V. Corrientes eléctricas - .Leyes de Kirchoff (para corrientes estacionarias) 8. Corrientes no estacionarias

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  • Gabriel Cano Gmez, 2010/11 Dpto. Fsica Aplicada III (U. Sevilla)

    Campos ElectromagnticosIngeniero de Telecomunicacin

    V. Corrientes elctricas

    7. Circuito equivalente

  • Campos Electromagnticos (I. Telecomunicacin) V. Corrientes elctricas

    G

    abri

    el C

    ano

    Gm

    ez,

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    1

    1. Introduccin2. Magnitudes para la corriente elctrica3. Leyes de la corriente elctrica4. Conductores lineales: medios hmicos5. Generadores6. Coeficientes de conductancia7. Circuito equivalente8. Corrientes no estacionarios

    2

    V. Corrientes elctricas

    Sistema de corrientes en medio hmicoConductancias y autoconductancias

    Circuito equivalente al sistema de corrientes Consumo de potencia. Balance energtico Leyes de Kirchoff (para corrientes estacionarias)

    8. Corrientes no estacionarias

  • Campos Electromagnticos (I. Telecomunicacin) V. Corrientes elctricas

    G

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    3

    C1Cj

    Ci

    C0)=0

    C0

    +V1

    +Vj

    +Vi

    Conductancias y autoconductanciasIi se distribuye en tubos de corriente:

    caracterizacin de los tubos:conductancia elctrica entre Ci y Cj:

    autoconductancia (entre Ci y C0):

    relacin con coeficientes Gij:expresiones equivalentes para Ii:

    igualdad de los coeficientes:C0

    J(r)

    IiN

    Iij

    Ii1

    Iii

    i

    iS

    I d

    J S 1N

    ijjI

    ( )ij ij i jG I V V jiG

    ii ii iG I V

    1( )

    N

    iji i ji j

    I G V V

    ii iG V

    CNIN

    +VN

    Il+Vl

    Cl

    1 ijR

    IjI1

    Ii

    I01

    N

    ij jj

    G V

    G(Ci);(r)

    1 iiR

    Jext=0

    Si

    i

    dS

    dS

    dS

    dS

    dS

    =1RijGij

    Gii =1Rii

    Sistema de corrientes en medio hmico

    1;N ijii jG G ( )ijij i jG G

  • Campos Electromagnticos (I. Telecomunicacin) V. Corrientes elctricas

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    Construccin del circuitocada conductor es un nodocada tubo de corriente es modelado por una conductancia (o resistencia):entre conductores activos i y j

    entre conductor i y referencia 0

    conductor l apantallado por N :

    generadores conectados a 1,,Nmodelados por f.e.m. y resistencia interna

    Valores de conductancias y autoconductancias

    Circuito equivalente al sistema de corrientes

    1,...,1 ;ijij i j NG R

    1,...,1 ;iiii i NG R

    ( )

    0; 0;0

    ll lN

    lk k N

    G GG

    1

    Nii ijj

    G G

    ( );ij ij i jG G

    G(Ci);(r)

    C0)=0C0

    J(r)

    I1

    Ii

    Iii

    Ij

    IiN

    Ii1ijG

    iiG

    iNG

    NNG

    1iG

    jjG11G

    iri

    j

    rj

    lNG

    C1Cj

    Ci

    C0

    +

    V1

    CN

    IN+

    VN

    IlCl

    I1

    +

    Vl

    +

    Vi

    Jext=0

    +

    Vj

    I0

    IlN

    Iij

    Iii

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    5

    C1

    C2

    C3

    C0

    +V1

    + V2

    +V3

    I3I1

    I2

    I0

    12G 23G

    13G

    11G 33G

    22G

    Matriz de conductancias obtenida experimentalmente:

    relacin intensidadespotenciales:

    Circuito equivalente conductancias elctricas:

    autoconductancias:

    Ejercicio 5.10

    a b c0.587 mS 0.219 mS 0.148 mS; ;G G G

    ( ; ; )a b c

    b a b

    c b a

    i

    G G GG G GG G G

    CG

    0 1 2 3 ( ) ; I I I I I VG

    12 12 b ;G G G 13 13 c ;G G G 23 23 bG G G

    11 a cb( )G G G G 33;G 22 a b2G G G

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    6

    C1 Cj

    Ci

    C0

    IiN

    Iij Ii1

    Iii CN

    Cl

    Consumo de potencia. Balance energticoPotencia disipada en el sistema en el medio hmico

    efecto Joule en cada tubo de corriente:

    efecto Joule en los generadores:

    Potencia suministrada aportada por los N generadores: fuerzas electromotrices a circuito cerrado

