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Serie de FourierConvergencia puntual
Nicolas Saintier
(Univ. Buenos Aires - Argentina)
16 de abril de 2020
N. Saintier Serie de Fourier Convergencia puntual 16 de abril de 2020 1 / 19
Convergencia puntual: no es trivial !
En general el problema de saber si la serie de Fourier de una funcion
converge puntualmente hacia ella no es un problema trivial como lo
muestra el siguiente resultado negativo de Du Bois-Raymond (≈ 1870)
(que admitimos)
Teorema
Existe una funcion continua en R y periodica tal que sus sumas parciales de
Fourier en 0 divergen:
lımN→+∞
|SN(0)| = +∞
Prueba: una prueba posible usa el teo de Banach-Steinhaus, otra es constructiva (ver
por ejemplo Korner `Fourier Series' �18. Ambas usan el nucleo de Dirichlet que vamos a
a ver mas adelante.
Luego para asegurar que Sn(u)→ u puntualmente, deberemos pedir algo
mas que la continuidad.
N. Saintier Serie de Fourier Convergencia puntual 16 de abril de 2020 2 / 19
Convergencia puntual: Teorema de Fejer
Un primer resultado es el Teorema de Fejer acerca de la convergencia de
σNu =1
N(S0u + S1u + ...+ SN−1u)
Por que habria una relacion entre la convergencia de σNu y la de SNu ?
Si (xn)n ⊂ N converge a l entonces 1
N (x1 + ..+ xN)N→+∞−→ l (ejercicio)
Teorema
Sea u : R→ R T -periodica.
1) si u ∈ C (R) entonces σnu → u uniformemente en [0,T ].2) si u ∈ Lp(0,T ), p ≥ 1, entonces σNu → u en Lp(0,T ).
La prueba de este resultado consiste en reescribir σNu como la convolucion
de u con una funcion, el nucleo de Fejer. El teorema sera una consecuencia
sencilla de las buenas propiedades del nucleo.
A partir de ahora tomamos siempre T = 2π.N. Saintier Serie de Fourier Convergencia puntual 16 de abril de 2020 3 / 19
El nucleos de Dirichlet
La convolucion de las funciones 2π-periodica f , g es la funcion 2π-periodica
f ∗ g(t) =1
2π
∫ π
−πf (s)g(t − s) ds
Se pueden esribir las sumas de Fourier parciales de una funcion
2π-periodica u como (apunte p16 con l = π)
SNu = DN ∗ u
donde DN es el nucleo de Dirichlet
DN(x) =sin((N + 1
2)x)
sin( x2
)=
N∑n=−N
e inx .
Veri�ca
1
2π
∫ π
−πDN(t)dt = 1 y
∫ π
−π|DN(t)|dt
N�1
≈ Cste. ln(N). (1)
Prueba: apunte p16 con l = π)
N. Saintier Serie de Fourier Convergencia puntual 16 de abril de 2020 4 / 19
Gra�co de DN , N = 0, 2, 4, 6, 8, 10, 20
N. Saintier Serie de Fourier Convergencia puntual 16 de abril de 2020 5 / 19
El nucleo de Fejer
Como Snu = u ∗ Dn, tenemos
σNu =1
N(D0 + ..+ DN−1) = u ∗ KN
donde KN es el nucleo de Fejer:
KN =1
N(D0 + D1 + ...+ DN−1) (2)
Gra�co de KN para N = 3, 6, 20.
