Valentin NiculaVasile Dilimo!-Ni15

Petre SimionVictor Nicolae

Anca Silvia Negulescu r Prof.univ,dr.ing.mat. Augustin Semenescu r Carmen Axon

Angela Simona BAltac r Viorel Bindil5 r Clarisa Cavachi . George Cihodariu

Veronica Cojanu o Maria Dan o Gheorghe lonescu o loan Ghiti o Romanta GhitiAlexandru Mihai o Monica Marilena Moldovan o Silvia MugitoiuPaula Nica o ton Otirdseanu o Valentin Pitr6gcoiu o Lenuta Pirlog

Emitia Claudia Preda o luliana Mariana Stoica r Carmen Taflaru

Sorina-Mihaela Toader o Iuliana Tragci o Mircea Trifu o lonel Tudor

Monica Topani o Oana Udrea o Marian Voinea

MATEMATICAclasa a Xll-a

BREVIAR TEORETIC. EXERCITII $l PROBLEME

PROPUSE.SI REZOLVATE. TESTE DE EVALUARE

r filiera teoretici r profilul realr specializarea matematici-informatici

Consultant:Prol. u niv.d r. mqt. e m. OCTAVTAN StAfrtAy ta

NICUtESCU

CUPRINS

AIgebrI

Capitolul I. Grupuri...... .........................8

1. Legi de compo2ifie................. ........................8

2. Proprietifile legilor de compozifie. Structuri algebrice pregrupale... 14

3. No.tiuneade grup.Grupuri finite........... .......20

4. Subgrup al unui grup. Subgrup ciclic. Ordinul unui eIement............26

5. Reguli de calcul intr-un grup........... ............31

6. Morfisme gi izomorfisme de grupuri ...........34

Teste de evaluare .......38

Capitolul II. Inele Si corpuri ...............42

1. Nofiunea de inel.....-.. ..-.............42

2. Reguli de calcul intr-un ine1............. ............47

3. Nofiunea de corp....... ................50

4. Morfisme de inele gi corpuri.... ....................53

Teste de evaluare .......57

Capitolal III. Inele de polinoame.......... .................59

1. Polinoame cu coeficienf, in inele. Operafii cu polinoame.................59

2. impnr,tirea polinoamelor. Teorema restului. Schema lui Horner.......65

3. Divizibilitatea polinoamelor ........................70

4. EcuaSi algebrice. Rldicini multiple...... ......77

Teste de evaluare ..... .....................84

Analizi matematicl

Capitolul I. Primitive.... ..................86

l. Funcfii cu primitive ..................86

2. Metoda integr[rii prin par,ti.... ......................98

3.Metodeledeschimbaredevariabile................. .-..........L02

Capitolul II. Integrale definite ..... l l0l. Diviziuni ale unui interval. Sume Riemann.

Nojiunea de funcfie integrabili.. ............... 1102. Integrabilitatea funcfiilor continue.

Formula lui Leibniz-Newton .......,........... .................... 115

3. Propriet[fi ale integralei definite... .............1204.Integrareafuncfiilorcontinue.Teoremadeihedie....5. Metoda integririi prin p[rf.... .................:..12g6. Metoda schimbirii de variabil[ ...............j.....................131T.Integrarea funcf;ilor rafionale ....................1358. Aplicafii ale integralei definite ..................140Teste de evaluare....- ...................146

RispunsuriAlgebrd ...............:... ...150Analizd matematicd ....204

Capitolul I

GRUPURI

1. Legi de compozifie

IMPORTANT!

Definifia IFiind dat[ o mullime nevid[ M, o funclie g: M xM -+ M se numegte lege

de compozifie (sau operafie algebricl interni) pe mulfimea M.

Pentru simplificarea scrierii, se noteazl opera,tia cu un simbol special, de

exemplu, t o, l- +, X ., (D, @ etc. astfel: dac[ (r,y)e MxM, notem 9(x,y)=x* y.

Notafia q(r,y) =x|! se nume$te notafie aditiv6, iar notalia q(r,y)=x'!,uneori, mai simplu, g(r,y) - r1l se nume$te notafie multiplicativ[.

Exemple:

a) * :1LxZl, -+72, x* y = x+ y - ry este o lege de compozifie pe 71.

Definilia 2

Perechea (M,*), format[ din mulfimea nevidd M gi legea de compozifie

x:M xM -> M se nume$te grupoid.

Defini{ia 3

DacL (U ,x) este un grupoid, iar H c M , H + A, atlnci Il se numegte parte

stabili (inchisi) alui M in raport cu * dacl V("r,y)e HxH = xx le 11. in

acest cM, legea de compozilie *lr*rtHxH -+Ilse nume$te lege de

compozifie indusi, iar (I1,*) se nume$te subgrupoid a lui (lZ,x).

