GEOMETRIE - Breviar Teoretic Cu Exemple Concrete Pentru Evaluarea Nationala

7/26/2019 GEOMETRIE - Breviar Teoretic Cu Exemple Concrete Pentru Evaluarea Nationala

1/17

GEOMETRIE-Evaluare Naional2010 Prof. IGNTESCU VIOREL OVIDIU

39

BREVIAR TEORETIC CU EXEMPLE CONCRETE,

PENTRU PREGTIREA EXAMENULUI DEEVALUARE NAIONAL, clasa a VIII-a - 2010

Propuntor: Prof. IGNTESCU VIOREL OVIDIU

coala cu clasele I-VIII Mteti, com. Spoca, jud. Buzu

V. 1. Msurare i msuri (lungime, arie, volum, mas, capacitate, timp)

Unitatea de msurpentru lungimeeste metrul(m). El are multiplii urmtori : decametrul

(dam), hectometrul (hm), kilometrul (km) i submultiplii urmtori: decimetrul (dm), centimetrul(cm), milimetrul (mm).Multiplii Unitatea

principalam

Submultiplii

km hm dam dm cm mm

0,001 0,01 0,1 1 10 100 10001 10 102 103 104 105 106

Ex. de transformri:321,15 dm = 32,115 m= 3211,5 cm = 32115 mm;9485 m=948,5 dam= 94,85 hm=9,485 km.

Perimetrul ptratului P = 4l; perimetrul dreptunghiului P= 2l+2L.

Unitatea principalpentru msurarea suprafeeloreste metrul ptrat(m2), care reprezintaria unui ptrat cu latura de 1m. Multiplii sunt :dam2, hm2, km2. Submultiplii sunt : dm2, cm2, mm2.

Multiplii Unitateaprincipala

m2

Submultiplii

km2 hm2 dam2 dm2 m2 mm2

10-6 10-4 10-2 1 102 104 106

Ex. de transformri :2,75 hm2=275 dam2=0,0275 km215,25 dm2=152500 mm2=1525 cm21 hectar =1 ha =1 hm21 ar = 1 dam2

Aria ptratului A =l2 ; Aria dreptunghiului A =lL.Unitatea principal pentru msurarea volumului este metrul cub (m3), care reprezint

volumul unui cub cu latura de 1 m.


m3

Submultiplii

km3 hm3 dam3 dm3 cm3 mm3

10-9 10-6 10-3 1 103 106 109

Ex. 0,021 dm3=21 cm3=21000 mm349 dam3=0,049 hm3=49000 m3

Volumul cubului V =l3

www.mateinfo.ro Revista Mateinfo.ro ISSN 2065 6432 nr. ianuarie 2010
http://www.mateinfo.ro/http://www.mateinfo.ro/http://www.mateinfo.ro/http://www.mateinfo.ro/http://www.mateinfo.ro/http://www.mateinfo.ro/http://www.mateinfo.ro/


2/17


40

Volumul paralelipipedului dreptunghic : V =lLh.Unitatea de msura a capacitii(volumul ocupat de un lichid) este litrul (l) .

1l=1 dm3.Multiplii Unitatea

principalal

Submultiplii

kl hl dal dl cl ml

0,001 0,01 0,1 1 10 100 1000

Ex. 145 l = 1,45 hl =14500 cl4,18 hl =0,418 kl =418 l=41800 cl.

Unitatea principalde msurpentru maseste gramul (g) care are submultiplii : dg, cg, mgi multiplii :dag, hg, kg.


g

Submultiplii

kg hg dag dg cg mg

0,001 0,01 0,1 1 10 100 1000

Ex. 25,3 hg =253 dag =2,53 kg =2530 gUnitatea principalde msura pentru timpeste secunda (s).

1 ora (h) =60 minute (min) =3600 secunde (s)Ex. 372 s =60 min 12 s0,4 h =0,4x60 min =24 min =24x60 s = 1440 s48 min 27 s + 5h 56 s = 5h 48 min 83 s = 5h 49 min 23 s

V. 2. Dreapta

Punctul, dreaptai planulsunt noiuni geometrice fundamentale care nu se definesc.

x A punct

plan

dreapta

d

Axioma dreptei: prin doupuncte distincte trece o dreapti numai una.


