-
8/18/2019 Convergencia de La Serie de Fourier
1/12
Convergencia de la serie de Fourier:
la serie infinita
0 0 0
1
0
1( cos )
22 , y son los coeficientes de fourier de ( ),converge al
valor ( )
n n
n
n n
a a n t b sen n t
donde a b f t f t t
ω ω
π ω
∞
=
+ +
=
∑
problema a.1:
0 0 0
1
0
2
02
si ( ) denota la suma de los (2k+1) terminos de la serie de
fourier f(t) ,es decir
1( ) ( cos )
2
2donde , y a y b estan dados por
2a ( )cos( )
2( )
k n n
n
n n
T
n T
n
f t
S t a a n t b sen n t
t
f t n t dt T
b f t seT
ω ω
π ω
ω
∞
=
−
= + +
=
=
=
∑
∫ 2
02
2
02
( )
demostrar que
2( ) ( ) [ ( )]
donde ( ) es el llamado !n"cleo iric#let!$ es decir,
1[( ) ]
2 ( )1
2 ( )2
T
T
T
k k T
k
k
n n t dt
S t f x D x t T
sen k
sen
ω
ω
ξ
ξ ξ
ξ
−
−= −
+=
∫
∫
-
8/18/2019 Convergencia de La Serie de Fourier
2/12
2 2
0 0 0 0 0 02 2
2
0 0 0 0 0 02
0
%
2 2cos ( ) cos( ) cos ( ) ( )
2cos ( )[cos( )cos ( ) ( ) ( )]
cos
T T
n n T T
T
n n T
n n
SOLUCION
a n t b sen n t f x n x dx n t f x sen n x dx sen n t T
T
a n t b sen n t f x n x n t sen n t sen n x dxT
a n t b se
ω ω ω ω ω ω
ω ω ω ω ω ω
ω
− −
−
+ = +
+ = +
+
∫ ∫
∫ 2
0 02
2 ( )cos[ ( )]
de esta manera%
T
T n n t f x n x t dx
T ω ω
−= −∫
0 0 0
1
2 2
0
12 2
2
0 0 0
2
1( ) ( cos )
2
1 2( ) ( ) ( )cos[ ( )]
2 1( ) ( ) cos[ ( )] cos[2 ( )] &&& cos[ ( )]2
k n n
n
T T k
k
nT T
T
k
T
S t a a n t b sen n t
S t f x dx f x n x t dxT T
S t f x x t x t k x t dxT
ω ω
ω
ω ω ω
∞
=
=− −
−
= + +
= + −
= + − + − + + −
∑
∑∫ ∫
∫
0#acer ( ) y considerar la suma
1 ( ) cos cos 2 &&& cos
2
utili'ando la identidad trigonometrica, 2cos ( ) ( ) ,se
obtiene%
k
x t
k
AsenB sen A B sen A B
ω ξ
ξ ξ ξ ξ
− =
= + + + +
= + − −
-
8/18/2019 Convergencia de La Serie de Fourier
3/12
2 ( ) 2 cos 2 cos 2 &&& 2 cos2 2 2 2 2
1 12 ( ) &&& ( ) ( )
2 2 2 2 2 2 2 2
12 ( ) ( )2 2
1( )
2( )
22
k
k
k
k
sen D sen sen sen sen k
sen D sen sen sen sen sen sen k sen k
sen D sen k
sen k
D
sen
reempl
ξ ξ ξ ξ ξ ξ ξ ξ ξ
ξ ξ ξ ξ ξ ξ ξ ξ ξ
ξ ξ ξ
ξ
ξ ξ
= + + + +
= − + − + − − − + +
= + + =
2
02
02
2 0
%
2( ) ( ) [ ( )]
1( ) ( )2 2
( ) ( )1
2 ( )2
T
k k T
T
k
T
azando
S t f x D x t T
sen k x t S t f x dx
T sen x t
ω
ω
ω
−
−
∴ = −
+ − ⇒ = −
∫
∫
problema a.2:
-
8/18/2019 Convergencia de La Serie de Fourier
4/12
2
02
02
2 0
2demostrar que la relacion ( ) ( ) [ ( )] se puede e*presar
como%
1( )
2 2( ) ( )
12 2
%
