Conceptos básicos de variables aleatorias y distribuciones de

FACULTAD DE INGENIERÍAFACULTAD DE INGENIERÍAU N A MU N A MU N A MU N A M

PROBABILIDADPROBABILIDADPROBABILIDADPROBABILIDAD

YYYY

ESTADÍSTICAESTADÍSTICAESTADÍSTICAESTADÍSTICAIrene Patricia Valdez y AlfaroIrene Patricia Valdez y Alfaroyy

[email protected]

T E M A S DEL CURSOT E M A S DEL CURSO

1. Análisis Estadístico de datos muestrales.

2. Fundamentos de la Teoría de la

probabilidad.

3. Variables aleatorias.

4. Modelos probabilísticos comunes.

5 V i bl l t i j t5. Variables aleatorias conjuntas.

6 Distribuciones muestrales6. Distribuciones muestrales.

CONTENIDO TEMA 3CONTENIDO TEMA 33. Variables aleatorias.3. Variables aleatorias.

Objetivo:Objetivo: El alumno conocerá el concepto de variable aleatoria y El alumno conocerá el concepto de variable aleatoria y podrá analizar el comportamiento probabilista de la variable, a podrá analizar el comportamiento probabilista de la variable, a través de su distribución y sus características numéricas.través de su distribución y sus características numéricas.

3.1 Concepto de variable aleatoria como abstracción de un evento aleatorio.

3.2 Variable aleatoria discreta: función de probabilidad sus propiedades y su representación gráfica. Función de distribución acumulativa, sus propiedades y su representación gráfica.

3.3 Variable aleatoria continua: función de densidad de probabilidad sus propiedades y su representación gráfica. Función de distribución acumulativa, sus propiedades y su representación gráfica.

3.4 Valor esperado o media de la variable aleatoria discreta y de la continua. Valor esperado como operador matemático y sus propiedades. Momentos con respecto al origen y a la media.

3.4 Parámetros de las distribuciones de las variables aleatorias. Medidas de tendencia central, de dispersión y de asimetría.

INTRODUCCIÓN A LA INTRODUCCIÓN A LA PROBABILIDADPROBABILIDAD

INTRODUCCIÓN A LA INTRODUCCIÓN A LA PROBABILIDADPROBABILIDADPROBABILIDADPROBABILIDADPROBABILIDADPROBABILIDAD

VARIABLES ALEATORIASVARIABLES ALEATORIASVARIABLES ALEATORIASVARIABLES ALEATORIASVARIABLES ALEATORIASVARIABLES ALEATORIASVARIABLES ALEATORIASVARIABLES ALEATORIAS

VARIABLE VARIABLE **VARIABLEVARIABLE:: AdjAdj que varia o puede variarque varia o puede variarVARIABLEVARIABLE:: AdjAdj. que varia o puede variar.. que varia o puede variar.

f. Matf. Mat. Magnitud que puede tener un valor . Magnitud que puede tener un valor cualquiera de los comprendidos en un conjunto.cualquiera de los comprendidos en un conjunto.q p jq p jNúmero que resulta de una medida u Número que resulta de una medida u operación.operación.

VARIABLE CONTINUAVARIABLE CONTINUA: La que consta de unidades o : La que consta de unidades o partes que no están separadas unas de otras, partes que no están separadas unas de otras, como la longitud de una línea, el área de una como la longitud de una línea, el área de una superficie, el volumen de un sólido, la cabida superficie, el volumen de un sólido, la cabida de un vaso etcde un vaso etcde un vaso, etc.de un vaso, etc.

VARIABLE DISCRETAVARIABLE DISCRETA: La que consta de unidades o : La que consta de unidades o partes separadas unas de otras, como los partes separadas unas de otras, como los árboles de un monte, los soldados de un árboles de un monte, los soldados de un ejército, los granos de una espiga, etc.ejército, los granos de una espiga, etc.ejército, los granos de una espiga, etc.ejército, los granos de una espiga, etc.

* Real Academia de la Lengua Española* Real Academia de la Lengua Española

VARIABLE DETERMINÍSTICAVARIABLE DETERMINÍSTICA

VariableVariable: : f. f. MatMat.. Magnitud que puede tener un valor de los Magnitud que puede tener un valor de los comprendidos en un conjunto, pero comprendidos en un conjunto, pero predecible con exactitud.predecible con exactitud.

