavassa on lueteltu joitakin arkipäivän kemikaaleja:

A rypsiöljy E lakkabensiini

B ruokasuola F ruokasooda

C talousetikka G polttonestesprii

D taloussokeri H hiilitabletti

a) Mitkä näistä aineista liukenevat veteen?b) Mitkä aineet muodostavat ioneja vesiliuoksissaan?c) Minkä aineiden vesiliuokset ovat happamia?d) Mitä aineita voidaan käyttää lääkinnälliseen

tarkoitukseen? Perustele.e) Mitä aineista voidaan käyttää rasvatahran

puhdistukseen?f ) Minkä aineiden pakkauksessa tulee olla

varoitusmerkkejä ja mitä merkkejä laittaisit?

Pistekeskiarvo 3,67 osoittaa, että kodin kemikaaleja ei tunneta kovin hyvin. Ehkä suurin yksittäinen ongelma oli hiilitabletti, jota ei osattu oikein sijoittaa kemialli-sesti mihinkään yhdisteluokkaan.

Oli hämmästyttävää, kuinka runsaasti erilaisia lää-kinnällisiä käyttökohteita kaikille tehtävän yhdisteil-le pystyttiin keksimään. Lakkabensiinin olisi luullut olevan tässä suhteessa poikkeus, mutta lopulta löy-tyi sillekin ”lääkinnällinen” käyttö: liuottaa erilaisia myrkkyjä iholta. Valitettavasti monessa tapauksessa ehdotukset osoittivat melkoista tietämättömyyttä, oli-vat vähintään kyseenalaisia tai olisivat aiheuttaneet, jos eivät suorastaan potilaan kuoleman, niin ainakin pahoja komplikaatioita. Joissain kohdin heräsi myös epäilys, oliko vastaus esitetty aivan vakavissaan, ku-ten että ”hiilitabletteja tarvitaan ihmisen rakennus-aineeksi” tai ”sydäninfarktipotilaalle laitetaan soke-ripala kielen alle”.

Varoitusmerkeissä oli myös melkoista hajontaa. Vaikka ylioppilaskokeessa suositaankin tiivistä esiin-tymistapaa, ei vastauksia tulisi esittää muodossa E(T,N), G(Xn). Ainakaan suurelle yleisölle tällaisista merkinnöistä ei olisi mitään hyötyä. Jotkut vastaajista olivat sitä mieltä, että on aina parempi varoittaa kuin jättää jotain sanomatta. Tällaisiin varoituksiin kuului-vat esimerkiksi ”ei saa syödä”, ”ei lasten ulottuville”, ”pahanhajuinen” jne.

51D i m e n s i o 6/2011


Vaikka osa kokelaista sekoitti isotoopin allotrooppiin jopa tyyliin ”hiilen isotooppi on graffiti”, selvittiin teh-tävästä keskinkertaisesti (pistekeskiarvo 2,98). Kovin vankkaa asian hallintaa ei osoita se, että kohtiin a, b ja c annetuissa vastauksissa toistettiin täysin sama asia, melkein samoin sanoin esitettynä. Myös itse isotoop-pikäsitteen jotkut osasivat selostaa siten, että lukija ei voinut olla mitenkään varma, tunsiko vastaaja asian oikein. Pistekeskiarvoa laski kuitenkin tavallisimmin se, että isotooppien kemiallisia ominaisuuksia ei vas-tauksissa käsitelty lainkaan. Lisäksi isotoopin C-12 suhteelliselle atomimassalle määritelty arvo 12 jäi usein mainitsematta. Toisaalta C-14 isotoopin käyt-tö radiohiilimääritykseen tunnettiin ainakin jollakin tarkkuudella sangen yleisesti.

Tehtävä 4.Asetoni (propanoni) on teollisuudessa yleisesti käy-tetty liuotin.a) Piirrä asetonin rakennekaava, josta ilmenee

molekyylin muoto, sidosten välisten kulmien suuruus ja mahdolliset atomien vapaat elektroniparit.

b) Onko asetonimolekyyli poolinen vai pooliton? Perustele vastauksesi.

c) Selitä, miksi asetonin kiehumispiste (56,5 °C) on alem-pi kuin 1-propanolin kiehumispiste (97,2 °C), vaikka aineiden moolimassat ovat likimain yhtä suuret.

Asetonin rakenteeseen liittyvien seikkojen kuvaami-nen ei onnistunut kovinkaan hyvin. Pistekeskiarvo jäi alhaiseksi 2,58. Suurempia tai pienempiä puutteita löytyi lähes joka vastauksessa, ja täydet pisteet olivat harvinaisia. Harmillisinta oli tietysti, kun asetonin ase-mesta erehdyttiin kuvaamaan jotain toista molekyyliä, useimmiten etyylimetyylieetteriä. Vaikka itse molekyyli olikin oikea ja sen muotoa oli pyritty piirroksen avulla hahmottamaan, saattoivat kuvaan lisätyt kulmien nu-meeriset arvot olla pahasti väärin. Hämmästyttävän useassa vastauspaperissa kahden atomin (C=O) väli-seksi kulmaksi oli merkitty 180°. Vapaat elektroniparit olivat usein väärin tai puuttuivat kokonaan.

Hiilen ja hapen välisen sidoksen poolisuuden pe-rusteella useimmat vastaajat totesivat asetonimole-kyylin olevan poolinen. Sitä perusteltiin monesti ai-neen hyvällä liukoisuudella veteen. Valitettavasti täs-sä kohdin unohdettiin tarkastella toista poolisuuteen vaikuttavaa tekijää, eli molekyylin muotoa ja vastaus jäi tältä osin vajaaksi.

Asetonin ja propanolin kiehumispisteitä verrattaessa oltiin useimmiten oikeilla jäljillä, vaikka epätarkkuut-

ta molekyylien välisiä sidoksia kuvattaessa esiintyikin. Onneksi ani harva vastaaja enää yhdisti kiehumisen molekyylien sisäisten kovalenttisten sidosten katkeami-seen. Vetysidosten muodostuminen vaikuttaa kemiassa niin moneen aineen ominaisuuteen, että sen esittämi-nen pitäisi sujua mallikkaasti, mieluiten kuvan avulla. Jälleen kerran monet tekstit oli laadittu niin moniselit-teisesti, että niistä ei voinut mitenkään päätellä, mil-laista hapen ja veden välistä sidosta kirjoittaja oikein tarkoitti. Usein virheellinen käsitys sidoksen luonteesta kävi sitten ilmi mukaan liitetystä piirroksesta.

Tehtävä 5.Magnesiumkloridia käytetään moniin eri tarkoituk-siin, muun muassa makean veden akvaarioissa veden kovuuden lisäämiseen. Magnesiumkloridi sisältää ki-devettä, jonka tarkka ainemäärä voidaan määrittää hehkuttamalla suolaa upokkaassa, kunnes kidevesi on haihtunut. Opiskelijan tekemässä määrityksessä mit-taustuloksiksi saatiin:

a) Mistä opiskelija päätteli, että tarvittiin kolme hehkutusta? (1 p.)

b) Laske kideveden ainemäärä näytteessä. (2 p.)c) Mikä oli kidevedellisen magnesiumkloridin

kaava? (1 p.)d) Erään toisen opiskelijan työssä pieni osa

näytteestä oli epähuomiossa roiskahtanut pois upokkaasta hehkutuksen aikana. Miten tämä vaikutti määrityksessä saadun kideveden määrään? Perustele. (2 p.)

Magnesiumkloridin sisältämän kideveden määrän mittaaminen edusti koulukemian kokeellisuutta tyy-pillisimmillään. Tehtävästä suoriuduttiin kuitenkin odotettua huonommin, ja pistekeskiarvo oli 3,58. Jo tarvitun kolmen hehkutuksen määrän perusteleminen tuotti vaikeuksia: Perusteluksi esitettiin muun muassa ”koska magnesiumkloridi sisälsi kolme kidevettä” tai ”koska opettaja käski.”

massa (g)

Upokas 22,347

Näyte + upokas 25,825

Näyte + upokas ensimmäisen hehkutuksen jälkeen 23,982

Näyte + upokas toisen hehkutuksen jälkeen 23,976

Näyte + upokas kolmannen hehkutuksen jälkeen 23,977

52 D i m e n s i o 6/2011


Myös massan kasvaminen 0,001 grammalla toisen hehkutuksen jälkeen sai muutamat vastaajista täysin turhaan spekuloimaan näytteessä tapahtuvista jatko-reaktioista ja niiden vaikutuksesta tulokseen.

Harvoin kemian ylioppilaskokeessa on tarjottu kahta pistettä niin helpolla, kuin tehtävän b)- osas-sa, jossa piti laskea kideveden ainemäärä näytteessä. Tässäkin kohdin, samoin kuin kidevedellisen yhdis-teen kaavaa määritettäessä, onnistuttiin möhlimään yksinkertainen lasku liki kaikin mahdollisin tavoin.

Vastaus kysymykseen, miten näytteestä epähuomi-ossa pois roiskahtanut osa vaikutti lopputulokseen, oli peräti helppo, jos vastaaja ymmärsi, että kideve-den määrä laskettiin suoraan massan vähenemisen perusteella. Laajat spekuloinnit siitä, missä hehku-tuksen vaiheessa hävikki tapahtui, tai kuinka suuri kideveden osuus oli koko näytteestä, eivät johtaneet mihinkään, vaikka loppupäätelmä olisi ollut näennäi-sesti oikea.

