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Series de Fourier.Clasificación de
Funciones
No-PeriódicasPeriódicas
Serie de Fourier Transformada de Fourier
Se puede aplicar* Se puede aplicar
* Siempre que cumplan las condiciones de Dirichlet* Siempre que cumplan las condiciones de Dirichlet
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Serie de FourierDe acuerdo a la descripción anterior se
puede aplicar la serie de Fourier a todas las funciones periódicas.
Primero que nada una función periódica es aquella función, continua o discreta que cumpla con estas características.
F(t)=F(t+T), donde T es el periodo, para el caso de las funciones continuas.
F[N]=F[N+T], donde T es el periodo , para el caso de las funciones discretas.
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Ejemplo de funciones periódicas.Ejemplo de Ejemplo de funciones funciones periódicas.periódicas.
Arriba: función Arriba: función periódica periódica
continua por continua por tramostramos
Abajo: función Abajo: función periódica periódica discreta. discreta.
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+ Ejemplo de funciones periódicas.
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Serie de Fourier.Se puede aplicar a cualquier función continua por partes que cumpla las siguientes condiciones.
1. Siendo discontinua, tenga un número finito de discontinuidades en el periodo T;
2. Tenga un valor, medio finito en el período T;3. Incluya un número finito de máximos positivos y
negativos en el período T.Cumpliéndose 1,2,3(*) se puede tener dos maneras de escribir la serie de Fourier, estas son:
Serie de Fourier Trigonométrica Y
Serie de Fourier Exponencial.
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Serie Trigonométrica de Fourier.Cumpliéndose las condiciones de Dirichlet, se
puede escribir a la función F(t) como una serie trigonométrica de Fourier.
...sen3sen2sen
....3cos2coscos)(
321
3210
tbtbtb
tatataatf
Como se puede observar, la idea de expresar una función Como se puede observar, la idea de expresar una función que cumpla las condiciones de Dirichlet, es que se pueda que cumpla las condiciones de Dirichlet, es que se pueda
escribir como una suma de funciones sinusoidales.escribir como una suma de funciones sinusoidales.
8
Serie Trigonométrica de Fourier
Identificación de elementos de la serie de Fourier
1. Llamaremos a w la frecuencia.2. Cada vez que la frecuencia se multiplique
por un factor k, donde k=1,2,… llamaremos armónico k, por ejemplo si k=3, tendremos una frecuencia de 3w, a eso llamaremos el tercer armónico.
...sen3sen2sen
....3cos2coscos)(
321
3210
tbtbtb
tatataatf
9
Obtención de los coeficientes
Para obtener los coeficientes, a0, ak, bk, k=1,2,… y de la serie trigonométrica de Fourier, tendremos que realizar las siguientes operaciones:
...sen3sen2sen
....3cos2coscos)(
321
3210
tbtbtb
tatataatf
,...2,1,sen)(2
,...2,1,cos)(2
)(1
2
2
2
2
2
2
0
kdtkttfT
b
kdtkttfT
a
dttfT
a
t
tk
t
tk
t
t
10
Ejercicio 1Obtener la serie trigonométrica de Fourier para
la función dientes de sierra, dibujar el espectro de frecuencia y la onda resultante
Fig1.Fig1. Acá se tiene Acá se tiene una función que una función que tiene un periodo tiene un periodo
22con una con una amplitud de 1. los amplitud de 1. los
valores de la valores de la función varían función varían entre 0 a 1.entre 0 a 1.
11
Solución Primero definimos la función
20;2
tVtV
tV
Ahora buscamos los coeficientes aAhora buscamos los coeficientes aoo, a, akk y b y bkk
222
1
22
11
2
0
2
2
2
0
2
2
0
VtV
tV
tVdtV
tdtfT
a
T
T
12
0
2
2cos
2cos
22
2
cos2
2222
2
0
2
2
k
kV
k
VtdtkVt
V
tdtktfT
aT
Tk
k
V
k
kV
k
VtdtkVt
V
tdtktfT
bT
Tk
22
2
0
2
2
2
2sensin
22
2
sin2
Solución Solución
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Mediante matlab podemos obtener los resultados de ak y bk
kk akak bk bk CkCk
11 00 0.3183 0.3183 0.3183 0.3183
22 00 0.1592 0.1592 0.1592 0.1592
33 00 0.1061 0.1061 0.1061 0.1061
44 00 0.0796 0.0796 0.0796 0.0796
55 00 0.0637 0.0637 0.0637 0.0637
66 00 0.0531 0.0531 0.0531 0.0531
77 00 0.0455 0.0455 0.0455 0.0455
88 00 0.03980.0398 0.03980.0398
99 00 0.0354 0.0354 0.0354 0.0354
1010 00 0.0318 0.0318 0.0318 0.0318
1111 00 0.02890.0289 0.02890.0289
Tabla #1. los Tabla #1. los primeros 11 primeros 11
coeficientes de la coeficientes de la serie de Fourier serie de Fourier para el ejercicio para el ejercicio
planteado.planteado.
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Finalmente obtenemos la serie de fourier con los datos planteados
...t3sen
3
1t2sen
2
1tsen
1
2)(
V
tV
Gráfico del Gráfico del espectro de onda.espectro de onda.
15
La Figura muestra una aproximación de la señal mediante la serie de Fourier.
Esto se obtuvo Esto se obtuvo con los con los
primeros tres primeros tres armónicos. armónicos.
16
Aproximación con 6 ArmónicosAproximación con 6 Armónicos
17
Aproximación con 9 ArmónicosAproximación con 9 Armónicos
18
Aproximación con 12 ArmónicosAproximación con 12 Armónicos
19
Ejercicio 2• Determinar la serie Determinar la serie trigonométricatrigonométrica de de FFourier para la ourier para la onda cuadrada de la siguiente onda cuadrada de la siguiente señalseñal::
)/(1
2
0)(5
0)(5)(
segrad
T
tvV
tvVtV
20
Solución
)5sin(4
)3sin(3
20)sin(
20)(
)5sin(5
4)3sin(
3
4)sin(
4)sin()(
,3,2,11242
2
12
ttttV
tV
tV
tV
tnbtf
iconinn
V
n
Vb
inn
n
21
Graficas
En esta grafica se En esta grafica se superpuso la Serie superpuso la Serie trigonométrica de trigonométrica de Fourier con 60 Fourier con 60 armónicos versus armónicos versus la onda cuadrada.la onda cuadrada.
Logrando un Logrando un buena buena aproximación de aproximación de la onda cuadrada.la onda cuadrada.
