El campo magntico de las corrientes estacionarias - uv.es ecuacin nos dice que hay dos contribuciones al rotacional del campo magntico. Ms adelante estudiaremos la segunda contribucin

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  • El campo magntico de lascorrientes estacionarias

    Introduccin Propiedades diferenciales del campo

    magntico Propiedades integrales del campo magntico Teorema de Ampre El potencial vector Ecuaciones para el potencial vector El potencial escalar magntico

  • Introduccin

    Hasta 1819 no se demostr la conexin entrefenmenos elctricos y magnticos. El cientficodans Hans Christian Oersted observ que la agujade una brjula se orientaba en las proximidades de una corriente elctrica.

    En 1831, Michael Faraday descubri que cuando se conectaba o desconectaba un circuito elctrico, apareca una corriente por otro circuito cercano.

    Poco despus descubri que acercando o alejando un imn de un circuito elctrico, se produca el mismoefecto.

  • Joseph Henry no tuvo xito en publicar lo quel descubri 6-12 meses antes que Faraday

    Oersted demostr que pueden producirsefenmenos magnticos moviendo cargaselctricas; Faraday y Henry demostraron queimanes en movimiento pueden producircorrientes elctricas

  • Lneas de campo magntico

    Michael Faraday descubri que un imntiene un campo magntico a sualrededor

  • Experimento de Oersted

    Al pasar una corriente, la brjula se mueve, orientndose perpendicularmente a la corriente.

  • Ley de Biot-Savart

    d ~B =04

    id~s ~rr3

    Integrando a todo el hilo,

    ~B(~r) =04

    Zid~l0 (~r ~r0)|~r ~r0|3

    Generalizando para una distribucin de corrientes en un volumen,

    id~lZ

    S

    ~JdS

    dl ~B(~r) =

    04

    Z ~J(~r0) (~r ~r0)d3~r0|~r ~r0|3

  • Ejercicio:Hallar el campo magntico producido por un hilo infinito

    sin = sin( ) = RR2 + s2

    B =0iR

    2

    Z 0

    ds

    (R2 + s2)3/2=0i

    2R

    Z 0

    dx

    (1 + x2)3/2=0i

    2R

    dB =04

    ids sin

    r2

    Ley de Biot-Savart:

    En mdulo,

    El campo lo hallamos integrando s desde 0 a y multiplicando por 2

    d ~B =04

    id~s ~rr3

  • Campo de un hilo infinito

    El campo slo depende de la corriente y es perpendicular a la direccin radial del hilo

    B forma anillos concntricos La magnitud de B depende de

    1/R, es decir el espaciado de las lneas de campo aumentacon la distancia

    B = 0i2R

  • Fuerzas magnticas

    Fuerza magntica sobre una corriente

    Fuerza magntica sobre una carga puntual

    d~F = id~l ~B

    id~l ~vdq~F = q~v ~B

    Fuerza de Lorentz

    ~F = q ~E + q~v ~B

  • Campo magntico de una espiracircular

    En cualquier punto del eje el campo solo tiene componente x. En cualquier otro punto tiene adems componente radial (coordenadas cilndricas).

  • Hallar el campo magntico producido por una espira de radio R por la que circula una corriente i, en un puntodel eje

    Utilizando la notacin de lafigura,

    ~dB =0I ~dl ~r

    r3

    Sobre el eje x,

    ~dB =0IRd~u (x~ux R~ur)

    r3

    dBx =0IR

    2d

    (R2 + x2)3/2

    B =0IR

    2

    2(R2 + x2)3/2Integrando,

    B =0I

    2REn el centro de la espira,

  • Teorema de Ampre

    Teorema en forma integral

    Teorema en forma diferencial

    I

    ~B ~dl = 0I

    ~ ~B = 0 ~JPrimero demostraremos el teorema en forma diferencial. Integrando a una superficie dada y aplicando el teorema de Stokes se obtiene la forma integral.

  • Partamos de la ecuacin integral del campo magntico

    Puesto que derivamos respecto de r e integramos en r, podemos introducir el operador nabla dentro de la integral. Hallemos el rotacional del producto vectorial de un vector constante por una funcin vectorial de r

    ~ ~B = 04

    Z~~J(~r0) ~r ~r

    0

    |~r ~r0|3d3~r0

    ~ ~B = 04

    Z ~ ~r ~r0|~r ~r0|3

    ~J(~r0) ( ~J(~r0) ~) ~r ~r

    0

    |~r ~r0|3d3~r0

  • Veamos el valor de cada una de estas integrales. La primera

    I1 =Z~J(~r0)~

    ~r ~r0|~r ~r0|3

    d3~r0 =

    ZR

    ~J(~r0)~ ~r ~r0|~r ~r0|3

    d3~r0

    La nica contribucin proviene de un volumen cercano a r=0

    I1 ~J(~r)ZR

    ~ ~r ~r0|~r ~r0|3

    d3~r0 = ~J(~r)

    IS(R)

    (~r ~r0) ~dS|~r ~r0|3 = 4

    ~J(~r)

    En la segunda integral podemos intercambiar la derivada de por las de mediante un cambio de signo~r ~r0

    I2 =Z h

    ~J(~r0) ~0)i ~r ~r0|~r ~r0|3 d

    3~r0 =Z(J

    0)

    ~r ~r0|~r ~r0|3 d

    3~r0

  • Esta ltima integral puede escribirse como la divergencia deltotal menos la divergencia de la corriente:

    I2 =Z0

    J

    ~r ~r0|~r ~r0|3

    d3~r0

    Z~r ~r0|~r ~r0|3

    ~0 ~Jd3~r0

    La primera integral es nula al extenderse el volumen al infinito. Utilizando la ecuacin de continuidad, la segunda integral no es mas que la derivada temporal del campo elctrico:

