11/11/2009

1

Moderne acceleratorers fysik og anvendelseForelæsning 4

Lineær Beam Optik - betafunktion

Wille kapitel 3.7 til og med 3.13RepetitionBetafunktion og betatron bevægelseFaserumBeam størrelse og emmitansUdregning af betafunktionMatchning af betafunktionerCirkulære acceleratorerCirkulære acceleratorerEksempel (WinAgile)

Repetition 1: Bevægelse i magnetfelt

• Bevægelse i (lineære) magnetfelter– Hill’s ligning

– R er afbøjningsradius i dipol magnet– k er fokuseringsstyrken (af en Quadrupol)

• k negativ: horisontalt fokuserede • k positiv: horisontalt defokuserede

11/11/2009

2

Repetition 2: Matrix transformation

• For en partikel transformeres sted og vinkel gennem et element via en transfer matrixmatrix

Repetition 3: Matricerne

• Matricer for udvalgte elementer

PS: samme matricer som i optik (lasere)

11/11/2009

3

Repetition 4: Mange elementer

• Bevægelse igennem række elementer

• Dispersion

• Man indfører Δp/p som 3. element i matrix beskrivelsen

Repetition 5: Dispersion

ppsDx Δ

⋅=Δ )(

Man indfører Δp/p som 3. element i matrix beskrivelsen

– Hvor m11, m12, m21, og m22 er de samme som før

11/11/2009

4

Størrelse Wille (os) Ofte også brugtAfbøjning radius i magnet R ρVertikal koordinat z y

Symboler

Vertikal koordinat z y

• Indtil nu: Enkelt partikel bevægelse• Nu: partiklernes indhylningskurve• Starter igen med Hill’s ligning

Betafunktion 1

Starter igen med Hill s ligning– Sætter 1/R=0 og Δp/p=0

• Begrænser os til en dimension, dvs

• Hvis k konstant (og <0), så x=Acos(√|k|·s+φ)

11/11/2009

5

• Hill’s ligning:

• Test løsning:

Betafunktion 2

• Amplituden og fasetilvæksten varierer som funktion af s

• Indsættelse giver (1)(2)

• (2) har løsningen( ) g

• som ved indsættelse i (1) giversom dog ikke har nogen analytisk løsning

• Variabel skift: og 2A=ε

• Løsningen til Hill’s ligning bliver da

Betafunktion 3

• Med

• β(s): Betafunktionen (enhed af meter)– Beskriver hvordan den maksimale amplitude i bevægelsen

afhænger af s, afhænger af det magnetiske layout• Ψ(s): Fasetilvækst funktionen, afhænger af det magnetiske layout

• ε er en konstant, som bestemmer den maksimale amplitude (pt. for den enkelte partikel)– ε kaldes emittansen, afhænger af partiklen

• φ er den enkelte partikels (individuelle) faseoffset• Indhylningskurven er givet ved:

11/11/2009

6

Betafunktion 4

• Lad os igen betragte betatron bevægelsen

Betatron ”Bølgelængde”

⎞⎛ 2• Analogt til en harmonisk bølge

kan man også tale om en (lokal) betatron bølgelængde λb

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛= xy

λπ2sin

)(1)(2s

sb βλπ

=Ψ′=

βλ )(s⇓

vejlængdeperstenfasetilvæker2

bλπ

• Når beta er lille er bølgelængde kort og omvendt– som det også ses på foregående figur

πλ

2b =

11/11/2009

7

• Position og vinkel af en partikel

Betafunktion 5: emittansellipsen

• hvor

• Sammenskriver man de to ligninger og eliminereog fås

• Hvilket beskriver en ellipse i (x, x’)-rum

Betafunktion 6: emittansellipsen

(α, β og γ kaldes ogsåTwiss eller Courant-Snyder parametre)

