Guia 1. Variables Aleatorias y Distribuciones de Probabilidad

8/18/2019 Guia 1. Variables Aleatorias y Distribuciones de Probabilidad

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Profesor: Msc. José Zúñiga Sáenz

Admini stración de Empresas Estadística I nf erencial Guía N°1. Tema: Var iables Al eatori as y Distr ibuciones de Probabil idad

VARIABLE AL EATORIA.Un experimento es cualquier acción o proceso que genera observaciones. Un experimento aleatori o es aquel que, al

repetirse bajo las mismas condiciones, no produce siempre los mismos resultados. Supongamos que se realiza unexperimento aleatorio, entonces: el conjunto de todos los posibles resultados de ese experimento, se llama EspacioMuestral que se simboliza con la letra griega Ω. Los experimentos se conciben de manera que los resultados del espaciomuestral son cualitativos o cuantitativos. Como ejemplos de resultados cualitativos se tienen: a) el lanzamiento de unamoneda es “Cara” o “Sello”; b) un producto manufacturado en una fábrica pueda ser “Defectuoso” o “No Defectuoso”. Puede ser útil la cuantificación de los resultados cualitativos de un espacio muestral y, mediante el empleo de medidasnuméricas, estudiar su comportamiento aleatorio.

Una Vari able Aleatoria X es una función que asigna un único número real a cada resultado del espacio muestral Ω de un

experimento aleatorio. En símbolos, una variable aleatoria X es una función , siendo el conjunto de losnúmeros reales: . Se dice que X es “aleatoria” porque involucra la probabilidad de los resultados del espaciomuestral, y X es una función definida sobre el espacio muestral, de manera que transforma todos los posibles resultados delespacio muestral en cantidades numéricas. Para ilustrar esta noción, considere el lanzamiento de una moneda. El espacio

muestral está constituido por dos posibles resultados: “Cara” y “Sello”. Sea X (Sello) = 0 y X (Cara) = 1 ; de esta manera sehan transformado los dos posibles resultados del espacio muestral en puntos sobre la recta real. Por se entenderála probabilidad de que la variable tome el valor 0, o equivalente, la probabilidad de que caiga Sello al lanzar la moneda.Para este ejemplo el número de posibles valores de la variable aleatoria es finito, sin embargo, se pueden definirVariables Aleatorias cuyos valores sean contables o no. Ya que una variable aleatoria es una caracterización cuantitativa delos resultados de un espacio muestral, esta posee intrínsecamente la naturaleza discreta o continua de este espacio.

Una Vari able Aleatoria X es Discreta si el número de valores que puede tomar es contable (finito o infinito), y si estos pueden arreglarse en una secuencia que corresponda a los números enteros. La siguiente tabla muestra ejemplos de variablesaleatorias discretas, en ella aparece un experimento, la correspondiente variable aleatoria X y los posibles valores x.

Experimento Variable Aleatoria X Valores de x

1 Lanzar tres monedas Numero de sellos 0, 1, 2, 3

2Sacar dos fichas, sin reemplazo de una caja con4 rojas y 3 negras

Numero de fichas rojas 0, 1, 2

3 Lanzar dos dados Suma de los números de las caras 2, 3, … , 12

4 Clientes que llegan a un mostrador Número de clientes 0, 1, 2, …

5 Llamar a cinco clientes Cantidad de clientes que hacen el pedido 0, 1, 2, 3, 4, 5

6 Revisar un embarque de 50 radios Cantidad de radios defectuosos 0, 1, 2. … , 50

7 Lanzar un dado Número de la cara 1, 2, 3, 4, 5, 6

Una Vari able Aleatoria X es Continua si sus valores consisten en uno o más intervalos de la recta de los reales (si tiene unacantidad infinita no numerable de valores). La siguiente tabla muestra ejemplos de variables aleatorias continuas. En ellaaparece un experimento, la correspondiente variable aleatoria X y sus posibles valores x.

Experimento Vari able Aleatoria X Valores de x

1 Medir el tiempo en que aparece una letra en la pantalladel computador

Tiempo que demora en aparecerla letra A

x > 0

2 Atención al Público de un bancoTiempo entre llegadas declientes

x ≥ 0

3 Llenar una lata de bebida, máximo 12,1 onzas Cantidad de onzas 0 ≤ x ≤ 12,1

4 Proyecto para construir una UniversidadPorcentaje terminado del proyecto en seis meses

0 ≤ x ≤ 100

5 Ensayar un nuevo proceso químicoTemperatura en que se lleva acabo la reacción deseada (Min150º F Max 212º F

150 ≤ x ≤ 212


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DISTRIBUCIONES DE PROBABI LI DAD PARA VARIABLES ALEATORIAS DISCRETAS

Una variable aleatoria discreta X representa los resultados de un espacio muestral en forma tal que por P(X = x) seentenderá la probabilidad de que X tome el valor de x. De esta forma, al considerar los valores de una variable aleatoria es posible desarrollar una función matemática que asigne una probabilidad a cada realización x de la variable aleatoria X. Esta

función recibe el nombre de Función de Probabili dad de la variable aleatoria X. El término más general Distri bución deProbabilidad , se refiere a la colección de valores de la variable aleatoria y a la distribución de probabilidades entre estos.Sin embargo, hacer referencia a la distribución de probabilidad de X, no solo implica la existencia de la función de probabilidad, sino también la existencia de la función de distribución acumulativa de X.

