CƠ HỌC LÝ THUYẾT TRƯỜNG ĐẠI HỌC BÁCH KHOA TP. HỒ CHÍ MINH

BKTP.HCM

Bộmôn Cơ Kỹ ThuậtTp. Hồ Chí Minh, 01/ 2007

TRƯỜNG ĐẠI HỌC BÁCH KHOA TP. HỒ CHÍ MINH

PGS. TS. TRƯƠNG Tích Thiện

CƠ HỌC LÝ THUYẾT

Phần I: TĨNH HOC

Copyright By Focebk.com

Design By haughtycool

Chương 1: CƠ SỞ CỦA TĨNH HỌC

1.1.1. Ba định nghĩa cơ bản của tĩnh học

1.1 Các định nghĩa của tĩnh học

Tĩnh học là một phần của cơ học lý thuyết, nhằm giảiquyết hai nhiệm vụ sau:

Thu gọn một hệ nhiều lực phức tạp đang tác động lên hệthống thành một hệ ít lực hơn, đơn giản và tương đương(tối giản). Tập hợp các dạng tối giản khác nhau của cáchệ lực được gọi là các dạng chuẩn của hệ lực.

Xây dựng các điều kiện cân bằng cho một hệ thốngnhiều lực.

PGS. TS. Trương Tích Thiện

CƠ HỌC LÝ THUYẾT 1: Tĩnh Học va Động Học Phần I: Tĩnh học



1.1.1.2. Trạng thái cân bằng

Trạng thái cơ học của vật rắn tuyệt đối là quy luật chuyểnđộng của vật rắn trong không gian theo thời gian.

1.1.1.1. Vật rắn tuyệt đối

Là loại vật rắn có hình dáng và thể tích không thay đổi dướimọi tác động từ bên ngoài.

Có hai dạng cân bằng của vật: Tịnh tiến thẳng đều. Vật đứng yên (có thêm tính chất vận tốc bằng 0).

Trạng thái cân bằng là một trạng thái cơ học đặc biệt củavật rắn sao cho mọi chất điểm thuộc vật đều có gia tốc bằngkhông.

1.1.1.3. Lực





b). Các đặc trưng của lực (hình 1.1):

Điểm đặt.

Ký hiệu của lực:

AF

l

Hình 1.1

a). Định nghĩa:

Lực là một đại lượng vector được dùng để đo lường sự tươngtác cơ học giữa các vật chất với nhau.

Độ lớn.

Phương và chiều.

Với : đường tác dụng của lực. l

2; 1 1 . /N N kgF m s






1.1. 2. Các định nghĩa khác về lực1.1.2.1. Hệ lựcLà một tập hợp nhiều lực đang tác động lên đối tượng khảosát.

1.1.2.2. Hệ lực tương đương

( ) ( )

1, 1,j kF Q

j n k m

~

Hai hệ lực được gọi là tương đương với nhau về cơ học nếuhai hệ lực này cùng gây ra một kết quả cơ học trên một vật.

Ký hiệu hệ n lực như sau:

Ký hiệu:

, 1,jF j n




1.1.2.3. Hợp lực

a). Định nghĩa:

Ký hiệu của hợp lực như sau:

b). Tính chất của hợp lực: hợp lực có 2 tính chất.

Vector hợp lực được xác định bằng vector tổng của cácvector lực trong hệ.

njRF j ,1;)(

~


Nếu một hệ nhiều lực tương đương với một hệ mới chỉ có duy nhất một lực, lực duy nhất đó được gọi là hợp lực của hệ nhiều lực.

1

n

jj

R F




x

y

A

B

jF

O

jyF

jxFHình 1.2

cos.jjx FF

sin.jjy FF

1

1

1

n

x jxj

n

y j yj

n

jj

R F

R F

R F

z z


Hình chiếu của một vector lên một trục là một giá trị đại số (hình 1.2).





Có những hệ lực luôn có hợp lực và cũng có những hệ lựckhông bao giờ có hợp lực.

Vector hợp lực của hệ lực chỉ nằm trên một đường tácdụng duy nhất trong không gian .

R

3R

1.1.3. Phân loại hệ lực

1.1.3.1. Cách 1

1.1.2.4. Hệ lực cân bằng:

Là loại hệ lực không làm thay đổi trạng thái cơ học của vật rắn khi vật chịu tác động của loại hệ lực này.

Ký hiệu: ~

Ngoại lực: ejF

njFj ,1;)( f




Nội lực: ijF

Xét hệ khảo sát gồm : vật+ trái đất là nội lực.P

P

C

Trái Đất

Hình 1.3

Ngoại lực: là những lực do những đối tượng bên ngoài hệthống khảo sát sinh ra để tác động vào những vị trí bên tronghệ thống đang xét.


Nội lực: là những lực do những đối tượng bên trong hệthống khảo sát sinh ra để tác động vào những vị trí bên tronghệ thống đang xét.

Ví dụ: (hình 1.3)

Xét hệ khảo sát gồm chỉcó vật là ngoại lực.P




1.1.3.2. Cách 2

Lực phân bố

Là loại lực phân bố có các điểm tác động lên vật tạo thành một loại đường hình học trên vật (đường thẳng, đường tròn, ellipse, …). Đơn vị: N/m.

Ví dụ: Bánh xe lu hình trụ tròn tác động lực lên mặt đường. (hình 1.4)


Lực tập trung

Là loại lực chỉ tác dụng tại một điểm duy nhất trên vật.

Là loại lực tác động cùng lúc lên nhiều điểm trên vật.

Lực phân bố theo đường





Pq

Với q: cường độ của lực phân bố. Đơn vị: N/m.Hình 1.4

Là loại lực phân bố mà quỹ tích các điểm tác dụng lên vật tạothành một loại mặt hình học trên vật.

Lực phân bố theo mặt




Với : áp lực. Đơn vị: N/m2.p

p

Ví dụ: áp lực nước tác dụng lên thành đê. (hình 1.5)

Hình 1.5

Lực phân bố theo thể tích (lực khối).


Là loại lực phân bố mà quỹ tích các điểm tác dụng lên vật tạo thành một loại thể tích hình học.

Ký hiệu: . Đơn vị: N/m3.





Trọng lực là lực tập trung: khái niệm đúng nhưng không thật!P

C

Thể tích cực nhỏ. V

Ví dụ: Trọng lực tác dụng lên vật là loại lực phân bố thểtích (hình 1.6).

Hình 1.6

1.1.4. Quy đổi lực phân bố trên đoạn thẳng về lực tập trung tương đương

1.1.4.1. Tổng quát (hình 1.7)




Hình 1.7

Ω

CBAO

)( xq

xAx

Bx

~x

Cx

a)

Q

D

CBAO

xDx

b)

( ).

( ). .

B

A

B

A

x

x

x

D Cx

Q q x dx

x q x x dx Q x

Với:






1.1.4.2. Trường hợp riêng

a). Lực phân bố đều (hình 1.8) .

Hình 1.8

2l

constq

A B

lq.

~l

C

a)lqQ .

A B2l

D

C

b)

: tọa độ của điểm A bắt đầu có lực.: tọa độ của điểm bất kỳ.: tọa độ của trọng tâm C.: tọa độ của điểm B kết thúc có lực.: tọa độ x của điểm D.

AxxCxBxDx

Trong đó:




b. Lực phân bố tam giác: (hình 1.9).

Hình 1.9

maxqC

A B32ll

lq .21

max

~a)

CA B32l

lqQ .21

max

D

b)





Gồm có 6 tiên đề

Tiên đề 1: Tiên đề về hai lực cân bằng

Hình 1.10

FF AB

a)

FF AB

b)


1.2 Các tiên đề tĩnh học

Điền kiện cần và đủ để cho hệ hai lực cân bằng là chúng có cùng đường tác dụng, hướng ngược chiều nhau và có cùng cường độ. (hình 1.10).





Hệ quả 1:

AF

BF

AB

BF

Hình 1.11

Cần chú ý rằng tính chất nêu trên chỉ đúng đối với vật rắn tuyệt đối.

Tiên đề 2: Tiên đề thêm bớt hai lực cân bằng

Tác dụng của một hệ lực không thay đổi nếu thêm hoặc bớthai lực cân bằng. (hình 1.11)

Định lý trượt lực

Tác dụng của lực lênvật rắn tuyệt đốikhông thay đổi khitrượt lực trên đườngtác dụng của nó.




Tiên đề 3: Tiên đề hình bình hành lực

1F

O2F

F

Hình 1.12

Hệ hai lực cùng đặt tạimột điểm tương đươngvới một lực đặt tại điểmđặt chung và có vectorlực bằng vector đườngchéo hình bình hành màhai cạnh là hai vector biểudiễn hai lực thành phần.(hình 1.12)

Tiên đề 4: Tiên đề tác dụng và phản tác dụng

Lực tác dụng và lực phản tác dụng giữa hai vật có cùngđường tác dụng, hướng ngược chiều nhau và có cùngcường độ. (hình 1.13).






FF A

a)

B

FF A

b)

B

Hình 1.13 Chú ý rằng lực tác dụng và phản tác dụng không phải là

hai lực cân bằng vì chúng không tác dụng lên cùng một vật rắn.

Tiên đề 4 là cơ sở để mở rộng các kết quả khảo sát một vật sang khảo sát hệ vật và nó đúng cho hệ quy chiếu quán tính cũng như hệ quy chiếu không quán tính.




Tiên đề 5: Tiên đề hóa rắn

Hình 1.14


b) FF

FF

a)

Một vật biến dạng đã cân bằng dưới tác dụng của một hệlực thì khi hóa rắn lại nó vẫn cân bằng dưới tác động củahệ lực đó (hình 1.14).




Chú ý: (hình 1.15)

a)

F F

F F

Sợi dây

Thanh thép

Hóa rắn

F F

F F

Sợi dây

Thanh thép

Hóa rắn

b)

Hình 1.15






Tiên đề 6: Tiên đề giải phóng liên kết

Hình 1.16

AR BR

AB

a) b)

qq

Vật không tự do (tức vật chịu liên kết) cân bằng có thểđược xem là vật tự do cân bằng nếu giải phóng các liênkết, thay thế tác dụng của các liên kết được giải phóngbằng các phản lực liên kết tương ứng (hình 1.16).




1.3.1 Khái niệm

1.3.2.1. Moment của lực đối với một tâm

1.3.2 Các loại moment của lực:

Khảo sát lực F tác động tại điểm A trên vật. Đường tácdụng của lực là đường thẳng . Giả sử rằng lực có xu hướng làm vật rắn quay quanh tâm O.

l


Dưới tác động của một lực vật rắn có thể chuyển động tịnhtiến, chuyển động quay, hoặc vừa chuyển động tịnh tiến vừa quay đồng thời. Tác dụng của lực làm vật rắn quay sẽ được đánh giá bởi đại lượng moment của lực.

1.3. Moment của lực

Dựng hệ trục vuông góc 3 chiều Oxyʓ có gốc tại tâm Onhư hình vẽ: (hình 1.17)





Hình 1.17

O)(l

A

B F

r

H

xy

d

z

Dựng vectơ OAr

Gọi α là góc hợp bởi vectơ và lực F: r ),( Fr

d là cánh tay đòn của lực F đối với tâm O.




( )d O H l . s ind r

Khả năng của lực F làm vật rắn quay quanh tâm O sẽđược đánh giá bởi vector moment của lực F đối vớitâm O như sau: (hình 1.18).


( )OM F r F

( : tích có hướng)

( ) ( )( ) :

( ) . . s in.

2 . ( )

O

O

O

M F m p OABM F RHR

M F r FF dS O AB

Chiều


OM (F )

F

r

Hướng chỉ của ngón cái bàn tay phải

Hướng quay của các ngón còn lại của bàn tay phải.

Hình 1.18



Định lý

Điều kiện cần và đủ để lực F không có khả năng làm vậtrắn quay quanh tâm O là:

0

OM (F )


0

OM (F )

0 d

O ( )




1.3.2.2. Moment của lực đối với một trục

Khảo sát lực F tác động tại điểm A trên vật. Giả sử rằng lực có xu hướng làm vật rắn quay quanh trục ʓ. Để đo lường khả năng của lực F làm vật rắn quay quanh trục ʓ người ta xác định moment của lực F đối với trục ʓtheo hai bước sau đây:


Bước 1: xác định hình chiếu vuông góc của lực F lênmặt phẳng vuông góc với trục quay ʓ.

xy xyF (F)

hc

Bước 2: moment của lực F đối với trục ʓ là một đại lượng đại số được định nghĩa bằng (+) hoặc (–) độ lớncủa vector moment lực hình chiếu Fxy đối với tâm O.(xem hình 1.19).





Hình 1.19

O)(l

A

BF

r

H

xy

d

z

xyAxyBxyF

)(FMO

( )

ZM F

O xy xy xyM (F) M (F ) 2.S( OA B )

ʓ




Moment của lực F đối với trục quay ʓ sẽ được quy ước làđại lượng dương (+) nếu nhìn dọc theo trục quay ʓ từ ngọncủa trục ấy ta thấy lực hình chiếu Fxy sẽ có xu hướng quayquanh tâm O ngược chiều kim đồng hồ và ngược lại.

! Ohc M F M F O[ ( )] ( ),z z z


+ Hình chiếu vuông góc lên trục ʓ của vector moment lực Fđối với tâm O bằng moment của lực F đối với trục ʓ.

Định lý

Quy ước





Điều kiện cần và đủ để lực F không có khả năng làm vậtrắn quay quanh trục ʓ là moment của lực F đối với trục ʓbằng 0.

( ) 0M F

z

đồng phẳng.[ , ( )]l z

Mà trục ʓ cắt mp (OAB) tại O nên:

Trục ʓ mp(OAB)

( ) / /mp OAB z

( ) 0 xy xyS OA B

( )( )

zz




Ký hiệu ngẫu lực như sau: P

dF A

A F

l

l

( , )M F F

Hình 1.20 F F F F( , ') : '

1.3.2.3. Ngẫu lực

a). Định nghĩa



Ngẫu lực là một hệ hai lực thỏa đồng thời các điều kiệnsau đây:Cùng phương, cùngđộ lớn, ngược chiềuvà không cùng đườngtác dụng (hình 1.20).




b). Tính chất của ngẫu lực

Ngẫu lực là loại hệ lực không bao giờ có hợp lực. Nghĩalà ngẫu lực là một dạng tối giản của các hệ lực:

Ngẫu lực là một hệ lực không cân bằng. Nghĩa là dưới tác động của ngẫu lực, một vật rắn tự do hoàn toàn, đang đứng yên sẽ thực hiện chuyển động quay:

Khả năng làm quay vật của ngẫu lực sẽ phụ thuộc vào 4yếu tố của ngẫu lực: mặt phẳng tác dụng (P), cánh tayđòn d, độ lớn của các lực và chiều quay của ngẫu lực.

c). Moment của ngẫu lực

f)',( FF

≁

RFF

)',( ≁




Để đo lường khả năng làm quay vật của ngẫu lực ngườita định nghĩa đại lượng vector moment của ngẫu lực nhưsau:

Có hai cách ký hiệu ngẫu lực:

A

A

M F,F (P)M F,F M F

M F,F :RHRM F

M F,F F.d

mp

Chiều

Biểu diễn ngẫu bằng vector moment của nó: M F,F

Liệt kê 2 lực của ngẫu: F,F






d). Các định lý của ngẫu lực

Định lý 1: Hai ngẫu lực được xem là tương đương vềcơ học nếu và chỉ nếu hai vector moment của chúngbằng nhau.

Định lý 2: Từ một ngẫu đã cho ta có thể tìm được vô sốngẫu khác tương đương với nó.

1 1 2 2 1 1 2 2, , , ,~F F F F M F F M F F

Định lý 3: Tổng hai vector moment của hai lực trongngẫu lấy đối với một tâm O trong không gian sẽ khôngphụ thuộc vào vị trí của tâm O đó và bằng vectormoment của ngẫu lực.

3O OM F M F M F,F , O R




Định lý 4: Một hệ nhiều ngẫu lực bao giờ cũng có mộtngẫu tương đương với toàn hệ. Vector moment của ngẫutương đương bằng tổng tất cả các vector moment củacác ngẫu thành phần.

1

, , , , , 1,~n

j j j jj

F F Q Q M Q Q M F F j n

1.3.2.4. Ký hiệu moment

Có 3 cách ký hiệu Moment: Cách 1: Ký hiệu Moment bằng

một vector thẳng hai đầu.(Dùng trong bài toán không gian 3 chiều.). (hình 1.21) Hình 1.21

P

M

Vector càng dài vật rắn quay càng nhanh.






Cách 2: Ký hiệu moment bằng một ngẫu hai lực nằmtrong mặt phẳng tác dụng vuông góc với vector momentcủa cách 1 sao cho vector moment của ngẫu lực bằngvector moment cần biểu diễn (dùng trong bài toán khônggian 2 chiều và 3 chiều) (hình 1.22).

Hình 1.22

PF F

M(F,F M)

Chú ý rằng có rấtnhiều ngẫu có thểchọn để biểu diễnmột moment.




Cách 3: Biễu diễn moment bằng một vector cong, phẳngnằm trong mặt phẳng tác dụng của ngẫu lực (hình 1.23).Chiều của vector cong được xác định tuân theo quy tắc bàn tay phải so với chiều vector moment thẳng của cách1. Hay chiều của vector moment cong sẽ cùng chiều quay của ngẫu lực (dùng trong bài toán không gian 2 chiều).

Hình 1.23

P

M

M





1.4.1. Khái niệm

1.4.1.1. Vật rắn tự do hoàn toàn

1.4.1.2. Bậc tự do của vật rắn

Là số chuyển động độc lập mà vật rắn ấy có thể thực hiện đồng thời trong không gian. Ví dụ: chuyển động của quạt trần và của trái đất là 2 chuyển động độc lập.

Ký hiệu bậc tự do của vật rắn là Dof (Degree of freedom).


a). Định nghĩa (Dof)

Là vật rắn có thể thực hiện được mọi dạng chuyển động trong không gian mà không có bất kỳ cản trở nào.

1.4. Liên kết. Phản lực liên kết





b). Xác định Dof của vật rắn tự do hoàn toàn

Trong không gian hai chiều: 2D (hình1.24)

Hình 1.24①

②

③O

S

x

y3VRDof

①: tịnh tiến thẳng theophương ngang.

②: tịnh tiến thẳng theo phương đứng.

③: quay.

Có ① và ② thì vật tịnh tiến theo phương xiên.

Có cả ➂ thì vật vừa tịnh tiến vừa quay đồng thời.




Trong không gian 3 chiều: 3D (hình 1.25)

Chú ý rằng một chuyển động độc lập bao gồm cả hai chiều chuyển động theo một phương.

6VRDof

V

O

z

y

x


Hình 1.25





1.4.1.3. Liên kết

a). Định nghĩa

b). Ràng buộc của liên kết (Rlk)

Chú ý: Một chuyển động độc lập gồm cả hai chiều chuyển động theo một phương. Nếu vật rắn chỉ chuyển động theo một chiều của một phương thì vật ấy có 0,5 chuyển động độc lập.

Rlk là một thông số đánh giá khả năng cản trở chuyển động của liên kết đối với vật và nó được định nghĩa bằng số chuyển động độc lập mà vật rắn bị mất đi do liên kết ấy.

Là số chuyển độc lập bị mất do liên kết.

Là những đối tượng có tác dụng hạn chế khả năng chuyển động của vật rắn trong không gian.




c). Bậc tự do của hệ nhiều vật rắn có liên kết với nhau

Với n là số vật rắn trong hệ.

Khi Dof hệ > 0: hệ không luôn cân bằng với mọi loại tải tác động.

Khi Dof hê ≤ 0: hệ luôn cân bằng với mọi loại tải tác động.

Khảo sát một hệ thống cơ học gồm có n vật rắn được liên kết với nhau bởi m liên kết.

c2). Trong không gian ba chiều:m

lkhê j

j 1

Dof 6n R

c1). Xét một cơ hệ trong không gian hai chiều (2D)

Lúc này Dof hệ = 3n -m

lkj

j 1R

Tổng các ràng buộc của các liên kết trong hệ là: m

lkj

j 1R






1.4.1.4. Phản lực liên kết a). Định nghĩa

Phản lực liên kết là những lực thuộc loại lực thụ động (bị động).

BP

AP

AR BR

A B

V

Hình 1.26

Là những lực do các liên kết phản tác dụng lên vật (hình 1.26).

Tính chất 1: Số phản lực liên kết của một loại liên kết sẽ bằng số làm tròn của ràng buộc liên kết ấy[= round (Rlk)]. Ví dụ: Rlk = 2,5 liên kết

có 3 phản lực liên kết.

b). Tính chất


, là các áp lực lên liên kết. , là các PLLK.BP

AP

AR

BR



Tính chất 2: Vị trí đặt các phản lực liên kết trùng với vị trí của các liên kết ấy (Đặt tại vị trí có liên kết).

Tính chất 3: Phương của các phản lực liên kết sẽ trùng với phương của các chuyển động độc lập bị mất đi.

Tính chất 4: Chiều của các phản lực liên kết sẽ ngược với chiều của các chuyển động độc lập bị mất đi.


1.4.2. Phản lực liên kết của 9 loại liên kết cơ bản

1.4.2.1. Liên kết dây

Rdây = 0,5

Hình 1.27

AT

A

dây

V


Có 1 phản lực liên kết: Lực căng dây(hình 1.27).

AT



1.4.2.2. Tựa nhẵn. (Tựa trơn không ma sát)

Rtựa = 0,5

Có 1 phản lực liên kết: đặt tại vị trí liên kết (hình 1.28a).

: phản lực pháp tuyến, thẳng góc với mặt tựa (mặt tiếp xúc) và hướng vào vật khảo sát.

AN

tA : tiếp tuyến chung.

At AN

A

V

Hình 1.28-a






At

BtAN

BN

B

A

S

Hình 1.28-b

tA : tiếp tuyến riêng của bề mặt cố định tại điểm gẫy A.

tB : tiếp tuyến riêng của vật tại vị trí điểm B.

, : phản lực pháp tuyến.AN

BN





Hình 1.28-c


Tựa



1.4.2.3. Khớp bản lề cô định (khớp bản lề ngoại cố định, gốicố định).

Loại liên kết này có chiều và độ lớn của các phản lực liên kết chưa biết (hình 1.29).

Hình 1.29 a

AV

AH

S

Chiều phản lực dự đoán

Rbl = 2

Có 2 phản lực liên kết.





Hình 1.29 b



x yF F F

Khớp bản lề cố định

Mô hình liên kết khớp bản lề trong lý thuyết

AA A

xAyAA

xAyA

AA

AR

Hình 1.29 c




1.1.2.4. Khớp bản lê trượt (khớp bản lề ngoại trượt, khớp bảnlề di động, gối di động)

Rblt = 1

Có 1 phản lực liên kết.

Loại liên kết này chỉ cho phép trượt qua lại theo phương trượt và quay trong mặt phẳng nhưng không tịnh tiến thẳng lên, xuống theo phương vuông góc với phương trượt. Để trượt nhẹ người ta lắp thêm con lăn (hình 1.30).

Chiều và độ lớn phản lực chưa biết.


Hình 1.30 a

VAN





Hình 1.30 b

Hình 1.30 c

Mô hình liên kết khớp bản lề di động trong lý thuyết

A



1.4.2.5. Khớp bản lề nội (xem hình 1.31)

Rbln = 2

Có 2 phản lực liên kết tác động lên từng vật thỏa tiên đê 4 của tĩnh học.

