Estadstica Unidad IIIDuocUC Variables Aleatorias y distribuciones especialesSigla: EST400 Nombre Asignatura: Estadstica 1Material de apoyo N 3/Unidad 3

Variable aleatoriaEl resultado de un experimento aleatorio puede ser descrito en ocasiones como una cantidad numrica.

En estos casos aparece la nocin de variable aleatoriaFuncin que asigna a cada suceso un nmero.

Las variables aleatorias pueden ser discretas o continuasEn las siguientes diapositivas vamos a recordar conceptos de temas anteriores, junto con su nueva designacin. Los nombres son nuevos. Los conceptos no.

Funcin de probabilidad (V. Discretas)Asigna a cada posible valor de una variable discreta su probabilidad.Recuerda los conceptos de frecuencia relativa y diagrama de barras.EjemploNmero de caras al lanzar 3 monedas.

Funcin de densidad (V. Continuas)DefinicinEs una funcin no negativa de integral 1.Pinsalo como la generalizacin del histograma con frecuencias relativas para variables continuas.

Para qu lo voy a usar?Nunca lo vas a usar directamente.Sus valores no representan probabilidades.

Para qu sirve la f. densidad?Muchos procesos aleatorios vienen descritos por variables de forma que son conocidas las probabilidades en intervalos.

La integral definida de la funcin de densidad en dichos intervalos coincide con la probabilidad de los mismos.

Es decir, identificamos la probabilidad de un intervalo con el rea bajo la funcin de densidad.

Funcin de distribucinEs la funcin que asocia a cada valor de una variable, la probabilidad acumulada de los valores inferiores o iguales.

Pinsalo como la generalizacin de las frecuencias acumuladas. Diagrama integral.

A los valores extremadamente bajos les corresponden valores de la funcin de distribucin cercanos a cero.

A los valores extremadamente altos les corresponden valores de la funcin de distribucin cercanos a uno.

Para qu sirve la f. distribucin?Contrastar lo anmalo de una observacin concreta.

S que una persona de altura 210cm es anmala porque la funcin de distribucin en 210 es muy alta.S que una persona adulta que mida menos de 140cm es anmala porque la funcin de distribucin es muy baja para 140cm.

S que una persona que mida 170cm no posee una altura nada extraa pues su funcin de distribucin es aproximadamente 0,5.

Relacinalo con la idea de cuantil.

En otro contexto (contrastes de hiptesis) podremos observar unos resultados experimentales y contrastar lo anmalos que son en conjunto con respecto a una hiptesis de terminada.

Intenta comprender la explicacin de clase si puedes. Si no, ignora esto de momento. Revisita este punto cuando hayamos visto el tema de contrastes de hiptesis.

Valor esperado y varianza de una v.a. XValor esperado Se representa mediante E[X] Es el equivalente a la media

VarianzaSe representa mediante VAR[X] o 2 Es el equivalente a la varianzaSe llama desviacin tpica a

Algunos modelos de v.a.Hay v.a. que aparecen con frecuencia en las distintas ciencias.

Contar xitos en experimentos dicotmicos repetidos:Binomial

Y en otras muchas ocasionesDistribucin normal (gaussiana, campana,)

Distribucin binomialFuncin de probabilidad

Problemas de clculo si n es grande y/o p cercano a 0 o 1.

Media: =n p

Varianza: 2 = n p q

Distribucin BinomialSi se repite un nmero fijo de veces, n, un experimento de Bernoulli con parmetro p, el nmero de xitos sigue una distribucin binomial de parmetros (n, p).

Lanzar una moneda 10 veces y contar las caras.Bin (n=10,p=1/2)

Lanzar una moneda 100 veces y contar las caras.Bin (n=100,p=1/2)Difcil hacer clculos con esas cantidades. El modelo normal ser ms adecuado.

El nmero de personas que enfermar (en una poblacin de 500.000 personas) de una enfermedad que desarrolla una de cada 2000 personas.Bin(n=500.000, p=1/2000)Difcil hacer clculos con esas cantidades.