Sea X una variable aleatoria discreta definida sobre un espacio muestral Ω y supongamos que X toma los valores x 1, x2…

(Finito o infinito numerable). Se llamara a Función de Probabili dad de la variable aleatoria X, sisatisface las siguientes propiedades:

a. para todos los valores de Xb. ∑

La Función de Distr ibución Acumulativa (o solo Función de Distri bución) de la variable aleatoria X es la probabilidad deque X sea menor o igual a un valor específico de x y está dada por:

Por lo tanto, en el caso discreto, una variable aleatoria X está caracterizada por la Función de Probabili dad puntual f (x) , lacual determina la probabilidad puntual de que X = x, y por la Función de Distri bución F(x) , la que representa la suma delas probabilidades puntuales hasta el valor x de X inclusive. Las definiciones de función de probabilidad y función dedistribución son consistentes con los Axiomas de probabilidad de Kolmogorov, ya que estas funciones no son negativas para cualquier valor de la variable aleatoria y la suma de las probabilidades para todos los valores de X es igual a uno.

Ejemplo 1 Supóngase que se lanza una moneda dos veces y sea X la variable aleatoria que representa al “numero de carasque resultan” . Hallar la probabilidad de que X tome el valor Solución:Debido a que el espacio muestral correspondiente está dado por

entonces, los posibles

valores de X son 0, 1 y 2 porque: Esta información se puede resumir como se muestra en la tabla siguiente. Piden calcular Con base en lo anterior, obtenemos Evento Muestral (S,S) (C,S) (S,C) (C,C)

Valores de X 0 1 1 2

Valores de una variable aleatoria para el lanzamiento de dos monedas: Ejemplo 2 Considere nuevamente el lanzamiento de dos monedas y X la variable aleatoria definida como en el ejemploanterior. Entonces, teniendo en cuenta las probabilidades calculadas en ese ejemplo, la distribución de probabilidad de X se

puede visualizar a través de la llamada Tabla de Distr ibución De Probabili dades que se muestra a continuación. (Recuerdeque x in terpreta a los valores de X).

X 0 1 2

P (X = x) ¼ ½ ¼

Solución:Sea definida por , en donde x es un posible valor de X, es decir, f se define así:


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Una descripción para la Función de Probabilidad es:

Ahora, hallaremos la Función de Distribución . Para ello, procederemos teniendo en los dos siguientes pasos:Como los posibles valores de primero determinamos para cada valor x en el conjunto {0, 1, 2} Entonces la función de distribución acumulada está dada por:

{

Ejemplo 3 Considere el lanzamiento de dos dados. Si X es la variable aleatoria que representa la suma de las caras, LaFunción de Probabi li dad de X es:

| | Con esta función pueden determinarse las probabilidades de varios valores de X contenidos en la tabla de abajo y cuyagrafica se muestra también a continuación de ella.Además, puede establecerse La Función de Distri bución Acumul ativa de X de la siguiente forma:

⁄ ⁄ ⁄ ⁄ ⁄

∑ ⁄ ⁄ ⁄ ∑ ⁄ ⁄

Tabla de Correspondencia entre los resultados del lanzamiento de un par dedados y la variable aleatoria que representa la suma de las caras.

Resultado Variable N° de Ocurrencias Prob.

1,1 2 1 1/361,2; 2,1 3 2 2/36

1,3; 2,2; 3,1 4 3 3/361,4; 2,3; 3,2; 4,1 5 4 4/361,5; 2,4; 3,3; 4,2; 5,1 6 5 5/36

1,6; 2,5; 3,4; 4,3; 5,2; 6,1 7 6 6/362,6; 3,5; 4,4; 5,3; 6,2 8 5 5/363,6; 4,5; 5,4; 6,3 9 4 4/36

4,6; 5,5; 6,4 10 3 3/365,6; 6,5 11 2 2/36

6,6 12 1 1/36


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En general, la Función de Distribución Acumulada F(x) de una variable aleatoria discreta no decreciente de los valores deX, de tal manera que:

1. 2. ( ) 3.

Además, puede establecerse que para variables aleatorias de valor entero se tiene que:

4. 5.

ESPERANZA DE UNA VARIABLE ALEATORIA DI SCRETA

Sea X una variable aleatoria discreta definida sobre un espacio muestral Ω y suponga que X toma los valores (Finito o infinito). Sea f la función de probabilidad de X. Entonces, la esperanza (valor esperado o media) de X,simbolizada por , se define como: La esperanza de una variable aleatoria X no es una función de X, sino un número fijo y una propiedad de la distribución de probabilidad de X. por otra parte, el valor esperado puede no existir dependiendo de si la correspondiente suma, noconverge en un valor finito.

Ejemplo 4 Si la variable aleatoria X representa la suma de las caras de dos dados cuando estos se lanzan, demostrar que elvalor esperado es siete.