2#aciendo el cambio de variables *+t por en ( ) ( )
T
k k T
T
k
T
k
S t f x D x t T
sen k
S t f t d T
sen
SOLUCION
S t f xT
ω
ω λ
λ λ
ω λ
λ
−
−
= −
+ = +
=
∫
∫
2
02
02
2 0
0
0
10
0
[ ( )] el resultado es%
1( )
2 2( ) ( )
12
2
a#ora bien reempla'ando en %
1( )
12( ) cos
1 22 ( )
2
por lo tanto %
1( )
2
T
k T
T t
k
T t
k
k
k
n
D x t
sen k
S t f t d T
sen
sen k
D n
sen
sen k
ω
ω λ
λ λ
ω λ
ω λ
ξ ω λ
ω λ
ω
−
−
− −
=
−
+ = +
+ = = +
+
∫
∫
∑
0
12 ( )
2
es una funcion periodica en la variable , con periodo
&puesto que la funcion ( )
tambien es periodica en la variable ,con periodo &
( ) se puede e*presar como %
2( ) (
k
k
sen
f t
S t
S t f t T
λ
ω λ
λ λ λ
λ
+
∴
= +0
2
2
0
1( )
2)
12 ( )
2
T
T
sen k
d
sen
ω λ
λ
ω λ −
+ ∫
Problema a.3:
-
8/18/2019 Convergencia de La Serie de Fourier
5/12
sea ( ) una funcion periodica con periodo , integrable
absolutamente en un periodo&
demostrar que en todo punto de continuidad donde e*iste la
derivada, la serie
de fourier de ( ) converge el valor
f t
f t f
02
2
0
02
0
12 0
( ) , es decir,
lim ( ) ( )&
%
sea un punto de continuidad de ( )&
1( )
2 2lim ( ) lim ( )
12 ( )
2
1( )
12 pero - cos1 2
2 ( )2
k k
T
k T k k
T
k
nT
t
S t f t
solucion
f t
sen k
S t f t d T
sen
sen k
n
sen
ω λ
λ λ
ω λ
ω λ
ω λ
ω λ
→∞
−→∞ →∞
=−
=
+ = +
+ +
∫
∑∫ 2
2
02 2 2
0
12 2 20
02
2 0
02
2 0
1( )
12 - cos( )
1 22 ( )
2
1( )
2 -
1 22 ( )2
1( )
2 2 -1
12 ( )
2
para cualquier valor de k&
2( ) (
T
T
T T T k
nT T T
T
T
T
T
d
sen k
d n d
sen
sen k T
sen
sen k
T sen
f t f t T
λ
ω λ
λ ω λ λ
ω λ
ω λ
ω λ
ω λ
ω λ
−
=− − −
−
−
+ +
+
+ ∴
=
∫
∑∫ ∫ ∫
∫
∫
02
2 0
02
2 0
1( )
2)
12 ( )
21
( )2 2
lim ( ) ( ) lim [ ( ) ( )]1
2 ( )2
T
T
T
k k k
T
sen k
d
sen
sen k
S t f t f t f t d T
sen
ω λ
λ
ω λ
ω λ
λ λ
ω λ
−
→∞ →∞−
+
+ ⇒ − = + −
∫
∫
-
8/18/2019 Convergencia de La Serie de Fourier
6/12
0 0
considerar a#ora la funcion
( ) ( ) ( ) ( )( )
1 12 ( ) 2 ( )
2 2
dado que ( ) tiene una derivada en el punto t,
( ) ( )
permanece limitado a medida que 0&
por otra parte la funcion
f t f t f t f t g
sen sen
f t
f t f t
λ λ λ λ
λ ω λ ω λ
λ
λ
λ
+ − + −= =
+ −
→
0
0
12 ( )
2
1es continua para 0, y se apro*ima a a medida que 0, puesto
que
lim -1
segun estos resultados y dado que es integrable absolutamente,
se sigue que la funcion definida,
e
sen
senθ
λ
ω λ
λ λ ω
θ θ →∞
≠ →
2
0
2
s integrable absolutamente& entonces, por lo tanto el