3/17


41

Vom scrie A, B d, Cd.Doudrepte pot fi : concurente(cnd au un singur punct comun), paralele(dacnu au nici

un punct comun, dar fac parte din acelai plan), necoplanare(dacnu sunt situate n acelai plan).

Semidreaptaeste o parte dintr-o dreapt, limitatde un punct numit origine.Segmentul este mulimea punctelor de pe o dreapt aflate ntre doupuncte aledreptei, numite capete. Lungimea segmentului este distana dintre capetele segmentului. Dousegmentese numesc congruentedacau aceeai lungime. Mijloculunui segment este punctul caremparte segmentul n dousegmente congruente.

Trei sau mai multe puncte se numesc coliniare dac aparin aceleiai drepte. Se numescpuncte coplanarepunctele care se afln acelai plan.

O dreaptpoate fi : coninutntr-un plan (daccel puin 2 puncte ale ei aparin planului),paralelcu planul (dacea nu are puncte comune cu planul), incident( dacare un singur punctcomun cu planul).

V. 3. Unghiul

Figura geometricformatdin dousemidrepte care au originea comunse numete unghi.

Unghiul poate fi : nul (cnd laturile sale coincid), alungit (cnd laturile sunt semidrepteopuse), propriu(cnd nu e nici nul, nici alungit).

Masura unui unghi este dat de deschiderea dintre laturile sale. Unitatea de msura aunghiului se numete grad (sexagesimal) cu multiplii : minutul (10 =60) i secunda (1=60).Instrumentul de msureste raportorul.

Unghiul poate fi : ascuit(cnd msura sa este mai micde 900), obtuz(cnd msura sa este

mai mare de 90

0

) sau drept(cnd are 90

0

).Ex. a) 6204557 +1802936= 8007493= 8101493= =8101533b) 13501812 4203625=13407772 - 4203625= 9204147

c) 3 14053=420159=420239d) 1250 : 4=124060 : 4=31015

Dou unghiuri care au msurile egale se numesc unghiuri congruente. Dou unghiuriproprii care au vrful comun i o laturcomunsituatn interiorul unghiului format de cele douunghiuri se numesc unghiuri adiacente.


4/17


42

Bisectoareaunui unghi propriu este semidreapta cu originea n vrful unghiului, situatninteriorul acestuia, care formeazcu laturile unghiului iniial douunghiuri congruente.

Dou unghiuri se numesc suplementare dac suma msurilor lor este de 1800. Douunghiuri se numesc complementaredacsuma msurilor lor este de 900.Ex. Suplementul unghiului de 7502917 este1800-7502917=17905960-7502917=10403043Complementul su este900-7502917=8905960-7502917=1403043

Dou unghiuri cu acelai vrf care au laturile unuia n prelungirea laturilor celuilalt se

numesc unghiuri opuse la vrf. Dou unghiuri opuse la vrf sunt congruente. Suma msurilorunghiurilor formate n jurul unui punct este de 3600.

V. 4. Congruena triunghiurilor ; perpendicularitate n plan ; paralelism

Figura geometricformatdin cele trei segmente determinate de trei puncte necoliniare senumete triunghi. Suma lungimilor laturilor unui triunghi se numete perimetrul triunghiului (P),iar jumtatea acestuia este semiperimetrul (p). Dup laturi triunghiul poate fi: scalen (laturile aumsuri diferite), isoscel (dou laturi sunt congruente), echilateral (toate laturile sunt congruente).Dupunghiuri triunghiul poate fi: ascuitunghic(toate unghiurile sunt ascuite), dreptunghic(ununghi este drept), obtuzunghic(un unghi este obtuz). Suma msurilor unghiurilor n orice triunghi

este de 1800. Unghiul care este adiacent i suplementar cu un unghi al unui triunghi se numeteunghiexterior al triunghiului.

