Breviar Teoretic Bac

7/25/2019 Breviar Teoretic Bac

1/20

Metode de descompunere n factori

1. Metoda factoru lu i comun

Aceast metod se bazeaz pe proprietatea de distributivitate a nmulirii fa de adunarea/scdereanumerelor naturale : .Exemple:1.3x6 =3(x2) ;2. 5 1 0 5 2;. 2 72 2 2 7 2 2 3 7 .2.Util izarea formulelor de calcul prescurtat

( ) ( ) ( . . ), , 3.Metode combinate

Exemple:

1. 2 2 2 2 2. 1 2 1 1 1 1 3. Metoda I: 3+ 2 2 2 1 2 1 1 2

Metoda II: 3 2 [ 2 ] 2 2 32 12 32 12 1 2

Sume remarcabile

1 2 3 . . 12 ;= 1 2 = 12 16 ; 12 = Modulul unui numr real

Modulul unui numr real x , notat

||, este distana de la origine la punctul ce l reprezint pe o ax a

numerelor. | | 0


2/20

pg. 2 Algebr-Geometrie-Analiz

1)|| 0 , ;2|| 0 0 ; 3| | || ||;4|: | ||: ||, , , 0 ;5| | || ||, , ; 0;6|| ,; 7|| , ,, 0Parte ntreaga unui numr real x , notat , este cel mai mare numr ntreg mai mic sau egal cu x. Diferena se numetepartea fracionara lui x.

Progresii

Aritmetice:

irul este o progresie aritmetic de raie r dac + , 1.( n acest caz scriem

)

Proprieti : 1) progresie aritmetic + , 22)progresie aritmetic 1 , 13)progresie aritmetic . + Geometrice:

irul este o progresie geometric de raie q(q nenul) dac + , 1.( n acest caz scriem

)Proprieti : 1) progresie geometric +, 22)progresie geometric 0 , 13)progresie geometric .

Ecuaia de gradul II cu coeficieni reali 0,. . , 0, 4 - dac

0,

+

- dac 0, : + - dac 0, ,

Soluiile ecuaiei de gradul II verific relaiile lui Viete : Dac numerele, ,


3/20


0Funcii definiii, proprieti

Graficul i imaginea unei funcii:Numim graficul unei funcii:

,|.

Dac f este o funcie numeric (adic A,B R), atunci are o reprezentare geometric ntr-un plan pentru caream ales un reper cartezian. Aceast reprezentare geometric se numete, de obicei, tot graficul funciei f.Imaginea funciei: | Funcii injective, surjective, bijective:

Funcia: este injectiv dac : , , , ,

Funcia: este surjectiv dac: , , , .O funcie se numete bijectiv dac este att injectiv ct i surjectiv.Compunerea funciilor:

Dac: : sunt dou funcii , compusa lor este funcia : () , .Dac notm cu 1: , 1 , funcia identic a mulimii A, atunci 1 , pentru oricefuncie

: i

1 ,pentru orice funcie

: .

Funcii inversabile:

Funcia: se numete inversabil dac exist : , astfel nct 1.Dac exist funcia geste unic ; ea se numete inversa lui f i se noteaz.Pentru , , .O funcie este inversabil dac i numai dac este bijectiv.Simetrii ale graficului:

O funcie: se numetepardac .Graficul unei funcii pare este simetric fa de axa Oy.

O funcie

: se numeteimpardac

.Graficul unei funcii pare este simetric fa de

originea sistemului de coordonate.

O funcie: se numeteperiodicdac exist un numr (numit perioad a lui f) astfel nctf(x+T)=f(x).Cea mai mic perioad strict pozitiv, dac exist, se numete perioad principala a lui f.

Monotonie:

Funcia: se numetefuncie cresctoare(strict cresctoare) dac , , .


4/20


Funcia: se numetefuncie descresctoare(strict descresctoare) dac , , .Funcia se numete monoton (strict monoton )daceste sau cresctoare (strict cresctoare) saudescresctoare (strict descresctoare).

