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VARIABLES ALEATORIAS Y DISTRIBUCIONES DE PROBABILIDAD VARIABLES ALEATORIAS

Supngase que a cada punto de un espacio muestral asignamos un nmero. As definimos una funcin en el espacio muestral. Esta funcin se llama variable aleatoria (o variable estocstica) o ms precisamente funcin aleatoria (funcin estocstica). Comnmente se denota por una letra mayscula como X Y. En general una variable aleatoria tiene algn significado fsico, geomtrico u otro.

EJEMPLO 1: Supngase que se lanza una moneda dos veces de tal forma que el espacio muestral es S= {cc, sc, cs, ss}. Represntese por X el nmero de caras que pueden resultar. Con cada punto muestral podemos asociar un nmero para X como se muestra en la Tabla.

Se concluye que X es una variable aleatoria.

EJEMPLO 2: Supongamos que un vendedor de vehculos toyota, visita a tres clientes un da determinado. Los resultados posibles de ese experimento los podemos escribir en un espacio muestral de tal manera que la letra V nos indica que la venta fue realizada, mientras que la letra N nos indica que no se realiz la venta, as: S = {NNN, NNV, NVN, VNN, NVV, VNV, VVN, VVV}. Como estamos interesados en conocer el nmero de ventas efectuadas, entonces se le asigna un valor numrico de (0, 1, 2, 3) a cada uno de los resultados del espacio muestral. Resultados(Elementos del Espacio muestral)nmero de ventasXNNN0NNV1NVN1VNN1NVV2VNV2VVN2VVV3

(b ) construir la grfica de probabilidad.

Ejemplo 4: El experimento estadstico de lanzar una moneda 3 veces al aire para observar el nmero de caras obtenido genera una distribucin de probabilidad discreta, pues solo es posible obtener un nmero finito de caras desde cero hasta tres. S = {CCC, CSS, CSC, CCS, SSC, SCC, SCS, SSS}. Resultados(Elementos del Espacio muestral)nmero de carasXCCC3CSS1CSC2CCS2SSC1SCC2SCS1SSS08As la funcin de probabilidad esta dada por:

Grfica de probabilidad.

S = {CCC, CSS, CSC, CCS, SSC, SCC, SCS, SSS}

La funcin de probabilidad esta dada por:(ver ejemplo 4)

Ejemplos 6: La ltima novela de un autor ha tenido un gran xito, hasta el punto de que el 80% de los lectores ya la han ledo. Un grupo de 4 amigos son aficionados a la lectura:Cul es la probabilidad de que el grupo hayan ledo la novela 2 personas?n=4p=0,8q=0,2

Y cmo mximo 2?

Ejemplo8:

a.b. c. DISTRIBUCIN CONTINUA DE PROBABILIDAD Si X es una variable aleatoria continua la probabilidad de que X tome un valor determinado generalmente es cero. Por tanto no podemos definir una funcin de probabilidad en la misma forma que para una variable aleatoria discreta. Para llegar a una distribucin de probabilidad para una variable aleatoria continua notamos que la probabilidad de que X se encuentre entre dos valores diferentes tiene significado.

Ahora bien, para calcular la probabilidad de un intervalo, es necesario generar un rea bajo la curva que represente dicho intervalo, de tal suerte que la curva est definida por una funcin de densidad o ecuacin matemtica que simbolizamos como f(x) y que permitir el uso de integrales para as poder calcular el rea correspondiente bajo la curva. La funcin f(x), es una funcin de densidad para la variable aleatoria continua X, si se cumple:

Nota:Para el caso continuo se cumple que:

Distribucin Normal (Distribucin de probabilidad continua)

Definicin: Sea X una variable aleatoria continua, se dice que X tiene una funcin de densidad con distribucin normal, si y solo si:

Funcin de densidad Normal Estndar

En este texto simbolizaremos con la letra Z cuando una variable tenga distribucin normal estndar.

Tiene distribucin normal estndar

Ejemplo: Se cree que la estatura de los estudiantes de ciencias econmicas que ingresaron al primer semestre en el 2013 a la Universidad del Norte esta normalmente distribuida con media 1,65 m y desviacin estndar 0,2 m; de ser cierta tal afirmacin, Que porcentaje de los estudiantes que ingresaron en el primer semestre de 2013 tienen una estatura inferior a 1,75 m?

Desde el punto de vista grafico, lo que se quiere es determinar que porcentaje del rea bajo la curva con distribucin normal de media 1,65 m y desviacin estndar 0,2 m queda a la izquierda del valor 1,75

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Distribucin de Poisson (Discreta)

X= Nmero de xitos obtenidos por unidad de tiempo o de espacio Para determinar la probabilidad de que ocurran k xitos por unidad de tiempo, rea, o producto, la frmula a utilizar sera:

PropiedadesEjemplo:Un entomlogo examina una planta de algodn y cuenta el nmero dehuevecillosde un insecto por planta. De estudios anteriores se sabe que bajo las condiciones del experimento el nmero dehuevecillospor planta puede representarse por una distribucin dePoissoncon= 0.9. Si se selecciona una planta al azar, calcular la probabilidad de que se encuentren cuando mucho 3huevecillos.Solucin:Las probabilidades de que el entomlogo encuentre 0, 1, 2, 3,huevecillospor planta son:Bibliografa

Estadstica Hugo Gmez Giraldo pdf 2009Teora y problemas de probabilidad de estadstica por Murray R. Spiegel Ph.D McGraw-Hillhttp://www.ditutor.com/distribucion_binomial/distribucion_binomial.html Notas de clase del profesor Martn Daz Universidad del Norte.Estadstica para Administracin y Economa. Anderson-Sweeney-Williams. http://148.204.211.134/polilibros/Portal/Polilibros/P_terminados/PROBABILIDAD/doc/Unidad%202/2.9.HTM