Upload
mega-kemilau
View
185
Download
29
Embed Size (px)
DESCRIPTION
Persamaan Diferensial Elementer
Citation preview
PERSAMAAN DIFERENSIAL ELEMENTER
Lecture Notes
YULIAWAN RIZKA SYAFAAT FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM
UNIVERSITAS GADJAH MADA
Definisi Persamaan Diferensial Persamaan Diferensial adalah suatu persamaan yang memuat dari satu atau lebih variabel tak bebas
terhadap satu atau lebih variabel bebas.
Persamaan Diferensial Separabel Mempunyai bentuk umum :
๐๐ฆ
๐๐ฅ= ๐(๐ฅ)๐(๐ฆ)
Diperoleh
๐๐ฆ
๐(๐ฆ)= ๐(๐ฅ)๐๐ฅ
โซ๐๐ฆ
๐(๐ฆ)= โซ ๐(๐ฅ)๐๐ฅ
Contoh :
(๐ + ๐)๐ ๐ โ ๐๐ ๐ = ๐
Untuk menyelesaikan, persamaan di atas
dibagi dengan ๐ฆ(1 + ๐ฅ) sehingga menjadi
๐๐ฆ
๐ฆโ
๐๐ฅ
1 + ๐ฅ= 0
โซ๐๐ฆ
๐ฆโ โซ
๐๐ฅ
1 + ๐ฅ= ๐
ln |๐ฆ| โ ln|1 + ๐ฅ| = ๐
ln |๐ฆ
1 + ๐ฅ| = ๐
Untuk menyederhanakan, ruas kiri dan ruas
kanan diubah menjadi pangkat dari ๐ sehingga
menjadi
๐ln |๐ฆ
1+๐ฅ| = ๐๐
๐ฆ
1 + ๐ฅ= ๐๐
๐ฆ = ๐๐(1 + ๐ฅ)
Contoh lainnya :
(๐ + ๐๐)๐ ๐ + (๐ + ๐๐๐)๐๐ ๐ = ๐
๐๐ฆ
1 + 4๐ฆ2+
๐ฅ๐๐ฅ
1 + ๐ฅ4= 0
โซ๐๐ฆ
1 + 4๐ฆ2+ โซ
๐ฅ๐๐ฅ
1 + ๐ฅ4= ๐
1
2๐๐๐ tan 2๐ฆ +
1
2๐๐๐ tan ๐ฅ2 = ๐
๐๐๐ tan 2๐ฆ + ๐๐๐ tan ๐ฅ2 = ๐
๐๐๐ tan 2๐ฆ = ๐ โ ๐๐๐ tan ๐ฅ2
Lalu, kedua ruas dikalikan dengan ๐ก๐๐
๐ก๐๐(๐๐๐ tan 2๐ฆ) = ๐ก๐๐(๐ โ ๐๐๐ tan ๐ฅ2)
2๐ฆ = ๐ก๐๐(๐ โ ๐๐๐ tan ๐ฅ2)
๐ฆ =๐ก๐๐(๐ โ ๐๐๐ tan ๐ฅ2)
2
Contoh lainnya lagi :
(๐๐ + ๐)๐๐โ๐๐ ๐ + (๐๐ + ๐)๐๐โ๐๐ ๐ = ๐
๐๐ฅ
(๐๐ฅ + 1)3๐โ๐ฅ+
๐๐ฆ
(๐๐ฆ + 1)2๐โ๐ฆ= 0
โซ๐๐ฅ
(๐๐ฅ + 1)3๐โ๐ฅ+ โซ
๐๐ฆ
(๐๐ฆ + 1)2๐โ๐ฆ= ๐
โซ๐๐ฅ๐๐ฅ
(๐๐ฅ + 1)3+ โซ
๐๐ฆ๐๐ฆ
(๐๐ฆ + 1)2= ๐
โซ๐(๐๐ฅ + 1)
(๐๐ฅ + 1)3+ โซ
๐(๐๐ฆ + 1)
(๐๐ฆ + 1)2= ๐
โ1
2(๐๐ฅ + 1)โ2 โ (๐๐ฆ + 1)โ1 = ๐
1
๐๐ฆ โ 1= ๐ โ
1
2(๐๐ฅ + 1)2
Persamaan Diferensial Linear Homogen Memiliki bentuk umum :
๐1(๐ฅ)๐๐ฆ
๐๐ฅ+ ๐0(๐ฅ)๐ฆ = 0
Dengan penyelesaian :
๐๐ฆ
๐ฆ+
๐0(๐ฅ)
๐1(๐ฅ)๐๐ฅ = 0
โซ๐๐ฆ
๐ฆ+ โซ ๐(๐ฅ)๐๐ฅ = ๐, ๐(๐ฅ) =
๐0(๐ฅ)
๐1(๐ฅ)
ln|๐ฆ| + โซ ๐(๐ฅ)๐๐ฅ = ๐
ln|๐ฆ| = ๐ โ โซ ๐(๐ฅ)๐๐ฅ
๐ฆ = ๐๐โโซ ๐(๐ฅ)๐๐ฅ
๐ฆ = ๐๐ . ๐โ โซ ๐(๐ฅ)๐๐ฅ
