7
Nume prenume: MUNTEAN Doina Școala: Colegiul Național „Ioan Slavici” Satu Mare E-mail: [email protected] CLASA a X-a BREVIAR TEORETIC ȘI EXEMPLE FUNCȚIAEXPONENȚIALĂ Definiția 1. Funcția: ,+, = , > 0, 1se numește funcție exponențială de bază a. Obsevația 1. Vom considera 0,11, +, deoarece dacă =1, =1. Proprietățile funcției exponențiale 1. 0 =1, pentru orice bază a Exemplul 1.Reprezentarea grafică a funcțieix = trece prin punctul0,1situat pe axa 2. >0, pentru orice , și orice bază Exemplul 2. Reprezentarea grafică a funcției x = este situată în semiplanul superior și nu intersectează axa .

BREVIAR TEORETIC ȘI EXEMPLE - WordPress.com · 2020. 11. 29. · Soluție.Deoarece funcția dată este o funcție compusă dintr-o funcție exponențială, o funcție putere și

  • Upload
    others

  • View
    9

  • Download
    0

Embed Size (px)

Citation preview

Page 1: BREVIAR TEORETIC ȘI EXEMPLE - WordPress.com · 2020. 11. 29. · Soluție.Deoarece funcția dată este o funcție compusă dintr-o funcție exponențială, o funcție putere și

Nume prenume: MUNTEAN Doina

Școala: Colegiul Național „Ioan Slavici” Satu Mare

E-mail: [email protected]

CLASA a X-a

BREVIAR TEORETIC ȘI EXEMPLE

FUNCȚIAEXPONENȚIALĂ

Definiția 1. Funcția𝒇:𝑹 → 𝟎, +∞ , 𝒇 𝒙 = 𝒂𝒙,𝒂 > 0,𝑎 ≠ 1se numește funcție exponențială de

bază a.

Obsevația 1. Vom considera 𝑎 ∈ 0,1 ∪ 1, +∞ , deoarece dacă 𝑎 = 1, 𝑓 𝑥 = 1.

Proprietățile funcției exponențiale

1.𝑓 0 = 1, pentru orice bază a

Exemplul 1.Reprezentarea grafică a funcției𝑓 x = 𝑎𝑥 trece prin punctul 0,1 situat pe axa𝑂𝑦

2. 𝑓 𝑥 > 0, pentru orice 𝑥 ∈ 𝑅, și orice bază 𝑎

Exemplul 2. Reprezentarea grafică a funcției𝑓 x = 𝑎𝑥este situată în semiplanul superior și nu

intersectează axa 𝑂𝑥.

Page 2: BREVIAR TEORETIC ȘI EXEMPLE - WordPress.com · 2020. 11. 29. · Soluție.Deoarece funcția dată este o funcție compusă dintr-o funcție exponențială, o funcție putere și

Nume prenume: MUNTEAN Doina

Școala: Colegiul Național „Ioan Slavici” Satu Mare

E-mail: [email protected]

3. Funcția exponențială este strict monotonă

Teorema 1. Funcția𝑓:𝑅 → 0, +∞ , 𝑓 𝑥 = 𝑎𝑥 , este strictmonotonă:

dacă a > 1, atunci f este strict crescătoare;

dacă 0 < a < 1, atunci f este strict descrescătoare.

Exemplul 3. Să studiem variația funcției exponențiale𝑓(𝑥) = 2𝑥 .

Baza este 𝑎 = 2 > 1, supraunitară. Calculăm câteva valori:

𝑥 −∞ … −2 −1 0 1 2 … +∞

2𝑥 2−2 =

1

4= 0,25

0,5 1 2 4

Observi că atunci când cresc valorile lui 𝑥 și valorile funcției cresc. Concluzia este că funcția este

crescătoare.

Exemplul 4. Să studiem variația funcției exponențiale𝑓(𝑥) = 1

2 𝑥

.

Baza este 𝑎 =1

2> 1, subunitară. Calculăm câteva valori:

𝑥 −∞ … −2 −1 0 1 2 … +∞

1

2 𝑥

1

2 −2

= 22 = 4 2 1 1

2

1

4

Page 3: BREVIAR TEORETIC ȘI EXEMPLE - WordPress.com · 2020. 11. 29. · Soluție.Deoarece funcția dată este o funcție compusă dintr-o funcție exponențială, o funcție putere și

Nume prenume: MUNTEAN Doina

Școala: Colegiul Național „Ioan Slavici” Satu Mare

E-mail: [email protected]

Observi că atunci când cresc valorile lui 𝑥, valorile funcției descresc. Concluzia este că funcția este

descrescătoare.