Tehtävä 6.Oheisessa kuvassa on esitetty kaksi titrauskäyrää, jot-ka kummatkin on saatu titrattaessa 25,0 ml yksiar-voista happoa 0,10 M NaOH-liuoksella.

a) Kumpi titrauskäyristä esittää vahvan hapon titrausta, kumpi heikon hapon? Perustele. (1 p.)

b) Arvioi kuvaajien avulla ekvivalenttikohdan pH-arvo kummassakin tapauksessa. (1 p.)

c) Miksi titrauskäyrät yhtyvät ekvivalenttikohtien jälkeen? (2 p.)

d) Määritä kuvaajan avulla heikon hapon happovakion arvo. (2 p.)

Tutun näköinen kuvio lienee houkutellut vastamaan, sillä tehtävä osoittautui koko sarjan suosituimmak-si. Keskiarvo jäi kuitenkin vaatimattomaksi 3,01. Perusteluja sille, kumpi kuvan titrauskäyristä esitti heikkoa ja kumpi vahvaa happoa olisi tiukasti arvostel-len voitu melkein aina pitää puutteellisina. Tavallisesti tyydyttiin pelkästään vertaamaan happoliuosten pH-arvoja. Oli selvää, että kuvasta ei voinut lukea tarkko-ja ekvivalenttikohtien pH-arvoja. Tärkeintä kuitenkin oli, että vahvalle hapolle voitiin ilmoittaa arvo pH = 7,0. Tällöin kaikkia tästä poikkeavia lukemia voitiin pitää virheellisinä.

Tehtävän vaikein osio oli heikon hapon happo-vakion määrittäminen. Periaatteessa määritys voi-daan tehdä mistä titrauskäyrän pisteestä tahansa. Tarkin tulos saadaan kohdasta, jossa liuoksen pus-kurivaikutus on suurimmillaan, eli titrauksen puo-livälistä (ns. puoliekvivalenttikohdasta). Tällöin happovakion lausekkeen mukaan pH = pKa, joten myös tarvittavat laskutoimitukset jäävät minimiin. Epätarkin määritystulos saadaan titrauskäyrän koh-dista, joissa liuoksen puskurikapasiteetti on pienim-millään, eli ekvivalenttikohdasta ja puhtaasta hap-poliuoksesta. Useimmat vastaajat osasivat hyvin-kin selittää, miksi titrauskäyrät yhtyvät ekvivalent-tikohdan jälkeen.

Tehtävä 7.a) Osoita, että 115 mg lyijy(II)fluoridia voidaan

liuottaa 0,50 litraan vettä.b) Mihin tilavuuteen saatu liuos on haihdutettava,

jotta PbF2 alkaisi saostua?c) Saostuuko PbF2, kun a-kohdan liuokseen

lisätään 95 mg natriumfluoridia? Ks(PbF2) = 3,3∙10-8 (mol/l)3

Kylläisen lyijy(II)fluoridin liuoksiin liittyvää teh-tävää voi luonnehtia tyypiltään perinteiseksi tasa-painolaskuksi. Tehtävä voitiin ratkaista useammal-la eri tavalla. Se osattiinkin verraten hyvin (piste-keskiarvo 3,54), vaikka tavanomaisia perusvirheitä myös esiintyi, kun liukoisuustulon yhtälöä sovel-lettiin niukkaliukoiselle 1:2 elektrolyytille. Lisäksi liuoksen fluoridi-ionin konsentraation laskeminen tehtävän c)-kohdassa aiheutti jonkin verran ongel-mia. Harmillisin seikka oli kuitenkin se, että monet vastaajat erehtyivät käyttämään tehtävässä lyijyn atomimassan asemesta palladiumin atomimassaa. Tämänkaltaisia vääriä atomimassoja esiintyy turhan usein, vaikka lyijyä voidaan tuskin pitää minään ko-vin harvinaisena alkuaineena.

53D i m e n s i o 6/2011


Tehtävä 8.Kaksiarvoisella hapolla C4H4O4 on kaksi keskenään geometrista isomeeria A ja B. Lisäksi hapolla voi esiintyä isomeeri C. Kuumennettaessa A:sta lohkeaa helposti vettä, jolloin muodostuu yhdiste D. a) Laadi A:n, B:n, C:n ja D:n rakennekaavat. (4 p.)b) Hydrattaessa A:sta ja B:stä saadaan yhdiste E.

Laadi E:n rakennekaava. (1 p.)c) Kun A reagoi metanolin kanssa happokatalyytin

läsnä ollessa (metanolia on ylimäärin), muodostuu yhdiste F. Laadi F:n rakennekaava. (1 p.)

Tehtävä osoittautui melko suosituksi, vaikka tulos jäikin keskinkertaiseksi (pistekeskiarvo 3,08) Aineen geometristen isomeerien rakennekaavat tulisi aina laatia sillä tavalla, että cis− ja trans− isomeerit voi-daan erottaa selvästi toisistaan. Tämä edellyttää ra-kennekaavan esittämistä siten, että keskeiset sidos-kulmat tulevat piirroksessa ainakin karkeasti esille. Korjauksen kannalta olikin ongelmallista, kun kaa-vat oli kirjoitettu niin, että oli mahdotonta päätellä mitään molekyylin geometriasta. Lisäksi epämääräi-siä, usein samaa yhdistettä esittäviä rakennekaavo-ja, jotka erosivat toisistaan ainoastaan karboksyyli-ryhmän hapen ja hydroksyylin keskinäisen sijainnin suhteen, esiintyi usein. Oli myös valitettavan yleistä, että yhdisteen rakennekaavassa vasemmalla oleva karboksyyliryhmä liitettiin hiilirunkoon vetyatomin välityksellä COOH−.

Kaksiarvoisen hapon C4H4O4 isomeerien re-aktioista selvästi tuntemattomin oli veden loh-keaminen cis−dikarboksyylihappoa kuumennet-taessa. Myös diesterin muodostuminen, varmasti pelkkää huolimattomuutta, unohtui usein ja ai-noastaan toinen karboksyyliryhmä esteröitiin me-tanolilla.

Orgaanisten rakennekaavojen esittäminen vii-vakaavana näyttää olevan haasteellista. Toki täl-löin funktionaaliset ryhmät erottuvat paremmin etenkin suuria moniatomisia molekyylejä esitet-täessä, mutta suhteellisen pienten heteroatome-ja ja moninkertaisia sidoksia sisältävien molekyy-lien kohdalla käytäntö aiheuttaa sekaannusta. Esimerkiksi usein tulkitaan metyyliryhmä vety-atomiksi.

Tehtävä 9.Kaasusäiliössä, jonka tilavuus oli 5,0 litraa, oli butaanin ja propaanin seosta. Kaasun paineeksi mitattiin 2,02 bar (202 kPa) 25,0 °C:n lämpötilassa. Kun seos poltettiin täydellisesti, vapautui 1064 kJ lämpöenergiaa.

a) Laske kaasujen mooliprosenttiset osuudet seoksessa, kun butaanin palamislämpö on -2877 kJ/mol ja propaanin palamislämpö on - 2220 kJ/mol. (3 p.)

b) Kuinka suuri tilavuus hiilidioksidia muodostui 25 °C:n lämpötilassa ja normaalipaineessa? (1 p.)

c) Edellä annetut palamislämmöt liittyvät reaktioon, jossa muodostuva vesi on nestemäisessä olomuodossa. Vapautuuko reaktiossa enemmän vai vähemmän energiaa, jos muodostuva vesi on kaasuna? Perustele. (2 p.)

Propaania ja butaania sisältäneen kaasuseoksen koos-tumuksen laskeminen poltossa vapautuneen lämpö-energian perusteella onnistui tavallisesti sangen hyvin (pistekeskiarvo 3,18), vaikka saadun yhtälöryhmän numeerinen ratkaiseminen tuottikin välillä vaikeuk-sia. Myös lopputuloksen järkevyyttä ei aina harkittu loppuun asti. Tällaisiin kuuluivat mm. sellaiset vastuk-set, joissa kaasujen yhteenlasketut osuudet poikkesivat suuresti sadasta prosentista. Negatiiviset ainemäärät, tilavuudet ja lämpötilat kuuluivat samanlaiseen vir-hetyyppiin.

Kun propaanin ja butaanin ainemäärät olivat tie-dossa ja muistettiin ottaa huomioon vastaavat pala-misreaktiot, onnistui kysytyn hiilidioksidin tilavuuden laskeminen helposti. Eräät kuitenkin erehtyivät laske-maan yhteen kaksi palamisreaktiota ja muodostivat hiilidioksidin kertoimen pelkästään tällä perusteella.

Useimmat vastaajat myös ymmärsivät, että neste-mäisen veden muuttaminen kaasuksi vaatii energiaa, joka vähentää reaktiossa vapautuvan energian mää-rää. Perustelut tälle saattoivat kuitenkin olla tarpeet-toman mutkikkaita ja usein myös virheellisiä. Pisteitä ei tästä kohdasta myöskään voinut antaa opiskelijalle, joka kiteytti vastauksensa c) -kohdan kysymykseen ytimekkäästi yhteen sanaan: kyllä.

