Serie de Fourieren tiempo discreto

Integrantes:Henrry UgartecheKevin Molina MonteroJuan Carlos Yepez Benitez

Una señal x[n] en TD puede representarse para un intervalo de tiempo discreto finito para un intervalo : n0≤n<n0+NF

La primera diferencia que debe notarse entre los casos de TD y en TC es que la sumatoria en tiempo discreto no necesita ir

hasta infinito ,esto se debe a que n y k son enteros y:

y puesto que FF=1/NF

Cualquier conjunto de numero de k, que abarque el intervalo k0≤k<k0+NF donde k0 es arbitrario genera un conjunto completo

funciones exponenciales.

Es la sumatoria de cualquier intervalo de numero k consecutivos

Multiplicando ambos lados

Invirtiendo el orden de la sumatoria

El intervalo angular entre senoides complejas es la fracción (k-q)/NF

Cuando graficamos todas la senoides podemos observar que la sumatoria de todas las senoides es cero.

Se cuenta con un procedimiento analítico para este resultado que utiliza una formula muy útil ,para la sumatoria de una serie geométrica finita

Aplicando a la formula y haciendo un cambio de variable a m=n-n0

Y como k-q es un entero

En el caso de k=q la serie se simplifica

Y resolviendo para X[q],se tiene: La representación original de la SFTD de una señal en TD es

X[K] esta dada por :

La Representación de la SFTD de una señal x[n] es periódica con periodo fundamental NF.

La representación de la SFTD de una señal XF[n] es periódica en tiempo discreto con periodo fundamental NF. En el caso mas común en el que se representa una señal periódica x[n] para exactamente un periodo fundamental N0,x[k] y X[k] son periódicas con periodo fundamental N0.

Si se conocen un conjunto de N0 número y los valores de la X[k],es posible reconstruir la señal completa utilizando la relación.

Determine la función armónica de la SFTD de la señal en TD x[n]=rect2[n]*comb8[n] para exactamente un periodo fundamental:

Ejemplo:

El intervalo de la sumatoria puede ser cualquiera de m ≤n< m+8,donde m es cualquier entero.

Se puede determinar la función dejando que k ,sea cada uno de los enteros en el intervalo de q ≤k< q+8donde q es cualquier entero ,uno a la vez, y sumando los términos en la sumatoria para cada k.

Para sumar una serie geométrica ,primero se efectúa el cambio de variable m=n+2 .

Y recordando la función de dirichlet esta definida por :

Ahora para ilustrar mejor el concepto de la serie de Fourier vamos a usar otro ejemplo:

PROPIEDADES DE LA SERIE DE FOURIER

• Es posible encontrar la función armónica de la SFTD para estas dos señales dado su periodo fundamental.

• La función armónica SFTD se encuentra a partir de las siguientes relaciones de transformación

LINEALIDAD

DESPLAZAMIENTO EN FRECUENCIA

La demostración es similar que en TC

CONJUGACIÓN

INVERSION EN EL TIEMPO

x[ - n ] X[ - k]

DESPLAZAMIENTO EN EL TIEMPOSea z[n] = x[n – n0] y Nx0 = Nz0 = N0

Considere que q = n – n0

Decimos que

Esta propiedad es parecida a la SFTC salvo que el Tiempo es Discreto

ESCALAMIENTO EN EL TIEMPO Diferente a las funciones en TC

Sea z[n] = x[ an ], a>0

Si a no es un entero, entonces algunos valores de z[n] estarán indefinidos

Si a es un entero, entonces z[n] es un versión diezmada de x[n]

No existe una relación única entre x[n] y z[n] a través de la transformación n an

ESCALAMIENTO EN EL TIEMPO Existe una operación relacionada para la cual la relación entre x[n] y z[n] es única. Sea m un entero positivo y considérese que

Periodo Fund. z[n] es N0z = m N0 Periodo Fund. x[n] es N0x

Entonces la F.A de SFTD es:

ESCALAMIENTO EN EL TIEMPO

Puesto que todos los valores de z son cero cuando n/m no es un entero,

Sea p = n/m, donde n/m es un entero. Entonces

ESCALAMIENTO EN EL TIEMPO

Y z[mp] = x[p] con todos los otros valores de z[n] iguales a cero. Por lo tanto,

no quiere decir que la representación de la SFTD de z sea igual que la de la SFTD de x pero dividida entre m, porque los periodos de las dos señales no son iguales. La representación de la SFTD de z es