Daci mulfimea M este finitd, M =1x,x,x3,...,x,),n€ IN*, legea de compo-

zifie poate fi exprimatd printr-o tabll Cayley (numit[ pi tabla operafiei), astfel:

Leqi de compozitie I

Exemple remarcabile de legi de compozi{ie pe mullimi finite:

1. Adunarea gi inmulfirea modulo z

Fie ne IN- gi ae Z. Numlr-ul r obf;nut ca rest al impl(irii lui a la z poate fiun numir natural de la 0la n-l care se nume$te restul modulo z al numdrului

a gi se noteazl r=amodn. Se consideri mulfimea q,={0,1,2,...,n-1} a res-

turilormodulo n.l*glle decompozifie @:KnxAun+R, il O:(xq -+\,,definite prin: .r@ y=(x+y)modn, respectiv xOy=(x'y)modn se numesc

adunarea modulo z, respectiv inmul,tirea modulo n.

De exemplu, pentru n=5, 3@ 4=7mod5= 2, sau 2O3=6mod5=1.

Pentru Vne lN.fixat, (&,O) ;i (&,O) sunt grupoizi.

2. Adunarea gi inmullirea claselor de resturi modulo z

Fie ne IN. qi ae Z.Dacd r=amodn,notdm )=lnk+rlte Z) 9i o numim

clasa de resturi a lui a modulo r. Se poate constata cL i=i. ttloltirn"u

Z, =16,i),...,A1 se nume$te multimea claselor de resturi modulo n.l-egile

de compozitje. +:ll,xll'n +2, ;i ':ll,ox|ln -+72,, definite prin: i+ j =ii]r ,

respectiv i'j=fi, se numesc adunarea, respectiv inmul{irea claselor de

resturi modulo n gi se poate constata cd nu depind de reprezentanlii alegi x 9i y ai

claselor.

.De exemplu,in 7lo tabla adundrii este:

012

23^;300ti)

Pentru Vne IN* fixat, (72,,+) Si (22,,.) sunr grupoizi.

Exercifii 9i probleme pentru fixarea cunogtintelor

l,Fie M =72 $i H =22-lztctkeT,|cM. Ardtagcd,H esteparre stabild aluiMin raport cu operatia de adunare a numerelor intregi, adicd (H,+) este subgrupoid

al lui (,ur,+).

2. Fie M =71 gi ry' ={0,1,2,3,4) c M. pe M introducem operafla *, prin rela,tia

x* ! = max(.r,y). Ardtafi ce (U ,*) este subgrupoid al lui (M ,*).

3. Pe muliimea M =lR se definegte operafia x* ! =(*-q)(y -4)+4. Ardtafl cd

l't =14,*) este parte stabill alui M in raport cu legea de compozilie *.

4. Dacd (lR,x) este un grupoid in care x*!=ry-x-y*Z, iar g =(1,2),ardtap, cd (U ,x) este un subgrupoid al lui (lR,x).

5. Pe mulfimea numerelor reale IR se defineqte operafia x* ! =7 xy -7 x -7 y +g.Aritaf, cd H =(1,oo) este parte stabilr a lui IR in raport cu legea de compozifle x.

6. Dacb (lR,t) este un grupoid in care x* ! =-ry - x- y -2, iar H - (*,-I),ardtafi ce (ll,*) este un subgrupoid al lui (IR,x).

7. Fie M =R' qi legea de compozi [ie x * y - ry + 3x + 3y + 6. Arltaf, cd F1 = [-3,o")este parte stabilS alui M in raport cu operalia x.

8. Pe mulfimea IR a numerelor reale, definim legea de compozifie * prin:x* ! = ry + 5x + 5y+ 20, Vx,ye IR.

a) Aritafi cd xxy = (x+5)(f +5)-5, Vx,ye IR;

b) Ardta{i cd, M =f-S,oo) este triarte stabili a lui IR in raport cu operafia *;

Legi de compozitie

c) Calculafi f * r1... * d, r€ IR, ne IN.;de n ori

d) Rezolvali in IR ecua{ia x* x* x* x= x.

9.Fie M=*t{-f ,f} ,, func{iile fo:M -+ M,kelt,2,3), definite astfel:

l2 2)

f,(x)- x, f,(x)=f*, fr(i=I*. Ardtafi ce H =1f,,f,,f,\ este parte

stabil[ a mulfimii F(M)=lf :M -+M] in raport cu operalia de compunere a

funcliilor.

