BỒI DƯỠNG HÌNH HỌC 12 - NGUYỄN QUỐC PHONG

8/9/2019 BỒI DƯỠNG HÌNH HỌC 12 - NGUYỄN QUỐC PHONG

1/192

PHẠM QUỐC PHONG N h à g iá o ĩtu tú

BỒI DƯỠNG

ÌNH HỌC 12• ÔN LUYỆN THI TỐT NGHIỆP THPT

VÀ CÁC KÌ THI QUỐC GIA

NHÀ XUẤT BẲN ĐẠ! HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI

WWW.FACEBOOK.COM/DAYKEM.QU

WWW.FACEBOOK.COM/BOIDUONGHOAHOCQU

B

Ồ

I

D

Ư

Ỡ

N

G T

O

Á

N

-

L

Í

-

H

Ó

A

CẤ

P

2

3

1

0

0

0

B

T

R

Ầ

N

H

Ư

N

G

Đ

Ạ

O

T

P

.

Q

U

Y

N

H

Ơ

N

W.DAYKEMQUYNHON.UCOZ.COM

ng góp PDF bởi GV. Nguyễn Thanh Tú


2/192



B

Ồ

I

D

Ư

Ỡ

N

G T

O

Á

N

-

L

Í

-

H

Ó

A

CẤ

P

2

3

1

0

0

0

B

T

R

Ầ

N

H

Ư

N

G

Đ

Ạ

O

T

P

.

Q

U

Y

N

H

Ơ

N




3/192

LỐI NỘI ĐẦU

Các bạn đang cầm trong tay một trong các cuốn sách thuộc bỡ sách Bổidưỡng Toán THPT (bao gổm Bổi dưỡng Đại số 10, Bồi dưỡng Hình học 10, Bồidưỡng Đại SỐ.& Giải tích 1ụ Bồi dưỡng Hình học 11, Bổi dưỡng Giải tích 12) docùng một lác giả biên soạn.

* *

Cũng như các cuốn trước đóv Bổi dưỡng Hình học 12 có những đạc điểmsau đ â y : •

• Hệ thống thí đụ được chọn iọc kT lưỡng, có tính điển hình vù khai thác tốiđa các góc cạnh của mổi phần kiến thức nhàm giúp các bạn nỉim vĩmg nội dunschương trình. Nhiều thí dụ mới mẻ. đó là tuổi trề của cuốn íìii liệu.

Lời J*iải thí dụ khôn? rườm rìi, ngần gọn trong khoáns 5 - 6 dòng in trongsách. Dẫn dát tự nhiên, diễn trình theo kiểu “cầm tay chi việc" một cách tườngminh để mọi đối tượng đều dễ tiếp nhận và hấp thu tối-đa kiến thức.

• Nêu bật các đụn tị là kết quả của sự khái quát hoá .xán. chuỗi nhiều bài toán;đưa ra các thuật toán giải chúng đố là điều vó dược của quyến sách này.

• Cắt nghĩa phương pháp giải, vạch Tỏ bản chấĩ bài toán, ban chất lời giãi, ỉiênkết - xâu chụỗi các bài toán là vị trí cùa những lời bình.

• Sách có 3 chưong được bién soạn sảt đúng với kiến thức chương trình Hìnhhọc 12 của bộ GD&ĐT bắt đẩu áp đụng từ năm học 2008 - 2009. Hệ thống kiếnthức trình bày phù hợp vói trình tự thời gian học -trên lởp để học sinh tiện theodõi. Tất cả các chứng minh nêu trong sách được khai thác từ những kiến thức cơ bán được biên soạn trong SGK.

• Sau mỗi phần, sách có hệ thống bài tập tương thích đế các bạn rèn luyện vàhoàn thiện hiểu biết của mình. Nên nhớ rằng, kiển thức chi trờ thành hồn.iĩ cồII irong cơ thế bạn, nêu bạn thấy mình vượt qua được các bài tập ấy. (Bạn chi nên sứduns phần hướng dần giái bài tập ớ cuối sách như là đế đối chiếu kcì quá, hoặctham khíio cách giai khiíc, sạu khi đã phát huy hết mọi no lực tự £»iải của mình).

Mặc dù đã rất cố gắng, cuổn sách vẩn có thế còn những hạn chế v;ì thiếu sót bài kinh nghiệm và sự hiểu biết. Rất mong nhận đứợc sự đóng cóp ý kiến cùa bạnđọc. Mọi góp ý xin ỉiêri hệ với tác giả theo địa chí sau đậy :

Bà Hoàng Thị TếSô' nhà: 259, đường Nguyễn Áí Quốc, Thị xã Hồng I ,ĩnh, rỉnh Hà 'lình.

Điện thoại: 039*260713.Hi vọng cuốn sấch la tài liệu bổ ích góp phần nâng cao kiến thức cho mồingười sử dụng nó.

Hù Tĩnh, tháng 9/2008


4/192



B

Ồ

I

D

Ư

Ỡ

N

G T

O

Á

N

-

L

Í

-

H

Ó

A

CẤ

P

2

3

1

0

0

0

B

T

R

Ầ

N

H

Ư

N

G

Đ

Ạ

O

T

P

.

Q

U

Y

N

H

Ơ

N




5/192


6/192

Thí dụ 2. Cho lăng trụ ABC.A ị B ịC] có đáy là tam giác đều cạnh a. Điểm A ỉ cách ịđều ba điểm A, B, c . Cạnh bên AA\ tạo bời mật phẳng đáy một góc 60°. Tính thểtích khối lãng trụ. ________ _____ : ___________ ________________; _ J

Lời giải

Diện tích tam giác đều ẠBC íà s = —— .(h.2).' 4

Gọi / là trung điểm BC,0 là hình chiếu vuông gốc cỏa^i trên mặt phẳngOíổC).Theo giả thiết :

+ A]A = A ị B = A |C suy ra OA = 08 = ó c => o ỉà ừọng tâm của tam giác đều ABC

e ^ / v à a 4 = ~ , 4 / = .3 3 2 3

.+ V Ờ = 6 0 ° .

/r Trong tam giác A \O A vuông tại 0 , Ầ - 60° ta có Á \0 —ÒA tan60° = —— .\Ỉ3 = a.

Kết luận, thể tích cùa khối lãng trụ là V = S.AịO= ~ — Jấ =

. Thi đụ 3. Cho lăng trụ đứng ABCsAiBịCị cỏ đáy ABC ỉà tam giác vuông tại A,

AB = 2yfỉ , C = 60°. Đường thẳng BC\ tạo với mặt bên (AAịCiC) một góc 30°. Tính

thề tích khố! lăng trụ. _______ . , _______ . _______ _ ___

Lòigiải . •

(h.3). Ta có,ABC.A\B\C\ là lăng trụ đứng nên A\A -L ( ABC) => A lA ± AB. Thẹo giâthiết ềl ABC là tam giác vuông tạỉ Ả, tức ià ABUĨC.

Từ các điều ẩy suy ra ABL{AA CO => AB1AC. Do vậý ỒC Iàhình chiếu vuông góc

của BC\ frên (AA]CịC) nên CịBC là góc giữa BCi và mặt bên (AA\CịQ. Theo giả thiết

BQA = 30°.

• Trong tam giác ABC (vuông tại A ,c = 60°)

6



B

Ồ

I

D

Ư

Ỡ

N

G T

O

Á

N

-

L

Í

-

H

Ó

A

CẤ

P

2

3

1

0

0

0

B

T

R

Ầ

N

H

Ư

N

G

Đ

Ạ

O

T

P

.

Q

U

Y

N

H

Ơ

N




7/192

ta có AC = ABcoĩ60n = 2>/3.-Ị== 2..

Diện tích A ABC \àS= - ABAC = -.2^ 3.2 = V2 2

• Trong tam siảc ABi'Ị (vuông tại A .c \ = ")

ta có ,-IC’i = Jổcot30u = 2VJ.V3 = 6.

• Trong tam RÌác J ( ’|C (vuône lại o ta cóC,C5.= /4


8/192

• Trong tam gỉác C\CA vuông cân tại Ccó AC = C ịC ~ 2 .2

• Trong tam giác Bị DB vuông tại B có BD - B\Bcox60ữ= —F=.

• Áp dụng định lý hàm số cosin lần lượt vào hai tam giảc ABD và CBD ta có:

BD2= AB* + AD1 - AB. AD. 2cos4S° o - -A f r+ AD r - AB. ả d 4 Ĩ (V)

AC- = DC1 + DA1-D C .D A2 cosl35°-

Ali=ÍX' -2 _ 7 . n4 =ABz + DA2 + AB.AD.ỵÍ2 (2)• Trừ theo từng vế ẹác đẳng thức (2)

4và ( l ) t acó : 4 - —= 2AB . AD yỊĨ'

3

o - =AB.AD,yỈ2 AB.AD ~ - 4 =3 . V

• Diện tích đáy ABCD là

- k q ĩ - ị

_ . . _ __ 2 4• Thể tích khối hộp là S..]#r/J ‐ .2 = —.•' 3 3

Hình 5

Lời bình: Bạn có thể thay thế giả thiết biết chiềụ cao của khối chóp bằng biết độ đàihoặc là một đường chéo, hình hộp, hoặc là một đường chẽo của mặt ABCD. Khi đỏ bạncỏ bài toán mói mà cách giải hoàn toàn tương t ự . ____________ _________

Thí dụ 6. Cho khối hộp đứng ABC D A \B\C\D\ có đáy ià hình thoỉ. Diện tích hai mặtchéo ACC\A\y BDD\B\ lần lượt là S] và S?. Tính thề tỉch của khổi hộp theo Si và S,

biết BÃị> =90°.

Lởi giải

• Gọi SAK(D là diện tích hình thoi ABCĐ.( h.6).Thể tích cũa khối chóp là V - S AHt ) A ỉ A

Ts có = —“ AÍ.BD.

■ .. __ is,=A,A.AC T ù g i â t ó s u y r a ^ ; ^

Si-So = A\A~.AC.BD S|.St = A\A~.2S4i %-i )

S.4#(J)= (2)2- ̂Ầ

• Gọi o - A C n BD . Theo giả thiết BA)D là tam giác vuông tại A I nên:

o , ; , - ĨP -.2

Trong tam giác A[AO vuông tại A ta

• A ÁI - r\ A1 Í\AÌ _ AC~có A\A ~ OA Ị - OA =----------- ——

( 1)

Hình 6

8



B

Ồ

I

D

Ư

Ỡ

N

G T

O

Á

N

-

L

Í

-

H

Ó

A

CẤ

P

2

3

1

0

0

0

B

T

R

Ầ

N

H

Ư

N

G

Đ

Ạ

O

T

P

.

Q

U

Y

N

H

Ơ

N




9/192

=> Aid* = -V*2 — T AC = - \(ẠV4.BDÝiJụỉ.A CỶ ] p -{? { - v )4

.Aụi = J l t f - s s ) \ 4

Í-

(3)

. Th ạy(2),(3)vắ o(l)có V = -^2 - =2/íị/4' 2y4jy4

Bài toán 3. Tinh the tích idiối chóp

ẳ'ị .mS-» ,Vj «V-»

2 ^ s , ~ - s 22) - V )

Thí dn 7. Cho hỉnh chóp tứ giác đêu SĂBCD, có cạnh đáy băng a và sóc ờ đình củamỗi mặt bên bằng 2q.,Tính thề tích cùa khối chóp ấy.