Doutriunghiurisunt congruentedaclaturile triunghiurilor sunt respectiv congruente iunghiurile sunt respectiv congruente. Cazurile de congruenpentru triunghiuri oarecare:-L.U.L. (latur-unghi-latur)-U.L.U. (unghi-latur-unghi)-L.L.L. (latur-latur-latur)Datoritcriteriului 2 i faptului csuma msurilor unghiurilor n triunghi este 1800, se poate enuna-L.U.U. (latur-unghi-unghi)

Metoda triunghiurilor congruente ajut la demonstrarea congruenei a dou laturi saudouunghiuri pe care trebuie sle ncadram n triunghiri despre care se va arta csunt congruente(conform unuia din cazurile de congruen).

Ex. n figura urmtoare ABCDCB i ACB DBC. Demonstrm c BAC BDC i

[AC][BD].


5/17


43

Privim ABC i DCB. Avem ACB DBC (ipotez), [BC][BC] (lat. comun) i ABC

DCB (ipotez)(conform U.L.U.) ABC DCBBAC BDC i

[AC][BD].Doudrepteconcurente sunt perpendicularedacunul din unghiurile ce se formeazn

jurul punctului lor comun este unghi drept (dg).

Fiind dat un punct A exterior dreptei d, atunci punctul B d a. . AB d se numetepiciorul perpendiculareidin A pe d.

Distana de la un punct exterior unei drepte la dreapteste distana dintre punct i piciorulperpendicularei duse din acel punct pe dreapt d( A, d) = AB.

Criteriile de congruenale triunghiurilor dreptunghice :-C. C. (catet-catet)-C. U. ( catet-unghi)-I. U. (ipotenuz-unghi)I. C. (ipotenuz-catet)

Proprietatea bisectoarei : un punct din interiorul unui unghi propriu aparine bisectoareiunghiului daci numai dacDistanele de la punct la laturile unghiului sunt egale.

Concurena bisectoarelor ntr-un triunghi : n orice triunghi cele trei bisectoare suntconcurente ( punctul lor de intersecie este centrul cercului nscrisn triunghi).

Mediatoareaunui segment este dreapta perpendicularpe segment n mijlocul acestuia.Proprietatea mediatoarei: un punct aparine mediatoarei unui segment daci numai dacare distanele egale fade extremitile segmentului.

Concurena mediatoarelor: n orice triunghi mediatoarele celor trei laturi sunt concurente( punctul lor de intersecie este centrul cercului circumscristriunghiului).

Doudreptesuntparalele dacsunt coplanare i nu au nici un punct comun.Axioma paralelelor (Euclid) : printr-un punct exterior unei drepte date, trece o singur

paralella dreapta dat.Dou drepte intersectate cu o secant formeaz o pereche de unghiuri alterne interne

congruente, daci numai dacdreptele sunt paralele.


6/17


44

d ||d 12

ntr-un triunghi, segmentul care unete mijloacele a doulaturi se numete linie mijlocieatriunghiului i ea are proprietatea c e paralel cu cea de-a treia latur i jumtate din lungimeaacesteia.

MN linie mijlocie

MNBC i 2MN=BC

V. 5. Proprieti ale triunghiurilor

Suma msurilor unghiurilor unui triunghi este 1800.Msura unui unghi exterior unui triunghi este egalcu suma msurilor celor douunghiuri

ale triunghiului neadiacente cu el.O nlime a unui triunghi este segmental determinat de un vrf al triunghiului i piciorul

perpendicularei dusdin acel vrf pe latura opus.nlimile n orice triunghi sunt concurente, iar punctul lor comun se numete ortocentrul

triunghiului (H).

Segmentul determinat de un vrf al unui triunghi i mijlocul laturii opuse se numetemedian.

Medianele n orice triunghi sunt concurente; punctul lor comun se numete centrul degreutateal triunghiului i se aflla 2 treimi de vrf i o treime de baz.

GB=2/3 BM ;GM=1/3 BM.

