Upload
others
View
9
Download
0
Embed Size (px)
Citation preview
Nume prenume: MUNTEAN Doina
Școala: Colegiul Național „Ioan Slavici” Satu Mare
E-mail: [email protected]
CLASA a X-a
BREVIAR TEORETIC ȘI EXEMPLE
FUNCȚIAEXPONENȚIALĂ
Definiția 1. Funcția𝒇:𝑹 → 𝟎, +∞ , 𝒇 𝒙 = 𝒂𝒙,𝒂 > 0,𝑎 ≠ 1se numește funcție exponențială de
bază a.
Obsevația 1. Vom considera 𝑎 ∈ 0,1 ∪ 1, +∞ , deoarece dacă 𝑎 = 1, 𝑓 𝑥 = 1.
Proprietățile funcției exponențiale
1.𝑓 0 = 1, pentru orice bază a
Exemplul 1.Reprezentarea grafică a funcției𝑓 x = 𝑎𝑥 trece prin punctul 0,1 situat pe axa𝑂𝑦
2. 𝑓 𝑥 > 0, pentru orice 𝑥 ∈ 𝑅, și orice bază 𝑎
Exemplul 2. Reprezentarea grafică a funcției𝑓 x = 𝑎𝑥este situată în semiplanul superior și nu
intersectează axa 𝑂𝑥.
Nume prenume: MUNTEAN Doina
Școala: Colegiul Național „Ioan Slavici” Satu Mare
E-mail: [email protected]
3. Funcția exponențială este strict monotonă
Teorema 1. Funcția𝑓:𝑅 → 0, +∞ , 𝑓 𝑥 = 𝑎𝑥 , este strictmonotonă:
dacă a > 1, atunci f este strict crescătoare;
dacă 0 < a < 1, atunci f este strict descrescătoare.
Exemplul 3. Să studiem variația funcției exponențiale𝑓(𝑥) = 2𝑥 .
Baza este 𝑎 = 2 > 1, supraunitară. Calculăm câteva valori:
𝑥 −∞ … −2 −1 0 1 2 … +∞
2𝑥 2−2 =
1
4= 0,25
0,5 1 2 4
Observi că atunci când cresc valorile lui 𝑥 și valorile funcției cresc. Concluzia este că funcția este
crescătoare.
Exemplul 4. Să studiem variația funcției exponențiale𝑓(𝑥) = 1
2 𝑥
.
Baza este 𝑎 =1
2> 1, subunitară. Calculăm câteva valori:
𝑥 −∞ … −2 −1 0 1 2 … +∞
1
2 𝑥
1
2 −2
= 22 = 4 2 1 1
2
1
4
Nume prenume: MUNTEAN Doina
Școala: Colegiul Național „Ioan Slavici” Satu Mare
E-mail: [email protected]
Observi că atunci când cresc valorile lui 𝑥, valorile funcției descresc. Concluzia este că funcția este
descrescătoare.
4. Funcția 𝑓:𝑅 → 0, +∞ , 𝑓(𝑥) = 𝑎𝑥 este injectivă
Orice funcție strictmonotonă este injectivă. Funcția exponențială este strict monotonă, deci este
injectivă.
Au loc proprietățile:
pentru orice 𝑚,𝑛 ∈ 𝑅, astfel încât 𝑚 ≠ 𝑛 rezultă 𝑎𝑚 ≠ 𝑎𝑛 ;
pentru orice 𝑚,𝑛 ∈ 𝑅, astfel încât 𝑎𝑚 = 𝑎𝑛 rezultă 𝑚 = 𝑛.
5. Funcția 𝑓:𝑅 → 0, +∞ , 𝑓(𝑥) = 𝑎𝑥 este surjectivă
6. Funcția 𝑓:𝑅 → 0, +∞ , 𝑓(𝑥) = 𝑎𝑥 este bijectivă
7. Funcția 𝑓:𝑅 → 0, +∞ , 𝑓(𝑥) = 𝑎𝑥 este inversabilă
Exercițiul 1. Să se afle valorile lui 𝑥 pentru care expresia următoare este definită
𝑥2 − 4 𝑥−𝑥2
Soluție.Deoarece funcția dată este o funcție compusă dintr-o funcție exponențială, o funcție putere și
un radical, condițiile de existență pe care le vei pune sunt:
Ai observat desigur că soluția sistemului (1) este mulțimea vidă, deci nu există 𝑥 ∈ 𝑅 pentru care să
fie definită expresia 𝑥2 − 4 𝑥−𝑥2.
Exercițiul 2. Se dă funcția 𝑓:𝑅 → 0, +∞ , 𝑓(𝑥) = 2 𝑥−1 . Se cere:
a. să se reprezinte grafic funcția;
b. să se determine intervalele de monotonie;
c. să se studieze bijectivitatea funcției.