Lời giải(Điện tích đảv đõ rò. vấn đề ỉù tìm đường cao ì

Gọi 0 ~ A C r \ BD (h-7). Từ eĩâ thiết suy ra :+ 0 lã tâm bình vuông ABCD.+ SO X {ABCD).

+ ' tw =4L ; '• Trong tam giác s s t ' ta có

SB BC s s-------------- - — -— haysin(90 - á ) s in2a cosơ

SB=2sĩna

Trong tam giác SOB vuông tại ơ„.ta có

a2 ữ ' (? COS2a

Hình 7

s o ^ d ĩỉệ ặ .

4sin or 2 4COS a 2cosa/ . ayỊcosla i / Jcos2a

’ y 1'. * Thề tích cùa khối chóp là K = — S ,r |\ .H/í' i* A A ^ I

3 3 2cosar ocoso: Lời bhĩh: Bạn có thể thay, thế giả thiết biết cạnh đáy cùa khối chóp bằng a bans biết

độ dài hoặc iả đường caõ.hoặc ỉà cạnh bên. hoặc là một đường chéo của đáy A BCD. Khidó bạn có bải toán mõi má cách giải hoàn tọàn tươpg tự.

Thí dụ 8. Cho hlnh òhóp S.ABC có SAẤ (ABC), đáy là tam giác ABC cân tại .4, độdài đưòne tnma ĩirvển AD là a. cạnh bên SB tạo với đáỵ một góc ạ và tạo với mặt phẳng (SL4D) một ỚC /?. Tính thể tích khối chóp.

Lời giải(h.8). Từ gĩả thiết suy ra SBA = a , SAJ-BC. Tam giác ABC cân tại A nên AỎUBỰ.

Kết' hợp với SA1BC sụỳ ra BClịSA D). Bới thế SĐ ià hỉnh chiếu vuông góc của SB trên

{SAD)nênẻSD = 0 .

Trongcác tam giác vuông SAB. SAD. BAD ta có SB = AB BDcos a sin/?

9



B

Ồ

I

D

Ư

Ỡ

N

G T

O

Á

N

-

L

Í

-

H

Ó

A

CẤ

P

2

3

1

0

0

0

B

T

R

Ầ

N

H

Ư

N

G

Đ

Ạ

O

T

P

.

Q

U

Y

N

H

Ơ

N




10/192

SB- =

=> SB =

AB- BD: AB: - BD- AD-

co s : ar s i n ' / ? COS" . a - s i l l " /? COS" a r -S H I" '/ ? co s : a - s i h : p

as in/i

^/cos2a - sín: /? , BD = SBsin p = - S'

a sin or • .SL4= SZ?sinơ= ,------------------

■^/cos^ar-sin2/?

Thế tích khối chóp là

p = - * v ■SA = - BD.ẢD. s a (*)3 3

I asirự? c/sina. xt . .

3 v/cos2a —sin’ p -v/cos2 a - sin ’ p

a ;sinơsin>?

3(cos ' a - s i r r / ? )

z.fỳỉ' Trong Thí dụ trẽn, .su _L#( ’ (nghĩa'lả -(X-í. /?( ■) = a - 90" >và. //} lả đoạn dìánc

viíông góc vuông chuníỉ cùa cặp cạnh đối điện SA và BC. Từ (*) sụv ra ¥ = —SA.BC'.AD6

= - SA.BC.ADsina. E)ỏ là một minh hoạ của bải toán trong Thí dụ 9sau đâv :

Hình 8

Thí dụ 9. Cho tứ diện ABCD. Gọ\ í/ là khoảng cách giữa AB và CD vả a là zóc eiữa

haỉ hai đường thẳng đo. Chúmg minh v= —AB.CD.dsim6 ■ .

Cách ỉ .Vẽ hình bính

hành j4BCVT.(h.9):\ABỈỈA'C

AB = A'C Thèo đó ta cỏ

Từ{l) => ABH{Ả CD) nên suy r a :+ Kiỉt( n = Kí m 7)+ Khoảng cách eiữa

AB và CD bàng khoángcách giữa điểm A và (,4‘( ’£>)và bằng d.

+ A 'C D—a hoặc A 'CD —71— CL

DovậyiVm- = — A 'B.CD.sina =—AB.CD.$ina2 2.

Xem tứ diện A 'BCD là khối chộpcó đình A ’và đầy !à A BCD. Ta cỏ:

V a IX I) = —s .I Ii( . d = — A B .C D .d .ú m .3 6

Hình 9

10



B

Ồ

I

D

Ư

Ỡ

N

G T

O

Á

N

-

L

Í

-

H

Ó

A

CẤ

P

2

3

1

0

0

0

B

T

R

Ầ

N

H

Ư

N

G

Đ

Ạ

O

T

P

.

Q

U

Y

N

H

Ơ

N




11/192

Vậy I ’Hit V. - 1-'; /;, 7> “ — /{5 ( 7}< /sin « íđ p cm )

Cc/c'/f 2. (h. ]()).Dựng Ui nil hộp /MiCVytD

níioạì tiếp lử diện .-lổCO.Khi đó(AC ị BŨ]) // ( DAịCỉìiD ) nèn khoán*;cách giữa ẢB v ị CD cũng là khoảngcách giữa (ACịBDi) và (DAìCBịỌ) tức

là hỉnh hộp tạo ra cỏ đườnỵ cao bằníĩ d.Do AB // Ẵ\B\ nên từ giả thiết suy ra( Ã b T d )= ( = a

Rõ ràng diện.tích đáv DAtCB]D là

Hình 10•v/),ụ li = ~ -í 7).sina = - AB.CD.sina

^tõp= si>.ứ'tỉtd = -'AB.CD.dúĩ\a.=> K i/iiy /-- F|K̂= — ÀB.CD.ỉỉ.sìna (đpcm)2 3 6 ■ -

Lời hình: Trong cả hai cáclvííiái trên đêu sửdụnsĩ, phưcmíi pháp vè khoi phụ .(Tạo ra

một chứa khỏiphy khôi đã cho. Tinh thễ tích khối phụ rồi SUVra thè lích khối cần tính.)Cách vẽ hình phụ trong ỉời íiiải đã kết nổi thành công khoáng cách và ttóc iiiừa haiđườnỉĩ thãnu chéo nhau thành nh&nu íiĩâ thiẽt "đu. thuận íự r cho việc tính thê tích ironskhôi phụ.

Th í dụ 10. Tính thế tích kíĩoTtứ dịện ABCD cõ các cặp cạnh đối bàng nhau : AB = C D - a AC - BD - b, AD ác « c.

Lời giầi .(h.l ỉ ).Trong mặt ỹhằnệ iBCD) vẽ ĂB\C\D\ sao cho B, c . D theo .thứ tự lả trung điểm

C\D\y D\B\„B\C\. Xétkhoi túwiÌện^5iC|Di — -ỊTheo giã thiết c - AD = BC (1) 1

Lại có BC = — CịB] (đường trung bỉnh của tam giác) (2)

Từ (1). (2) suy ra AD = — C\B\ nên A4B]Cị là tam giác vuông tại Ả hay AC\ -L AB\.

Tưomg tự cùng CỎAB\XAD\ .//D| J_4Ci

Theo cách vẽ ta có slỉi />

V = — V VABL''Ị>~Ă AHf\Ị\

= - X á B x A L \A D x (3)4 6Trong các tam giác vuông

B\AC\i C\AD\, D\AB\ ta cỏ:

AB{ + AC{ = BịCỈ = 4C- (4)

ABỊ + AD{ = B}D~ = 4b2 (5)

AC f + AD{ = c, d Ị = 4a2 (6)

11



B

Ồ

I

D

Ư

Ỡ

N

G T

O

Á

N

-

L

Í

-

H

Ó

A

CẤ

P

2

3

1

0

0

0

B

T

R

Ầ

N

H

Ư

N

G

Đ

Ạ

O

T

P

.

Q

U

Y

N

H

Ơ

N




12/192

Cộnu theo tìmíĩ vế các đẳnỉi thức trèn suv ra AB{ + ,4 (, + .-!/> - 2(u' + /■»'"+ í- ) (7)

Hiệu cua (7) vậi mồi đấng tlìửc (4). (5). (6) cho :

AB,■=J ĩ ũ r + h2 - u : ) . AC\ = yịĩĩc- + ưz - b - ) . ADị =■■yfa ir + - f ' )

Thav các kết quà vừa tính được vào (3) có':

v m ỊỊ= — \Ỉ2(c2 + b1 - a 2).2(- yj{c2 +b2 - a 2Xc2 + CT - b 2){a2 +b2 - C") . (*)Lời bìnb: Tứ diện cố các cặp cậnh đối diện bằng nhau được gọi là tứ diện gần đều. Khi

a = b = c công thức (*) trở thành VAHCn = -X— ay. Đỏ !à công thức tính thể tích của tứ

diện đểu cạnh a.

Dng 2. Tìm tỉ sổ thể tích cùa hai khối đa diện

Bổ đề. Cho hình chóp s.ABC.Trên các tia SA. SB. s c lấy lẩn iượt các điểm A \ C”khác với .điềm s. Khi đó

V(S.A 'B'C '), SA' SB' SC'

V{S.ABC) ~ s a ' SB ' SC

- ' Lòi giải 4' . .(h. 12) .Gọi s SA/i,s KrH. theo thứ tự lả diện tích tam giác S.4B và SA'B\

- S B ' S C ' . s m f s C ' Ta có

SB' SC'

S*SỈX- -SBSC.smB SC SB s c2

Gọi H, f f theo thứ tự là hình chiếu cùa A* A' trên mặt phẳng (BSCy

SH' S/4'Từ các tam giác vuông đồng dạng SAH và SA 'H' ta có — - =.——

A '

(1)

(2)

r

■(3)

12



B

Ồ

I

D

Ư

Ỡ

N

G T

O

Á

N

-

L

Í

-

H

Ó

A

CẤ

P

2

3

1

0

0

0

B

T

R

Ầ

N

H

Ư

N

G

Đ

Ạ

O

T

P

.

Q

U

Y

N

H

Ơ

N




13/192

TV. /1"\ ' n \ * ' ^ ' AB'

Tương tự Ỵs-đỉL(-' = - L . Do vậỵ H s j t ' r J f w r L ' = i t i Vsjurcjr = . ị ;W o 12 VSJUX,} . 12 / 6

Lởi nhắn: Không có công thức ti số thề tích cùa hai hình chóp đậy không phái là tam giác.Thí dụ. 12. Gho khối tứ diện ABCD. Gọi p, Q theo thứ tự là các điềm thuộc AB, AD thoả mãn 2AP —PA, AQ = 2QC. Mặt phăng (à) qua PQ chia khốỉ tứ điện ra haỉ phần. Tìm ti số thé tích hai phần ấy. _______ __________ . ________ ____________

Lời giaiGọi V là thể tích cùa khối tứ dĩện ABCD, V] ỉà thể tích cùa khối BPQMN.

'A .



B

Ồ

I

D

Ư

Ỡ

N

G T

O

Á

N

-

L

Í

-

H

Ó

A

CẤ

P

2

3

1

0

0

0

B

T

R

Ầ

N

H

Ư

N

G

Đ

Ạ

O

T

P

.