Hình 1.31-a


① ② ① ②





12

12

VV

HH

Hình 1.31-b

①

1H1V

②2V

2H


Khớp bản lề nội

Hình 1.31-c





1.4.2.6. Ngàm phẳng (ngàm hai chiều) (xem hình 1.32).

Rngàm2D = 3

Có 3 phản lựcliên kết.

AM

AHAV

A B

Hình 1.32




1.4.2.7. Khớp cầu (xem hình 1.33)

Rcầu = 3

Có 3 phản lựcliên kết. V

y

xA

Ax

Ay

Az

z

Hình 1.33




1.4.2.8. Ngàm không gian (ngàm 3 chiều ) (xem hình 1.34)

Rngàm3D = 6

Có 6 phản lựcliên kết.

Hình 1.34


z

yA

Ax

Ay

Az

AxM

AyM

AMzx


Ngàm




1.4.2.9. Liên kết thanhKhảo sát thanh thẳng hoặc cong thỏa đồng thời ba điều kiện sau: (hình 1.35)

Có trọng lượng rất bé nên có thể bỏ qua được.

Có hai liên kết ở hai đầu cuối của mỗi thanh thuộc ba loại liên kết sau đây: khớp cầu, khớp bản lề, tựa nhẵn.

Các thanh không chịu tác động của lực hoặc moment ở giữa thanh.

BR

DR

A

B

C

D

V

Hình 1.35 aCƠ HỌC LÝ THUYẾT 1: Tĩnh Học va Động Học Phần I: Tĩnh học



Nếu những thanh thỏa mãn đồng thời các điều kiện như trên được dùng làm các liên kết cho vật rắn thì chúng sẽ được gọi là các liên kết thanh. Mỗi liên kết thanh sẽ có một ràng buộc và sinh ra một phản lực tác động lên vật.Phản lực của liên kết thanh luôn có tính chất nằm trên một đường thẳng nối liền hai đầu có liên kết thanh.

, : B

D

R ABAB CD

R CD

2 liên kết thanh


A: khớp cầu; B,D: bản lề; C: tựa nhẵn.






Hình 1.35 b

Liên kết thanh

Liên kết thanh



2.1.1.1. Định nghĩa

Khảo sát hệ nhiều lực . Mọi hệ nhiều lực luôn có hai thành phần cơ bản được định nghĩa như sau:

; 1,jF j n

2.1.1. Vector chính của hệ lực


Nó được ký hiệu và xác định như sau:

Vector chính của một hệ nhiều lực là vector tổng của tất cả các vector lực trong hệ.

Chương 2: THU GỌN HỆ LỰC VÀ ĐIỀU KIỆN CÂN BẰNG CỦA HỆ LỰC

2.1 Hai thành phần cơ bản của hệ lực





1

1 1

1

n

x jxj

n n

j y jyj j

n

jj

R F

R F R F

R F

z z

2.1.1.2. Tính chất của vector chính

Đối với một hệ lực đã cho vector chính của hệ lực ấy là một vector hằng. Đây được gọi là bất biến thứ nhất của hệ lực.

R const




2.1.2. Moment chính của hệ lực đối với một tâm

2.1.2.1. Định nghĩa

Moment chính của hệ lực đối với tâm O là một đại lượngvector, bằng tổng các vector moment của các lực trong hệ lực lấy đối với cùng tâm O ấy.

Nó được xác định và ký hiệu như sau:

Vector chính của hệ lực là một vector tự do. Nghĩa làvector chính của hệ lực có thể được đặt tại một vị trí tùy ýtrong không gian.






n

Ox x jj 1

n n

O O j Oy y jj 1 j 1

n

O jj 1

M M F

M M F M M F

M M F

z z

2.1.2.2. Tính chất của moment chính

Tính chất 1: Moment chính của hệ lực đối với một tâm không phải là vector hằng và sẽ phụ thuộc vào vị trí của tâm O ấy.




Tính chất 2: Hình chiếu vuông góc của vector moment chính hệ lực đối với một tâm O lên phương của vector chính của hệ lực ấy là một hằng số với mọi tâm O trong không gian. Đây được gọi là bất biến thứ hai của hê lực (hình 2.1).


3( ) ,OR M const O R

hc

Hình 2.1

2ORhc M( )

1 2O OR Rhc M hc M( ) ( )

a)

1OM

1O

R

b)

2O

2OM

R




2.2.1. Định lý ba lực. (định lý một chiều)

Nếu vật rắn đã cân bằng dưới tác dụng của hệ ba lực thì hệ ba lực ấy sẽ thỏa đồng thời hai điều kiện sau: (hình 2.2)

Đồng phẳng.

Hoặc đồng quy hoặc song songtrong mặt phẳng.

Hình 2.2


2.2. Các định lý cơ bản của tĩnh học





Chú ý: Định lý này là định lý một chiều nghĩa là nếu hệ 3 lực thỏa mãn đồng thời 2 điều kiện như trên thì chưa chắc hệ 3 lực ấy là hệ 3 lực cân bằng.

2.2.2 Định lý dời lực song song

Có thể di dời song song một lực đến một điểm đặt mới nằm ngoài đường tác dụng của nó nếu trong quá trình di dời song song ấy ta bổ sung vào lực ấy một moment bằng moment của lực trước khi di dời lấy đối với điểm sẽ được di dời đến. (hình 2.3),

3

BA B AF F ;M F , B R~




Hình 2.3

l

B A

F F

BA

M F

A

B

A

F






2.2.3 Định lý thu gọn hệ nhiều lực về một tâm

Một hệ nhiều lực khi thu gọn về một tâm O tùy ý trong không gian bao giờ ta cũng tương đương với một hệ mới gồm hai vector cùng đặt tại tâm thu gọn O đã chọn. Đó là hai thành phần cơ bản của hệ lực đối với tâm thu gọn ấy.

3

1,

( , ) ,~j Oj n

F R M O R

2.2.4 Định lý về hai hệ lực tương đương

Điều kiện cần và đủ để hai hệ lực tương đương với nhau là khi thu gọn về một tâm tùy ý trong không gian các thành phần thu gọn cơ bản cùng tên của chúng phải đồng loạt bằng nhau:




2.3.1. Điều kiện tổng quát

Điều kiện cần và đủ để một hệ nhiều lực cân bằng là cả hai thành phần cơ bản của hệ lực ấy đối với tâm thu gọn O bất kỳ trong không gian phải đồng loạt bị triệt tiêu.

3

1,

, ,~ ~

j O

j n

F R M O Rf

1, 1,

~

F Qj k F Q

O Oj n k m

R RF Q

M M


2.3. Điều kiện cân bằng của hệ lực




1

1 1

1

1

1 1

1

0 1

0 0 2

0 3

0 4

0 0 5

0 6

n

x jxj

n n

j y jyj j

n

jj

n

Ox x jj

n n

O O j Oy y jj j

n

O jj

R F

R F R F

R F

M M F

M M F M M F

M M F

z z

z z






2.3.2 Trường hợp riêng

2.3.2.1. Hệ lực phẳng trong mặt phẳng tọa độ Oxy

Xét trường hợp n lực Fj cùng nằm trong một mặt phẳng. Dựng hệ trục tọa độ Oxy nằm trong mặt phẳng của hệ lực. (hình 2.4).

(1), (2), (6).

Chỉ cần thỏa (1), (2), (6’)đối với hệ lực phẳng.


O

y

x

1F

2F

nF

Hình 2.4

1d



2.3.2.2. Hệ lực song song với trục Y. (xem hình 2.5)

y

O x

1F

2F

nF

zHình 2.5

(2), (4), (6)

Nếu lực Fj quay quanh O ngược chiều kim đồng hô và ngược lại.

0 :O jM F

1 1

6 60n n

jj

Oj

j MM F F

z



O j j jM F F d



Hệ lực song song y và đồng phẳng trong Oxy:

Hình 2.6

y(2), (6).

Hệ lực đồng trục y. (hình 3.3)

(2)






2.3.3. Hệ lực đồng quy. (hình 3.4)

Hệ lực đồng quy phẳng trong mặt phẳng Oxy:

y

Ox

1F

2F

nF

z

Hình 2.7

(1), (2), (3)

(1), (2)




Dựa vào 2 thành phần cơ bản của hệ lực khi thu gọn về một tâm người ta sẽ phân các hệ lực ra làm 4 dạng tốigiản (dạng chuẩn).

2.4.1. Dạng chuẩn 1: : hệ lực không gian cân bằng.

0, 0

OR M

2.4.2. Dạng chuẩn 2: : hệ lực không gian tương đương với một ngẫu lực và sẽ không bao giờ có hợp lực, lúc này

0, 0

OR M

3,OM const O R


2.4.3. Dạng chuẩn 3: : hệ lực không gian tương đương với 1 lực, tức hệ lực không gian có hợp lực.

0, . 0

OR R M

2.4. Các dạng chuẩn (tối giản) của hệ lực





Định lý Varinhông:

1

( ) ( )n

O O kk

m R m F

Trong trường hợp (2.4.3) hệ lực không gian có hợp lực, ta có định lý sau:

2.4.3.1. Khi : hợp lực của hệ lực và đặt tại O. (hình 4.1)

0OM

R R

OR R

Hình 2.8

Trong trường hợp hệ lực không gian có hợp lực thì moment của hợp lực đối với một tâm bất kỳ bằng tổng moment của các lực thành phần đối với tâm ấy.




2.4.3.2. Khi : hợp lực của hệ lực và đặt tại O*. (hình 4.2)

OR M R R

2*

*

O

O

R MOOR

Md OOR

2.4.4. Dạng chuẩn 4: Hệ lực xoắn vít động

Khi : hệ lực này không bao giờ có hợp lực.. 0

OR M



OM

O

*O

d

R

R R

Hình 2.9



2.5.1. Khái niệm

Ma sát là một hiện tượng tổng hợp (cơ học, điện học, nhiệt học, hóa học, …), phản ánh sự cản trở chuyển động trượt tương đối giữa hai bề mặt vật chất đang tiếp xúc với nhau.2.5.2 Các loại ma sát

2.5.2.1. Ma sát trượt

a.) Ma sát trượt tĩnh


Xảy ra khi giữa hai vật tiếp xúc có xu hướng trượt nhưngchưa trượt với nhau.

Khảo sát vật rắn (A) tựa trên mặt phẳng ngang cố định.

Vật rắn sẽ cân bằng dưới tác động của hệ hai lực: , ~ 0P N

2.5. Ma sát


P

N

Q

mstF




Lúc này chưa xuất hiện lực ma sát.

Tác động lên vật (A) một lực kéo Q.

Khi lực kéo Q<<1 thì vật vẫn cân bằng.

Lúc này vật cân bằng dưới tác động của bốn lực:

, ~ 0mstQ F

Tăng dần độ lớn của Q, khi Q có giá trị chưa đủ lớn, thì vật vẫn cân bằng. Do vậy lực ma sát trượt tĩnh Fmst có độ lớn tăng kịp theo Q.

Khi độ lớn Q đạt đến một giá trị giới hạn Q = Qgh thì vật chớm trượt!

, , , ~ 0mstP N Q F

Do đó: (Định luật Coulomb).mst gh msgh tF Q F f N




Với ft là hệ số ma sát trượt tĩnh, không có đơn vị và đượcxác định bằng thí nghiệm.

Khi lực kéo Q > Qgh : vật trượt.

Khi lực kéo Q > Qgh thì vật sẽ trượt. Lúc này lực ma sát cản trượt trên bề mặt tiếp xúc sẽ có độ lớn được xác định theođịnh luật ma sát trượt động như sau:

Điều kiện để vật không trượt: .mst msgh tF F f N


b.) Ma sát trượt động.

.msđ đF f N

Với fđ là hệ số ma sát trượt động: (khi kéo vật sẽ nhẹ hơn lúc vật tĩnh).

t đf f





2.5.2.2. Ma sát lăn

Khảo sát một hình trụtròn đặc, đặt trên mặtphẳng nằm ngang.Hình trụ sẽ cân bằng dưới tác dụng của 2 lực N và P. (hình 5.1)

R

N

P

O

Hình 2.10




Tác động thêm lên vật này một lực đẩy Q. Lực này tác động tại tâm của hình trụ và làm cho vật lăn về phía trước. (hình 5.2)

Khi Q << 1: vật vẫn cân bằng dưới tác dụng của hệ lực :

, , , , 0~mst mslP N Q F M

Với Mmsl : moment ma sát cản lăn.

mslM

R

N

P

O Q

mstF

Hình 2.11


Khi tăng dần Q, khi Q chưa đủ lớn, vật vẫn cân bằng.





Do đó: Mmsl = R.Q (tăng theo Q!)

Khi Q = Q*gh : vật chớm lăn.

Lúc này Mmsl = R.Q*gh = k.N (định luật ma sát lăn)

Với k là hệ số ma sát lăn, đơn vị là cm, xác định bằng thí nghiệm.

3. Ma sát dây. (xem hình 5.3)

Hình 2.12

Q

P

a

tf

α: góc tiếp xúc (góc ôm); rad

( . )( . ): . t

t

ffPQ Pe

eEuler a

a




. 20 271,94.10tfe ea p

Vì nên Q < P ( . ) 1tfe a

Thì ta có:


(Tự đọc)

Ví dụ: với 20.2 ; 0,5tfa p

2.6. Trọng tâm của vật rắn




Nói chung mọi bài toán tĩnh học sẽ được giải theo trình tự 5 bước:

Bước 1: Chọn đối tượng trong hệ để khảo sát sự cân bằng. Đối tượng được chọn có thể là toàn hệ, có thể là một số vật rắn trong hệ, có thể là một vật rắn hoặc một bộ phận của hệ nhưng phải có liên quan đến các ẩn số cần tìm.

Bước 2: Tự do hóa đối tượng đã chọn. Nghĩa là tách các đối tượng được chọn ra khỏi các liên kết nối đối tượng với bên ngoài (vẫn giữ lại các liên kết bên trong đối tượng ấy) và thay thế vào các liên kết đã bỏ đi bằng các phản lựcliên kết phù hợp.


2.7. Trình tự giải các bài toán tĩnh học




Bước 4: Nếu số phương trình cân bằng đã biết nhỏ hơn số ẩn số cần tìm thì ta tiếp tục chọn thêm đối tượng mới trong hệ khảo sát sự cân bằng và đối với mỗi đối tượng mới ta lập lại các công việc của bước 2 và bước 3. Bước 4 sẽ kết thúc khi số phương trình cân bằng đã thiết lập bằng với số các ẩn số cần tìm.

Bước 5: Giải hệ các phương trình cân bằng đã thiết lập được ở bước 4 để tìm các ẩn số cần tìm của bài toán. Nhận xét và bình luận các kết quả thu được.


Bước 3: Viết các phương trình cân bằng tĩnh học cho hệlực đang tác động lên đối tượng đã tự do hóa ở bước 2. Số lượng các phương trình cân bằng sẽ viết phụ thuộc vào loại hệ lực đang tác động lên đối tượng.




ĐỘNG LỰC HỌCĐỘNG LỰC HỌC

Nội dung: 2 chương

Chương 1: ĐỘNG LỰC HỌC CHẤT ĐIỂM

Chương 2: ĐỘNG LỰC HỌC HỆ, CƠ HỆ

Tài liệu tham khảo:

• Đỗ Sanh, … Cơ học (tập 2). NXB Giáo dục. Năm 2009.

• Đỗ Sanh, … Bài tập cơ học (tập 2). NXB Giáo dục. Năm2009.



Chương 1: ĐỘNG LỰC HỌC CHẤT ĐIỂM

1. 1 Các khái niệm và tiên đề động lực học

1. 1. 1. Các khái niệm

1. Chất điểm

Chất điểm là một điểm có khối lượng của vật rắn. Vật rắntuyệt đối được xem như là một cơ hệ gồm có vô số chấtđiểm được nối cứng với nhau.

Khi kích thước của toàn vật rất bé so với kích thước củavùng không gian mà vật rắn chuyển động chiếm được thìtoàn vật được phép xem như là một chất điểm, chất điểmnày có khối lượng là khối lượng của toàn vật. Ví dụ: Trái đất chuyển động trong vũ trụ.


CƠ HỌC LÝ THUYẾT 2: Động Lực Học Chương 1: Động lực học chất điểm



Khi kích thước của vật rắn không ảnh hưởng đến qui luậtchuyển động của vật ấy thì toàn vật rắn ấy cũng được xemnhư là một chất điểm có khối lượng bằng khối lượng củatoàn vật. Ví dụ: Chuyển động tịnh tiến của vật rắn (Điểm đại diện chovật là trọng tâm G).

2. Cơ hệ

Cơ hệ: là một tập hợp nhiều chất điểm có sự tương tác cơhọc lẫn nhau. Tùy thuộc vào bản chất của sự tương tác nàymà cơ hệ sẽ được chia ra làm hai loại: cơ hệ tự do và cơ hệkhông tự do.



Trong trường hợp toàn vật rắn được phép xem như là mộtchất điểm, thì chất điểm ấy được xem như là một vật điểm.



+ Cơ hệ tự do là một tập hợp nhiều chất điểm mà sự tươngtác cơ học giữa các chất điểm này được biểu thị thuần túychỉ bằng các lực. Nghĩa là các chất điểm trong cơ hệ tự do có thể dễ dàng thực hiện các chuyển động vô cùng bé từ vịtrí đang xét theo mọi hướng sang các vị trí lân cận, nếu cólực tác động, mà không có bất cứ cản trở nào.

+ Cơ hệ không tự do: Là một tập hợp nhiều chất điểm màtương tác cơ học giữa các chất điểm trong cơ hệ không chỉbiểu thị bằng lực mà được biểu thị bằng một số điều kiệnràng buộc về hình học và động học khác. Các đối tượng tạora các điều kiện ràng buộc về hình học và động học giữacác chất điểm trong cơ hệ được gọi là các liên kết cơ học.

3. LựcLực là một đại lượng vector được dùng để đo lường sự tươngtác cơ học giữa các vật thể với nhau. Nghĩa là khi thực hiện sựtương tác cơ học, các vật thể sẽ truyền cho nhau những lực.





Các lực trong bài toán tĩnh họcthường là những lực hằng(vector hằng). Nghĩa là các lựcnày sẽ có điểm đặt, phươngchiều, độ lớn không thay đổitheo thời gian. (Hình 1.1).

Điều kiện ràng buộc hình học:

Các lực trong bài toán động lựchọc, nói chung, là những lựcthay đổi theo thời gian, theo vịtrí và theo vận tốc của chấtđiểm chịu tác động. (Hình 1.2)


2 2 2 0x y l

( , , ) F F t r v


ydây không giãn

l

x

F

( , )M x y

Hình 1.1

Hình 1.2O

Kr F



4. Hệ quy chiếu.

Để khảo sát chuyển động của vật thể ta phải chọn một hệquy chiếu thỏa tiên đề quán tính của Galiléo. Hệ quy chiếuchính xác được chọn phải gắn liền với một vật đang ở trạngthái cân bằng. Với lập luận này hệ quy chiếu chính xác phảiđược gắn liền với tâm của mặt trời và phải hướng tới 3 vìsao cố định đối với mặt trời.

Do quỹ đạo của trái đất quay quanh mặt trời là đường cong có bán kính cong lớn (Quỹ đạo của trái đất rất gần vớiđường thẳng) và do trái đất có tốc độ quay rất chậm nên cóthể xem trái đất là tịnh tiến thẳng đều. Vì 2 lý do này mà cácnhà cơ học thường chọn trái đất làm hệ quy chiếu cho hầuhết những bài toán động lực học thông thường.





1. Tiên đề 1: Tiên đề quán tính. Một chất điểm nếu không chịu tác động tác động của bất cứ

lực nào thì chất điểm ấy sẽ ở trong trạng thái đứng yênhoặc chuyển động thẳng đều. Hai trạng thái cơ học trên củachất điểm được gọi là trạng thái quán tính của chất điểm

Tiên đề này cung cấp cho chúng ta một tiêu chuẩn để lựachọn hệ quy chiếu. Hệ quy chiếu nào mà tiên đề 1 đượcthỏa sẽ được gọi là hệ quy chiếu quán tính

2. Tiên đề 2: Tiên đề cơ bản của động lực họcĐịnh luật 2 Newton: Trong hệ quy chiếu quán tính chất điểmsẽ chuyển động có gia tốc cùng phương, cùng chiều với lựctác động lên chất điểm ấy và độ lớn của gia tốc chất điểm sẽtỷ lệ thuận với độ lớn của lực tác động lên chất điểm và tỉ lệnghịch với khối lượng với chất điểm ấy. (Hình 1.3)


1. 1. 2. Các tiên đề động lực học




3. Tiên đề 3: Tiên đề tác dụng và phản tác dụngHai vật thể tương tác cơ học với nhau bởi hai lực có cùngđường tác dụng, cùng độ lớn nhưng ngược chiều (Hình 1.4).


.

kk k k k

k

Fm a F am

0 ;

k k k

kk

k

Do m aFF

am

Hình 1.4

1V 2V


ka

kFK

Hình 1.3



4. Tiên đề 4: Tiên đề về tính độc lập của các lực tác độnglên chất điểm.Khi một chất điểm chịu tác động của đồng thời nhiều lực thìvector gia tốc của chất điểm ấy sẽ bằng tổng các vector gia tốccủa chất điểm ấy khi nó chịu tác động riêng lẻ của từng lực(Hình 1.5).


Chú ý rằng hai lực tác dụng và phản tác dụng trên khôngphải là hệ lực cân bằng vì chúng tác dụng lên hai vật.

1 2

1...

ni n

k k k k ki

a a a a a

1 1 ; ;

i ik k

k k

FFa am m

Với:

là gia tốc của chất điểm K khilực Fi tác động.

ika


1F

nF

2F

3F

KKa

Hình 1.5



5. Tiên đề 5: Tiên đề giải phóng liên kết.

Một chất điểm không tự do (chất điểm có liên kết) có thể đượcbiến đổi thành chất điểm tự do bằng cách bỏ đi những liên kếtràng buộc chất điểm ấy và thay vào các liên kết đã bỏ đi bằngcác phản lực liên kết.

1.2. Phương trình vi phân chuyển động của chất điểm.

1.2.1. Các dạng phương trình vi phân chuyển động củachất điểm.1. Dạng vector:

Áp dụng định luật 2 của động lực học

Theo động học điểm (Hình 1.6).






ʓ

xO y

*O( )s s t

t

nkr

ka

nka

( , , ),K K K kK x y z m

ka

kF

Hình 1.6

. Do đó dạng vector của phương trình vi phân chấtđiểm sẽ là:K Ka r

. , 1

K K Km r F


( )C



3. Dạng tọa độ cực.


2. Dạng tọa độ Descartes.Chiếu phương trình vi phân cấp 2 của (1) lên 3 trục tọa độ tasẽ thu được hệ 3 phương trình vi phân chuyển động của chấtđiểm K như sau:

.

..

k k kx

k k ky

k k k

m x Fm y Fm Fʓ

ʓ

nk k k ka r a a Phân

2

....

k kk k

nnk kk k

m s Fm asm Fm a

Chiếu (1) lên hai phương t, n:




1. Bài toán thuận:Cho biết quy luật chuyển động của chất điểm, hãy xác định cáclực tác động lên chất điểm ấy. Dạng bài toán này rất dễ giải


1. 2. 2. Các dạng bài toán động lực học chất điểm.Các bài toán động lực học của chất điểm sẽ được chia ra làmhai dạng bài toán thuận và bài toán ngược.

2. Bài toán ngược: Cho biết trước các lực tác động lên chấtđiểm và các điều kiện ban đầu về chuyển động của chất điểmấy( vận tốc ban đầu, gia tốc ban đầu và vị trí ban đầu của chấtđiểm), cần xác định quy luật chuyển động của chất điểm ấy.