    Balance energtico en el sistema:

    Jext=0

    Qij

    dS

    dS

    +V1

    +Vj

    +Vi IN

    +VN

    Il+Vl

    IjI1

    Ii

    I0

    Q

    Qigen

    J(r)=(r)E(r)

    +

    Vi

    +

    Vj

    CN Cl+

    Vl

    Ci

    C1Cj

    C0

    iri

    jrj

    +

    VN

    Rjj

    RlN

    R11

    RNN

    RjNIi1

    Iii

    IiNIij

    Ij

    Ii

    Ri1Rij

    RiNRii

    dis0 dP

    J E 1

    N

    i i iV I

    d

    J S

    disP

    1

    2N N

    i j i

    ijijI R

    , 1

    N

    i ji ijV I

    2Qij ijijdt I R

    21N

    i i i iiV I I r

    1gen

    Ni ii

    P I

    gendis disgenP P P

    gen 2dis 1

    Ni ii

    P I r

    gen

    2Qii iI rdt

    Qigen

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    C1Cj

    Ci

    C0)=0

    C0

    +V1

    Leyes de Kirchoff (para corrientes estacionarias) (I)Primera Ley de Kirchoffprincipio de conservacin de la carga en torno a cada i del sistema de corrientes

    en cada nodo del circuito equivalente

    C0

    IiN

    Iij

    Ii1

    Iii

    CNIN

    +VN

    Il+Vl

    Cl

    IjI1

    Ii

    I0+

    Vl

    J(r)=(r)E(r)

    Gjj

    +

    Vi

    +

    Vj

    CN ClCi

    C1Cj

    C0

    iri

    jrj

    +

    VN

    GijGi1

    GiiGlN

    G11

    GNN

    GjN

    GiN

    Ij

    +Vj

    +Vi

    0i

    d

    J S

    i 10,1,...,0;Ni ijj i NI I

    Ii1

    Iii

    IiN

    Iij

    G(Ci);(r)Jext=0

    Ii

    0i

    iS

    I d

    J S

    Si

    dS

    dS

    dS

    dS

    dS

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    Ii +

    Vi

    +

    Vj

    CN Cl+

    Vl

    Ci

    C1Cj

    C0

    iri

    jrj

    +

    VN

    Gi1

    Gii

    Gjj

    GlN

    G11

    GNN

    GjN

    GiN

    IjIi1

    Iii

    IiN

    C1Cj

    Ci

    C0)=0

    C0

    +V1

    Leyes de Kirchoff (para corrientes estacionarias) (II)Segunda Ley de Kirchoffcampo elctrico irrotacional:en cualquier cerrada del sistema

    en cada malla del circuito equivalente

    C0

    Iij

    CNIN

    +VN

    Il+Vl

    IjI1

    Ii

    I0

    Gij

    J(r)=(r)E(r)

    Iij

    +Vj

    +Vi

    0d

    E r ji

    d J r

    iV jV

    1/Rij =

    j j jiji ij i i I rI R I r

    G(Ci);(r)

    0

    Jext=0

    Cl

    Rij

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    Clculo de matriz de conductancias descripcin del sistema: pista de grafito (regin hmica )

    conductores filiformes: b >> a electrodos 1, 2, 3, y conductor de

    referencia 0 sistema simtrico: V10; V2=V3=0 V20; V1=V3=0 V30; V2=V1=0

    son situaciones anlogasmatriz de conductancias:

    I2 I0

    + V3 I3

    V2 +

    I1

    V1 +

    VA +

    Ejercicio 5.11 (I)

    C1

    C2 C0

    C3

    1 1

    2 2

    3 3

    4 2 11

    2 4 16

    1 1 4R

    I VI VI V

    R

    R

    R

    R

    =R/2

    I'= I1+ I2

    R'

    b2a

    b

    a

    I2 I0

    I1 I3

    + VB

    bac

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    el C

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    Circuito equivalente conductancias elctricas

    autoconductancias:

    Potencia disipada

    I2 I0

    + V3 I3

    V2 +

    I1

    Ejercicio 5.11 (II)

    C1

    C2 C0

    C3

    1 0

    2

    3

    4 2 11

    2 4 16

    1 1 400

    R

    i Vii

    i0i2

    i1 i3

    C0

    C0

    13G

    12G

    23G

    33G

    22G

    11G

    12 12 1 3 ;G G R 13 13 1 6G G R

    23 23 1 6G G R

    11 11 12 13 1 6G G G G R

    22 12 22 23 1 6G G G G R

    33 13 23 33 1 3G G G G R

    3dis 1 i ii

    P V I

    20 1 02 3V i V R

    + V0