Funcia de gradul II

: , , . . , 0Forma canonic a funciei de gradul II este .Graficul unei funcii de gradul II este o parabol .Coordonatele vrfului parabolei sunt , .Dac >0 graficul funciei intersecteaz axa Ox n dou puncte A1(x1,0) i A2(x2,0), unde x1,x2sunt soluiileecuaiei f(x)=0.

Dac =0 , parabola este tangent a axei Ox , atingnd axa doar cu vrful.

Dac 0parabola admite un minim( este convex) iar dac a < 0 parabola admite un maxim (este concav).

Funcia este monoton pe fiecare din intervalele , , Operaii cu puteri i radicali:

Puterea nti a numrului a este prin definiie a; notm i citim a la puterea nti este egal cu a.Dac n este numr natural cu n2 atunci puterea a-n-a a numrului natural a , se notez (citim a la puterea n) este prin definiie :

.

n ori

Obs .1. a se numete baza puterii iar n se numete exponentul puterii.

2. operaia 0nu are sens.Exemplu:2 2 2 4 ; 3 3 3 3 3 8 1

REGULI DE CALCUL CU PUTERI

1. +2. 3. : 4. 5. : : 6. REGULI DE CALCUL CU RADICALI

1) , a,b0, mN,m22) : : ,a0,b>0, , nN,n2


5/20


3) , a>0 , , m,n,pZ,m,n24) , a,b >0 , , m,n,p,qZ,m,n25) ||

Logaritmul unui numr real pozitiv

def.Fie a,b >0, a1.Soluia unic a ecuaiei , se numete logaritm n baz a din b , i se noteaz log .Proprieti:1) log , , 0 , 12)log 1 0 , log 1 , 0, 13)log 0 , 0,1 , 1, 4)log l o g l o g , , , 0 , 1

5)log : l o g l o g , , , 0 , 16)log l o g , , 0 , 1 , 7)

log , , , 0 , , 18)log , , 0 , , 1

Numere complexe

Mulimea numerelor complexe este |,, 1.Dac atunci partea real a lui z este Rez=a, iar partea imaginar esteImz = b.Dou numere complexe z1=a1+b1i i z2=a2+b2i sunt egaledac a1=a2i b1=b2.

Dac ntr-un plan

alegem un sistem cartezian ortogonal , atunci putem defini o funcie pe C cu valori n

,

care asociaz oricrui numr z=a+bi punctul M de coordonate (a,b).Aceast funcie este bijectiv .Punctul M senumete imaginea lui z iar z se numete afixul lui M.

Puterile unitii imaginare, i: 1 , + , + 1 , + , Conjugatul unui numr complex/: Dac , atunci conjugatul su este . Proprieti:

1) 2 3) : : 4) , 5) 6) Modulul unui numr complex: Dac , atunci modulul su este || .Proprieti:

1) || +, 2)|| 0 0 3) | | || || 4)|: | ||: ||5)|| ||, 6)| | || || 7) ||


6/20


Forma trigonimetric a unui numr complex :Orice numr , se poate scrie : c o s s in , unde r este modulul su , iar 0,2este argumentu l redus. Dac M esteimaginea lui z, iar unghiul t este orientat trigonometric, atunci : , unde: k 0 dac M este n primul cadran 1

2

Operaii cu numere complexe n form trigonometric :

1) cos s in 2): : cos sin 3) cossin, 4) soluiile ecuaiei c o s s in , ( , 2, + , 0,2) cos + s in + , 0 , 1

Permutri.Aranjamente.Combinri.

Fie A o mulime finit cu n elemente i un numr k natural astfel nct 1 k n. Se numete permutare amulimii A orice mulime ordonatcare se poate forma cu elementele sale. Se numete aranjament de nelemente luate cte k ( ale mulimii A) orice mulime ordonat alctuit din k elemente ale lui A. Se numetecombinare de n elemente luate cte k ( a mulimii A ) orice submulime (neordonat) a lui A format din kelemente.

Numere combinatoriale.