Bài toán ngược thường phức tạp hơn nhiều so với bài toánthuận vì ta cần phải tích phân phương trình vi phân chuyểnđộng của chất điểm.




Khảo sát cơ hệ có n chất điểm K. Đối với mỗi chất điểm taphân các lực tác động lên chất điểm ấy thành 2 lực: nội lựcvà ngoại lực (Hình 1.7).


• Hệ phương trình vi phândưới dạng vector chotoàn cơ hệ như sau:

1 1 1 1

2 2 2 2

.

.

.

e i

e i

e in n n n

m a F Fm a F F

m a F F


K

ekF

ikF

Hình 1.7

Phương trình vi phân của cơ hệ nhiều chất điểm:



Chương hai: ĐỘNG LỰC HỌC CƠ HỆ

2.1. Các đặc trưng hình học - khối lượng hệ.

2.1.1. Khái niệm

Chuyển động của cơ hệ không những phụ thuộc vào các lựctác động mà còn phụ thuộc vào một số yếu tố khác ngoài lựcnhư:

Khối lượng của hệ, hình dáng của hệ và sự phân bố khốilượng bên trong hình dáng của hệ.

Tất cả những yếu tố có ảnh hưởng đến chuyển động của cơhệ ngoài các lực tác động sẽ được gọi là các đặc trưng hìnhhọc - khối lượng của cơ hệ.


CƠ HỌC LÝ THUYẾT 2: Động Lực Học Chương hai: Động lực học cơ hệ



2.1.2. Khối lượng, khối tâm của cơ hệ (Hình 2.1).PGS. TS. Trương Tích Thiện

V

O

C

, kK mKʓ

ʓ

xy

kr

Cr

Kd ʓ

Hình 2.1

( , , )

( , , )

kx kk k k

ky kk kx ky k

k k

r xK x yr y

r OK r r rr

Gọi:

ʓʓ

ʓ

ʓ




1. Khối lượng của cơ hệ: Khối lượng của cơ hệ là một đại lượng vô hướng luôn

dương đặc trưng cho mức độ quán tính của cơ hệ. Nó được ký hiệu và xác định như sau:

Quán tính là một thuộc tính của vật chất phản ánh sự dễdàng hay khó khăn thay đổi trạng thái cơ học đã có của vật.

Trạng thái cơ học của vật là quy luật chuyển động của vậtấy trong không gian theo thời gian (đứng yên là một trạngthái cơ học đặc biệt của chuyển động). Một vật khó thay đổitrạng thái cơ học đã có sẽ được gọi là vật có quán tính lớnvà ngược lại.


10,

n

kk

M m kg




Nếu cơ hệ của chúng ta là một môi trường liên tục và đồngchất :


Khối lượng là một thông số để đo lường quán tính của cơhệ. Khối lượng càng lớn sẽ biểu thị quán tính càng lớn vàngược lại.

Nếu cơ hệ là một môi trường liên tục thì:

1

. . . ; 1

n

k k k kk V

m dV M dV dV

k : khối lượng riêng của môi trường.

dV: thể tích vi phân.

ons ; 2k c t CƠ HỌC LÝ THUYẾT 2: Động Lực Học Chương hai: Động lực học cơ hệ




2. Khối tâm cơ hệLà một điểm hìnhhọc tồn tại trongkhông gian của hệ,được ký hiệu bằngđiểm C và có vị tríđược xác định nhưsau:

1.

2

V

M dV V1

1

1

.

.

.

n

k kk

Cx C

n

k kk

Cy C

n

k kk

C C

m xr x

M

m yr y

M

mr

Mʓ

ʓ

ʓ1

.

n

k kk

C

m rr

MCƠ HỌC LÝ THUYẾT 2: Động Lực Học Chương hai: Động lực học cơ hệ




1

1 1

1

.

. .

.

n

k kk

Cx C

n n

k k k kk k

C C Cy C

n

k kk

C C

m xv x

M

m v m yv r v y

M M

mv

M

ʓʓ

ʓ





1

1 1

1

.

. .

.

n

k kk

Cx C

n n

k k k kk k

C C C Cy C

n

k kk

C C

m xa x

M

m a m ya v r a y

M M

ma

M

ʓʓ

ʓ





2.1.3. Moment quán tính của hệ

1. Định nghĩa :a) Moment quán tính của hệ đối với tâm O:Là một đại lượng vô hướng, dương biểu thị quán tính của cơhệ khi cơ hệ quay quanh tâm O.

2 2 20 0

1 1

.( ) . 0 , .n n

k k kk k

J I m OK m r kg m

2 2 2 2k k k kr x y ʓMà:

2 2 20

1

.n

k k k kk

J m x y

Nên: ʓ





b) Moment quán tính của hệ đối với một trục: Đối với trục : Là một đại lượng vô hướng, dương phản ánh

quán tính của hệ khi hệ quay quanh trục . Nó được ký hiệunhư sau:

ʓʓ

2 2

1. 0 , .

n

k kk

J I m d kg m

ʓ ʓ ʓ

2 2 2 2 2 2 2

1

n

kz k k k k k k kk

d r x y J m x yʓ ʓ

2 2

1

2 2

1

n

x k k kkn

y k k kk

J m y

J m x

Tương tự:

ʓ

ʓ


Mà:




Quan hệ giữa moment quán tính của hệ đối với ba trục tọađộ và moment quán tính của hệ đối với gốc tọa độ O:

c) Bán kính quán tính của hệ Đối với tâm O:

Đối với trục tọa độ

2 2 2

1

2 2n

x y k k k k Ok

J J J m x y J

ʓ ʓ

2.OO O O

J J MM

, , 2, , , , , ,.x yx y x y x y

JJ M

M ʓ

ʓʓ ʓ





d) Moment quán tính ly tâm của hệ

Đối với hệ trục xy:

2

1

. . 0 , .n

xy xy k k kk

J I m x y kg m

2

1

. . 0 , .n

y y k k kk

J I m y kg m

ʓʓ ʓ

2

1

. . 0 , .n

x x k k kk

J I m x kg m

ʓʓ ʓ

Đối với hệ trục x:ʓ

Đối với hệ trục y :ʓ





e) Trục quán tính chính của cơ hệ. Là trục sao cho tất cả các moment quán tính ly tâm của cơhệ có chứa chỉ số tên trục ấy phải đồng loạt bằng không.

2. Định lý

a) Định lý đổi trục.

Định lý dời trục song song (Hình 2.2)

; ; xy yx y y x xJ J J J J Jʓ ʓ ʓ ʓ

Nếu trục quán tính chính của cơ hệ đi qua khối tâm Ccủa cơ hệ ấy thì nó sẽ được gọi là trục quán tính chínhtrung tâm của cơ hệ.

Nếu Jx = Jy = 0 thì trục ʓ là trục quán tính chính của hệ. ʓ ʓ





2.C

C

J J M d

J J

ʓ ʓ

ʓʓ

Định lý xoay trục:2 2 2. os . os . os 2 . os . os

2 . os . os 2 . os . os

x y xy

y x

J J c J c J c J c c

J c c J c c

ʓ ʓ

ʓ


b) Định lý về trục quán tính chính của hệ (tham khảo tài liệu)

x

d

y

ʓ

ʓC //ʓ

KC

Kʓ

O

Hình 2.2

M




2.1.4. Moment quán tính của một số vật rắn có hình dángxác định thông dụng.

1. Thanh thẳng, mảnh, đồng chất, tiết diện đều (Hình 2.3).

21 .3

A A B BJ J J J M lʓ ʓ

2112C CJ J Ml ʓ

Với M là khối lượngtoàn hê.


A Bl

MC

Aʓ

Bʓ

Cʓ

Hình 2.3

/ 2l




2. Vành tròn, đồng chất (Hình 2.4).

3. Đĩa tròn, đặc, đồng chất (Hình 2.5).

2C CJ J MR ʓ

212C Cx yJ J MR

212C CJ J MR ʓ

214C Cx yJ J MR


Hình 2.4

RCx

CyCM

Cʓ

RCx

CyCM

Cʓ

Hình 2.5



4. Tấm hình chữ nhật, đặc, đồng chất, dày đều (Hình 2.6).

x

y M

O

yl

xlHình 2.6

;31 2

yx MlJ 2

31

xy MlJ

22

31

yxO llMJJ ʓ


PGS. TS. Trương Tích ThiệnCopyright By Focebk.com



5. Ống trụ tròn, đồng chất, mỏng, không đáy (Hình 2.7).

621 2

2 hRM

JJCC yx

CJMRJC

2ʓ

Với M là khối lượng toàn hê.


Hình 2.7

Cx

CyhC

M

R

2h

Cʓ




6. Hình trụ tròn, đặc, đồng chất (Hình 2.8).

341 2

2 hRM

JJCC yx

CJMRJC

2

21

ʓ



Hình 2.8

Cx

CyhC

M

R

2h

Cʓ




2.2.1. Định lý chuyển động khối tâm hệ

m

j

ejC FaM

1

.

Định lý: Khối tâm của cơ hệ chuyển động như một chấtđiểm có khối lượng bằng khối lượng cơ hệ và chịu tác dụngcủa lực có vector lực bằng vector chính của hê ngoại lựctác dụng lên cơ hê.


m là sô ngoại lực tác động lên hê.

là gia tốc khối tâm C của hêCa

là ngoại lực thư j tác động lên hê.ejF


2.2. Các định lý tổng quát của động lực học cơ hệ.




2.2.2. Định lý biến thiên động lượng hệ1. Động lượng của hệa) Định nghĩa: Động lượng của chất điểm là mộtđại lượng vector được ký hiệu vàxác định như sau (Hình 2.9):

Định luật bảo toàn chuyển động khối tâm hệNếu tổng các vector ngoại lực tác động lên cơ hệ bị triệt tiêuthì khối tâm C của hệ sẽ ở trong trạng thái cân bằng hay trongtrạng thái quán tính.

10 0

mej C C

jF a v const

k k k k kq m v N s q v. , ( . )


kK,m

kq

kv

Hình 2.9Động lượng của hệ:1 1

n n

k k kk k

Q q m v.

Khối tâm C của hệchuyển động thẳngđều.




2. Xung lượng của lực

3. Định lý biến thiên động lượng của hê

b) Công thức tính Q. Dùng định nghĩa khối tâm:

C

m

kkk

m

kkk

C vMvmQM

vmv

1

1 ...

t

kkk sNdtFSFS0

.,.

a) Dạng 1:

m

j

ejFdt

Qd1





b) Dạng 2: Biến thiên của vector động lượng hệ giữa thời điểmcuối và thời điểm đầu bằng tổng các vector xung lượng củacác ngoại lực.

1 01 1

m me ej j

j jQ Q S F S

Định lý chuyển động khối tâm được dùng để giải những bàitoán động lực học của vật rắn có chuyển động tịnh tiến vàkhối lượng của vật là không đổi trong quá trình chuyển động

Định lý biến thiên động lượng được dùng để giải bài toánđộng lực học cho những cơ hệ có khối lượng không đổihoặc thay đổi trong quá trình chuyển động.

Định lý chuyển động khối tâm là một trường hợp đặc biệtcủa định lý biến thiên động lượng.





2.2.3. Định lý biến thiên moment động lượng của hệ1. Moment động lượng của hệa) Moment động lượng của chất điểm đối với 1 tâm (Hình 2.9).

Moment của động lượng chất điểm K đối với tâm O:

Động lượng chất điểm K:

k k kq m v.

O k k k k k kM q r q r m v.


Hình 2.9O

kmK ,

kv

kq

kr




Moment động lượng của chất điểm K đối với một trục:

+ Đối với trục x:

+ Đối với trục y:

+ Đối với trục :ʓ kxy

xyk

xykOk

qhcq

qMqM

Với:

ʓ

yx k O kM q M q

ʓ

xy k O kM q M q ʓ

, ,

Ox x k

O k Ox Oy O Oy y k

O k

M M qM q M M M M M q

M M qGọi ʓ

ʓ ʓ





Moment động lượng của cơ hệ đối với tâm O:

Moment động lượng của cơ hệ đối với một trục.

b) Moment động lượng của cơ hệ

+ Đối với trục x:

+ Đối với trục y:

+ Đối với trục :ʓ

1

n

O O kk

L M q

1

n

kkM q L

ʓʓ

1

n

x k xkM q L

1

n

y k ykM q L

, ,O x yL L L L

ʓ





c) Thí dụ:

Ox y

z

V

Hình 2.10

Khảo sát vật rắn quay quanh trục cố định (Hình 2.10).ʓ

. ;x xL J ʓ .y yL J ʓ

.L J ʓʓ

Với

zhc Nếu trục là trục quán tính chính

của vật thì :ʓ

0,0, . ,O OL J L O

Vậy: Hay //ʓ ʓ


0 0x y x yJ J L L ʓ ʓ



Định lý này được dùng để giải bài toán động lực học trongtrường hợp cơ hệ có thực hiện chuyển động quay.


1

meO

O jj

dL M Fdt

2.4. Định lý biến thiên động năng của hệ

1. Động năng của cơ hệ

a) Định nghĩa.

Động năng của chất điểm K: 21 . 0 , .2 k km v N m J

2

1

1 . 0 , .2

n

k kk

T m v N m

Động năng cơ hệ :


2. Định lý biến thiên moment động lượng của hệ đối với 1 tâm




b) Công thức tính động năng cho một vài dạng chuyển độngthông dụng của cơ hệ.

Cơ hê chuyển động tịnh tiến:21 . .

2 cT M v

* Cơ hệ quay quanh trục cố định: ʓ

M: khối lượng của toàn hê.

: vận tốc khối tâm C của hê.cv

: vận tốc góc đối với trục quay.

21 . .2

T J ʓ

: moment quán tính của cơ hê đối với trục .Jʓ ʓ





Cơ hệ là một vật rắn phẳng chuyển động song phẳng trongmặt phẳng chứa vật (hình 2.11).

2 2

2

1 1. . . .2 21 .2

c

P

cT M v J

T J

ʓ

ʓ

2. Công và công suất

a) Định nghĩa.

Công phân tố (công vi phân) củatải là công do loại tải ấy tạo ratrên đoạn đường vi phân.


K

, ,k k k kdr dx dy d

kr

OkF

ʓHình 2.12

M

P cv mp P

cʓ

C

Hình 2.11

Pʓ

P




Định nghĩa công phân tố của lực như sau (hình 2.12):

Xét lực tác động tại K. Trong khoảng thời gian vô cùng bé dt, điểm K thực hiện 1 vector dịch chuyển vi phân .

kF

kdr

. . . .x yk k k k k k k k k kdA F dA F dr F dx F dy F d

ʓ

ʓ

Của moment M :

Khảo sát một vật rắn chịu tác động của moment M. Trongkhoảng thời gian vô cùng bé dt vật rắn quay được một gócvi phân d, (rad).

Công phân tố của moment M được định nghĩa như sau:

. dA dA dM MM





Công suất là công do lực hoặc moment thực hiện trong mộtđơn vị thời gian:

+ Công suất của lực:

Quy ước công phân tố của moment M sẽ là đại lượngdương nếu chiều của moment M cùng chiều quay của vậtvà ngược lại.

. . . . .x y

k k kk k k k k k k k k k

dA F drP F P F v F x F y Fdt dt

ʓʓ

. .. , dA d N mP P Wdt dt s

M MM MM Đơn vị Watt:

+ Công suất của moment : M





Công hữu hạn.

+ Của lực:

+ Của moment:

Công của trọng lực. (Hình 2.13)

.

O O

K K

k k k k kK K

A F A dA F dr

0

. A A d

M M M

. , :const A rad MNếu: thì MM

0 . . CA P P M g h

ʓ ʓ

0Ch ʓ ʓVới. : lượngthay đổi đô cao của C.


b) Công của các loại tải phổ biến.

Hình 2.13xO y

ʓ

P

P

0 0 0 0, ,C x y ʓ

, ,C x y ʓ




Công của lực lò xo. (Hình 2.14)

0

0

0 0C

A P

A P

A P h

khi C hạ thấp độ cao.

khi C tăng độ cao.

xxOHình 2.14

2 20 12s

kA x x




* Công của lực ma sát trượt Công của lực ma sát trượt tĩnh. (Hình 2.15)


. 0mst mstA F F s

Công của lực ma sát trượt động: (Hình 2.16)

P

s

msF

N

đ

đ đ . .

. . 0

ms ms msA F F s F s

f N s

đ

đ

Hình 2.16


P

Q

mstF

Hình 2.15

N




3. Định lý

a) Dạng đạo hàm:

b) Dạng hữu hạn:

1

n

kk

dT P Fdt

1 01

n

kk

T T A F

hệ hệ

Cơ hệ không biến hình : 1

ne

k jkA F A F


1 0 ejT T A Fhệ hệ




Lực chủ động là những loại lực không phụ thuộc vào các liênkết trong hệ.

Cơ hệ có các liên kết lý tưởng:

Là loại liên kết mà tổng công của các loại phản lực liên kết luônbằng không trong mọi dạng chuyển động của hệ. Lúc này tổngcông của các loại tải bằng tổng công của các lực chủ động(hoạt động).

1 0

aT T A Fhệ hệ

a

kA F A F : tổng công của các loại tải bằngtổng công của các lực chủ động(hoạt động).





2.3. NGUYÊN LÝ D’ ALEMBERT

2.3.1. Nguyên lý

1. Cho chất điểm

Theo định luật 2 Newton ta có :

. 0.

k k k k k k

k k

m a F a F mm a

Vì

Có đơn vị: N.

Đặt một lực không thật tại K được định nghĩa và ký hiệu nhưsau:

.qtk k kF m a

gọi là lực quán tính của chất điểm K. (hình 3.1) CƠ HỌC LÝ THUYẾT 2: Động Lực Học Chương 3 : Nguyên lý D’ Alembert

Khảo sát chất điểm K có khối lượng mk thuộc cơ hệ và chịutác động của lực . Gọi gia tốc của chất điểm K là .ka

kF




qtk kF F

0 ( , ) ~ 0

qk k

t qtk kF FF F

Nguyên lý:Mọi chất điểm ở trạng thái không cân bằng (chất điểmchuyển động có gia tốc) đều có thể được biến đổi về trạngthái cân bằng nếu chúng ta tác động thêm lên chất điểm ấymột lực quán tính được định nghĩa theo D’Alembert.2. Cho cơ hệVì mỗi chất điểm trong cơ hệ đều có thể được xem cân bằngdưới tác động của hệ hai lực, nên hệ n chất điểm cũng cânbằng dưới tác động của hệ 2.n lực :

( , ) ~ 0, 1, . k

qtkF k nF

CƠ HỌC LÝ THUYẾT 2: Động Lực Học Chương 3 : Nguyên lý D’ Alembert

Hình 3.1

, kK m

qtkF

kF




Thu gọn hệ nhiều lực cân bằng trên về tâm O tùy ý trongkhông gian ta sẽ được hai thành phần cơ bản của hệ lựccân bằng (cả hai thành phần cơ bản này đều bị triệt tiêu):

+ Vector chính của hệ lực cân bằng:

+ Moment chính của hệ lực cân bằng đối với tâm O: (Hình 3.2)

'*

1

'

1

0

n

qtk qt

k

n

kk

RF RR F

*0 0

1

0

01

0

( ) )(

0

nq

n

kk

tk

k

qt

M F

M

M M F

M


Hình 3.2

OM

qtOM

qtR

R

O




Phát biểu nguyên lý D’Alembert cho hệ.

1 1

' ( . ) :

n

k kk

nqt

qt kk

m aR F Vector chính của hệ lực quán tính.

2.3.2. Xác định , (vector chính của hệ lực quán tínhvà moment chính của hệ lực quán tính đối với tâm O).

'qtR 0

qtM

1. Xác định vector chính của hệ lực quán tính .'qtR


0 01

( )

nqt qt

kk

M M F : Moment chính của hệ lực quán tính đốivới tâm O.

Nếu ở mỗi thời điểm khảo sát, ngoài hệ n các lực thật tácđộng lên cơ hệ, ta còn tác động bổ sung lên cơ hệ ấy hai thànhphần cơ bản của lực quán tính R’qt và MO

qt cùng đặt tại tâm Ođã chọn thì toàn hệ lực mới sẽ là hệ lực cân bằng. Lúc này bàitoán động lực học của cơ hệ có thể được giải bằng sáuphương trình cân bằng tĩnh học thông thường.

kF




Với mọi dạng chuyển động của cơ hệ ta đều có:

Moment chính của hệ lực quán tính chính đối với tâm O sẽphụ thuộc vào vị trí của tâm O và phụ thuộc vào dạng chuyểnđộng của cơ hệ.a) Cơ hệ là vật rắn có chuyển động tịnh tiến.

Chọn tâm thu gọn O trùng với tâm C của vật rắn:

1 1

' ( . ) ( . ) .

n n

q k k k k Ck

tk

m a m a M aR

: 0

qt qtO CM MO C

2. Xác định .qtOM


b) Cơ hệ là vật rắn quay quanh trục cố định với và . ʓ

Chọn tâm thu gọn O là 1 điểm tùy ý trên trục quay z của vật rắn:




c) Cơ hệ là một vậtrắn phẳng chuyểnđộng song phẳngtrong mặt phẳngchứa vật (hình 3.4).

: Moment quán tính của vật đối với trục(hình 3.3).

J ʓʓ

0 qtM VÌ 0Jʓʓ 0: .

qt JMO ʓ


2 2( ) ( )

yz zx xz zyt

zqOM J J i J J j J k

0: . qtO MC J Chọn ʓc

Nếu là trục quán tính chính của vật thì: ʓ

Dựng hệ trục Oxy với O là trục quay cố định của vật. Ta có:ʓ ʓ

Hình 3.3

ʓ

O

0qtM

x

y

Hình 3.4

cʓ S

P

C

qtCM

Ca




CƠ HỌC LÝ THUYẾT 2: Động Lực Học Chương 4 :Nguyên lý di chuyển khả dĩ

2.4. NGUYÊN LÝ DI CHUYỂN KHẢ DĨ.2.4.1. Khái niệm cơ hệ không tự do

1. Cơ hệ không tự do Là cơ hệ chứa nhiều chất điểm mà chuyển động của chúngkhông những phụ thuộc vào các lực tác động mà còn phụthuộc vào một số điều kiện ràng buộc về hình học và độnghọc.

2 2 2 0, : x y l l chiều dài dây

y

x

,M x y

O

Hình 4.1

lThí dụ 1: Con lắc trên hình 4.1.

Chuyển động của điểm M bị ràngbuộc bởi liên kết dây.




2. Liên kết. Phương trình liên kết. Phân loại liên kết.a) Liên kếtLà những ràng buộc về hình học và động học lên các chấtđiểm trong hệ.

b) Phương trình liên kết


2 1 2 1

0B

B

yl l x l l

xO

y2 1l l

1l

,B BB x yHình 4.2

A

Thí dụ 2: Cơ cấu tay quay – con trượt trên hình 4.2.




Phương trình liên kết là những phương trình hoặc bất phươngtrình toán biểu thị các ràng buộc về hình học và động học lêncác chất điểm của cơ hệ.

Khảo sát cơ hệ có n chất điểm K.

Dạng tổng quát của phương trình liên kết thứ trong hệ là:

( , , ), 1,k k kK x y z k nVới

và s là số phương trình liên kết trong hệ.

3 3

( , , , , , , ) 0, 1, , 1, k k k k k k

n n

f t x y z x y z k n s

6 1n





c) Phân loại liên kết

C1. Liên kết giữ (liên kết hai phía) và liên kết không giữ(liên kết một phía).

Liên kết giữ là loại liên kết mà phương trình liên kết của nó códạng đẳng thức toán học.Ngược lại, phương trình liên kết có dạng bất đẳng thức toánhọc thì liên kết ấy được gọi là liên kết không giữ.