Q

U

Y

N

H

Ơ

N




14/192

R ò ràn g I I — ỉ HSI'X ~ í Ì.ÌSDU .(11.14)Gọi điém Ả.' cua đoạn thẳng AỌ. Từ uia thiết suy ra :

AK AP I Pk ^ > M J - n e+ = - và PK11ỈỈS. . AD AB 3 BD 3

+ o là trung điểm KD. kết hợp với FK H BS suy ra DS PK . kết hợp với PK I ... BS 4 —— - —SII\ ra —- —. ỈĨD 3 . BD 3

xẻl hai khối tứ diện B.SPS và B.D.K' ta cò

Ẽ L Ẽ 1 = 4 .2 2 16 (1)I' r WWf B ỉỹ B A B C ' 3 ' .> 3 27

Xéi hai khối tứ diện S.DOM vả S.BPN ta có - -vpsou _ D S DQ DM _ l i 1 I '•

p = ^m-jr r DB O A '-D C '~ 3 3 3 ~ 27■ Trừ theo từng vể các đảng thức (1) và (2) ta CÓ

*w.v - Kr>.ỵ>.ư ^ 16 1 15 5 11 = 2. ỈL_ = 5 - 5V 27 27 27 9 r 9 r - r, 9 -5 4

Vậy tì số íhể tích của liai khối do mặt phẳnu {«) chia tứ diện.-ÍỔC 'D tạo thành bảnã - .

Thí dụ 13. Cho khối hộp A BCD. A\B\CịD\. Các điểm M. N Iheo thử tự là mmỉi điểm cùa BC. c 'D. Tinh ti số thể tích giừa hai phẩn của khối hộp dó mặt phána {AMN) chia ra.

Lòi giải(h. 15). Kí hiệu (ẠíV) là đường thầiìíỉ ;UV. Gọi:

+ J= .{MN)ọ U d ):ỉ - {A/.V) n (/ÍO.

K = (A'ft r \ (Aĩ). L = (BlB )n(ẠC ).

+ V là thể tích khối ABCDẢịBịCịDu ÍVlà thể tíchkhối A\ABD.

+ Mặt phảng (ẠMH) chia khối hộpra 2 phầivthê tích điểm /í kí hiệu làKj, phẩn còn iại kí hiệu ià í ri

+ Vị là thể tịch khối tử diện AĂ Iu + Vịị là thệ tích khối J.KDN + V )2 Ịà thế tích khối./. KDK Từ các giá tlĩiêt A/, N \ằ truníỉ

điểm các cạnh chứa nỏ. kết hợp vớitỉnh chất các đườniỉ thẳng, soniisoniỉ. dễ ,dản


15/192

(sụy (ừ thể rích hòìh chóp bằng — thế tích hình hộp cử cìữĩgdìện lích đáy và chiều cao )

_ . I V 3 3 1 9Ta có — = — = —.

K, 2 2 1 4

í k . i k v L I i - Lr; ” K ~ 3 3 3 ” 27'1 rì

Nhân theo từng vể các đăns thức (1). í2) và (3) ta cỏỉ í 2 1 . ^ 1 2 ^ 5 ^ J ^ = 25 ^ VA \

V ' I n ' V ị 6'4*27 V 72 V - V . 7 2 - 2 5 . , n -T,

■jWíbình: Bạn có the íĩán cho các .kích thứớc cùa hình hộp là a. h. c. Tinh trực tiếp các.thể tích cùa mỗi phẩn do. mặt phẩnti ( A M N ) chia ra. Tìr dô so sánh các thể tích ấy. Tuynhiên bài toán về tì .số thể tích khôna phụ thuộc đon vị đo. đó là cách eiãỉ thích sự trinh

bày ỉỡĩ giãi theò cách trẽn (ngứờì ta nối đó là lòi iỉiặi aíin)

Dng 3. Giải bãi toán hình học bằng phương pháp thể tíchĐẽ tính một đạì ìuợng hình học nào đó bằng phương pháp thề tick người ta làm như sau :• Đua đạĩ lượng cần tính gắn vảo biểu thức tính ihể tích của một khối nào đỏ.

• Dỏng cách khác để tính thể tích cùa khối ấy.• So sánh hai kết quà của thể tích để. rút ra giá tri đại iirợng cẩn tìm.Phương pháp thề tích thường được dùníí đế tính các yểu tố về khoảne cách, diện tích

hoặc chửng minh một hệ thác nào đó. ______ __

27-2 25 . r , 25- nav — = —-

27 27 r, 21

(2)

1 cr 9a ' 3ư= a + (2à)2 - — = — => ỈC = -

2 2 - J ĩ

(1)

(2)

Từ đó diện lích tam iiiác CB\A là;

u 1)0 3ơ~s - v - - í w : 4 4 s t -2 'Vã

Thay {1Ị (2) vào (3) ta có:

a _ h Sa Ị - ư — = J — =>

Hình ỉ 615



B

Ồ

I

D

Ư

Ỡ

N

G T

O

Á

N

-

L

Í

-

H

Ó

A

CẤ

P

2

3

1

0

0

0

B

T

R

Ầ

N

H

Ư

N

G

Đ

Ạ

O

T

P

.

Q

U

Y

N

H

Ơ

N




16/192

Lời bình: Việc nhận bỉểt điện tích ACB\A thật chóng vánhTĐã một lần ta biết đến (ítra lả Phạm Quốc Phong —Bồi dưỡng Hình học 11. trane 72) : Trơne mội tứ diện vuông,

bình phươna diện tích mặt huyền bằng tons bình phưưng các mặi vuông. Theo đ ó :

3ơ 4 n 4a , 3a- — 4-a Tơ - —

4 4'--jl'K.'.

2) Tính diện tích thiết diện nói trẽn.

Lòi giăi

1) (h.17). Trong mặt phắntĩ (A]CịAC\ qua A kẽđường thãng vuông góí: vởi AĩC cãt C\C tại N. (Bới

có AC—yja2 +b2 < c nẻn /'/thuộc đoạn C’|C).

G ọ i W = ( n o S , f i . D ễ th ấ y Ị ^ 2 “ -=*AM±(AỈBC')=>AM±A}B.Vậy M lả eiao của B\B với đirờng lhẳníỉ vuông

góc với A\B kè .4 trong mặt phăng (A]B]AB). Thiểtdiện là tam giác AMN.

2) (h. 18). Ta có ĩ ^ ,Jưv ——S^UỊX-ẠĨ Hhìỉt 17

3K, JM\

Lại có Vị |UV- .Ị.u; - f - u / ~

abc

~Trong tam liiác /1 AC vuông tại A. ta

( 1)

(2)

có A ị A2 =Ả i ỉ .A ịC

h \Ị ~ ' / r ^ Thay (2), (3) vào ( I) có s 4lA- =---------— -------- . Đó )à két quả cúa bàí toán.

2 c

Chửng minh tồng các khoảng cách từ một điểm bất kì trons. tửđỉện đều đến các niặt ịcủa tử diện ầv lả một số hàng. ị

Thí dụ 16 (Chímíi minh hệ thức) • I

16



B

Ồ

I

D

Ư

Ỡ

N

G T

O

Á

N

-

L

Í

-

H

Ó

A

CẤ

P

2

3

1

0

0

0

B

T

R

Ầ

N

H

Ư

N

G

Đ

Ạ

O

T

P

.

Q

U

Y

N

H

Ơ

N




17/192

Lời giải(h. 19). Gọi M là một điểm bất kì trong

tự diện đều ÀBCD. Gọi dA, dfí, d(-, dụ theothứ tự là khoảng cách từ điểm M đếrTcảc'mặt (BCD), ụcby, ( ẠBD),(ABC). Gọi s làdiện tích của cùa mỗi mặt bên. Ta CQ thể

tích của tứ diện MBCD là Vữncỉì - -S

3Tương tự VMAa>- ^cỉtì.S .

----- Hìnb-V 9-V abc ì ì- -^dc S . *

sSuy ra V.ỵaựỊy + VMACD+ V mabd + yMAHC {đA + dn + đ(' + dì))

? 3V

K ijxv J=.-zr.(dA ± dn-+ dc + da ).;C>-ÍỈ4 +-d/i + dCô nhiên —— — lả đại lượng không đôi, nên (*) cho ta có điều phải chứng minh.

s .Lòi bình: Khi một đại lượng nầo đó ỉả một sô hằng, như dòng nước chàỵ tự nhiên -

thay cho yêu câu chứng minh, người ta yêu cầu tính giá trị cùạ đại-lượng ấy. .Các bạntheo dõi tiếp thí dụ dưới đày. __ . _ __

Thí dụ 17. Cho hình chóp tam giác S.ABC. M là một điểm nằm trong tam giác ABC. Các đường thẳng qua M song song vơi SA, SB, SC lần lượt cất các mặt (BSC), (CSA),( ASB) tại A \ B \ c \ Chứng minh ràng :

Q\ Vm.bsc _ MÃ'

VS.AK' 'SA V. , MA' MB' MC'

D) Tỉnh tông —— + —— +SA SB sc

a) (h.20) Gọi ‘N = M A r\ BC. Nối SN. Do M47/ 5,4 => A 'e SN . Gọi Mu Ả\ theo thứ tự là hình chiếu của M A trênmặt phăng (BSQ. Từ các cặp. tam giácđồng dạng ANAS và ANMA\ AA I AS và-

ta có : MM, _ MN MA'

~ AN =

Lởi giải

AA0 )

Vậy Macs M.HCS ụ.Bcs-MM,

T ■

I s

SA rSJk.= ̂ - ( .dpc m )

17



B

Ồ

I

D

Ư

Ỡ

N

G T

O

Á

N

-

L

Í

-

H

Ó

A

CẤ

P

2

3

1

0

0

0

B

T

R

Ầ

N

H

Ư

N

G

Đ

Ạ

O

T

P

.

Q

U

Y

N

H

Ơ

N




18/192

b) Chứna minh tương tự câu a) ta cóV.u ( .!.< _ MỈÌ t MỊS

t'sw - Sỉi ' r -V Do vây J u c j s + l\f ẠỊỳ ' ̂ _

SA SB s c l \ • *'• 1'

W‘

X,-í/íí ■ ’ V' í/íí;Thí dụ 18. Cho đường tròn ọ đường, kính AB cồ định. ,v/ là một điểm rha> đòi treĩTỊđưỜQg tròn. Cạnh SA vuông góc với mật phẳiig chứađường ĩ ròn. Mọt mặt phăng qua j

A vuông góc với SB cát SB tại t \ cắt SM tại /V. Gọi BAM = X . Tinh thế tích hai khối

SABMvằ SACK biểt £4 = h. ■

Cách 1. Gọi AB= 2 R. Ch.21)T - *w '= SA SN SC ^ SN sc

Lời giải

(1)

■ Hình 21

VSAm .S A S M 'SB SM 'SB

Trong các tam íĩiác ABM vuông tại M, BAM = A*ta cỏ MA - 2R.COSX.Trong các tam si ác SAB. SAM vuông tại A ta có

SB2 = SẢ2+ A tr = ỉf + 4R1, s x i 1 ~ S A 1 + .4 X Ỉ ' - lỉ 4/?2co s2x (2)

SA2= SC.SỈÌ = SN.SM =>.&4l = SC.SBSN.SM-SNSC SA^ «-> _ •' _____ h4 ■ . .

