Corrientes estacionarias Ley de Ohm.

Campos y Ondas

FACULTAD DE INGENIERÍAFACULTAD DE INGENIERÍAUNIVERSIDAD NACIONAL DE LA PLATA ARGENTINA

CAMPOS Y ONDAS

• En electrostática las cargas son estacionarias.• Si las cargas se mueven a velocidad constante, se

fl j d d i d i t genera un flujo de cargas denominado corriente estacionaria.

• Vamos a considerar corrientes que varían muy q ylentamente en el tiempo y pueden asumirse solo dependientes del campo eléctrico, despreciándose el efecto de campo magnético.efecto de campo magnético.

• Las corrientes se genera en los materiales que tiene portadores que pueden moverse con libertad.

• Se define corriente:

I J ds

CAMPOS Y ONDAS

S

I J.ds

La conservación de la carga, ecuación de continuidad.

• J es un vector que indica la densidad de corriente dentro de un medio.

• La velocidad a la cual la carga deja un volumen V, La velocidad a la cual la carga deja un volumen V, cuyo límite es la superficie S está dado por:

q J ds

q d J d

S

qt

J.ds

v S

q dvt t

J.ds

•Principio de Conservación de la carga v

Por teorema Gauss

p g

dv J.ds

v vt

J

0t

J•Ecuación de continuidad

CAMPOS Y ONDAS

t

Corrientes estacionarias

• Definición de corriente eléctrica estacionaria.Corriente eléctrica que se produce en un conductor de forma que la densidad de carga de cada punto del conductor es constante, es decir que se cumple que

Por tanto para las corrientes estacionarias la ecuación de

0t

0

t

J

Por tanto, para las corrientes estacionarias, la ecuación de continuidad toma la forma que es una definición de corriente estacionaria equivalente a l i

0 Jla primera.Las dos anteriores propiedades equivalen a decir que la carga de cualquier volumen del conductor no varía o, t bié l tid d d d id d d también, que la cantidad de carga que en cada unidad de tiempo entra en un volumen del conductor sale de él. Esto debe ser así si la carga en su interior ha de permanecer constante

CAMPOS Y ONDAS

constante.

La corriente es llamada estacionaria si no hay acumulación de carga en ningún punto

0 J

Primera Ley de Kirchoffy

. 0I dv J J.ds. 0V S

I dv J J.ds

0I

CAMPOS Y ONDAS

Corrientes de Conducción

• Las corrientes de conducción que • Las corrientes de conducción que estudiaremos se dan sin movimiento de masas, a diferencia de las corrientes de convección que se dan en gases o convección que se dan en gases o fluídos con movimientos de iones con masa (descargas de rayos). El medio No resulta neutroL i t d d ió • Las corrientes de conducción se establecen en los materiales “conductores” que resultan neutros. – Se desplazan los electrones de

valencia. – Los iones pesados se

encuentran fijos encuentran fijos – En condiciones de estado

estacionario, los electrones entran al metal por un punto y

l t d i d salen por otro produciendo una corriente pero el material resulta ELECTRICAMENTE NEUTRO 0Q Para cualquier instante

CAMPOS Y ONDAS

0Q q

Ley de Ohm microscópica

• Al aplicar un campo eléctrico en un medio conductor los electrones son acelerados y se detienen en los h l i ( ) d ibi d i choques con los iones (+), describiendo un camino

errático con una velocidad promedio v, la cual resulta proporcional al campo.

• Se tiene que

J ELey de Ohm microscópica

• es la conductividad del medio expresada en [Siemens/m], [moh/m]. En los casos de los conductores esta es constante En los casos de los conductores esta es constante en un amplio rango, el material resulta lineal, homogéneo e isotrópico, excepto en cristales (t )

CAMPOS Y ONDAS

(tensor).

Ley de Ohm microscópica

ó ó• Esta expresión es de aplicación solo a los materiales conductores. Es una característica fenomenológica y no es de aplicación universal.p

í• La energía se consume a una velocidad:

J Eu

J E s

( )q t u q u W energia l

( ). ( ). . .

q t u q u W energiaJ Es l t s l tiempo vol

3 3[ / ( )] [ / ]Joule seg m Watt m J EDensidad de Potencia

CAMPOS Y ONDAS

. [ / ( . )] [ / ]Joule seg m Watt m J E

Ley de Ohm microscópica

• Las corrientes estacionarias son imposibles en campos puramente irrotacionales o conservativos.

• Debe aparecer en algún lugar del circuito una fuente ebe apa ece e a gú uga de c cu to u a ue tede campo eléctrico de tipo rotacional NO CONSERVATIVO .