2 2 21( , ) 0f x y x y l

Liên kết giữ (hình 4.3)


y

x

,M x y

OThanh cứng

Hình 4.3

l




2 2 22( , ) 0f x y x y l

Liên kết không giữ (hình 4. 4)

C2. Liên kết dừng và không dừng.

Liên kết dừng là loại liên kết mà phương trình liên kết của nókhông chứa biến thời gian t.Ngược lại, phương trình liên kết có chứa biến thời gian t thìliên kết ấy được gọi là liên kết không dừng.


y

x

,M x y

Odây

Hình 4.4

l

3 3

( , , , , , ) 0, 1, , 1, k k k k k k

n n

f x y z x y z k n sLiên kết dừng:




C4. Liên kết lý tưởng

C3. Liên kết holonom và phi holonomLiên kết holonom là loại liên kết mà phương trình liên kết củanó không chứa các biến vận tốc. Ngược lại, nếu các phươngtrình liên kết có chứa biến vận tốc thì liên kết đó được gọi làliên kết phi holonom.

Liên kết lý tưởng là loại liên kết mà tổng công của tất cả cácphản lực liên kết luôn bằng không trong mọi dạng di chuyểncủa hệ. Khảo sát một cơ hệ có các liên kết thuộc loại giữ, holonom.

Các phương trình liên kết của hệ sẽ có dạng thường gặpnhư sau:

( , , , ) 0, 1, 1, (1) k k kf t x y z k n sCƠ HỌC LÝ THUYẾT 2: Động Lực Học Chương 4 :Nguyên lý di chuyển khả dĩ

( , , , ) 0, 1, , 1, k k kf t x y z k n sLiên kết holonom:




Di chuyển khả dĩ của chất điểm thuộc hệ không nhất thiếtphải là di chuyển thật của chất điểm ấy. Nếu liên kết tronghệ là loại liên kết dừng thì di chuyển thật sẽ là một trongnhững di chuyển khả dĩ.

, ,k k k kr x y ʓ : di chuyển khả dĩ.

, ,k k k kdr dx dy d

ʓ : di chuyển thật.

3. Di chuyển khả dĩ (di chuyển ảo).


Di chuyển khả dĩ của hệ là tập hợp tất cả các di chuyển vôcùng bé của mọi chất điểm thuộc hệ từ vị trí đang xét sangcác vị trí lân cận mà không làm phá hủy các liên kết của hệ.Khi hệ thực hiện một di chuyển khả dĩ thì thời gian t đượcxem như là một tham số. Ký hiệu một di chuyển khả dĩ củachất điểm K là một vector .

kr




CƠ HỌC LÝ THUYẾT 2: Động Lực Học

Xét một hệ có các liên kết thuộc loại giữ và holonom. Trướckhi hệ thực hiện di chuyển khả dĩ thì các phương trình liênkết sẽ có dạng:

Cho hệ một di chuyển khả dĩ. Do các liên kết của hệ vẫnđược duy trì nên phương trình liên kết của hệ sau khi thựchiện di chuyển khả dĩ sẽ có dạng :

1,

, , , 0 , 11,

k k k

k nf t x y

s

ʓ

1,, , , 0 , 2

1,k k k k k k

k nf t x x y y

s

ʓʓ




Biến thiên ảo của các phương trình liên kết sẽ được xácđịnh như sau :

4. Bậc tự do và tọa độ suy rộng của cơ hệ a) Bậc tự do Khảo sát một hệ gồm có n chất điểm K. Cho hệ thực hiện mộtdi chuyển khả dĩ thì mỗi chất điểm K thuộc hệ sẽ thực hiệnmột vector di chuyển khả dĩ.

* 0 f f f

1

. . . 0 ,3

1,

n

k k kk k k k

f f ff x yx y

s

Mà ʓ

ʓ

Vector di chuyển khả dĩ của chất điểm K:

, ,k k k kr x y

ʓCƠ HỌC LÝ THUYẾT 2: Động Lực Học Chương 4 :Nguyên lý di chuyển khả dĩ




Do 3.n thành phần di chuyển khả dĩ của hệ phải thỏa mãn sphương trình ràng buộc (3) nên các thành phần di chuyển khảdĩ này không độc lập với nhau.Do đó, số thành phần di chuyển khả dĩ độc lập của hệ sẽ đượctính như sau : m = 3.n – s.m được gọi là bậc tự do của toàn hệ.

Hay mỗi chất điểm K sẽ thực hiện ba thành phần di chuyển khảdĩ . Do đó toàn hê sẽ thực hiện 3.n thành phầndi chuyển khả dĩ.

, ,k k kx y ʓ

b) Tọa độ suy rộng của hệ Định nghĩa :Tọa độ suy rộng của hệ là thông số độc lập được dùng đểkhảo sát chuyển động cho hệ ấy.

Số tọa độ suy rộng của hệ sẽ bằng với bậc tư do của hê ấy.





Các tọa độ của các chất điểm thuộc hệ sẽ được xác địnhdựa vào các tọa độ suy rộng đã chọn. Nghĩa là mỗi tọa độcủa các chất điểm thuộc hệ sẽ là hàm nhiều biến của cáctọa độ suy rộng của hệ.

• Ký hiệu các tọa độ suy rộng của hệ: q1, q2, …, qm.

ʓ

11 2

1 21

1 2

1

., , ,

, , , . 4

, , ,.

mk

k ii i

k k mm

kk k m k i

i ik k m m

kk i

i i

xx qqx x q q qyy y q q q y qq

q q qq

q

ʓʓ

ʓ





Ví dụ: (Hình 4.5)

Dofhê m 3n - Rlk

3.2 - 4 = 2

Có 2 tọa độ suy rộng. Chọn q1 1 ; q2 2

1 1 1 1

2 2

1 1 2 2

2 2

1 1 2 2

.cos ; .sin.cos

.cos .cos.sin

.sin .sin

A A

B A

B A

x l y lx x l

l ly y l

l l


y

x ,B BB x y

2

1

O

,A AA x y

Hình 4.5

1

2




Chú ý rằng có nhiều cách để chọn các tọa độ suy rộng trongmột hệ (thí dụ có thể chọn xA và xB hay yA và yB, ….)

xA và yA có quan hệ với nhau nên không thể chọn để làm tọađộ suy rộng được. Phương trình quan hệ:

Tổng quát, các đơn vị của các tọa độ suy rộng có thể là nhiệtđộ, chiều dài, vô thứ nguyên, …

5. Công khả dĩ, lực suy rộng

a) Công khả dĩ của lựcKhảo sát hệ gồm n chất điểm K. Giả sử rằng mỗi chất điểm Ksẽ chịu một lực tác động Fk. Khi hệ thực hiện một di chuyểnkhả dĩ thì các lực Fk sẽ có tổng công khả dĩ như sau:

2 2 21 0 A Ax y





1 1 1

1

.

. . . , 5

n n n

k k k kk k k

n

kx k ky k k kk

A F A F r

F x F y F ʓʓ

1 1 1

. . .

n m n

k k kk kx ky k i

k i k i i i

x yA F F F qq q q

ʓʓ

Đặt:1

. . .

n

k k ki kx ky k

k i i i

x yQ F F Fq q q

ʓʓ

là lực suy rộng thứ i của các lực Fk tác động lên cơ hệtương ứng với tọa độ suy rộng thứ i (qi) đã chọn .





Lúc này tổng công khả dĩ của các lực Fk được tính theocông thức như sau :

Để xác định lực suy rộng thứ i (Qi) tương ứng với tọa độsuy rộng qi đã chọn ta có thể thực hiện theo nhiều cách.Cách đơn giản nhất được trình bày như sau :

Cho hệ thực hiện một di chuyển khả dĩ rất đặc biệt: q1 = 0; q2 = 0; ; qi-1 = 0; qi 0; qi+1 = 0; ; qm = 0.

1 1

.n m

K i ik i

A Q q

1 1 2 21 1

. . . ... . ... . .

n m

k i i i i m m i ik i

A Q q Q q Q q Q q Q q Q q

1

n

kk

ii

AQ

q





4.2. Nguyên lý di chuyển khả dĩ1. Nguyên lýĐiều kiện cần và đủ để một cơ hệ với các liên kết thuộc loại lýtưởng, giữ, dừng và holonom cân bằng tại một vị trí là tổngcông khả dĩ của tất cả các lực hoạt động tác động lên cơ hệthực hiện trên các độ dời khả dĩ của hệ, tính từ vị trí đang xétphải bằng không.

1 1

. . . 0

, ,

n na a a ak kx k ky k k k

k k

a a a ak kx ky k

A F x F y F

F F F F

ʓʓ

ʓVới là lực hoạt động thứ k tác độnglên hê.

(lực hoạt động là loại lực không phụ thuộc liên kết hệ. Với cáclực không phải là các phản lực đều là các lực hoạt động).





2. Định lýĐiều kiện cần và đủ để một cơ hệ với các liên kết thuộc loại lýtưởng, giữ, dừng và holonom cân bằng tại một vị trí là tất cảcác lực suy rộng của các lực hoạt động tác động lên cơ hệứng với các tọa độ suy rộng qi, đã chọn tính tại vị trí đang xétphải đồng loạt bị triệt tiêu.

, 10 ,ai i mQ

4.3. Phương trình Lagrange 2

Xét một cơ hệ có m bậc tự do, với m tọa độ suy rộng đã chọnlà qi , .1,i mLực suy rộng thứ i tương ứng là Qi. Động năng của toàn hệ làmột hàm nhiều biến có dạng như sau:

( : vận tốc suy rộng thứ i)( , , ) ;i iT T t q q hệhệ

iqCƠ HỌC LÝ THUYẾT 2: Động Lực Học Chương 4 :Nguyên lý di chuyển khả dĩ




Cơ hệ sẽ chuyển động tuân theo phương trình Lagrange2:

1 ( ) , 1,

ii i

T T Q i mdt q q




Bài Tập Cơ Lý Thuyết 1

TRƯỜNG ĐẠI HỌC BÁCH KHOA THÀNH PHỐ HỒ CHÍ MINH

GVHD: PGS. TS. Trương Tích Thiện

BKTP.HCM



PHẦN I : TĨNH HỌC VẬT RẮN

Bài 1/Cho 1 cơ hệ như hình ve (hình 1).Cho biết: , P1, P2.a. Hệ đã cho có luôn cân bằng với

mọi loại tải tác động không? Tạisao?

b. Nếu hệ cân bằng, hãy xác địnhcác phản lực liên kết của các liênkết ngoại.

c. Hãy xác định các ứng lực lêntừng thanh thẳng trong hệ.

1

P

2

P

C

BA

D

Hình 1



Hướng dẫn

1. Hệ đã cho là hệ giàn phẳng vì hệ thỏa mãn tất cả 4 điều kiện sauđây:

Hai đầu cuối của mỗi thanh thẳng có hai khớp bản lề.

Tất cả các vật rắn trong hệ đồng phẳng và tải tác động cùngnằm trong mặt phẳng của hệ.

Tất cả các vật rắn trong hệ đều là các thanh thẳng và có thể bỏqua trọng lượng của chúng.

Tất cả các thanh thẳng trong hệ không chịu tác động của lực vàmoment ở giữa thanh mà chỉ chịu tác động của các lực tậptrung tại các đầu cuối của các thanh.

Hệ thỏa mãn cả 4 điều kiện nêu trên sẽ được gọi là hệ giànphẳng.



2. Tính chất của hệ giàn phẳng:

Tất cả các thanh trong hệ giàn phẳng chỉ chịu lực nén hoặc lựckéo dọc trục.

Hai lực tác động lên 2 đầu cuối của mỗi thanh thỏa tiên đề 1của tĩnh học và được gọi là các ứng lực tác động lên từngthanh trong hệ giàn.

Ứng lựcThanh chịu nén

1S

2 1S S

Thanh chịu kéo

4 3S S

3S



Nút giàn là nơi nối các thanh trong hệ giàn lại với nhau. Số khớpbản lề nội k ở mỗi nút giàn có t thanh nối với nhau được tínhtheo công thức:

Với k: là số khớp bản lề nội tại nút

khảo sát, t: là số thanh nối vào nút

đó. A, B, C: là các nút giàn

k = t – 1

t

Nút giàn

Mỗi thanh trong hệ giàn sẽ tác động 1 lực lên nút nối với nó. Lựcnày có phương trùng với đường thẳng của thanh, cùng độ lớnvới lực do nút tác động lên thanh này nhưng ngược chiều.



BÀI SỬA

a. Tính bậc tự do của hệ:

Lý thuyết:

+ Nếu dofhệ ≤ 0 thì hệ luôn cân bằng với mọi loại tải tác động.

+ Nếu dofhệ > 0 thì hệ không luôn cân bằng với mọi loại tải.

Vậy hệ luôn cân bằng với mọi loại tải tác động vì dofhệ = 0

4

1

4

1

3

3 4 12 04

2 2 122 4

lkj

j

lkj

j

dof n R

dofn

R

heâ

heäâ

ta coù

Ta có 2 khớp bản lề ngoại cố định và 4 khớp bản lề nội.



b. Xác định các phản lực của các liên kết ngoại.

Tự do hoá hệ (bỏ hết các liên kết ngoại):

Khảo sát sự cân bằng của toàn hệ (hình 2).

YD = 0

1

P

2

P

C

BA

D

x

y

DX

AX

DX

DY

AY

Hình 2



(2) YA = P2 > 0

(3) XD = – (P1 + P2) < 0

(1) XA = – P1 – XD = – P1 – [–(P1 + P2)] = P2 > 0

1

2

2 1

0 1

0 2

. . . 0 3

jx A D

jy A

A j D

F X P X

F Y P

M F P P X

Do XD < 0 nên chiều đúng của XD ngược chiều đã chọn.

c. Dùng phương pháp tách nút:

Để tính được ứng lực tác động lên các thanh trong hệ giàn thôngthường người ta dùng phương pháp tách nút.

Viết các phương trình cân bằng cho hệ lực:

Giải hệ (1), (2), (3) ta nhận được:



Ứng lực tác dụng lên thanh CD – thanh (hình 3)

SC,= XD SC,= (P1 + P2)

Khảo sát sự cânbằng của nútC.(hình 3b)

Nghĩa là tách riêng từng nút trong hệ giàn để khảo sát sự cânbằng của nút đó.

Hình 3b

1

P

2

P

C x

y

045

,CS,CS

,CS

DX ,CS

Hình 3a



Ứng lực tác dụng lên & :

Ta có: 1 ,

, ,

,

2

2 022 02

C

C

C

y C

jx

j

F P S

F P

S

S S

, 1 , 1 1 2 2

, 2 , 2 2

( ) 2 ( ) 2 2

2 2( ) ( 2 ) 02 2

C C

C C

S P S P P P P

S P S P P

,CS

,AS



Khảo sát sự cân bằng nút B (hình 4).

, , 22. A C CS S S P,

Ta có:

A B

, ,0 0jx B BF S S

Bx

y

,BS

Hình 4



Bài 2.Cho cơ hệ như hình vẽ (hình 1). Cho: q, , .a. Hệ đã cho có luôn cân bằng với mọi loại tải tác động hay

không? Tại sao?b. Hãy xác định các phản lực liên kết tại A và C?

2M=q

A BC

q

Hình 1



BÀI SỬA

Vậy hệ luôn cân với mọi loại tải tác động vì dofhệ ≤ 0.

b. Xác định các pllk tại A và C.

Khảo sát sự cân bằng của thanh ABC.

2

ˆ1

. 3

3.1 2 1 0

lkjhe

ja dof n R

AY

CN

2M=q

AX

Q

A B C

qCNy

x

XA

2

Hình 2

Tự do hóa thanh ABC (hình 2): d



. Q q

.sin 0 1

.cos 0 2

0 32

jx A C

jy A C

A j C

F X N

F Y Q N

M F Q M N d

3 04cosC

qN

1 04

A

qX tg

52 04AY q

Viết các phương trình cân bằng cho hệ lực tác động:

Giải hệ phương trình (1), (2), (3) ta thu được các kết quả:

Các kết quả NC < 0 và XA < 0 chứng tỏ các chiều đúng của 2 phản lực này ngược với các chiều đã chọn cho chúng.

.cos 2 cosACd



Bài 3

Cho cơ hệ như hình vẽ (hình 1). Cho: q, , .

a. Hệ đã cho có luôn cân bằng với mọi tải tác động không? Tại

sao?

b. Tìm điều kiện của moment M để hệ cân bằng.

c. Hãy xác định các phản lực liên kết tại A và C ứng với 2 trường

hợp của moment M như sau:

c.1 M = q2

c.2 M = 2q2



q

2

A

B C

D

E

M

P q

Hình 1



BÀI SỬA

Vậy hệ không luôn cân bằng với mọi loại tải vì dofhệ > 0.

b. Điều kiện để hệ cân bằng là thanh DE phải cân bằng hay thanhDE phải tựa vào C. Nghĩa là NC > 0.

Khảo sát sự cân bằng của thanh DE (Hình 2).

3

ˆ1

. 3 . lkjhe

ja dof n R

3

1

2

3 0,5 2 5,5lkj

j

n

R

ˆ 0,5 0

hedof



3. . 02E CM F P N CE M

sin sinEHCE

Vôùi :

C

D

E

M

P

d

y

x

CN

EY

EX

H

Hình 2

K

32

EK

232

C

q MN

CE



Điều kiện để hệ cân bằng là thanh DE phải cân bằng. Nghĩa là

liên kết tựa tại C phải tồn tại hay NC > 0 hay:

c.1 M = q2: điều kiện (1) thoả NC >0 Hê cân bằng.

1 .sin2CN q

Khảo sát sự cân bằng của khung ABC (Hình 3).

2 23 302 2

q M q M (1)

c. Xác định các phản lực liên kết tại A và C ứng với 2 trường hợp củamoment M:

Thay M = q2 vào công thức tính NC, ta có:



q

2

A

BC

y

xAX

Q q CN

AX

AY

Hình 3

.cosCy Cy CN N N

.sinCx Cx CN N N

AM



c.2 M = 2q2 Điều kiện (1) không thỏa nên hệ không cânbằng NC = 0 !!!

sin 0

cos 0

. ( sin ). ( cos ). 02

jx A C

jy A C

A j A C C

F X Q NF Y N

M F M Q N N

2 22 21 1(1 sin ) ( cos ) 0

2 2 2 2Aq qM sin2 sin2

1cos sin 2 04A CY N q

21sin sin 02A CX N Q q q

Vì XA < 0 nên chiều đúng của XA ngược chiều đã chọn.



Vì XA < 0 nên chiều đúng của XA ngược chiều đã chọn.

0

0

. 02

jx A

jy A

A j A

F X QF Y

M F M Q

2

0

2

A

A

A

X qY

qM

Khảo sát lại sự cân bằng của khung ABC với N’C = NC = 0, ta có:



Bài 4

a. Hệ đã cho có luôn cân bằng với mọi loại tải hay không? Tại

sao?

b. Tìm điều kiện của lực P để cho hệ cân bằng?

c. Xác định phản lực liên kết của khớp trượt B lên con trượt B,

phản lực của thanh AB lên con trượt B, phản lực của thanh AB

và khớp bản lề O lên thanh OA.

<Bỏ qua trọng lượng các vật và ma sát trong hệ>

0 (30 ;

OACho

M

hình 1)



a. Tính bậc tự do:

BÀI SỬA

ˆ 3 3 3 8 1

32 2 2 2 8

lkhe

lk

dof n R

nR

Vôùi :

A

O

M

P

B

Hình 1

3



Vậy hệ không luôn cân bằng với mọi loại tải tác động vì dofhê > 0.

b. Dùng phương pháp tách vật.

Khảo sát sự cân bằng của thanh OA (hình 2).

* Tự do hoá thanh OA.

* Thiết lập phương trìnhcân bằng cho thanh OA.

Thanh AB là 1 liên kết thanh trong hệ.

A

O

M

,R

y

x

OY

OX

Hình 2

d

cosd



,

,

,

cos 0sin 0

0 0

x O

y O

A O O j

Ta

F X RF Y R

M F M X hay M F M R d

coù :

0

0cos

tan 0

O

O

MX

MR

MY

,



Khảo sát sự cân bằng của thanh AB (hình 3).

Tự do hoá thanh AB.

, , 0xF R R

, , , 0cosMR R R

B

A

,R

x

,R

Hình 3



Khảo sát sự cân bằng của con trượt B.(hình 4)

Tự do hoá con trượt B:

,

,

cos 0sin 0

0

x

y B

B B

F P RF N R

M F M

Ta coù :

0

tan 0

0

B

B

MMN

MP

P

B

BM

,R

y

x

BN

Hình 4



c. Xác định:

Phản lực của khớp trượt B tác dụng lên con trượt B là:

Phản lực của thanh AB tác dụng lên con trượt B là:

Phản lực của thanh AB tác dụng lên thanh OA là:

0

tan

B

B

MMN

, , ,cosMR R R

, , cosMR R



Phản lực của khớp bản lề cố định O tác dụng lên thanh OA là:

tan

O

O

MX

MY



Bài 5/

Cho 2 hệ lực cùng tác động lên 1 hình lập phương có chiều dài 1

đơn vị như hình vẽ.

a. Các hệ lực đã cho có tương đương với nhau hay không?

b. Hệ lực nào có hợp lực?

c. Tìm điểm đặt cho hợp lực của hệ lực có hợp lực?



O

z

x

y

1A

1F

2F

2M

1M2A

O

z

x

y

1A

1F

2F

2M

1M

2A

Hệ lực 1 Hê lực 2

Định lý:

Điều kiện cần và đủ để hệ lực 1 tương đương với hệ lực 2 là khi

thu gọn về cùng 1 tâm tuỳ ý, ta sẽ có:



Véctơ chính của hệ lực 1 bằng vợi véctơ chính của hệ lực 2.

1, 1,

3,j n k mj k

O O

R RF F

M M O

Thu goïn:

Véctơ mômen chính của hệ lực 1 bằng với véctơ mômen chính

của hệ lực 2.



BÀI SỬA

Hệ lực 2:

Thu gọn: Hệ lực 1:

1 2

1 2

1 2

0,0,1 0,1,0

1,1, 1 ; 1,0,1

0, 1,0 0,0, 1

A A

F F

M M

1 2

1 2

1 2

0,1,0 0,0,1

1, 1,1 ; 1,1,0

1,1,1 1,1, 1

A A

F F

M M

O

z

x

y

1A

1F

2F

2M

1M2A

O

z

x

y

1A

1F

2F

2M

1M

2A

Hê lực 1 Hê lực 2



Hai thành phần thu gọn của hệ lực (1):

2

12,1,0j

jR F

2 2

1 1O O j k

j kM M F M

11 1

22 2

1,1,0

1,0, 1

O

O

M F OA F

M F OA F

Hai thành phần thu gọn của hệ lực (2):

2

12,0,1j

jR F

0,0, 2OM



2 2

1 1O O j k

j kM M F M

11 1

22 2

1,0, 1

1,1,0

O

O

M F OA F

M F OA F

0

2.0 1.0 0.( 2) 0O

R

R M

0,3, 1OM

a. Vì nên hê không tương đương hê R R

b. Hệ lực :

Vậy hệ lực có hợp lực.



Hệ lực (2):

0

1 0O

R

R M

Vậy hệ lực không có hợp lực: vì hệ lực là loại hệ lực xoắn vít

động. Hệ lực này không bao giờ có hợp lực.

c. Xác định điểm đặt O* cho hợp lực của hệ lực (1).

