Introduccin Sinotienesunasnocionesprevias,puedesercomplicadocomprenderel conceptode"representacinenfrecuenciadeunaseal".Bsicamentela TransformadadeFourierseencargadetransformarunasealdeldominiodel tiempo,aldominiodelafrecuencia,dedondesepuederealizarsu antitransformada y volver al dominio temporal. EstudiaremosalolargodeestetrabajolaSeriedeFourier,Ejercicios referentesalsenoycoseno,lasTransformadasdeFourier,propiedadese interpretacin. CONCLUSIN Laintegralimpropiaqueapareceenestoscoeficientes(conocidacomola transformada de Fourier), resulta ser de gran importancia en el anlisis de Fourier yenlasmltiplesaplicacionesdeestaramadelaciencia.Solopormencionar algunas,digamosquelatransformadadeFourierseaplicaenelestudiode sealesysistemas,ascomoenptica;apareceenlosaparatossofisticados modernos como los que se usan para tomar una tomografa, tambin surge en las tcnicasanalticascomolaresonanciamagnticanuclear,yengeneral,entodo tipo de instrumentacin cientfica que se use para el anlisis y la presentacin de datos. FUNCIONES PERIDICAS Unafuncinesperidicasicumplelacondicindeperiodicidad,esdecir,sidespusde cada cierto intervalo de tiempo o espacio constante, llamado periodo, la funcin adquiere elmismovalordepartida.Matemticamente,estacondicinlapodemosexpresardela siguiente forma(Ec.1) donde Tes el periodo caracterstico de la funcin f(t). Figura 1. Ejemplo de funcin peridica con periodo T. Comopodemosverenlafigura1,siconocemoslaformadelafuncinenelintervalo [0,T], la conocemos en todo el espacio, debido a que con una simple traslacin de periodo T, podemos extender su campo de existencia hasta donde nos sea necesario. Esta es una caractersticaintrnsecadelasfuncionesperidicas.Teniendoencuentaesta caracterstica,intentemosevaluarcualitativamenteelaspectoquedebedetenerla imagenrecproca(transformadadeFourier)asociadaaunafuncinperidicaf(t). Consideremosparaelloquelafuncinf(t),soloseencuentradefinidaenelintervalo acotado 0,T. Sabemosqueenunintervaloacotado,0,L,lafuncinlapodemosrepresentarcomouna combinacin lineal de funciones armnicas, que llamamos series de Fourier.La caracterstica principal de estas series, es que solo estn permitidos unos determinados valorespropiosofrecuenciaspropias,enfuncindelascondicionesdebordealasque estuviesesometidalafuncin.Fijndonosenestehecho,serdeesperarqueelaspecto de la transformada de Fourier de la funcin f(t), peridica y definida en el intervalo [0,T], seadiscreto.Dehecho,estadiscretizacin,deberdeserproporcionalalperiodoenel queseencuentradefinidalafuncin,esdecirproporcionalalinversodelperiodoT.La figura 2, muestra lo que cabe esperar respecto al aspecto de la transformada de Fourier, asociada a la funcin peridica f(t). Figura 2. Aspecto cualitativo de la imagen recproca de una funcin peridica. Imagen recproca de una funcin peridicaParapoderirmsallyaveriguarcualserladistribucindeamplitudquetienela imagenrecprocadeunafuncinperidicagenrica,deberemosdeestudiar analticamenteestetipodefunciones.Siaplicamosladefinicindetransformadade Fourier a la funcin peridica f(t), obtenemos que(Ec.2) Sirealizamoselcambiodevariable,t=t+T,vemosquelaigualdad(Ec.2)adquierela forma(Ec.3) Comparandolasecuaciones(Ec.2)y(Ec.3),apreciamosque,paraquesecumplala igualdad, debe de cumplirse la condicin loquetienecomoconsecuenciaelhechodequelosnicosvaloresposiblesdewsern aquellos que cumplan que para cualquier valor entero de n. Por lo tanto solo aparecen, como frecuencias propias posibles,laswnproporcionalesalinversodelperiodo,talycomohabamosdeducido cualitativamenteenelapartadoanterior.Estacaractersticadediscretizacindelas funcionesperidicas,nospermiterepresentarsuimagenrecprocacomouna combinacin lineal de funciones delta de Dirac.En forma temporal el aspecto de la imagen recproca ser(Ec.4) Anlogamente, la forma espacial tendr el aspecto(Ec.5) Intuitivamente podramos decir que una funcin peridica genrica f(t), posee una funcin transformadadeFourierconelaspectodeunaseriedeFourier.Vemosloaplicandola definicin general de transformada de f(t) a la ecuacin 4, como integrar sobre deltas de Dirac es un regalo, debido a que llegamos, en definitiva, a la forma en serie de Fourier(Ec.6) Lo que acabamos de ver tiene como consecuencia inmediata que cualquier funcin f(t) o f(x),peridicayanalticaenelintervalo,0