N. Saintier Serie de Fourier Convergencia puntual 16 de abril de 2020 6 / 19
Proposición
1) KN(x) = 1
N
(sin Nx
2sin x
2
)2=∑N
n=−N
(1− |n|N
)en donde en(t) := e int ,
2) σNu =∑N
n=−N
(1− |n|N
)cn(u)en donde cn(u) =
∫ π−π u(t)e−int dt
2π ,
3) 1
2π
∫ π−π KN(t)dt = 1
4) dado δ ∈ (0, π),∫δ≤|x |≤π KN(x)dx
N→+∞−→ 0
Prueba: 3) sale de (2) y (1). Para 4), como sin x2≥ sin δ
2, x ∈ [δ, π], tenemos∫
δ≤|x|≤πKN(x)dx =
2
N
∫ π
δ
( sin Nx2
sin x2
)2dx ≤ 2
N
∫ π
δ
( 1
sin δ2
)2dx = Cste/N → 0
Para 1),
N−1∑n=0
e i(n+1/2)x = e ix2
e iNx − 1
e ix − 1= e i
Nx2
e iNx/2 − e−iNx/2
e ix/2 − e−ix/2= e i
Nx2
sin Nx2
sin x2
Luego
sinx
2
N−1∑n=0
Dn = Im( N−1∑
n=0
e i(n+1/2)x)=
(sin Nx
2
)2sin x
2
N. Saintier Serie de Fourier Convergencia puntual 16 de abril de 2020 7 / 19
Prueba del teo de Fejer (1)
σNu(x)− u(x) =
∫ π
−πu(x − y)KN(y)
dy
2π− u(x)
∫ π
−πKN(y)
dy
2π︸ ︷︷ ︸=1
=
∫ π
−π
(u(x − y)− u(x)
)KN(y)
dy
2π(3)
Si u ∈ C (R) es periodica entonces u es acotada y unif. cont.. Luego dado
ε > 0 existe δ > 0 tal que
|u(x − y)− u(x)| < ε para todo x ∈ R e |y | < δ
Entonces
|σNu(x)− u(x)| ≤∫δ≤|y |≤π
|u(x − y)− u(x)|KN(y)dy
2π︸ ︷︷ ︸2‖u‖∞
∫δ≤|y|≤π KN(y)
dy2π
+
∫|y |<δ
....︸ ︷︷ ︸≤ε
∫ π−π KN(y)
dy2π
=ε
N. Saintier Serie de Fourier Convergencia puntual 16 de abril de 2020 8 / 19
Prueba del teo de Fejer (2)
Luego
‖σNu − u‖∞ ≤ 2‖u‖∞∫δ≤|y |≤π
KN(y)dy
2π+ ε
por lo que lım supN→+∞ ‖σNu − u‖∞ ≤ ε para todo ε > 0. Listo !
Ahora si u ∈ Lp(−π, π) usando Holder en (3),
|σNu(x)− u(x)|p ≤∫ π
−π
∣∣∣u(x − y)− u(x)∣∣∣pKN(y)
dy
2π.
Integrando en x ,
‖σNu − u‖pp ≤∫ π
−π
{∫ π
−π
∣∣∣ u(x − y)︸ ︷︷ ︸τyu(x)
−u(x)∣∣∣p dx2π
}KN(y)
dy
2π
=
∫ π
−π‖τyu − u‖ppKN(y)
dy
2π
Como ‖τyu − u‖ppy→0−→ 0 concluimos con el mismo razonamiento que antes.
N. Saintier Serie de Fourier Convergencia puntual 16 de abril de 2020 9 / 19
Teorema (Consecuencias del Teo de Fejer)
1) Sea u ∈ C (R) periodica tal que∑
n |an(u)|+ |bn(u)| <∞. Entonces
SNu → u unif en R.
2) Dos funciones u, v ∈ L1(0,T ) son iguales ctp ssi tienen los mismos coef
de Fourier. En particular u = 0 ssi su coef de Fourier son 0.
3){
1√2, cos(nωt), sin(nωt) n ∈ N
}es una base de L2(0, 2π).
