V. Corrientes eléctricas - .Leyes de Kirchoff (para corrientes estacionarias) 8. Corrientes no estacionarias

Gabriel Cano Gmez, 2010/11 Dpto. Fsica Aplicada III (U. Sevilla)

Campos ElectromagnticosIngeniero de Telecomunicacin

V. Corrientes elctricas

7. Circuito equivalente

Campos Electromagnticos (I. Telecomunicacin) V. Corrientes elctricas

G

abri

el C

ano

Gm

ez,

10/1

1

1. Introduccin2. Magnitudes para la corriente elctrica3. Leyes de la corriente elctrica4. Conductores lineales: medios hmicos5. Generadores6. Coeficientes de conductancia7. Circuito equivalente8. Corrientes no estacionarios

2

V. Corrientes elctricas

Sistema de corrientes en medio hmicoConductancias y autoconductancias

Circuito equivalente al sistema de corrientes Consumo de potencia. Balance energtico Leyes de Kirchoff (para corrientes estacionarias)

8. Corrientes no estacionarias

Campos Electromagnticos (I. Telecomunicacin) V. Corrientes elctricas

G

abri

el C

ano

Gm

ez,

10/1

1

3

C1Cj

Ci

C0)=0

C0

+V1

+Vj

+Vi

Conductancias y autoconductanciasIi se distribuye en tubos de corriente:

caracterizacin de los tubos:conductancia elctrica entre Ci y Cj:

autoconductancia (entre Ci y C0):

relacin con coeficientes Gij:expresiones equivalentes para Ii:

igualdad de los coeficientes:C0

J(r)

IiN

Iij

Ii1

Iii

i

iS

I d

J S 1N

ijjI

( )ij ij i jG I V V jiG

ii ii iG I V

1( )

N

iji i ji j

I G V V

ii iG V

CNIN

+VN

Il+Vl

Cl

1 ijR

IjI1

Ii

I01

N

ij jj

G V

G(Ci);(r)

1 iiR

Jext=0

Si

i

dS

dS

dS

dS

dS

=1RijGij

Gii =1Rii

Sistema de corrientes en medio hmico

1;N ijii jG G ( )ijij i jG G

Campos Electromagnticos (I. Telecomunicacin) V. Corrientes elctricas

G

abri

el C

ano

Gm

ez,

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1

4

Construccin del circuitocada conductor es un nodocada tubo de corriente es modelado por una conductancia (o resistencia):entre conductores activos i y j

entre conductor i y referencia 0

conductor l apantallado por N :

generadores conectados a 1,,Nmodelados por f.e.m. y resistencia interna

Valores de conductancias y autoconductancias

Circuito equivalente al sistema de corrientes

1,...,1 ;ijij i j NG R

1,...,1 ;iiii i NG R

( )

0; 0;0

ll lN

lk k N

G GG

1

Nii ijj

G G

( );ij ij i jG G

G(Ci);(r)

C0)=0C0

J(r)

I1

Ii

Iii

Ij

IiN

Ii1ijG

iiG

iNG

NNG

1iG

jjG11G

iri

j

rj

lNG

C1Cj

Ci

C0

+

V1

CN

IN+

VN

IlCl

I1

+

Vl

+

Vi

Jext=0

+

Vj

I0

IlN

Iij

Iii

Campos Electromagnticos (I. Telecomunicacin) V. Corrientes elctricas

G

abri

el C

ano

Gm

ez,

10/1

1

5

C1

C2

C3

C0

+V1

+ V2

+V3

I3I1

I2

I0

12G 23G

13G

11G 33G

22G

Matriz de conductancias obtenida experimentalmente:

relacin intensidadespotenciales:

Circuito equivalente conductancias elctricas:

autoconductancias:

Ejercicio 5.10

a b c0.587 mS 0.219 mS 0.148 mS; ;G G G

( ; ; )a b c

b a b

c b a

i

G G GG G GG G G

CG

0 1 2 3 ( ) ; I I I I I VG

12 12 b ;G G G 13 13 c ;G G G 23 23 bG G G

11 a cb( )G G G G 33;G 22 a b2G G G

Campos Electromagnticos (I. Telecomunicacin) V. Corrientes elctricas

G

abri

el C

ano

Gm

ez,

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1

6

C1 Cj

Ci

C0

IiN

Iij Ii1

Iii CN

Cl

Consumo de potencia. Balance energticoPotencia disipada en el sistema en el medio hmico

efecto Joule en cada tubo de corriente:

efecto Joule en los generadores:

Potencia suministrada aportada por los N generadores: fuerzas electromotrices a circuito cerrado