Công thức tính toạ độ cho điểm đặt O* như sau:

2

2,4,0 2 4* ; ;05 5 5

OR MOOR



2 4* ; ;05 5

O



Bài 6 /

a. Cho cơ hệ như hình vẽ 1. Tìm điều kiện để cho vật không trượt

trên mặt nghiêng?

b. Cho cơ hệ như hình 2. Xác định lực căng của nhánh dây AB ứng với

2 trường hợp:

BÀI TẬP MA SÁT.

3 0,5771. : 330

t

o

fb Cho

3 0,5772. : 330

t

o

fb Cho



( ft : hệ số ma sát trượt tĩnh giữa vật và mặt nghiêng)

P

Hình 1

P

A

Bdây

Hình 2



BÀI SỬA

a. Khảo sát sự cân bằng của vật A (hình 1a).

.sin 0x mstF F P

.sincos

mstF PN P

.cos 0yF N P

Điều kiện để vật không trượt:

. .sin .cosmst mstgh t tF F f N P f P

t ttan f arctan f

P

mstF

N

xy

Hình 1a



Thoả mãn Vậy ma sát đủ sức

để giữ vật cân bằng.

Do đó, lực căng dây: TA = 0

Ma sát không đủ sức để giữ vật cân bằng. Lực căng dây sẽ tồn

tại làm vật mất khả năng trượt. Lúc này:

31. 30 tan3

otb tan30 f Hình 2b,c

32. 30 tan 03

otb tan3 f

sin 0; 0jx A mstgh jyF T P F F N Pcos

P

N

xy AT

Hình 2a

mstghF

cos ; sin sin (sin cos )A mstgh t tN P T P F P f N P f



Bài 7/

Cho cơ hệ như hình vẽ (Hình 1). Biết: PA = PB = P; R = 2r; ft; . Bỏ

qua ma sát và trọng lượng con lăn. Dây mềm không dãn có khối

lượng rất bé.

a. Tìm điều kiện để con lăn không trượt trên mặt nghiêng?

b. Ứng với điều kiện đó, hãy xác định các thành phần phản lực tại

tiếp điểm I và lực căng của nhánh dây DE?



D

y

x

mstF

AT

I

IN

rR

C

AdBd

BP

AP

Edaây

Hình 1



a. Khảo sát sự cân bằng .

BÀI SỬA

sin sin 0 1x mst D AF F T P P I .cos 0 2y A BF N P P

I .sin sin .2 0 3A B DM P r R P R R T R

3 1 2sin 2 1 sin 4sin 14 4DP PT Töø

11 2 sin 4sin 1 sin4 4mstPF P P

Töø

I2 2 .cosN P Töø



Điều kiện để vật không trượt là:

b. Các thành phần phản lực tại I:

mst mstgh tF F f N

1sin 2 cos4 tP f P

1sin4

2cos tf

I 2 cos1sin4mst

N P

F P



Lực căng nhánh dây DE.

Chú ý: Điều kiện để dây không bị chùng là:

4sin 14DPT

0 4sin 1 01sin4

DT



Bài 8.

Cho cơ hệ như hình vẽ (hình 1). Cho: q, .

a. Hệ đã cho có luôn cân bằng với mọi tải tác động không? Tại

sao?

b. Hãy xác định các phản lực liên kết tại A, C và E.



Hình 1

q

A

B C

E

2M q P q

D



BÀI SỬA

a. Tính bậc tự do của hệ:3

ˆ1

3. lkjhe

jdof n R

3

1

2

2 2 2 6lkj

j

n

R

ˆ 3.2 6 0hedof

Vậy hệ luôn cân bằng với mọi loại tải vì dofhệ ≤ 0!

b. Xác định các phản lực liên kết trong hệ.

* Khảo sát sự cân bằng của khung phẳng ABC.



+ Tự do hóa khung phẳng ABC (hình 2a).

Hình 2a)

q

A

B

C

P q

CHCV

AH

AV

Q q

/ 2x

y

b)

E

M

DC CV V

C CH H

EHEV

x

y

C

X



+ Viết các phương trình cân bằng:

0 (1)

0 (2)

0 (3)2

jx

jy

A j

A C

A C

C C

F Q

F P

M F Q P

H H

V V

H V

* Khảo sát sự cân bằng của thanh thẳng CDE.

+ Tự do hóa thanh thẳng CDE (hình 2b).+ Viết các phương trình cân bằng:

0 (4)

0 (5)

0 (6)

C E

C E

C

jx

y

j C

j

E

F

F

H H

V V

H VM F M



* Giải hệ (1), (2), (3), (4), (5), (6) ta thu được:

(3) (6) : 2 0 02 4C C

qQ P M V V

5(6) 04CH q

1(1) 04A CH HQ q

3(2) 04A CV VP q

5(4) 04E CH H q

1(5) 04E CV V q



Bài 9/Cho 1 cơ hệ như hình ve (hình 1).Cho biết: , P1, P2.a. Hệ đã cho có luôn cân bằng với

mọi loại tải tác động không? Tạisao?

b. Nếu hệ cân bằng, hãy xác địnhcác phản lực liên kết của các liênkết ngoại.

c. Hãy xác định các ứng lực tácđộng lên các thanh thẳng (1),(2) và (4) trong hệ.

1

P

2

P

C

BA

D

Hình 1



BÀI SỬA

a. Tính bậc tự do của hệ:

Lý thuyết:

+ Nếu dofhệ ≤ 0 thì hệ luôn cân bằng với mọi loại tải tác động.

+ Nếu dofhệ > 0 thì hệ không luôn cân bằng với mọi loại tải.

Vậy hệ luôn cân bằng với mọi loại tải tác động vì dofhệ = 0

4

1

4

1

3

3 4 12 04

3 111 4 2 12

lkj

j

lkj

j

dof n R

dofn

R

heâ

heäâ

ta coù

Ta có 1 ngàm phẳng tại D, 1 khớp bản lề ngoại trượt tại A và 4khớp bản lề nội.



b. Xác định các phản lực của các liên kết ngoại.

Tự do hóa nhóm giàn phẳng ABC:

* Khảo sát sự cân bằng của nhóm giàn phẳng ABC (hình 2).

1

P

2

P

C

BA x

y

AX

CXCY

Hình 2

Hệ đã cho không phải là giàn phẳng vì thanh ➂ có liên kết ngàm(thanh ➂ được gọi là dầm). Đây là hệ dầm-giàn kết hợp!



(2) YC = P2 > 0

(3) XA = P1 > 0

(1) XC = – P1 + XA = 0

1

2

1

0 1

0 2

. . 0 3

jx A C

jy C

C j A

F X P X

F Y P

M F P X



* Khảo sát sự cân bằng của dầm DC (hình 3).

Tự do hóa dầm DC:




C

D

C CY Y

DY

DX

DM

x

y

Hình 3

0 4

0 5

. 0 6

jx

jy C

D

D

C

D

Dj

F

F

F

X

Y

M

Y

M Y


(4) XD = 0

(5) YD = YC = P2 > 0

(6) MD = YC = P2 > 0 c. Dùng phương pháp tách nút:

Để tính được ứng lực tác động lên các thanh trong hệ giàn thôngthường người ta dùng phương pháp tách nút. Nghĩa là tách riêngtừng nút trong hệ giàn để khảo sát sự cân bằng của nút đó.



* Khảo sát sự cân bằng của nút C (hình 4).

Hình 4

2

P

C x

y

045

,CS

,CS

CY

4,

2, 42 ,

2 0 72

2 0 82

C

C C

jx

jy C

F

F Y P

S

S S

Tự do hóa nút C:


Giải hệ (7), (8) ta nhận được:

(7), (8) S2,C = S4,C = 0

Ứng lực tác dụng lên & (hình 5):

Hình 5



* Khảo sát sự cân bằng nút B.

Bx

y

,BS

Hình 6

1

P

1 1, 0 9x BjF P S

Tự do hóa nút B (hình 6).

Viết phương trình cân bằng cho hệ lực:

Giải phương trình (9) ta có: S1,B = P1 > 0.

Ứng lực tác dụng lên ➀ (hình 7):

Hình 7

➀ , ,B BS S

, ,A BS S



Phần II: Động Học

Bài 1/

Cho cơ hệ như hình vẽ. Biết: u, v,

, a, DM = < a.

Hãy phân tích chuyển động phứchợp của các điểm: M và N. Xácđịnh gia tốc Coriolis của các điểm:M và N. A

B

C

D

M

N

a

b

v

u



Phân tích chuyển động phức hợp của điểm M và N:

Chuyển động tương đối: là chuyển động thẳng điểm M dọc

cạnh DC, và chuyển động thẳng điểm N dọc cạnh CB. Do đó:

BÀI SỬA

Chuyển động kéo theo: Quay cùng với khung quanh trục AD cố

định với vận tốc góc . Do đó:

e khung

MrN

r

v uv v



Xác định gia tốc Coriolis của điểm M: MCa

2 2M MC e ra v u

,

:

2 . .sin90 2. .

MC

MC

M oC

a mp u mp ABCD

a RHR

a u u

chieàu

Xác định gia tốc Coriolis của điểm N: NCa

2 2N NC e ra v v

2. . .sin180 0N oCVì a v

A

B

C

DMCa

M

N

a

b

v

u

0NCa



Bài 2/

Cho một đường tròn bán kính R

quay quanh đường kính AB cố

định với vận tốc góc . Điểm M

chuyển động dọc trên đường tròn

ấy với vận tốc . Biết R, , u, .

a.Hãy xác định vector gia tốc

Coriolis của điểm M.

b.Tìm vị trí điểm M trên đường

tròn để

u

max min;M M

C Ca a

A

B

u

MH

O

Hình 1



Chuyển động kéo theo: quay cùng với

đường tròn quanh đường kính cố

định AB, với vận tốc góc . Do đó: e

= .

BÀI SỬA

a.Phân tích chuyển động phức hợp điểm M.

Chuyển động tương đối: chuyển động

của điểm M theo quỹ đạo là đường

tròn đường kính AB với vận tốc u. Do

đó: vrM = u.

A

B

y

x

Mca

Mrv u

MH

O

e

Hình 2



b. Xác định điểm M:

min0M

Ca

max2. .M

Ca u

0

0

0sin 0

180

90sin 1

270

o

o

,

:

2 . . sin

MC

MC

MC

a mp u

a RHR

a u

chieàu

• Xác định : MCa

2 2M MC e ra v u

Mrv u

e M

ca

M



b. Trong lúc đĩa B đang lăn thì tam giác A trượt theo phương

ngang với quy luật: x=vot (v0 = const). Hãy xác định vector vận tốc

và vector gia tốc tuyệt đối của tâm B đĩa?

Bài 3/

Cho một cơ hệ như hình vẽ (hình1). Cho: R, = 300.

a. Tam giác A được giữ cố định. Đĩa B lăn không trượt trên mặt

nghiêng với phương trình chuyển động: . Hãy xác định

vector vận tốc và vector gia tốc tuyệt đối của điểm C trên vành

ngoài của đĩa (BC song song với cạnh huyền của tam giác A)?

6t



Hình 1

yA

BBa rv v

R

;6

t rad

x

C

x



BÀI SỬA

Vì đĩa lăn không trượt trên dốc cố định nên đĩa chuyển động song

phẳng với tâm vận tốc tức thời là tiếp điểm P (hình 2).

.6

Bav R R const

1

6s const

Vậy điểm B chuyển động thẳng đều.

y

B

A P

B

Cav

B BP Ba rv v v

R

C ;

6t rad

Av

xHình 2

Bài toán vận tốc:a)

0Baa

BaTa v constcoù :

20 s



Bài toán gia tốc (hình3).

2.. 2. .6

Cav PC R R

.cos 0,715

.sin 0,192

C Cax aC Cay a

v v R

v v R

. .

0,715 0,192

C C Ca ax ayv v i v j

R i j

x

y

P

Cav

C CBa na a

C45 15

Hình 3

• Chọn điểm B làm cực để tính gia tốc điểm C:

C B CB CBa a

CB CB CBn n

a a a aa a a



2

22

. 0 /

. . 0,27.6

CB

CBn

a BC m s

a BC R R

Vôùi :

cos 0,234.

sin 0,135.

C Cax aC Cay a

a a Ra a R

. . 0,234. 0,135.C C Ca ax aya a i a j R i j

b. Tam giác A chuyển động tịnh tiến thẳng theo phương ngang vớiquy luật:

A Ao a o a ox v t v x v const v v i const

0A Aa aa v



Phân tích chuyển động phức hợp của tâm B:

• Chuyển động kéo theo: tịnh tiến cùng với tam giác A.

• Chuyển động tương đối: lăn không trượt trên mặt nghiêng tam

giác A.

Bài toán vận tốc (hình 4).B B Ba e rv v v

0

.

B B A Be a a e

B BP Br r

v v v v v const

v v v R const

Vôùi

B B B A BPa e r av v v v v



2 2

2 2

2 2 2

( ) ( ) 2 cos

( ) ( ) 2 cos

3

B A BP A BPa a a

A BP A BPa a

o o

v v v v v

v v v v

v R R v

B BPrv v

B Ae av v

Bav

Hình 4

P

B



3.cos .2

1.sin2

B A BPax a o

B BPay

v v v v R

v v R

3 1 .2 2

Ba ov v R i R j

Bài toán gia tốc.

0

0

2 0, 0

B B Ae a a

B B B B B Ba e r C r r

B BC e r e

a a a

a a a a a v

a v

Vôùi

0Baa



Bài 4/

Cho cơ hệ như hình vẽ (hình 1). Biết:

O1A // O2B ; O1A= O2B = = 0,4 m ; = 300 ; O1AO2B là hình chữ

nhật ; 1 =1s-1 ; 1 = 1s-2

a.Hãy phân tích chuyển động của các vật rắn trong hệ.

b.Xác định vận tốc góc của vật rắn 2 và vật rắn 3.

c.Xác định gia tốc góc của vật rắn 2 và vật rắn 3.



A

B

2O

1O

1

1

Hình 1



a. Phân tích:BÀI SỬA

b. Bài toán vận tốc.

(Hình 2)

Tay quay O1A quay nhanh dần, theo chiều kim đồng hồ quanhtâm O1 cố định.

Thanh truyền AB chuyển

động song phẳng trong mặt

phẳng hình vẽ.

Thanh O2B chuyển

động quay quanh

tâm O2 cố định.

A

B

2O

Bav

Aav

1O

1

21

y

x

Hình 2



Vận tốc điểm A thuộc vật 1:

Phương của vector vận tốc điểm B phải vuông góc với bán kính

O2B.

Tâm vận tốc tức thời của thanh AB: P . Thanh AB tịnh tiến

tức thời.

Vận tốc góc của thanh O2B:

1 1. 0,4Aa

mv O A s

2Bav O B

10

B Aa a

AB

v v

s

2 2.Bav O B 1

2 12

1B Aa av v s

O B



c. Bài toán gia tốc. (Hình 3)

Chọn A làm cực để tính

gia tốc điểm B thuộc

thanh AB.

Gia tốc điểm A thuộcthanh O1A:

A A Aa na a a

21 1

221 1

. 0,4

. 0,4

A

An

ma O A sma O A s

Vôùi

, (1)B A BA A A BA BAa a n na a a a a a a

Bna

2O

1O

2

3

y

x

BBa

BAa

BAa

BAna

Aa

Ana

Hình 3A



Mặt khác:

Đồng nhất hai phương trình (1) và (2) ta có:

2B B Ba na a a

(*) B B A A B A B An n na a a a a a

Phươngchiều

Độ lớn ? 0,4m/s2 0,4m/s2 ?

2O B 2BO

1AO

1O A

AB BA

2

0

.AB AB

2

22 2

0,4 /

.m s

O B

Chiếu (*) lên trục (y):

0 0,4 0 0,4 .cosBAa



Gia tốc góc thanh AB:

Chiếu (*) lên AB:

Ngược chiều.

20,8 0,92 0cos

BA ma s

.BAABa AB

23

0,92 1,15( )0,8

BA

ABa sAB

1 0,8sinO AAB m

.cos 0,4.sin 0,4.cos 0,4.sin 0Ba



Gia tốc góc thanh O2B:

Vì 2 nguợc chiều 2 O2B quay chậm dần.

20,4 0,8.tan 0,062 0B ma s

chiều đã chọn đúng.

2 2.Ba O B

222

0,062 0,1550,4

Ba sO B



Bài 5/

Cho một cơ hệ như hình vẽ (Hình 1). Biết:

a. Phân tích chuyển động của các vật rắn trong hệ ?

b. Xác định vận tốc góc của thanh AB và vận tốc của con trượt B?

c. Xác định gia tốc góc của thanh AB và gia tốc con trượt B?

21 1; ;OA



A

O

1

B

1

Hình 1



BÀI SỬA

a. Phân tích chuyển động của các vật trong hệ:

b. Bài toán vận tốc (Hình 2).

Con trượt B chuyển động tịnh tiến thẳng theo phương ngang.

Thanh truyền AB chuyển động song phẳng trong mặt phẳnghình vẽ.

Tay quay OA chuyển động quay nhanh dần, ngược chiều quay

của kim đồng hồ quanh tâm O cố định.



1 1. .Aav OA Vận tốc điểm A:

Tâm vận tốc tức thời P của AB: P

thanh AB tịnh tiến tức thời.

A

O

1

B

Aav

Bavx

y

Hình 2



c. Bài toán gia tốc. (Hình 3)

Vậy 10AB

B Aa a

sv v

A

O

Aa

Ana

Baax

y

Baa

BAna

BAa

AB

Hình 3

1

B



Gia tốc điểm A thuộc tay quay OA:A A Aa na a a

Với : 1 121 1

. .

. .

A

An

a OAa OA

Chọn A làm cực để tính gia tốc điểm B.

(1) B A BA A A BA B Aa a n na a a a a a a

PhươngChiều

//x

Độ lớn ? ?2

0

. ABAB

BA

ABAO

OA

1.1.



Chiếu (1) lên trục Oy:

Chiếu (1) lên AB.

210 0 . .cosBAa

21. 0

cosBAa

2211 1

. / cos .tan .tan

sin

BA

ABaAB

21 1.cos . .cos . sinB

aa

21 1 1tan . (1 tan )B

aa



Nếu

Con trượt B tịnh tiến thẳng, nhanh dần theo phương ngang

với chiều hướng sang trái.

45 0o Baa

Nếu Con trượt B tịnh tiến thẳng,

chậm dần theo phương ngang với chiều hướng sang trái.

45 0o Baa

Nếu

Con trượt B tịnh tiến thẳng, đều theo phương ngang với chiều

hướng sang trái.

245 0 /o Baa m s

Chiều đã chọn cho là sai. Chiều đúng ngược lại.Baa



Bài 6/

Cho một cơ hệ như hình vẽ: (Hình 1)

a. Hãy phân tích chuyển động của các vật rắn trong hệ?

b. Xác định vận tốc góc của ròng rọc động 3, vận tốc của vật A?

c. Xác định gia tốc góc của ròng rọc động 3, và gia tốc của vật A?

1 2 3 3

11 2

21 2

2 2 2 1

1

1

R r R r r m

ss



1O

1R

3R

3r

2r2O

3O

A

1

2 1

1

2 1 B D

EC

Hình 1



b. Bài toán vận tốc.(Hình 2)

BÀI SỬAa. Phân tích:

Ròng rọc 1 quay nhanh dần, ngược chiều quay kim đồng hồ, quanh tâm O1 cố định.

Ròng rọc 2 quay nhanh dần, ngược chiều quay kim đồng hồ, quanh tâm O2 cố định.

Ròng rọc hai tầng 3 chuyển động song phẳng.

Vật A chuyển động tịnh tiến thẳng theo phương đứng.

Vận tốc điểm B:

1 1 1 1. 2 . 1Ba

mv R r s



1O

1R

3R

3r

2r2O

3O

A

3

1

1

1

1

3

Dav

Eav

Cav

Bav

B D

EC

Hình 2

3Oav



Vận tốc điểm C:

Vận tốc điểm D:

Vì dây không dãn nên: C Ba av v

2 2. 0,5Da

mv r s

Vận tốc điểm O3:

Tâm vận tốc tức thời của ròng rọc hai tầng O3 là: P

3O Da av v

Vì sợi dây không dãn nên:

Ta có:



3

3

3 3

.

.

CaOa

v PC

v PO

33

CaOa

vPCPO v

3

3

1,5 30.5

RPO

3

3

3

3

OCa a

Oa

PC PO v vPO v

3 3

3 3

1 1 ( ) 0,33( )3 3

2 0,67( )3

PO R m m

PC R PO m

CP 3O E

Cav

3 3Oav

Eav3O

aa

Hình 3

3Eaa



Vận tốc của điểm E:

Vận tốc của điểm A:

3 3 3 3 3 32 5. . . .3 3

Eav PE PO r r r r

11 13 1

3

. 3 1,5 ( )2 23

Cav R s

PC R

Vôùi :

A Ea av v

c. Bài toán gia tốc.

Gia tốc điểm O3:



Vì ròng rọc 2 quay nhanh dần nên điểm O3 chuyển động thẳng

đứng nhanh dần.

Gia tốc góc của ròng rọc 3.

Vì ròng rọc 1 quay nhanh dần nên ròng rọc 3 cũng quay nhanh

dần.

32 2.O D

a av v r 33

22 2. 0,5O

O aa

dv ma r sdt

Quỹ đạo O3 là đường thẳng đứng.

3 132

23 1

3 1,5( )2

s



Gia tốc vật A:

A

A Eaa a

dv da vdt dt

3 1

2

5 5. .3 2

1,25

Aaa r r

ms



Bài7/

Cho cơ hệ như hình vẽ:(hình 1)

Cho:

Giả sử rằng cần A,B,C luôn tiếp xúc vào đĩa tròn.

a.Phân tích chuyển động của các vật rắn trong hệ. Phân tích

chuyển động phức hợp của điểm A thuộc cần ?

b.Xác định vận tốc của cần ?

c.Xác định gia tốc của cần ?

;const

OC e R



C x

y

BA

O

A

R

D

cần

cam

e

Hình 1



BÀI SỬA

a. Phân tích chuyển động của các vật rắn trong hệ:

Cần chuyển động tịnh tiến thẳng đứng.

Cam chuyển động quay đều quanh tam O cố định.

Phân tích chuyển động phức hợp của A thuộc cần:

Chuyển động kéo theo: quay cùng với cam quanh tâm O cố

định.

e

Chuyển động tương đối: trượt dọc trên bề mặt tròn của cam.



b. Bài toán vận tốc. (Hình 2)

Áp dụng định lí hợp vậntốc của điểm chuyểnđộng phức hợp ta có thểtính được véctơ vận tốccủa điểm A thuộc cầnnhư sau:

2 2

Aa e rv v v

OA R e

AAe a

e av v

v v OAA cam

Ta coù :

e

C

AxC Aav

rv

ev

Ae na a

Aaa

Ca

ra

O

A

R

Hình 2



,ev mp OA

Chiều xác định theo quy tắc :RHR (bàn tay phải ). ev

2 2. .sin 90 .oev OA R e

1Aa e rv v v

Phương Chiều //y //x

Độ lớn ? ?2 2 .R e

OA



Chiếu (1) lên trục (y):

2 2

2 2

.cos.cos .Aa e

R ev v eR e

. 0Aav e

2 2

2 2

sin

cos

RR

eR e

Vôùi :

Chiếu (1) lên trục (x): 0 .sine rv v

.sin. 0

r e

r

v vv R



c. Bài toán gia tốc.

Áp dụng định li hợp gia tốc của điểm chuyển động phức hợp tacó thể tính được gia tốc của điểm A thuộc cần như sau:

Aa e r ca a a a

* *A Ae aa a a Ta coù : * * * * 0A A A

n na a a OA

/ /2 2

r

c e r r

a xa v v

Vôùi :

/ /

:2. .

c r c

c

c r

a mp v a y

a RHRa v

Chieàu



2Aa e r ca a a a

Phương Chiều //y //x

Độ lớn ? ?2 2 2.R e

*A O

y

22R

Chiếu (2) lên trục y:

2 2 2 2

2 2. . 0 2A

aRa R e R

R e

2 0A

aa R

Kết luận: Cam quay đều, cần đang tịnh tiến nhanh dần.