ContinuaContinuaVariable Variable DeterminísticaDeterminística:: DiscretaDiscreta

VARIABLE ALEATORIAVARIABLE ALEATORIA

Variable AleatoriaVariable Aleatoria: : f. Matf. Mat. Magnitud cuyos valores están . Magnitud cuyos valores están determinados por las leyes de determinados por las leyes de probabilidad, como los puntos probabilidad, como los puntos resultantes de la tirada de un dado.resultantes de la tirada de un dado.

ContinuaContinuaVariable AleatoriaVariable Aleatoria::

DiscretaDiscreta

Algunos valores de una variable aleatoria pueden ser mas Algunos valores de una variable aleatoria pueden ser mas probables que otros, lo que da origen al concepto de distribución probables que otros, lo que da origen al concepto de distribución d b bilid d d VAd b bilid d d VAde probabilidad de una VA.de probabilidad de una VA.

VARIABLE ALEATORIAVARIABLE ALEATORIAU VA f ió b l i d l iblU VA f ió b l i d l iblUna VA es una función sobre el espacio de los posibles Una VA es una función sobre el espacio de los posibles resultados (eventos) de un experimento aleatorio,resultados (eventos) de un experimento aleatorio,

Por ejemplo: Por ejemplo: a) Al arrojar una moneda y observar el lado que queda hacia arriba:a) Al arrojar una moneda y observar el lado que queda hacia arriba:X={X={ xx = 1 (águila)= 1 (águila) xx = 0 (sol) }= 0 (sol) }X { X { xx11 1 (águila), 1 (águila), xx22 0 (sol) } 0 (sol) }

b) Alimentar de la misma manera a 20 animales y obervar su peso b) Alimentar de la misma manera a 20 animales y obervar su peso después de 30 díasdespués de 30 díasdespués de 30 díasdespués de 30 días

c) arrojar dos dados y anotar la suma de los puntos que caen hacia c) arrojar dos dados y anotar la suma de los puntos que caen hacia ibibarriba.arriba.

d) el voltaje de salida de 50 eliminadores de baterías.d) el voltaje de salida de 50 eliminadores de baterías.

Algunos valores de una variable aleatoria pueden ser mas Algunos valores de una variable aleatoria pueden ser mas probables que otros, lo que da origen al concepto de distribución probables que otros, lo que da origen al concepto de distribución d b bilid d d VAd b bilid d d VAde probabilidad de una VA.de probabilidad de una VA.

DISTRIBUCIÓN DE PROBABILIDADDISTRIBUCIÓN DE PROBABILIDADDE UNA VARIABLE ALEATORIADE UNA VARIABLE ALEATORIADE UNA VARIABLE ALEATORIADE UNA VARIABLE ALEATORIA

Y1 Y2 X=Y1+Y2 Y1 Y2 X=Y1+Y2

1 1 2 4 1 5E i tE i t A jA j

Ejemplo: Caso de una VA discreta:Ejemplo: Caso de una VA discreta:

1 2 3 4 2 6

1 3 4 4 3 7

1 4 5 4 4 8

Experimento:Experimento: Arrojar Arrojar dos dados y observar dos dados y observar la VAla VA XX : la suma de : la suma de

1 5 6 4 5 9

1 6 7 4 6 10

2 1 3 5 1 6

los puntos de las los puntos de las caras que quedan caras que quedan hacia arribahacia arriba 2 2 4 5 2 7

2 3 5 5 3 8

2 4 6 5 4 9

2 5 7 5 5 10

hacia arriba.hacia arriba.Las formas en que Las formas en que puede ocurrir cada uno puede ocurrir cada uno

2 5 7 5 5 10

2 6 8 5 6 11

3 1 4 6 1 7

3 2 5 6 2 8

ppde los valores que toma de los valores que toma la VA la VA XX se muestran en se muestran en la tablala tabla 3 2 5 6 2 8

3 3 6 6 3 9

3 4 7 6 4 10

3 5 8 6 5 11

la tabla.la tabla.Observemos que hay 1 posibilidad en 36 de que X=2,

3 5 8 6 5 11

3 6 9 6 6 12mientras que hay 2 posibilidades en 36 de que X=3


Las probabilidades para cada valor de la VALas probabilidades para cada valor de la VA XX se muestran se muestran en la tabla. En este ejemplo la tabla representa laen la tabla. En este ejemplo la tabla representa la función de función de distribución de probabilidaddistribución de probabilidad (fdp)(fdp) de la VAde la VA XX..