Numrul permutrilor de n obiecte este ! 1 2 . , ; 0 ! 1.Numrul aranjamentelor de n obiecte, late cte k este

!! , , , .

Numrul combinrilor de n obiecte, luate cte k este !!! , , , .Proprieti:

1) 2) 3) . . 2Formula binimu lui l ui Newton 0( ) .... .....

n n k n k k n n

n n na b C a C a b C b

Termenul general al dezvoltrii este knkknk

baCT

1, numit i termen de rang k+1.

Probabiliti:n cazul experienelor aleatoare cu un numr finit de cazuri posibile, egal posibile, probabilitatea unui

eveniment A se calculeaz dup regula .Proprieti:1) 1 ;2) Dac evenimentele A i B sunt incompatibile (nu se pot realiza simultan), atunci .n caz de compatibilitate , ;


7/20


3)Evenimentele A i B sunt independente dac .Determinani :

Def.Fie matricea ptratic de ordinul doi .Numrul se numetedeterminantul de ordinul doi sau determinantul matricei A de ordinul doi.

det Proprietate:det(AB)=det(A)det(B)

Inversa unei matrici :

O matrice A este inversabil dac i numai dac det(A)

0. Spunem c A este inversabil dac exist A-1,

numit inversa lui A, astfel nct , este matricea unitate de ordin n. 1det , .Adjuncta se construiete astfel:

1. se scrie transpusa matricii A ( se inverseaz linii cu coloanele)

2. se calculeaz numrul 1+, complementul algebric al elementului aij, dij fiind determinantulobinut prin eliminarea liniei i i a coloanei j,

Rangul unei matriciSe numete minor de ordinul r al matricei A determinantul unei matrice formate cu elementele situate lainterseciile a r linii i r coloane ale matricei A. Numrul natural r este rangul matricei A dac exist un minornenul de ordinul r al lui A, iar toi minorii deordin mai mare dect r, dac exist, sunt nuli.

Sisteme liniare

Forma general a unui sistem liniar de m ecuaii cu n necunoscute este : . . . . . . Forma general a unui sistem liniar cu 3 ecuaii i e necunoscute este :

A= -matricea sistemului B=-matricea termenilor liberi X=

- matriceanecunoscutelor


8/20


Teorema lu i Cramer. Dac m=n i det 0 ,atunci sistemul AX=B este compatibil determinat, iarsoluia sa unic are componentele , unde se obine nlocuind n coloana i cu coloana termenilorliberi.

Teorema Kronecker-Capell i. Un sistem de ecuaii liniare este compatibil dac i numai dac rangul matriceisistemului este egal cu rangul matricei extinse.

Teorema lu i Rouche.Un sistem de ecuaii liniar este compatibil dac i numai dac toi minorii caracteristicisunt nuli.

Def.un sistem de ecuaii liniare n care toi termenii liberi sunt 0 se numete sistem liniar omogen . 0 0 0Un sistem liniar omogen este ntotdeauna compatibil avnd mcar soluia banal x=y=z=0.Metode de rezolvare a sistemelor liniareMetoda lui Cramer Se urmresc urmtorii pai:

1.se calculeaz determinantul matricii associate .Dac det A0 atunci sistemul este compatibil determinat .Dacdet A = 0 atunci sistemul este compatibil nedeterminat.2.se calculeaz , , )care se obine prin nlocuirea coloanei coeficienilor lui x cu coloana termenilorliberi .Avnd n vedere c sistemele liniare omogene au termenii liberi egali cu 0 vom obine 0 0 0 0 analog dy=0 i dz=03.se calculeaz ; ; Deci sistemul va avea soluia banal x=y=z=0Exemplu :

S se rezolve prin metoda Cramer sistemul 2 3 3 02 4 5 05 2 0 Fie A= 2 3 32 4 55 1 2matricea asociat sistemuluid=detA= 2 3 32 4 5