SM.SB ~ SM^-SB2 ~ (h \+ 4R 2cos2x)ịhy +AR-)

Thay vảo (1) ta có \ ——ĩ ----- — _ • , , {h- + 4R COS x )( h + AR )

Cách 2. Ta cò thể tích khối chop SAMB là

y S.AMIỈ = —S A A M . M B = - h . 2 R sin X .2 R COS.V.6 6

Dề thấy MB 1 (SAM )■=>■ MB 1 AN , ĩìj'SC±{ANC) => s c 1 AN (3) -

Từ (3), (4) suy ra /4AM. (SAí/B)'=> => f'x i.vr- — SC„4NJ\;B (4)[/4 AL NB 6

• Trong các tam ỉĩiác vuông SAM và SAŨ ta có —Ur =‐ 4-6 • , AN SA’ AM : . ' ■

] 1 -hr + 4/?2t‘ós\v ' ■ 2/?/7C05.v= - ỹ + - , = V v — 2 - < z > A N = - t — -1== (5 )

h 4 R COS X ; A R ỈÌ COS X V /7 ^+ 4/? 3 COS2 A'

S.42= SN.SM = SC.SB sc -

-SM ■ 4 ir + 4/?:cos’.\-

SA- /r

~\Ịh~+4'R2 .1 , . . ’ • , NC SN

Trong hai tam giác vuông đông dạng SCN và SMB ta có — —=

NC =.— SN =SB

2 í s i n . v h 2 2 R h 2 s \ n x

\ i r + 4 R 2 COS' -V' -Jh 2 + A R 2 COS- A- + 4 ^ 2 COS2a:. (6)



B

Ồ

I

D

Ư

Ỡ

N

G T

O

Á

N

-

L

Í

-

H

Ó

A

CẤ

P

2

3

1

0

0

0

B

T

R

Ầ

N

H

Ư

N

G

Đ

Ạ

O

T

P

.

Q

U

Y

N

H

Ơ

N




19/192

Thay (5), (6) vào (4) ta có

J_ h2 ỊR hcosx 2Rk2sm x

6 4 h2+ 4 R2 yjh2 +AR2COS' X yjh2+ 4 R2 yjh2+ 4R2COS2 X r—

h2,2Rhcosx2Rh2 sin*

~ (h2+4R2Xh2 -r4fl2cos2 x ) ' :

Từ (3), (7) suy ra ^đSL. = ------—• • ................--.

*S4M8 (A + 4i? COS xX/ỉ + 4.R2) .

BÀI .TẬP ỉKhối lãng trụ1.1. (TSĐH, khối D -2008): • ........... ......

Cho lăng trụ đứng ABC.A\B\C\ có đáy ABC là tarri giác vuông, AB = BC = ứ,

A4 - w 2 Gọi M là trung điểm cùa cạnh 5G1) Tính theo a thể tích khối lăng trụ ABC.Ar5|C)2) Tính khoảng cách giữa hai đượng thẳng, AM \ầB\C .

1.2. Chứng minh thể tích khối lảng, trụ cụt tam giác (lăng trụ có hai đáy không song songvới nhàu) bàng tích cùa thiết diện thảng với trurtẸ bình cộng cùa ba cạrih.1.3. Cho lãrig trụ đứng ABC-A\R\C\. Các mật phang (ABCị), (.4B\C ), (AỵBC) cẳí nhau tạio. Gọi H là hình chiêu vuông góc của o trên mặt phẳng (ABC).

1) Chứng minh răng H là trọng tâm tam giác ABC.2) Tính thể tích tứ diện OABC theo thề tích lâng trụ đứng ÀBCA\B\C\.

1.4. Cho hình lập phương AMCDA ‘B ‘C'Đ’ có các 'cạnh bẳng ữ. Gọì K ià trung điếm của BC, / là tâm của mặt bẽn (CC'D’D). ’

1) Xác định thiết diện của hình lập phương tạo bởi mặt phảng (AKỈ)2) Tinh thể tích các khối đa điện do mặt phảng iẠKỈ) chia ra trên hình lập phương.

1.5. Cho hình hộp chừ nhật ABCDAì B ịC í Dị , đường chéo Ả ịc - d hợp với đáy ABCD một góc a và hợp với mặt bên (BCCịBị) một góc Ịì.

1) Chứng minh CAC\ = a , AQ B = Ị3. 2) Tính theo a và/? thể tích của khối hộp.đã cho.3) TÌIĨ giá trị nhò nhất cùa K

Khối chóp

1.6. Tính thể tích cùa khối chóp tử giác đều S.ABCD biết cạnh đáy bàng a, góc ASB = a .1.7. Tính thể tích cùa khối chóp tứ giác đều S.ABCD biết trung đoạn bằng d, góc giữacạnh bên và mặt đáy bàng a. '1.8. Biểt thể tích của kftổi hộp ABCDA\B\C\D\ bằng V. Tính thể tích khối tứ điện A\B\CD.1.9. (ĨSĐH, khối A -2008):Cho ỉãng trụ ABC.A]B\Cì có độ đài cạnh bên bàng 2a, đáy ABC là tam giẳc vuông tại

A, AB - ứ, AC = a^j3 và hình chiếu vuông góc cùa điểm điểm A] trên mặt phẳng (ABC)

là trung điêm của cạnh BC.1) Tính theo a thể tích khối chóp A I ABC.2) Tính cosin của gỏc gìừa hai đường thẳng AA\ và È\C\.

1.10. (TSĐH, khối B -2008):

■ Cho hình chóp S.ABCD cỏ đáy ABCD'là hình vuông c.ạnh 2ứ, SA = a, SB = a4 3 và mặt phẳng (SAB) vuông góc với đáy. Gọi M, N lầnlượt là trung điểm của các cạnh AB, BC.

1) Tính theo a thể tích khối chóp S.BMDN 2) Tỉnh cosin cùa góc gĩũra haĩ đường thăng SM, DN.

19



B

Ồ

I

D

Ư

Ỡ

N

G T

O

Á

N

-

L

Í

-

H

Ó

A

CẤ

P

2

3

1

0

0

0

B

T

R

Ầ

N

H

Ư

N

G

Đ

Ạ

O

T

P

.

Q

U

Y

N

H

Ơ

N




20/192

1.11. Cho khối tứ giác đều S.ẢBCD có khoản £ cách từ đình A đến mặt phẳns {SBC) bàng 2ư. Góc giữa mặt bèn và cạnh đáy banti JC.

1) Tinh thể tích của khốĩ chóp theo a vầx.2) Tìm giá trị nhó nhất cùa thế tích ấy.

1.12. Cho khối chóp S.ABCD có đáy lả hinh vuỏntĩ. SA vuông góc với mặi phăníi dáv và5/4 = 2a. Gọi B\ D' lần lượt là hình chiếu cúa A trên SB vá SD. Mặt phẳng (AB'D‘) cat s c tại c . Tính thể tích cùà khối chóp S.AB'CD' 1.13. Cho (A) và (S ) là hai đường thăng chéo nhau, hợp với nhau một' ỈÓC 60l' vả

khoảng cách giữa chúng bằng h. Trẽn đường thẳng ( A) đặt đoạn thảng AB - u, trênđường thẳna ( £ ) đặt đoạn thẳne CD = c.!) Tính thề tích tứ á\ệnABCD.2) Giả sử BC vuông góc với CD và BC = Ã, Hãy tính khoàng cách từ A đến mặt

phẳng/SCD).T ỉ sỗ thể tích1.14. Cho khối chóp tứ giác đểu S.ABCD. Ọua trung điểm cạnh AB, AD , và s c vẽ mộtmặt phậng. Tính tì số thể tích hai khối nhận được. (TTSĐH, khối A-1971) '1.15. Cho kliối tứ giác đều S.ABCD. Mặt phẳng (à) qua.^ vuônc góc với s c cắt S8. sc.

SD theo thứ tự tại B \ c \ D \ Biết rẳrtg AB = a, = —.

SB 31) Tính tì số thể tích của hai khối, chóp S-.AB 'C 'D ’ và S.ẠBCD .2) Tính thể tích cùa hai khối chóp S.AB 'C 'D\ ■

1.16. Cho khối tử giác đều S.ABCD đáy có cạnh đáy bằng á và cạnh bên rmhiêng trênđáy một góc 60°. Từ một điểm / trên đường cao SH sao cho 2,S7 = ỈH, ‘ké một mặt phăngvuông góc với một cạnh bẽn. Tính tỉ số thể tích hai khối nhận được.1.17. Cho hình ciìóp S.ABCD có đáy ABCD [à hình chữ nhật và cạnh SA vuônỉi góc vớiđảỵ. Một mặt phăng (a) qua-4 vuônu góc với cạnli s c căt SB:SC\ SD lân lượt tẹi B \ c p \

1) Chứng minh tứ giác AB 'C D ' có hai góc đối điện vuông.2) Chửng minh ràng khi s di chuyển trên đường thẳng vuông góc với mặt phảng

( ABCD) tại A thì mặt phẳng {AB'C'D’') luôn đi qua một đựờng thẳng cố định và các điểm

A, B, B \ c \ D' cùng cách đều một một điểm cố định với một khoảng cách không đổi.3) Già sử góc giữa cạnh s c và mặt bên (SAB) bằng X. Tính í ĩ số của khối chóp

S.AB'C'D'và khối chóp S.ABCD theo X, biết ràng AB = BC.Phương pháp thể tích:

1.18. Cho tử diện A BCD- có DA[L\ABC). ABC = 90°. Tính khoảníỉ cách lừ A đến mặt phẳng (DBC) nếu AD = a, AB = b, BC. = b.1.19. Cho tứ diện ABCD và 0 là một điểm nàm'trong tứ diện và cáeh đều -các mặt của tứdiện một khoảng /\ Gọi h.h /?«. Jĩ( ■. ỈĨỊ) theo thứ tự !à khoảng cách từ các điềm A. 5, G D

đến các mát đốj diên. Chứng minh rằng: ! = — + — + — + — r hA hH hr hn

1.20. Cho tử diện ABC ồ và M là một điểm nằm trong tứ điện .Gọi W.J, da, fỉt \ d ì theothứ tự !à khoảng.cách từ M đến các mặt đối diện lần lượt với các đinh ví, & c D . GọihÂ, ỈĨH, he, hỉ) theo thú* ĩự là khoảng cách từ các điêm A. B, c \ D đến các mật đôi diện với

, . X ry, r f z d Ị d » á t ' các đỉnn ây. Tỉnh tông: - - H——+ ——+

• hA K hc hn

1.21. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình bình liành.^Một mặt phẳng («) cắtSẠ, ss, sc theo thứ tự tại A \ s c \ D Chứng minh:

20



B

Ồ

I

D

Ư

Ỡ

N

G T

O

Á

N

-

L

Í

-

H

Ó

A

CẤ

P

2

3

1

0

0

0

B

T

R

Ầ

N

H

Ư

N

G

Đ

Ạ

O

T

P

.

Q

U

Y

N

H

Ơ

N




21/192

, r/ _ r/ L i/ , . SA SC _ SB SDa) VS.AIX ■- V ~ Ys.AMl —"sBi I) p) — —+ — .+ — .