X P(X=x)Representación gráfica de la función de distribución de probabilidad de la VA X

0.20

P(X)2 1/36

3 2/36

4 3/36

Representación gráfica de la función de distribución de probabilidad de la VA X

P(x)P(x)

0.12

0.14

0.16

0.184 3/36

5 4/36

6 5/36

0.04

0.06

0.08

0.107 6/36

8 5/36

0.00

0.02

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13

9 4/36

10 3/36

11 2/36

XX

12 1/36


Distribución de probabilidadDistribución de probabilidad de una VAde una VA XX::ff((xx) = P( ) = P( XX==x x ))

En nuestro ejemplo de la suma de dos dados:En nuestro ejemplo de la suma de dos dados: ff(3) = P( (3) = P( XX==3 3 ); ); ff(3) = (3) = 2/362/36

PropiedadesPropiedades de la distribución de probabilidad de una de la distribución de probabilidad de una variable aleatoria discreta (variable aleatoria discreta (también conocida como función también conocida como función masa de probabilidad, fmpmasa de probabilidad, fmp) :) :

a)a) ff ((xx)) ≥≥ 0 Para toda0 Para toda xx que pertencece aque pertencece a XXa) a) f f ((xx) ) ≥≥ 0 Para toda 0 Para toda xx que pertencece a que pertencece a XX

b) b) ∑∀

=xf 1)(∀x

DISTRIBUCIÓN DE PROBABILIDAD ACUMULATIVADISTRIBUCIÓN DE PROBABILIDAD ACUMULATIVADE UNA VARIABLE ALEATORIA DISCRETADE UNA VARIABLE ALEATORIA DISCRETADE UNA VARIABLE ALEATORIA DISCRETADE UNA VARIABLE ALEATORIA DISCRETA

Las probabilidades acumuladas para cada valor de la VALas probabilidades acumuladas para cada valor de la VA XX se se muestran en la siguiente tabla que representa lamuestran en la siguiente tabla que representa la función de función de g q pg q pdistribución acumulativa (FDA)distribución acumulativa (FDA) de la VAde la VA XX..

X P(X≤x) P(X<=x)

2 1/36

3 3/36

4 6/360.80

1.00

4 6/36

5 10/36

6 15/360 40

0.60

7 21/36

8 26/36

9 30/36

0.20

0.40

∑=

=≤=j

iijj xxXPxF

1)()(

9 30/36

10 33/36

11 35/36Esta es una función escalón, hay un salto en cada valor de X y es plana entre ellos.

0.000 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14

12 36/36

En nuestro ejemplo:En nuestro ejemplo: FF(3) = P( (3) = P( XX<=<=3 3 ); F(3) = ); F(3) = 1/36 + 2/36 = 3/361/36 + 2/36 = 3/36

Esta es una función escalón, hay un salto en cada valor de X y es plana entre ellos.

DISTRIBUCIÓN DE PROBABILIDAD ACUMULATIVADISTRIBUCIÓN DE PROBABILIDAD ACUMULATIVADE UNA VARIABLE ALEATORIA DISCRETADE UNA VARIABLE ALEATORIA DISCRETADE UNA VARIABLE ALEATORIA DISCRETADE UNA VARIABLE ALEATORIA DISCRETA

∑=≤=j

ijj xxXPxF )()( ∑=

≤i

ijj xxXPxF1

)()(

La FDA es una función no decreciente de X con las siguientes propiedades.