5 1 2 4 2 2 2 3 1 3 5 5 5 4 3 5 1 2 2 3 2 2 3

d0 sistem compatibil determinat cu sol banal x=y=z=0I. Metoda lui Gauss sau metoda eliminrii succesiveConst n eliminarea cte unei necunoscute din ecuaiile sistemului astfel nct sistemuls aib o formtriunghiular sau trapezoidal.Transformrile care se pot face asupra unui sistem i care duc la sisteme echivalente cu sistemul dat sunt:-nmulirea unei ecuaii cu un numr nenul-adunarea unei ecuaii la alt ecuaie nmulit eventual cu un numr nenul-schimbarea ordinii de scriere a 2 ecuaii n sistem.Exemplu :S se rezolve prin metoda lui Gauss sistemul:


9/20


4 3 0 2 3 02 3 0Matricea asociat este A= 4 3 11 2 32 1 3Matricea extins este

4 3 11 2 32 1 3000

1 2 34 3 12 1 3000

++ 1 2 30 11 130 5 9 000

+ 1 2 30 11 130 0 1911 000

1 2 30 11 130 0 1 000

Rescriem sistemul asociat matricei extinse n form liniar :

2 3 0 1 1 1 3 0 0 0 0 0

Precizare Dac ultima ecuaie a sistemului adus la form triunghiular (trapezoidal) are dou sau mai multenecunoscute se pstreaz una dintre acestea ca necunoscut principal , iar celelalte vor fi consideratenecunoscute secundare i se vor nota cu parametri .

Exemplu

3 0 02 4 0dac calculm det A vom observa ca acesta este 0 deci am sistem compatibil nedeterminat.Matricea extins este

3 1 11 1 12 4 1

000

1 1 13 1 12 4 1

000

++ 1 1 10 4 20 6 3

000

1 1 10 2 10 2 1 000 + 1 1 10 2 10 0 0 000Rescriem sistemul 02 0 notez z=i obinem

Legi de compoziie


10/20


Se numete lege de compoziie (operaie)pe mulimea M orice funcie : .O submulime nevid H alui M se numeteparte stabil a lui M n raport cu operaia * dac , .Operaia * se numete asociativ dac (x*y)*z=x*(y*z).

Operaia * se numete comutativ dac x*y=y*x.

Operaia * admite element neutru dac

.

Operaia *admite simetric dac M are element neutru i exist x-1 astfel nct x*x-1=x-1*x=e. ( x se numeteelement simetrizabil).

Structuri algebrice:

1. (M,*) monoid dac: . Dac n plus , M4)- * este comutativ , atuncimonoidul se numete monoid comutativ.

2. (G,*) grup dac: . Dac n plus , G5)- * este comutativ ,atunci grupul se numete grup comutativ sau abelian.

Fie (G,*) i (G,,) dou grupuri. O funcie: ,cu proprietatea , , senumete morfism de grupuri .Dac n plus f bijectiv atunci f se numete izomorfism, caz n care scriem ,.3. , ,inel dac: , ,

. Dac n plus

atunci inelul este comutativ.Inelele Zn. 0 , 1 , 2 , n 1 }se structureaz ca inel n raport cu adunarea i nmulirea modulo n .Restur i modulo n.

Fie a Z inN*.

Conform teoremei de mprire cu rest () i sunt unice dou numere ntregi c,r astfel nct a=nc+r, 0r


11/20


Inele de polinoame.

Fie A un inel comutativ.Expresiile formale de tipul X . . , unde se numesc polinoame n nedeterminata X cu coeficieni n A. Mulimea lor se noteaz A. Dacpolinomul X . . are cel puin un coeficient ainenul , atunci cel maimare n pentru care an

0 , se numete gradul polinomului f; Dac ns toi coeficieni sunt nuli, adic f=0

(polinomul nul ) atunci gradul su este -

.

Dou polinoame X . . X . . sunt egale dac ai=bidef. Fie, ( K corp comutativ). Spunem c:{

1. divide 2. 3 . , , , , , , Teorema lui Bezout. Dac

, atunci :1) restul mpririi lui f la X a este f(a). 2) a este

rdcin pentru f dac i numai dac X a divide pe f.

Relaiile lui Viete.