Tehtävä 10.Ohessa on esitetty osa DNA molekyylistä:a) Millainen on DNA:n rakenne ja millaisia

kemiallisia sidoksia siinä esiintyy?b) Toinen soluissa vaikuttava molekyyli on

RNA. Miten RNA ja DNA eroavat toisistaan rakenteellisesti ja toiminnallisesti?

c) Mikä on nukleotidi ja mistä se koostuu?

Käytä hyväksi oheista kuvaa ja taulukkokirjan tietoja.

DNA-tehtävä kuului ns. integroiviin tehtäviin, jot-ka herättävät aina väittelyä puolesta ja vastaan.

54 D i m e n s i o 6/2011


Integroituja tehtäviä tulee määräysten mu-kaan kuitenkin sisäl-tyä kaikkien reaaliai-neiden ylioppilasko-keisiin. Kun tehtävä on kemian sarjassa, tulee vastauksen pää-paino olla molekyylien kemiallisessa tarkas-telussa. Tarkoitus oli, että vastauksessa oli-si analysoitu tauluk-kokirjasta ja kuvasta löytyviä tietoja, joihin myös tehtävänannos-sa viitattiin.

Tämän tehtävän kohdalla koulukoh-taiset erot vastaaji-

en määrässä olivat kaikkein suurimmat. Suurissakin kouluissa tehtävä saattoi olla koko sarjan suosituin, johon lähes kaikki vastasivat. Tällöin biologiset sei-kat painottuivat vastauksissa selvästi. Toisaalta taas löytyi kouluja, joissa se ei juuri lainkaan houkutellut vastaajia. Tällaisissa tapauksissa vastaukset olivat ta-soltaan usein sangen vaatimattomia. Pistekeskiarvo jäi alhaiseksi 2,73.

Tehtävä +11.Puhtaan veden riittävyys ja vesistöjen saastumisen vähentäminen ovat tulevaisuuden suuria haasteita maapallolla. Veden kulutuksen rajoittamisen ohella tarvitaan vesien tehokasta puhdistamista. Tarkastele millaisia kemiallisia ja biologisia menetelmiä voidaan käyttää juoma- ja talousveden valmistamiseen raaka-vedestä sekä yhdyskuntajätevesien puhdistamiseen.

Vesien puhdistaminen ei näyttänyt kiinnostavan kir-joittajia ja vastaajien määrä oli koko sarjan toisek-si pienin. Olikin ilmeistä, että vesijokeri oli monelle se viimeinen kahdeksas oljenkorsitehtävä, johon piti vanhasta muistista edes yrittää jonkinlaista vastaus-ta. Tuotokset olivatkin keskimäärin varsin surkeita. Pistekeskiarvo jäi sarjan pienimmäksi 1,68. Vastauksia lukiessa tuli usein mieleen, oliko kokelas aivan tosis-saan. Esityksiä, joissa asiaa olisi jäsennelty ja tarkas-teltu systemaattisesti, erottaen oleelliset ja epäoleel-liset seikat, ei juurikaan esiintynyt. Monesti näkökul-ma oli myös sangen kapea ja aivan jotain muuta kuin kemiallinen.

Tehtävä +12.a) Veteen liuotetaan yhtä suuret ainemäärät

ammoniakkia ja ammoniumkloridia ja liuos laimennetaan tilavuuteen 1,00 litraa lämpötilassa 25 °C? Mikä on saadun puskuriliuoksen pH? (3 p.)

b) Kohdassa a) valmistettuun liuokseen johdetaan 10,0 millimoolia HCl-kaasua. Kuinka suuria tulee ammoniakin ja ammoniumkloridin konsentraatioiden olla, kun pH saa muuttua enintään 0,10 pH-yksikköä? (4 p.)

c) Puskuriliuos b-kohdassa voidaan valmistaa myös ammoniakista ja suolahaposta. Miten menettelet, kun käytössäsi on 1,00 M ammoniakkiliuos, 1,00 M HCl-liuos, tislattua vettä, mittapipettejä ja 1,00 litran mittapullo? (2 p.)

Kb(NH3) =1,8∙10-5 mol/l

Viime vuosina toinen kahdesta jokeritehtävästä on usein ollut luonteeltaan laskennallinen. Tehtävä on tällöin pyritty laatimaan siten, että sen vaikeusaste kasvaa asteittain, jolloin ainakin osapisteiden saami-nen olisi mahdollista.

Tällä kertaa kyseessä oli kolmiosainen, puskuriliu-osten kemiaan liittynyt lasku. Tehtävän aluksi piti las-kea pH, kun liuokseen oli liuotettu yhtä suuret aine-määrät ammoniakkia ja ammoniumkloridia. Vastaus tähän kolmen pisteen osioon saatiin suoraan, ilman mitään laskutoimituksia ammoniakin emäsvakion tai ammoniumionin happovakion yhtälöistä.

Vaativammassa 4 pisteen arvoisessa osiossa tuli las-kea, kuinka suuria edellä mainittujen ammoniakin ja ammoniumkloridin konsentraatioiden tuli olla, kun liuoksen pH sai vetykloridia lisättäessä muuttua enin-tään 0,10 yksikköä. Tähänkin vastaus saatiin helpos-ti emäs- tai happovakion yhtälöstä, jos vain osasi ot-taa huomioon, että vetykloridia lisättäessä ammonia-kin määrä väheni ja ammonium-ionin määrä lisääntyi vastaavasti.

Sama neutraloitumisen periaate tuli uudelleen esil-le tehtävän c)-kohdassa. Liuos, jossa ammoniakin ja ammoniumionin konsentraatiot ovat yhtä suuret, saa-daan lisäämällä tietty ainemäärä vetykloridia kaksin-kertaiseen määrään ammoniakkiliuosta. Jos tämä olisi ymmärretty, olisi tehtävän tästä osasta saanut ainakin pisteen, vaikka edellisen osion lasku olisi ollut väärin. Jostain kumman syystä opiskelijat pyrkivät aina täl-laisessa tapauksessa sekoittamaan happo- ja emäsliu-osta virheellisesti suhteessa 1:1. Tehtävän pistekeski-arvo jäi alhaiseksi 2,94, ja se oli koko sarjan vähiten valittu.

55D i m e n s i o 6/2011

Helsingin luonnontiedelukiossa järjestetään vuosittain laborato-riotyökurssi yhteistyössä Helsin-gin tekniikan alan oppilaitoksen kanssa. Yhteistyö on ollut opet-tavaista ja antoisaa.

Kevättalvella 2005 Helsingin tekniikan alan oppilaitok-sessa (Heltech) ja Helsingin

luonnontiedelukiossa heräsi ajatus käynnistää koulujen välinen yh-teistyöprojekti. Oppilaitokset si-jaitsevat kävelymatkan päässä toi-sistaan Helsingin Käpylässä, mikä helpottaa yhteistyön suunnittelua ja toteutusta. Tänä keväänä yh-teistyökurssi järjestettiin jo kuu-detta kertaa.

Helsingin luonnontiedelukios-sa tämän koulukohtaisen kemian laboratoriotyökurssin valitsee vuo-sittain opinto-ohjelmaansa 20–40 opiskelijaa, joista on muodostettu kaksi ryhmää. Suurin osa kurssilai-sista on toisen vuosikurssin opiske-lijoita, mutta mukana on myös en-simmäisen vuosikurssin opiskeli-joita ja abiturientteja. Lukiolaiset tekevät työkurssilla monenlaisia laboratoriotöitä. Tarkoituksena on syventää ja soveltaa kemian tieto-ja ja tutustua tavallisimpiin ana-lyysi- ja työmenetelmiin. Kurssilla tulevat tutuiksi esimerkiksi refluk-sointi, imusuodatus, tislaaminen ja titraaminen.

Lukiossa on hyvin varusteltu la-boratorio, mutta moderneja mit-tauslaitteita ei koululle ole voitu hankkia. Yhteistyökurssilla opis-kelijat käyvät Heltechin laborato-riossa tekemässä tutkimuksia, joita

koululla ei ole mahdollista suorittaa. Heltechissä yhteistyökurssi on toi-sen vuosikurssin laboranttiopiske-lijoille suunnattu vapaavalintainen kurssi, jolla on ollut vuosittain noin 10 opiskelijaa. Laboranttiopiskelijat tekevät tutkimukset etukäteen, valmistelevat työkerran lukiolaisia

varten ja toimivat työskenneltäessä vertaisohjaajina.

OpetusjärjestelytErilaisten kokeilujen jälkeen kurs-sin yhteiseksi tutkimusaiheeksi on vakiintunut asetyylisalisyylihappo eli aspiriini. Lukiolaiset perehty-

oLga SiPiLä

Toisen asteen yhteistyötä Helsingissä

KriSta SorMunen , kemian opettaja, Helsingin luonnontiedelukio

, kemiallisten aineiden lehtori, HeltechSari SLöör

, kemian opettaja, Helsingin luonnontiedelukio

TLC-levyn valmistelua vertaisohjaajan opastamana.

5 D i m e n s i o 6/2011

vät työn aluksi aspiriinin histori-aan sekä sen ja lähtöaineiden omi-naisuuksiin tekemällä tiedonhakua internetistä. He mallintavat asetyy-lisalisyylihappomolekyylin molekyy-limallinnusohjelma Spartanilla ja syntetisoivat asetyylisalisyylihappoa koulun laboratoriossa.