(1) 𝑥2 − 4 > 0𝑥2 − 4 ≠ 1𝑥 − 𝑥2 ≥ 0
⟹
𝑥 ∈ −∞,−2 ⋃ 2, +∞
𝑥 ≠ ± 5𝑥 ∈ 0,1
Nume prenume: MUNTEAN Doina
Școala: Colegiul Național „Ioan Slavici” Satu Mare
E-mail: [email protected]
Soluție.
a.Pentru că exponentul este un modul, începe cu explicitarea modulului:
𝑥 − 1 = 𝑥 − 1, 𝑥 − 1 ≥ 0−𝑥 + 1, 𝑥 − 1 < 0
⟹ 𝑓 𝑥 = 2𝑥−1, 𝑥 ≥ 1
2−𝑥+1, 𝑥 < 1
Pentru funcția astfel obținută fă tabelul de variație:
𝑥 −∞ … −2 −1 0 1 2 3 … ∞
2𝑥−1 1 2 4
2−𝑥+1 8 4 2 1
și trasează graficul funcției:
b.Observi pe grafic că pentru valori mai mici decât 1 a lui 𝑥, funcția este descrescătoare, iar pentru
valori mai mari ca 1 a lui 𝑥 funcția este crescătoare. Acest lucru îl poți scrie astfel:
pentru 𝑥 ∈ −∞, 1 funcția este descrescătoare
pentru 𝑥 ∈ 1, +∞ funcția este crescătoare
c.Pentru a studia bijectivitatea funcției te folosești tot de grafic. Astfel, observi că orice dreaptă de
ecuație 𝑦 = 𝑎,𝑎 < 1 paralelă la axa 𝑂𝑥, nu intersectează graficul în nici un punct, sau orice paralelă
la axa Ox, de ecuație 𝑦 = 𝑏, 𝑏 > 1intersectează graficul în două puncte. Știi din lecția trecută că, o
Nume prenume: MUNTEAN Doina
Școala: Colegiul Național „Ioan Slavici” Satu Mare
E-mail: [email protected]
funcție este bijectivă dacă orice paralelă dusă la axa 𝑂𝑥 intersectează graficul într-un singur punct. În
concluzie: f nu este bijectivă.
Exercițiul 3. Să se precizeze relația dintre 𝑎 și 𝑏 dacă
a. 3𝑎 < 3𝑏 ;
b. 2
3 𝑎
> 2
3 𝑏
;
c. 1
3 𝑎
< 1
3 𝑏
;
d. 2𝑎 > 2𝑏 . Soluție.
a)baza este3 > 1 ⟹f crescătoare⟹ 𝑎 < 𝑏;
b) 0 <2
3< 1 ⟹ f descrescătoare ⟹ 𝑎 < 𝑏;
c) 0 <1
3< 1 ⟹ f descrescătoare ⟹ 𝑎 > 𝑏;
d) 2 > 1 ⟹ f crescătoare ⟹ 𝑎 > 𝑏.
Succes!
Nume prenume: MUNTEAN Doina
Școala: Colegiul Național „Ioan Slavici” Satu Mare
E-mail: [email protected]
CLASA a X-a
FIȘĂ DE LUCRU – nivel mediu
FUNCȚIIEXPONENȚIALE
1. Compară numerele următoare în funcție de parametrul real 𝑎:
a)32−𝑎 și 3𝑎−2;
b) 1
2
5𝑎−1
și 23−2𝑎 .
Indicații:
funcțiile au aceeași bază, deci compari exponenții.
2. Compară numerele următoare cu numărul 1:
a) 3
7
4
3; b) 𝜋−𝜋 ; c) 6
3
5.
2. Reprezintă grafic funcțiile𝑓:𝑅 → 𝑅 următoare:
a) 𝑓 𝑥 = 2𝑥+1;
b) 𝑓 𝑥 = 1
2 𝑥+1
;
b) 𝑓 𝑥 = 2𝑥2−2𝑥 .
3. Studiază bijectivitatea funcțiilor:
a) 𝑓 𝑥 = 2𝑥 , 𝑥 ≤ 0
𝑥 + 1, 𝑥 > 0 ; b) 𝑓 𝑥 =
2𝑥 , 𝑥 < 03𝑥 , 𝑥 ≥ 0
.
Indicații:
poți să te ajuți de exercițiul 2, punctul c) din lecție.
Succes!
Nume prenume: MUNTEAN Doina
Școala: Colegiul Național „Ioan Slavici” Satu Mare
E-mail: [email protected]
CLASA a X-a
FIȘĂ DE LUCRU – avansați
FUNCȚII INVERSABILE
1. Studiați monotonia funcției𝑓:𝑅 → 𝑅,𝑓 𝑥 = 𝑎𝑥 − 𝑎−𝑥 ,𝑎 > 0,𝑎 ≠ 1.
2. Reprezentați grafic funcțiile:
a)𝑓:𝑅 → 𝑅,𝑓 𝑥 = 3𝑥+ 𝑥 −1;
b) 𝑓:𝑅 → 𝑅,𝑓 𝑥 = max(2𝑥 , 3𝑥).
3.Fie𝑓:𝑅 → 𝑅,𝑓 𝑥 = 𝑎𝑥 ∙ 𝑏1−𝑥 + 𝑎1−𝑥 ∙ 𝑏𝑥 ,𝑎, 𝑏 ∈ 0,1 ⋃ 1, +∞ .
a) studiați monotonia funcției f;
b) demonstrați că 2 𝑎𝑏 ≤ 𝑓 𝑥 ≤ 𝑎 + 𝑏,∀𝑥 ∈ 0,1 ;
c) demonstrați că dreapta 𝑥 =1
2 este axă de simetrie a graficului funcției f.
Succes!