Prueba:1) Como
∑n |an(u)|+ |bn(u)| <∞, SNu converge unif a una funcion v ∈ C(R). An
particular SNu(x)→ v(x) ∀ x ∈ R. Luego σNu(x)→ v(x) (ejercicio). Por otro ladoσNu → u unif. Entonces u = v ySNu converge unif a u. Listo.2) Si u, v tienen los mismos coef de Fourier i.e.
cn(u) =
∫ π
−πu(t)e−int dt
2π=
∫ π
−πv(t)e−int dt
2π= cn(v) ∀ n,
entonces σnu = σnv por Prop. 1. Por otro lado σNu → u y σNv → v in L1. Listo.
3) Sea u ∈ L2(0, 2π) ortgonal a{
1√2, cos(nωt), sin(nωt) n ∈ N
}. Entonces los coef
de Fourier de u son 0 o sea u = 0 por 2).
N. Saintier Serie de Fourier Convergencia puntual 16 de abril de 2020 10 / 19
El Teorema de Dirichlet - apunte Teo 3.3.6 p17
Teorema
Sea u ∈ L1(−L, L) y x0 ∈ (−L, L). Si∫ L
−L
∣∣∣u(x0 + t)− u(x0)
t
∣∣∣ dt <∞ Condicion de Dini (4)
entonces SNu(x0)→ u(x0).
La condicion de Dini vale si por ejemplo
(i) u es derivable en x0, o(ii) u es Holder continua alrededor de x0 (i.e. existen C > 0 y γ ∈ (0, 1) tq
|u(x)− u(y)| ≤ C |x − y |γ para x , y en un entorno de x0)
N. Saintier Serie de Fourier Convergencia puntual 16 de abril de 2020 11 / 19
Prueba
Como∫ π−π DN(y) dy
2π = 1, tenemos
(u ∗ DN)(x0)− u(x0) =
∫ π
−π[u(x0 − y)− u(x0)]DN(y)
dy
2π
=
∫ π
−πh(y) sin((N +
1
2)y)
dy
2π
con
h(y) :=u(x0 − y)− u(x0)
sin y2
Como sin y2∼ y
2cuando y ∼ 0, La condicion de Dini es equivalente a pedir
que h ∈ L1(−π, π). Podemos entonces aplicar el lema de
Riemann-Lebesgue y listo !
N. Saintier Serie de Fourier Convergencia puntual 16 de abril de 2020 12 / 19
Una pequena modi�cacion de la prueba no da un resultado de convergencia
cuando u es discontinua en x0:
Teorema
Sea u ∈ L1(−L, L) 2L-periodica y x0 ∈ [−L, L]. Supongamos que existen
u(x±0
) = lımh→0, h>0 u(x0 ± h) los limite a izquierda y derecha de u en x0.Si ∫ L
0
∣∣∣u(x0 + t)− u(x+0
)
t
∣∣∣+∣∣∣u(x0 − t)− u(x−
0)
t
∣∣∣ dt <∞ (5)
(vale si u es derivable a izquerda y derecha en x0), entonces
SNu(x0)→ 1
2(u(x+
0) + u(x−
0)).
N. Saintier Serie de Fourier Convergencia puntual 16 de abril de 2020 13 / 19
Prueba con L = π.
Es casi la misma prueba que antes. Como DN es par,∫ π
0
DN(y)dy
2π=
1
2
∫ π
−πDN(y)
dy
2π=
1
2.
y
(u ∗ DN)(x0) =
∫ π
−πu(x0 − y)DN(y)
dy
2π=
∫ π
0
...+
∫0
−π
=
∫ π
0
u(x0 − y)DN(y)dy
2π+
∫ π
0
u(x0 + y)DN(y)dy
2π
Luego
(u ∗ DN)(x0)− 1
2(u(x+
0) + u(x−
0))
=
∫ π
0
[u(x0 − y)− u(x−0
)]DN(y)dy
2π+
∫ π
0
[u(x0 + y)− u(x+0
)]DN(y)dy
2π
Terminamos la prueba como antes con el Lema de Riemann-Lebesgue.N. Saintier Serie de Fourier Convergencia puntual 16 de abril de 2020 14 / 19
Convergencia uniforme
Vimos como consecuencia del Teo de Fejer que si u ∈ C (R) periodica es
tal que ∑n
|an(u)|+ |bn(u)| <∞ (6)
entonces SNu → u unif en R.Ya sabemos por el lema de Riemann-Lebesgue que |an(u)|, |bn(u)| n→+∞−→ 0.