Proprietile triunghiului isoscel:-ntr-un triunghi isoscel unghiurile alturate bazei sunt congruente-ntr-un triunghi isoscel bisectoarea unghiului din vrf, nlimea i mediana corespunztoare bazeicoincid i sunt incluse n mediatoarea bazei-medianele laturilor congruente sunt congruente (analog pentru nlimi, bisectoare)

Proprietile triunghiului echilateral :


7/17


45

-ntr-un triunghi echilateral toate unghiurile sunt congruente (au 600)-ntr-un triunghi echilateral mediana, bisectoarea i nlimea fiecrei laturi coincid i sunt incluse nmediatoarea laturii respective.

Proprietile triunghiului dreptunghic :-ntr-un triunghi dreptunghic isoscel unghiurile alturate bazei au fiecare 450-ntr-un triunghi dreptunghic lungimea medianei corespunztoare ipotenuzei este egalcu jumtatedin lungimea ipotenuzei-ntr-un triunghi dreptunghic cateta care se opune unghiului de 300este jumtatea ipotenuzei-centrul cercului circumscris triunghiului dreptunghic ( intersecia mediatoarelor) se afllamijlocul ipotenuzei-ortocentrul unui triunghi dreptunghic este vrful triunghiului drept.

V. 6. Patrulatere. Arii

Suma msurilor unui patrulater convex este este egalcu 3600.Paralelogramuleste patrulaterul convex cu laturile opuseparalele.

Dreptunghiuleste paralelogramul cu un unghi drept.

Rombuleste paralelogramul cu doulaturi consecutive congruente.

Ptratul este dreptunghiul cu dou laturi consecutive congruente (sau este rombul cu ununghi drept).


8/17


46

Trapezuleste patrulaterul convex cu doulaturi paralele numite baze i doua neparalele.

Segmentul care unete mijloacele laturilor neparalele se numete linie mijlocien trapez;este paralelcu bazele i egalcu semisuma lor.

Proprietile paralelogramului :-laturile opuse sunt congruente-unghiurile opuse sunt congruente-unghiurile alturate sunt suplementare

-diagonalele au acelai mijlocProprietile dreptunghiului :-are toate proprietile paralelogramului-toate unghiurile au 900-diagonalele sunt congruente

Proprietile rombului :-are toate proprietile paralelogramului-are toate laturile congruente-diagonalele sunt perpendiculare i sunt bisectoarele unghiurilor

Proprietile ptratului :-are toate proprietile dreptunghiului i ale rombului

Arii :

-aria triunghiului A=2

hB

-aria triunghiului dreptunghic A=2

21 cc

-aria paralelogramului A=Bh

-aria dreptunghiului A=lL

-aria rombului A=Bh=2

Dd

-aria ptratului A=l2

-aria trapezului A=2

)( hbB +

V. 7. Asemnarea triunghiurilor

Teorema paralelelor echidistante : Dac dreptele paralele d1, d2, ..., dn determin pe osecantsegmente congruente, atunci ele determinpe orice altsecantsegmente congruente.

Teorema lui Thales :O paraleldusla una din laturile unui triunghi determinpe celelaltedoulaturi segmente proporionale.


9/17


47

MN BC NCMB

=ANAM

Teorema paralelelor neechidistante : Dreptele paralele d1, d2, ..., dn determin pe dousecante oarecare segmente proporionale.

Teorema bisectoarei :ntr-un triunghi bisectoarea unui unghi determin pe latura opusdousegmente proporionale cu laturile unghiului.

[AD bisectoarea BAC ACDC

=ABBD

Teorema fundamental a asemnrii : O paralel la una din laturile unui triunghiformeazcu celelalte doulaturi un triunghi asemenea cu cel dat.

MN BC ABC AMNCriteriile de asemnare :

-cazul I : doutriunghiri sunt asemenea dacau douunghiuri respectiv congruente ;-cazul II : doutriunghiri sunt asemenea dacau 2 laturi respecriv proporionale i unghiurile dintreaceste laturi congruente ;-cazul III : doutriunghiuri sunt asemenea dacau laturile respectiv proporionale.

V. 8. Relaii metrice n triunghiul dreptunghic

Teorema nlimii: ntr-un triunghi dreptunghic lungimea nlimii corespunztoareipotenuzei este media geometrica lungimilor proieciilor catetelor pe ipotenuz.