Solución: Con la función de probabilidad de X dada en el Ejemplo 3, se tiene:

( ⁄ )( ⁄ ) ( ⁄ ) Ejemplo 5 Un Inversionista dispone de $100.000 dólares para una inversión de un año. Está considerando dos opciones:

colocar el dinero en el mercado de valores, lo que le garantiza una ganancia anual fija del 15% y un plan de inversión cuyaganancia anual puede considerarse como una variable aleatoria cuyos valores dependen de las condiciones económicas que prevalezcan. Con base en la historia pasada del segundo plan, un analista muy confiable ha determinado los posibles valoresde la ganancia y calculado sus probabilidades, como se muestra en la siguiente tabla. Con base en la ganancia esperada¿Cuál de los dos planes debe seleccionarse?

Valores de la Ganancia.Ganancia (%) Probabilidad

30 0,225 0,220 0,315 0,1510 0,15 0,05

Solución: Si se escoge el primer plan, colocar el dinero en el mercado de valores, la ganancia anual que producen los 100 mil dólaresserá de 15 mil dólares, dado que esta es fija y su valor es del 15%. Para el segundo plan, sea X la variable aleatoria querepresenta la ganancia, entonces se tiene:

De acuerdo con esto, el segundo plan es una mejor elección, ya que ofrece una ganancia esperada de $20.500 dólares. Sinembargo se debe tener mucha cautela, dado que el valor de $20.500 es únicamente un valor esperado y el inversionista notiene ninguna garantía de que su ganancia real se encuentra cercana a este valor.


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Ejemplo 6 Un Inversionista tiene cierta cantidad de dinero disponible para invertir ahora. Existen 2 alternativas deinversión. Los beneficios de cada una bajo las condiciones económicas se indican a continuación:

Evento ProbabilidadesCursos de Acción - Miles de U$

A B

La Economía Declina 0,3 500 – 2000Sin Cambios 0,5 1000 2000Expansión Económica 0,2 2000 5000

La columna frente a los eventos, muestra la asignación de probabilidades de acuerdo a la experiencia del inversionista. ¿Deacuerdo al criterio de Esperanza, cual es la mejor elección para el inversionista? Y ¿De acuerdo al coeficiente de variación?

Solución.

Sucesos f(x) X X*f(x) V(x) Y Y*f(y) V(y)

E.D. 0,3 500 150 90750 -2000 -600 3468000E.S.C. 0,5 1000 500 1250 2000 1000 180000E.E 0,2 2000 400 180500 5000 1000 2592000

1050 272500 1400 6240000

E(x) V(x) E(y) V(y)E(X) 1050 Var (x) 272500 D.S (x) 522,01 C.V x. 49,72%E(Y) 1400 Var (y) 6240000 D.S (y) 2498 C.V y. 178,43%

PROPIEDADES DE L A ESPERANZASean X una variable aleatoria discreta definida sobre un espacio muestral Ω y a, b números reales fijos. Entonces,

a. b. c.

Ejemplo 7 Sea X cualquier variable aleatoria discreta. Si la variable aleatoria tiene esperanza 1, ¿cuál es laesperanza de X?

Solución.Por hipótesis, se tiene que Por lo tanto, por el TEOREMA se tiene .Con lo anterior, , o sea, VARIANZA DE UNA VARIABLE ALEATORIA DISCRETA

El concepto de dispersión requiere alguna medida de la distancia entre un valor x determinado de la variablealeatoria X y el valor esperado E(X). Esta distancia seria todo lo necesario si todos los valores de la variable aleatoriadiscreta tuvieran la misma probabilidad de ocurrir. Entonces, necesitamos alguna forma de ponderar cada distancia para

reflejar sus diferencias en importancia relativa. Al usar , la medida de “distancia” fue a veces positiva y otranegativa. Al elevar al cuadrado esa diferencia, se conserva una medida de distancia, pero el valor numérico essiempre positivo. Se Puede ponderar la “nueva” medida de distancia por la probabilidad de ocurrencia del valor de X y,

entonces, tenemos una medida de dispersión. Los matemáticos han utilizado tradicionalmente esta medida y la llaman la

varianza de la variable aleatoria. Sea X una variable aleatoria discreta definida sobre un espacio muestral Ω y supongamosque X toma los valores x1, x2,… (Finito o numerable). Sean f y μ la función de probabilidad y esperanza de X,

respectivamente. Entonces, la varianza de X, simbolizada por 2 o V(X), se define como: La desviación estándar de X, denotada por se define como la raíz cuadrada positiva de la varianza.

Otra forma de calcular la varianza es:


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Ejemplo 8 Consideremos el lanzamiento de dos monedas y sea X la variable aleatoria “número de caras que resultan”. En elejemplo 1 se ha encontrado que la distribución de probabilidad f de X está definida por: Además, la esperanza de X es μ = 1. Por consiguiente, según la definición, la varianza de X está dada por: Con esto, la desviación estándar de X es

√ PROPIEDADES DE LA VARIANZA Sean X una variable aleatoria discreta definida sobre un espacio muestral Ω y a, b números reales fijos. Entonces,

a. b. c. d. La desviación estándar de es igual a |a| por la desviación estándar de la variable X.DISTRIBUCIONES DE PROBABI LI DAD