๐ฆ = ๐๐โ โซ ๐(๐ฅ)๐๐ฅ
Contoh :
(๐๐ โ ๐)๐ ๐
๐ ๐+ ๐๐ = ๐
๐(๐ฅ) =๐ฅ
(๐ฅ2 โ 9)
โซ ๐(๐ฅ)๐๐ฅ = โซ๐ฅ
(๐ฅ2 โ 9)๐๐ฅ
=1
2โซ
๐(๐ฅ2 โ 9)
(๐ฅ2 โ 9)
=1
2ln|๐ฅ2 โ 9| + ๐
Penyelesaian :
๐ฆ = ๐๐โ12
ln |๐ฅ2โ9|
= ๐(๐ฅ2 โ 9)โ12
Persamaan Diferensial Linear Homogen dengan bentuk
(๐1๐ฅ + ๐1๐ฆ + ๐1)๐๐ฅ + (๐2๐ฅ + ๐2๐ฆ + ๐2)๐๐ฆ = 0
Memiliki 2 cara penyelesaian yang berbeda, yang tergantung dari nilai ๐1
๐2 sama atau tidak
sama dengan nilai ๐1
๐2
Jika
๐1
๐2=
๐1
๐2
Maka substitusikan
๐ง = ๐1๐ฅ + ๐1๐ฆ
Contoh :
(๐ + ๐๐ + ๐)๐ ๐ + (๐๐ + ๐๐ + ๐)๐ ๐ = ๐
๐1
๐2=
1
2
๐1
๐2=
2
4
maka
๐ง = ๐ฅ + 2๐ฆ
๐ฆ =๐ง โ ๐ฅ
2
๐๐ฆ =๐๐ง โ ๐๐ฅ
2
Disubstitusikan ke soal sehingga
menjadi
(๐ง + 3)๐๐ฅ + (2๐ง + 1)๐๐ง โ ๐๐ฅ
2= 0
(๐ง + 3)๐๐ฅ + (2๐ง + 1
2) ๐๐ง โ (
2๐ง + 1
2) ๐๐ฅ = 0
(๐ง + 3 โ ๐ง โ1
2) ๐๐ฅ + (
2๐ง + 1
2) ๐๐ง = 0
5
2๐๐ฅ + (
2๐ง + 1
2) ๐๐ง = 0
5๐๐ฅ + (2๐ง + 1)๐๐ง = 0
โซ 5๐๐ฅ + โซ(2๐ง + 1)๐๐ง = ๐
5๐ฅ + ๐ง2 + ๐ง = ๐
5๐ฅ + (๐ฅ + 2๐ฆ)2 + (๐ฅ + 2๐ฆ) = ๐
Jika
๐1
๐2โ
๐1
๐2
Maka substitusikan
๐ฅ = ๐ + โ
๐ฆ = ๐ + ๐
Dengan (โ, ๐) adalah solusi dari persamaan
๐1โ + ๐1๐ + ๐1 = 0
๐2โ + ๐2๐ + ๐2 = 0
Contoh soal yang bisa dicoba :
(๐ โ ๐๐ + ๐)๐ ๐ + (๐๐ โ ๐๐ โ ๐)๐ ๐ = ๐
Persamaan Diferensial Eksak
Derivatif Parsial ๐น(๐ฅ,๐ฆ) = sin(๐ฅ๐ฆ) + ๐ฅ2 + ๐ฆ2 + 5
๐๐น
๐๐ฅ= ๐ฆ cos(๐ฅ๐ฆ) + 2๐ฅ
๐๐น
๐๐ฆ= ๐ฅ cos(๐ฅ๐ฆ) + 2๐ฆ
๐๐น
๐๐ฅ,
๐๐น
๐๐ฆ disebut derivatif parsial. Fungsi F berturut-turut diturunkan terhadap variabel x dan y.
Derivatif parsial F terhadap x diperoleh dengan menurunkan F terhadap x dengan menganggap y
sebagai konstan, dinotasikan sebagai ๐๐น
๐๐ฅ.
Derivatif total dari suatu fungsi F dinyatakan sebagai
๐๐น
๐๐ฅ๐๐ฅ +
๐๐น
๐๐ฆ๐๐ฆ
Suatu ekspresi
๐(๐ฅ,๐ฆ)๐๐ฅ + ๐(๐ฅ,๐ฆ)๐๐ฆ
disebut diferensial eksak jika ekspresi tersebut mempunyai diferensial total dari suatu fungsi F. Jika
ekspresi di atas mempunyai diferensial eksak, maka
๐(๐ฅ,๐ฆ)๐๐ฅ + ๐(๐ฅ,๐ฆ)๐๐ฆ = 0
adalah persamaan diferensial eksak.