4. Funcția 𝑓:𝑅 → 0, +∞ , 𝑓(𝑥) = 𝑎𝑥 este injectivă

Orice funcție strictmonotonă este injectivă. Funcția exponențială este strict monotonă, deci este

injectivă.

Au loc proprietățile:

pentru orice 𝑚,𝑛 ∈ 𝑅, astfel încât 𝑚 ≠ 𝑛 rezultă 𝑎𝑚 ≠ 𝑎𝑛 ;

pentru orice 𝑚,𝑛 ∈ 𝑅, astfel încât 𝑎𝑚 = 𝑎𝑛 rezultă 𝑚 = 𝑛.

5. Funcția 𝑓:𝑅 → 0, +∞ , 𝑓(𝑥) = 𝑎𝑥 este surjectivă

6. Funcția 𝑓:𝑅 → 0, +∞ , 𝑓(𝑥) = 𝑎𝑥 este bijectivă

7. Funcția 𝑓:𝑅 → 0, +∞ , 𝑓(𝑥) = 𝑎𝑥 este inversabilă

Exercițiul 1. Să se afle valorile lui 𝑥 pentru care expresia următoare este definită

𝑥2 − 4 𝑥−𝑥2

Soluție.Deoarece funcția dată este o funcție compusă dintr-o funcție exponențială, o funcție putere și

un radical, condițiile de existență pe care le vei pune sunt:

Ai observat desigur că soluția sistemului (1) este mulțimea vidă, deci nu există 𝑥 ∈ 𝑅 pentru care să

fie definită expresia 𝑥2 − 4 𝑥−𝑥2.

Exercițiul 2. Se dă funcția 𝑓:𝑅 → 0, +∞ , 𝑓(𝑥) = 2 𝑥−1 . Se cere:

a. să se reprezinte grafic funcția;

b. să se determine intervalele de monotonie;

c. să se studieze bijectivitatea funcției.

(1) 𝑥2 − 4 > 0𝑥2 − 4 ≠ 1𝑥 − 𝑥2 ≥ 0

𝑥 ∈ −∞,−2 ⋃ 2, +∞

𝑥 ≠ ± 5𝑥 ∈ 0,1

Page 4: BREVIAR TEORETIC ȘI EXEMPLE - WordPress.com · 2020. 11. 29. · Soluție.Deoarece funcția dată este o funcție compusă dintr-o funcție exponențială, o funcție putere și

Nume prenume: MUNTEAN Doina

Școala: Colegiul Național „Ioan Slavici” Satu Mare

E-mail: [email protected]

Soluție.

a.Pentru că exponentul este un modul, începe cu explicitarea modulului:

𝑥 − 1 = 𝑥 − 1, 𝑥 − 1 ≥ 0−𝑥 + 1, 𝑥 − 1 < 0

⟹ 𝑓 𝑥 = 2𝑥−1, 𝑥 ≥ 1

2−𝑥+1, 𝑥 < 1

Pentru funcția astfel obținută fă tabelul de variație:

𝑥 −∞ … −2 −1 0 1 2 3 … ∞

2𝑥−1 1 2 4

2−𝑥+1 8 4 2 1

și trasează graficul funcției:

b.Observi pe grafic că pentru valori mai mici decât 1 a lui 𝑥, funcția este descrescătoare, iar pentru

valori mai mari ca 1 a lui 𝑥 funcția este crescătoare. Acest lucru îl poți scrie astfel:

pentru 𝑥 ∈ −∞, 1 funcția este descrescătoare

pentru 𝑥 ∈ 1, +∞ funcția este crescătoare

c.Pentru a studia bijectivitatea funcției te folosești tot de grafic. Astfel, observi că orice dreaptă de

ecuație 𝑦 = 𝑎,𝑎 < 1 paralelă la axa 𝑂𝑥, nu intersectează graficul în nici un punct, sau orice paralelă

la axa Ox, de ecuație 𝑦 = 𝑏, 𝑏 > 1intersectează graficul în două puncte. Știi din lecția trecută că, o

Page 5: BREVIAR TEORETIC ȘI EXEMPLE - WordPress.com · 2020. 11. 29. · Soluție.Deoarece funcția dată este o funcție compusă dintr-o funcție exponențială, o funcție putere și

Nume prenume: MUNTEAN Doina

Școala: Colegiul Național „Ioan Slavici” Satu Mare

E-mail: [email protected]

funcție este bijectivă dacă orice paralelă dusă la axa 𝑂𝑥 intersectează graficul într-un singur punct. În

concluzie: f nu este bijectivă.