resultado %
2 1lim ( ) ( ) lim ( ) 0
2
lim ( ) ( )
T
k k k
T
k k
S t f t g sen k d T
S t f t
λ ω λ λ →∞ →∞
−
→∞
− = + = ÷
∴ =
∫
-
8/18/2019 Convergencia de La Serie de Fourier
7/12
Problema a.4:
-
8/18/2019 Convergencia de La Serie de Fourier
8/12
sea ( ) una funcion continua por tramos, periodica con periodo ,
integrable absolutamente en un per
demostrar que en todo punto de discontinuidad donde ( ) tiene
una derivada de derec#a e i'qu
f t
f t
[ ]
02
2 0
0 0
2 0
ierda,
la serie de fourier de ( ) converge al valor
1( ) ( ) ,
2%
1( )
2 2lim ( ) lim ( )
12 ( )
2
1( )
2 2lim ( ) lim ( )
12 ( )
2
T
k k k
T
k k k
T
f t
f t f t
solucion
sen k
S t f t d T
sen
sen k
S t f t T
sen
ω λ
λ λ
ω λ
ω λ
λ
ω λ
→∞ →∞−
→∞ →∞−
+ + −
+ ⇒ = +
+ ⇒ = +
∫
∫ 02
00
00 02
020 0
0
1( )
2 2lim ( )
12 ( )
2
como ya sabemos que es par%
1 1( ) ( )
2 2 12 2
1 1 22 ( ) 2 ( )
2 2
1( )
1 2 2( ) ( )
122 (
2
T
k
T
T
sen k
d f t d T
sen
sen k sen k
d d T T
sen sen
sen k
f t f t T
sen
ω λ
λ λ λ
ω λ
ω λ ω λ
λ λ
ω λ ω λ
ω λ
→∞
−
+ + +
+ + ∴ = =
+ ⇒ + = +
∫
∫ ∫
2
00
0 02 2
0 00 0
0
)
de esta manera,1 1
( ) ( )2 1 22 2
lim ( ) ( ) lim [ ( ) ( )]1 12
2 ( ) 2 ( )2 2
consideremos a#ora la funci.n
( ) ( )( ) -
12
2
T
T T
k k
d
sen k sen k
f t d f t f t f t d T T
sen sen
f t f t g
sen
λ
ω λ
ω λ ω λ
λ λ λ λ
ω λ ω λ
λ λ
ω λ
→∞ →∞
+ + + − + = + − +
+ − +
∫
∫ ∫
0
( ) ( )
12
2
puesto que ( ) tiene una derivada en el lado derec#o en
t,( ) ( )
, 0,
f t f t
sen
f t f t f t
λ λ
λ ω λ
λ λ
λ
+ − +=
÷ ÷
+ − +>
-
8/18/2019 Convergencia de La Serie de Fourier
9/12
0
permanece limitado a medida que 0, y la funcion
12
2
tambien es limitado& como en el caso donde ( ) es continuo,
se concluye que la funcion
( ) es integrable absolutamente en el interva
sen
f t
g
λ
λ
ω λ
λ
→
÷
02 2
0
0 00
lo [0, ]&2
1( )
2 1 2 12lim ( ) ( ) lim ( ) ( ) 0
1 2 22 ( )
2
T T
k k
T
sen k
f t d f t g sen x d T T
sen
ω λ
λ λ λ ω λ λ
ω λ →∞ →∞
+ ⇒ + − + = + = ∫ ∫
Fenómeno de Gibbs:
cuando una funcion dada se apro*ima mediante una suma parcial de
la serie de fourier,
#abra un error considerable en la vecindad de una
discontinuidad, no importa cuantos
terminos se quieran utili'ar, este efecto se conoce como
fenomeno de /ibbs&
Problema a.5:
considere la onda cuadrada de amplitud uno y periodo 2 ,
1, 0( )
1,0