S/f SC' SB' SD’ I.22. Cho hình chóp s.ABC và O' là trọng tãm A4BC. Một mặt phẳnsì («) cất SA. SB. sc.

SG theỏ thứ m tại A \ B C". G", Chứns minh: -Ạ—+ +--TT— = 3 .- ‘ .SÃ] SB' SC' SG '-~ .......

Bài tập trắc nghiệmII.1. Cho hình chóp $-4 BCD COđáỳ là A BCD là hình thoi cạnh a {a > 0). góc BAD = 60°.Hình chiêu vuông góc của s trên mặt phăng XA BCD) trùng với tâm o cùa đáy và SB ~ a. Hình chóp ầy có thê tích là : ’ ' ....

A . 4 ; ; B. C - ; a i ì £ .4 2 - 6 4

11.2. Cho hình hộp chữ nhật ABCD.A'B'C'D' có các cạnh A A ' = \, ẢB = 2. AD = 3.Khoảng cách từ A đến mặt phảne ( Ạ'BD) là :

7 49 6 9A. — ; B. — ; c .~ ; D. — .

6 . 36 7 . ^ 13 ;11.3. Cho lăng trụ tam giác ABCA'BX". Gọi D là trung điểm / Í T \ k 'là tỉ số thể tíchkhôi tử diện AB'D vả khôi lăng trụ đã cho. Trong các sô dựới đây. sỏ nào ghi aiá trịđúng cùa/:? .

Á i ; ệ ; . i T ' ' : . D. i . •■ ■ ■ ■ V4 12 . 3 . 6

11.4. Cho tử àìệĩì ABCD co đáy ià tam iỉiác ABC vuône tại B: AD 1 {ABC): Aỉỉ = 3d/,/ÍC - 5a, AD - BC ~ 4ự ịa> 0). Diên tích toàn phản cua tứ diên ià

A. 32a: ; B. 64ứ2; c. 23ư:: D. ì òa .11.5. Cho hình lăng trụ đửng,-íjỊĨC>r/ỉ‘(".BiếtvíZÌ AC = = u > ò và âá\ v-iỉK' iàtam giác vuông tại A. Thế tích cùa tứ diện C'BB'A' là : •

A. — ; B. — ; c . — : D.2 ‘ 3 6 3

11.6. Thể tíclĩ hình tứ diện đều có cạnh bans, u ỉặ :

Ã • R ■ r • p a’' ^ i 2 • 6 ■ . 12 . ■~ 3

11.7. ABCDA 'B 'C D ' là hình iăng trụ có đáv ABCD ỉà hình vuông cạnh a. Các cạnh bênlạo với đáy một góc 60°. Đinh A' cách đêu các đình A, B. c, D. Tronir các sô dứới đây,sô nào ghi .iả trị thê tích của hình lãng trụ nói trên ? ;

A ■ B íL- £̂. ■ c Q a'yỈ6 6 2 3 ' '

11-8. Cho hỉnh diện .4BCD vả 5 'là trung điểm AB. Điểm C"e ẠC thoã mãn Z4C' = C"C.

Troníi các số dưới đâv. số nào shi aiá trị tỉ số thể tích sifra khối tứ diện AB'C 'D và phầncòn lại cũa khổi ĩứ diện diện A BCD ?1 1 1 ?

A . - : B .- ; c . i : D . i.6 5 3 5

11.9. Đáy ciia hìnli hộp đímu là một hình thoi có đường chéo nhò bằn” c L ĩ l ó c nhọn banga. Nêu điện tích của một mặt bên băna.v thì thê tích cùa hình hộp ây băng:

A.dScosa: B. d S s i n c . — ứSsina; D.i/5sin«.2 -2

21



B

Ồ

I

D

Ư

Ỡ

N

G T

O

Á

N

-

L

Í

-

H

Ó

A

CẤ

P

2

3

1

0

0

0

B

T

R

Ầ

N

H

Ư

N

G

Đ

Ạ

O

T

P

.

Q

U

Y

N

H

Ơ

N




22/192

11.10. Cho khối lăng trụ tam giác A B C J 'B 'C có thế tích bang V. Gọi /../ lả trung điềmcác cạnh AA. B B\ Khi đó ĩhể tích cùa khối đa điện ABCIỈC' bărm

A. - V: B . - F - D . ị y .4 5 3 õ

11.11. Cho hình lập phương ABCD.A\B\C\D\ có cạnh bảng l. tàm o. trong các số dướiđâv. số nào ghi giá Trị thể tích khối tứ diện OABC

A . - ; B. — ; C . - : IX — .

8 12 9 . 311.12. Cho hinh chóp SAÕC có S.4 = a. SB - />. s c - c vả đổi một vuônỉĩ góc với nhau.Thè tích cúa hình chóp ấy bẩng :

. a h c _ ' a b c _ ư b c _ l i i h cA. ——; B. ——; c. ——: D. — .- 3 6 9 3

11.13. Thể tích cùa hĩnh chóp tam giác đểu có chiều cao bằng h, cạnh bẽn bằng a là :

A. — (ứ2-h 2)h \ B, — (a2.- h 2)h; c . — (ữ2 - h 2)a; D. — (a2 - h l )h.4 1 2 - 4 8

11.14. Thể tích của hỉnh chóp tam giác đều có cạnh đáy bàng ữ, cạnh bên nghiêng trênđáy một góc 60° là : _

A n 'à*\Ỉ6 a’ -Ji a’ JE A. —--— ; B .—- — ; c . — — ; D. — -—.2 3 12 ' 6

11.15. Đáy cùa hình chóp SA BCD là một hình vuôrtíi cạnh a. Tính thế tích của hình chópđó; Biết rằng cạnh bên SA vuòng nóc với mặt phẳnè đáy. còn cạnh s c tạo với mật phăng(SAB) một goc 6Qữ.

A. ơ \Ĩ2 ; ‘ ữ . ỉ A . / c . i ^ ĩ ;3 ^ .

11.16. Cho S.4BCD là hình chóp tử giác đêu có tất cả các cạnh đêu bãníi a. Nêu mặt chéocủa nó là một tam giác đêu thì thê tích của hình chóp đó băng .

A . Ì Ạ , - B . — : d / , - .4 2 - . 12 . . ^ 6! 1.17. Cho SABCD là hình chóp tứ giác đều có tất cả các cạnh đềụ bang a Khoảng cáchtừ A đến mặt phẳng (SBC) bằng:

A 2a „ 2cỉ-v/ó _ CI\Ỉ6 uẠ .-—; B.— -— c .— Z —; D. -= ,

3 .3 3 . J 6 11.18. Cho khối lãng trụ tam giác đều ABC.A\B\Cy Gọi M là truníí điểm AA \ Mặt

phẳng {MBiQ chia khối lăng trụ thành hai phần. Ti số thể tích hai phần đó bằne:

A ị ; B . |: C .-: !>.>.3 5 6

11.19. Tứ diện OABC có-OA, OB ^ o c đôi mội vuông góc với nhau và (hì a.-OIÌ = 2u.. o c = 3u.Gọi .Ví /V là trung điểm lẩn lượt cua hai cạnh AB. ĩiC. Khi đó thê tích ciia khôitứ diện OCMN !à :

A. a’; B. — : c. — : D. .3 4 4

11.20. Thể tích khối 8 mặt đều lả

A . Ỉ Ậ , 8 . ^ 4 ; C , ^ : D . é Ế .12 j

22



B

Ồ

I

D

Ư

Ỡ

N

G T

O

Á

N

-

L

Í

-

H

Ó

A

CẤ

P

2

3

1

0

0

0

B

T

R

Ầ

N

H

Ư

N

G

Đ

Ạ

O

T

P

.

Q

U

Y

N

H

Ơ

N




23/192

Chương ỈL MÃ J CÀU, MẶT TRỤ, MẶT NÓN

§1 MẶT CẦU, KHÔI CẦU

I. Kiến thức cần nhớ1. Mặt Cẳư5(íí: R) là tập hợp Ị A/ ỊOM - R \ .

Khối cầiks'{ơ:/?) ià tập hợp \ỉií \()M < R\.MỆ1 câu lâ hình Iròn xoay tạo bới một đưởnỉi tròn khi quay quanh niộí dườnsì kinh cua nó.Khôi cẩu là hình tròn xoav tạo bới một hình tròn khi quay quanh một dưừnsi kính cua nó.

2. Giao cua ỊTìặl câu S{(>: R) và mặt plìánư )Gọi d lả khoanii cách tư () đến mặt phànu {P). H !à hình chìéu vuông uỏtrcĩrai () trên

mặt phãníì ụ y).-ỉ- Nếu í./ > R ílìi inặt phẳnậ (P) không cẳt mặt cầu.+ Nêu ci = R thi íiiao là điêin H. Khi dó ta nó i: .

- Mặt cầu S{Oi R) tiếp xúc với mặt phẳng (p) tại H\- Mặt phăng (p) là Tiếp diện cùa mặt cẩu S(ơ; R) tại H

+-Nếu d < R thì giao ià đường trốn tâm H, bán kính r = -J r 2 - d '

Đặc biệt, khi d = 0 thì giao được gọi !à đường tròn iớn (r = R).3. Giao của mặt cầu SịO: R) và đựờnc thảníĩ (4)-Gọi d ỉã khoảng cách từ o đến đường thăn. (J). H là hình chiế.u.vuông góc.c.ùa. o

trẽn (-J).+ Nếu d R thì (J) khôrm cắt mặt cạu. ' - -------

4. Vẽ các tiêp tuyển kẻ Từ A cỉến đến mặt tầu. Khi dó :+ Các đoạn tiiắnỉỊ nối // với tiếp điểm bẳníì nhau.T Tập hợp các tiếp điêm là một đưÒT^ írpn.

5. Diện íích Ịnật cằn bán kinh R ỉà s = 41 ĨỈC.- : . 4

Thê tidì khôi câu bản kinh R lồ V — — xR \. 3

II. Các bài toán thườ ng gặp

Bàì toán ỉ . Xác định tâm và bán kính mặt cẩu ngoại tỉếp khối đa diện

• Nỉĩác lại : Đirrrnsĩ thắng đi qua tâm của đirờnẹ tròn và vuông gốc với mặt phẳngchửa đường tròn được gọi !à trục của đường, tròn ày.

Như vậy trục cùa đưòm tròn là tập hợp các điếm cách đều mọi điểm cùa đường tròn áy.• Cẩn và đủ đề hình chóp có mặt cầù ngọại tiếp là đa giác đáy có đường tròn ngoại tiếp.

• Tâm mặt cầu ngoại tiếp hình chóp ia giao cùa trục đường tròn ngoại tiếp đa giácđáy (gọi iẳỉ ỉù Ịrục dìm đáy) và mặt phẳng- trung trực cùa một cạnh bên.

Bert thê', trong trường hợp thuận lợi tìm đuợc í rục cùa đáy thì việc tim tâm ngoại tiẻpkhối chóp dưa về tim giao cứa mặt phẳng tru na trực cùa một cạnh bên với trục cùa đáy(bi22ạ)

•Gọi ((..>), 'SA, (;/.}, (.1) theo thứ tự là tâm của mặt cẩu ngọi tiêp hinh chóp có đinh 5;một cạnh hên, mặt phảiiii trung trực của SA, trục cúa đáy

Ọ - (a) r \ (à) .