Necesitamos condiciones sobre u que aseguren que an(u), bn(u) vaya a 0
rapidamente. Ocurre que
mas regular u, mas rapidamante tienden a 0 sus coef de Fourier;
y reciprocamente.
De hecho usando que si u ∈ C (R) es C 1 a trozos entonces
cn(u′) = inωcn(u)⇐⇒ an(u′) = nωbn(u), bn(u′) = −nωan(u)
integrar por partes en la def de los coef de u′.
N. Saintier Serie de Fourier Convergencia puntual 16 de abril de 2020 15 / 19
se puede probar (ejercicio) que
Proposición
1) si u ∈ C k(R) entonces nkan(u)n→+∞−→ 0 y nkbn(u)
n→+∞−→ 0.
2) Reciprocamente si nk |an(u)|, nk |bn(u)| ≤ C con k ≥ 2 entonces
u ∈ C k−2(R).
Luego
Proposición
Si u ∈ C (R) es C 1 a trozos con u′ ∈ L2(0,T ) entonces vale (6) por lo que
SNu → u unif en R.
Prueba: |an(u)| = 1nω|bn(u′)| ≤ 1
21
n2ω2+ 1
2|bn(u′)|2 con
∑n≥1
1n2<∞ y∑
n≥1 |bn(u′)|2 ≤ ‖u′‖22. Luego
∑n≥1 |bn(u)| <∞. Se ve de la misma manera que∑
n≥1 |an(u)| <∞. Deducimos (6).
N. Saintier Serie de Fourier Convergencia puntual 16 de abril de 2020 16 / 19
Se puede relajar la parte �u es C 1 a trozo� suponiendo que u es
absolutamente continua.
Recuerde que una funcion f es abs.cont. en [a, b] ssi es derivable ctp con
f ′ ∈ L1(a, b) y vale el teo fundamental del analsis
f (x) = f (0) +
∫ x
af ′(t)dt ctp x ∈ [a, b].
Con la misma prueba obtenemos (apunte Teo 3.4.6)
Proposición
Si u ∈ C (R) es abs.cont. en [0,T ] con u′ ∈ L2(0,T ) entonces∑n
|an(u)|+ |bn(u)| <∞
por lo que SNu → u unif en R.
N. Saintier Serie de Fourier Convergencia puntual 16 de abril de 2020 17 / 19
ejemplo
Volvamos al ejemplo de la funcion 2π-periodica de�nida por u(t) = t en
[−π, π). Vimos que su serie de Fourier es
Su(x) = 2∑n≥1
(−1)n+11
nsin(nx)
Como u es derivable en (−π, π), obtenemos que
SNu(x)→ u(x) ∀ x ∈ R\πZ.
Por otro lado en π, u y u′ tienen limites a izquierda y derecha con1
2(u(π+) + u(π−) = 1
2(−π + π) = 0. Ademas como sin(nπ) = 0 vemos que
SNu(π) = 0 para todo n. Entonces vale bien que
SNu(x)→ 1
2(u(π+) + u(π−) ∀ x ∈ πZ
como a�rma el Teo anterior.N. Saintier Serie de Fourier Convergencia puntual 16 de abril de 2020 18 / 19
Unas referencias bibliogra�cas
Ademas del apunte de Julian Fernandez Bonder, recomiendo para las series
y transformada de Fourier el excelente apunte `Lecciones sobre las series y
transformadas de Fourier' de Javier Duoandikoetxea.
Otro libro bueno pero en ingles y mas duro: T.W. Korner, `Fourier Analysis'
N. Saintier Serie de Fourier Convergencia puntual 16 de abril de 2020 19 / 19