11/11/2009

8

Betafunktion 7: emittansellipsen

Betafunktion

ittemittansellipse

• For konservative kræfter gælder at arealet af faserumsellipsen er bevaret

Emittansellipsen: Louville’s teorem

• Vi kan ændre formen, men aldrig arealet• Gælder (strengt) for en enkelt partikel og (mestendels)

for et ensemble af partikler

11/11/2009

9

• Indtil nu har vi betragtet en enkelt partikel– men i en rigtig stråle har vi mange partikler

• Disse vil (oftest) følge en Gauss-fordeling

Beam størrelse og emittans

med givne spredninger σx og σz

• En partikel med position σx vil haveen emittans εx,std givet ved,

Denne emittans kalder vi strålens emittans (og benævnes oftes blot εx)

• Tilsvarende med εz

)(, sstdxx βεσ =

• Dimensionen for emittans er [længde]*[vinkel]• med enheden m·rad

– Ofte bruges mmmrad (millimeter milli-radian)

Emittans

• samme som µmrad (10-6 mrad)

– eller nmrad (10-9 mrad)

• Bemærk, at mange (specielt for proton maskiner) ofte bruger begrebet emittans for arealet af faserumsellipsen– Man vil da ofte skrive ε=5πµmrad

• Bemærk også at rad er ”dimensionsløs”, så ved udregning af f.eks. en strålestørrelse ”forsvinder” rad

mmmmrad 111 =⋅== μεβσ

11/11/2009

10

• Strålens størrelse vil variere rundt i maskinen (∝√β)• Samtidig vil vakuumkammerets størrelse d variere• Hvor er mindst, er der mindst plads

Acceptants

Hvor er mindst, er der mindst plads• Vi definere nu den transversale acceptants A som

som er den største emittansen partikel kan have

• Antag at vi kender betafunktionen et givet sted s0

Udregning af betafunktionen

• Wille viser nu at betafunktionen på stedet s1 er givet ved

hvor M er transfermatrixen fra s0 til s1

Will i å d lt ti f• Wille viser også den alternative form

• Brug af computer programmer (WinAgile, MAD, MatLab Acc. Toolbox)

11/11/2009

11

• Vælg et symmetripunkt med betafunktion β*, og α*=0• Så har vi

Betafunktionen omkring en waist (symmetri punkt)

altsåTo ellipser for s=0

*1εβ

*2/ βε

• Det er ret let at vise (Wille kap 3.11) at har man de optiske værdier (β, α, og faseskiftet Ψ) i to punkter s, og s0, så kan man udregne transfermatricen mellem de to

Transfermatricen fra de optiske funktioner

punkter ud fra

11/11/2009

12

• Ofte har man en transportlinie, hvor de optiske funktioner er givet ved indgang og udgang

• Opgaven er da at vælge de optiske elementers styrke (k)

Matching 1

og position så transportlinien transformere de optiske funktioner på den ønskede måde

• Der er generelt ingen analytisk løsning på matchingen• Derfor gæt og iterer

Matching 2

• Wille angiver en metode hvor man ved hjælp af afledte kommer tættere på en løsning– Én dimensional

– Også for n-dimensionalOgså o d e s o a

• Alternativt kan man bruge least-squares-metoder

• Brug for computere– Normalt indbygget i lattice programmer (WinAgile)

11/11/2009

13

• Lad os nu betragte en cirkulær accelerator• Vi har da den periodiske betingelse, L er omkredsen

Periodisk løsning i cirkulær accelerator 1

• Dvs.