Penyelesaian Persamaan Diferensial Eksak memiliki syarat :
๐๐
๐๐ฆ=
๐๐
๐๐ฅ
Contoh :
๐๐๐ ๐ ๐ + (๐๐ โ ๐) ๐ ๐ = ๐
๐๐
๐๐ฆ= 2๐ฅ
๐๐
๐๐ฅ= 2๐ฅ
Maka bisa dilakukan 2 cara, yaitu:
๐น(๐ฅ,๐ฆ) = โซ ๐(๐ฅ,๐ฆ)๐๐ฅ + ๐(๐ฆ)
= โซ 2๐ฅ๐ฆ ๐๐ฅ + ๐(๐ฆ)
= ๐ฅ2๐ฆ + ๐(๐ฆ)
๐๐น
๐๐ฆ= ๐
๐ฅ2 + ๐โฒ(๐ฆ) = ๐ฅ2 โ 1
๐โฒ(๐ฆ) = โ1
๐(๐ฆ) = โ๐ฆ
Maka :
๐ฅ2๐ฆ โ ๐ฆ = ๐ atau ๐ฅ2๐ฆ โ ๐ฆ โ ๐ = 0
๐น(๐ฅ,๐ฆ) = โซ ๐(๐ฅ,๐ฆ)๐๐ฆ + ๐(๐ฅ)
= โซ(๐ฅ2 โ 1)๐๐ฆ + ๐(๐ฅ)
= ๐ฅ2๐ฆ โ ๐ฆ + ๐(๐ฅ)
๐๐น
๐๐ฅ= ๐
2๐ฅ๐ฆ + ๐โฒ(๐ฅ) = 2๐ฅ๐ฆ
๐โฒ(๐ฅ) = 0
๐(๐ฅ) = ๐
Maka :
๐ฅ2๐ฆ โ ๐ฆ = ๐ atau ๐ฅ2๐ฆ โ ๐ฆ โ ๐ = 0
Contoh lainnya :
(๐๐๐ โ ๐ ๐๐๐ ๐๐)๐ ๐ + (๐๐๐๐๐ โ ๐ ๐๐๐ ๐๐ + ๐๐)๐ ๐ = ๐
๐๐
๐๐ฆ= 2๐2๐ฆ โ cos ๐ฅ๐ฆ + ๐ฅ๐ฆ sin ๐ฅ๐ฆ
๐๐
๐๐ฅ= 2๐2๐ฆ โ cos ๐ฅ๐ฆ + ๐ฅ๐ฆ sin ๐ฅ๐ฆ
PD di atas adalah PD Eksak
๐น(๐ฅ,๐ฆ) = โซ ๐(๐ฅ,๐ฆ)๐๐ฅ + ๐(๐ฆ)
= โซ(๐2๐ฆ โ ๐ฆ๐๐๐ ๐ฅ๐ฆ)๐๐ฅ + ๐(๐ฆ)
= ๐ฅ๐2๐ฆ โ sin ๐ฅ๐ฆ + ๐(๐ฆ)
๐๐น
๐๐ฆ= ๐
2๐ฅ๐2๐ฆ โ ๐ฅ๐๐๐ ๐ฅ๐ฆ + ๐โฒ(๐ฆ) = 2๐ฅ๐2๐ฆ โ ๐ฅ๐๐๐ ๐ฅ๐ฆ + 2๐ฆ
๐โฒ(๐ฆ) = 2๐ฆ โ ๐(๐ฆ) = ๐ฆ2
Maka:
๐ฅ๐2๐ฆ โ sin ๐ฅ๐ฆ + ๐ฆ2 + ๐ = 0
Persamaan Diferensial Linear Non Homogen Memiliki bentuk umum
๐1(๐ฅ)๐๐ฆ
๐๐ฅ+ ๐0(๐ฅ)๐ฆ = ๐(๐ฅ)
Dan persamaan tersebut dibagi dengan ๐1(๐ฅ) dengan ๐1(๐ฅ) โ 0 sehingga menjadi
๐๐ฆ
๐๐ฅ+ ๐(๐ฅ)๐ฆ = ๐(๐ฅ), ๐(๐ฅ) =
๐0(๐ฅ)
๐1(๐ฅ), ๐(๐ฅ) =
๐(๐ฅ)
๐1(๐ฅ)
Sebelum penyelesaian, kita akan membahas tentang faktor integral dahulu
Faktor Integral Pada PD linear homogen, diketahui
๐๐ฆ
๐๐ฅ+ ๐(๐ฅ)๐ฆ = 0
๐ฆ = ๐๐โ โซ ๐(๐ฅ)๐๐ฅ
Dua persamaan ini dikalikan, menjadi
๐โ โซ ๐(๐ฅ)๐๐ฅ ๐๐ฆ
๐๐ฅ+ ๐(๐ฅ)๐โ โซ ๐(๐ฅ)๐๐ฅ๐ฆ = 0 . . . (1)
Sebenarnya persamaan ini hampir mirip dengan turunan dari
๐
๐๐ฅ(๐ฆ๐โ โซ ๐(๐ฅ)๐๐ฅ) = 0
Yaitu
๐โ โซ ๐(๐ฅ)๐๐ฅ ๐๐ฆ
๐๐ฅ+ (โ๐(๐ฅ))๐โ โซ ๐(๐ฅ)๐๐ฅ๐ฆ = 0 . . . (2)
Namun, persamaan (1) dan persamaan (2) memiliki perbedaan yang cukup signifikan, yaitu pada
nilai โP(x), sehingga kita akan mencoba mengubah pangkatnya dari โ โซ ๐(๐ฅ)๐๐ฅ menjadi โซ ๐(๐ฅ)๐๐ฅ
sehingga akan menjadi
๐
๐๐ฅ(๐ฆ๐โซ ๐(๐ฅ)๐๐ฅ) =
๐๐ฆ
๐๐ฅ๐โซ ๐(๐ฅ)๐๐ฅ + ๐ฆ๐(๐ฅ)๐โซ ๐(๐ฅ)๐๐ฅ = ๐โซ ๐(๐ฅ)๐๐ฅ (
๐๐ฆ
๐๐ฅ+ ๐(๐ฅ)๐ฆ)
Selanjutnya, ๐โซ ๐(๐ฅ)๐๐ฅ disebut dengan faktor integral. Faktor integral ini hanya berlaku untuk PD
linear non homogen.
