Campo Electrosttico y Corrientes El©ctricas Estacionarias

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Contenido 1.Campo Electrosttico y Corrientes Elctricas Estacionarias ..................................................... 4 1.1.Ley de Coulomb e intensidad de campo .......................................................................... 4 1.1.1.Ley de Coulomb....................................................................................................... 4 1.1.2.Intensidad de campo elctrico ................................................................................. 7 1.1.3.Ejemplo 1.1 ............................................................................................................. 8 1.1.4.Ejemplo 1.2. ............................................................................................................ 9 1.2.Ley de Gauss ................................................................................................................. 11 1.2.1.Aplicaciones de la ley de gauss .............................................................................. 13 1.2.1.1.Carga puntual ................................................................................................ 13 1.2.1.2.Carga de lnea infinita .................................................................................... 14 1.2.1.3.Lmina infinita de carga ................................................................................. 15 1.2.1.4.Esfera con carga uniforme ............................................................................. 16 1.2.2.Ejemplo 1.3 ........................................................................................................... 18 1.3.Potencial elctrico ........................................................................................................ 20 1.4.Ecuacin de Poisson y Laplace (Problemas con Valores en la Frontera en Coordenadas Cartesianas, Cilndricas y Esfricas). .......................................................................................... 24 1.4.1.Ecuaciones de Poisson y de Laplace ....................................................................... 24 1.4.2.Teorema de unicidad. ............................................................................................ 26 1.4.3.Procedimiento general para resolver la ecuacin de Poisson o de Laplace ............. 29 1.4.4.Ejemplo 1.4 ........................................................................................................... 30 1.5.Densidad de corriente, Ecuacin de Continuidad, Condiciones de Frontera, Ley de corriente de Kirchhoff, Ley de Joule .......................................................................................... 41 1.5.1.Densidad de corriente ........................................................................................... 41 1.5.2.Ecuacin de continuidad. ...................................................................................... 44 1.5.3.Condiciones de frontera. ....................................................................................... 46 1.5.3.1.Condiciones en la frontera dielctrico dielctrico. ....................................... 47 1.5.3.2.Condiciones en la frontera conductor dielctrico. ....................................... 50 1.5.3.3.Condiciones en la frontera conductor vaco. ............................................... 52 ndice de figuras Figura 1.1 Fuerza vectorial de Coulomb sobre las cargas puntuales Q1 yQ2...................................... 6 Figura 1.2(a), (b) Cargas iguales se repelen; (c) cargas distintas se atraen. ...................................... 6 Figura 1.3 Partculas cargadas suspendidas: para el ejemplo 1.2. .................................................. 10 Figura 1.4Ley de Gauss; el flujo que sale dees de 5nC,y el que sale de de 0C ................... 12 Figura 1.5 Superficie gaussiana alrededor de una carga puntual. .................................................. 13 Figura 1.6 Superficie gaussiana alrededor de unacarga de lnea infinita. ..................................... 14 Figura 1.7 Superficie gaussiana alrededor de una lmina infinita de carga lineal. .......................... 15 Figura 1.8 Superficie gaussiana para unaesfera uniformemente cargada. ................................... 17 Figura 1.9 Diagrama decontra r, en el caso de una esfera con carga uniforme ....................... 17 Figura 1.10 Desplazamiento de una carga..................................................................................... 21 Figura 1.11 Potencial V( x ,y) debido aun tanque conductor rectangular. ................................... 30 Figura 1.12 Diagrama del cosh x y el senh x que demuestra que senh x = 0 si y slo si x = 0. ......... 34 Figura 1.13 Diagrama del sen x que demuestra que sen x= 0en un nmero infinito de puntos .... 