Synteesituotteen puhtautta tutkitaan Heltechin laboratorios-sa kahdella työkerralla. Työkerran aluksi käydään läpi työhön liit-tyvää teoriaa ja työn suoritus. Ensimmäisellä työkerralla teh-dään ohutlevykromatografinen tutkimus ja määritetään tuotteen sulamispiste. Toisella työkerralla määritetään spektrofotometrisesti tuotteen asetyylisalisyylihappopi-toisuus prosentteina. Työskentelyä varten lukiolaiset jakaantuvat kah-den tai kolmen hengen ryhmiin ja kukin ryhmä saa ohjaajakseen la-boranttiopiskelijan.

Työskentely sujuu joustavasti pienissä ryhmissä. Vertaisohjaajalta on helppo kysyä mieltä askarrutta-via asioita ja syntyy keskustelua. ”Miksi näin tehdään? Miksi tätä välinettä käytetään?” -kysymyksiin

saa heti vastauksen tai niitä poh-diskellaan yhdessä vertaisohjaajan kanssa. Opettajat seuraavat ja oh-jaavat työskentelyä.

Yhteisten laboratoriotyöker-tojen lisäksi laboranttiopiskelijat käyvät lukiossa tutustumassa mo-lekyylimallinnukseen. Tällä kertaa lukiolaiset toimivat vertaisohjaaji-na asetyylisalisyylihappomolekyy-lin mallintamisessa.

Laboranttiopiskelijat pitävät työpäiväkirjaa ja laativat kurssin lopuksi oman työn ja ohjauskerto-jen arvionnin. Lukiolaiset kirjoit-tavat laajan työselostuksen ase-tyylisalisyylihaposta, sen valmis-tuksesta ja puhtaudenmääritystut-kimuksista.

Kokemuksia ja pohdintaaKurssin lopuksi opiskelijat ovat arvi-oineet yhteistyöjärjestelyjä ja omaa opiskeluaan. Lukiolaisten mieles-tä yhteistyön järjestelyt ovat olleet onnistuneita. Tärkeäksi on koettu työskentely Heltechin hyvin va-rustetussa laboratoriossa, mikä on mahdollistanut sellaiset tutkimus-menetelmät, joita koulun laborato-

riossa ei voi tehdä. Yhteistyökerrat ovat olleet opiskelijoiden mieles-tä hauskoja, koska opiskelu on ollut erilaista kuin tavallisesti. Vertaisohjauksen hyödyiksi maini-taan ohjauksen asiantuntevuus ja keskustelun ja kysymisen helppous. Laboratorioalan oppilaitos mahdol-lisena jatko-opiskelupaikkana tulee tutummaksi.

Laboranttiopiskelijoiden pa-lautteessa korostuu oman oppimi-sen syveneminen ohjaustehtävän ansiosta. Ongelmien pohtiminen yhdessä toisten laboranttiopiskeli-joiden ja lukiolaisten kanssa on ol-lut mielenkiintoista ja hyödyllistä. Ohjaamisesta opiskelijat ovat saa-neet onnistumisen ja osaamisen kokemuksia ja opiskelijoiden itse-luottamus, luottamus omaan osaa-miseen, on vahvistunut.

Opettajana on ollut muka-va seurata opiskelijoiden labora-toriotyöskentely- ja ryhmätyötai-tojen sekä sosiaalisten kontakti-en kehittymistä kurssin aikana. Suunnitellut yhteistyöjärjestelyt ovat siis olleet toimivia ja onnis-tuneita.

Eluentti valmistetaan vetokaapissa. Sulamispisteen määritys on tarkkaa puuhaa.

5D i m e n s i o 6/2011

Rautavaaran lukion mate-matiikkaleirien historia al-kaa vuodesta 2003. Silloin

Oulun Yliopiston rautavaaralais-syntyinen lehtori Alli Huovinen ehdotti, että hakisimme Pohjois-Savon Kulttuurirahastolta apura-haa matematiikkaleirin järjestä-miseen. Sitä saatiinkin ja leiri pi-dettiin syyskuussa 2003. Oululaiset vetäjät olivat Allin lisäksi Meeri Mustonen, Matti Nuortio ja Benjamin Wondafrash.

Sittemmin leiri on järjestet-ty vuosittain syys- tai lokakuussa oman koulun voimin, vierailijoina joskus entisiä lukion opiskelijoita. Avustusta leirikuluihin on haettu yleensä Matemaattisten aineiden opetustyön tukisäätiöltä.

Leiri on lukion opetussuunni-telmassa koulukohtainen puoli-kaskurssi. Jos osallistuu useam-malle leirille, saa joka kerta lisä-puolikkaan.

OsallistujatLeiri on tarkoitettu lukion kaikil-le, myös lyhyen matematiikan lu-kijoille. Joinakin vuosina mukana on ollut myös peruskoulun 9. luo-kan oppilaita. Leiri on opiskelijoil-le maksuton. Osallistujia leireille on riittänyt, monesti noin puolet lukion opiskelijoista.

Leirin tavoitteena on lujittaa yhteenkuuluvuuden tunnetta sekä luoda tuttavallisempi suhde mate-matiikkaan ja saada siihen liittyviä myönteisiä kokemuksia. Näin syn-tyvä henkilökohtainen suhde tie-teenalaan lisää mielenkiintoa ma-tematiikkaa ja opiskelua kohtaan.

Rautavaaran lukiossa ovatkin jonkin aikaa olleet pitkän mate-matiikan ryhmät isompia kuin ly-hyen. Monet leiriveteraaneista ovat jatkaneet matemaattisilla ja teknisillä aloilla.

Paikka ja ohjelmaLeiri on aina järjestetty leirikouluis-ta tunnettuun nuoriso- ja matkailu-keskus Metsäkartanoon kuuluvalla Metsäpirtillä. Pirtin lisäksi käyte-tään Metsäkartanon ympäristöä ja palveluita, kuten harrastevälineitä, laavua ja turvekammia.

Leiri on saanut kunnan ateria-palvelusta ruoka-aineet ja laitta-nut kahvit ja ateriat omin voimin.

Vuosien mittaan vakiintunut ohjelma aloitetaan perjantaina klo 17 ja lopetetaan lauantaina klo 14. Leirillä on vaihtuvan teeman mu-kaiset päätehtävät. Teemoina ovat olleet muun muassa geometriset

mittausongelmat maastossa, mate-matiikan historia, matemaatikot, kuuluisat käsitteet kuten pii ja ää-retön, matematiikkaa tietokoneel-la ja viimeisenä Geogebra-ohjelma. Työskentely tapahtuu pienryhmissä, jotka lopussa esittelevät tuloksiaan.

Ohjelmassa on myös ulkoilua ja liikuntaa. Vuoden mestarit et-sitään polkuautoilussa ja frisbee-golfissa. Joskus on seinäkiipeilty. Iltamakkarat paistetaan turvekam-missa ja sen päälle otellaan mate-maattisessa sananselityskisassa tai funktiopelissä.

KokemuksiaLeiristä on tullut opiskelijoille jo odotettu syystapahtuma. Jotkut ovat osallistuneet neljällekin leiril-le. On tullut toiveita, että pidettäi-siin leiri myös entisille opiskelijoil-le. Tätä harkitaan, sillä vetäjienkin mielestä leireillä on mukavaa.

KaLLe KärKKäinen ja SePPo toivanen

Rautavaaran lukion matematiikkaleiri pidettiin syyskuussa yhdeksättä kertaa. Vuoden teemoina oli yli-opistovieraan luento ja tutustuminen Geogebra-ohjelmaan.

Rautavaaran lukion matikkaleirit, lehtorit, Rautavaaran lukio

5 D i m e n s i o 6/2011

Vuotuinen Baltian Tie -joukkuematematiikka-kilpailu järjestettiin 3.–7.11.2011 22. kerran, tällä kertaa Itämeren etelärannalla, Yliopisto-

ja Hansakaupunki Greifswaldissa. Kilpailussa viisijäse-niset koululaismaajoukkueet ratkaisevat ryhmätyönä 20 tehtävän sarjaa. Työaikaa on neljä ja puoli tuntia. Tehtävät noudattavat kilpailumatematiikan perinteitä. Sarjassa on viisi algebraksi, viisi kombinatoriikaksi, viisi geometriaksi ja viisi lukuteoriaksi kategorisoitua tehtä-vää; joukkueiden johtajista koostuva tuomaristo valit-see tehtävät kilpailupäivää edeltävänä iltana etukäteen tehtyjen ehdotusten pohjalta. Tehtäviä voi käydä katso-massa esimerkiksi Solmun sivuilla¹.

Osallistujajoukkueet edustivat laajennettua Itämeren piiriä, johon luetaan mukaan myös Norja ja Islanti. Vakio-osallistuja Pietari oli tällä kertaa pois-sa, mutta sen korvasi vieraileva joukkue, peräti Etelä-Afrikasta saapunut. Kilpailun voitti kuten monesti en-nenkin Puola, joka osasi melkein kaiken: 94 pistettä sa-dasta mahdollisesta. Latvia (80) ja Saksa (78) kilpailivat tasaväkisesti toisesta sijasta, Liettua ja Tanska (68) ja

Liettua (67) neljännestä ja Suomi (50) sekä Ruotsi (48) kuudennesta. Vierailija Etelä-Afrikka jätettiin epäkoh-teliaasti viimeiseksi, Islannin, Viron ja Norjan jälkeen.