23



B

Ồ

I

D

Ư

Ỡ

N

G T

O

Á

N

-

L

Í

-

H

Ó

A

CẤ

P

2

3

1

0

0

0

B

T

R

Ầ

N

H

Ư

N

G

Đ

Ạ

O

T

P

.

Q

U

Y

N

H

Ơ

N




24/192

Chú ỷ : Việc tìm giao eùa đường thẳn6' vâ mặt phẳng phài đưa về tỉm giao cùa haiđường thẳn g.

Già sử cạnh bên SA và trạc (4) cùng thuộc mặt phẳng {p) thì'thay mặt phẳng (ữ) bởi đưùhg

Thí dụ 1(P). Cho tứ diện ABCD có 3 cạnh DA, DB, DC đôi một vuông góc với nhau.

Cho bỉết DA = s ; DBA = 60°; DCB = 30°,Xác định tâm và bản kính mặt cầu ngoại tiếp tứ diện ABCD.

Lời giãi(h.23) Gọi I , K theo thứ tự là trung điềm của BC, DA. Vẽ hình bình hành KDỈO. Ta

có o là tâm hỉnh cầu ngoại tiếp tứ diện ABCD. Thật vậy :Theo già thiết ta cỏ ABDC vuông tại A

(I )

DA 1 (BCD)

D=> ID = IB = IC.

Ị d a i d b

ị D A I DC

OI II DA

>DALDỈ >0 1L {BCD)

Từ (1), (4) ^ O B - o c = OD

Từ (2), (3) => OK lầ đường trung trựccủa AOÀĐ => OD = OA. (6)Từ (5), (6) ta có điều cần chứng minh

2

(3)(4)

(5)i ừ ( I (4) => Guí = a c = UD (5) \Từ (2), (3) => OK là đường trung trực ‘ ^ \ó < Ẫcủa AOAD OD = OA. (6)Từ (5), (6) ta có điều cần chứng minh.

Ta có DC - DAcoŨO0 = = 3, DB = ZX4cot60c = 1.. V3

BC2 = DB1+D


25/192

..Lòi giảiị DA Ị(A B C ) => {DAB) 1 ỉ ABC)

1) Ta có ị { ABC) n (DB C)* BC I (£>5C) n ( DAB) = DB

■=> BC J- (DAB) =>BC± DB (đpcm)(h.24) .

2) Ta có DAC = DBC = 90° buy ĩit DC ỉà đườngkính vả trung điểm / cùa nỏ là tâiTi đường tròn

ngóạí tiếp tứ, diện ABCD. • .Trong tạm.giác DAB vuông ỉại A ta có

DB= ~ ó = 2 a v VCOS60 ■

Trong tarri giác DBB vuông tại ổ ta có

DC = DBcos45°= a ^ ĩ :

Bán kính mặt cẩu phải tính lả R = -7 2 '

Thí dụ 3. Chọ tứ điện ABCD ọó ÁB ~ AC = AD ' = BD - U .’CD - b hai mặt phárm

(/íSC’)yà (5CD) vuông-góc với nhạu. ■. . ,1) Chứng minh A5C£> lả ĩam giác vuông.2) Xác định tầm và bán kilnh cùa tử diện, ______ _______

Lòi giải1) Gọi / là trung điểm BC (h.25). Dò ẠB = AC nên AABC là tam giác cân suy ra

A Ĩ1 B C . Theo giả thiết (ABC) ± c BCD) => A l l (BCD). => IB, ỈC, ID là hình chiếuvuông góc cùa AB> AC, AD trên mặt phẳng (BCD)

AK=AC*=Ai>=> ỈB = ỈC = ỈD (Ị)

=> ABCD !à tạm giác vũông tạí D, (đpcm)

2) • Trong mặt phẳng (ABC) OJ !à đươna trung trực của đoạn thẳng ẨB cắt AI tại 0. Ta™ DA = OB. (2)Từ (í ) suy ra OB = OC= OD • (3)Từ (2). (3) ta có OA = OB - C)C= OD nên TVThay (5)vàò (4) có R = OÀ =

yỊĩa2 - b 1

Hình 25 D

. 2 5



B

Ồ

I

D

Ư

Ỡ

N

G T

O

Á

N

-

L

Í

-

H

Ó

A

CẤ

P

2

3

1

0

0

0

B

T

R

Ầ

N

H

Ư

N

G

Đ

Ạ

O

T

P

.

Q

U

Y

N

H

Ơ

N




26/192

Thí dụ 4*. Cho tứ diện ABCD có mặt AỈỈD là tam íiiàc vuôim tại . í. inặi /ỈC'O là lam Igiác đều có cạnh bànu 4u. Mặt phắnu vuòrm SIÓC vởi AC. qua BD cất AC.' lại E. E năm Ị

giừa A và ( ABED cân tại E và BED = 30°. Tìm tâm mặt câu núoại tièp tứ diện àv. I

Lội giài[(h.26) Từ ABCD ỉà tam.tiiãc đểu suyđược các kêt qua sau :• CB = CD=> EB = ED^> AB = AD

(tức là tam giác ABD vuôĩig cân tại A) AB = AD= -^£ = 2aV2

BE Bữ

sin 30° sin 120°

Tro nu AỉiEA vuôrm tại E có

AE

£Z).sin3Q

sin 120"

AE = síÃĨ?- - BE- -■=.18if - —— = ( I ) cV ■ 3 ì

____ í ' V" Ị —

Ịroníi JBEC vuỏrm tại /: có Ch \ C ỉ f - RE' = J]6 u2 - - -- - - - (2)V 3 3

ỉỉhìỉì 26

Từ (1), (2) => AC - AE + EC = 2 í f S => .4C’- = 24(ỉ. (3)Mặt khắcAỈĨ2 + ỈĨC' = 8a2+ 16ứ: = 24U. (4)

So sánh (3 ). (4 ) ta có AB1 ■+BC 2= AC' o ABC - 90°

Từ các kêt quả trẽn suy ra ADC = ABC' = 90° => AC là đườno, kính đirờnỉỉ và {rum*điêm cùa AC ' là tâm cùa mặt câu ngoại tiêp tử diện Aỉ3C '-D.Bài toán 2. Diện tích mặt cầu và the tích khối cầu

Thí dụ 5(l>). Tính diện 'tích và thể tích mặt cầu. ngoại tiếp iãníi trụ tam giác dềii~|

.'íổC.rí iZ?iCi có cạnh đáy bằng 4a, mặt chéo (ABC ■)) nạ,hiêní» trên đáv một ,c 60°. ILòi giảiLOI giai

Gọi o, O/. D, ỉ theo thử tự ià trọng tâm A-ỈBC. trọng tâm. trunii điếm AB.

OO). Theo Sa1C = \>ỉ() +(X -■. a + ——- = —-V 9 3'

Vậy dìệirtích mật cài! phải tính lá

26



B

Ồ

I

D

Ư

Ỡ

N

G T

O

Á

N

-

L

Í

-

H

Ó

A

CẤ

P

2

3

1

0

0

0

B

T

R

Ầ

N

H

Ư

N

G

Đ

Ạ

O

T

P

.

Q

U

Y

N

H

Ơ

N




27/192


28/192

Tươna tự BA = AC nên AABC !à tam giảc đều. (4)Từ (2). (4) suy ra AA'B'C" cũne là tam giác đều. (5)Do có (4), (5) suy ra : 20 'B' - 20 ' c = OB - o c nên 0 0 8 B ' và o o c c là hai hình thang vuông bàng nhạu => 2B'B = 2C 'C =5 SB = .ve'.Tưcmg tự SA - SB nên S.ABC ià hình chóp đểu. (đpcm)

2) Goi./ = o 'O n c 'Cị ta có = — — = — = 1 =>y!ắ trune JL\ 20C] ơc,

điềm c 'C J thụộc mặt phăng trung trực (a) cìia c 'C => J = /.

DI Ị h k l o = Ẹ , O c i = ^ = ? Ẫ .■ 4 ! 3 6

Trong tam giác ĨOCì vuông tại o có X2= ỈCỵ = ỈO1 + OCị = — + — 16 12

( Ị 2 2 } ' ỉ 2Vậy diện tích mặt cầu phãi tính bàng-47CC2= Am — + —- = — + —- .

H ■ ; I l6 ; 12 J l 4 3 J ■Bài toán 3. Điểm thuộc mặt cẩu.

Đường tròn cổ định của mặt cầu biến ỉhiên.

1) Để chứng mỉnh điểm A thuộc mặt cẩu ự), R) bạn cỏ thể sử dụnu 2 ci'ch sau :• Chim^ tò 0.4 = R.

• Chửng tò IÀ.Ỉ = 90° trong đỏ IJ là một đườne- kính.2) Để chửng minh 3 cíiểin A. B. ( ',cùn« thuộc một mặt cầu, bạn có thể sú cỉụng 2 cách sau :

• Chứng tò OA = OB = o c .

• Chứng tõ ỈAJ = ỈBJ = ICJ = 90° trong đó /./ là một đườniĩ kinh.3) Cho A là một điểm thuộc mặt cầu {(), R). Để clúrníi minh điểm A thuộc một đườrmtròn cố định của mặt cầu (o , R) bạn phải khẳng định được đồng thời hai điểu kiện sau :

ị» Có một đường thẳng (á) cố định đi qua tâm của mặt cẩu đã cho.'•♦Mặt plìẩng qua A vuông góc với (zl) là mặt phẳng cố định.

Thí dụ 8. Cho đường thẳng (J) và một điểm 'A"nàra ngoài (A). Gọi ( p ) là inặt phăng

qua A vả (id). Một góc xAy quay quanh Ả cất (zl) tại B và c. Trên đường thẳn^ At qua A và vuông góc với {p) lấy môfđiem s. Gọi H-, K là hình chiếu vuônìi íióc của A iên SB vả sc . 1. Ị) Chứng minh 5 điểm A, B, c, H, K cùng thuộc một mật cầu.

2) Tính bán kính mặt cầu trên, nếu AB = 2. ,-ỈC = 3, BAC = 60°.3) Giả sử A4ỔC’ ỹuông tại Ầ. Chứníĩ rríinh rằna. mặt cẩu níỉoại tiếp khối đa diện

ABCHK tuôn đi qua một đườn» tròn cố định khi s ihay đối trên Aỉ và íỉóc vuòrtiì xAVquay quanh /ĩ. ..

Lời giải1) (h.30) Ké đường kính AD cùa đường tròn ngoại tiếp J.4BC.

Ta cỏ ADD = ACD = 90°

Từ I ‘Yr ̂ r Bn ] T ^ ^ c D => C ữ l {SCD) ^ CD L AK ■Ị^C 1C D (-.theo (1 ))

Kết hợp vói giả thiếĩ SC 1 AK. Ta cỏ A K 1 (SCD) => A K 1 KC

28



B

Ồ

I

D

Ư

Ỡ

N

G T

O

Á

N

-

L

Í

-

H

Ó

A

CẤ

P

2

3

1

0

0

0

B

T

R

Ầ

N

H

Ư

N

G

Đ

Ạ

O

T

P

.

Q

U

Y

N

H

Ơ

N




29/192

Hay AKC = 90(i. Tươne tự A fic = 90°Vậy nên c. H. K cùng nằm trên đường tròn đường kinh ẢD (đpcm)

2). Trong tam íĩiác ABC ta có AD = —— = ——— = —— ( i I• • -sir, A sin 60 J5

S C - = ÁB- + AC2- lABAC.cosA =.4 + 9 - 2.23.cos60° = 7 => 5C - s ị ĩ .