1)(0 .1 xF ≤≤

)(-1x)P(X .3

)()( .2

xF

xxxFxF jiji

=>

≥∀≥

)()(

Además, si X pertenece al conjunto de los números enteros:

)1()()(4

jiijji xxxFxFxXxPxFxF

≥∀−−=≤≤−−==

)1()()( .5)1()(x)P(X .4

consultar: Canavos, Prob. y Estad., Aplicaciones y Métodos., Mc Graw Hill., pag. 56


Caso de una VA continuaCaso de una VA continuaExperimento:Experimento: observar la VAobservar la VA XX : el tiempo que dura una : el tiempo que dura una lámpara hasta que se funde. lámpara hasta que se funde.

f(x)LLa probabilidad de que una lámpara dure a probabilidad de que una lámpara dure de 0 a 1de 0 a 1,,000 horas es más alta que la 000 horas es más alta que la probabilidad de que dure de 1probabilidad de que dure de 1 000 a 2000 a 2 000000

f(x)

λ fdpprobabilidad de que dure de 1probabilidad de que dure de 1,,000 a 2000 a 2,,000 000 horashoras;; es decir, que a medida que es decir, que a medida que transcurretranscurre el tiempo, la probabilidad el tiempo, la probabilidad de que de que continúe en operacióncontinúe en operación disminuyedisminuye;; esteestecontinúe en operación continúe en operación disminuyedisminuye;; este este comportamiento se comportamiento se puede puede representarepresentarrmediante una curva exponencial de la mediante una curva exponencial de la formaforma:: 0

Xx

⎨⎧ ≥

=− 0

)(xe

xfxλλ

⎩⎨=

caso otrocualquier 0)(xf


Caso de una VA continuaCaso de una VA continua

PropiedadesPropiedades de la distribución de probabilidad de una de la distribución de probabilidad de una variable aleatoria continua (variable aleatoria continua (también conocida como función también conocida como función de densidad de probabilidad fdpde densidad de probabilidad fdp) :) :de densidad de probabilidad, fdpde densidad de probabilidad, fdp) :) :

∞≤≤∞≥ xf(x) 01

∫ =

∞≤≤∞−≥∞

f(x)dx

xf(x)

12

,0 .1

∫∫

=≤≤

∞−

bf(x)dxb)XP(a

f(x)dx

3

1 .2

∫=≤≤a

f(x)dxb)XP(a .3

DISTRIBUCIÓN DE PROBABILIDADDISTRIBUCIÓN DE PROBABILIDADACUMULATIVA DE UNA VARIABLE ALEATORIA CONTINUAACUMULATIVA DE UNA VARIABLE ALEATORIA CONTINUAACUMULATIVA DE UNA VARIABLE ALEATORIA CONTINUAACUMULATIVA DE UNA VARIABLE ALEATORIA CONTINUA

Caso de una VA continuaCaso de una VA continua

Experimento:Experimento: observar la VAobservar la VA XX : el tiempo que dura una : el tiempo que dura una lámpara hasta que se funde. lámpara hasta que se funde.

F(x)

LLa probabilidad de que una lámpara dure a probabilidad de que una lámpara dure al al menosmenos X X horashoras se obtiene mediante la función se obtiene mediante la función de distribución acumulativa (FDA)de distribución acumulativa (FDA)

F(x)

1de distribución acumulativa (FDA).de distribución acumulativa (FDA).

FDAfdp

⎩⎨⎧ ≥

=−

caso otrocualquier 00

)(xe

xfxλλ

0Xx

∫x ⎩

⎨⎧ ≥−

=−

caso otrocualquier 001

)(xe

xFxλFDA

∫∞−

=≤= dttfxXPxF )()()(

DISTRIBUCIÓN DE PROBABILIDADDISTRIBUCIÓN DE PROBABILIDADACUMULATIVA DE UNA VARIABLE ALEATORIA CONTINUAACUMULATIVA DE UNA VARIABLE ALEATORIA CONTINUAACUMULATIVA DE UNA VARIABLE ALEATORIA CONTINUAACUMULATIVA DE UNA VARIABLE ALEATORIA CONTINUA

Caso de una VA continuaCaso de una VA continuax

∫ ∞−=≤=

xdttfxXPxF )()()(

La FDA es una función no decreciente de X con las siguientes característicasLa FDA es una función no decreciente de X con las siguientes características.