Untuk menyelesaikan PD linear non homogen, digunakanlah faktor integral dengan cara mengalikan
setiap ruas dengan faktor integral.
๐โซ ๐(๐ฅ)๐๐ฅ (๐๐ฆ
๐๐ฅ+ ๐(๐ฅ)๐ฆ) = ๐(๐ฅ)๐โซ ๐(๐ฅ)๐๐ฅ
๐
๐๐ฅ(๐ฆ๐โซ ๐(๐ฅ)๐๐ฅ) = ๐(๐ฅ)๐โซ ๐(๐ฅ)๐๐ฅ
โซ ๐(๐ฆ๐โซ ๐(๐ฅ)๐๐ฅ) = โซ ๐(๐ฅ)๐โซ ๐(๐ฅ)๐๐ฅ ๐๐ฅ
๐ฆ๐โซ ๐(๐ฅ)๐๐ฅ = โซ ๐(๐ฅ)๐โซ ๐(๐ฅ)๐๐ฅ ๐๐ฅ
Contoh :
๐ ๐
๐ ๐+ ๐ = ๐; ๐(๐) = ๐
๐(๐ฅ) = 1 โ โซ ๐(๐ฅ)๐๐ฅ = ๐ฅ โ Faktor integral
= ๐๐ฅ
๐๐ฅ๐๐ฆ
๐๐ฅ+ ๐ฆ๐๐ฅ = ๐ฅ๐๐ฅ
๐
๐๐ฅ(๐ฆ๐๐ฅ) = ๐ฅ๐๐ฅ
๐ฆ๐๐ฅ = โซ ๐ฅ๐๐ฅ ๐๐ฅ
๐ฆ๐๐ฅ = ๐ฅ๐๐ฅ โ โซ ๐๐ฅ ๐๐ฅ
๐ฆ๐๐ฅ = ๐ฅ๐๐ฅ โ ๐๐ฅ + ๐
Jadi, persamaan umumnya adalah
๐ฆ =๐ฅ๐๐ฅ โ ๐๐ฅ + ๐
๐๐ฅ
Dari soal, jika x = 0, maka y = 4, sehingga
persamaan khususnya adalah
4 =0๐0 โ ๐0 + ๐
๐0
4 =โ1 + ๐
1
๐ = 5
Maka, persamaan khususnya adalah
๐ฆ =๐ฅ๐๐ฅ โ ๐๐ฅ + 5
๐๐ฅ
Persamaan Diferensial Non Eksak Persamaan Diferensial Non Eksak memiliki bentuk umum yang sama dengan Persamaan Diferensial
Eksak, yaitu
๐(๐ฅ,๐ฆ)๐๐ฅ + ๐(๐ฅ,๐ฆ)๐๐ฆ = 0
Namun dengan perbedaan syarat yaitu
๐๐
๐๐ฆโ
๐๐
๐๐ฅ
Untuk menyelesaikan PD di atas, kita harus menjadikan PD tersebut menjadi eksak dengan cara
mengalikan kedua ruas itu dengan faktor integral, namun faktor integral ini berbeda dengan faktor
integral yang telah dibahas sebelumnya.
