El campo magntico de las corrientes estacionarias - uv.es ecuacin nos dice que hay dos contribuciones al rotacional del campo magntico. Ms adelante estudiaremos la segunda contribucin

El campo magntico de lascorrientes estacionarias

Introduccin Propiedades diferenciales del campo

magntico Propiedades integrales del campo magntico Teorema de Ampre El potencial vector Ecuaciones para el potencial vector El potencial escalar magntico

Introduccin

Hasta 1819 no se demostr la conexin entrefenmenos elctricos y magnticos. El cientficodans Hans Christian Oersted observ que la agujade una brjula se orientaba en las proximidades de una corriente elctrica.

En 1831, Michael Faraday descubri que cuando se conectaba o desconectaba un circuito elctrico, apareca una corriente por otro circuito cercano.

Poco despus descubri que acercando o alejando un imn de un circuito elctrico, se produca el mismoefecto.

Joseph Henry no tuvo xito en publicar lo quel descubri 6-12 meses antes que Faraday

Oersted demostr que pueden producirsefenmenos magnticos moviendo cargaselctricas; Faraday y Henry demostraron queimanes en movimiento pueden producircorrientes elctricas

Lneas de campo magntico

Michael Faraday descubri que un imntiene un campo magntico a sualrededor

Experimento de Oersted

Al pasar una corriente, la brjula se mueve, orientndose perpendicularmente a la corriente.

Ley de Biot-Savart

d ~B =04

id~s ~rr3

Integrando a todo el hilo,

~B(~r) =04

Zid~l0 (~r ~r0)|~r ~r0|3

Generalizando para una distribucin de corrientes en un volumen,

id~lZ

S

~JdS

dl ~B(~r) =

04

Z ~J(~r0) (~r ~r0)d3~r0|~r ~r0|3

Ejercicio:Hallar el campo magntico producido por un hilo infinito

sin = sin( ) = RR2 + s2

B =0iR

2

Z 0

ds

(R2 + s2)3/2=0i

2R

Z 0

dx

(1 + x2)3/2=0i

2R

dB =04

ids sin

r2

Ley de Biot-Savart:

En mdulo,

El campo lo hallamos integrando s desde 0 a y multiplicando por 2

d ~B =04

id~s ~rr3

Campo de un hilo infinito

El campo slo depende de la corriente y es perpendicular a la direccin radial del hilo

B forma anillos concntricos La magnitud de B depende de

1/R, es decir el espaciado de las lneas de campo aumentacon la distancia

B = 0i2R

Fuerzas magnticas

Fuerza magntica sobre una corriente

Fuerza magntica sobre una carga puntual

d~F = id~l ~B

id~l ~vdq~F = q~v ~B

Fuerza de Lorentz

~F = q ~E + q~v ~B

Campo magntico de una espiracircular

En cualquier punto del eje el campo solo tiene componente x. En cualquier otro punto tiene adems componente radial (coordenadas cilndricas).

Hallar el campo magntico producido por una espira de radio R por la que circula una corriente i, en un puntodel eje

Utilizando la notacin de lafigura,

~dB =0I ~dl ~r

r3

Sobre el eje x,

~dB =0IRd~u (x~ux R~ur)

r3

dBx =0IR

2d

(R2 + x2)3/2

B =0IR

2

2(R2 + x2)3/2Integrando,

B =0I

2REn el centro de la espira,

Teorema de Ampre

Teorema en forma integral

Teorema en forma diferencial

I

~B ~dl = 0I

~ ~B = 0 ~JPrimero demostraremos el teorema en forma diferencial. Integrando a una superficie dada y aplicando el teorema de Stokes se obtiene la forma integral.

Partamos de la ecuacin integral del campo magntico

Puesto que derivamos respecto de r e integramos en r, podemos introducir el operador nabla dentro de la integral. Hallemos el rotacional del producto vectorial de un vector constante por una funcin vectorial de r

~ ~B = 04

Z~~J(~r0) ~r ~r

0

|~r ~r0|3d3~r0

~ ~B = 04

Z ~ ~r ~r0|~r ~r0|3

~J(~r0) ( ~J(~r0) ~) ~r ~r

0

|~r ~r0|3d3~r0

Veamos el valor de cada una de estas integrales. La primera

I1 =Z~J(~r0)~

~r ~r0|~r ~r0|3

d3~r0 =

ZR

~J(~r0)~ ~r ~r0|~r ~r0|3

d3~r0

La nica contribucin proviene de un volumen cercano a r=0

I1 ~J(~r)ZR

~ ~r ~r0|~r ~r0|3

d3~r0 = ~J(~r)

IS(R)

(~r ~r0) ~dS|~r ~r0|3 = 4

~J(~r)

En la segunda integral podemos intercambiar la derivada de por las de mediante un cambio de signo~r ~r0

I2 =Z h

~J(~r0) ~0)i ~r ~r0|~r ~r0|3 d

3~r0 =Z(J

0)

~r ~r0|~r ~r0|3 d

3~r0

Esta ltima integral puede escribirse como la divergencia deltotal menos la divergencia de la corriente:

I2 =Z0

J

~r ~r0|~r ~r0|3

d3~r0

Z~r ~r0|~r ~r0|3

~0 ~Jd3~r0

La primera integral es nula al extenderse el volumen al infinito. Utilizando la ecuacin de continuidad, la segunda integral no es mas que la derivada temporal del campo elctrico:

I2 = 40 ~E

t

La expresin final para el rotacional del campo magntico es:

~ ~B = 0 ~J + 00 ~E

t

Esta ecuacin nos dice que hay dos contribuciones al rotacional del campo magntico. Ms adelante estudiaremos la segunda contribucin. Aqu nos limitamos al caso de corrientes estacionarias, por tanto, la expresin diferencial del teorema de Ampre (para corrientesestacionarias) es:

~ ~B = 0 ~J

Consideremos una superficie arbitraria en una regin en la que haya un campo magntico. Integrando la ecuacin anterior a esa superficie y aplicando el teorema de Stokes, se obtiene la forma integral del teorema:I

~B ~dl = 0I + 00dEdtI

~B ~dl = 0Io bien

para corrientes estacionarias, que es el tema que nos ocupa

Aplicaciones del T. Ampre

Campo magntico producido por un hilo que transporta una corriente iI~B ~ds = 0iencerrada = 0i

2rB = 0i

~B =0i

2r~u

Campo magntico de un solenoide

Si las espiras estn suficientemente juntas podemos definir una densidad superficial de corriente

Densidad superficial de corriente

En funcin de la corriente total:

En funcin de la densidad decorriente de volumen:

K =Ni

d

~K

plano que transporta una densidadsuperficial de corriente K

~K =

Z~Jde

Ejemplo: Hallar el campo magntico producido por unacorriente distribuida uniformemente sobre un planoindefinido

Apliquemos el teorema de Ampre a un lazo tal como muestra la figura

iencerrada =

ZKdz = K(z2 z1) = 2B(z2 z1)

xxxxxxxxxxxxxxxxxx

~B~B

z2

z1

z

siendo K la densidad superficial de corriente. El resultado de la integral es independientemente de la distancia del punto fuente al punto campo, i.e. B es constante:

~B = 12K~uz

Hallar el campo magntico producido por dos planos separados una distancia d, por los que circula una densidad de corriente K en sentidos opuestos

La corriente encerrada es nula para el lazo de la figura, luego el campo fuera de los dos planos es nulo

xxxxxxxxxxxxxxxxxx

~B

Es decir, dentro B = 0K

B = 0y fuera

Campo magntico de un solenoide ideal

Nmero total de espiras

N

Nmero de espiras por unidad de longitud

n =N

LBh = 0iencerrada = 0inh

B = 0ni

Campo magntico de un toroideideal

Eligiendo un lazo adecuado de forma que B sea constante,

B2r = 0iN

B =0Ni

2ren el interior deltoroide

fuera del toroideB = 0

Potencial vector

Pero siempre (no hay cargas magnticas), i.e. siempre podremos escribir

Lo ideal sera poder escribir el campo magntico como el gradiente de un potencial escalar. Esto no siempre es posible ya que no siempre es nulo.

~ ~B = 0

~ ~B

~B = ~ ~APartamos de la expresin general del campo magnticocorrespondiente a una distribucin de corrientes,

~B(~r) =04

Z ~J(~r0) (~r ~r0)d3~r0|~r ~r0|3

y veamos como extraer el operador rotacional

~

1

|~r ~r0|

= ~r ~r

0

|~r ~r0|3 ,Teniendo en cuenta que

~B(~r) = 04

Z~J(~r0) ~

1

|~r ~r0|3d3~r0

Pero

~"~J(~r0)|~r ~r0|

#= ~

1

|~r ~r0|

~J(~r0)

luego

~B(~r) = ~"04

Z ~J(~r0)|~r ~r0|d

3~r0#

~A(~r) =04

Z ~J(~r0)|~r ~r0|d

3~r0

Potencial: magnitud auxiliar?

Tanto el potencial vector como el potencial elctrico juegan un papel fundamental en la Mecnica Cuntica, los campos juegan un papel secundario.

La fase de la funcin de onda en un campo magntico depende de la circulacin de A.

El experimento de Bohm-Aharanov demuestra la existencia de un corrimiento en esta fase en una regin en la que B=0. El potencial vector es una magnitud fundamental!

Potencial vector de una carga puntual

~A(~r) =1

2~B ~r

~A(~r) =04

q~v

|~r ~rq(t)|

Potencial vector de un campo uniforme

Hallar el potencial vector de un hiloinfinito que transporta una corriente I

El campo magntico de un hilo es:

Por simetra

Luego

de donde

0I

2r= dAz

dr

~B =0I

2r~u

~A(~r) =04

Z ~J(~r0)|~r ~r0|d

3~r0 =04

II ~dl

|~r ~r0|

Por otra parte,

~A = Az~uz

Az = 0I

2

Zdr

r= 0I

2ln r

Potencial escalar magntico

til en la resolucin de problemas en campos magnticos

dVm = ~Vm ~dr = 1

0~B ~dr = I

4

Id~l (~r ~r0)|~r ~r0|3 d~r

~B = 0~Vm

Potencial escalar de un lazo de corriente (una espira)

Vm(~r) = I

4

siendo el ngulo slido de la espira visto desde r

~r

~r0

~r0 ~r

xy

zI ~dl

= Z(~r ~r0) ~dS|~r ~r0|3

El ngulo slido de la espira v