Dac , , sunt rdacinile polinomului ,an0, atunci au loc relaiile luiViete:

. .

. Dac numerele complexe , , verific relaiile , , atunci ele sunt rdcinile polinomului .

GEOMETRIE

Punctul n plan.

Se consider un reper cartezian .Pentru orice punct A din plan notm cu (xA,yB) coordonatele sale n raport cusistemul ales.

Lungimea AB este egal cu .Coordonatele mijlocului M al segmentului AB sunt : + ; + Coordonatele punctului P , de pe segmentul AB, cu proprietatea c

, sunt ++ ; ++ .Coordonatele centrului de greutate G a triunghiului ABC sunt ++ ; ++ .Vectori n plan:


12/20


Fie ,, o baz ortonormat asociat unui reper cartezian ortogonal din plan. Vectorul de poziie al punctuluiA(xA,yA) este .Coordonatele vectorului , , .Suma vectorilor , ,, , ,, ,.Panta direciei vectorului , este , iar a vectorul este .Condiii de paralelism (coliniaritate) pentru vectorii , ,, ,: , , .Produsul scalar a doi vectori este numrul real | ||| cos, , 0 00, 0 0 .Dac , , , ,.Condiiile de perpendicularitate pentru vectorii

, ,

, ,

0 ,

,

0.

Msura unghiului dintre doi vectori nenuli se poate afla cu ajutorul formulei :cos , | || | ,+,+,+,.Funciitrigonometrice:

sin: 1,1, cos: 1,1, 2 1 , : | .Ele sunt periodice , funciile sinus i cosinus au perioada principal 2, iar funciile tangent i cotangent auperioada principal .

Funciile sinus, tangent i cotangent sunt impare iar cosinus este par.Formule:

1; t g s in c o s 2 , cossin2 Sume i diferene: cos cos cossinsin

sin sin cossincos 1 Formulele pentru unghiul dublu:sin22sin coscos2 2 1 1 2 2 21


13/20


1cos22 ; 1cos22 Substituii universale : +, c o s + , .Funcii trigonometrice inverse :

arcsin: 1,1 , , este strict cresctoare i impar.arccos: 1,1 0, este strict descresctoare. , este strict cresctoare i impar. 0, este strict descresctoare.Proprieti:

1.sin(arcsin x)=x,

1,1. arcsin(sin x)=x, ,

,

2. cos(arccos x) =x, , 1,1 arccos(cos x)=x , , 0, 3.tg(arctg x)=xEcuaii trigonometrice:

1. sin x = a , a 1,1 1 arcsin| 2. cos x =a, a 1,1 arccos2| 3. tg x =a, a | 4. ctg x = a , a

|

Aplicaii ale trigonometriei n geometrie:

Teorema cosinusului: 2cos.Teorema sinusurilor:

2.Teorema medianei: (+) Exprimarea unghiurilor funcie de laturi: sin ;cos ; Formule pentru aria triunghiului: .

R raza cercului circumscris; p semiperimetrul

Dreapta n plan:

Forme pentru ecuaia dreptei:

Forma canonic : unde M(x0,y0) este un punct al dreptei , iar (a,b) este un vector director.


14/20


Forma parametric: , , unde M(x0,y0) este un punct al dreptei , iar (a,b) este un vectordirector.

Forma redus (pentru drepte neverticale): y=mx+n , unde m=, este panta direciei lui .

Dreptele paralele cu axele : drepte verticale au ecuaii de forma x=a , iar cele orizontale de forma y=a.

Forma general: ax+by+c=0 unde , , , 0Dreapta determinat de punctele A i B :

,(un vector director este )Dreapta care trece printr-un punct M(x0,y0) de pant m dat : .Drepte paralele, drepte perpendiculare:

Fie dreptele : : . Avem:

1

Distane , arii :

Distana de la punctul M(x0,y0) la dreapta d: ax+by+c=0 este: , |++|+ .Aria triunghiului ABC: ||, 1 1 1.Punctele A, B i C sunt coliniare dac i numai dac

1 1 1 0

.

