Slides Serie de Fourier

8/18/2019 Slides Serie de Fourier

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Facultad de Ingeniería, U.A.B.C.


2/16

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e st ! H " s #e st

z n ! H " z # z n

,-$)- ./0%"-"()12 &- 3%'$)-$


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,-$)- ./0%"-"()12 &- 3%'$)-$Respuesta de sistemas LTI a exponenciales complejas

x(t) y(t)h(t)

Las exponenciales complejas son funciones propias de los sistemas LTI.

y! t "# $ x! %"h ! t & %"d % # $ h! %" x! t & % "d %

y! t "# $% &

&

h ! ' " e s! t % '" d ' # e st $% &

&

h ! ' " e% s ' d ' # H ! s"e st

donde H(s) es una constante compleja relacionada con la respuesta al impulso

H ! s "# $% &

&

h ! ' " e% s ' d '


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,-$)- ./0%"-"()12 &- 3%'$)-$Respuesta de sistemas LTI a exponenciales complejas

Para el dominio discreto

x!n"# Z n

y!n"# $k # % &

' &

h !k " x!n% k "

y!n"# $k # % &

&

h !k " z n % k # z n $k # % &

&

z % k

y!n"# H ! z " z n

H ! z "# $k # % &

&

h !k " z % k

h[n]

x[n] y[n]


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,-$)- ./0%"-"()12 &- 3%'$)-$

Si x(t) e jwot es periódica con frecuencia fundamental ! 0 y periodo fundamental T 0, existe una señalasociada: el conjunto de exponenciales complejas relacionadas armónicamente,

!" t #$ e jk %0 t k = 0, ±1, ±2, ±3, …

Donde cada exponencial posee una frecuencia fundamental múltiplo de ! 0. Por lo tanto:

x! t "# $k # % &

&

a k e jk ' 0 t

es periódica con periodo fundamental T 0 y cuando k = 0, x

0(t) es una constante, cuando k=1 y

k=-1, x 1(t) tiene una frecuencia fundamental ! 0 y son las componentes de la primer armónica.Cuando k =2 y k =-2 x 2(t) es periódica con la mitad del periodo fundamental, es decir el doble

de la frecuencia ! 2 =2 ! 0 y se conocen como las componentes de la segunda armónica. Asísucesivamente hasta la n-ésima armónica.


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,-$)- ./0%"-"()12 &- 3%'$)-$Desarrollo para encontrar las componentes a

k

x! t "# $k # % &

&

a k e j k ' 0 t

(0

T

x! t "a k e% jn ' 0 t dt # (

0

T

$k # % &

&

a k e jk ' 0 t e

% jn ' 0 t dt # $k # % &

&

a k (0

T

e j !k % n" ' 0 t dt

!0

T

"cos #$k % n&' 0 t () jsen #$k % n& '0 t (dt *

"!

0

T

dt + T , k + n

0 k , n*

entonces si k = n

!0

T

x"t #a k e$ jn %0 t dt & '

k & $ (

(

a k T

a k ! 1

T "T x#t $e% jk &0 t dt


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4#$15 6%$715 &- 21 ,-$)- &- 3%'$)-$

x! t "# $k # % &

&

a k e jk ' 0 t

Si x(t) = x *(t) considerando una señal real, entonces

x! t "# $k # % &

&

a ∗

k e% jk ' 0 t

si k " -k

a k ! a ∗

" k ! a" k

x#t $! %k ! " &

&

a ∗

" k e jk ' 0 t

x#t $! a0 ( %k ! 1

&

)a k e jk ' 0 t ( a

" k e

" jk ' 0 t *

x#t $! a 0 ( %k ! 1

&

)a k e jk ' 0 t ( a

∗

k e" jk ' 0 t *

x! t "# a0 $ %k # 1

&

2 Real ' a k e jk ( 0 t )

ak = A

k e j# k encontraremos la forma cosenoidal

x ! t "# a 0 $ %k # 1

&

2 Ak

cos !k ' 0 t $ ( k "


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4#$15 6%$715 &- 21 ,-$)- &- 3%'$)-$