CAMBIO DE PERIODO

Se puede encontrar la función armónica de x[n], Xq[k], para el periodo de representación qN0, donde q es un entero positivo. Esta es

DUALIDAD MULTIPLICACION-CONVOLUCION

Salvo que q se extiende por intervalo finito, esta es uns suma de convolucion periodica

Z(k)

PRIMERA HERENCIA HACIA ATRAS

Sea z[n] – x[n – 1] y Nx0 = Ny0 = N0. Entonces

Si se utiliza la propiedad de desplazamiento en el tiempo deducida anteriormente,

ACUMULACIONLa propiedad de la primero deferencia hacia atrás demostró que X[k] = (1 – e-j2π(kF0)) Z[k]. Por consiguiente

SEÑALES PARES E IMPARES

Si x[n] es una señal par, x[n] = x[ -n ]

Si x[n] = - x[ -n ], entonces la derivación es exactamente la misma salvo por un signo

TEOREMA DE PARSEVALLa energía de señal de x[n] es infinita. La energía de señal para un periodo Nx0 = N0 se define como

CONVERGENCIA DE LA SERIE DE FOURIER EN TIEMPO DISCRETO

La convergencia es una sumatoria finita es la igualdad exacta entre una función y su representación en SFTD se consigue con un numero finito de términos de No Una señal en TD x[n] y su función armónica de la SFTD junto con su similar a la onda cuadrada en TC y su función armónica de la SFTD X[k] para comparar

Señal de TD, x[n]

1

Señal de TC, x(t)

n

X(t)

1

Sumas parciales

Para N=1,2,3, los errores asociados y los errores cuadráticos .

1

0.4

-0.4

n

n

n

Error cuadrático medio = 0.033033

Error

Suma parcial, N = 1

0.15

Suma parcial, error y error cuadrático para N=1

=

= 0.03124 – j0.3173

= ==

=

Por comparación, esta misma armónica para la señal en TD fue:X[1]=-j0.3173

Una diferencia de fase en la función armónica de la SFTD corresponde a un desplazamiento en el tiempo. La figura ilustra la relación entre la señal original en TD y su suma parcial N=1 para ambas señales en TD.

Para ambas señales en TD, la suma parcial N=1 consta del valor 1/2 , más un seno cuyo periodo fundamental es igual que la onda cuadrada . Para la primera señal en TD, la onda seno fundamental tiene su cero cruzando los puntos n=0 y n=16. También tiene sus picos en los puntos n=8 y n=24 que son los puntos de simetría del primero y segundo periodo.

RESPUESTA EN FRECUENCIA DE SISTEMAS LIT CON EXCITACION PERIODICA

La razón para estudiar la serie de Fourier es que constituya una herramienta para el análisis de la respuesta de un sistema LIT a una excitación. Puesto que solo las señales periódicas pueden expresarse en todo tiempo como una serie de Fourier, el análisis se limitara a una excitación periódica

La ecuación diferencial que describe la relación entre la señal de voltaje de entrada y la señal la señal de voltaje de salida

La señal es periódica y esta expresada como una SFTC compleja

= (frecuencia fundamental de la excitación)Este en un sistema LIT, es posible encontrar la respuesta determinando de manera individual la respuesta a cada snoide compleja y sumándolas después.

La ecuación para la senoide compleja de la señal de voltaje de entrada k-esima es:

La señal de voltaje de salida será la misma forma que la señal de con la misma frecuencia

Entonces a la ecuación se convierte en:

La ecuación diferencial cambia por una ecuación algebraica, al despejar

La solución de estado estable es:

y es una función de frecuencia kfo.Si la frecuencia fundamental fo es pequeña en comparación con entonces para k pequeños, y son aproximadamente iguales

Este circuito no realza las frecuencias mas altas en la señal de voltaje de entrada y por esta razón se recibe el nombre de filtro pasabajas.Como puede observarse en la siguiente figura, el cociente de las magnitudes es aproximadamente uno para bajas frecuencias y disminuye hacia cero a frecuencias altas

1

Kfo

Kfo

Magnitud y fase del cociente en función de la frecuencia

Entonces la solución se encuentra utilizando impedancias y del resistor y del capacitor.

La similitud entre este resultado y el de análisis de la SFTC