Kita namakan faktor integral ini dengan ๐(๐ฅ,๐ฆ)
Maka akan diperoleh persamaan baru yaitu
๐(๐ฅ,๐ฆ)๐(๐ฅ,๐ฆ)๐๐ฅ + ๐(๐ฅ,๐ฆ)๐(๐ฅ,๐ฆ)๐๐ฆ = 0
Dengan ๐(๐ฅ,๐ฆ)memenuhi persamaan
๐(๐๐)
๐๐ฆ=
๐(๐๐)
๐๐ฅ
๐๐
๐๐ฆ๐ + ๐
๐๐
๐๐ฆ=
๐๐
๐๐ฅ๐ + ๐
๐๐
๐๐ฅ
๐ (๐๐
๐๐ฅโ
๐๐
๐๐ฆ) =
๐๐
๐๐ฆ๐ โ
๐๐
๐๐ฅ๐
PD di atas merupakan PD parsial, di mana tidak dibahas dalam perkuliahan PDE. Maka dilakukan
penyederhanaan dengan menganggap ยต adalah fungsi dari x saja atau fungsi dari y saja.
Jika ๐(๐ฅ,๐ฆ) = ๐(๐ฅ), maka
๐๐
๐๐ฅ=
๐๐
๐๐ฅ ๐๐๐
๐๐
๐๐ฆ= 0
Sehingga dapat diperoleh
๐ (๐๐
๐๐ฅโ
๐๐
๐๐ฆ) = โ
๐๐
๐๐ฅ๐
๐๐
๐=
1
๐(
๐๐
๐๐ฆโ
๐๐
๐๐ฅ) ๐๐ฅ
๐ = ๐๐โซ
1๐
(๐๐๐๐ฆ
โ๐๐๐๐ฅ
)๐๐ฅ
Dengan cara yang sama, jika ๐(๐ฅ,๐ฆ) = ๐(๐ฆ), maka dapat diperoleh
๐ = ๐๐โซ
1๐
(๐๐๐๐ฅ
โ๐๐๐๐ฆ
)๐๐ฆ
Untuk kemudahan, kita dapat tuliskan
๐๐
๐๐ฅ= ๐๐ฅ ๐๐๐
๐๐
๐๐ฆ= ๐๐ฆ
Contoh :
๐๐ ๐ ๐ + (๐๐๐ + ๐๐๐ โ ๐๐)๐ ๐ = ๐
๐๐ฆ = ๐ฅ ; ๐๐ฅ = 4๐ฅ
๐๐ฆ โ ๐๐ฅ
๐=
๐ฅ โ 4๐ฅ
2๐ฅ2 + 3๐ฆ2 โ 20
๐๐ฅ โ ๐๐ฆ
๐=
4๐ฅ โ ๐ฅ
๐ฅ๐ฆ=
3
๐ฆ
๐ = ๐โซ๐๐ฅโ๐๐ฆ
๐๐๐ฆ
๐ = ๐โซ
3๐ฆ
๐๐ฆ
๐ = ๐3๐๐๐ฆ
๐ = ๐ฆ3
PD di atas dapat ditulis
๐ฆ3[๐ฅ๐ฆ ๐๐ฅ + (2๐ฅ2 + 3๐ฆ2 โ 20)๐๐ฆ] = 0
๐ฅ๐ฆ4๐๐ฅ + (2๐ฅ๐ฆ3+3๐ฆ5 โ 20๐ฆ3)๐๐ฆ = 0
๐น(๐ฅ,๐ฆ) = โซ ๐ฅ๐ฆ4๐๐ฅ + ๐(๐ฆ)
=1
2๐ฅ2๐ฆ3 + ๐(๐ฆ)
๐๐น
๐๐ฆ= 2๐ฅ๐ฆ3+3๐ฆ5 โ 20๐ฆ3
2๐ฅ๐ฆ3 + ๐โฒ(๐ฆ) = 2๐ฅ๐ฆ3+3๐ฆ5 โ 20๐ฆ3
๐โฒ(๐ฆ) = 3๐ฆ5 โ 20๐ฆ3
๐(๐ฆ) = โซ(3๐ฆ5 โ 20๐ฆ3)๐๐ฆ
=1
2๐ฆ6 โ 5๐ฆ4 + ๐
Solusi
1
2๐ฅ2๐ฆ3 +
1
2๐ฆ6 โ 5๐ฆ4 + ๐ = 0
Persamaan Diferensial Bernoulli Memiliki bentuk umum
๐๐ฆ
๐๐ฅ+ ๐(๐ฅ)๐ฆ = ๐(๐ฅ)๐ฆ๐
Cara menyelesaikan persamaan ini adalah dengan melakukan substitusi
๐ข = ๐ฆ1โ๐ โ ๐ฆ = ๐ข1
1โ๐
Kita tahu bahwa
๐๐ฆ
๐๐ฅ=
๐๐ฆ
๐๐ข
๐๐ข
๐๐ฅ
Kita masukkan nilai substitusi y
๐๐ฆ
๐๐ฅ=
1
1 โ ๐๐ข
11โ๐
โ1 ๐๐ข
๐๐ฅ
๐๐ฆ
๐๐ฅ=
1
1 โ ๐๐ข
๐1โ๐
๐๐ข
๐๐ฅ
Kita substitusikan nilai yang bisa disubstitusikan, yaitu nilai ๐ฆ dan ๐๐ฆ
๐๐ฅ. Maka persamaan tersebut
menjadi
1
1 โ ๐๐ข
๐1โ๐
๐๐ข
๐๐ฅ+ ๐(๐ฅ)๐ข