1201

)F(). F(=∞+=∞−

)(3

12

xdFF(a)F(b)b)X. P(a

). F(−=<<

=∞+

)()( .4 xfdx

xdF=

además: 0)()( === ∫x

xdttfxXP

x

∫ )()()()( xFdttfxXPxXPx

==<=≤ ∫ ∞−y:

VALOR ESPERADO DE UNA VARIABLE VALOR ESPERADO DE UNA VARIABLE ALEATORIAALEATORIAO “ESPERANZA MATEMÁTICA”O “ESPERANZA MATEMÁTICA”O ESPERANZA MATEMÁTICAO ESPERANZA MATEMÁTICA

Valor esperado de una variable aleatoria X:Valor esperado de una variable aleatoria X:

⎧

[ ] ⎪⎪⎨

⎧

=∑∞

discreta es X si ;)(xxP

XEx[ ]

⎪⎪⎩

⎨=∫∞

∞−

continua es X si ;)( dxxxfXE

⎩ ∞−

Valor esperado de una función Valor esperado de una función g(x)g(x) de una de una variable aleatoria X:variable aleatoria X:

⎧∑ discretaesXsi;)()( xPxg[ ]

⎪

⎪⎨

⎧=

∫

∑∞

continuaesXsi;)()(

discretaesXsi ;)()()(

dxxfxg

xPxgXgE

x

⎪⎩∫∞−

continuaesXsi ;)()( dxxfxg

PROPIEDADES DEL VALOR ESPERADOPROPIEDADES DEL VALOR ESPERADOCOMO OPERADOR MATEMÁTICOCOMO OPERADOR MATEMÁTICOCOMO OPERADOR MATEMÁTICOCOMO OPERADOR MATEMÁTICO

Si X es una Si X es una variable variable aleatoria aleatoria con distribución con distribución de probabilidad de probabilidad f(x)f(x); ; aa, , bb y y cc son constantes y son constantes y g(x)g(x) y y h(x)h(x) son funciones de X, son funciones de X, entonces:entonces:

ccE =][1.1.

bXaEbaXE +=+ ][][2.2.

)]([)]([)]()([ xhExgExhxgE +=+33 )]([)]([)]()([ xhExgExhxgE +=+3.3.

MOMENTOS DE UNA VARIABLE ALEATORIAMOMENTOS DE UNA VARIABLE ALEATORIAEl momento de orden kEl momento de orden k respecto al origenrespecto al origen de una variable aleatoria sede una variable aleatoria se

⎪⎧∑ di tXi)(k P

El momento de orden k El momento de orden k respecto al origenrespecto al origen de una variable aleatoria se de una variable aleatoria se define como:define como:

⎪⎪⎩

⎪⎪⎨==∫∑∀

continua. es X si ;)(

discreta.es Xsi ;)(]['

ki

ik

kk

dxxfx

xPxXE

i

μ

⎪⎩ x

El momento de orden k El momento de orden k respecto a la mediarespecto a la media de una variable aleatoria se de una variable aleatoria se

⎪⎪⎧

−∑ discretaesXsi;)()( k xPx μ

ppdefine como:define como:

⎪⎪⎩

⎪⎪⎨

−=−=∫∑∀

continua. es X si ;)()(

discreta.esXsi;)()(])[(

x

ki

iiK

kdxxfx

xPxXE

μ

μμμ

⎩ x

MEDIA, VARIANZA Y DESVIACIÓN ESTÁNDAR DE UNA VAMEDIA, VARIANZA Y DESVIACIÓN ESTÁNDAR DE UNA VAV l d di d i blV l d di d i bl

⎪⎪⎧∑ discreta.esXsi;)( ii xPx

Valor esperado o media de una variable Valor esperado o media de una variable aleatoriaaleatoria

⎪⎪⎩

⎪⎪⎨==∫∑∀

continua. es X si ;)(

discreta. es Xsi ;)(][

x

iii

dxxxf

xPxXEμ

⎩ x

Varianza de una variable aleatoriaVarianza de una variable aleatoria

⎪

⎪⎪⎨

⎧−

=−=∫∑∀

discreta. es X si ;)()(])[(

2

2

22 iii xPx

XEμ

μσ

⎪⎪⎩

−∫ continua.esXsi;)()( 2

x

dxxfx μ

2

Desviación estándarDesviación estándar2σσ =

MOMENTOS DE UNA VARIABLE ALEATORIAMOMENTOS DE UNA VARIABLE ALEATORIALos momentos de orden kLos momentos de orden k respecto a la mediarespecto a la media pueden expresarse enpueden expresarse en