36 Figura 1.14 Para el ejemplo 1.4: (a) clculo de V(x, y) en algunos puntos;(b) diagrama de flujo y lneas equipotenciales .................................................................................................................. 40 Figura 1.15Corriente en un filamento ......................................................................................... 42 Figura 1.16 Frontera dielctrico dielctrico. ............................................................................... 48 Figura 1.17 Refraccin de D o E en una frontera dielctrico - dielctrico ....................................... 49 Figura 1.18 Frontera conductor dielctrico. ............................................................................... 50 Figura 1.19 Frontera conductor vacio. ....................................................................................... 52 1.Campo Electrosttico y Corrientes Elctricas Estacionarias 1.1.Ley de Coulomb e intensidad de campo 1.1.1.Ley de Coulomb LaleydeCoulombVersasobrelafuerzaqueunacargapuntualejerceenotracarga puntualPorcargapuntualseentiendeunacargalocalizadaenuncuerpocuyas dimensionessonmuchomenoresquelasdemsdimensionespertinentes.Estacargase mideporlogeneralencoulomb(C).Uncoulombequivaleaproximadamentea6x1018 electrones:setrata,as,deunaunidaddecargamuygrande,puestoquelacargadeun electrn e = - 1.6019 x 10- 19 C. La ley de Coulomb establece que la fuerza F entre dos cargas puntuales Q1 y Q2 es: 1. De direccin igual a la de la lnea que las une. 2, Directamente proporcional al producto Q1Q2de las cargas. 3. Inversamente proporcional al cuadrado de la distancia R entre ellas. Expresado matemticamente. (1.1) dondekeslaconstantedeproporcionalidad.Enunidadesdelsistemainternacional(SI), lascargasQ1yQ2estnenCoulomb(C),ladistanciaRenmetros(m)ylafuerzaFen Newtons(N),demaneraque Laconstanteseconocecomopermitividad del vaco (en farads por metro) y posee el valor (1.2) O bien (1.3) As la ecuacin (1.1) se convierte en (1.4) SilascargaspuntualesQ1yQ2selocalizanenpuntosconvectoresdeposicinr1yr2, entonces la fuerza F 12 sobreQ2 debida a Q1la cual se muestra enla figura1.1 est dada por (1.5) donde (1.6a) (1.6b) (1.6c) Al sustituir la ecuacin (1.6c) en la ecuacin (1.5), podemos expresar la ecuacin como (1.7a) O bien (1.7b) Cabe sealar lo siguiente 1.Como se observa en la figura 1.1 la fuerza F12 sobre Q1 debida a Q2 est dada por (1.8a) (1.8b) Figura 1.1 Fuerza vectorial de Coulomb sobre las cargas puntuales Q1 yQ2. 2.Cargasiguales(delmismosigno)serepelen,mientrasquecargasdistintasseatraen. Esto se lustra en la figura 1.2. Figura 1.2(a), (b) Cargas iguales se repelen; (c) cargas distintas se atraen. 3.La distancia R entre los cuerpos cargados Q1 y Q2 debe ser grande en comparacin conlasdimensioneslinealesdeloscuerpos;estoes.Q1yQ2debensercargas puntuales. 4.Q1 y Q2 deben ser estticas (hallarse en reposo). 5.Los signos de Q1 y Q2 deben tenerse en cuenta en la ecuacin (1.5). Sisetienenmsdedoscargaspuntuales,esposibleusarelprincipiodesuperposicin paradeterminarlafuerzasobreunacargaparticular.Esteprincipioestablecequesi,N cargas Q1, Q2,..., QN se ubican respectivamente en puntos con vectores de posicin r1, r2,.., rN, la fuerza resultante F sobre una carga Q localizada en el punto r es la suma vectorial de las fuerzas ejercidas sobre Q por cada una de las cargas Q1, Q2,..., QN .En consecuencia: (1.9a) o (1.9b) 1.1.2.Intensidad de campo elctrico La intensidad de campo elctrico E es la fuerza por unidad de carga en el campo elctrico. As, lim (1.10) o simplemente (1.11) La intensidad de campo elctrico E es, obviamente, de direccin igual a la de la fuerza F y se mide en newtons/coulomb o volts/metro. La intensidad de campo elctrico en el punto r debida a una carga puntual localizada en r se obtiene fcilmente de las ecuaciones (1.7) y (1.11), de la manera siguiente (1.12) EnelcasodeNcargaspuntualesQ1,Q2,...,QN, localizadasenr1,r2,..,rN,laintensidadde campo elctrico en el punto r se obtiene de las ecuaciones (1.9) y (1.11) en esta forma (1.13) o (1.14) 1.1.3.Ejemplo 1.1 Cargas puntuales de 1 mC y - 2 mC se localizan en (3. 2. - 1) Y (-1, -1, 4), respectivamente. Calculelafuerzaelctricasobreunacargade10nClocalizadaen(0,3,1)ylaintensidad de campo elctrico en ese punto. Solucin: En ese punto, 1.1.4.Ejemplo 1.2. DoscargaspuntualesdeigualmasamycargaQestnsuspendidasenunpuntocomn pordoshilosdemasadespreciableylongitud.Demuestreque,enequilibrio,elngulo de inclinacin a de cada hilo respecto de la vertical est dado por sin tan Si es nfimo, demuestre que Solucin: Considere el sistema de cargas que aparece en la figura 1.3, donde Fe es la fuerza elctrica o de coulomb. T la tensin en cada hilo y mg el peso de cada carga. En A o B sin s Por tanto, sin s Pero sin As, s sin o sin tan como se solicit. Cuando es nfimo tan sin Figura 1.3 Partculas cargadas suspendidas: para el ejemplo 1.2. de manera que o 1.2.Ley de Gauss La ley de Gauss es una de las leyes fundamentales del electromagnetismo. LaleydeGaussestablecequeelflujoelctricototalatravsdecualquiersuperficie cerrada es igual a la c