CLASA a VII-a - Breviar Teoretic și Exemple

Prof. Boroș Adriana

Școala: Liceul Teologic Ortodox Nicolae Steinhardt

E-mail:[email protected]

CLASA a VII-a - Breviar Teoretic și Exemple

TRAPEZUL. LINIA MIJLOCIE ÎN TRAPEZ

Definiție:

Patrulaterul convex care are două laturi paralele și două laturi neparalele se numește trapez.

AB ∥ DC și AD ∦ BC.

Laturile paralele se numesc baze; AB este baza mare (se notează cu B), iar DC este baza mică

(se notează cu b). DE este înălțimea trapezului, iar AC și BD se numesc diagonale.

Clasificarea trapezelor:

Trapez oarecare

Trapez isoscel

Trapez dreptunghic

Proprietățile trapezului:

Proprietatea 1: Suma măsurilor unghiurilor unui trapez este egală cu 3600. (Proprietate specifică

patrulaterelor)

𝑚 ∢𝐴 + 𝑚 ∢𝐵 + 𝑚 ∢𝐶 + 𝑚 ∢𝐷 = 3600

Proprietatea 2: Într-un trapez unghiurile alăturate laturilor neparalele sunt suplementare. (Bazele, fiind

paralele tăiate de o secantă, formează unghiuri interne de aceeași parte a secantei suplementare)

𝑚 ∢𝐴 + 𝑚 ∢𝐷 = 1800 ș𝑖 𝑚 ∢𝐵 + 𝑚 ∢𝐶 = 1800

Trapezul isoscel:

Definiție: Trapezul cu laturile neparalele congruente se numește trapez isoscel.




Dacă ABCD este un trapez isoscel atunci AD = BC.

Proprietatea 1: Într-un trapez isoscel unghiurile alăturate unei baze sunt congruente.

Dacă ABCD este un trapez isoscel atunci 𝑚 ∢𝐴 = 𝑚 ∢𝐵 ș𝑖 𝑚 ∢𝐶 = 𝑚 ∢𝐷 .

Proprietatea 2: Într-un trapez isoscel diagonalele sunt congruente.

Dacă ABCD este un trapez isoscel atunci AC = BD.

Trapezul dreptunghic:

Definiție: Trapezul în care una din laturile neparalele este perpendiculară pe baze se numește trapez

dreptunghic.

Dacă ABCD este un trapez dreptunghic atunci AD ⊥ AB

și AD ⊥ DC, deci 𝑚 ∢𝐴 = 𝑚 ∢𝐷 = 900.

Pentru a demonstra că o figură este trapez isoscel putem folosi:

definiția sau

teoremele de caracterizare

Teorema 1: Un trapez este isoscel dacă și numai dacă unghiurile alăturate unei baze sunt

congruente.

Teorema 2: Un trapez este isoscel dacă și numai dacă diagonalele sale sunt congruente.

Definiție: Segmentul de dreaptă determinat de mijloacele laturilor neparalele ale unui trapez se

numește linie mijlocie în trapez.




M- mijlocul lui AD, iar N- mijlocul lui BC ⇒ MN este linie mijlocie în trapezul ABCD.

Teorema 3: În orice trapez linia mijlocie este paralelă cu bazele și are lungimea egală cu semisuma

lungimilor bazelor.

MN este linie mijlocie ⇒

𝑀𝑁 ∥ 𝐴𝐵𝑀𝑁 ∥ 𝐶𝐷

𝑀𝑁 =𝐴𝐵+𝐶𝐷

2=

𝐵+𝑏

2

Teorema 4: În orice trapez, segmentul determinat de intersecțiile diagonalelor cu linia mijlocie a

trapezului are lungimea egală cu semidiferența lungimilor bazelor.

𝑃𝑄 =𝐴𝐵 − 𝐶𝐷

2=𝐵 − 𝑏

2

Probleme rezolvate:

1. Determinați perimetrul unui trapez care are baza mare de 20 cm, baza mică egală cu 15 cm, iar

o latură neparalelă egală cu 12 cm.

Deoarece ABCD este isoscel avem BC = AD = 12 cm.

P = AB + BC + CD + DA

P = 20+12+15+12 = 59 cm.

2. Fie MNPQ un trapez. Determinați măsurile unghiurilor M și N știind că m (∢𝑃) = 100

0 și

m (∢𝑄) = 1250




Unghiurile M și Q sunt suplementare, deci m (∢𝑀) = 1800

-1250 = 55

0

Unghiurile N și P sunt suplementare, deci m (∢𝑁) = 1800

-1000 = 80

0

3.În trapezul MATE lungimile bazelor sunt de 10 cm, respectiv de 8 cm.

a) Determinați lungimea liniei mijlocii a trapezului;

b) Determinați lungimea segmentului determinat de diagonale pe linia mijlocie.

a) Fie XY linia mijlocie a trapezului. Atunci XY = 𝐵+𝑏

2 =

10+8

2 =

18

2= 9 𝑐𝑚.

b) Fie UV segmentul determinat de diagonale pe linia mijlocie. Atunci UV = 𝐵−𝑏

2 =

10−8

2 =

2

2= 1 𝑐𝑚.

4. Marian are un teren de forma unui trapez isoscel, TERA, pe care dorește să îl împrejmuiască cu un

gard. Câți metri de gard trebuie să cumpere Marian pentru a fi sigur că va împrejmui tot terenul știind

că TE= 100 m, RA = 200 m, iar m (∢𝑅) = 600.