11โ๐ = ๐(๐ฅ)๐ข
๐1โ๐
Persamaan di atas dibagi kedua ruasnya dengan 1
1โ๐๐ข
๐
1โ๐๐๐ข
๐๐ฅ menjadi
๐๐ข
๐๐ฅ+ (1 โ ๐)๐(๐ฅ)๐ข = (1 โ ๐)๐(๐ฅ)
Persamaan di atas menjadi berbentuk PD Linear non homogen
Contoh :
๐๐ ๐
๐ ๐+ ๐ = ๐๐๐๐, ๐๐๐๐ ๐ = 2
Substitusikan
๐ข = ๐ฆ1โ๐ = ๐ฆโ1 โ ๐ฆ = ๐ขโ1
๐๐ฆ
๐๐ฅ= โ๐ขโ2
๐๐ข
๐๐ฅ
๐ฅ(โ๐ขโ2)๐๐ข
๐๐ฅ+ ๐ขโ1 = ๐ฅ2(๐ขโ1)2
dapat dibagi dengan (โ๐ฅ๐ขโ2)
๐๐ข
๐๐ฅ+
โ๐ข
๐ฅ= โ๐ฅ
cara PD linear non homogen
๐(๐ฅ) =1
๐ฅโ ๐โซ ๐(๐ฅ)๐๐ฅ = ๐โซ
1๐ฅ
๐๐ฅ =1
๐ฅ
Persamaan tersebut menjadi
1
๐ฅ
๐๐ข
๐๐ฅ+
1
๐ฅ2๐ข = โ1
๐
๐๐ฅ(
1
๐ฅ๐ข) = โ1
โซ๐
๐๐ฅ(
1
๐ฅ๐ข) = โซ โ1
1
๐ฅ๐ข = โ๐ฅ + ๐
๐ข = โ๐ฅ2 + ๐๐ฅ
Kita kembalikan nilai y
1
๐ฆ= โ๐ฅ2 + ๐๐ฅ
๐ฆ =1
๐๐ฅ โ ๐ฅ2
Persamaan Diferensial bentuk ๐ฆโ = ๐(๐ด๐ฅ + ๐ต๐ฆ + ๐ถ) PD dengan bentuk
๐๐ฆ
๐๐ฅ= ๐(๐ด๐ฅ + ๐ต๐ฆ + ๐ถ) dapat diselesaikan dengan mensubstitusikan
๐ข = ๐ด๐ฅ + ๐ต๐ฆ + ๐ถ
Contoh :
๐ ๐
๐ ๐=
๐ โ ๐ โ ๐
๐ + ๐
Substitusikan dengan
๐ข = ๐ฅ + ๐ฆ
๐๐ฆ
๐๐ฅ=
๐๐ข
๐๐ฅโ 1
Masukkan ke persamaan
๐๐ข
๐๐ฅโ 1 =
1 โ ๐ข
๐ข
๐๐ข
๐๐ฅ=
1
๐ข
๐ข ๐๐ข = ๐๐ฅ
โซ ๐ข ๐๐ข = โซ ๐๐ฅ
1
2๐ข2 = ๐ฅ + ๐
1
2(๐ฅ + ๐ฆ)2 = ๐ฅ + ๐
๐ฅ + ๐ฆ = ยฑโ2๐ฅ + ๐
๐ฆ = โ๐ฅ ยฑ โ2๐ฅ + ๐
Persamaan Diferensial Order Tinggi Adalah persamaan diferensial dengan bentuk umum
๐๐(๐ฅ)๐๐๐ฆ
๐๐ฅ๐+ ๐๐โ1(๐ฅ)
๐๐โ1๐ฆ
๐๐ฅ๐โ1+ โฆ. + ๐1(๐ฅ)
๐๐ฆ
๐๐ฅ+ ๐0(๐ฅ)๐ฆ = ๐(๐ฅ)
Teorema : Diketahui ๐0(๐ฅ), ๐1(๐ฅ), โฆ , ๐๐(๐ฅ) dan ๐(๐ฅ) kontinu pada interval ๐ผ, dan ๐๐(๐ฅ) โ 0, โ๐ฅ โ
๐ผ. Jika ๐ฅ = ๐0 adalah titik di ๐ผ, maka suatu solusi ๐ฆ(๐ฅ) untuk PD diatas ada dan tunggal.
Cara menyelesaikan PD Order tinggi adalah dengan menggunakan Reduksi Order.
Contohnya jika diberikan PD order dua ๐2(๐ฅ)๐ฆโฒโฒ + ๐1(๐ฅ)๐ฆโฒ + ๐0(๐ฅ)๐ฆ = 0, dan ๐ฆ1(๐ฅ) adalah suatu
solusi PD tersebut, dan yang akan dicari adalah solusi lain, katakanlah ๐ฆ2(๐ฅ) yang independen
terhadap ๐ฆ1(๐ฅ), maka lakukan substitusi ๐ฆ2(๐ฅ) = ๐ข(๐ฅ)๐ฆ1(๐ฅ).