Existen algunas distribuciones de probabilidad que han demostrado, empíricamente, ser modelos útiles para diversos problemas prácticos. A pesar de esto, estas distribuciones presentan un carácter teórico en el sentido en que sus funciones de probabilidad o de densidad se deducen matemáticamente con base en ciertas hipótesis que se suponen válidas para losfenómenos aleatorios. Una distribución de probabilidad está caracterizada, de manera general, por una o más cantidades quereciben el nombre de parámetros de la distribución. Este puede tomar cualquier valor de un conjunto dado y, en esesentido, define una familia de distribuciones de probabilidad, que tendrán la misma función genérica de probabilidad ofunción de densidad. Se trataran varios tipos de parámetros como el conteo, la proporción, la rapidez, la localización, la

variabilidad, y la forma. Se adoptan las letras para referirse a los parámetros de conteo, para la proporción, para larapidez, para la localización, para la variabilidad (escala) y para la forma. Cuando la presentación sea de unanaturaleza muy general y no se esté tratando ningún parámetro en particular, se empleara para designar ese parámetro.Los parámetros de conteo y de proporción son auto explicativos. Se examinan en detalle cuatro familias de distribuciones de probabilidad discreta como son las distribuciones: Binomial, Poison, Hi pergeometri ca y Binomial Negativa.

DISTRIBUCION BI NOMI AL

Es una de las distribuciones discretas de probabilidad más útiles y sus áreas de aplicación incluyen inspección de calidad,ventas, marketing, medicina, investigación de opiniones, etc. Parte de un experimento en el que el resultado es la ocurrenciao no de un evento. Sin pérdida de generalidad se llamara “éxito” a la ocurrencia del evento y “fracaso” a su no ocurrencia.Además, sea “p” la probabilidad de éxito cada vez que el experimento se lleva a cabo y “1 – p” la probabilidad de fracaso.

Suponga que el experimento se realiza n veces, y cada uno de estos intentos es independiente de todos los demás, y sea alvariable aleatoria que representa el número de éxitos en los n ensayos. El interés está en determinar la probabilidad de

obtener exactamente éxitos durante los n ensayos. Los dos supuestos claves para la distribución binomial son:1. La probabilidad de éxito p permanece constante para cada ensayo.2. Los n ensayos son independientes entre sí.

Varios problemas prácticos se adhieren a estos supuestos, por ejemplo, un proceso de manufactura produce un determinado producto en el que algunas unidades son defectuosas. Si la proporción de unidades defectuosas producidas por este procesoes constante durante un periodo razonable, y se selecciona aleatoriamente un número de unidades, entonces las proposiciones de probabilidad con respecto al número de artículos defectuosos puede hacerse mediante el uso de ladistribución binomial. Para obtener la función de probabilidad de la distribución binomial, primero se determina la probabilidad de tener, en n ensayos, x éxitos consecutivos seguidos de n – x fracasos consecutivos. Dado que por hipótesis,los n ensayos son independientes (para eventos independientes, sus probabilidades se multiplican entre sí), se tiene:


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La probabilidad de obtener exactamente x éxitos y – fracasos en cualquier otro orden es la misma puesto que losfactores – se reordenan de acuerdo con el orden particular. Por lo tanto, la probabilidad de tener x éxitos y – fracasos en cualquier orden, es el producto de por el numero de ordenes distintos (número de combinacionesde n objetos tomando x a la vez). Con respecto a lo anterior, se tiene la siguiente definición: Sea X una variable aleatoriaque representa el número de éxitos en n ensayos y p la probabilidad de éxito con cualquiera de estos. Se dice entonces que

X tiene una distribución binomial con función de probabilidad:

Los parámetros de la distribución binomial son n y p. El nombre “Distribución Binomial” se debe al hecho de que los

valores de para x = 0, 1, 2, … n son los términos sucesivos de la expansión binomial de esto es: Pero dado que y para este hecho también verifica que esuna función de probabilidad. La probabilidad de que una variable aleatoria X sea menor o igual a un valor especifico x, se

determina por la función de distribución acumulativa: Si (para el caso de tener un solo ensayo), la función de probabilidad binomial se reduce a:

Y esta es la función de probabilidad de la distribución puntual o de Bernoulli.

Ejemplo 9 El Sistema de información de un laboratorio farmacéutico revisa minuciosamente cada una de las ordenestomadas por los agentes comerciales y aquella que presenta alguna inconsistencia la etiqueta para ser analizada posteriormente, suponga que existe una probabilidad de 0,20 de que una orden cualquiera sea etiquetada, y que esta

probabilidad es independiente de una orden a otra en el sentido de que si la orden A es etiquetada, la orden B pueda que seaetiquetada o no. Para cinco ordenes escogidas aleatoriamente de las enviadas el día de hoy por los agentes, determine la probabilidad de que 3 de ellas sean etiquetadas.

Solución.Sea X el número de órdenes etiquetadas que se encuentran entre las 5. Suponga que son las cinco órdenesescogidas, considere el evento éxito “una Orden etiquetada” , se pide calcular reemplazando la orden por elevento éxito, tenemos entonces, en un orden específico donde: Esta es la probabilidad de que en el orden especifico las ordenes sean etiquetadas, sin embargo, existe la posibilidadde otras ordenes específicos más como son: ;… son 10 en total que resulta de lacombinatoria:

Así tenemos otro orden seria: Y todos los arreglos tienen la misma probabilidad de tal manera que la probabilidad de que es: Entonces la probabilidad de que se encuentren tres órdenes etiquetadas entre cinco escogidas aleatoriamente es de 0,0512.