ANALIZMATEMATIC

iruri monotone, mrginite, convergente:

irul se numete cresctor (descresctor) dac +, +, .irul

se numete mrginit dac exist

, astfel nct

, .

Un ir se numete convergent dac are limit finit; n caz contrar irul se numete divergent.

Dreapta real ncheiat : ;Pentru orice numr realxconsiderm :

, 0 , 0

0


15/20


; ; ; ; Nu definim i nu au sens urmtoarele( nedeterminri) : ; ; 0 ; 0 ; ; ;1; 0; .

Calculul limitelor funciilor elementareFuncia constant :

: , ,

lim , Funcia identic : : , lim , ; lim ; lim .Funcia putere :1.cu exponent natural : , , , 2lim , ; l im lim , 2 , 2 1 2.cu exponent real

: 0 ; 0 ; ,

,

lim , 0 ;

lim + , 00 , 0 lim 0 , 0 , 0Funcia radical1. : 0 , 0 ,, , , 2 , lim , 0; ; lim 2.: , , , 2 , lim

, ; lim

; lim

3.Funcia exponenial

: 0 ; , , 0 , 1

lim , ; lim , 10, 0 1; lim 0 , 1 ,0 14.Funcia logaritmic : 0 ; , , 0, 1,lim log l o g , 0; Dac a>1 lim log ; lim> log Dac 0< a log 5.Funcii trigonometrice1. Funcia sinus :

: 1;1, s in

lim sin sin ,

Nu exist lim sini lim sin2.Funcia cosinus: 1;1, c o s lim cos cos , Nu exist lim cosi lim cos3. Funcia tangent : , , lim , 2


16/20


lim++

.Nu exist limit la din tg x.4. Funcia cotangent: , ,

lim ,

lim .Nu exist limit la din ctg x.5. Funcia arcsinus: 1;1 ; , arcsinlim arcsin arcsin , 1;16Funcia arccosinus: 1;1 0; , arccos lim arccos arccos , 1;17.Funcia arctangent

:

;

, lim , lim 2 ; lim 28.Funcia arccotantent: 0; , lim , lim 0; lim Limite fundamentale:

lim 1 1 ; lim1 ;

lim sin 1; lim tg 1; lim arcsin 1;lim arctg 1;lim + 1; lim ln , 0, 1;

Asimptote:

Asimptota orizontal: Fie: o funcie astfel nct +este punct de acumulare al domeniului.Dreaptay=l este asimptot orizontal spre +pentru graficul funciei f dac lim .Analog se definete noiuneade asimptot orizontal spre - .


17/20


Asimptot oblic : : Fie: o funcie astfel nct +este punct de acumulare al domeniului. Dreaptay=mx+n, m 0, este asimptot oblic spre +la graficul lui f dac l i m lim .Analog se definete noiunea de asimptot oblic spre - .O funcie nu poate avea simultan asimptot orizontal i oblic.

Asimptot vertical: Fie

: , iar a un punct de acumularea al domeniului.Dreapta x=a este asimptot

vertical la stnga pentru graficul funciei f dac lim . Analog se definete noiunea de asimptotvertical la dreapt.Continuitatea, derivabilitate:

O funie f estecontinu n x0dac .O funcie estederivabil pe (a,b) dac i numai dac este derivabil n orice punct din (a,b).

O funcie f estederivabil n x0dac ,

exist i este finit.

Dac o funcie f este derivabil n x0, atunci ea este continu n x0.

Dac o funcie f este derivabil n x0, graficul funciei f admite tangent n punctul M0(x0,f(x0)).Panta tangenteieste ,, iar ecuaia sa este , .Funcia f este derivabil n x0, dac i numai dac fs,(x0)=fd,(x0) aparine lui R.

Punct unghiular: este un punct , punct de acumulare pentru D, astfel nct este continu n i arederivate laterale diferite n , cel puin una finit.Punct de ntoarcere : este un punct , punct de acumulare pentru D, astfel nct f continu n i arederivate laterale n

, una egal cu

, iar cealalt cu

.