Bài 8/

Cho cơ hệ như hình vẽ (hình 1).

a. Phân tích chuyển động của các vật rắn trong hệ.

b. Phân tích chuyển động phức hợp của điểm B thuộc thanh AC

khi lấy con lắc 3 làm hệ động. Viết biểu thức tính vận tốc, gia

tốc tuyệt đối của điểm B này?

c. Xác định vận tốc góc của thanh AC và của con lắc 3.

d. Xác định gia tốc góc của thanh AC và con lắc 3.

0 21 1

;30 ;

OA R OA OB

Cho



2 3

1

1

A

BO

P

Hình 1

C



BÀI SỬA

a. Phân tích chuyển động của các vật rắn trong hệ:

3

ˆ1

3 3.3 2 2 2 2 1lkjhe

jdof n R

Đĩa tròn O quay chậm dần, theo chiều kim đồng hồ quanh tâm

O cố định.

Thanh truyền AC chuyển động song phẳng trong mặt phẳng

hình vẽ.

Con lắc (3) quay quanh B cố định.

Do thanh AC và con lắc 3 luôn trùng nhau trong suốt quá trình

chuyển động nên 2 = 3 và 2 = 3!!!!



b. Phân tích

chuyển động phức

của điểm B2 thuộc

thanh AC: (Hình 2)

Chuyển động

kéo theo: quay

theo con lắc (3)

quanh tâm B.

2 3

1

1

A

BO

P

2 2B B

r av v

2Bca

2B Aa

Aa

Ana

Aav

Hình 2

2B Ana

2Bra



.

Chuyển động tương đối: chuyển động thẳng dọc theo phương

đường thẳng AC. Ta có: 2 2;B Br rv AC a AC

Biểu thức tính vận tốc tuyệt đối và gia tốc tuyệt đối của điểm B2

là:2 2 2

2 2 2 2

B B Ba e rB B B Ba e r C

v v va a a a

c. Bài toán vận tốc.

Xác định vận tốc tuyệt đối B2

1 1. .Aav OA R

2 2 2B B Ba e rv v v



Vận tốc góc của thanh AC:

*32 2 0BB B

e a av v v Vôùi :

2 2B Ba rv v

Chọn P làm cực cho bài toán vận tốc của AC.

:sin

RTa AB

coù

2sin sinAB RPA

sin .AB RPBtg tg



Vận tốc của điểm B2.

2.Aav PA

212 1

2

.ˆ .sin

sin

RVay R

2

Aav

PA

2 22 1. .sin

sin .Ba

Rv PBtg

21.cos

Bav R

2 21.cos

B Br av v R



Vận tốc góc của con lắc (3).

Vì thanh AC và con lắc (3) có liên kết tịnh tiến nội: nên chuyển

động quay của (3) giống hoàn toàn với thành phần chuyển

động quay của thanh AC , nghĩa là: 3 2

d. Bài toán gia tốc.

Gia tốc điểm A:

A A Aa na a a

1 12 21 1

. .

. .

A

An

a OA Ra OA R

Vôùi :



Chọn A làm cực để tính gia tốc điểm B2.

2 2

2 2( ) ( )

B B AAa a

B A B AA An n

a a a

a a a a

2 (1)B A A na n BA BAa a a a a

Mặt khác ta có thể tính gia tốc theo định lý hợp gia tốc

trong chuyển động phức hợp:

2Baa

2 2 2 2 (2)B B B Ba e r Ca a a a

*32 2

2

2 2 23

0

2 2

BB Be a aBr

B B BC r a

a a aa AC

a v v

Vôùi :



//AC

? ?

Đồng nhất hai công thức (1) và (2):

2 2 2 2 , ( 3 )B A B A B BA An n r Ca a a a a a

OA

1.R OA

21R

AB BA

22.AB 2

32 . Bav

AC

2 2 42 1

2 31

. .sinsin. .sin

RAB

R

Vôùi :

2 23 1 1

2 21

2 . 2 .sin . . .cos

2 . .cos .sin

Bav R

R



Chiếu (3) lên :PB

2 2 21 1 1( .sin . .cos ) 0 0 2 .cos .sinBAR R a R

21 sin cos 2cos .sinBAa R

21. 2cos .sin sin cos sin

AB

RR

Maø :

2.BAa AB 2BAa

AB

3 2ˆ :Vay



Bài 9/Cho cơ hệ như hình vẽ: (Hình1)

1 20

1

1

2 2 ;

303232

c

c

r r r

Cho

c1

c

AAO

1O 2O

1r

2r

Hình 1



a. Xác định bậc tự do của hệ?

Phân tích chuyển động của các vật thuộc hệ?

b. Xác định vận tốc góc và gia tốc góc của bánh răng ➁?

c. Xác định vector vận tốc và vector gia tốc của điểm A.

d. Viết phương trình quỹ đạo của A thuộc bánh răng ➁?



BÀI SỬA

a. Cơ hệ là hệ bánh răng vi sai. Bậc tự do của hệ:

Cần O1O2 quay chậm dần quanh O1 cố định.

Bánh răng trung tâm O1 quay chậm dần quanh tâm O1 cố định.

Bánh răng (2) chuyển động song phẳng.

ˆ 3 3.3 2.2 2 1 2 0lkhedof n R

b. Dùng định lý Willis: ( 1) .j c m k

k c j

rr

từ bánh răng thứ ➁ đến bánh răng thứ ➀, ta có (chọn chiềuquay C của cần làm chiều dương):



2 1

1 2

( 1) .mc

c

rr

12 1

2

1

(1)

322

0

c c

c c c

rr

s

Gia tốc góc của bánh răng ➁:

Đạo hàm hai vế (1) theo thời gian ta có :

12 1

2

. (2)c crr

(2) bánh răng ➁ tịnh tiến tức thời.



c

1

c

y

x

2Oav

AAO

1O 2O

2OC AC

Hình 2

2Oa

2Ona



c. Xác định vận tốc và gia tốc của điểm A

Vì bánh răng ➁ chuyển động tịnh tiến nên quỹ đạo các điểmthuộc bánh răng ➁ giống nhau và

2

2

OAa a

OAa a

v va a

Vận tốc của điểm O2 thuộc cần O1O2:

21 2 3O

a C Cv O O r

2 2 2 2 (3 )O O O OAa a ax ay ay Cv v v i v j v j r j

Gia tốc của điểm O2 thuộc cần O1O2:2 2 2O O O

a na a a

Với: 2 21 2

2 21 2 33 ; O

n CC CO

C aa O rO r OO

2 2 2 23 ( )O O OAa a ax ay C Ca a a i a j r i j



Gọi là quỹ đạo của điểm O2 (Hình 2).2

( )OC

là đường tròn tâm O1 , bán kính: R = O1O2 =3r.2

( )OC

Phương trình chính tắc của :2

( )OC

2 2 2 29x y R r

d. Xác định phương trình quỹ đạo của điểm A

Gọi là quỹ đạo của điểm A (Hình 2).( )AC

22A OO AC C tònh tieán

Vị trí tâm OA của quỹ đạo (CA):

1 2 2 2( .cos ) ( .sin ) ( .cos ; .sin )A A

a b

O O O A r i r j O r r



Vậy phương trình quỹ đạo của đường tròn (CA) là:

2 2 2.cos .sin 9x r y r r



Bài 10/

Cho cơ hệ như hình vẽ (hình 1). Biết:

O1A O1O2; {C} = AB O1O2; O1A = O1C = = 1m; AC = CB; AB

O2B; 1 =2s-1; 1 = 4s-2.

a.Hãy phân tích chuyển động của các vật rắn trong hệ.

b.Xác định vận tốc góc của vật rắn 2 và vật rắn 3.

c.Xác định gia tốc góc của vật rắn 2 và vật rắn 3.



Hình 1

A

B

1O

1

1

2O

C



a. Phân tích chuyển động của các vật trong hệ:BÀI SỬA

Tay quay O1A quay chậm dần, theo chiều kim đồng hồ quanh tâmO1 cố định.

Thanh truyền AB chuyển động song phẳng trong mặt phẳng hìnhvẽ.

Thanh lắc O2B chuyển động quay quanh tâm O2 cố định.

* Các đặc trưng hình học của hệ:

AO1C là vuông cân tại O1 nên:

1 1 22. 2 45AC CB O A m và O CA O CB

CBO2 là vuông cân tại B nên:

2 2O B CB m



Hình 2

A

B

1O

1

1

2O

C

Aav

Bav

P

2

3



b. Bài toán vận tốc (hình 2).

Vận tốc điểm A thuộc vật 1:

Vận tốc điểm B thuộc vật 3: 1 1. 2A

amv O A s

2Bav O B

Xác định tâm vận tốc tức thời P của thanh AB: kẻ 2 đường vuônggóc với 2 phương vận tốc của 2 điểm A và B! Vì ABP vuông cântại B nên ta có:

2. 2 2 2. 4PB AB AC m và PA PB m Vận tốc điểm A thuộc vật 2 (quay quanh tâm P):

12 2

2. 0,54

AA aa

vv PA sPA

Vận tốc điểm B thuộc vật 2 (cũng quay quanh tâm P):

2. 2 2.0,5 2 /Bav PB m s

Vận tốc điểm B thuộc vật 3 (quay quanh tâm O2):

12 3 3

2

2. 12

BB aa

vv O B sO B



c. Bài toán gia tốc (hình 3).

Hình 3

A

B

1O1

2O

C

Aa

Ana

BAa

BAna

Ba

Bna

2

2

3

3



Gia tốc điểm A thuộc thanh O1A: A A Aa na a a

21 1

221 1

. 4

. 4

A

An

ma O A sma O A s

Vôùi :

Chọn A làm cực để tính gia tốc điểm B thuộc thanh AB:

, (1)B A BA A A BA BAa a n na a a a a a a

Nếu xem điểm B thuộc thanh O2B thì gia tốc của điểm B có thể tínhtheo công thức sau:

, (2)B B Ba na a a

Đồng nhất hai công thức (1) và (2), ta có:



(3) : B B A A BA BAn n na a a a a a

Phươngchiều

Độ lớn ? 4m/s2 4m/s2 ?

2O B 2BO

1AO

1O A

AB BA

2

22

2 /2

.

m s

AB

2

23 2

2 /

.m s

O B

Chiếu công thức (3) lên trục , ta có:2O B

22 20 2 (4 4 ) ( 0) 5 2 / 02 2

BA BAa a m s

Gia tốc góc của thanh truyền AB:

22 2

5 2. 2,52 2

BABA aa AB s

AB

Vì 2 ngược chiều với 2 nên thanh truyền AB có thành phầnchuyển động quay chậm dần, cùng chiều kim đồng hồ.



Chiếu công thức (3) lên trục , ta có:AB

22 2 2 20 ( 4 4 ) (0 ) / 02 2 2 2

B Ba a m s

Gia tốc góc của thanh lắc O2B:

22 3 3

2

22. 0,52

BB aa O B s

O B

Vì 3 ngược chiều với 3 nên thanh lắc O2B quay chậm dần, ngượcchiều kim đồng hồ, quanh tâm O2 cố định.



•• ChươngChương I: I: ĐỘNG LỰC HỌC CHẤT ĐỘNG LỰC HỌC CHẤT ĐiỂMĐiỂM

GVHD: PGS. TS. TRƯƠNG TÍCH THIỆN

•• ChươngChương II: II: ĐỘNG LỰC HỌC CƠ HỆĐỘNG LỰC HỌC CƠ HỆ

BÀI TẬP CƠ HỌC TậpTập HaiHai: ĐỘNG LỰC HỌC: ĐỘNG LỰC HỌC



Chương I: ĐỘNG LỰC HỌC CHẤT ĐiỂM

BÀI TẬP 1.2: trang 31 (SGK)

Một xe goòng có khối lượng là 700 kg đang chạy xuống dốc dọctheo đưòng ray thẳng và nghiêng với mặt ngang một góc 150.

Để giữ cho xe chạy đều, ta dùng dây cáp song song với mặt dốc.Vận tốc chạy đều của xe là 1,6 m/s. Xác định lực căng của dây cáplúc xe chạy đều và lúc nó bị hãm dừng lại trong 4 giây. Hệ số cảnchuyển động tổng cộng là f = 0,015 và lúc cản ta coi rằng xe chạychậm dần đều.



150

y

x

N

P

T

vcF

hình 1.2

Dùng tiên đề 2 động lực học điểm:

4

1. 1k

kcT Na P Fm F



Trường hợp 1:

Tiên đề 2 trở thành:

Chiếu phương trình (2) lên trục y.

Ta có:

Chiếu (2) lên trục x:

Xe chuyển động thẳng đều nên 0a

0 2cTP N F

0 cos.cos . .cosP

N P mNg

0 .sin.sin . .sin . . .cos

c

c

P FT P F m g f m g

T

. . . .coscF f N f m g



Trường hợp 2:

. . sin .cos

700.9,81 sin15 0,15.cos15

1677,8

T m g f

N

Xe chuyển động thẳng chậm dần đều a const

1 0.v a t v

Ta có:1

0

0 ; 41,6

v m s t sv m s

20 1,6 0,4 04

va m st



Chiếu (1) lên trục x,y:

. .sin0 .cos

cm a P FTNP

. . . .cosc f N f m gF

sin .cos

. .sin

.c

a g f

T m a P Fm

700 0,4 9,81 sin15 0,015.cos15

1957,8 N



Bài tập 1:Cho: . Bỏ qua lực cản của không khí và khối lượng lò xo.Xác định qui luật chuyển động của vật A.

0 0, , ,k m x

k

AO

x

0x

0

P

hình 1

t



Bài sửa

Xác định luợng giãn lò xo khi hệ cân bằng (độ giãn tĩnh)

Chọn trục có gốc tại vị trí cân bằng của vật A, có phươngthẳng đứng và chiều dương hướng xuống.

Ox

sF

P

0 1sjx FF P .sF P m g

Mà: .s tF k .s

tF m gk k

Chọn lúc đó lò xo bị giãn thêm một lượng :0t s 0x

0 0

0

00

v m s xx t x

hình 1.1



Khảo sát chuyển động của vật A tại một vị trí bất kỳ:

Áp dụng tiên đề 2 động lực học:

Chiếu (2) lên trục Ox:

2

1. 2

k S

km a F P F

. . .. . .. . 0

s

t

m x P F m g km x m g k x k xm x k x

2. 0 3x x

Với:km



Dạng nghiệm tổng quát:

Vậy vật dao động điều hoà:

0.sinx A t

A và được m từ các điều kiện ban đầu:0

0

0 0

0

0

.sin0 :

. .cos 0

. .cos 0

x x At

A t

A

xs

t

0 0cos 02

0A x

0.sin 2x x t



Bài 1.5 trang 31Một ô tô chở hàng có khối lượng là 6 tấn chạy xuống một chiếcphà với tốc đô là 21,6 km/giờ. Từ lúc xuống phà đến lúc dừnghẳn xe phải chạy thêm một quãng đường là 10 m, cho rằng khiấy ôtô chuyển động chậm dần đều. Tính lực căng mỗi dây cáp (có hai dây cáp) buộc giữ phà, coi rằng dây cáp luôn luôn căng.

a v

2T

10s m

P

hình 1.5



Bài sửa

Khảo sát chuyển động của xe:

Sử dụng tiên đề 2 động lực học:hình 1.5.1

msF

P

1a

1v

1N

x

y

1 1 1 1msm a P FN

Chiếu (1) lên :,x y



Khảo sát sự cân bằng của phà:

1

1

1 20 3

ms

PFN

m a

13 N P

Ta có: 2 20 1

1

20 36 2 .10v v a s

a

2

1 1,8 0a m s

Thay 21,8 2 :a m s vào

1 1 6000.1,8

10800

mstF m a

N



x

y

Q

1N

2.T N

msF

hình 1.5.2

*2 0 5 jx mstF T F

* 10800 54002 2

mstFT N



Chương II: ĐỘNG LỰC HỌC CƠ HỆ.

Bài tập 2. Cho 1 thanh thẳng, mảnh, đồng chất tiết diện đều AB. Khối lượng của toàn thanh là m, chiều dài . Thanh AB cắt trục ztại điểm gốc O và hợp trục z một góc như hình vẽ. Cho biết: Hãy xác định moment quán tính của thanh AB đối với trục x, y,z vàtâm O (thanh AB nằm trong mặt phẳng Oyz).

, , , , . m OA a OB b

A

Bz

O

K

udu

u

kd z

Hình II.2b

x

kyd y

A

Bz

O

Hình II.2a

x

y



Bài sửa

Khối lượng riêng của thanh:

2 2 2 2 2

1

. . . .sin sin

b b

k kk a a

J m d du u u du z z

,

m kg m

Khảo sát một chất điểm K trên thanh:

Chiều dài:

Khối lượng điểm K:

du

.km du

.sin

. cos

k

ky

kx

d u

d ud u

z

Moment quán tính của toàn thanh đối với trục z :

Dựng hệ trục Oxyz sao cho thanh nằm trong Oyz. Dựng trụcOu có phương trùng AB và có chiều như hình vẽ.



32 2 3 3

2 2 2

2 2 2

sin . sin3 3

sin3

sin3

bm u mJ b aa

m a b a ab b

m a ab b

z

2 2 2y

1

2 2

. . . . cos

cos

b

k kyk a

b

a

J m d du u

u du

Moment quán tính của toàn thanh đối với trục y:



32 2 3 3

y

2 2 2

2 2 2

cos . cos3 3

cos3

cos3

bm u mJ b aa

m a b a ab b

m a ab b

2 2 2x

1

33 3 2 2

2 2

. . .

3 ( )( )3 3

( )3

b b

k kxk a a

b

a

J m d du u u du

u b a a b a ab b

m a ab b

Moment quán tính của toàn thanh đối với trục x:



2 2O

12 3

x ymJ J J J a ab bz

Moment quán tính của toàn thanh đối với tâm O:

Vậy: JO = Jx .



Bài tập 3. Cho một cơ hệ gồm 2 vật rắn có dạng hình lăng trụ tiết diện tamgiác vuông đặt chồng lên nhau với vị trí ban đầu như hình vẽ.Tiết diện của 2 vật là 2 tam giác vuông đồng dạng. Khối lượngcủa 2 vật lần lượt là mA, mB. Vật B tựa không ma sát trên mặtnghiêng của mặt A. Vật A tựa không ma sát đối với mặt ngang cốđịnh. Các cạnh của 2 vật song song với bề mặt cố định là a, b (a >b). Ban đầu toàn hệ đứng yên. Hãy xác định đoạn đường chuyểnđộng của vật A khi vật B trượt hết mặt nghiêng của vật A (lúc Bvừa chạm đất).



a b

A

B

b

Hình II.3



Bài sửa

Oa

0BC

b

ACBC

x

y

0AC

0BC

x

0AC

x

AsACx

BCx

AP

N

BP

/ 3a3

b

Hình II.3.1



Dựng hê trục Oxy như hình vẽ.

Gọi:

Khối tâm của vật A, vật B va toàn hê: CA, CB, C

Đoạn đường chuyển động của vật A khi B chạm mặt phẳng cô định: sA

Tọa độ x của các khối tâm: 0 0; ; ;A BA B

C CC Cx x x x

Ta có:

0 0

2= ; = ;3 3

= ; =3 3

A B

A B

C C

C A C A

ax x b

a bx s x s a



Ban đầu toàn hệ đứng yên.

0

0

0

= 0= 0

= 0

A

A

A

C

C

C

mx svmy s

0

0

0

= 0= 0

= 0

B

B

B

C

C

C

mx svmy s

Khảo sát chuyển động toàn hệ (2 vật).

Hê ngoại lực tác động lên hệ:

; ;A BP P N



Dùng định lý chuyển động khối tâm.

3

=1. = = ; 1e

C j A Bj

M a F P P N


2. = 0 = 0

=

C C

C

mM x x sx const

0=C Cx x

Theo định nghĩa khối tâm hệ, ta có:



2

=1. . .

= = A Bk k

A C B CkC

A B

m x m x m xx

M m m

0 0

:

. .. .= = 0A B A B

A BC CA C B C

A B A B

do đó

m x m xm x m xm m m m

= 0Cx

0= =C Cconst xx

0 0.. .=

.A BA B

A BC CC B C

A B A

A

B

mm x m xm mm

x x

m

m



00. . = . .B AA B

CA B A C CC Bm m mx mxx x

3. . = . 2.

33 3AA B BA Aabssm m m ma ba

= 0BA

A B

ms b am m

Vì sA < 0 nên vật A chuyển động về phía bên trái.



Bài tập 4.Cho con lăn O là vành tròn, đồng chất, bán kinh r lăn không trượtlên mặt phẳng nghiêng một góc cô định như hình vẽ. Trọnglượng của con lăn P và hê sô trượt nh giữa con lăn O và mặtphẳng ngang cô định là ft, bỏ qua ma sát lăn.Cho P, = const, r, , ft. Hê ban đầu đứng yên.a. Phân tích chuyển động của vành và của tâm O vành. Thiết lập

các mối quan hê động học giữa các đặc trưng chuyển độngcủa toàn vật với các đặc trưng chuyển động của tâm O vật.

b. Xác định gia tốc góc của con lăn O dưới dạng hàm của r, ,, và P. Tìm điều kiện của moment đê con lăn O lăn lên.

c. Xác định phản lực tại ếp điểm A.d. Tìm điều kiện của ft đê con lăn O lăn không trượt trên mặt

phẳng nghiêng cô định.

M

MM



A

O

P

r

M

Hình II.4



Bài giải

qtR

qtOM

A

mstF

O0v

N

P

r

M 0

0a0s

Hình II.4.1

x

y



a. Phân ch chuyển động.

Của vành: vành lăn không trượt, nhanh dần, lên trên mặtnghiêng cố định. Đây là 1 dạng chuyển động song phẳng vớitâm vận tốc tức thời P là điểm ếp xúc A.

Của tâm O: chuyển động thẳng theo phương của mặt nghiêng,nhanh dần, hướng lên.

Quan hệ động học.

Do vành lăn không trượt nên ta có các quan hệ sau đây:

0 0 00 0 s v ar r r

Với là góc quay, là vận tốc góc, là gia tốc góc của vành.



b. Tính động năng hệ

2 20

1 1. .2 2

hêOT m v J

2 2

0

.

.

O

Pmg

PJ mr rg

v r

Vôùi do vaät laø vaønh

2 2 2 2 2 21 1. . . . . .2 2

hê P P PT r r r

g g g



Tính tổng công các tải

mstA A P A N A F A

M

0, (vìN NVôùi vuoâng goùc vôùi be àmaët tieáp xuùc

vaø vì ñieåm A co á ñònh

: A

)

0mstA F

.A M M

0. . .sin .A P P h Pr

0 0.sin . .sin h s rVì

.A P.r.sin M-

0s

OHình II.4.2

0h



Áp dụng định lý biến thiên động năng:

1 0hê hêT T

0hêT

A

ban ñaàu heä ñöùng yeân

= 0

2 2. . . .sin .P r Prg

M

Đạo hàm 2 vế theo thời gian t:

2. 2. . . .sin .P r P rg

M



22. .

P.r.sin gP r

M-

0

. .sin. .2. .P ra r gP r

M

Điều kiện của để vành lăn lên:M

0 . .sin 0

. .sin

P r

P r

chieàu ñaõ choïn laø ñuùng

M

M



c.Sư dụng nguyên ly D’Alembert.