• Eller eksplicit

hvor

rev

kan løses (selv om det ikke er let) og resultatet er

Periodisk løsning i cirkulær accelerator 2

• Dvs. ud fra transfermatricen kan vi udregne betafunktionen (og dermed alt andet)

• Da β skal være reel (og positiv) må det gælde at

rev

β ( g p ) g

• Ved brug af det(M)=1 (Wille 3.73) ses det at være det samme som

• Hvilket altså er en nødvendig betingelse for stabilitet

2)Tr( 2211 <+= mmMrev

Bemærk trykfejl i lign. 3.182

11/11/2009

14

• Tilsvarende fås for dispersionen

Periodisk løsning i cirkulær accelerator 3

• Som giver

• Hvis vi igen finder transfermatricen fra de optiske værdier

Periodisk løsning i cirkulær accelerator 4

• og benytter at for en hel omgang er β=β0, α=α0, og sætter μ=Ψ(fasetilvæksten for en hel omgang), får vi

⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜

⎝

⎛

−+

+= μαμμ

βα

μβμαμ

sincossin1sinsincos

2revM Tune:

Q=μ/2πantal svingninger• Heraf ses også let at

• For et symmetripunkt er α= 0 og vi får2cos2)Tr( <⋅= μrevM

⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜

⎝

⎛= μμ

β

μβμ

cossin1sincos

revM

antal svingninger per omgang

11/11/2009

15

• For et symmetri punkt er de afledtenul, dvs.

Symmetri punkter

• Det gør udregning af betaværdier lidt simplere

• og vi får et par yderlige betingelser for stabilt lattice

• For en cirkulær accelerator (ring) definere man ringens middelradius Rm som (engelsk ’mean radius’)

Middelradius

2LR =

hvor L er ringens omkreds• Det er et begreb der ofte (mest) benyttes for de store ringe (LHC,

SPS, …), som jo på grund af de høje energier (små afbøjninger) får mange dipoler, så ringens form tilnærmelsesvis er cirkulær.

• Pas på med ikke at forveksleen rings middelradius med

π2Rm

gafbøjningsradius i ringens dipoler.

– Man vil ofte se R brugt som middelradius og så ρ som afbøjningsradius

11/11/2009

16

• Betafunktion (β(s)): Beskriver ”ALT”– Giver formen af partikelbevægelsens indhylningskurve– Beamstørrelse:

Opsummering

)(sβεσ ⋅=– Udregnes ud fra transfermatricerne (vha. computer)

• Emittans (ε): Faserumsareal (på nær π)– Bestemmer amplituden af indhylningskurven

• Dispersion (D(s)): Proportionaliteten mellem positionsskift og impulsafvigelse– Positionsskift:

ppsDx Δ

⋅=Δ )(

• ”Ingeniør”-formler– Stivhed:

– Fokuseringsstyrke:

p

][2998.0]/[][][][eQcGeVpmRTBTmB

⋅=⋅=ρ

][]/[

]/[]/[][2998.0][ 2

TmBmTg

mGevpmTgeQmk

ρ=

⋅⋅=−

ASTRID lattice

11/11/2009

17

Beam envelope og β

Beam envelope = βε ε er konstant, men β=β(s)

Ti omgange i ASTRID. I løbet af mange omgange udfyldeshele arealet indenfor beam envelope. Bemærk sammenhængen mellem β og λ.Rækkefølge: Rød, pink, sort, grøn, sort, …

FODO lattice

• Bemærk at βx er stor ved QF og lille ved QD

11/11/2009

18

Dispersion Revisited: Gravitationel analogi

• Hvorfor falder partiklerne ikke nedenud af maskinen pga. tyngdekraften?– Beamet kommer til at ligge lidt under aksen, og får en større

fb j i d i F lafbøjning opad i F-qpolerne– Afbøjning: , hvor Bρ er stivhedenklz

BlB

z q =Δ

=′Δρ)(

Dispersion Revisited 2

• En partikel med lav impuls afbøjes mere i en magnet

• Der vil blive dannet en ny lukket bane, som er forskudt Forskydningen er givet ud fraer forskudt. Forskydningen er givet ud fra dispersionsfunktionen D(s) (enhed meter)

ppsDx Δ

⋅=Δ )( D~1-10 m, Δp/p~10-4-10-3

Δx~1 mm

11/11/2009

19

• WinAgile: Eksempel 3.13.3 (s. 98)

Demonstration