    I2 = 40 ~E

    t

  • La expresin final para el rotacional del campo magntico es:

    ~ ~B = 0 ~J + 00 ~E

    t

    Esta ecuacin nos dice que hay dos contribuciones al rotacional del campo magntico. Ms adelante estudiaremos la segunda contribucin. Aqu nos limitamos al caso de corrientes estacionarias, por tanto, la expresin diferencial del teorema de Ampre (para corrientesestacionarias) es:

    ~ ~B = 0 ~J

  • Consideremos una superficie arbitraria en una regin en la que haya un campo magntico. Integrando la ecuacin anterior a esa superficie y aplicando el teorema de Stokes, se obtiene la forma integral del teorema:I

    ~B ~dl = 0I + 00dEdtI

    ~B ~dl = 0Io bien

    para corrientes estacionarias, que es el tema que nos ocupa

  • Aplicaciones del T. Ampre

    Campo magntico producido por un hilo que transporta una corriente iI~B ~ds = 0iencerrada = 0i

    2rB = 0i

    ~B =0i

    2r~u

  • Campo magntico de un solenoide

    Si las espiras estn suficientemente juntas podemos definir una densidad superficial de corriente

  • Densidad superficial de corriente

    En funcin de la corriente total:

    En funcin de la densidad decorriente de volumen:

    K =Ni

    d

    ~K

    plano que transporta una densidadsuperficial de corriente K

    ~K =

    Z~Jde

  • Ejemplo: Hallar el campo magntico producido por unacorriente distribuida uniformemente sobre un planoindefinido

    Apliquemos el teorema de Ampre a un lazo tal como muestra la figura

    iencerrada =

    ZKdz = K(z2 z1) = 2B(z2 z1)

    xxxxxxxxxxxxxxxxxx

    ~B~B

    z2

    z1

    z

    siendo K la densidad superficial de corriente. El resultado de la integral es independientemente de la distancia del punto fuente al punto campo, i.e. B es constante:

    ~B = 12K~uz

  • Hallar el campo magntico producido por dos planos separados una distancia d, por los que circula una densidad de corriente K en sentidos opuestos

    La corriente encerrada es nula para el lazo de la figura, luego el campo fuera de los dos planos es nulo

    xxxxxxxxxxxxxxxxxx

    ~B

    Es decir, dentro B = 0K

    B = 0y fuera

  • Campo magntico de un solenoide ideal

    Nmero total de espiras

    N

    Nmero de espiras por unidad de longitud

    n =N

    LBh = 0iencerrada = 0inh

    B = 0ni

  • Campo magntico de un toroideideal

    Eligiendo un lazo adecuado de forma que B sea constante,

    B2r = 0iN

    B =0Ni

    2ren el interior deltoroide

    fuera del toroideB = 0

  • Potencial vector

    Pero siempre (no hay cargas magnticas), i.e. siempre podremos escribir

    Lo ideal sera poder escribir el campo magntico como el gradiente de un potencial escalar. Esto no siempre es posible ya que no siempre es nulo.

    ~ ~B = 0

    ~ ~B

    ~B = ~ ~APartamos de la expresin general del campo magnticocorrespondiente a una distribucin de corrientes,

    ~B(~r) =04

    Z ~J(~r0) (~r ~r0)d3~r0|~r ~r0|3

    y veamos como extraer el operador rotacional

  • ~

    1

    |~r ~r0|

    = ~r ~r

    0

    |~r ~r0|3 ,Teniendo en cuenta que

    ~B(~r) = 04

    Z~J(~r0) ~

    1

    |~r ~r0|3d3~r0

    Pero

    ~"~J(~r0)|~r ~r0|

    #= ~

    1

    |~r ~r0|

    ~J(~r0)

    luego

    ~B(~r) = ~"04

    Z ~J(~r0)|~r ~r0|d

    3~r0#

    ~A(~r) =04

    Z ~J(~r0)|~r ~r0|d

    3~r0

  • Potencial: magnitud auxiliar?

    Tanto el potencial vector como el potencial elctrico juegan un papel fundamental en la Mecnica Cuntica, los campos juegan un papel secundario.

    La fase de la funcin de onda en un campo magntico depende de la circulacin de A.

    El experimento de Bohm-Aharanov demuestra la existencia de un corrimiento en esta fase en una regin en la que B=0. El potencial vector es una magnitud fundamental!

    Potencial vector de una carga puntual

    ~A(~r) =1

    2~B ~r

    ~A(~r) =04

    q~v

    |~r ~rq(t)|

    Potencial vector de un campo uniforme

  • Hallar el potencial vector de un hiloinfinito que transporta una corriente I

    El campo magntico de un hilo es:

    Por simetra

    Luego

    de donde

    0I

    2r= dAz

    dr

    ~B =0I

    2r~u

    ~A(~r) =04

    Z ~J(~r0)|~r ~r0|d

    3~r0 =04

    II ~dl

    |~r ~r0|

    Por otra parte,

    ~A = Az~uz

    Az = 0I

    2

    Zdr

    r= 0I

    2ln r

  • Potencial escalar magntico

    til en la resolucin de problemas en campos magnticos

    dVm = ~Vm ~dr = 1

    0~B ~dr = I

    4

    Id~l (~r ~r0)|~r ~r0|3 d~r

    ~B = 0~Vm

    Potencial escalar de un lazo de corriente (una espira)

    Vm(~r) = I

    4

    siendo el ngulo slido de la espira visto desde r

  • ~r

    ~r0

    ~r0 ~r

    xy

    zI ~dl

    = Z(~r ~r0) ~dS|~r ~r0|3

    El ngulo slido de la espira v