I fa 2b\l l10. Aritafi cd mulfimea y =]e=l 5,6 llo,O.rE gic2 - 5b2 =tf "rt" purt"l u')l )

stabild a lui 9{r(@) ln raport cu operafia de inmul{ire a matricelor

11. Completafl tabla adunlrii gi tabla inmullirii pentru mullimea: a) lZn; b) Zrr.

12. Completafi tabla adunlrii modulo n qi tabla inmul{irii modulo n pentru

mul{imile: a) IRr; b) R,r.

Exercifii gi probteme pentru aprofundarea cunogtinfelor

r. Aritafi cr murtimea c={ar,l=(';' ,],)1,= "ti;}} este parte stabld

a lui 9{r(lR) in raport cu operalia de inmullire a matricelor.

2.Pe M-(r,-)se definegte legea de compozifie *:MxM -+M pinrelaqia:

(x,y')->xxy=logzx+logry. DeterminaS aelR pentrucarelegeaestebinedefinitn.

3. Pe mulSmea numerelor reale se definegte legea de compozif,e x *, =, *T -i,Vx,ye IR. Ar[tafi c[:

a) xx v =(,.;)(, .;)-+,vx,ve IR;

ul ,-l,-l']=-l,vxe rR;' \.2) 2'

c) M =[+,-) este parte stabili a lui IR in raport cu operatia x.

11

12 Grupuri

4. Fie * --{oUr=('^ ':lr.R} ,i operalia x definiti prin: A(.r) xA(y)=t

= A(x). A(y) + A(x) + A(y) - 2I yYA(x), A(y) e M .

a) Calculafi A(-2)* A(2);

b) Ardtafi cd: (M,*) este un grupoid.

5. Pe mul{imea numerelor intregi Z se definesc legile de compozifie : x* y = x* y -3gi x I y = (x-3)(r-3) +3, Yx,y e 71..

a) Rezolvafi in 7l ecaa[ta:. x* x = x L x:

l**(y+t)=t,b) Rezolvafiin zxv.sisremul:

tt, _ll r 1 = 5.

lf t x ax' +zr\l I

6. Fie ae " r, "

=

tl: ; oi

,Jl,. "i Determinari ae rR astrer inc6t G

s[ fie parte stabili a lui flr(lR) in raport cu operafia de inmulfre a matricelor.

7.FieG=(1,2)9i,legeadecompoziflepeGdefinitdprin:xxy=ffi,

V.r,ye G. Ar[tafi ce (C,*) esre un grupoid.

lrt o ,\l Ill'u^,lll8. Aritati ci mul{imea o=ll -, t -i llr. *f "r,"

p*" stabilr a lui fl,(tR)

ll o o i ll I[\" 4 )in raport cu operafia de inmulfire a matricelor.

9. Arehfi c[ mulfimea G=(0,.")\{1} este parte stabile a lui IR* in raporr cu

operafia * definiti prin xr. y = 162b9tt,Vr, ye IRi.

10. Pe mul,timea numerelor naturale nenule se consideri operafla * care asociaz[perechii ( r, y ) . IN* x IN* cel mai mare divizor comun al celor doui numere.

a) Aratafi ca (w.,*) este grupoid;

b) Stabili{i dacd, M ={1,2,3,4,5,6} este parte stabild a lui IN. in raport cu

legea *; prin completarea tabelei Cayley corespunz[toare mulflmii M.

Leoi de compozitie 13

I (t-* o ,\l I

Il.Fie u=le19=l o o, ll,."|1. [, or--)l ]

a) Arltafl cd M este parte stabill a lui %(R) in raport cu operafia de

inmulflre a matricelor;

b) Rezolvaf, in IR ecuaf a: A(x)'A(1) = A("r+ 2025);

c) Calculaii [a(r)]', re IR.

Exercilii gi probleme pentru performanfi

1. Arrtali cr prin corespondent, (r, y)+*-r=*#,ke(0,oo), se

obfine o lege de compozilie pe mulfimea M =(-t-t,t+f ).

2. Pe mulfimea (Ei a numerelor raf,onale strict pozitive se definegte operalia x

astfel incAt sI fie indeplinite simultan urmdtoarele condilii:

a) (x* fl(z* t\ = (xz)* (yr), Vx, y, z,re @l;

b) .x*x=1,V;e (ol;

c) x*l=x,Vre (El.

Calculati 2*a .'253. Fie ne IN,n) 2"si A={.re ltl(n,x)+1}. (Aici amfolositnotafia (c,b) pentru

cel mai mare divizor comun natural al numerelor a Si b.) Aritafi c[ mulfimea A este

parte stabila a ld 7Z in raport cu operafia de adunare a numerelor intregi dacd 9i

numai dacE. n este o putere a unui numir prim.