Exercițiul 3. Să se precizeze relația dintre 𝑎 și 𝑏 dacă

a. 3𝑎 < 3𝑏 ;

b. 2

3 𝑎

> 2

3 𝑏

;

c. 1

3 𝑎

< 1

3 𝑏

;

d. 2𝑎 > 2𝑏 . Soluție.

a)baza este3 > 1 ⟹f crescătoare⟹ 𝑎 < 𝑏;

b) 0 <2

3< 1 ⟹ f descrescătoare ⟹ 𝑎 < 𝑏;

c) 0 <1

3< 1 ⟹ f descrescătoare ⟹ 𝑎 > 𝑏;

d) 2 > 1 ⟹ f crescătoare ⟹ 𝑎 > 𝑏.

Succes!

Page 6: BREVIAR TEORETIC ȘI EXEMPLE - WordPress.com · 2020. 11. 29. · Soluție.Deoarece funcția dată este o funcție compusă dintr-o funcție exponențială, o funcție putere și

Nume prenume: MUNTEAN Doina

Școala: Colegiul Național „Ioan Slavici” Satu Mare

E-mail: [email protected]

CLASA a X-a

FIȘĂ DE LUCRU – nivel mediu

FUNCȚIIEXPONENȚIALE

1. Compară numerele următoare în funcție de parametrul real 𝑎:

a)32−𝑎 și 3𝑎−2;

b) 1

2

5𝑎−1

și 23−2𝑎 .

Indicații:

funcțiile au aceeași bază, deci compari exponenții.

2. Compară numerele următoare cu numărul 1:

a) 3

7

4

3; b) 𝜋−𝜋 ; c) 6

3

5.

2. Reprezintă grafic funcțiile𝑓:𝑅 → 𝑅 următoare:

a) 𝑓 𝑥 = 2𝑥+1;

b) 𝑓 𝑥 = 1

2 𝑥+1

;

b) 𝑓 𝑥 = 2𝑥2−2𝑥 .

3. Studiază bijectivitatea funcțiilor:

a) 𝑓 𝑥 = 2𝑥 , 𝑥 ≤ 0

𝑥 + 1, 𝑥 > 0 ; b) 𝑓 𝑥 =

2𝑥 , 𝑥 < 03𝑥 , 𝑥 ≥ 0

.

Indicații:

poți să te ajuți de exercițiul 2, punctul c) din lecție.

Succes!

Page 7: BREVIAR TEORETIC ȘI EXEMPLE - WordPress.com · 2020. 11. 29. · Soluție.Deoarece funcția dată este o funcție compusă dintr-o funcție exponențială, o funcție putere și

Nume prenume: MUNTEAN Doina

Școala: Colegiul Național „Ioan Slavici” Satu Mare

E-mail: [email protected]

CLASA a X-a

FIȘĂ DE LUCRU – avansați

FUNCȚII INVERSABILE

1. Studiați monotonia funcției𝑓:𝑅 → 𝑅,𝑓 𝑥 = 𝑎𝑥 − 𝑎−𝑥 ,𝑎 > 0,𝑎 ≠ 1.

2. Reprezentați grafic funcțiile:

a)𝑓:𝑅 → 𝑅,𝑓 𝑥 = 3𝑥+ 𝑥 −1;

b) 𝑓:𝑅 → 𝑅,𝑓 𝑥 = max(2𝑥 , 3𝑥).

3.Fie𝑓:𝑅 → 𝑅,𝑓 𝑥 = 𝑎𝑥 ∙ 𝑏1−𝑥 + 𝑎1−𝑥 ∙ 𝑏𝑥 ,𝑎, 𝑏 ∈ 0,1 ⋃ 1, +∞ .

a) studiați monotonia funcției f;

b) demonstrați că 2 𝑎𝑏 ≤ 𝑓 𝑥 ≤ 𝑎 + 𝑏,∀𝑥 ∈ 0,1 ;

c) demonstrați că dreapta 𝑥 =1

2 este axă de simetrie a graficului funcției f.

Succes!