Construim cele două înălțimi TM⊥AR și EN⊥AR. Se obțin două triunghiuri dreptunghice (AMT și

RNE) și dreptunghiul TENM (TE ∥ 𝑀𝑁 și TM ∥ EN, pentru că sunt perpendiculare duse pe aceeași

dreaptă, deci TENM este un paralelogram; dar unghiul TMN este drept, deci TENM este un

dreptunghi).

TENM este un dreptunghi, deci MN = TE =100 m.

𝑇𝐴 = 𝐸𝑅 𝑡𝑟𝑎𝑝𝑒𝑧𝑢𝑙 𝑒𝑠𝑡𝑒 𝑖𝑠𝑜𝑠𝑐𝑒𝑙

𝑇𝑀 = 𝐸𝑁 𝑇𝐸𝑁𝑀 𝑒𝑠𝑡𝑒 𝑑𝑟𝑒𝑝𝑡𝑢𝑛𝑔ℎ𝑖

𝑚 ∢𝑇𝑀𝐴 = 𝑚 ∢𝐸𝑁𝑅 = 900

𝐼.𝐶. ∆𝐴𝑀𝑇 ≡ ∆𝑅𝑁𝐸 ⇒ 𝐴𝑀 = 𝑁𝑅 = 200 − 100 : 2 = 50 𝑚

În triunghiul dreptunghic TAM, 𝑚 ∢𝑇𝐴𝑀 = 600, deci 𝑚 ∢𝐴𝑇𝑀 = 1800 − 900 + 600 = 300.

Atunci AM = AT:2 (S-a folosit Teorema: Într-un triunghi dreptunghic cateta care se opune unui unghi

de 300 are lungimea jumătate din lungimea ipotenuzei triunghiului), deci AT =100 m.

Trapezul fiind isoscel, obținem ER= AT = 100 m.

Deci, PTERA= TE+ER+RA+AT= 100+100+200+100 = 500 m.

Marian are nevoie de 500 m de gard pentru a împrejmui tot terenul.




Fișă de lucru

1. Completați spațiile punctuate pentru a obține propoziții adevărate:

a) Dacă MN și PQ sunt bazele unui trapez, atunci … ∥ … .

b) Un trapez are … diagonale.

c) Un trapez care are laturile neparalele congruente se numește … .

d) Un trapez care are latura neparalelă perpendiculară pe baze se numește … .

e) Diagonalele unui trapez isoscel sunt … .

f) Suma măsurilor unghiurilor unui trapez este egală cu … .

g) Unghiurile alăturate laturilor neparalele a unui trapez sunt … .

h) Un trapez dreptunghic are … unghiuri drepte.

i) Într-un trapez isoscel unghiurile alăturate unei baze sunt … .

j) Segmentul determinat de mijloacele laturilor neparalele a unui trapez se numește … .

Indicații:

Dacă e nevoie, recitește partea teoretică a lecției

2. Un trapez isoscel are baza mare egală cu 16 cm, baza mică egală cu un sfert din lungimea bazei

mari, iar laturile neparalele egale cu baza mică. Determinați perimetrul trapezului.

Indicații:

Determină lungimea bazei mici și a laturilor neparalele ținând cont de informațiile din

ipoteza problemei

Calculează perimetrul trapezului

Va trebui să obții P = 28 cm.

3. Fie triunghiul ABC echilateral, iar M și N mijloacele laturilor [AB], respective [AC].

Demonstrați că MBCN este un trapez isoscel.

Indicații:

Demonstrați că MN este paralelă cu BC

Justificați că MB ∦ NC

Folosiți una din teoremele prezentate sau definiția pentru a demonstra că trapezul format

este isoscel.

4. În trapezul DEFG, lungimile bazelor sunt egale cu 40 m, respectiv 50 m. Determinați lungimea

liniei mijlocii a trapezului DEFG

Indicații:




Folosește formula pentru a calcula lungimea liniei mijlocii

5. Fie ABCD (AB ∥CD) un trapez dreptunghic. Să se determine perimetrul trapezului ABCD

știind că CD = 15 m, AD = 10 m și 𝑚 ∢𝐴𝐵𝐶 = 450.

Indicații:

Realizează un desen cu creionul și instrumentele geometrice

Trasează înălțimea trapezului din C și notează această înălțime CE

Demonstrează că AECD este un dreptunghi

Stabilește natura triunghiului CEB

Determină lungimea lui BC, aplicând teorema lui Pitagora

Află perimetrul trapezului (va trebui să obții P = 50+10 2 m)

6.*

Fie triunghiul MNP isoscel (MN=MP), iar Q și R mijloacele laturilor [MN], respectiv [MP].

Stabiliți natura patrulaterului DERQ, unde punctele D și E sunt situate pe latura (NP) astfel

încât ND = DE = EP.

Indicații:

Realizează un desen pentru a intui răspunsul corect

Justifică paralelismul și congruența laturilor patrulaterului DERQ

7.*În trapezul isoscel ABCD (AB ∥ CD, AB < CD), diagonala DB este perpendiculară pe latura

BC. Determinați perimetrul trapezului și lungimea diagonalei [DB], știind că 𝑚 ∢𝐴 = 1200 și

AD = 10 cm.

Indicații:

Demonstrează că triunghiul ABD este isoscel

Determină lungimea bazei mari, DC

Calculează perimetrul trapezului

Aplică teorema lui Pitagora în triunghiul DBC pentru a determina lungimea diagonalei DB

(trebuie să obții 10 3 cm)

Documents

CLASA a VII-a - Breviar Teoretic și Exemple