Balance energtico en el sistema:

Jext=0

Qij

dS

dS

+V1

+Vj

+Vi IN

+VN

Il+Vl

IjI1

Ii

I0

Q

Qigen

J(r)=(r)E(r)

+

Vi

+

Vj

CN Cl+

Vl

Ci

C1Cj

C0

iri

jrj

+

VN

Rjj

RlN

R11

RNN

RjNIi1

Iii

IiNIij

Ij

Ii

Ri1Rij

RiNRii

dis0 dP

J E 1

N

i i iV I

d

J S

disP

1

2N N

i j i

ijijI R

, 1

N

i ji ijV I

2Qij ijijdt I R

21N

i i i iiV I I r

1gen

Ni ii

P I

gendis disgenP P P

gen 2dis 1

Ni ii

P I r

gen

2Qii iI rdt

Qigen

Campos Electromagnticos (I. Telecomunicacin) V. Corrientes elctricas

G

abri

el C

ano

Gm

ez,

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1

7

C1Cj

Ci

C0)=0

C0

+V1

Leyes de Kirchoff (para corrientes estacionarias) (I)Primera Ley de Kirchoffprincipio de conservacin de la carga en torno a cada i del sistema de corrientes

en cada nodo del circuito equivalente

C0

IiN

Iij

Ii1

Iii

CNIN

+VN

Il+Vl

Cl

IjI1

Ii

I0+

Vl

J(r)=(r)E(r)

Gjj

+

Vi

+

Vj

CN ClCi

C1Cj

C0

iri

jrj

+

VN

GijGi1

GiiGlN

G11

GNN

GjN

GiN

Ij

+Vj

+Vi

0i

d

J S

i 10,1,...,0;Ni ijj i NI I

Ii1

Iii

IiN

Iij

G(Ci);(r)Jext=0

Ii

0i

iS

I d

J S

Si

dS

dS

dS

dS

dS

Campos Electromagnticos (I. Telecomunicacin) V. Corrientes elctricas

G

abri

el C

ano

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ez,

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1

8

Ii +

Vi

+

Vj

CN Cl+

Vl

Ci

C1Cj

C0

iri

jrj

+

VN

Gi1

Gii

Gjj

GlN

G11

GNN

GjN

GiN

IjIi1

Iii

IiN

C1Cj

Ci

C0)=0

C0

+V1

Leyes de Kirchoff (para corrientes estacionarias) (II)Segunda Ley de Kirchoffcampo elctrico irrotacional:en cualquier cerrada del sistema

en cada malla del circuito equivalente

C0

Iij

CNIN

+VN

Il+Vl

IjI1

Ii

I0

Gij

J(r)=(r)E(r)

Iij

+Vj

+Vi

0d

E r ji

d J r

iV jV

1/Rij =

j j jiji ij i i I rI R I r

G(Ci);(r)

0

Jext=0

Cl

Rij

Campos Electromagnticos (I. Telecomunicacin) V. Corrientes elctricas

G

abri

el C

ano

Gm

ez,

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1

9

Clculo de matriz de conductancias descripcin del sistema: pista de grafito (regin hmica )

conductores filiformes: b >> a electrodos 1, 2, 3, y conductor de

referencia 0 sistema simtrico: V10; V2=V3=0 V20; V1=V3=0 V30; V2=V1=0

son situaciones anlogasmatriz de conductancias:

I2 I0

+ V3 I3

V2 +

I1

V1 +

VA +

Ejercicio 5.11 (I)

C1

C2 C0

C3

1 1

2 2

3 3

4 2 11

2 4 16

1 1 4R

I VI VI V

R

R

R

R

=R/2

I'= I1+ I2

R'

b2a

b

a

I2 I0

I1 I3

+ VB

bac

Campos Electromagnticos (I. Telecomunicacin) V. Corrientes elctricas

G

abri

el C

ano

Gm

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1

10

Circuito equivalente conductancias elctricas

autoconductancias:

Potencia disipada

I2 I0

+ V3 I3

V2 +

I1

Ejercicio 5.11 (II)

C1

C2 C0

C3

1 0

2

3

4 2 11

2 4 16

1 1 400

R

i Vii

i0i2

i1 i3

C0

C0

13G

12G

23G

33G

22G

11G

12 12 1 3 ;G G R 13 13 1 6G G R

23 23 1 6G G R

11 11 12 13 1 6G G G G R

22 12 22 23 1 6G G G G R

33 13 23 33 1 3G G G G R

3dis 1 i ii

P V I

20 1 02 3V i V R

+ V0