BD2= AD DCTeorema catetei: ntr-un triunghi dreptunghic lungimea unei catete este media geometrica

lungimii proieciilor sale pe ipotenuzi a lungimii ipotenuzei.


10/17


48

AB2= AD DC; BC2= DC ACTeorema lui Pitagora: ntr-un triunghi dreptunghic ptratul lungimii ipotenuzei este egal cu

suma ptratelor lungimilor catetelor.AC2= AB2+BC2

Definirea funciilor trigonometrice:

sinus(sin) = cateta opus/ ipotenuzcosinus(cos)= cateta alturat/ ipotenuztangenta(tg) = cateta opus/cateta alturatcotangenta(ctg) = cateta alturat/ cateta opus

Formula fundamentala trigonometriei:sin2x+cos2x=1

Valori ale funciilor trigonometrice pentru cteva unghiuri:sin cos tg ctg

300

2

1

2

3

3

3

3

450

22 22 1 1

600

2

3 2

1 3

3

3

Cteva formule de trigonometrie:cosx=sin ( 90-x); tgx= sinx/ cosx;ctgx=1 / tgx; ctgx= tg (90-x)

Aria unui triunghi:

A= 2 sinBBCAB ; A = 2cos2sin

BCAB BB ;

A= ))()( cpbpa (pp , unde a, b, c sunt laturile triunghiului, iar2

p=cba ++

.

4

32lA = (pentru triunghiul echilateral)

Raza cercului nscris ntr-un triunghi: r =p

S

Raza cercului circumscris unui triunghi : R =S4

abc

V. 9. Cercul. Poligoane regulate

1=centrul cercului


11/17


49

=coarda

e centrul cercului, iar laturile sunt raze) : msura este egalcu msura

e cerc, iar laturile sunt coarde) : msura este egalcu jumtatea

t coarde) : msura este

iar laturile sunt coarde) : msura esteuprinse ntre laturi.

i tangenta ntr-un punct sunt perpendiculare)

de o diagonal cu o latureste

ate laturile i toate unghiurile congruente.at.

Calculul elementelor n poligoane regulate:

ra aria

2=diametrul3=raza4

Unghiuri n cerc:-unghi la centru (vrful estarcului cuprins ntre laturi.-unghi nscris n cerc (vrful este pmsurii arcului cuprins ntre laturi.-unghi cu vrful n interior (vrful este n interiorul cercului, iar laturile sunegalcu semisuma msurilor arcelor cuprinse ntre laturi i prelungirile lor.-unghi cu vrful n exterior (vrful este n exteriorul cercului,egalcu semidiferena msurilor arcelor c Poziiile unei drepte fade cerc :-secant: are doupuncte comune cu cercul-tangent: are un punct comun cu cercul ( raza

-exterioar: nu are puncte comune cu cercul.Patrulatere inscriptibile (cu vrfurile pe un cerc) ; proprieti :-un patrulatereste inscriptibildaci numai dacunghiurile sale opuse sunt suplementare-un patrulater este inscriptibil daci numai dacunghiul formatcongruent cu unghiul format de cealaltdiagonalcu latura opus.

Un poligon regulateste poligonul convex cu toEx : triunghiul echilateral, ptratul, hexagonul regul

latu apotema(=r)triunghi

echilateral

R 3

2

R

4

33 2R

ptrat R

2

2R

2 2R2

hexagonregulat

R

2

3R

2

33 2R

unde R=raza cercului circumscris, iar r= raza cercului nscris.

2R

Aria discului : A= R2.

. 10. Puncte, drepte, plane.Paralelism n spaiu

Lungimea cercului : L =

V

determinatde:

care nu-i aparine

oudclid : Printr-un punct exterior unei drepte se poate duce o paraleli numai

ice plan care conine dreapta i-l intersecteazpe

Un planpoate fi-trei puncte necoliniare-o dreapti un punct-doudrepte paralele-d repte concurente

Axioma lui Euuna la dreapta data.

Teoreme de paralelism :-daco dreapteste paralelcu un plan, atunci or

primul o face dupo dreaptparalelcu cea dat.