Distribucin normal o de GaussAparece de manera natural:Errores de medida.Distancia de frenado. Altura, peso, propensin al crimenDistribuciones binomiales con n grande (n>30) y p ni pequeo (np>5) ni grande (nq>5).

Est caracterizada por dos parmetros: La media, , y la desviacin tpica, .

Su funcin de densidad es:

N(, ): Interpretacin geomtricaPuedes interpretar la media como un factor de traslacin.

Y la desviacin tpica como un factor de escala, grado de dispersin,

N(, ): Interpretacin probabilistaEntre la media y una desviacin tpica tenemos siempre la misma probabilidad: aprox. 68%

Entre la media y dos desviaciones tpicas aprox. 95%

Algunas caractersticasLa funcin de densidad es simtrica, mesocrtica y unimodal.Media, mediana y moda coinciden.

Los puntos de inflexin de la fun. de densidad estn a distancia de .

Si tomamos intervalos centrados en , y cuyos extremos estna distancia , tenemos probabilidad 68%a distancia 2 , tenemos probabilidad 95%a distancia 25 tenemos probabilidad 99%

No es posible calcular la probabilidad de un intervalo simplemente usando la primitiva de la funcin de densidad, ya que no tiene primitiva expresable en trminos de funciones comunes.

Todas las distribuciones normales N(, ), pueden ponerse mediante una traslacin , y un cambio de escala , como N(0,1). Esta distribucin especial se llama normal tipificada o normal estndar.Justifica la tcnica de tipificacin, cuando intentamos comparar individuos diferentes obtenidos de sendas poblaciones normales.

TipificacinDada una variable de media y desviacin tpica , se denomina valor tipificado,z, de una observacin x, a la distancia (con signo) con respecto a la media, medido en desviaciones tpicas, es decir

En el caso de variable X normal, la interpretacin es clara: Asigna a todo valor de N(, ), un valor de N(0,1) que deja exctamente la misma probabilidad por debajo.

Nos permite as comparar entre dos valores de dos distribuciones normales diferentes, para saber cul de los dos es ms extremo.

Tabla N(0,1)Z es normal estndar

Calcular P[Z

Tabla N(0,1)Z es normalestndar

Calcular P[Z

Tabla N(0,1)Z es normal estndar

Calcular P[-0,54

Ejemplo: Clculo con probabilidades normales

El colesterol en la poblacin tiene distribucin normal, con media 200 y desviacin 10.

Qu porcentaje de individuos tiene colesterol inferior a 210?

Qu valor del colesterol slo es superado por el 10% de los individuos.

Todas las distribuciones normales son similares salvo traslacin y cambio de escala: Tipifiquemos.

El valor del colesterol que slo supera el 10% de los individuos es el percentil 90. Calculemos el percentil 90 de la N(0,1) y deshacemos la tipificacin.

Ejemplo: TipificacinSe quiere dar una beca a uno de dos estudiantes de sistemas educativos diferentes. Se asignar al que tenga mejor expediente acadmico.El estudiante A tiene una calificacin de 8 en un sistema donde la calificacin de los alumnos se comporta como N(6,1).El estudiante B tiene una calificacin de 80 en un sistema donde la calificacin de los alumnos se comporta como N(70,10).SolucinNo podemos comparar directamente 8 puntos de A frente a los 80 de B, pero como ambas poblaciones se comportan de modo normal, podemos tipificar y observar las puntuaciones sobre una distribucin de referencia N(0,1)

Como ZA>ZB, podemos decir que el porcentaje de compaeros del mismo sistema de estudios que ha superado en calificacin el estudiante A es mayor que el que ha superado B.Podramos pensar en principio que A es mejor candidato para la beca.

Qu hemos visto?En v.a. hay conceptos equivalentes a los de temas anteriores Funcin de probabilidad Frec. Relativa.Funcin de densidad histogramaFuncin de distribucin diagr. Integral.Valor esperado media, Hay modelos de v.a. de especial importancia:BinomialNormalPropiedades geomtricasTipificacinAparece tanto en problemas con variables cualitativas (dicotmicas, binomial) como numricas