• El campo proveniente de fuentes electromotrices El campo proveniente de fuentes electromotrices (FEM ) lo denominamos E’, campo impropio

• El campo E es el campo derivable de un potencial• La ecuación de Ohm microscópica es:

( ) J E+E'• La ecuación de Ohm microscópica es:

• Definimos a la Fuerza electromotriz o FEM como

( )

( )FEM JE+E' dl dl

CAMPOS Y ONDAS

Ley de Ohm

( )FEM JE+E' dl dl

J

L t ti d l E d i t l

FEM JE'dl dl

• La parte conservativa del campo E da una integral cerrada nula, lo cual muestra que para que exista una corriente es necesario que exista una fuente de campo NO CONSERVATIVO.

• La corriente está influenciada por la Geometría• Si la densidad de corriente es constante en todo el • Si la densidad de corriente es constante en todo el

camino de integración se puede expresar (casos de geometrías de sección uniforme):

1. .IFEM dl I dl I Rs s

Jdl

S d l d

CAMPOS Y ONDAS

Segunda ley deKirchoff

.j ij i

Fem I R

Ley de Ohm

Et

+ + + + +Et= J/

En

Et

+++++++- - - - - - -

2

E´1

- - - - -

En

• En el circuito eléctrico existe un lugar donde hay un E’ (fem g y (electroquímica pila o batería), hace las veces de bomba de los electrones

• El modelo de conducción resulta como si los electrones se i l id d t t fl id i movieran a velocidad constante en un fluido viscoso.

• La energía disipada por efecto Joule en el conductor es por efecto del ¨rozamiento¨ (choque de los electrones con los iones)

CAMPOS Y ONDAS

iones)

Ley de Ohm

• En el caso de las corrientes estacionarias dentro del conductor solo existe un campo electrostático E.

• La diferencia de potencial al pasar de un punto a otro en la dirección de J es la energía disipada por unidad de carga (se transforma en calor).g ( )

• El campo impropio E’ solo existe en la pila o batería.• Si despreciamos la resistencia interna de la pila:

1 1 I

J2

I R Ε'dl Ε'dlAdentro del conductor

2 2

. .I l I Rs

JE.dl dl

1

.I R Ε'dl Ε'dl

2 1 2

Fem E'dl E.dl E.dl

CAMPOS Y ONDAS

1 2 1

Ley de Ohm

+ + + + +

Et= J/

+++++++- - - - - - -

1

2

E´E E =En( ) 0 J E+E'1

- - - - -

• En el caso de no haber corriente, si es distinta de cero en la piladistinta de cero en la pila

2 2

1 1

U E'dl E.dl• La tensión del campo electrostático entre dos puntos de un

0E+E' E E'1 1• La tensión del campo electrostático entre dos puntos de un

circuito abierto es igual a la FEM• En el conductor existe un campo radial o normal al conductor

desde la superficie de mayor potencial (+) a la de menor

CAMPOS Y ONDAS

desde la superficie de mayor potencial (+) a la de menor potencial (-). El campo tangencial, Et=0 pues J=0

Corriente y campo en una frontera Conductor-aislador

• En el aislador la corriente es cero pues =0E l d t l i t

aislador

conductor

Et

Jt• En el conductor la corriente debe fluir tangencialmente al conductor: por lo tanto

conductor Jt

J E En un conductordel lado del conductor se tiene

• Por la continuidad del

J E En un conductorJtEt Por la continuidad del

campo eléctrico tangencial, del lado del aislador el campo tangencial es Et

0 xE

lcampo tangencial es Et.• Cuando fluye una corriente

por un conductor de

l

Jconductividad finita no es un cuerpo equipotencial como en electrostática

E

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Equipotenciales

Corriente y campo en una frontera Conductor-aislador

• Un conductor con densidad de l

• Un conductor con densidad de corriente uniforme

• Las líneas punteadas son eq ipotenciales

JEequipotenciales

• E en el conductor es uniforme• La diferencia de potencial es

U=E.l

U=E.l=I.R , R es la resistencia de la longitud l del conductor

• Et conductor=Et aislante

Equipotenciales

Et conductor Et aislante

• Existe una distribución de carga superficial debido a la proximidad con otros conductores a otro

E

Enn tE Econ otros conductores a otro potencial, y por lo tanto aparece una En , componente perpendicular a la frontera aislador-conductor del lado

aislador Et

del aislador.• En el aislador el campo total es la

suma vectorial de Et y En

conductor Jt

CAMPOS Y ONDAS

suma vectorial de Et y En• En el conductor En=0 solo existe Et

Corriente y campo en una frontera Conductor-aislador

• En la figura se muestra una sección transversal de una • En la figura se muestra una sección transversal de una línea coaxil. La corriente fluye hacia la derecha por el conductor interno y regresa por el externo