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Ejemplo 10 Todos los días se seleccionan aleatoriamente 15 unidades de un proceso de manufactura con el propósito deverificar el porcentaje de unidades defectuosas en la producción. Con base en informaciones históricas, la probabilidad detener una unidad defectuosa es de 0,05. La gerencia ha decidido detener la producción cada vez que una muestra de 15unidades tenga dos o más defectuosas. ¿Cuál es la probabilidad de que, en cualquier día, la producción se detenga?

Solución.

Sea X el número de unidades defectuosas que se encuentran entre las 15, la probabilidad de que la producción se detenga es igual a la probabilidad de que X sea igual o mayor que 2. De esta manera:

Ejemplo 11 Una persona dispara a un objetivo 6 veces. La probabilidad de dar en el blanco es a. ¿Cuál es la probabilidad de que el dé en el blanco por lo menos una vez?b. ¿Cuántas veces debe disparar al objetivo para que la probabilidad de dar en el blanco por lo menos una vez sea más

grande que 0,77?

Solución.La respuesta en (a) será:

Para (b), debemos encontrar tal que , es decir, encontrar tal que: – – – es decir, tal que . Resolviendo esta desigualdad, encontramos que Es decir, la persona debe disparar al objetivo 3 o más veces para mantener una probabilidad mayor que 0,77 de dar en el blanco por lo menos una vez.

ESPERANZA Y VARIANZA DE LA DI STRIBUCIÓN BI NOMIALSi X es una variable aleatoria que tiene distribución binomial con los parámetros n y p, entonces, se cumple que

Ejemplo 12 Calcular la esperanza y la Varianza de los EJEMPLOS 9, 10 y 11

Solución. Tenemos , entonces: , Entonces , entonces: DISTRIBUCIÓN DE POISSONLlamada así en honor a Simeón Denis Poisson, probabilista francés del siglo XIX fue el primero en describirla, es otradistribución discreta de probabilidad muy útil en la que la variable aleatoria representa el número de eventos independientesque ocurren a una velocidad constante en el tiempo o en el espacio. Considere como ejemplos las siguientes variables:1. El número de personas que llegan a una tienda de autoservicio en un tiempo determinado.

2.

El número de accidentes de tráfico que ocurren en un día en un cruce.3. El número de llamadas que llegan a una central telefónica en cierto intervalo de tiempo.4. El número de órdenes de devolución de piezas que recibe una empresa en una semana.5. El número de bacterias en un cultivo.

La distribución de Poisson es el principal modelo de probabilidad empleado para analizar problemas de líneas de espera.Además, ofrece una aproximación excelente a la función de probabilidad binomial cuando p es pequeño y n es grande.Considerando un proceso de Poisson con parámetro (es decir, es el número promedio de ocurrencias por unidad detiempo) y sea X el “número de eventos que ocurren en un intervalo de tiempo [0, x]” . Entonces, la probabilidad de que

ocurran eventos en el intervalo está dada por


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Siendo la base del logaritmo natural. La correspondiente distribución de se conoce como Distri bución dePoisson con Parámetr o La función de probabil idad de una variable aleatoria que tiene distribución de Poisson con parámetros está dada por:

La probabilidad de que una variable aleatoria de Poisson con parámetro sea menor o igual a un valor específico estádada por la función de Distri bución :

Ejemplo 13 Los sábados por la mañana, los clientes entran en una pequeña tienda de un centro comercial suburbano a unatasa esperada de 0,50 por minuto. Halle la probabilidad de que el número de clientes que entran en un intervalo específicode 10 minutos es: a) 3 y b) a lo más 3.

Solución.

Las hipótesis del proceso de Poisson parecen ser razonables en este contexto. Se da por sentado que los clientes no llegan engrupos y que la entrada de un cliente no aumenta ni disminuye la probabilidad de que llegue otro. Para obtener , se observaque a una tasa media de 0,50 por minuto durante un periodo de 10 minutos, se puede esperar entradas. Sea X la variable aleatoria que representa al N° de clientes que entran en un intervalo específico de 10 minutos.

a. Piden calcular . Entonces con : b. Ahora piden calcular Se tiene:

Ejemplo 14 Después de una prueba de laboratorio muy rigurosa con cierto componente eléctrico, el fabricante determinaque en promedio, solo fallaran dos componentes antes de tener 1000 horas de operación. Un comprador observa que son

cinco los que fallan antes de las 1000 horas. Si el número de componentes que fallan es una variable aleatoria de poisson,¿existe suficiente evidencia para dudar de la conclusión del fabricante?

Solución.La duda en estadística puede apoyarse en términos de la probabilidad. Si un evento debe o no ocurrir bajo ciertascondiciones, su ocurrencia se decide en términos de la probabilidad del evento bajo esas condiciones. Si la probabilidad deocurrencia es pequeña y el evento ocurre, entonces se puede preguntar, con justificación por las condiciones.Al mismo tiempo debe tenerse en mente que un valor de probabilidad pequeño no impide la ocurrencia del evento a menosque este valor sea cero. En el ejemplo se tiene . Se supone que la frecuencia con que ocurren las fallas es constante eigual a dos por cada mil horas o un promedio de 1/500 unidades por hora. La probabilidad de que fallen cinco componentes

en mil horas es: Y la probabilidad de que por lo menos fallen cinco en 1000 horas es:

Ambas probabilidades son, de manera relativa, pequeñas. Esto es si el número de fallas en mil horas esta descrita de maneraapropiada por la distribución de poisson con una frecuencia constante de dos, existe una probabilidad de observar exactamente cinco unidades defectuosas de 0,0361, y una probabilidad de 0,0527 de observar por lo menos cinco en el mismo periodo de operación. Sin embargo, antes de tomar cualquier medida en contra del fabricante, es necesario contestar preguntas como: ¿es la frecuencia de falla constante e igual a 2 durante mil horas?, aun si esto fuera cierto, ¿es el medio deoperación el mismo bajo el cual el fabricante hizo sus pruebas? Estas preguntas solo pueden contestarse con unacomprensión completa de la situación.