Contoh :
๐โฒโฒ โ ๐ = ๐
Salah satu solusi adalah ๐ฆ1(๐ฅ) = ๐๐ฅ, ๐ฅ โ
(โโ, โ)
๐ฆ2(๐ฅ) = ๐ข(๐ฅ)๐ฆ1(๐ฅ)
๐ฆ2(๐ฅ) = ๐ข(๐ฅ)๐๐ฅ
๐ฆ2โฒ (๐ฅ) = ๐ขโฒ๐๐ฅ + ๐ข๐๐ฅ
๐ฆ2โฒโฒ(๐ฅ) = (๐ขโฒโฒ๐๐ฅ + ๐ขโฒ๐๐ฅ) + (๐ขโฒ๐๐ฅ + ๐ข๐๐ฅ)
Substitusikan ๐ฆ2 ke persamaan diatas
๐๐ฅ(๐ขโฒโฒ + 2๐ขโฒ + ๐ข) โ ๐๐ฅ(๐ข) = 0
๐ขโฒโฒ + 2๐ขโฒ =0
๐๐ฅ
๐ขโฒโฒ + 2๐ขโฒ = 0
Dimisalkan ๐ค(๐ฅ) = ๐ขโฒ(๐ฅ), maka PD diatas
menjadi
๐คโฒ + 2๐ค = 0
๐๐ค
๐๐ฅ= โ2๐ค
โซ๐๐ค
๐ค= โซ โ2 ๐๐ฅ
ln|๐ค| = โ2๐ฅ + ๐
๐ค = ๐๐โ2๐ฅ
Diperoleh
๐ขโฒ = ๐๐โ2๐ฅ
๐ข = โซ ๐๐โ2๐ฅ
= โ1
2๐๐โ2๐ฅ = ๐๐โ2๐ฅ
Jadi
๐ฆ2 = ๐ข๐ฆ1
๐ฆ2 = ๐๐โ2๐ฅ. ๐๐ฅ
๐ฆ2 = ๐๐โ๐ฅ
Solusi PD di atas adalah
๐ฆ = ๐1๐๐ฅ + ๐2๐โ๐ฅ
Persamaan Linear Homogen dengan koefisien konstan ๐๐๐ฆ(๐) + ๐๐โ1๐ฆ(๐โ1) + โฆ. + ๐3๐ฆ(3) + ๐2๐ฆโฒโฒ + ๐1๐ฆโฒ + ๐0๐ฆ = 0
Dengan ๐0, ๐1, ๐2, . . . , ๐๐ โ โ
๐ฆ = ๐1๐๐1๐ฅ + ๐2๐๐2๐ฅ + ๐3๐๐3๐ฅ
๐ฆโฒ = ๐1๐1๐๐1๐ฅ + ๐2๐2๐๐2๐ฅ + ๐3๐3๐๐3๐ฅ
๐ฆโฒโฒ = ๐12๐1๐๐1๐ฅ + ๐2
2๐2๐๐2๐ฅ + ๐32๐3๐๐3๐ฅ
๐ฆโฒโฒโฒ = ๐13๐1๐๐1๐ฅ + ๐2
3๐2๐๐2๐ฅ + ๐33๐3๐๐3๐ฅ
๐3๐ฆโฒโฒโฒ + ๐2๐ฆโฒโฒ + ๐1๐ฆโฒ + ๐0๐ฆ
= (๐3๐1 + ๐2๐1 + ๐1๐1 + ๐0)๐1๐๐1๐ฅ + (๐3๐2 + ๐2๐2 + ๐1๐2 + ๐0)๐2๐๐2๐ฅ
+ (๐3๐3 + ๐2๐3 + ๐1๐3 + ๐0)๐3๐๐3๐ฅ
Jika dapat ditemukan ๐0, ๐1, ๐2, dan ๐3 sehingga persamaan diatas berlaku, maka
๐ฆ = ๐1๐๐1๐ฅ + ๐2๐๐2๐ฅ + ๐3๐๐3๐ฅ
Untuk n = 2
๐2๐ฆโฒโฒ + ๐1๐ฆโฒ + ๐0๐ฆ = 0
Misalkan ๐ฆ = ๐๐๐ฅ adalah suatu solusi dari persamaan diferensial di atas, diperoleh
๐ฆโฒ = ๐๐๐๐ฅ; ๐ฆโฒโฒ = ๐2๐๐๐ฅ
Diperoleh
(๐2๐2 + ๐1๐ + ๐0)๐๐๐ฅ = 0
๐2๐2 + ๐1๐ + ๐0 = 0
Persamaan di atas disebut Persamaan Bantu.