Suomen joukkue valittiin pääosin jo toukokuussa sa-massa yhteydessä kuin kesän 2011 Kansainvälisiin ma-tematiikkaolympialaisiin Hollantiin lähetetty joukkue. Parempi valmistautuminen tuottikin edellisvuotta pa-remman tuloksen. Joukkueessa olivat Otte Heinävaara ja Joni Teräväinen Helsingin matematiikkalukiosta, Felix Vaura Paraisten lukiosta, Markus Pajarre Tampereen klassillisesta lukiosta ja Jiali Yin Suomalaisesta yhteis-koulusta Helsingistä. Joukkuetta johti Kerkko Luosto. Varajohtajana oli Matti Lehtinen.

Kansainvälisille matematiikkakilpailuille tyypilliseen tapaan kilpailijoille järjestettiin mielenkiintoista ohjel-maa ajaksi, jonka joukkueenjohtajat käyttivät tuoma-ristotyöhön. Nuoret pääsivät katsomaan mm. DDR:n viimeistä ydinvoimalaa Lubminissa ja Max Planck -instituutin Greifswaldiin valmistuvaa fuusioreaktoria Wendelstein 7:ää.

Matti LeHtinen

Matematiikan maajoukkue Greifswaldissa

¹ http://solmu.math.helsinki.fi/olympia/Baltian_tie/2011/Bt2011.pdf

Kvasikiteiden löytäjälle kemian nobel

Kidemallit p e r u s t u -vat oletuk-

selle, että kiinte-ässä aineessa ato-mit pakkaantuvat symmetrisiksi, tois-tuviksi rakenteik-si, mutta Daniel Shechtman uraa-uurtavat tutkimuk-set ovat osoittaneet käsityksen vääräk-si. Kvasikiteissä atomit järjestäytyvät epäsymmetrisiksi ra-kenteiksi. Shechtman teki löydön jo 1982, mutta sitä pi-dettiin niin kiistanalaisena, että hän joutui eroamaan tut-kimusryhmästä. Kvasikiteissä muodostuvat kuviot ovat säännöllisiä ja noudattavat matemaattista kaavaa, mutta eivät toistu koskaan. Esimerkiksi Espanjan Alhambran palatsin mosaiikkikuvio on tällainen. (Tiede)http://www.tiede.fi/uutiset/4450/kemian_nobel_kvasikiteiden_keksijalle

Pimeän energian löytäjille fysiikan nobel

Vuoden 2011 fysiikan nobel -palkinto myönnettiin Saul Perlmutterille, Brian Schmidtille ja Adam Riessille. Perlmutterin

ja Schmidtinja Riessin tutkimusryhmät päätyi-vät toisistaan riippumatta samaan tulokseen, et-tä maailmankaikkeus laajenee kiihtyvää vauhtia. Aikaisemmin oli uskottu, että maailmankaikkeuden laajeneminen on hidastumassa. Micheal Turner eh-dotti laajenemista kiihdyttävälle voimalle nimeä pi-meä energia. Pimeän energian ominaisuuksien sel-vittämisessä riittää edelleen paljon selvitettävää. Työntövoiman energiatiheys vaikuttaa pysyvän va-kiona, vaikka universumi laajenee. Se jakaantuu tasaisesti universumiin eikä näytä kasaantuneen minnekään. Tämä on erikoista, sillä lähes kaikki muu laimenee, kaikkeus jäähtyy jäähtymistään ja aine harvenee. (Tiede)

http://www.nasa.gov/multimedia/imagegallery/image_feature_805.html

5D i m e n s i o 6/2011

UutisiaKoonnut: Jarkko Lampiselkä

Tiedesensaatio: Valon nopeus ylitetty?

Euroopan hiukkas-tutkimuskeskuk-sen CERNin mit-

tausten perusteella neut-riinot ovat liikkuneet 60 nanosekuntia nopeam-min kuin valo. Havainto tehtiin kolme vuotta kes-täneessä Opera-kokees-sa. Kokeessa CERNistä lähetettiin yli 15 000 neutriinosädettä 730 kilometrin päähän Italian Gran Sassoon, jossa sijaitsivat jättimäiset havaintolaitteet. Havaintokohteiden välimatka kyettiin mittaamaan 20 senttimetrin tarkkuudella ja matkaan kuluva aika 10 nanosekunnin tarkkuudella. Valoa nopeampia hiukka-sia havaittiin jo 2007 Minos-kokeessa yhdysvalloissa, mutta tuolloin tulokset olivat vielä liian epävarmoja, eikä niitä julkistettu maailmalle. Helsingin yliopiston tutkija Kari Enqvist epäilee eron johtuvan matkan mit-tausvirheestä, mutta Bernin yliopiston tutkijan Antonio Ereditaton mukaan sama havainto on tehty yli 16 000 kertaa kahden vuoden aikana. (Nature news)

Tekniikan päivillä möyritään maassa ja kohotaan kattojen ylle

Kaikille avoin tiedetapahtuma Tekniikan päivät tuo jälleen valoa tammikuun pimeyteen. Tekniikan päivien laajasta ohjelmasta maallikkokin löytää puuhaa koko päiväksi.

Tekniikan päivät järjestetään Dipolissa, Espoon Otaniemessä 13.–14.1. 2012.

Tapahtuman tämänkertainen teema on maa, jo-ta tutkitaan niin alta kuin päältäkin. Tekniikan päivillä pääsee muun muassa sukeltamaan maan

alle tutustumaan vuorenpeikkojen salaisuuksiin lou-hinnan ja kaivannaisteollisuuden myötä ja pohtimaan, mistä kaupunkiviljelylle löytyisi tilaa. Myös design on esillä, sillä Tekniikan päivät on World Design Capital Helsinki 2012 -hanke.

Tekniikkaa ja tiedettä erilaisista ja yllättävistäkin nä-kökulmista käsittelevien, noin 90 tietoiskun ja kolmen paneelikeskustelun lisäksi yleisölle on tarjolla elämyksiä niin kivi- kuin eläinkunnastakin. Roskien lajitteluun kou-lutettu koira ja ratsastussimulaattori tarjoavat oivalluksia eläinten ystäville, ja kivien moninaisuutta graniittilohka-reista jalokiviin voi ihastella näyttelyalueella. Ja kun jalat alkavat painaa, voi pysähtyä Suomen Akatemian tiede-kahvilaan pohtimaan, minne suunnata seuraavaksi.

Monipuoliseen ohjelmaan voi tutustua Tekniikan päivien verkkosivuilla www.tekniikanpaivat.fi. Tekniikan päiviä voi seurata myös verkossa sekä suo-rana lähetyksenä että tallenteena.

Ilmainen bussikuljetus Kiasman edestä pyö-rii perjantain ja lauantain ajan. Aikataulut löytyvät Tekniikan päivien verkkosivuilta.

Tapahtuman järjestää yhdessä lukuisten yhteistyö-kumppaneiden kanssa Tekniikan Akatemia.

Tekniikan Akatemia edistää teknologiaa tukemalla innovatiivi-suutta ja uutta teknologiaa kehittävää tieteellistä tutkimusta, joka vaikuttaa myönteisesti ihmisten elinolosuhteisiin ja rakentuu inhimillisille arvoille. Tuomme yhteen alan toimijat rakentamaan teknologia-Suomea. Tekniikan Akatemia jakaa joka toinen vuo-si kansainvälisen Millennium-teknologiapalkinnon. Palkinto on perustettu vuonna 2002.

– Technology Academy Finland, www.technologyacademy.fi

http://www.nature.com/news/2011/110922/full/news.2011.554.htmlhttp://arxiv.org/abs/1109.4897http://regulus-starnotes.blogspot.com/2010/03/light-water-reactor-nuclear-power.html

0 D i m e n s i o 6/2011

Uutisia Koonnut: Jarkko Lampiselkä

MAOL-veteraanien kevät 2012

23.01. klo13.00: Vuosikokous, jonka jälkeen MAOL:n kuulumisia.

13.02. klo 13.00: Akatemiatutkija, dosentti Tapio Lokki, Vuoden 2011-akatemiapalkinnon saaja: “Konserttisalien akustiikka, mitä se on ja miten sitä tutkitaan?”.

12.03. klo 13.00: Kalliotaiteen tutkija Erkki Luoma-aho: Saharan kiviset aikakirjat”.

16.04. klo13.00: Hist.lehtori, emeritus Heikki Pohjala: ”Suomen ja Viron kohtalonyhteys - Ernan miehet”.

14.05. klo 11.30: Retkipäivä. ”Helsingin juutalaisen seurakunnan ja synagogan vaiheet” sekä tutustuminen juutalaiseen yhteiskouluun. Tapaamme klo 11.30 Synagogan edessä, Malminkatu 26.

Ennakkoilmoittautuminen retkelle joko lounaskokouk-sissa tai sihteerille Anja Peitolalle puhelimitse huhtikuun loppuun mennessä.

Kokoonnumme tuttuun tapaan Ravintola Perhossa (Per-honkatu 11, 00100 Helsinki, (www.perho.fi/ravintola/index.htm) pää-sääntöisesti kuukauden toisena maanantaina klo 13.00. Noin tunnin mittaisen esitelmän jälkeen nautitaan lounas.