3) (h-31) Lấy lấy điểm đối xứng cùa A qua đựờng-thăna, Cd). cố nhiên F cố định.

Ta có BAC - BFC = 90°=> F tliuộc đứờng tròn ngoại tiếp AABC => F thuộc mặtcầu ngoại tiếp khối đa diện ABCMK. Vậy khi AABC vuônn-tại A mặt cầu níỉoạr tiếp khốiđà diện ABCHK luôn đi'qua một đường tròn đường kính

AF cổ định nẩm trong mật phẳng(&4/'’). Lờì nhẳn: Các .bạn liên hệ với bài tập 1.17 Lời bình • Thay cho câu 3, bài toán có thể yêư cầu tìm tập hợp tâm / cùa mặt cầu

ngoại tiếp khối đa diện khi 5 thay đổi trên At vả góc-vuông Jó4yquay quanh A. Với kết

quà câu 3 ta thấy -rằng tập hợp / iả trục của đường tròn (SAF).• Nêu là một đường tròn cố định thỉ.cả mặt phẳng chứa đường trò

của nó đều phải cố định. Bởi thế đường tròn cổ định của một mặt cầu biến thiên ất phảithuộc mặt phẳng cố định .vuông ÍIỎC với một đường thẳníí cố định đi qua tầm của mặtcẩu ẩy. Trong bài toán trên

+ Khi BẠC = 90° o BC !à đường thãng cố đinh đi qua tâm cũa mật cầu.

+ Lại có A là diêm cô định, đường tròn cố định phải thuộc-mặt phảng qua A và vuônggóc với đường thăng BC (mặt phăng (SAF)). Lời giải bải toán đã cho tá thấy tât cảnhững suy nghĩ đó. Các bạn theo dõi tiếp Thi dụ sau. _________ _______ ____________

Thí dụ 9. Cho mặt cầu (S) tâm o bán kính R và A là một điểm trên ($). Ba tia Ax, Ay. Az đôi một vuòng ÍỊÓCvới nhau cat (S) tại B, c . D.

1) Chứng minh mặt phăng (BCD) luôn đi qua một điểm cố định.2) Chúng minh rằrig hình chiếu H của D trên đường thẳng BC thuộc một mặt câu cò

định.

29



B

Ồ

I

D

Ư

Ỡ

N

G T

O

Á

N

-

L

Í

-

H

Ó

A

CẤ

P

2

3

1

0

0

0

B

T

R

Ầ

N

H

Ư

N

G

Đ

Ạ

O

T

P

.

Q

U

Y

N

H

Ơ

N




30/192

Lời giảiI) Dựng hình hộp chữ nhật có ba kích thuớe \àABD\C.DC\A\B\ịỳi32). Rõ ràng các đìnhcùa hình hộp nàỹ thuộc mặt cầu (S).

Gọi I = A\A n BịB . thì / là tàmcùa mặt cầu (5). cố nhiên A. A u Ị làcảc điểm cố định. Gọi G là trọng tâmc của ABCD ta cỏ' 3 AG = AB + AC + AD=AA,

o AC ~ - AA,3 . 1

G là điểm cố định.

(I)

o tả điẽm CO ainh..Tóm lại mặt phẩng (BCD) luôn đi

qua một điểm cố định G được xácđịnh bỏi (1).2) Ta có ± 0 4 5 0 ,0=> (BịCB) MABDìC).

Bởi vậy : H cùa D trên đường thẩng BC => AH JL (B ịCB) => AH _L ỈH. Điều nàychựng tò H thuộc mật cầu đường kính,4/. Đó ià một mặt cầu cô định (do Â, Ị là các điêm

cổ địrih). ( đ p c m ) __________ ■Thí dụ 10. Cho hai đường thăng chéo nhau (zl[). (4>) nhận Ị J ỉà đường vuông gócchung (7 e út, J € (^2))> ỈJ - Ợ’ Gọi (P) ià mặt phằng đi qua điểm / và vuông góc với(4>x đặt (à) là góc giữa (J i) và (P). xẻtro ặt phăng ( 0 song song với (P) và cất (zí().(Ạ>) theo thứ tự tại A , Ẩ 2 . Gọi H\ lá hình chiếu vuông góc cùa A trền ( p ).

1) Chửniĩ minh 5 điêm ỉ, .1 A Ị. H\ cùng'thuộc một mặt câu. chĩ rõ tâm cùa mặt -câu.tinh diện tích cúa mặt cầu theo £ĩ, o, và khoảng cách' h giữa mặt phăng (/>) và (0 .

2) Chửng minh khi mặt phăng (O) tĩiav đôi thi tâm mặt câu nói trên luônthuộc mộtđirờng thẳng cố đinh và mặt cầu áy tuôn-đi qua một đưcmg tròn cô định. _______

Lời giải

1) Theo già thiết (P) // ( 0suy ra A \Ai // (h.33)

Kết hợp với {Ai) -L (P) suy ra A ^ J H i là hình chữ nhật. (1 ).

Bởi thế nên cỏ

• J V , = J H \ A i =9 0° (2 )

Cũng từ (1) =3- ỈJ±A]H\

=> LỈ1{A\H]Ĩ)

=>ỉ j x a ]ỉ => hay Ì4, =90° (3)

Từ (2), (3) suy ra'^. . / . / Hình 33IM Ị JWJ I Us? *í * -- cùng nhìn JA\ dưới cùnu một góc vuông nên 5 điểm /../, /1). Ả 2 *H\ cùng thuộc một

đường kính JA\. Đương nhiên tâm mặt cầu ểỹ íá tRiniĩ điểm Oàx&.ỈA\. bán kính ]à R

Ta có 4R1- —(JAị)~*= ỈJ~ + (ỈẨiý = Jỉ~, + ỢHiỶ +

30

mạt cầu



B

Ồ

I

D

Ư

Ỡ

N

G T

O

Á

N

-

L

Í

-

H

Ó

A

CẤ

P

2

3

1

0

0

0

B

T

R

Ầ

N

H

Ư

N

G

Đ

Ạ

O

T

P

.

Q

U

Y

N

H

Ơ

N




31/192

= a2+ h2coira + h2 '= a2 + h \ 1+.cota f ’ Diện tích mặt cầu là s = AĩĩR1= 7ĩ[a2 + h \ 1+ cotậ)2Ị (*)

2) Xét mặt phẳng (R) chứa ỈJ và vuông góc với (Aĩ). Rõ ràng (R) là mặt phẳng cố địnhvà .vuông góc với đưòng thẳng cơđịnh ( ^ ) đi qưa tâm của mặt cầu đang'Xét: Bởi tPỉế nẻn

đường tròn ('ế) đường kính ỈJ là đường íròn cố định của mặt cầu đang xét. Vậy khi mặt phẳng ( 0 thay đồi, mặt cầu ựJA \AiH \) luôn đi qua đường tròn đường kính ỈJ nàm trongmặt phẳng vuông góc vớị (42)-

Lờỉ bình: (*) Đẻ tính điện tích mặt cầu," nếu biết được R2thì không cần biễt đến R.

Bài toán 4. Tiếp tuyến của mặt cầu

'Bạn có thể một đường thẳng, hoặc một đoạn thẳng tiếp xúc với mặt cầu. theo mấycách sau :

• Đê chứng minh đường thảng (A) là tiếp tuyến của mặt cầữ (0. /?)'ta'íhứngminh khoảng cách íìr o đến (ẩ) bầng R. '

• Khi A là một điểm thuôc mặt cầu (ơ, R) thì đường thẳng (4) qua^ là tiếp tuyếncủa mặt cầu ấv khi và chi khi OA 1 (4).

• Cho A và B là hai điểm thuộc mặt càu (O, R) và đường thảng MA một tiếp tuyếncủa mật cầu. Khí. đó đường thẳng MB tĩêp xúc với mặt cầu khi và chỉ 'khí MA - MB..

Thí dụ ỉ l ^ l Cho hình chóp SABC có đáy là AABC vuông tại Ẩ, ACB = 30°, BC - 2a,:cạnh s c vuông góc với mặt phảng {ABC}, s c = x. Gọi (à) lả đường thẳng qua B và .song song với sc. ■

1) Với giá trị nào cùa X thì (A) là một tiếp tuyến của với mặt cầu đường kính SA.2) Tính theo a thê tích khôi chóp SABC khi X nhận giá ừị ở câu/i. _• •

Lòi giai

l) Gọi I, ẨTtheo thứ tự là trung điểm của SA, AC => IK // SCI ỉ {A) => Khoảng cách từ ỉ đến (A) bẳng khoảng cách XÙK {ầ) và bằng BK.

Trong tam giác ABC ta có .

+ AB — 5Ccos30° = ứ-v/3+ AC = 5Csin30° = a

AC

2 2+ b k 2= a b 2+a k ĩ

- ỉ= a + — = - — 4 4

BK =dyfs

• Mặt cầu đường kính SA tiếp xúc vớiSA SA

(A) khi và chỉ khi khoảng cách từ K đến (A) băng —- tức là — = BK

0 = o SA= ayỊs o SA2=.5a2AC2+ S(ý = 5a22 2

a2+x2 = 5a2 3? = 4


32/192

2) Dề dàng suy ra SAB = SCB - 90° nên SB-là đường kính mặt cẩu ngoại Tiếp khối chóp

S.ABC. Theo kết quả câu 1: s c = BC = 2a ■=>SB - 2 bán kính mặt càụ ngoại tiếp khối chóp SJABC là R .= a-Jl và. thể tích của nó iả

y = ^ Ý = i f n ý . \ ' . — 3 3 ' 3

Thí dụ 12. Chứrig minh nếu .các cạnh của một. tứ diện tiêp xúé với một mặt câu thì

.cảc cặp cạnh cua tứ diện ấy .đôi mội bầng nhau.- -Lòì giặi

Giả sứ mặt càu tiếp xúc với các cạnh AB. AC, AD. BC. CD, DB của tứ diện théó thử. tựtại p, Ọ. R. M, N, L (h.35) : /

Khi đó AP. AO, AR lắ cẳc tiếp tuyến xuất phát từ A nên

A P - AO - AR

Tương tự ta cũng CÓ BP= B M -B L CQ = CM = CN

DR=DN=.DL Vậy AB + CD = AP + PB + CN + m .

= AQ + BL+ C ộ ±DL = (AO+CQ) + (BL + DL)=AC + BD

Bẳng cách chứng minh tương tịr ta cụng có AB +. CD = AC + BD = AC + BD = AD + BC (đpcm)

Thí dụ 13. Cho đường tròn (if) đường kính AB và một điểm c trên đường .thẳng.. vuông góc với mặt phẳng đường tròn tại A. Gọi M là một điêm bât kì trên đường tròn,

H là hình ehiếu vuông góc của A lên CM.1) Chứng-minh khi M thày đổi. điềm H luôn thuộc mộtđircme tròn cố định.

2) Giả sử các tiểp tuyến tại A vả A/ cúa đứờng tròn (tề) cat nhau tạ iX Chứng minh K tì ỉà tiếp .tuyển chung cùa hai mặt cầu đường kinh'/iZ? và AC.