⎞⎛ kk

Los momentos de orden k Los momentos de orden k respecto a la mediarespecto a la media pueden expresarse en pueden expresarse en función de los momentos función de los momentos respecto al origenrespecto al origen mediante la relación:mediante la relación:

,...2,1,0 ;')1(0

=⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−= −

=∑ k

jk

jkj

k

j

jk μμμ

Ejemplo:Ejemplo:Para k=2 (segundo momento respecto a la media = varianza)Para k=2 (segundo momento respecto a la media = varianza)

2

2222

1211

0200

2

022

')1)(1(')2)(1(')1)(1)(1(

'22

)1('12

)1('02

)1('2

)1( μμμμμμμμμ ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−+⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−+⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−=⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−= −−−

=−∑

jj

jj

j

2222

222

02

122

2'

)1()2('

')1)(1(')2)(1(')1)(1)(1(

μμμμ

μμμμμ

μμμμμμ

+−=

+−+=

+−+=

1'y':queNotar

== μμμ2

22 ' μμμ −=

2222

1y 01 == μμμ

22222 ][][])[( XEXEXE −=−== μσμ

MOMENTOS DE UNA VARIABLE MOMENTOS DE UNA VARIABLE ALEATORIAALEATORIAALEATORIAALEATORIA

Con n procedimiento análogo al anterior encontramos q eCon n procedimiento análogo al anterior encontramos q eCon un procedimiento análogo al anterior encontramos que:Con un procedimiento análogo al anterior encontramos que:

Para k=3Para k=3Para k 3Para k 3

3233 2'3' μμμμμ +−=

Para k=4Para k=4a aa a4

22

344 3'6'4' μμμμμμμ −+−=

PROPIEDADES DE LA VARIANZA PROPIEDADES DE LA VARIANZA COMO OPERADOR MATEMÁTICOCOMO OPERADOR MATEMÁTICOCOMO OPERADOR MATEMÁTICOCOMO OPERADOR MATEMÁTICO

Si X es una Si X es una variable variable aleatoria aleatoria con distribución con distribución de probabilidad de probabilidad ffXX(x(x));; aa bb yy cc son constantes entonces:son constantes entonces:ffXX(x(x)); ; aa, , bb y y cc son constantes , entonces:son constantes , entonces:

0][ =cV1.1. ][

][][ 2 XVabaXV +22 ][][ XVabaXV =+2.2.

Además, si Y Además, si Y es una es una variable variable aleatoria aleatoria con distribución con distribución de de

][][][ YVXVYXV ++33

,,probabilidad probabilidad ffYY(y)(y), y se cumple que , y se cumple que X y Y son INDEPENDIENTES entonces:

][][][ YVXVYXV +=+3.3.

DESIGUALDAD DE DESIGUALDAD DE CHEBYSHEVCHEBYSHEV

Teorema:Teorema:Si Si X es una X es una variable variable aleatoria aleatoria con distribución con distribución de probabilidad de probabilidad ffXX(x(x) con media ) con media μμ varianza varianza σσ22; y ; y kk es una constante positiva, es una constante positiva, ffXX(( )) μμ ; y; y p ,p ,entonces:entonces:

( ) 21kXP ≤≥− σμ( ) 2k

μ

Formas alternativas, a veces útiles, de la desigualdad de Chebyshev son:, , g y

( ) 11kXP ≥ ( ) 11kXkP ≥( ) 21k

kXP −≥<− σμ ( ) 21k

kXkP −≥+<<− σμσμyy

La desigualdad proporciona una probabilidad límite de que la variable aleatoria X esté a lo más a k desviaciones estándar de la media sin que sea necesario conocer la distribución de probabilidad de X, aunque se considera un resultado “débil”, ya que si se conoce con precisión f(x) se pueden obtener mejores resultados.

Documents

Conceptos básicos de variables aleatorias y distribuciones de