• Puesto que la conductividad de los conductores es alta el Puesto que la conductividad de los conductores es alta el campo Et es relativamente bajo respecto al En

• En el aislante puede existir un campo alto en virtud de la tensión aplicada en el extremo del cable p

• Las líneas de campo Prácticamente siguen siendo Perpendiculares a La superficie e iguales a En

Et

En J

E E En n tE E

CAMPOS Y ONDAS

Equipotenciales

Tiempo de relajación, la carga en un conductor se va a la superficie

• Las cargas en un conductor rápidamente se van a la superficie, aún para corrientes

t i i (

0t

J J E

D E

J Dno estacionarias (campos variables en el tiempo)

D E

J D

J

J D

.0( ) tt e

0t

0( )

.0( )

tt e

(t)

0( )

12198,85 10 10

197

8,85 10 105 10

t•Para corrientes que varian 1/f=T>>

ó 0J

CAMPOS Y ONDAS

(tiempo de relajación), vale dentro del conductor

0 J

Frontera conductor- conductor

• Condiciones de borde

0 J0d J J d

0 xE. 0

v sc

dv J J.ds

0h 0 E.dl

1 2. . 0n nJ S J SJ J 1 2

1 2

. . 0t t

t t

E l E lE E

J1=E11

h

Jn11 2n nJ J

Et1

SEt21 1 2 2

1 1 2 2

cos( ) cos( )( ) (( )

J JJ sen J sen

2

Jn21 2

1 1tan( )tan( )

J2=E2

CAMPOS Y ONDAS

2 2tan( )

1 2

/n nJ J

1 1 1

2 2 2

//

n n

n n

E JE J

2 1

1 2

n

n

EEE E

2 11

2 1 2

n t

n t

E JE J

1 2

1 1 1

t t

t t

E EE J

2 2 2

1 1

t t

t

E JJJ

2 2tJ

CAMPOS Y ONDAS

Condiciones de Frontera en corrientes Estacionarias

1 2

1 1 2 2

n n

n n

J JE E

J

1,1 2,2

1 1 2 2

1 12

2

n n

nn

EE

+

+Dn1Dn2

1 1 1

2 2 2

n n

n n

E DE D

+

Dn1

1 12 2

2

nn

E D

En1 En2

1 2 arg

1 11 1 2 arg

n n c a

nn c a

D D

EE

Que pasa si se cumple?

1 1 2 arg2

2 1 2 11 arg( )

n c a

n c aE

1 2

1 2

CAMPOS Y ONDAS

g2

Solución a los Problemas con Corrientes estacionarias.

• La distribución de corriente si bien está determinada por la FEM y por la conductividad del medio, dentro de los conductores solo existe campo conservativo

• Se cumple:

0 J 0 xE J E U E0xEJ E UE2( ) 0U J E

2 0U

constanteLaplace: dentro del conductor

• La solución para corriente estacionaria es matemáticamente idéntica que la solución de potenciales electrostáticos, que tengan la misma potenciales electrostáticos, que tengan la misma geometría ,reemplazando por ANALOGIAS

0D UE

CAMPOS Y ONDAS

0 D D E 0 xE U E

Analogías

1Q ID J

1Q IC GU U R

Q IE E

U U R

G C

U U

E E .G C

1RC

C

CAMPOS Y ONDAS

Analogías

• Los métodos de resolución de la ecuación de Laplace son aplicables a los problemas de corrientes

t i iestacionarias.• La diferencia entre ambos problemas es que la

conductividad de una determinada región puede l i l l d l bilid d anularse, mientras que el valor de la permeabilidad

nunca será cero.• Por ejemplo si analizamos el caso de dos electrodos

planos paralelos y entre ellos un medio de

conductividad y comparamos con la misma geometría y el medio lleno de un dieléctrico de geometría y el medio lleno de un dieléctrico de

permitividad tendremos una distribución uniforme de corriente en el medio conductor sin ninguna de corriente en el medio conductor sin ninguna distorsión, mientras que en el caso del capacitor aparece una distribución NO uniforme del campo E y de D debido al efecto de borde, y por lo tanto solo es

CAMPOS Y ONDAS

, y paproximadamente uniforme.