Tác động thêm lên vành 2 thành phần cơ bản của hê lực quánnh đặt tại O.

Vector chính của hệ lực quán nh.

.qt OR ma

. .sin. . .2 .

qt O

qt O gg

R a

PrR mar

PP

M

. .sin2qt

P rRr

M



Moment chính của hê lực quán nh đối với tâm O.

.qtO OM J

22

. .sin. . . .2 .

qtO

qtO O

M

Prr gJrg

PMP

M

12

qtOM P.r.sin M-

Khảo sát sự cân bằng của vành:



.sin 0 1

cos 0 2jx qt mst

jy

F P R F

F N P

Giải hệ (1), (2) ta thu được:

.cos 3N P

.sin. .sin.sin2

mst qtF P RPrP

r

M

42mst

P.r.sinFr

M+



d. Điều kiện để vành lăn không trượt:

. 5mst msgh tF F f N

Thay (3), (4) vào 2 vế của (5) ta nhận được:

. .sin2 . .cost

P rfP r

M

. .sin . .cos2 t

Pr f Pr

M



Bài tập 5.Cho 1 cơ hê gồm 2 vật có khối lượng M1 và M2 có liên kết va chịutải như hình vẽ. Hê sô ma sát trượt nh giữa 2 vật là ft, bỏ quama sát giữa vật có khối lượng M2 với sàn cô định. Ban đầu khichưa chịu tác dụng của hê lực F hê cân bằng. Tìm điều kiện củagiá trị lực F đê hai vật cùng chuyển động tịnh ến thẳng theophương ngang như nhau (không trượt đối với nhau).

F

tf 1M

2M

Hình II.5



Gọi lần lượt là gia tốc của C1, C2, C.1 2, ,C C Ca a a

Bài giải

Gọi C1, C2, C lần lượt là khối tâm của vật 1, vật 2 va của toànhê.

Vì vật 1 không bị trượt đối với vật 2 nên:

1 2C C Ca a a a

Khảo sát chuyển động của toàn hệ.

Hệ ngoại lực tác động lên hệ:

21 , , ,FP NP

Hình II.5.1

F

tf 1M

2M

1c

2cc

N

a

1P

2P

x

y

O



Dùng định lý chuyển động khối tâm cho hệ.

4

1 21

. 1ec j

jMa F P P F N

Hệ ngoại lực tác động lên vật 1:

.Ma F 1 2

2F FaM M M

Ta khảo sát chuyển động của vật 1 (có lợi hơn khảo sát vật 2 vìvật 1 có ít ngoại lực tác động hơn so với vật 2).

1 1, ,mstFP N

Dùng định lý chuyển động khối tâm cho vật 1:


1M

1c1N

1P

mstF

x

y

O

Hình II.5.2

a



1

3

1 1 11

. 3eC j mst

jM a F P F N

Chiếu (3) lên 2 trục x,y:

1: . 4mstOx M a F

1 1: 0 5Oy P N

Thay (2) vào (4), ta có:

1

1 2

. 6mstMF F

M M

Tư (5) ta nh đựơc:

1 1 1. 7N P M g



Điều kiện đê vật (1) không trượt trên vật (2):

1. 8mst msgh tF F f N

Thay (6), (7) vào (8):

11

1 2

. . .tM F f M g

M M

1 2 .tF f M M g



Bài tập 6. Cho một đĩa tròn,đặc, đồng chất có bán kính R và khốilượng , bị đẩy lăn không trượt trên mặt nghiêng với vận tốcban đầu của tâm A đĩa ở chân dốc là . Biết mặt nghiêng cốđịnh nghiêng một góc đối với phương ngang và chiều dàimặt nghiêng là . Cho biết: bán kính R,

a) Hãy phân tích chuyển động của đĩa và tâm A đĩa. Tìm mốiquan hệ động học giữa chuyển động của đĩa và tâm A đĩa.

b) Tính động năng cho đĩa và tổng công tác động lên đĩa.c) Tính vận tốc và gia tốc của tâm A đĩa. Cho nhận xét hai kết

quả này.d) Tìm điều kiện về giá trị để đĩa có thể lăn lên được hết dốc.e) Xác định các thành phần phản lực tại điểm tiếp xúc I.f) Tìm điều kiện của góc nghiêng để đĩa lăn không trượt trên

mặt nghiêng.

m

0Av

0Av

0, , , , , .A tm v f f đ



g. Cho :g1. phân ch lại chuyển động của đĩa. Xác định va

chọn các tọa đô suy rộng.g2. xác định các lực suy rộng tương ứngg3. thiết lập hê phương trình vi phân chuyển động cho

hê.

3 ttg f hêdof

Hình II.6

,

, A As v

IAR



a). Phân ch chuyển động của đĩa:

Bài sửa

Hình II.6.1

, A A

,A As v

Al

I

A

xqtR

mstF (vì vật lăn không trượt)

A

qtAM

P

AaN

y



Do đó:

Quan hê động học giữa chuyển động của đĩa và chuyển độngcủa tâm A đĩa khi đĩa lăn không trượt:

Đĩa chuyển động lăn không trượt trên mặt nghiêng cô định. Đây là trường hợp đặc biệt của chuyển động song phẳng với tâm vậntốc tức thời là điểm ếp xúc I.

AA

vR

Phân ch chuyển động của khối tâm A đĩa: tâm A đĩa chuyểnđộng thẳng với quỹ đạo là đường thẳng song song vớimặt nghiêng cô định và cách mặt nghiêng ấy một khoảngbằng bán kính đĩa.

A

;

A A A Av a

AA

sR

AA

aR



b. Động năng của hê:

Tổng công các tải:

2 2

22 2

2

2

1 12 21 1 12 2 234

hêA A A A

AA

A

T m v J

vP Pv Rg g RP vg

mstA A P A F A N

0 :mstA F

vì vật không trượt.

0 :A N

vì vuông góc và điểm I đứng yên tức thời.



c. Vận tốc của tâm A:

Dùng định lý biến thiên động năng:

. .sin ;A AA A P P h P s

đô cao hướnglên công âm

1 0hê hêT T A

22 03 3 sin

4 4const

A A AP Pv v P sg g

20 4 .sin3A A Av v g s

Đạo hàm 2 vê theo thời gian t:



d. Điều kiện tối thiểu của vAO đê đĩa lăn hết dốc:

e. Xác định các thành phần phản lực:

3 1 2 sin4

A A Av a vg

2 2. .sin.sin 0 03 3.

AA A

a ga gR R

Tâm A chuyển động thẳng, chậm dần và đĩa lăn chậm dần.

0 / tai

A Av m s s

20 4 .sin . 03

Av g

0 02 3 2 3. .sin . .sin3 3

A Av g v g



Theo nguyên ly D’Alembert, ta sẽ bô sung vào đĩa hai thành phầncơ bản của hê lực quán nh:

thi đĩa sẽ ở trong trạng thái cân bằng.

qtqtA

R

M

.qt A AR m a

(do nh đô lớn nên bo (-))2. . .sin ;3

qt A AR m a P

.qtA A AM J

2 22

1 1 1.sin . .sin2 3 3

qt AA

aP PM R P Rgg

RRg

Viết các phương trình cân bằng:



.sin 0 ms qttjxF P RF

.cos 0 jyF P N

Giải hệ , :.cosN P

.sin

2.sin .sin3

1 .sin 03

mst qt

mst

F P R

P P

F P

f. Điều kiện của để đĩa lăn không trượt:

. msgm t thsF fF N



Thay , vào :

1 .sin . .cos3 tP f P

tan 3 tf

g.g1. Do nên đĩa vừa lăn vừa trượt trên dốc. Đây cũng là

trường hợp đặc biệt của chuyển động song phẳng với tâm vậntốc tức thời không phải là điểm ếp xúc I.

3 ttg f

Bậc tự do của hệ: 2hdof Ë

Chọn 2 tọa độ suy rộng: . (hình 3.1),x



Hình II.6.2

I

A

msđF

P

x

N

g2. Xác định lực suy rộng tương ứng với tọa độ suy rộng

:1 xQ Q

1q x Cho hệ một di chuyển khả dĩ đặc biệt:

1 20, 0qq x



Tổng công khả dĩ của các tải:

;

. .

.sin . ..sin .

0

cos

sin .cos

msđ

msđ

A A P A F

P h F xP x f

A

N xP f P x

N

A x

N

P f

đ

đ

đ

(đĩa chỉ trượt mà không lăn vì ) 0

hx

A Hình II.6.3



Lực suy rộng:Hình II.6.4

0

I

A

msđF

P

0x

N

0 :N

vì khi chiếu lên phương trượt phương của lực nâng N vuông góc so với phương trượt.

1 sin c

sin co

o

s .

sx

Af P

xQ Q

f M g

đ

đ



Lực suy rộng:

(đĩa quay quanh tâm A cố định hay đĩa trượt không lăn)

Xác định lực suy rộng tương ứng với tọa độ suy rộng2Q Q2q

. . .

msđ

msđ I

A P A NA A F

F s f N r

đ

Cho hệ một di chuyển khả dĩ đặc biệt:

1 20 , 0q x q


. . .cos .A f P r đ

2 . . .cosA

Q Q f P r

đ



g3. Dùng phương trình Lagrange 2:2 . . . .cosQ Q f M g r đ

Hình II.6.5

, 1,2ii i

d T T Q idt q q

0

.Is r

A

msđF

P

0x

N



Xác định động năng hệ:

2 2

2 2 2

1 1.2 21 1 1. .2 2 2

hêA AT M v J

M x M r

1

0T Tq x

(không có x chỉ có đạo hàm của x)

1

.d T d T M xdt q dt x

2

0T Tq

(không có )



2

2

1 . .2

d T d T M rdt q dt

Do đó:

2

. sin cos .1 . . . .cos .2

r

M M

M M r

x f g

f g

đ

đ

sin cos2 cos .

x f gf gr

đ

đ



Bài tập 7. Cho cơ hệ như hình vẽ. Biết bán kính r, P, = const, Q, ròng rọc là vành tròn đồng chất. Dây mềm, nhẹ, không giãn, không trượt trên ròng rọc, luôn căng. Ban đầu hê đứng yên.a) Hãy phân ch chuyển động của các vật rắn trong hê. Thiết

lập quan hê động học giữa các vật.b) Xác định động năng cho toàn hê và tổng công của các tải tác

động lên hê.c) Xác định gia tốc của vật A và gia tốc góc của ròng rọc B.d) Tính lực căng dây nối vật A.e) Tìm điều kiện của moment đê nhánh dây nối vật A bị

chùng. Xác định lại gia tốc của A va gia tốc góc của ròng rọcB.

M

M



Hình II.7

a) Phân ch chuyển động: Vật A: chuyển động tịnh ến thẳng đứng, nhanh dần, có chiều

hướng xuống.

, ,B B B

, ,A A As v a

M

A

P

Q

B

rCopyright By Focebk.com


Ròng rọc B: chuyển động quay nhanh dần, cùng chiều kimđồng hô quanh trục vuông góc với mặt phẳng hình vẽ và điqua tâm B cô định (tâm B cố định).

Thiết lập quan hê động học giữa các vật:...

A B

A B

A B

s rv ra r

b).

hê A BT T T

Vật A chuyển động tịnh ến: 212A APT vg

Vật B chuyển động quay: 212B B BT J

Động năng của hê:



(JB là moment quán nh của vật B đối với trục cố định thẳng góc với mặt phẳng hình vẽ qua B)

2B

QJ rg

2 2 2

2 2 2

1 12 21 1. .2 2

hê

A B

A A A

P QT v rg g

P v Q v P Q vg g

( ) ( )A A A P

M

Với: B( ) ;AA sr

M

M M. ( ) A AA P Ph Ps




Gia tốc của A và gia tốc góc của ròng rọc B:

AA P sr

M

Áp dụng định lý biến thiên động năng:

1 0hê hêT T A

212 A AP Q v P sg r

M

Đạo hàm 2 vêtheo t: 1 2 .

2 A A AP Q v a P vg r

M

. 0A

Pra gP Q

M

c).



Gia tốc góc của ròng rọc:

d) Xác định lực căng dây.Áp dụng nguyên ly D’Alembert khảo sát sự cân bằng của vật A:

A

B

Pa r gr P Q r

M

.Aqt A AR m a

Aqt

P PP r rR g Pg P Q P Q

M M A

P

yAT

AqtR

Hình II.7.1

Aa



Phương trình cân bằng:

Chiếu lên trục y:

Sau khi bổ sung vào thi vật A cân bằng.AqtR

0Aqt A AR T P

0Ajy A qtF T R P

AA qt

A

PrT P R P PP Q

QrT P

P Q

M

M



e) Điều kiện đê dây không bị chùng (dây căng):

Khi dây bị chùng:

Gia tốc vật A:

Gia tốc góc ròng rọc B:

0 0 .AT Q Q rr

M

M

Vậy điều kiện đê dây bị chùng: .Q rM

Aa g

2.B gQ r

M



Bài tập 8. Cho cơ hê đứng yên ở thời điểm ban đầu như hình ve. Ròng rọc B là một đĩa tròn, đặc và đồng chất. Hê sô ma sát trượt

nh va động giữa vật A va mặt phẳng ngang cô định là và . Cho biết: Dây mềm, nhe, không giãn, luôncăng, không trượt trên ròng rọc.a) Tìm điều kiện của góc đê A trượt được trên mặt nghiêng.b) Cho , dây luôn căng.

b1) Phân ch chuyển động các vật rắn trong hê. Tìm mối quanhê vê động học giữa các vật.b2) Tính động năng cho toàn hê va tổng công tác động lên hê.b3) Xác định gia tốc của A va gia tốc góc của ròng rọc Bb4) Tính lực căng dâyb5) Tìm điều kiện của đê dây nối vật A bị chùng. Xác định lạigia tốc của vật A va gia tốc góc của ròng rọc B.

, , , , , .tr P Q const f f M , đtf fđ

ttg f

M



a) Điều kiện đê vật A không trượt (A cân bằng và dây chùng):

M

P

Q

B

r

A

Hình II.8

Khảo sát sự cân bằng của vật A:

Tự do hóa vật A:



- Viết các phương trình cân bằng:

.sin 0 1jx mstF F P .cos 0 2jy AF N P

- Giải hê (1), (2):

.sin 3mstF P

Hình II.8.1P

x

y

AN

mstF

A



Điều kiện để vật A không trượt:

Thay (3) và (4) vào 2 vế của (5), ta có:

.cos 4AN P

. 5mst msgh t AF F f N

.sin . .costP f P

6ttg f

Điều kiện để vật A trượt:

7ttg f

b1. Phân ch chuyển động của các vật rắn trong hệ:

b) Vì nên vật A trượt được trên mặt nghiêng.ttg f



Hình II.8.2

M

P

Q

B

r

A

B

BB

As

Av Aa



Ròng rọc B quay nhanh dần, theo chiều kim đồng hô quanhtâm B cô định.

Quan hệ động học:

Vật A tịnh ến thẳng, nhanh dần theo phương của mặtnghiêng và với chiều hướng xuống.

; ;A A AB B B

s v ar r r

b2. Động năng của hệ: hê A BT T T

2 2

22 2 2

2

12 2

1 1 1.2 2 2 4

AA A A

B AB B A

PT m v vg

vQ QT J r vg r g

Với:




212 2

hêA

QT P vg

msđA A FA PA

M

. .sinA AA P P h P s

. B AA sr

M

M M

cos . msđ msd A A A AA F F s f N s f P sđ đ

Với:

sin cos

AA P f sr

Mđ



b3. Áp dụng định lý biến thiên động năng:

1 0hê hêT T A

21 sin cos2 2

A AQP v P f s

g r M

đ

1 2 sin cos2 2

A A AQP v a P f v

g r M

đ

sin cos

2

A

P fra gQP

Mđ



b4. Khảo sát chuyển động của vật A:

sin cos

2

AB

P fa r gQr P r

Mđ

Ta có:

.msđ AF f N đ

Hình II.8.3P

x

yAN

msđF

A

AT

Aa



Dùng định lý chuyển động khối tâm cho vật A:

Chiếu (8) lên hai phương x, y

4

1. 8e

A A j A A msđj

m a F P N T F

. .sin

90 cos

A A msđA

A

m FTaN

PP

cos 10AN P

.sin .

sin cossin cos

2

A msđ A AT P F m a

P fP rP f P gQg P

đ

đ

M



sin cos

sin cos

2

A

P P frT P f QP

đ

đ

M

b5. Điều kiện đê dây căng:

sin cos2 11

2

A

QP frT QP

đM

0AT

sin cos 02Q f

r

đM

. sin cos2Q r f đM



Điều kiện để dây chùng:

. sin cos2Q r f M đ

Xác định lại và :Aa B

sin cosAa f g đ

2

2.B g

Q r

M



Bài tập 9. Cho cơ hê như hình vẽ:

a). Hệ có luôn cân bằng với mọi loại tải tác động hay không? Tại sao?b). Dùng nguyên lý di chuyển khả dĩ để xác định các thành phần phản lực tại ngàm A.

A B

q const

Hình II.9



Bài sửa

a. (Tự giải) Tính bậc tự do của hệ: Dofhệ

Số vật rắn: n=1 (thanh thẳng nằm ngang)

Tổng ràng buộc của các liên kết:

3lkR (ngàm phẳng)

Do đó bậc tự do của hệ:

33.1 3 0

lkhDof n R

Ë

Vì dofhệ ≤ 0 nên hệ luôn cân bằng với mọi loại tải tác động.



Xác định thành phần phản lực HA : Giải phóng liên kết đơn cản trở chuyển động tịnh ến thẳng

theo phương ngang:

b). Liên kết có một ràng buộc được gọi là liên kết đơn (ví dụ:khớp bản lê trượt, liên kết thanh). Liên kết ngàm phẳng có 3ràng buộc sẽ được xem là tương đương với 3 liên kết đơn.Đê xác định các thành phần phản lực của liên kết ngàm tagiải phóng lần lượt từng liên kết đơn và xem các thành phầnphản lực xuất hiện như là lực hoạt động bô sung.

A Bq

AH

xHình II.9.1



Tính tổng công khả dĩ:

Áp dụng nguyên lý di chuyển khả dĩ:

Xác định phản lực NA :

Giải phóng liên kết đơn cản trơ chuyển động tịnh ến thẳngtheo phương đứng.

Cho hệ một di chuyển khả dĩ . x

A A

A

A A A q H

H

AH

x

0 0AA H

Cho hệ một di chuyển khả dĩ . y





Hình II.9.2

A B

qAN

0y

.

A A

A

A A N A q N y ql y

N ql y

0 0 0A AA N ql N ql



Giải phóng liên kết đơn cản trở chuyển động quay quanh tâm A.

Xác định thành phần phản lực MA :

Cho hệ một di chuyển khả dĩ .

Hình II.9.3

AB

q

AM

x

. y x

dx




AA M AA q

Ta có:

A AA M M

0 0

2 2

0

. . . .

. .2 2

A q q dx y q dx x

x qq

2

2

AqA M




2 2

0 0 02 2

A A

q qA M M



Bài tập 10. Dùng nguyên lý di chuyển khả dĩ đê xác định cácthành phần phản lực sau:

Hình II.10.1

Hình II.10.2

AB

q P q

2 M q

2

Ca)

q

A C

M

Bb)




a). Xác định thành phần phản lực HA :

Giải phóng liên kết đơn cản trơ chuyển động tịnh ến theophương ngang:

Cho hệ di chuyển khả dĩ : x

( ) ( )

A AA q A P A MA A H A H

Hình II.10.3

AB

q P q

MC

x

AH



+ Áp dụng nguyên lý di chuyển khả dĩ:

- Xác định thành phần phản lực NB :

.A AA A H H x

0 0AA H

+ Cho hệ một di chuyển khả dĩ :

Hình II.10.4

A B

q P q

MC

BN

By Cy




Xác định thành phần phản lực NA :

Giải phóng liên kết đơn cản trơ chuyển động tịnh ến theophương đứng:

2

2

.(2 . ) 2 . .(3 . ) .

(2 2 ).

B

B

B

A A N A q A P A M

N q P MN q

20 2 2 0 BA N q

BN q



Hình II.10.5

A B

q P q

M

2

C

AN

du

u

y

Ay

Cy

Cho hệ một di chuyển khả dĩ :



Tổng công khả dĩ:

AA P AAA MNA q

2 Ay tg

2 . Ay

. .2 .

A A A AA N N y N

. y u

22 2 2

0 0 0

. . . . . .2

uA q y q du q u du q



Thế vào :

22 .

A q q

. Cy

2. . . .

CA P P y q q

2. . A M M q

2 2.2 . 2 . . 0 AA N q q M

2 AN q



b).

Xác định các thành phần phản lực HA : Giải phóng liên kết đơn cản trở chuyển động tịnh ến theo

phương ngang:

Hình II.10.6

q

A CM

BAH x

Cho hệ một di chuyển khả dĩ : x

Tổng công khả dĩ: .A AA A H A q H x



0 0AA H Giải phóng liên kết NA :

Hình II.10.7

Ay

AC

2

MB

x

dx

By

AV

Cho hệ 1 di chuyển khả dĩ :



Tổng công khả dĩ :

Ta có:

A AA VA A q M

. 0 y x y x

2

0 0 02

. . . . . .2

2

xA q y q dx q x x dx q

q

2. . AA M M q



Giải phóng liên kết VC :

2 . Ay

.

.2

A A A

A

A V V y

V

2 21.2 . 02

AA V q q

2 2112

2 4

A

q qV q



Hình II.10.8

q

A C

MB

udu

Cy

CV

By

2 u

.y u

2 2

. . . .

A q y q du u q du



22 2 2

2

4. . .2 2 2

32

uA q q q q

q

2. . A M M q

2 . Cy

.2 .

C C C

C

A V V y

V

CA A q A M A V



2

2 2

3 2 .2

3 .22

C

C

A q V

q q V

2 2352

2 4

C

q qV q



Bài tập 11. Cho một cơ hê gồm có hình lăng tru A ết diện tam giácvuông và ống trụ tròn, đồng chất, không đáy B. Vật A có khối lượngm1 tựa không ma sát trên mặt phẳng ngang cô định. Vật B có bánkính r, khối lượng m2 lăn không trượt trên mặt nghiêng của lăng tru A(hình chiếu đứng của trục ống trụ tròn là B). Lăng tru A chịu tác độngcủa lực F như hình vẽ. Cho biết: m1, m2, F, , r.a) Hãy phân ch chuyển động của các vật rắn trong hê. Xác định bậc

tư do của hê và chọn các tọa đô suy rộng cho hê.b) Viết biểu thức xác định vận tốc tuyệt đối của tâm B và nh đô lớn

của vector vận tốc tuyệt đối này.c) Xác định động năng cho toàn hê và các lực suy rộng tương ứng.d) Thiết lập hê phương trình vi phân chuyển động cho toàn hê. Cho

biết khả năng của mình có giải được hê phương trình vi phân nàykhông? Nếu giải được hãy xác định gia tốc của lăng tru A và giatốc góc của ống trụ B.



a) Phân ch chuyển động của các vật rắn trong hệ

Vật lăn tru A có chuyển động tịnh ến thẳng theo phươngngang.

Hình II.11.1

x

A

F

r

BIv

2P

1P

N I

B

Đường trung tuyến



Ống trụ tròn B thực hiện đồng thời 2 chuyển động: tịnh ếncùng với lăng tru A và lăn không trượt trên mặt nghiêng củalăng tru A. Chuyển động tổng hợp của ống trụ tròn B làchuyển động song phẳng với tâm vận tốc tức thời không phải là điểm ếp xúc I.