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Ejemplo 15 Un estudio indica que el número de huelgas anuales en una determinada empresa con 2.000 empleados, se

puede representar por una distribución de Poisson con media . Sea X la variable aleatoria que representa al númerode huelgas. Calculando probabilidades para números concretos de huelgas anuales:

Solución.

La probabilidad de que no haya huelga es b. La probabilidad de que haya más de una huelga en 1 año – ESPERANZA Y VARIANZA DE LA DI STRIBUCION DE POISSON

Si X es una variable aleatoria que tiene distribución de Poisson con parámetro , entonces, se cumple que: LA DI STRIBUCION HI PERGEOMETRICA

Se consideran experimentos Hipergeometricos aquellos que obedecen las propiedades del experimento binomial, perodebilitando la propiedad de independencia entre los experimentos individuales, es decir, suponiendo que estos sondependientes. Se usan comúnmente cuando el muestreo se hace sin reemplazo. Estos experimentos con parámetros

están basados en las siguientes suposiciones:

1.

La población o conjunto donde deba hacerse el muestreo es una población finita con N elementos.2. Cada elemento de la población puede ser caracterizado como un éxito o un fracaso.3. Hay M éxitos en la población.4. Se elige una muestra sin reemplazo de n individuos, tal que es igualmente probable seleccionar cada subconjunto n.

En un experimento Hipergeometrico con parámetros , la variable de interés es siempre “el número de éxitosobtenidos en la muestra” . La distribución de probabilidad de , llamada Distri bución H ipergeometri ca , depende de los parámetros y la probabilidad que inicialmente nos interesa estudiar es la de obtener éxitos en la muestra, la cualsimbolizaremos con Es decir, estaremos interesados en calcular la probabilidad .Ejemplo 16 Una caja contiene, al comienzo de un experimento, 2 bolas blancas y 4 bolas negras. Ahora se sacan bolas aleatoriamente, sin reemplazo. Determinar la probabilidad de que entre las 3 bolas sacadas haya

;

Solución.En la caja hay bolas en total. Sea la variable aleatoria que representa al “número de bolas negras elegidas deentre las 3 bolas sacadas ”. Esto quiere decir que “sacar una bola negra” es un éxito y que . Es claro que los valores posibles de son . Ahora, el número de formas de seleccionar una muestra de bolas de un total de bolas disponibles en la caja es Por consiguiente, el espacio muestral correspondiente Ω tiene 20 elementos igualmente probables.

a. .b.

c. Sea X el número de éxitos obtenidos en una muestra escogida al azar al realizar un experimento Hipergeometrico con parámetros n, M y N. Entonces, la probabilidad de elegir x éxitos en n intentos está dada por:

La correspondiente distribución de X se conoce como con parámetros n, M y N.


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La función de probabilidad de una variable aleatoria Hipergeometrica con parámetros está dada por:

{

La probabilidad de que una variable aleatoria Hipergeometrica con parámetro sea menor o igual a un valorespecífico está dada por la función de Distribución

Ejemplo 17 El consejo de cierta universidad consiste de 66 consejeros, 38 de los cuales son de la facultad de ciencias, 28 delos cuales son de la de artes. Si un comité de 16 consejeros fue escogido aleatoriamente, entonces, determine la probabilidadde que el comité tenga por lo menos 2 consejeros de la facultad de arte.

Solución.Sea X la variable aleatoria que representa al número de consejeros escogidos de la facultad de arte. Entonces, la

probabilidad de que el comité tenga a lo más un consejero de la facultad de arte está dada por:

Por consiguiente, la probabilidad de que el comité tenga por lo menos 2 consejeros de la facultad de arte será

Ejemplo 18 Una compañía recibe un pedido de 20 artículos. Dado que la inspección de cada artículo es cara, se sigue la política de analizar una muestra de 6 artículos de cada envió (seleccionada sin reemplazo y sin orden), aceptando la remesasi no hay más de un artículo defectuoso en la muestra. ¿Cuál es la probabilidad de que sea aceptado un pedido con cincoartículos defectuosos?

Solución.Sea X la variable aleatoria que representa al número de artículos defectuosos en la muestra de 5. Entonces,

Por consiguiente, la probabilidad de que sea aceptado un pedido con cinco artículos defectuosos es de 0,516.