MAOL-veteraanit 74 ry:

Pertti Uusipaavalniemi GSM 040 765 9443MAOL-veteraanit 74 ry:n pj.

Anja Peitola GSM 050 369 4848 Sihteeri

Matemaattis-luonnontieteellisten alojen aka-teemiset (MAL) ry (vuoteen 2010 asti SMFL) juhli 50-vuotistaivaltaan Vanhalla

Ylioppilastalolla Helsingissä 14.10.2011. Juhlat alkoi-vat iltapäivällä seminaarilla, jossa arvovaltaiset puhujat pitivät esitelmiä. Tervetulopuheen piti MALin puheen-johtaja FT Antti Lauri. Akavan tervehdyksen toi pu-heenjohtaja Sture Fjäder. Tilaisuuden juontajana toi-mi FT Raimo Voutilainen. Puhemies emeritus Paavo Lipponen esitelmöi aiheesta Maailmankuvan muutos ja suomalaisuus. Professori Marja Makarow tarkaste-li Suomen tiedettä eurooppalaisesta näkökulmasta. Professori Päivi Törmän aihe oli Tekniikka vie ihmiskun-taa eteenpäin – entä nano? Lopuksi KTK Esko Seppänen puhui kapitalismin viimeisestä käyttöpäivästä.

Juhla huipentui illalliseen ja tanssiaisiin. Juhlan kunniaksi julkistettiin FM Lasse Paajasen johdatte-lemana myös järjestön historiateos SMFL – MAL 50 vuotta ammattikunnan hyväksi. Ansioituneille jaettiin ansiomerkkejä ja viirejä.

Suomen Matemaatikko- ja Fyysikkoliitto (SMFL) ry toimi ensin itsenäisenä Akavan jäsenjärjestönä. Vuonna 1984 se liittyi STS/KALiin (= Suomen Teknillinen Seura / Korkeakouluinsinöörien ja Arkkitehtien

Keskusliitto) ja myöhemmin vielä TEKiin (= Tekniikan akateemisten liitto). Järjestön nimi muutettiin sittem-min Suomen Matemaatikko-, Fyysikko- ja Tietojen-käsittelytieteilijäliitoksi. Vuonna 2010 liiton nimeksi tu-li Matemaattis-luonnontieteellisten alojen Akateemiset MAL ry. Järjestössä on jäseniä noin 3 000. SMFL/MAL on MAOLin pitkäaikainen yhteistyökumppani, ja se on rahoittanut mm. MAOLin järjestämien lukion valta-kunnallisten loppukilpailujen palkintoja.

jouni BjörKMan, FT, MAOL ry:n I varapuheenjohtaja

SMFL → MAL 50 vuotta

MAOLin I varapuheenjohtaja Jouni Björkman tuomassa MAOLin onnitteluja MALin puheenjohtajalle Antti Laurille.

Suurin osa hiusväreistä on luokiteltavissa aromaatti-siksi amiineiksi. Amiinit ovat ammoniakin johdan-naisia, jossa yksi tai useampi vedyistä on korvattu or-

gaanisella ryhmällä, aromaattisessa amiinissa betsyyliryh-mällä. Lainsäädäntö (76/768/ETY) sallii tietyin rajoituksin ja edellytyksin hiusväreissä käytettävän m- ja p-fenylee-nidiamiineja ja joitain niiden johdannaisia. Tilapäisesti voidaan käyttää noin 60 muuta väriä. Teollisuudessa m-fenylenidiamiinia käytetään atsoväriaineiden valmis-

Hiusvärien kemiaatuksessa. Hiusten värjäyksessä nämä aineet muodostavat hapetusreaktioissa kinoni-imiinejä. Ne reagoivat edelleen muiden tuotteessa olevien väriaineiden kanssa tuottaen halutun värin. Lawson insermis –kasvista voidaan uuttaa hennana tunnettua väriainetta. Uutteen sisältämä väri-ainetta 2-hydroksi-1,4-naftokinonia voidaan valmistaa myös teollisesti. Kuluttajapakkauksissa luonnontuote ja synteettisesti valmistettu aine erotetaan toisistaan mer-kinnöillä Lawsonia insermis ja Lawsone. Muita hiusvä-reissä käytettäviä aineita ovat mm. tolueeni-2,5-diamiini ja p-aminofenoli. (Allergia- ja Astmayhdistys)

1D i m e n s i o 6/2011

UutisiaKoonnut: Jarkko Lampiselkä

Survo-ristikot 6 Koonnut Hannu Korhonen

Survo-ristikoita on julkaistu runsaan viiden vuoden aikana verkossa ja monissa lehdissä. Tekijä Seppo Mustonen on esitellyt niitä monissa tilaisuuksissa, ku-

ten Tilastopäivillä vuonna 2006 [1]. Tässä sarjassa on käy-tetty Yliopisto-lehdessä julkaistuja ristikoita. Ne ovat kaikki nähtävissä verkossa ratkaisuineen [2].

Lisää ristikoita, tietoja niiden ominaisuuksista ja ratkai-sumenetelmistä sekä ristikoiden malliratkaisuja saat Survo-ristikoiden kotisivulta [3]. Mustonen toteaa itsekin, että hel-pot ristikot soveltuvat hyvin koululaisille päässälaskuhar-joituksiksi. Viereistä, avointa ristikkoa hän pitää jo varsin hankalana.

Survo-ristikot ovat hyvin nuori keksintö. Niitä on ollut olemassa vasta runsaat viisi vuotta, kun itse Survo-ohjelma on sentään runsaan 30 vuoden ikäinen. Tilastotieteessä sa-mannäköisiä kontingenssitauluja on tutkittu jo sata vuotta.

Samantapainen ajatus si-sältyy tuhansia vuosia van-hoihin taikaneliöihinkin, joissa rivi-, sarake- ja lävis-täjäsummat ovat kaikki yh-tä suuria.

Vähemmän kuin kym-menen vuotta on kulunut myös numeeristen taika-neliöiden graafisten vas-tineiden keksimisestä [4]. Niissä on samantapainen idea kuin Survo-ristikoissa

ja taikaneliöissä. Paloista kootaan symmetrisiä kuvioita ri-veittäin, sarakkeittain ja lävistäjittäin. Englanniksi niitä ku-tustaan geomaagisiksi neliöiksi. Voisivatko ne olla suomeksi palapelineliöitä?

Keksintöjen samanaikaisuus hämmästyttää. Onko käyttä-jien matematiikkakuva vai koko matematiikka muuttumas-sa? Vai olisiko niin, että aikaisemmin vain matemaatikkojen yksinoikeutena pidetystä vakavasta matematiikasta alkaisi 2000-luvulla vihdoinkin tulla ”leikkivän ihmisen” ajattelun ja älyllisen mielihyvän väline.

Hauskoja hetkiä Survo-ristikoiden ja kaiken maailman matematiikan parissa!

[1] Yhden sivun pikaesite http://www.survo.fi /ristikot/Survo_Puzzle.pdf

[2] Yliopisto-lehdessä julkaisut ristikot http://www.survo.fi /ristikot/yliopisto/

[3] Survo-ristikoiden kotisivu http://www.survo.fi /ristikot/[4] Palapelineliöitä http://www.geomagicsquares.com/ Geomaagisia ”palapelineliöitä”.

Taikaneliö.

2 D i m e n s i o 6/2011

SURVO

Kirjallisuutta: SMFL –> MAL. 50 vuotta ammattikunnan hyväksi

Rinnakkaisjärjestön puoli vuosisataa

Matemaattis-luonnontieteellis-ten alojen akateemiset MAL ry on järjestö, joka aiemmin

tunnettiin kirjainlyhenteestä SMFL, Suomen matemaatikko-, fyysikkoja tie-tojenkäsittelytieteilijäliitto ry. Uusi nimi, jonka lyhenne on kovin lähellä tämän lehden julkaisijajärjestön yleisesti käy-tössä olevaa nimilyhennettä, on ollut käytössä pian kaksi vuotta. Järjestöllä on runsaat 2000 jäsentä.

MAL vietti lokakuussa näyttävin menoin 50-vuotisjuhliaan ja julkisti silloin 50-vuotishistoriansa. Kirjoittaja Anitta Valtonen on pitkään ammatti-yhdistysviestinnän alalla työskennellyt ammattitoimittaja, mutta hänen tuke-naan on ollut MAOLissa hyvin tun-netun Lasse Paajasen johtama yhdek-sän järjestöaktiivin historiatoimikun-ta. Kirjaan on dokumentoitu, että toi-mikunta on pitänyt runsaan kolmen ja puolen vuoden aikana 17 kokousta.