Bậc tự do của hệ:

Hai tọa độ suy rộng của hệ được chọn là:

b). Phân ch chuyển động phức hợp của tâm B:

2hDof Ë

Vì ta cần dùng 2 thông số độc lập và mới xác định được vị trí của toàn hệ.

x

1 2,q x q

Chuyển động kéo theo: tịnh ến cùng lăng trụ A.



Chuyển động tương đối: lăn không trượt trên mặt nghiêngcủa lăng tru A (tâm quay tức thời là điểm I).

Dùng định lý hợp vận tốc của điểm:

Be

Ba

Brv vv

Tính đô lớn vector vận tốctuyệt đối điểm B:

Hình II.11.2

BIv

I

BAav

Bav

(khi tổng 2 góc bằng thi cosgóc này bằng - cos góc kia).

*

B B

B B AB A BIa a

r

a aI

ev vv v

v vv

v

Với:



c). Động năng hệ:

Ah Bê TT T

Công thức lượng trong tam giác thường:

2 2 2

2 2

2 cos

2 cos

B A BI A BIa a a

A BI A BIa a

v v v v v

v v v v

Mà: ; . . A BIav x v r r

2 2 2 2. 2 .cos . .Bav x r r x



2 21 1

1 1. .2 2

A AaT m v m xVới:

2 22

1 1 .2 2

B Ba BT m v J

Ta có: 22. ;BJ m r

2 2 2 2 22 2

2 2 22

1 12 cos . . .2 21 2 . 2 cos . .2

BT m x r r x m r

m x r r x

2 2 21 2 2 2

1 . . . . .cos . .2

hêT m m x m r m r x




Xác định lực suy rộng :1 xQ Q

Hình II.11.3

A

F

0

rBIv

2P

1P

N

I

2C B

0 x

Aav

1 20 ; 0q x q (đĩa không quay nên toàn hê là một vật duy nhất: m = m1 +m2)!




1 2A PA AN

A F

A P A F

. A F x

(P1, P2 không thay đổi đô cao; phương N vuông góc phươngchuyển động).

1 x

AQ Q F

x

Xác định lực suy rộng :2Q Q





Hình II.11.4

B

I

Bs

Bh1

2

0 ;0

q xq

.sin

. .sin

B Bh s

r

21

2 2.

B

A P A NA A P

m

A

P g

F

A h



d) Dùng phương trình Lagrange 2:

2

2

.. . .sin .

BA m g h

m g r

2 2 . .sinA

Q Q m g r

, 1, 2ii i

d T T Q idt q q

1

0

T Tq x



Đây là hê phương trình vi phân cấp 2 cực kỳ dê giải. Cách giảiđược trình bày chi ết:

1 2 21

. .cosd T d T m m x m rdt q dt x

2

0T Tq

22 2

2

. .cos 2

d T d T m r x m rdt q dt

1 2 2

22 2 2

. .cos

. .cos 2 . .sin

m m x m r F

m r x m r m g r



Đặt 1 2;X x X

Nghiệm:

2

11 2 2

22

1 2

2

1

2

22 2

. .cos.sin 2

. .coscos 22 . . .sin .cos2 .c

12 sin 22

2 co

os

s

F m rg r

X xm m m r

rr F m g rr m m m

F mc

r

g

m m monst



1 2

21 2 2

1 2

21 2 2

.sin .cos2

cos .sin. .

cos

coscos 2

m m Fg

X

m m g Fm m m

m m

c

m

r

rr

onst



Bài tập 12. Cho một đĩa có dạng hình quạt đồng chất, đặc, dàyđiều, bán kính R, góc chắn ở tâm là 2 ,đứng yên ở thời điểm đầu với góc nghiêng là 0 (góc hợp bởi phương thẳng đứng va trục đối xứng của đĩa) có khối lượng m. Đĩa tựa không ma sátvới mặt phẳng ngang cô định.

a) Phân ch chuyển động của đĩa va tâm O đĩab) Xác định vị trí của khối tâm C đĩa.c) Xác định phương trình quỹ đạo của khối tâm C đĩa nếu

chọn hê trục tọa đô như hình ve:d) Tính động năng của đĩa va tổng công các tải tác động

lên đĩa.e) Tìm vận tốc góc của đĩa và gia tốc góc của đĩa.

xy



0C

O

c

u

tR

N 0

P

2

x

y

I

Hình II.12

0Cho: , , ,m R



Bài sửa

a) Phân ch chuyển động của đĩa:

Đĩa chuyển động song phẳng trong mặt phẳng hình vẽ với tâm vận tốc tức thời không phải là điểm ếp xúc I.

Phân ch chuyển động của tâm O đĩa:

b). Do đĩa hình quạt có một trục đối xứng nên khối tâm C của đĩa sẽ nằm trên trục đối xứng này.

Tâm O đĩa chuyển động thẳng với quỹ đạo là đường thẳng song song đoạn thẳng cố định và cách đường thẳng cố định một đoạn bằng bán kính của đĩa. Do đó, vận tốc và gia tốc của tâm O nằm trên đường thẳng này.

O

0 0 0 0;

v



Khảo sát một diện ch vi phân k thuộc đĩa như hình vẽ:

Dựng hệ trục tọa độ vuông góc mới gắn liền với đĩa sao cho trục trùng trục đối xứng của đĩa.

Outu

0ct

O

r

dr

kdA

K

ku u

d

Hình II.12.1



Gọi: A là khối lượng riêng đĩa.

là diện ch đĩa.

Ta có: 2 :A R rad

2 ;m mA R

.cosku r

.kdA dr r d

2k kmm dA dr rdR

(vật phẳng (kg/m2); vật dày (kg/m3)

(uk: tọa độ u của điểm K).

(mk: khối lượng của diện ch dAk ).



Áp dụng công thức định nghĩa của khối tâm:

212

1 cos . .k k

kc

A

m umu r dr d

m m R

22

0

3

20

3

2

1 cos .

1 sin3

1 2sin3

R

c

R

u r dr dR

rR

RR



c). Khảo sát chuyển động của đĩa:

2 sin3cRu

Dùng định lý chuyển động khối tâm:

Hệ ngoại lực tác động lên đĩa :,P N

2

11e

c jj

ma F P N

2. 0 0c cm x x m s


0 ;c cx const x m s (vận tốc lúc đầu bằng 0)



d). Động năng đĩa: (đĩa là hình tròn đặc đồng chất).

0c cx const x m

Vậy phương trình chuyển động của khối tâm C là: 0 ;cx đường thẳng ; c y ; .c cv y a y

2 21 1 .2 2c cT mv J

Ta có: ( là góc hợp bởi trục u và trục Oy).:

2 20 0 .c cJ J m OC J mu

Theo định nghĩa:

2 20 2

1. . .k

k A

mJ m OK r dr d rR



30 2

0

4

20

4

2

4

24

R

R

mJ r dr dR

m rR

m RR

20

12

J mR (giống công thức hình quạt)

22

2c cRJ m u



A A P A N

Tâm vận tốc tức thời của đĩa: P


P C

0v

u

yO

cv

Hình II.12.2

.sinsinc

PC OCu

Do đó:

. .sin .c cv PC u

2 2 2 2 2

2 2 2 2

1 1sin .2 41 1sin2 2

c

c

T m u mR

m u R



0A N

Với: 0

. cA P P h

mg HC HC

Hình II.12.3

PC

0y

O

0C

0O H

0

ch



0 0 0

0

.cos .cos

. cos cosc

A P mg OC O C

mg u

e) Dùng định lý biến thiên động năng:

1 0hê hêT T A

2 2 2 20 21 1sin . cos cos ;

2 2c cm u R mg u

Vận tốc góc của đĩa:

0

2 2 2

2 . cos cos1sin2

3c

c

g u

u R



Gia tốc góc của đĩa:

Đạo hàm 2 vế (2) theo thời gian t:

2 2 2 2 21 1 1sin cos . sin .2

. sin .

222

2c c

c

u u R

g u

2

2 2 2

sin cos .1sin2

c c

c

u u g

u R



Bài tập 13. (Chưa sửa).Cho một thanh thẳng mảnh, đồng chất, ết diện điều, khối

lượng m và chiều dài 2 tựa không ma sát trên mặt phẳngngang cô định. Ban đầu thanh đứng yên với góc nghiêng 0.

a. Hãy phân ch chuyển động của thanh AB. Tìmphương trình quỹ đạo của điểm A, của khối tâm C và

điểm B.b. Tính động năng của thanh va tổng công các tải tác

động lên thanh.c. Xác định vận tốc góc của thanh va gia tốc góc của

nó.



A

B

0

0C

Hình II.13

0: , 2 ,mCho



Bài tập 14.

Cho cơ hê như hình vẽ (Hình II.14).

A

B

2r

1r

1O

2O

2P

1P

M

Hình II.14

Cho r1, r2, P1, P2, .Dây có các nh chất sau đây:mềm, nhe, không giãn, khôngtrượt trên các vật và luôn căng.Bỏ qua ma sát tại khớp bản lê O1và xem nhánh dây AB luôn cóphương thẳng đứng. Ròng rọc O1 là đĩa tròn đặc, đồng chất và ròngrọc O2 là vành tròn đồng chất.a. Xác định bậc tư do của hê.

Chọn các hê tọa đô suy rộngcho hê.

constM



b. Phân ch chuyển động cho các vật rắn trong hệ. Phân ch

chuyển động phức hợp của tâm O2. Viết biểu thức nh vận

tốc tuyệt đối cho điểm này.

c. Tính động năng cho toàn hệ.

d. Xác định các lực suy rộng tương ứng với các tọa độ suy rộng

đã chọn.

e. Thiết lập hệ phương trình vi phân chuyển động cho hệ. Cho

biết khả năng có thể giải hệ phương trình này không? Tại sao?



Bài sửa

a.Dofhệ = +2

Chọn 2 tọa đôsuy rộng:

q1 1; q2 2

A

B

2r

1r

1O

2Oy

2P

1P

1

M

2

Hình II.14.1



b. Phân ch chuyển động các vật. Ròng rọc O1:

Chuyển động quay quanh tâm O1 cố định.

Ròng rọc O2:

Chuyển động song phẳng với tâm vận tốc tức thời không phải là

điểm ếp xúc A.

Phân ch chuyển động phức hợp của tâm O2.

Chuyển động kéo theo:

Tịnh ến thẳng đứng cùng với dây.

Chuyển động tương đối:Quay quanh tâm vận tốc tức thời A đối với dây.



Viết biểu thức nh: (Hình II.14.2)

2 2 2O O Oa e rv v v

A

B

2r

1r

1O

2Oy

2P

1P

1

Bav

Aav

M

22O

rv

Hình II.14.2



2

2

2

2 2

2 2

2

1 1 1 1

2

2 2 2 2

. .

.

OeO A

e a O A Be a a

O Or rO O A

r Or

v yv v

v v v r r

v AO hay v yv v

v r r

Vôùi :

2 2 2 21 1 2 2

2

. .

ve

O O O Oa a e r

ctor

v v v v r rchæ khi

c.Động năng toàn hệ:

1 2O OT T T heä



1

2

2 211 1 1

2 222 2 2

12 2

. .

O

O

PJ m r rg

PJ m r rg

Ta coù :

11

2 2 211 1 1

1 . . .2 4

OO

PJ rg

Vôùi : T

2 22

2 22 2

2 2 22 21 1 2 2 2 2

1 1 .2 21 1. . . .2 2

O Oa OT m v J

P Pr r rg g

2 2 2 2 22 2 21 1 1 2 1 2 2 2. . . . . . . .

2O P P PT r r r r

g g g



2 2 2 21 2 22 1 1 1 2 1 2 2 2

1 . . . . . . . .2 2

P P PT P r r r rg g g

heä

d.Nhận xét:

Hệ sẽ có 2 lực suy rộng Q1, Q2 ứng với 2 tọa độ suy rộng đã chọn.

Xác định lực suy rộng Q1:

Chọn 1 di chuyển khả dĩ đặc biệt cho hệ.

1 20 ; 0



21 1 2 2

1 21 2

1 1

: . .

.

.

OaTa có v r r

r rdt dt

r


2A A A P

M

21 2. . OA P s M

22 11.

OOa

sà: r

dt dt

M v



2 1 1.Os r

2 1 1. .A P r Vaäy : M

Lực suy rộng Q1:

1 2 11

.A

Q P r

M

Tính lực suy rộng Q2:

Chọn một di chuyển khả dĩ dặc biệt cho hệ:

1 20 ; 0



21 1 2 2

1 2 21 2 2

: . .

. . .

OaTa có v r r

r r rdt dt dt

22 OOa

sv

dt

Maø :

2 2 2.Os r


2

2

2 2 2 2. . .O

A A P

P s P r



Lực suy rộng Q2:

2 2 22

.A

Q P r

1 2 1

2 2 2

..

P rQ P r

Vaäy : Q M

e.

Dùng phương trình Lagrange 2 (đối với hê khi mất cân bằng):

, 1, 2ii i

d T T Q idt q q



21 22 1 1 1 2 2

1 1

1 . . . . .2

A B

d T T P PP r r rq g g

ddt dt

.. ..

1 1

0T Tq

(Vì Thê không phu thuộc 1).

22 21 2 1 2 2

2 2

2. . . . .

B C

T T Pd d Pr r rqt d g gd t

.. ..

2 2

0T Tq

(Vì Thê không phu thuộc 2).



212 1

21 2

222

12

. .

2. .

PA P r constgPB r r constg

PC r constg

Ñaët :

1 2 2 1

1 2 2 2

. . .. . .

A B r DB C P r E

P

M+

1 1 2 2; X Ñaët : X

1 2

1 2

. .. .

A X B X DB X C X E

Thay các kết quả vào phương trình Lagrange 2, ta có:



1 2

2

1

2 2

. ... ..

X const

X cons

CD BEA C BA E BDA C B

t

(ròng rọc 1 quay nhanh dần đều)

(ròng rọc 2 quay nhanh dần đều)



Bài tập 15.

Cho một cơ hê như hình vẽ (Hình II.15).

Hình II.15

A

C

BP

Q

Ir



A là đĩa tròn đặc, đồng chất có bán kính r và trọng lượng Q. AB làthanh thẳng, mảnh, đồng chất, ết diện đều, dài , trọng lượngP. Cho r, , P, Q, , đĩa A lăn không trượt trên mặtphẳng ngang cô định.Bỏ qua ma sát lăn của đĩa và ma sát tại khớp bản lê A.a. Xác định bậc tư do cho hê và các tọa đô suy rộng cho hê.b. Phân tích chuyển động của các vật rắn trong hê. Phân ch

chuyển động phức hợp của khối tâm C thuộc thanh AB. Viếtbiểu thức nh vector vận tốc tuyệt đối cho điểm C này.

c. Tính động năng cho toàn hê.d. Xác định các lực suy rộng tương ứng với các tọa đô suy rộng

đã chọn cho hê.

constM



e. Thiết lập hê phương trình vi phân chuyển động cho toàn hê.

Bài sửa

a.

Dofhê = 2 (đê biết chuyển động của hê cần phải biết chuyển động

của 2 vật hoặc nếu ta giữ cô định cả 2 vật thi hê mới đứng yên

được)

b.

Phân ch chuyển động của các vật rắn trong hê:

(Hình II.15.1)

Chọn 2 tọa đô suy rộng: q1 1; q2 2



Hình II.15.1

A

C

BP

Q

Ir

M

2

1

x

AAav

Cev

Cav

Crv



Thanh thẳng AB:

Chuyển động song phẳng trong mặt phẳng chứa vật với TVTTT là

điểm chưa xác định.

Chuyển động song phẳng trong mặt phẳng chứa vật với tâm vận

tốc tức thời (TVTTT) là điểm ếp xúc I.

Phân ch chuyển động phức hợp của khối tâm C của thanh

AB. Chuyển động kéo theo : tịnh ến cùng với tâm A.

Quỹ đạo tâm A là đường thẳng . AA a Av

Đĩa tròn A:Copyright By Focebk.com


Chuyển động tương đối: quay quanh tâm A.

Viết biểu thức nh:

c. Động năng toàn hệ:

C C Ca e rv v v

2 2 2

2

22

1 2 2 1 2

2 cos

. . . .cos . .2

C A C A Ca a r a rv v v v v

r r

A ABT T T heä

C CArv v AC

Do đó:

C Ae av v

Do đó:Copyright By Focebk.com


2 21 1 .2 2

A AA a A AT m v J Vôùi :

1

2 2

1

; . .

1 . .2 2

AA a

A A

A

Ta Qm v rg

QJ m r rg

coù :

2 2 2 21 1

2 21

. .2 43 .4

A Q QT r rg gQrg



2 21 1 .2 2

AB CAB a C ABT m v J

2

2 2

;

1 . .12 12

AB AB

C AB

Ta Pmg

PJ mg

coù :

2 2 2 21 2 2 1 2. . . .cos . .

2 6 2AB P P PT r r

g g g

2 2 2 21 2 2 1 2

1 3 . . . .cos . .2 2 6 2

P PT P Q r rg g g

heäVaäy :

d.

Tính lực suy rộng Q1 ứng với tọa độ suy rộng q1 1 .



Cho hê một di chuyển kha di đặc biệt: 1 > 0 ; 2 = 0


1

A A

M

M.

11

AQ

M

Tính lực suy rộng Q1 ứng với tọa độ suy rộng q2 2 .

Cho hệ một di chuyển khả dĩ đặc biệt: 1 = 0 ; 2 > 0.



2 2. sin2CA A P P h P

2 22

.sin2

AQ P

1

2 2.sin2

Q

Q P

Vaäy :

M

2

0C2

C

A

2

Ch

P

Hình II.15.2

Tổng công khả dĩ của các tải tác động:(Hình II.15.2)Copyright By Focebk.com


e.

Phương trình Lagrange 2:

11 1

d T T Qdt

22 2

d T T Qdt

21 2 2

1

1 2 . . .cos .3 2

T PP Q r rg g

Vôùi :

2 21 2 2 2 2

1

1 2 . . . . sin . cos .3 2

d T PP Q r rdt g g



1

0T

22 2 1

2

. . . cos .3 2

T P P rg g

22 2 1 2 2 1

2

. . sin . . cos .3 2

d T P P rdt g g

2 1 22

. .sin . .2

T P rg



2 21 2 2 2 2

1 3 . . .cos . . . sin .2 2 2

P PP Q r r rg g g

Vaäy : M

22 1 2 2. .cos . . .sin

2 3 2P Pr Pg g



Bài tập 16. Cho

a. Xác định bậc tư do cho hê và chọn tọa đô suy rộng cho hê.

b. Phân ch chuyển động của các vật rắn trong hê. Xác định vận

tốc góc của ròng rọc kép 3 va vận tốc tuyệt đối của vật A.

c. Tính động năng cho toàn hê.

d. Xác định các lực suy rộng cho hê.

e. Viết hê phương trình vi phân chuyển động cho hê. Giải hê

phương trình này.

1 2 31 2 3 1 2 2 1 3 3, , , , , , , , , 2 2 2 .A O O Om m m m J J J R r R r r M M



Các nhánh dây trong hê có

các nh chất: mềm, nhe,

không giãn, không trượt

trên các vật và luôn căng. Bỏ

qua ma sát ở các khớp bản

lê. (Hình II.16)

Hình II.16

1O1r

3R

3r

2R

2O

3O

A

1M

B D

EC

2MCopyright By Focebk.com


Bài sửa

a. Dofhê = +2. vì ta cần dùng 2 thông sô độc lập 1 va 2 mới xác

định được vị trí của toàn hê.

Chọn 2 tọa đô suy rộng q1 1 ; q2 2

b.

Phân ch chuyển động các vật:

Ròng rọc 1: quay quanh tâm O1 cô định.

Ròng rọc 2: quay quanh tâm O2 cố định.

Ròng rọc kép 3: chuyển động song phẳng.

Vật A tịnh tiến thẳng đứng.



Hình II.16.1

1O1r

3R

3r

2R

2O

3O

A

1M

21 Dav

Eav

Cav

Bav

B D

EC

2MCopyright By Focebk.com


Xác định 3:

Ta có: C Ba aE Da a

v v

v v

1 1 1

2 2 2

. .

. 2 .

BaDa

v r r

v R r

Maø :

Xác định tâm vận tốc tức thời ròng rọc 3:

(Hình II.16.2)



Vận tốc góc của ròng rọc 3:

1 23 1 2

. 2 . 1 23 3

C E C Ea a a av v v v r r

PC PE PC PE r

Xác định vận tốc vật A:

Hình II.16.2

3O

Eav

Cav

ECP

3Oav



Vận tốc tâm O3:3

3 3.Oav PO

1 1

3 1 21 2

. 3 .1 223

Cav r r

Ta coù : PC =

1 213 3

1 2 1 2

232 2

PO PC O C r r r

31 2

2 .3

Oav r Vaäy :

Do dây không giãn nên:



3

3

3 1 2

1 2

1 23

23

OAa a

OAa a

v v

v v r

c.

Tính động năng hệ:

1 2 3 AT T T T T heä

1 1

1 2 21 1

1 1 .2 2O OT J J Vôùi :



2 2

2 2 22 2

1 1. .2 2O OT J J

33

3

3 3 3

23 23 3

2 2 2 2 23 1 2 1 2 1 2 1 2

2 2 2 2 23 1 3 2 3 1 2

1 1 .2 21 4 1 12 . . 4. 4 .2 9 2 91 2 24 . . . 2. . . .18 9 9

Oa O

O

O O O

T m v J

m r J

m r J m r J J m r

2 2 2 21 2 1 2

2 2 2 2 21 2 1 2

1 1 4. 2 .2 2 9

2 2 4. . . . . . .9 9 9

A AA a A

A A A

T m v m r

m r m r m r



1 3

3

3

2

2 2

21

22

2

1

23

22

3

3

1 4 4 4 .2

1 4 1 4. .2 9

9

2 2

9 9

9

9

9

.

O O A

O O

O A

A

C

B

A

J m r J

J m m r

J m m r

m

JT r

r

heä

d.


Cho hệ một di chuyển khả dĩ đặc biệt: 1 > 0 ; 2 = 0

Tính A : 1 3 AA A A P A P

M



1 3 12 .3 AA gr m m

M

3

1 1 1

3 3 3 3

.

. . . O

A

P P h m g s

Vôùi : M M

33 1 21 2

2 23 3

OOa

sv r r

dt dt dt

Ta coù :

3

3 3 1

1

2 . . .3

2. . . . . .3A A A A O A

A P m gr

A P P s m g s m gr

Do ñoù :

3 1 2 1

2 2 .3 3Os r r



1 1 31

2 .3 A

AQ m m gr

M


Cho hê một di chuyển khả dĩ đặc biệt: 1 = 0 ; 2 >0

Tính A :

2 3 AA A A P A P

M

3

2 2 2

3 3 3 3

.

. . . O

A

A P P h m g s

Vôùi : M M



33 1 21 2

2 23 3

OOa

sv r r

dt dt dt

Ta coù :

3 1 2 2

2 2 .3 3Os r r

3

3 3 2

2

2 . .3

2. . . . . .3A A A A O A

A P m gr

A P P s m g s m gr

Do ñoù :

2 2 32

2 .3 A

AQ m m gr

M

2 3 22 .3 AA gr m m

M



e. Viết hê phương trình vi phân cho hê bằng cách dùng phương

trình Lagrange 2:

1 21

2 . Cd Tdt

A

1 22

2T Cddt

B

1 2

0T T

1 2 1 3

1 2 2 3

22 .32. 2 . .3

A

A

m m gr

m mB

A C

grC

Vaäy :

M

M

, 1,2ii i

d T T Q idt



Documents

CƠ HỌC LÝ THUYẾT TRƯỜNG ĐẠI HỌC BÁCH KHOA TP. HỒ CHÍ MINH