ESPERANZA Y VARIANZA DE LA DI STRIBUCION H IPERGEOMETRICA

Si

es una variable aleatoria que tiene distribución hipergeometrica con parámetros

, entonces, se cumple que:

La razón es la proporción de los éxitos de la población. Si sustituimos por en las fórmulas de y , obtenemos: La expresión anterior muestra que la esperanza de las variables binomial e Hipergeometrica son iguales, mientras que las

varianzas de las dos variables difieren por el factor , a veces llamado factor de corrección por poblaciónfinita. Este factor es menor que 1, así que la variable Hipergeometrica tiene menor varianza que la de la binomial.


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DISTRIBUCIONES DE PROBABI LI DAD PARA VARIABLES ALEATORIAS CONTINUAS

La distribución de probabilidad de una variable aleatoria continua X está caracterizada por una función f(x) que recibe elnombre de Funcion de Densidad de Probabili dad. Esta función f(X) no es la misma función de probabilidad que para elcaso discreto. Como la probabilidad de que X tome el valor especifico x es cero, la función de densidad de probabilidad no

representa la probabilidad de que , mas bien, esta proporciona un medio para determinar la probabilidad de unintervalo . La función , cuya grafica es la curva limite que se obtiene para un número muy grande deobservaciones y para una amplitud de intervalo muy pequeña, es la función de densidad de probabilidad para una variablealeatoria continua X, ya que la escala vertical se elige de manera que el área total bajo la curva es igual a uno. La función dedensidad de una variable aleatoria continua X, se define de la siguiente forma:

Si existe una función f(x) tal que:

a. b. ∫ c. ∫

Entonces

es la función de densidad de probabilidad de la variable aleatoria continua X. Puesto que el área total bajo

f(x) es uno, la probabilidad del intervalo es el área acotada por la función de densidad y las rectas X = a y X = b, como se muestra en la figura.Al igual que en el caso de una variable aleatoria discreta, la Función de Distri bución Acumulativa de una variable aleatoriacontinua X es la probabilidad de que X tome un valor menor o igual a algún x especifico. Esto es: Donde t es una variable artificial de integración.

La distribución acumulativa es una función lisa no decreciente de los valores de la variable aleatoria con lassiguientes propiedades:

1. 2.

3.

–

4.

La propiedad de que la derivada de la función de distribución acumulativa es la función de densidad de probabilidad es unaconsecuencia del teorema fundamental del cálculo.

LA DI STRIBUCIÓN NORMAL .

Una variable aleatoria X tiene distribución normal con los parámetros si su Función de Densidad de probabilidad está dada por:

√ [ ]

Siendo e la base del logaritmo natural. Esta función f es conocida como la Densidad Normal . La Función de Distri buciónAcumulada correspondiente (que simbolizaremos como se define como:

Los parámetros de la distribución normal son y además determinan de manera completa la función de densidad de probabilidad. Estos parámetros son la media y la desviación estándar de X respectivamente.


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Ejemplo 19. Suponga que los diámetros de bolas de golf producidas por una compañía están normalmente distribuidas con

una media de μ = 1,96 pulgadas y una desviación estándar de = 0,04 pulgadas. Una bola de golf se considera defectuosa sisu diámetro es menor que 1,90 pulgadas o más grande que 2,02 pulgadas. Ahora, debido a que:

√

Entonces, la compañía fabrica aproximadamente 13,4 % bolas de golf defectuosas.

PROPIEDADES DE LA DI STRIBUCIÓN NORMALHay ciertas propiedades importantes acerca de las características de la distribución normal.

1. Si X es una variable aleatoria que tiene distribución normal con parámetros μ R y 2 > 0 , entonces, la esperanza de y la varianza de .2. Hay toda una familia de distribuciones normales. Cada distribución normal específica se distingue por su esperanza μ

y su desviación estándar .3. En la figura 1 podemos observar que:

Fi g. 1: Grafi cas de la densidad y distri bución normal para diferentes valores de los parámetros μ y .

a. La densidad normal es creciente para x < μ y decreciente para x > μ. Es decir, el punto más alto de la densidadnormal se obtiene cuando x = μ (1 a, b)

b. La densidad normal es simétrica respecto a μ. El eje de simetría contiene a μ y divide a la densidad normal en dosregiones que tienen igual área, tamaño y forma.

c. Las colas, extremos los lados de la densidad normal se prolongan al infinito en ambas direcciones y nunca tocan eleje horizontal (figura 1 a, b).

d. La desviación estándar determina el ancho de la curva. A mayores valores de la desviación estándar se tienencurvas más anchas y bajas, que muestran una mayor dispersión en los datos (figura 1 b).

e. La esperanza μ determina el lugar de la distribución.

4. La media, la mediana y la moda son todas iguales.

5. En la figura 1 c ilustramos la gráfica de la distribución acumulada normal para 1 < 2 .

LA DI STRIBUCIÓN NORMAL ESTÁNDAR

Hay una distribución normal para cada valor distinto de μ y . Una distribución de especial importancia en estadística es ladistribución normal estándar (o estandarizada) que tiene una media 0 y varianza 1. Una variable aleatoria tiene DistribuciónNormal Estándar (ó Estandarizada) si y sólo si tiene distribución normal con esperanza 0 y varianza 1.

De ahora en adelante, utilizaremos siempre la letra Z para representar a una variable aleatoria que tiene distribución normalestándar y convendremos que

Además, la densidad y la distribución (normales estándar) tienen las siguientes propiedades:

Para todo z real se tiene que (z) = (−z). Es decir, la densidad normal es simétrica con respecto a 0.