SMFL:n alku juontaa vakuutus-matemaatikoihin. Tässä joukossa syn-tyi 1960-luvun taitteessa ajatus am-mattiyhdistyksestä: monet akateemi-set ammattiryhmät olivat jo tuolloin järjestäytyneet AKAVAn puitteissa ja kykenivät ajamaan omia etujaan. Yhdistyksen perustamiskuvioiden yh-teydessä kävi ilmi, että myös sairaalois-sa ja tutkimuslaitoksissa työskentelevät fyysikot tunsivat järjestäytymistarvetta, ja perustetuksi tuli sitten, 27.11.1961, Suomen Matemaatikkoliiton sijasta Suomen Matemaatikko- ja Fyysikkoliitto ry. (Tietojenkäsittelytieteilijät tulivat nimeen mukaan vasta vuonna 1999). Liitosta tuli Akavan itsenäinen jäsen-järjestö. Sen jäsenmäärä ei ollut suu-ren suuri, vuoden 1964 lopussa jäse-niä oli 208. Liitto kartoitti toimintansa ensi vuosina potentiaaliset jäsenensä, matematiikka tai fysiikka pääaineena yliopistoista valmistuneet. Kartoitus johti konkreettiseen tulokseen: vuon-na 1965 ilmestyi mainio 162-sivui-nen, 1537 nimeä käsittävä matrikkeli Suomen matemaatikot ja fyysikot 1964. Tällaista teosta ei sittemmin ole jul-kaistu, ikävä kyllä.

SMFL oli ammattiyhdistys. Sen edunvalvontatoimet kohdistuivat pal-jolti fyysikkojen ja muun akateemises-ti koulutetun henkilöstön, insinööri-en ja lääkärien, välisen eriarvoisuuden tasoittamiseen. Liitto oli aktiivinen myös opettajien puolesta. Opetusalan Ammattijärjestö OAJ:tä ei vielä ol-lut, eikä aineenopettajien järjestäyty-minen Oppikoulunopettajien littoon ollut kovin kattavaa. SMFL:n 1970-luvun alun keskeisiä edunvalvonta-kysymyksiä oli fysiikan opettajien de-monstraatiolisä, jota lopulta ruvettiin-kin maksamaan. SMFL:n alkuvuosien organisaatioon kuului Koulukomitea tai Opettajajaosto ja liiton hallituk-sessa oli opettajajäsenenä. SMFL:ssä vaikutti runsaasti myös MAOLissa aktiivisia opettajia: mm. Jarmo Nyström, Yrjö Juve, Raimo Teppo, Olli Syvähuoko, Hilkka Wuolijoki ja Mauri Tiilikka. Voi spekuloida, oli-siko SMFL ollut matemaattisten ai-neiden opettajille OAJ:tä parempi jär-jestäytymiskanava.

1980-luvulle tultaessa SMFL oli edelleen pieni, noin 500 jäsenen jär-jestö, liian pieni edunvalvontatavoit-teiden kannalta. Hiukan yllättävästi SMFL liittyi vuonna 1984 silloiseen Korkeakouluinsinöörien ja Arkkitehtien Keskusliittoon (KAL), joka myöhem-min tunnetaan Tekniikan Akateemisten Liittona. Kun edunvalvonta siirtyi emo-järjestölle, SMFL jäi aatteellis-amma-tilliseksi yhdistykseksi, jonka konk-reettista toimintaa olivat esimerkiksi erilaiset jäsenten työ- ja työllistymis-valmiuksia kohentavat kurssit ja ma-temaattis-fysikaalisen ajattelutavan edistäminen yhteiskunnassa. Samalla opettajien ja SMFL:n tiet pitkälti er-kanivat. Koulumaailmaan liitto on kui-tenkin yhä yhteydessä mm. rahoitta-malla MAOLin lukion matematiikka- ja fysiikkakilpailun palkintoja.

Valtosen historia kuvaa tunnon-tarkasti yhdistyksen johdon suunnit-teluseminaarien tuotoksia. Monen hyvän aloitteen Valtonen kertoo jääneen toteutumatta. Yksi esi-

merkki oli liiton piirissä suunnitel-tu Matematiikan harrastuksen tuki ry, joka olisi ottanut tehtäväkseen mm. matematiikkakilpailujen ja niihin liit-tyvän valmennuksen järjestämisen ja matematiikan popularisoimisen siinä hengessä kuin MAOLin taannoinen Funktio-lehti tai verkkolehti Solmu ovat tehneet.

Valtosen kirja on sujuvasti kirjoi-tettu. Lähteinä, jotka on tarkaan lue-teltu turhankin harvaan ladotussa viiteluettelossa, ovat olleet yhdistyk-sen dokumentit, mutta myös vielä ta-voitettavissa olleiden yhdistyksen al-kuvuosien toimijoiden haastattelut. Kattavassa luettelo-osuudessa lista-taan mm. liiton jäsenmäärän kehitys, sen toimielimien kokoonpanot, ko-kousesitelmät, ekskursiot ja järjestön palkitsemat MAOLin lukiokilpailujen voittajat. Kirjan käyttökelpoisuutta lisää henkilöhakemisto, joka puuttui mm. MAOLin vuona 1995 julkaistus-ta 60-vuotishistoriikista. Kirjaa elä-vöittävät henkilövalokuvien lisäksi kopiot monista ajankuvaa muodos-tavista lehtileikkeistä ja muutamista lehtiartikkeleista.

Kaikkiaan huolellisesti koostet-tuun kokonaisuuteen jää aina joita-kin lipsahduksia. Silmiin sattui Lauri Myrbergin nimen kirjoittaminen syste-maattisesti h:llisena, liiton ensimmäi-sen puheenjohtajan, Oulun yliopis-ton matematiikan professorin Yrjö Kilven nimeäminen fysiikan professo-riksi ja Yrjö Juveen Helsingin yliopis-ton matematiikan lehtoriksi, maininta Opetushallituksesta tahona, joka vas-taa lukiolaisten matematiikka- ja fy-siikkaolympialaisvalmennuksesta (ja sekin, että kirjassa pari kertaa vilahta-va oma nimeni on varustettu virheel-lisellä oppiarvolla). Kirjan nimessä esiintyvä implikaationuoli ja ulkopuo-lisille vaikeasti aukeavat kirjainlyhen-teet tekevät luultavasti teoksen löytä-misen ja sen sijoittamisen tietokantoi-hin vaikeaksi.

Matti Lehtinen

anitta valtonen: SMFL –> MaL. 50 vuotta ammattikunnan hyväksi. Matemaattis-luonnontieteellisten alojen akateemiset MAL ry. 2011. 299 s.

3D i m e n s i o 6/2011

jarMo Sirviö

Vuoden opettaja

, FM, fysiikan lehtori, Kastellin lukio, Oulu

Fysiikan kahdeksas kurssi on Aine ja säteily

Kurssi on mitoitettu hyvin, asiat ehditään opiskella rauhallisesti edeten. Opetussuunnitelman tavoitteet eivät ole kunnianhimoisia. Bohrin vetyatomimallin avulla selitetään emissio ja absorptio, hiukkasfysiik-kaa opiskellaan hieman, ja suhteellisuusteoriallekin jää hieman aikaa, vaikka sitä ei ylioppilaskirjoituk-sissa kysytä. Fysiikka kuitenkin kehittyy niin hurjaa vauhtia, että paineita modernin fysiikan sisältöalu-eiden kehittämiselle on.

Kari Enqvist esitti ajatuksiaan koulufysiikasta Tiede 8/2011 -lehdessä. Hän pohti, että tiede edistyy, mutta edistyvätkö koulukirjat ja uudis-

tuuko koulun fysiikan opetus. Enqvistin mielestä kou-lufysiikka on jumittunut sadan vuoden taakse, vaikka tiedemaailmasta tulvii kaiken aikaa mielenkiintoisia uutisia: maailmankaikkeus laajenee kiihtyvää vauhtia, antimateriaa valmistetaan Cernissä, massan aiheut-tajaa etsitään vimmatusti ja mm. kvanttitietokoneet ovat ennen pitkää käytössämme.

Onko koulufysiikka jumittunut sadan vuoden taakse?Mielenkiintoinen kysymys. Maailmasta selviää jatku-vasti kiehtovaa ja uutta tietoa. Tarjotaanko koululaisil-le jälkeen jäänyttä maailmankuvaa? Olen varma, että moni opettaja on pohtinut tätä valitessaan painotus-alueita ja esimerkkejä omille oppitunneilleen. Mikä on se perusoppiaines, jonka lukion suorittaneen opiske-lijan pitäisi ymmärtää? Mikä on sitä hauskaa, jännää, kiinnostusta herättävää oppiainesta, jota oppitunneilla voidaan pohtia, ja jota myös populaarit tiedekirjat ja -lehdet julkaisevat. Uusimmat tieteen tulokset jäävät yleensä kuvailun tasolle, sillä niiden matematiikka se-kä tutkimusten koejärjestelyt ovat monimutkaisia, ei-kä lukion oppituntien rajoissa niihin ehditä kunnolla perehtyä. Fysiikan opettajien tietämyskään ei yleensä

tähän riitä. Nettikeskustelussa joku kutsui tätä ”käsi-enheiluttelufysiikaksi”.

Enqvist korjaisi fysiikan opetuksen kääntämäl-lä sen päälaelleen. Hän ottaisi opetuksen perustaksi modernin fysiikan tietämyksen: maailmankaikkeuden synnyn, aineen rakenteen perushiukkaset ja perus-vuorovaikutukset. Kolumnissa saanen hieman leiki-tellä ja suunnitella oppitunteja ja opetuskokonaisuuk-sia Enqvistin hengessä.