Analogías

JD UD U

U

U lR E.dl E.dl1 U l E.dl E.dl

s s

RI S

J.ds E.ds

1

s s

U lC Q S

D.ds E.ds

• En general si conocemos la capacidad de una determinada geometría entonces podemos calcula la resistenciaresistencia

. .R C R R

CAMPOS Y ONDAS

C .C

Analogías

Calc lo de la resistencia de dos electrodos cilíndricos • Calculo de la resistencia de dos electrodos cilíndricos paralelos muy largos inmersos en un material de

conductividad

1cosh ( )d

.R

C

( )2aR

Resistencia para una longitud

Capacidad por unidad de longitud unitaria de la línea

.C l Resistencia para para una longitud l

CAMPOS Y ONDAS

RlCapacidad para una longitud l

Caso de una geometría donde el conductor y el dieléctrico son de gran longitud y sección transversal S pequeña.Los resultados no serían análogos, pues en el caso del capacitor el efecto de borde (campo en el aire fuera del dieléctrico) pesa y en el

I

efecto de borde (campo en el aire, fuera del dieléctrico) pesa y en el conductor no existe este efecto pues la conductividad del aire es cero .

U

l,S,

lR URS

Ql,S, Ql,S,

USC

CAMPOS Y ONDAS

Cl

Cálculo de la Resistencia

Calculo de Resistencia de un conductor• El problema de encontrar el valor de la resistencia de un

d t ió if d b t t d conductor con sección no uniforme debe ser tratado como un problema de resolución de la ecuación de Laplace.

1 El i l i t d d d– 1. Elegir el sistemas de coordenadas

– 2. Asumir una diferencia de potencial entre conductores pterminales Uo

– 3 Resolver la ecuación de Laplace y obtener U(x y z) – 3. Resolver la ecuación de Laplace y obtener U(x,y,z). Determinar

4 Obt I

U E– 4. Obtener I,

– 5. Obtener R=Uo/I.

I E.ds

CAMPOS Y ONDAS

/

• En algunos casos de geometrías sencillas puede estimarse la densidad de corriente en función de la corriente y plantear el campo eléctrico en función de la corriente , plantear el campo eléctrico en función de la corriente , integrarlo para obtener Uo y encontrar el valor de R=Uo/I

• Ejemplo la resistencia de un tronco de cono:

I ( )( )IJ z

S z

2

1 2

( )

( )

S z rR RR

zR2 ( )

( )( )

IE zS z

1 21 ( )r R z

l z

E

R2

l 1l l

r

JE

R1

l

0 0

1( )

l l

Uo Edl I dzS z

r

1( )

lUoR dzI S z

CAMPOS Y ONDAS

0 . ( )I S z

• Cálculo de la resistencia de una arandela???

hr1

r2

CAMPOS Y ONDAS

• Sección transversal uniforme• Superficies equipotenciales marcadas en líneas de

t (di )punto (discos)

Uo

.

UoEh

J E

r2r1

2 22 1

.

. ( )

I J SUoI r r

Uo

2 1

2 22 1

( )

( )

hUo hRI r r

2 1( )I r r

CAMPOS Y ONDAS

• Arandela alimentada con una FEM entre r2 y r1• Superficies equipotenciales marcadas en líneas de

punto (cilindros)punto (cilindros)

( )( ) 2 .I IJr r

S r r h

1 12

( ) 2 .( )

2 .r r

S r r hJr r IEr

r hrI I

2

12 2

2

. ln( )2 . . .2

1 ln( )2

r r

rI IUo E dr drr h h r

rUoRI h r

hJ12 .I h r

Caso análogo a la Capacidad de un cable pcoaxil:

2

2

l ( )

hC r

2

2

l ( )

hG r

CAMPOS Y ONDAS

2

1

ln( )rr

2

1

ln( )r

r

z

• La fem se aplica entre dos caras luego de hacer un corte del arandela de un cierto ángulo

• Superficies equipotenciales marcadas en líneas de punto (planos, constante)

r

en líneas de punto (planos, constante)• U=0, =0• U=Uo, • Puesto que el potencial solo es función

de la ecuación de Laplace se psimplifica

1

2

2 0U

U a b

ds

1

Uo

1 1

(0) 0(2 ) (2 )

U aU Uo b

1

1 1(2 )

U UoE Ur r

a

12Uob

12

2

(2 )r

Uor

rUo h Uo

J a

12UoU

2

1 1 11

1

( ) ln( )(2 ) (2 )

2s r

rUo h UoI hdrr r

Uo UoR r rh UoI

Jds a a

CAMPOS Y ONDAS

2 2

1 1 1

ln( ) ln( )(2 )

r rh UoI hr r