Para toda t real se cumple que (−t) = 1 − (t), esto se puede interpretar de la siguiente manera (véase la figura 2): El

área (−t) de la región I es igual al área 1 − (t) de la región II.


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Fig. 2: Las áreas de las regiones I y I I son i guales en l a distr ibución normal estándar

USO DE TABLAS NORMALES

Las áreas de la distribución normal estándar correspondiente a varias probabilidades se encuentran actualmente tabuladas.

La tabla de área bajo la curva normal es un ejemplo. Ella tabula la función de distribución acumulada (t) = P (Z ≤ t) paradiferentes valores de t. Por ejemplo,

Supongamos que queremos encontrar . Para ello, primero localizamos 2,9 en la columnaizquierda de la tabla, y después localizamos a 0,01 en el renglón superior. Buscando en el interior de la tabla, vemosque el renglón de 2,9 y la columna de 0,01 se intersecan en el valor 0,9982. Por consiguiente, hemos determinado la probabilidad que buscábamos:

. La tabla 1 presenta una parte de esa tabla, donde se muestra l a

probabi li dad pedida.

Tabla 1: Parte de la tabla normal , de donde (2, 91) = 0,9982 Siguiendo el mismo método, podemos determinar Primero encontramos el renglón de −1,3 y después

avanzamos por ´el hasta la columna de 0,03. Allí vemos que . Observe que hay valores de Z que no aparecen en la tabla (como por ejemplo, 3,5 y −4, 2). En este caso, debemos

aproximar a 0 las probabilidades correspondientes a los valores negativos y a 1, las probabilidades correspondientes a

los valores positivos. Por ejemplo,

Ejemplo 20. Si X es ¿Cuáles son las probabilidades de que el valor de X se encuentre a una, dos y tres veces ladesviación estándar de la media?Solución: Así, para cualquier variable aleatoria normal las probabilidades “una sigma”, “dos sigmas” y “tres sigmas” son 0,6826,

0,9544 y 0,9974 respectivamente. Este resultado indica que para la distribución normal existe una gran concentración devalores alrededor de la media.

Ejemplo 21. Encuentre las probabilidades siguientes asociadas con la distribución normal estándar, usando la tabla normal: Solución:Teniendo en cuenta la tabla normal y algunas propiedades vistas anteriormente, encontramos que

P (−1,34≤Z≤1,68) = (1,68)−(−1,34) = 0,9535−0,0901= 0,8634

P(Z ≥ 1,68) = 1 – P(Z < 1,68) = 1 − (1,68) = 1 − 0,9535 = 0,0465


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El resultado 0,8634 corresponde al área bajo la curva normal comprendida entre z = −1, 34 y z = 1, 68 (véase la figura 3a) yel resultado 0,0465 corresponde al área bajo la curva normal a la derecha de z = 1, 68 (véase la figura 3b).

a) Entre z = -1,34 y z = 1.68 b) A la derecha de z = 1.68

Figura 3. Área Bajo la Curva Normal

CONVERSION A LA DI STRIBUCION NORMAL ESTANDAR

Cuando X tiene distribución normal con parámetros μ y 2, entonces, las probabilidades donde aparezca X se calculan con

el método de estandarización, es decir, se calculan con una nueva variable Z que, de ahora en adelante, se definirá como Obsérvese que, al aplicar las propiedades de la esperanza y varianza, encontramos que la esperanza y varianza de Z sonE(Z) = 0 y V (Z) = 1, respectivamente. Este hecho conduce al siguiente teorema:

TEOREMA. Sea X una variable aleatoria que tiene distribución normal con parámetros μ y 2. Entonces,

a. Z tiene distribución normal estándar.b. Para todo a real, se cumple que

c.

Para todo a real, se cumple que

d. Para todo a y b reales, se cumple que Ejemplo 22. Una compañía fabrica focos con vida media de 500 horas y desviación estándar de 100. Si se supone que lostiempos de vida útil de los focos se distribuyen normalmente, esto es que los tiempos de vida forman una distribuciónnormal, encuentre la probabilidad de que cierta cantidad de focos duren entre 650 y 780 horas.

Solución:Sea X la variable aleatoria que representa al “tiempo de vida útil de los focos”. Nos piden calcular P (650 ≤ X ≤ 780). Del

problema, sabemos que X es una variable aleatoria normal con esperanza μ = 500 y desviación estándar = 100. Porconsiguiente, hallaremos la probabilidad pedida aplicando el teorema 4.4.5 y con ayuda de la variable Z.

O sea, la probabilidad de que cierta cantidad de focos duren entre 650 y 780 horas es aproximadamente 0,0642.


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FORMAS DEL AREA BAJO LA CURVA NORMAL

Ejemplo 23. Sea X una variable aleatoria que representa la inteligencia medida por medio de pruebas CI. Si X N(100,10)obtener las probabilidades de que X sea mayor que 100, menor que 85, a lo más 112, por lo menos 108, más grande que 90y entre 95 y 120

Solución:

Dado que la distribución de probabilidad de X es simétrica alrededor de su media, la probabilidad de que X sea mayor queeste valor es, por definición 0,5. Las otras probabilidades se obtienen de la siguiente forma:

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Guia 1. Variables Aleatorias y Distribuciones de Probabilidad