■ ■ . Lời giãi1) Gọi / là hình chiếu vuông góc của A trên CB, thì / là điểm cố định, (h.36) ■■

=> H thuộc đườrig tròn đường kính A ỉ năra trọng mật phăng qua A và vuông góc vớiCB. (đpcm)2) Từ ( I) => A tì _L HB ^ H íhụộc mặt cẩu đường kính AB.

Từ'(2) => t ì thuộc mặt cầu đường kính AC.Do AC 1 AK nên KA ỉà tiếp tuyến của mặt cầu đường kính y (4)

_ ĨBM -LAM ...Tac0


33/192

Do KM là tiếp tuyến củá ( 'ế) nên KM làtiếp tuyến cùa mặt cầu đường kính .48. (5)Gọi J là trung điểm AM. Ta có

+ JA =JM = JH (đo AAHM vuông .tạỉ H) (6)

A K J 1 A M \ K J ± A C { à o A C L { A M B )

=> K,ĩ l(AHẢf) (7)Từ (6), (7) => KA = KM = KH (8)Từ (4), (5). (8) => KH ìà tiếp tuyền của

mặt cẩu đường kính AC đồng thơi cung làtiếp tuyến của mặt cầu đường kính AB. (đpcm)

§2 MẶT TRỤ, HÌNH TRỤ, KHÒl TRỤ,

MẶT NÔN, HỈNH NÓN, KHÔÌ NÓN, I. Kiển thức cần nhớ

A. Mặt trụ, hình trụ, khối trụ1. Mặt trụ T(A; R) là tập hợp các điểm M cách đường ỉhẳng (A) một khoảng &.Mặt trụ !àhình tròn xoay tạo bời đường thẳng / khi quay quanh đuờng.thẳng.(J) song song với /2. Hình trụ là phần cùa mặt trụ Ĩ\Ạ \ R) nằm giữa hai mặt phẳng,phân biệt (P) vả ịp')

vuông góc với (


34/192

• Diện tích toàn phẩn cùa hình nón bans tone điện tích xung quanh và diện tích đáy.' s,p = ĩĩRl + 7 u R~ = Tĩku t R)

3. Khối nón là hình nón cùng với phân bên trong cùa nóKhối nón ià hình tròn xoay tạo bời một miên ram iiiác cân khi quanh quanlì trục đôixứng cùa tam giác đỏ.

Thẻ lích cùa khối nón : v = — 7ĩR~ h. .3

II. Các bài toán thườn g gặpBài toán 1. Tính các diện tích, thê tích Hên quan vóì mặt trụ, khối trụ

j Thí dụ 15. Một hình trụ có bấn kính đảv R = 5. MỘI mặi phănu sorm soníi vàcách- ]Ị trục ()()' cúa hình trụ một khoanư bãníi 3 cât hai đáv theo thứ lự lại AB~ A'B '. ’ \I I ) Tính diện tích tliiẽt diện ABB'Am. nêu chiêu cao h = 1X I

2) Tính diện tỉch xung quanh và thế tích hình trụ tronu trường hợp thiết diệncỏ diện II tích bằni> 96 ________ • __________ ______________ • ■' ________________ j

.Lời giải1) Gọi K là trung điểm AB. (h.36)

Ta có OK 1 AB. OK 1 AA ' suy ra OKI (ABB'A').Do vậy độ đài OK chính ià khoảng cách giữa trục và mặt phãnụ thiết diện. Theo già

thiết ()K = 3. Tronii ãOKA vuône tại K ta cỏ : KA2 = OA- - OK2 = 5: - '3 2= 42 => KA =4 => AB~ 2K.A = 8.Diện tích thiết diện là 5/7) = ABAA' = 8.Í5 = 120 „

2) Srn = % ABÃA'= 96 HAA' = 96 ' AA' = 12 'Gọi / lã trang điềm OO' thì / là tâm mặt cẩu ngoại tiếp khối trụ đã cho. Ta cỏ

/0 = id _ = 6. R = ỈA =yỊl()2 + OÀ2 = \/ó2 + 51 - VóT

Diện tích xuníi quanh cùa hinh trụ ỉà sxt/ = 2xRh =2t ĩ \!ố }.]2 = 24^n/61 Thể Tích

khối trụ là V = ĩĩR^h = 7T.61.12 = 732ĩỉ.

Thí dụ 16. Tính diện tích toàn phân và thê tích của một hinh trụ ngoại tiêp hình câucó thề tích 3ốjr.

34



B

Ồ

I

D

Ư

Ỡ

N

G T

O

Á

N

-

L

Í

-

H

Ó

A

CẤ

P

2

3

1

0

0

0

B

T

R

Ầ

N

H

Ư

N

G

Đ

Ạ

O

T

P

.

Q

U

Y

N

H

Ơ

N




35/192

Lời giảiGọi bán .kính hình câu nội tièp khôi lãng trụ lồ R. ('h.37(ở trên))

'Ta có vr = =36«- R- = — = 27 /l=2li

Diện tích toàn phân của hình trụ là S-/r = 2ỉĩRh + 2tcR = Ố7ĨỈC = 547T, ■' , ỈI*ÌH .

Thể tích hinh trụ là V - ĩĩRrh = 2lĩR' = 547T. Lời bình: Tính điện tích toàn phần và thể tích của một.hinh trụ có thiết diện-qua-4MJC

là một hình'vuông lả bài toán tương tự với bải toán trên.

Thí dụ 17. Cho hình hộp ABCDA\B\C\D\ nội tiếp tronc một hình trụ cho trước,góc giữa đường thăng B\D vả mặt phăng (ABỈỈ]A\) bíìnti 30(1. Khoànii cách eiửa trục

hình trụ đến mặt phầns (ABB\A I) bàníi — . Tính thể tích hình hộp vả thể tích hối-

cầu ngoại tiếp khối trụ ấy, biết rần" 'đirờnii kinh đáy hi nil trụ bằnii, 5a.

Lòi giải(h.38). Là hình hộp nội tièp hình trụ nên ÀBCŨ.A\8)CìD) là hình hộp chữ nhật .Từ

đỏ suy r a :~AD ~

+ ) ---- lả bằng khoảntĩ tách giữa trục hình trự đến mặt phầnỉi'(.4/?/?i.í)).

Theo già thiêt = -r- =i> AD = JU.2 2

+) Đường kinh đáy hình trụ bàng 5a => BD = 5ơ

+) Dề thẩỳ ABị D là góc giữa đường thẳng

B\D và mặt phẩnc (ABB)Aĩ). Theo giả thiết

AB\D= 30°. Trontĩ A4B\D vuông tại A có

■- 23a - 6a.ts n ■ ưu.sin30

Tronii' ÁB\BD vuông tại 3 có Bị B-V BiD- - BD- = Ỉ6ự-~ 25«- = 1I a

=> BịB ~ Í/VĨĨ.Vậy nên. thể tích hình hộp đằ cho jà

v = AB.AD.B]B = 4a.3a.a -J ĩị= ] Ị c r ^ Rồ rang'B\D là đường kính của khối cẩu ngoại tiếp hinh hộp đã cho.

Vậv nên bán kính khổi cầu ấy là R = —Z?]D = 3a.

l t Ị . X . . . , . „ ẠĩtR? A n i l ơ 3Từ đó có thê tích khôi câu phải tính là vr = - - - — —— = 36xư .

Thí dụ 18. Cho hình trụ ỰT) có bán kính đáy bầng 4, chiều cao bẩng 3. Tim một hìnhtrụ (T|) khác có bán kính đáy là X, chiều cao băng ỳ. và có thể tích bầng thể tích hìnhtrụ (T) đã cho.

35



B

Ồ

I

D

Ư

Ỡ

N

G T

O

Á

N

-

L

Í

-

H

Ó

A

CẤ

P

2

3

1

0

0

0

B

T

R

Ầ

N

H

Ư

N

G

Đ

Ạ

O

T

P

.

Q

U

Y

N

H

Ơ

N




36/192

Theo bài ra ta có

X = 48Ta có ( 2 ) o

Lờigiải

j Slp ~ 2ĩĩ(x~ + XV) = 2^(4' + 4.3)

1V = 7ĩx2y = /r.4:.3

■ịx: +XV-2Z (1)

\ xzy = 48 (2)

(3)

Thế váo (ì) có X2+ = 28 => JC3- 28x + 48 = 0 X

‘x=2, -'’>0 ___________o (x - 2)(JC + 2x - 24) = 0 o “ . Thay vào (3)

[,v = 4

VỠĨ X= 2 có V= 12; Với X = 4 có V-= 3 .Cặp nghiệm (x = 4. V= 3) cho ta hình tru (T) ban đâu nên khônii thích hộp. Vậy hình trụ

có bán kinh đáy X = 2. chiệu cao>' = 12 là hình trụ duy nhất thoà mãn yêu cầu bài toán.

Thí dụ 19. Trong các hình trụ có điện tích, toàn phân của hình khôníi đôi Slp = 2mT,tìm hình trụ có thể tích nhò nhất ■ ___________ _______________________________

Lòi giăiGọi X. Vtheo thứ tự lả bán kính đáy, chiêu cao của hình trụ . Thê th i:

+ Thể tích của khối trụ là V - 7EYV.+ Diện tích loàn phần của hình trụ lả StỊ, = 2ĩĩứ 2ĩl \ + lĩccy - 2k u

cp X' + XV= í? X2 + — + — = ư ' . Áp dụng bầt đẳng thức Cô-si cho 3 số X2.

xy xy * - 'Xy -J ■>*ỹ y .. .tacó a =X'i +-^~ + — > 3 Ỉ X ' = 3 í — — 2 2 2 . 2 V 2 2 V 4

6 27 2 \2 7 _ ̂ 3 _ , _ 2ứa > — (x y) => X y < ---------- => 7CTV V <4 9 9

p . ; . . . . . . _ s r f _ £ ỉ V3 _ 2 « v/ 3 Ì

Dâu đăng thức có khi .Y = — = — o X = —r— ; = — — 2 - 3 [ 3 3 I

'In ' \/j

2 ^.Vây maxK = -—— ----- Đó là thể tích cũa hình trụ mà cà đường kính đáy bẳrm chiểu

cao cùng bẳng2 a S

Thí dụ 20. Trong tất cả các hình trụ có cùng thể tích V không đổi. tìm hình trụ códiện tích toàn phẩn nhỏ nhắt ■ ___________ . , ______ _________________ ■

Lời giải

Gọi x*y theo tlúr tự là bán kính đáy, chiều cao cùa hình trụ. Thế thì :+ Thể tích của khối trụ là V = ĨDC1}’ + Diện tích toàn phần cùa hình trụ là

Sfp= lĩDc1 + 2 7Dcy = 2%(x +ry) = 2 ĩĩ ịx 2■+— + — ì

Ấp dụng bất đẳng thức Cô-si cho 3 sốx2. — ta có

36



B

Ồ

I

D

Ư

Ỡ

N

G T

O

Á

N

-

L

Í

-

H

Ó

A

CẤ

P

2

3

1

0

0

0

B

T

R

Ầ

N

H

Ư

N

G

Đ

Ạ

O

T

P

.

Q

U

Y

N

H

Ơ

N

W.DAYKEMQUYNHON.UCO

Documents

BỒI DƯỠNG HÌNH HỌC 12 - NGUYỄN QUỐC PHONG