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SALA: 68- C Animais
Cálculo Diferencial e Integral 2Quarta Feira
4a Aula
Aplicações de Integrais Definidas: Centróide e Volume
Turma: BCT
Prof. Walter Martins
Versão: 2o Semestre de 2010
Prof. Walter Assunto: Centróide
Aplicações das Integrais Definidas
A integral definida para cálculo do Centróide
O problema de determinar o centróide de uma região planar (R) é definido como o centro de massa da região. O centro de massa é o ponto pelo qual esta região R pode ser suspensa sem girar. As coordenadas ( , ) do centróide são dadas por
Exemplo: Achar as coordenadas do centróide da região limitada pela curva y2 = 2x e o eixo x, no intervalo [0,3].
Solução: Acha-se a área
A = = = . 2 . =
Exemplo: Determinar o centróide da figura entre as duas curvas e .
1
= = = 1,8 = = = 0,92
y = (só a parte positiva)
1 2 3 x
y2 = 2xy
Prof. Walter Martins Notas de aula Calculo 2
= = = = = = 0,43
Exemplo: Determinar o centróide de uma semicircunferência positiva.
Solução: A equação da circunferência e , onde . Então, é a semicircunferência.
2
3xy xy
X
(1,1)
r r X
Y22 xry
Prof. Walter Assunto: Centróide
,
como já era esperado.
Exercício: Calcule o centróide de uma semicircunferência. A equação da circunferência e x2 + y2 = r2 , onde r = raio, r = 2. Então y = é a semicircunferência.
(como já era esperado)
3
2 2 X
Y24 xy
Prof. Walter Martins Notas de aula Calculo 2
A = = = =
A = = = = = 0,8488
Exercício: Determinar o centróide da área delimitada pelas parábolas , e o eixo .
(como já era esperado)
4
Y
X110
xfy
Prof. Walter Assunto: Centróide
Aplicações das Integrais Definidas
Volume de sólidos de revolução
Uma região tridimensional (S) que possui as propriedades (a) e (b) a seguir é um sólido:
a) A fronteira de S consiste em um número finito de superfícies lisas que se
interceptam num número finito de arestas que por sua vez, podem se interceptar
num número finito de vértices.
b) S é uma região limitada.
Sólidos de Revolução - Método do Disco
Dada uma região plana e uma linha reta, ou eixo, que pode tocar (a) ou não (b) em
e que esteja no mesmo plano de . Girando-se em torno deste eixo, forma-se um
região no espaço tridimensional denominada sólido de revolução.
5 Sólido gerado pela Rotação.
Área plana
R
b)
Área plana
R
Sólido gerado pela Rotação.
a)
Prof. Walter Martins Notas de aula Calculo 2
Girando o gráfico de uma função tem-se:
Exemplo: Usando o método do disco circular, calcule o volume do sólido gerado pela
revolução da região sob a função , no intervalo .
Exemplo: Achar o volume gerado pela função em
6
xfy
Área plana
Y
Xa b
yxfr
Cálculo do elemento de volume
Y
X
ab
(1,1)
(2,8)
x
r
Elemento de volume
1 2
3xy (1,1)
(2,8)
R
Y
Área plana
a
Y 22 xay
Semi-círculo em rotação
a X
Sólido gerado pela rotação do semi-círculo
X
Y
Prof. Walter Assunto: Centróide
que é o volume da esfera gerada!
Exemplo: Uma região plana pode ser girada em torno do eixo ao invés do eixo , e
novamente um sólido de revolução será gerado.
7
Área plana girando em y
R
y
x
b
a
x = g(y)
y
x
dy
r = x = g(y)
dV
Sólido de revolução da área plana em torno de y
Prof. Walter Martins Notas de aula Calculo 2
V = = que é o volume do sólido
Exemplo: Calcule o volume gerado pela parábola y = x2 girando em torno do eixo de y,
no intervalo [0,4].
O Método do Disco pode ser estendido para o Método dos Anéis Circulares. Este
método surge quando a área de revolução é limitada por duas funções f(x) e g(x), tal que
f(x) > g(x), para todo x[a,b].
8
f(x)
g(x)
a b x
y
dx
dV
Anel projetado
f(x)
y
x
g(x)
Sólido gerado pela revolução
Área plana em revolução
y
Seção plana parábola girando em y
y4
0 2 x
y = x2 x =
x
Sólido gerado pela Parábola de revolução
Prof. Walter Assunto: Centróide
O elemento de volume do anel é dado por:
de forma que o volume todo é dado por:
Note que o vão interno é descontado pela subtração dos dois volumes.
Exemplo: Calcular, usando o método dos anéis circulares, o volume formado pela
rotação da região entre e .
Solução: Faz-se e (pois )
Pontos de Interseção: , isto é:
9
Área entre parábola e reta.
2xyR
(-1,1)
(2,4)
X
Y
Sólido de revolução
X
Y
Prof. Walter Martins Notas de aula Calculo 2
logo
Exercício: Se a revolução for em torno do eixo y, como por exemplo para as funções
e , tem-se:
de forma que o volume todo é dado por:
As vezes, o sólido de revolução é gerado em torno de um eixo externo que pode ser
paralelo a " " ou a " ". O método dos anéis circulares, pode ser aplicado, desde que se
identifique o raio do giro.
Exercício: Achar o volume do sólido gerado pela revolução da região em torno do
eixo . é limitada pelos gráficos de e .
10
X
yfx
ygx
Y
Área entre curvas, em revolução
Sólido gerado pela área em revolução
dV
dy
Y
X
Prof. Walter Assunto: Centróide
Solução: Para isolar-se faz-se: .
Também, se tem que: se
Observação: raio externo e raio interno
(unidades de volume)
11
xy 42
Parábola girando em torno de um eixo externo
Parabolóide gerado pela rotação