Lukion ensimmäinen kurssi (vai pitäisikö olla jo perusopetuksen puolella) tarkastelisi hiukkasia, nii-den ominaisuuksia. Aluksi ihmettelisimme hiukkas-ten runsautta. Ennen mittaa oivaltaisimme luokitte-lun vahvuuden ja perustaisimme perheet: elektronin, myonin ja taun perheet. Jokaiseen perheeseen kuu-luisi kaksi kvarkkia sekä elektronin kaltainen leptoni ja neutriino. Jokaisella hiukkasella on vastinhiukka-nen, antihiukkanen. Hiukkasten varaukset, massat ja muut niiden identifiointiin tarvittavat tiedot ovat jo hallussamme. – Historiallinen ripaus kulkee koko ajan mukana, kun opettaja kertoo, että tämä hiuk-kasten muodostuminen tapahtui Big Bangin jälkeen ensimmäisen sekunnin viideskymmeneskahdeksastu-hannesosan aikana.

Sitten hiukkasperheiden jälkeen opettelisimme perusvuorovaikutukset, ovathan vuorovaikutustai-dot tärkeitä arkielämässäkin. Oppisimme muun mu-assa, että kvarkeilla on sähkövarauksen lisäksi myös vahvaan vuorovaikutukseen liittyvä varaus, jota kut-sutaan värivaraukseksi tai väriksi. Toki korostaisin, että värivarauksella ei ole mitään tekemistä silmillä havaittavien värien kanssa, se on vain symbolinimi hiukkasen ominaisuudelle tuntea vahvan voiman vai-kutus. Kvarkin värivarauksella on kolme mahdollista arvoa: punainen, sininen ja vihreä. Antikvarkin vä-rivaraukset ovat näiden vastavärejä eli antivärejä. Ja edelleen oppisimme, että sähkövarauksia voi laskea

4 D i m e n s i o 6/2011

yhteen kuin lukuja, mutta värivarausten yhteen las-keminen on hieman mutkikkaampaa.

Kun hiukkasperheet ja vuorovaikutukset on opit-tu, alamme rakentaa uusia hiukkasia: protoni muo-dostuu kolmesta kvarkista ja samoin neutroni, sitten muodostetaan ydin ja sijoitetaan elektronit elektro-niverhoon. Opettajana tuntisin ylpeyttä: ”No niin, lapsukaiset saimmekin atomin valmiiksi. Seuraavassa kurssissa konstruoimme molekyylit ja sitten hiljotellen pääsemme niihin kappaleisiin, joita näette ympärillän-ne. Näiden kappaleiden vanhentuneen fysiikan esitti aikoinaan muuan herra Isaac Newton, englantilainen alkemisti. Edeltävät koululaissukupolvet opiskelivat lähes yksinomaan Newtonilaista mekaniikkaa, mutta sitä taustaa vasten onkin helppo ymmärtää, että suo-malaisen modernin teknologian lippulaiva Nokia ei menestynyt vaan ajautui Microsoftin syliin.”

Kun katsomme ympärillemme, havaitsemme kasvit, eläimet ja esineet. Taivaalla näemme tähtiä ja jonkun planeetan. Apuvälineiden avulla näemme galakseja, tähtien syntymisiä ja kuolemia, kaikenlaista hauskaa. Kari Enqvist on oikeassa, että isot asiat – kosmologia ja hiukkasfysiikka – kiinnostavat opiskelijoita. Mutta luulen, että vain niin kauan, kun ne pidetään raa’an pänttäämisen ulkopuolella. Kyllä se hahmottava fy-siikka löytyy opiskelijan omasta elinympäristöstä.

Kaikista ei tule fyysikkoja. Fysiikka on hyvä pääsy-koeoppiaine. Lääketieteelliset tiedekunnat muuttivat syksyllä valintakokeensa perusteita niin, että kokeet perustuvat lukion opetussuunnitelman mukaisiin fy-siikan, kemian ja biologian kursseihin. Lääkärit ja in-sinöörit pärjäävät vielä pitkään perinteisen lukiofysii-kan tiedoilla. Lukiofysiikka antaa sille, joka fysiikkan-sa ymmärtää, melkoisen arsenaalin selittää luonnon-ilmiöitä, eikä ymmärrys jää kovin pirstaleiseksi. Kyllä fysiikan oppitunneilla kokonaisuuksia rakennetaan. Hyvän opiskelijan näkökulmasta opiskeluissa edetään vain tuskastuttavan hitaasti.

Itse pohtisin hyvin tarkkaan sen, mitä aihealueita fysiikkaan lisätään, koska samanaikaisesti olisi jotain jätettävä pois. Nykyinen opetussuunnitelma useimpi-en kurssien kohdalla on liian laaja.

Joko sinulla on oma lehmä?Atomi- ja ydinfysiikan opettamiseen on viime aikoi-na tullut uusia mittalaitteita. Valosähköilmiön olen aina demonstroinut laitteella, jossa ultraviolettivalo irrottaa elektroneja sinkkilevystä. Laite on hankit-tu koululle vuosikymmeniä sitten, lamppu ja sinkki-levy henkivät jo historian havinaa. Muutama vuosi sitten hankin viiteen eriväriseen LEDiin perustuvan

Planckin vakion määrityslaitteen (NTL, MFKA Oy). Valosähköilmiö hahmottuu tosi mukavasti demonst-raation avulla ensin kvalitatiivisesti ja sitten LEDien avulla kvantitatiivisesti.

Uusin saamani laite on spektrometri (Vernier, Laskentaväline Oy), jonka avulla voidaan tutkia mm. näkyvän valon emissiospektrejä. Mittausalue on 380–950 nanometriä. Spektrit kiinnostavat kovasti opis-kelijoita.

Myös hajoamiskäyrän ja puoliintumisajan ko-keellinen määrittäminen onnistuu oppitunnil-la. Mittaukseen menee aikaa noin 20 minuuttia. Käytössäni olevassa isotooppierottimessa (Phywe, VWR Oy) cesium-137 muuttuu beetamiinushajoa-misen tuloksena barium-137m:ksi. Bariumin viritys-tila purkautuu gammasäteilynä. Puoliintumisaika on 2,55 minuuttia.

Isotooppigeneraattoria kutsutaan laboratorioissa lehmäksi. Se on ioninvaihdin. Suolahappoliuos puristetaan ruiskulla isotoop-pigeneraattoriin, josta poistuu radioaktiivinen bariumkloridi. Pulssien määrä mitataan Vernierin säteilymittarilla ja Logger-Pro-ohjelmalla sovitetaan mittaustuloksiin hajoamiskäyrä.

Planckin vakion määrityslaitteen LEDit sopivat vallan mai-niosti valolähteiksi spektritutkimuksissa. Vasemmalla Planckin vakion määrityslaite ja edessä spektrometri.

5D i m e n s i o 6/2011

Lisätietoja, suora lähetys ja videotallenne osoitteessa www.tekniikanpaivat.fi

Tekniikan päiväT 13.—14.tammikuuta2012,OtaniemiDipOli

Maaemon runsaat sulot sekä muita tekniikan ihmeitä kansantajuisessa tiedetapahtumassa. Teemana maa.

LuenToesiTyksiä ja paneeLikeskusTeLuiTa:

Riittävätkö luonnonvarat, mistä uusia materiaaleja?Kuinka luontoa voi matkia?

Kaupunkiviljely kerrostalopihoilla, parvekkeilla ja katoilla.Kierrätysyhteiskunta – viherpesua vai realistinen tavoite?

Design kaupunkisuunnittelussa ja maankäytössä.

oheisohjeLmana:

näyttelyitä, Suomen Akatemian Tiedekahvila, ohjelmaa Heurekasta, ratsastussimulaattori, roskien lajitteluun koulutettu koira jne.

TapahTumaan on vapaa pääsy. TerveTuLoa!

Ratkaisut eDimensiossa

http://www.maol.fi/julkaisut/edimensio/dimension-pulmasivuja/

Vastaukset

Esim. (1 + 2) • 3 • 4 – 5 = 31, 25 – 1 • 4 + 3 = 31, 54 – 23 • 1 = 31, 5² + 4 + 3 – 1 = 31 ja 4 • 5 + 13 – 2 = 31.

H = 2, E = 5 ja S = 6 eli 25 · 25 = 625.

Sininen, punainen, vihreä ja keltainen.

PulmasivuPulmasivu

1.1.1.

3.3.3.

2.2.2.

(*) Muodosta numeroita 1, 2, 3, 4 ja 5 käyttäen viisi lauseketta, joiden arvo on 31.

Vaikeustaso on merkitty tähdillä: yhden tähden (*) tehtävä on helpoin ja kolmen (***) haastavin.

Koonnut Martti [email protected]

(**) Mikä numeroarvo vastaa laskussa kirjaimia E, H ja S?

HE ∙ HE = SHE

(***) Selvitä päättelemällä, mikä on Master Mind- pelilaudassa värien järjestys vasemmalta oikealle.

1. arvaus Kaikki värit oikein, mutta mikään ei ole oikealla paikalla

2. arvaus Kaikki värit oikein, mutta vain yksi on oikealla paikalla.

3. arvaus Kaikki värit oikein, mutta vain yksi on oikealla paikalla.

4. arvaus Kaikki värit oikein. Kaksi väriä on oikealla paikalla.

Rauhallista Joulua ja Onnellista Uutta Vuotta 2012

Toivottavat MAOL ry

MFKA-Kustannus Oy ja Dimensio-lehti

Toivottavat MAOL ry


Toivottavat MAOL ry


Documents

Dimensio 6-2011