12/17


50

plan conine doudrepte concurente care sunt paralele cu un alt plan, atunci planele sunt

ane paralele determin pe dou drepte oarecare pe care le intersecteaz segmenteroporionale.

. 11. Perpendicularitate n spaiu

-dndu-se douplane paralele, orice dreaptdintr-unul este paralelcu cellalt.-dacun plan intersecteazdouplane paralele, atunci dreptele de intersecie sunt paralele.-dacun

paralele.- douplane paralele cu un al treilea plan sunt paralele ntre ele.- mai multe pl

pV

este perpendicular pe dou drepte concurente din plan, atunci ea este

e

l cu piciorul celei de a doua perpendiculare esteoninutn plan.

e unghi ascuit sau drept cu vrful n

umim unghi al unei drepte cu un planunghiul pe care acea dreaptl face cu proiecia ei

te unghi diedru figura geometric format de dou semiplane delimitate de

planele ce formeazdiedrul avnd originea pe muchia diedrului i fiinderpendicularpe acestea.

. 12. Poliedre

Se numesc drepte perpendicularedoudrepte care formeazun unghi drept.Dac o dreapt

perpendicularpe plan.Teoreme :

-douplane perpendiculare pe aceeai dreaptsunt paralel-doudrepte perpendiculare pe acelai plan sunt paralele

-teorema celor trei perpendiculare: dac dintr-un punct exterior unui plan se duce operpendicularpe acel plan, iar din piciorul acesteia se duce o perpendicularpe o dreaptconinutn plan, atunci dreapta ce unete punctu

perpendicularpe dreapta c Unghiuri n spaiu:

Prin unghiul a doudrepte n spaiu nelegem oricorice punct al spaiului i cu laturile paralele cu dreptele date.

Npe plan.

Se numeaceeai dreapt.

Se numete unghi planasociat unui unghi diedru unghiul determinat de dousemidrepteconinute respectiv n semipV

=

-cubul:A=6l2

l3V=

d 3l

a l dreptunghic:

+hl)

2=l2+L2+h2

-p ralelipipedu

Alat=2(L+l)hA =2(lL+hL

V= lLhd


13/17


51

baza poligon regulat):

ei)

2Ab (Ab=aria bazei)=Abh

risma triunghiularregulat:

risma patrulatarregulat:

risma hexagonalregulat:

tetraedrul regulat(toa unt congruente)

-prisma regulat(prisma dreaptcu

Alat=PBh (PB= perimetrul baz

Atot= Alat+VP

P

P

- te muchiile s

3= , ap=

6lh

2, A =l2

3l3 , V=

12

23l


14/17


52

gulat (are baza poligon regulat, iar piciorul perpendicularei din vrf este centrul-piramida rebazei)

Alat= 2 (apb aP

p=apotema piramidei)

2ab=apotema bazei)

Atot=Ab+Alatap = (h

2+ab2

V =3

iramidtriunghiularregulat

Piramidpatrulaterregulat

iramidhexagonalregulat

hAb

P

P


15/17


53

-trunchiul de piramid(regulat)

Alat=2

)( pbB aPP + (PB=perimetrul bazei mari, Pb=perimetrulbazei mici)

Atot=AB+Ab+Alat

V = (h ++ )bBbB AAAA3 (AB=aria bazei mari,Ab=aria bazei mici)ap

2=h2+(aB-ab)2 (aB=apotema bazei mari, ab= apotema bazei mici)

Trunchi de piramidtriunghiularregulat

Trunchi de piramidpatrulaterregulat


16/17


54

Trunchi de piramidhexagonalregulat

V. 13. Corpuri rotunde-cilindrul circular drept:Alat=2RGAtot=2R(R+G)V=R2h

-conul circular drept:G

2=h2+R2

Alat=RGAtot=R(R+G)

V=3

2 hR


17/17


55

-trunchiul de con:

Alat=g(R+r)Atot=R

2+r2+Alat

V = )(

3

RrrR ++ 22h

-sfera:A=4R2

V =3

4 3R

Documents

GEOMETRIE - Breviar Teoretic Cu Exemple Concrete Pentru Evaluarea Nationala