Siak = b k +jc k entonces encontraremos la forma trigonométrica

x! t "# a 0 $ 2 %k # 1

&

Real '! bk $ j ck "!cos k ( 0 t ) senk ( 0 t "*

x! t "# a0 $ 2 %k # 1

&

Real ' b k cos k ( 0 t $ j bk senk ( 0 t $ j ck cos k ( 0 t ) ck senk ( 0 t *

x! t "# a0 $ 2 %k # 1

&

+bk cos k ( 0 t ) ck sen k ( 0 t ,

x ! t "# a 0 $ 2 %k # 1

&

bk

cos k ' 0 t ( 2 %k # 1

&

ck senk ' 0 t


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Desarrollo para encontrar las componentes bk y c

kde la Serie Trigonométrica

Se multiplica la serie trigonométrica por cos k ! 0 t

x ! t "cos k # 0 t $

a 0 cos k # 0 t % 2 &k $ 1

'

b k cos ! k # 0 t "cos !k # 0 t "( 2 &k $ 1

'

c k sen ! k # 0 t "cos !k # 0 t "

se integra en un periodo

!0

T

x "t #cos k $ 0 t dt %

!0

T

a0

cos k $ 0 t dt &!0

T

2 'k % 1

(

bk

cos "k $ 0 t #cos "k $ 0 t #dt ) !0

T

2 'k % 1

(

ck sen "k $ 0 t #cos "k $ 0 t #dt

!0

T

a0

cos k " 0 t dt # 0


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empleando identidades trigonométricas para los argumentos de las sumatorias de bk y c

krespectivamente, entonces:

1

2cos !k " k #"

1

2 cos !k $ k #%

1

2 y

1

2 sen !k " k #"

1

2 sen ! k $ k #% 0

2 !k " 1

#

bk $

0

T

%1

2cos &k ' k ('

1

2cos &k ) k (*dt " b k T

!0

T

x "t #cos "k $0

t #dt % bk

T

b k ! 1

T "T x #t $cos #k %0 t $dt


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Si ahora multiplicamos por una senoidal e integramos en un ciclo la serie trigonométrica encontraremos la componente ck

x ! t "# a 0 $ 2 %k # 1

&

b k cos k ' 0 t ( 2 %k # 1

&

c k senk ' 0 t

)0

T

x ! t " sen ! k ' 0 t "dt #

)0

T

a0 sen !k ' 0 t "dt $ )

0

T

2 %k # 1

&

bk

cos !k ' 0 t " sen !k ' 0 t "dt ( )0

T

2 %k # 1

&

ck sen !k ' 0 t " sen !k ' 0 t "dt

empleando identidades trigonométricas para los argumentos de las sumatorias de bk y ck respectivamente, entonces:

1

2 sen !"k # k $ %0 t

1

2 sen !"k ' k $ %0 t &( 0 y '

1

2cos !"k # k $%0 t

1

2cos !"k ' k $%0 t &(

1

2

!0

T

x "t # sen "k $ 0 t #dt % & 'k % 1

(

ck !

0

T

dt % & c k T

ck !

" 1T #

0

T

x $t % sen $k &0 t %dt


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Ejemplo

Determinar la Serie Exponencial de Fourier para cualquier señal periódica cuadrada par, de amplitud a volts y periodo T = mb , donde b es la mitad del semiciclo positivo.

b-b

aT


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Ejemplo

a 0 ! 1

T "T

x #t $dt ! 1

T "% b

b

a dt ! a

T &t ' b

% b

a0 !

2ab

T

a k ! 1T "T x#t $e% jk &0 t dt ! 1

T "% b

b

a e % jk2 'T t dt ! a

T # % T jk2 ' $(e% jk2 'T t ) b% b

a k ! % a jk2 '

(e% jk2 ' bT % e

jk2 ' bT )! a

k ' (12j#e jk2 ' bT % e

% jk2 ' bT $)

ak !

a

k "sin #k2 " bT $


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Ejemplo

Para el caso a = 2 volts, T = 4 seg y dado que T = 4b entonces b = 1

a0 = 1 volt

ak !

2

k "sin #k

"

2 $

x! t "# a$ %k # & '

'

(1k s in !k $2 "e jk $2 t )# ...0 * a$ e& j

$2 t *

2ab

T * a$ e

j $2 t * 0 & a2 $

e3 $

2 t * 0 & ...

Su serie Exponencial es:


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Ejemplo

Características

! Posee un número infinito de armónicas.

! La magnitud de su primer armónica es de 2/ " y de su tercer armónica de-2/(3 " ).

! Las frecuencias de su primer y tercer armónicas son de 0.25 Hz ( " /2 rad/seg yT = 4 seg) y 3/4 = 0.75 Hz (3 " /2 rad/seg y T = 4/3 = 1.333 seg)

! Las funciones de su primer y tercer armónica son, respectivamente:

x1 ! t "# 2$ e

j $2

t

x3 ! t "# % 23 $

e j 3

2$ t

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