Derivatele funciilor elementare: , 0 , , , , ; , ln , ln , 1 ; log , 1 l n , 0, sin, cos; cos, s i n , , 1 , 2 ; , 1 , | arcsin, 1 1 ; arccos, 1 1 , 1,1 , 11 ; , 11 , Reguli de derivare: , , , , , , , ,


18/20


, ,, ; (), ,() ,; , , , Teorema lu i F ermat

Fie: , , ,un punct de extrem al funciei f .Dac f derivabil n punctul

, ,

0.

Teorema lui Rolle

Fie: , , .Dac :a) f continu pe [a,b]

b)f derivabil pe (a,b)

c) , atunci exis cel puin un punct , astfel nct , 0.Teorema lui Lagrange

Fie

: , , .Dac :

a) f continu pe [a,b]

b)f derivabil pe (a,b) , atunci exist cel puin un , astfel nct ,.Teorema lui Darboux

Dac: este o funcie derivabil pe un interval I, atunci derivata sa ,are proprietatea lui Darboux pe I.Reguli le lu i l H ospital

Cazul.

Fie I un interval, x0punct de acumulare al lui I i f,g dou funcii definite pe

. Dac:

lim l i m 0 0 , , 0 , lim ,, , lim , .

Cazul. Fie I un interval, x0punct de acumulare al lui I i f,g dou funcii definite pe . Dac: lim l i m

, 0 , lim ,, , lim , .

Rolul derivatei n studiul funciilor:

Derivata nti :

. a) Dac. 0 , 0 atunci x0punct de minim(local) al funciei.


19/20


b) Dac. 0 , 0 atunci x0punct de maxim(local) al funcieiDerivata a doua:

a) Dac ,, 0, atunci f este convexpe I.b) Dac

,,

0, atunci f este concav pe I.

PRIMITIVE

Def. Fie I un interval de numere reale i: . Funcia : se numete oprimitiva funciei f dac Feste derivabil pe I i , , . Spunem atunci c f admite (are)primiti ve pe I .Obs.

funcie care admite o primitiv are o infinitate de primitivei oricare 2 primitive diferprintr-o constant, respectiv dac F este o primitiv a lui f , atunci orice primitiv a lui f este deforma:F(x)+c, unde .

mulimea primitivelor funciei f se noteaz cu

i, ntruct

: | folosim scrierea

.

Primiti ve uzuale:

xdx x+ 1 c, pt 1 i 1x d x l n|x| c adx aln a c, pt a 0, a 1 ; n particular ed x e c sin x dx c os x c ; cos x dx sin x c ;

dx tg x c;

dx ctg x c;

d x a rc s in x c; + dx arctg c; 1x a d x l n x x a c , a R ; d x l n x x a c , a R; dx ln + c , a R;

Reguli de calcul cu primiti ve.Dac I un ienterval de numere reale i f,g:IR admit primitive pe I , atunci

,R , funcia f+g:IR admite primitive i .

Formula de integrare prin pri.Dac I interval de numere reale i f.g:IR sunt funcii derivabile pe I , iarfuncia f,g admite primitive , atunci funcia fg,admite primitive i exist relaia numit metoda integrriiprin pri : , , .

Teorema schimbrii de variabil.Dac I,J R sunt interval iu:IJ este o funcie derivabil , iar f:JRadmite o primitive F:JR atunci :


20/20

() ,() Obs. Prin abuz de notaie se scrie formal () , Teorema Leibniz-Newton

Dac

: , este o funcie integrabil care admite primitive, atunci pentru orice primitiv F a lui f are loc

egalitatea . Aplicaii ale integralei Riemann

Aria mulimii a punctelor din plan mrginit de dreptele x=a, x=b,y=0 i graficul funciei continue: , ||. Volumul corpului de rotaie obinut prin rotirea graficului continue: , n jurul axei Ox este

() Calculul unor limite de iruri.Dac 0,1, atunci lim = .

Documents

Breviar Teoretic Bac