UNIVERSIDAD DE LAS FUERZAS ARMADAS ESPE LATACUNGA

MATEMATICA SUPERIOR 1

APLICACIN-SERIES DE FOURIER

OBJETIVOS

Investigar sobre las diferentes aplicaciones que tiene las Series de Fourier en los

diferentes campos.

Analizar la Serie de Fourier y crear una aplicacin en Matlab, que nos permita demostrar

la respectiva serie.

Comprender la relacin que existe entre las series de Fourier y el anlisis de seales.

MARCO TERICO

Una serie de Fourier es una serie infinita que converge puntualmente a una funcin

peridica y continua a trozos (o por partes). Las series de Fourier constituyen la herramienta

matemtica bsica del anlisis de Fourier empleado para analizar funciones peridicas a travs

de la descomposicin de dicha funcin en una suma infinita de funciones sinusoidales mucho

ms simples (como combinacin de senos y cosenos con frecuencias enteras). El nombre se debe

al matemtico francs Jean-Baptiste Joseph Fourier que desarroll la teora cuando estudiaba

la ecuacin del calor. Fue el primero que estudi tales series sistemticamente, y public sus

resultados iniciales en 1807 y 1811. Esta rea de investigacin se llama algunas veces Anlisis

armnico.

Es una aplicacin usada en muchas ramas de la ingeniera, adems de ser una herramienta

sumamente til en la teora matemtica abstracta. reas de aplicacin incluyen anlisis

vibratorio, acstica, ptica, procesamiento de imgenes y seales, y compresin de datos. En

ingeniera, para el caso de los sistemas de telecomunicaciones, y a travs del uso de los

componentes espectrales de frecuencia de una seal dada, se puede optimizar el diseo de un

sistema para la seal portadora del mismo. Refirase al uso de un analizador de espectros.

Las series de Fourier tienen la forma:

APLICACIONES:

Generacin de formas de onda de corriente o tensin elctrica por medio de la

superposicin de sinusoides generados por osciladores elctrnicos de amplitud variable

cuyas frecuencias ya estn determinadas.

Anlisis en el comportamiento armnico de una seal.

Reforzamiento de seales.

Disear sintetizadores de audio.

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Estudio de la respuesta en el tiempo de una variable circuital elctrica donde la seal de

entrada no es sinusoidal o cosinusoidal, mediante el uso de transformadas de Laplace y/o

solucin en rgimen permanente sinusoidal en el dominio de la frecuencia.

La resolucin de algunas ecuaciones diferenciales en derivadas parciales admiten soluciones

particulares en forma de series de Fourier fcilmente computables, y que obtener

soluciones prcticas, en la teora de la transmisin del calor, la teora de placas, etc.

APLICACIN EN PROCESAMIENTO DIGITAL DE SEALES

Es importante considerar la aplicacin de las series de Fourier, ya que estas sirven mucho en el

procesamiento digital de seales, la cual es un rea de las ciencias e ingeniera que se ha

desarrollado rpidamente en los ltimos 30 aos.

Este rpido desarrollo es resultado de avances tecnolgicos tanto en los ordenadores digitales

como en la fabricacin de circuitos integrados. Estos circuitos digitales baratos y relativamente

rpidos han hecho posible construir sistemas digitales altamente sofisticados, capaces de

realizar funciones y tareas del procesado de seales que convencionalmente se realizaban

analgicamente, se realicen hoy mediante hardware digital, ms barato y a menudo ms fiable.

Es relevante diferencie entre una seal analgica y digital para comprender mejor el

procesamiento de seales, el nombre de una seal analgica se deriva del hecho de que es una

seal anloga a la seal fsica que se representa .La magnitud de una seal analgica pude tomar

cualquier valor, esto es, la amplitud de una seal analgica exhibe una variacin continua sobre

su campo de actividad. La gran mayora de seales en el mundo que hay a nuestro alrededor

son analgicas. Los circuitos que procesan estas seales se conocen como circuitos analgicos.

Una forma alternativa de representacin de seal es la de una secuencia de nmeros, cada uno

de los cuales representa la magnitud de seal en un instante determinado. La seal resultante

se llama seal digital, est a diferencia de la seal analgica es una seal que esta discretsima

en el tiempo y cuantificada en magnitud. El procesamiento de seales se correlaciona con las

series de Fourier ya que esta nos permite expresar una funcin peridica de tiempo como la

suma de un nmero infinito de senoides cuyas frecuencias estn armnicamente relacionadas

La importancia de esto radica en que la serie de Fourier nos facilita el arduo trabajo del manejo

con seales, ya que para que nosotros podamos procesar estas seales es necesario expresarlas

como una combinacin lineal de trminos, lo cual nos lo proporciona la serie de Fourier.

La ecuacin de ondas

En este apartado vamos a usar las series de Fourier para resolver la ecuacin de ondas

unidimensional

Con las condiciones de contorno

u(0,t) = u(,t) = 0,

Y las condiciones iniciales

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u(x,0) = f(x), .

Esta ecuacin, conocida como ecuacin de ondas, modeliza el movimiento de una onda

unidimensional (por ejemplo el sonido).

Usualmente para resolver este problema se usa el mtodo de separacin de variables:

u(x,t) = X(x)T(t), X(x) 6 0, T(t) 6 0,

Que al sustituir en la ecuacin original nos da

Donde R, i.e., tenemos las ecuaciones

Y

Por sencillez asumiremos a = 1.

La solucin general de (1) depende del valor de . Es fcil comprobar que solamente se tienen soluciones no nulas si > 0. En este caso la solucin general es

Que junto a las condiciones de contorno para X nos dan las soluciones

En este caso para T obtenemos (a = 1)

Luego

Y por tanto una solucin de nuestra ecuacin con las condiciones de contorno ser

Como la ecuacin de ondas es lineal y homognea entonces su solucin general ser de la forma

Para encontrar los coeficientes indeterminados An y Bn supondremos que f y g son lo suficientemente buenas (por ejemplo casi-continuamente derivables en [0,]) y vamos a

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extenderlas a todo el intervalo [,] de forma impar, es decir de forma que f y g sean funciones impares. Entonces podemos desarrollar en serie de Fourier ambas funciones y adems las correspondientes series son absoluta y uniformemente convergentes. Si ahora usamos las condiciones iniciales (1.2) obtenemos2

Donde

Veamos un ejemplo. Supongamos que el perfil inicial de una cuerda viene dado por la

funcin

y que inicialmente est en reposo, es decir, g(x) = 0. Entonces usando (1.6) tenemos Bn = 0 para

todo n N y

,

as que la solucin es

Supongamos ahora que el perfil inicial de una cuerda viene dado por la funcin

f(x) = x( x)

y que inicialmente est en reposo, es decir, g(x) = 0. Entonces usando (1.6) tenemos Bn = 0 para

todo n N y

,

Y por tanto la solucin es

Como ejercicio considerar el caso cuando

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,

, y g(x) = 0.

Y el caso cuando f(x) = 0 ,

CONCLUSIONES

Existen diferentes reas donde pueden ser aplicadas las series de Fourier, como el rea

mdica, de ingeniera, de procesamiento de seales.

Las series de Fourier facilitan directamente al procesamiento de seales.

La serie de Fourier nos permite convertir una funcin peridica en una funcin

equivalente en sumatorios.

BIBLIOGRAFIA

https://prezi.com/u_3qcw59qni3/series-de-fourier-aplicacion-profesional/

http://euler.us.es/~renato/clases/mm2/edps-sf.pdf

http://www.emis.de/journals/DM/v5/art6.pdf