anali'ar la suma de un numero finito de terminos de la serie de
fourier
t f t
t
π
π
π
− − <
-
8/18/2019 Convergencia de La Serie de Fourier
10/12
2
0 02
02
2
considerese a#ora la suma de un numero finito de terminos, de la
serie 5 ( )&
2 2( ) ( ) [ ( )] , esta suma esta dada por, (-2 , - -1)
1( ) ( )
2 2( ) ( )
12
2
k
T
k k T
T
k
T
t segun
S t f x D x t T T
sen k x t
S t f xT
sen
π ω π ω
ω
−
−
= −
+ − =
∫
∫ 0 ( )
1( )( )
1 2( ) ( )12
( )2
k
dx
x t
sen k x t
S t f x dx
sen x t
π
π
ω
π −
− + −
= − ∫
OST!AOS COO S# $O!A
LA $UNCION CUAD!ATICA
SUANDO LOS A!ONICOS D#
LA S#!I# D# $OU!I#!%
-
8/18/2019 Convergencia de La Serie de Fourier
11/12
0
0
1 1( )( ) ( )( )
1 12 2( ) ( ) ( )
1 12 2( ) ( )
2 2sustituyendo por , y por , se obtiene%
1( )
1 2( ) ( )
12
2
k
t
k
t
sen k x t sen k x t
S t f x dx f x dx
sen x t sen x t
x t & t x &
sen k &
S t f x
sen &
π
π
π
π π
π
−
−
−
′+ − + − ′= − ′− −
′ ′− −
+ =
∫ ∫
∫
1( )
1 2( ) &&&&&( )
12
2
esto es asi porque
1 1( )
2 2
1 1( )
2 2
puesto que
t
t
t t t t
t t t t
sen k &
d& f x d&
sen &
d& dx
sen k & sen k &
sen & sen &
π
π π
π π
α π +
− −
− + −
′+ ′+ ′
′ ′=
′ ′+ − = − + ÷ ÷
′ ′− = −
+ = + +
∫
∫ ∫ ∫ ∫ ( ) se puede e*presar asi %
1 1( ) ( )
1 12 2( ) 1 12 2
2 2
en la vecindad de la discontinuidad, es decir, t-0, se evalua
l
t t t t
t t t t
t t
k
t t
sen k & sen k &
S t d& d& sen & sen &
π π
π π
π
π
α
π π
− −
+ − − +
−
− +
+ = +
⇒
+ + = −
∫ ∫ ∫ ∫
∫ ∫
0
a primera integral en la region donde
y-0& aplicando la regla de , se obtiene el valor del
integrando y-0, como&
1 1cos
2 22 1
1 1cos
2 2
la segunda integral se eval
&
L 'ospital
k k &
k
&
=
′
+ + ÷ ÷ = + ÷
ua en la region donde y- & el integrando de la segunda
integral en y- es (
se puede despreciar la contribucion de la primera& por
consiguiente,
1 1( ) (
1 12( )
12
2
t
k
t
sen k & sen k
S t d&
sen &
π π
π π −
+ + = −
∫ 0
)2
1
2
t &
d&
sen &
∫
-
8/18/2019 Convergencia de La Serie de Fourier
12/12
0
puesto que el integrando es par en y&
como lo que interesa es la vecindad de la discontinuidad,
es decir, t-0, y
lim 1
1se puede reempla'ar sen 162y por y, y obtener 2
(1
( )k
sen
sen k
S t
θ
θ
θ
π
→=
+=
0 0
1( )2
0
1 1) ( )
22 2
1
2
1sustituyendo (k+ )y por ,se tiene2
2 2 1( ) &
2
(0) 0, y ( )2
(0) 0
lim ( ) 1
t t
k t
k i
i i
k
k k
& sen k &
d& d& &
&
senS t d S k t
S S
S
S t
π
ζ
ζ ζ
π ζ π
π
+
→∞
+ =
= = + ÷
⇒ = ∞ =
==
∫ ∫
∫