Ada 3 kemungkinan hasil yaitu
I. ๐1, ๐2 โ โ dan ๐1 โ ๐2
II. ๐1, ๐2 โ โ dan ๐1 = ๐2
III. ๐1, ๐2 โ โ
Kasus Iโถ ๐1, ๐2 โ โ dan ๐1 โ ๐2 Contoh :
๐โฒโฒ + ๐๐โฒ + ๐๐ = ๐
Persamaan bantu dari PD di atas adalah
๐2 + 3๐ + 3 = 0
(๐ + 2)(๐ + 1) = 0
๐1 = โ2; ๐2 = โ1
Jadi ๐ฆ1 = ๐1๐โ2๐ฅ dan ๐ฆ2 = ๐2๐โ๐ฅ adalah
solusi dari PD di atas. Jadi, persamaan umum
PD di atas adalah ๐ฆ = ๐1๐โ2๐ฅ + ๐2๐โ๐ฅ
Order n?
Katakan ๐ฆ = ๐๐๐ฅ adalah solusi dari
๐๐๐ฆ(๐) + ๐๐โ1๐ฆ(๐โ1) + โฆ. + ๐2๐ฆโฒโฒ + ๐1๐ฆโฒ + ๐0๐ฆ = 0
Persamaan bantunya
๐๐๐๐ + ๐๐โ1๐(๐โ1) + โฆ. + ๐2๐2 + ๐1๐ + ๐0 = 0
๐๐(๐ โ ๐1)(๐ โ ๐2) โฆ (๐ โ ๐๐) = 0
Dengan ๐1 โ ๐2 โ โฆ โ ๐๐
Contoh :
๐โฒโฒโฒ โ ๐โฒโฒ โ ๐๐โฒ + ๐๐ = ๐
Persamaan bantu
๐3 โ ๐2 โ 4๐ + 4 = 0
(๐ โ 1)(๐2 โ 4) = 0
(๐ โ 1)(๐ โ 2)(๐ + 2) = 0
๐1 = 1; ๐2 = 2; ๐3 = โ2
Solusi PD di atas
๐ฆ = ๐1๐๐ฅ + ๐2๐2๐ฅ + ๐3๐โ2๐ฅ
Kasus IIโถ ๐1, ๐2 โ โ dan ๐1 = ๐2 Contoh :
๐โฒโฒ + ๐๐โฒ + ๐๐ = ๐
Persamaan bantu
๐2 + 4๐ + 4 = 0
(๐ + 2)2 = 0
๐1 = ๐2 = โ2
๐ฆ1 = ๐1๐โ2๐ฅ
Lalu, bagaimana cara mencari ๐ฆ2? Gunakan
Reduksi Order.
Setelah dicari, akan ketemu ๐ฆ2 = ๐2๐ฅ๐โ2๐ฅ
Jadi solusinya adalah ๐ฆ = ๐1๐โ2๐ฅ + ๐2๐ฅ๐โ2๐ฅ
Secara umum, solusinya akan berbentuk
๐ฆ = ๐1๐๐๐ฅ + ๐2๐ฅ๐๐๐ฅ
Order n?
Jika ๐1 = ๐2 = ๐3 = โฆ = ๐๐; 0 < ๐ โค ๐
Maka solusi persamaan diferensial di atas adalah
๐ฆ = ๐1๐๐1๐ฅ + ๐2๐ฅ๐๐1๐ฅ + โฆ +๐๐๐ฅ(๐โ1)๐๐1๐ฅ
Contoh :
๐โฒโฒโฒ + ๐๐โฒโฒ + ๐๐ = ๐
๐3 + 3๐2 + 4 = 0
(๐ โ 1)(๐2 + 4๐ + 4) = 0
(๐ โ 1)(๐ + 2)2 = 0
Solusi PD
๐ฆ = ๐1๐๐ฅ + ๐2๐โ2๐ฅ + ๐3๐ฅ๐โ2๐ฅ
Kasus IIIโถ ๐1, ๐2 โ โ Contoh :
๐โฒโฒ + ๐๐โฒ + ๐๐ = ๐
Persamaan bantunya
๐2 + 2๐ + 4 = 0
(๐ + 1)2 = โ3
(๐ + 1) = ยฑโ3 ๐
๐ = โ1 ยฑ โ3 ๐
RUMUS
๐๐๐ฝ = ๐๐๐ ๐ฝ + ๐ ๐๐๐ ๐ฝ
Katakanlah, akar-akar persamaan bantu
adalah
๐1 = ๐ + ๐๐
๐1 = ๐ โ ๐๐
Maka, solusi umum dari PD dengan akar-akar
persamaan bantu di atas adalah
๐ฆ = ๐1๐๐1๐ฅ + ๐2๐๐2๐ฅ
๐ฆ = ๐1๐(๐+๐๐)๐ฅ + ๐2๐(๐โ๐๐)๐ฅ
๐ฆ = ๐1๐๐๐ฅ(๐๐๐ฅ๐) + ๐2๐๐๐ฅ(๐โ๐๐ฅ๐)
๐ฆ = ๐1๐๐๐ฅ(cos ๐๐ฅ + ๐ sin ๐๐ฅ)
+ ๐2๐๐๐ฅ(cos(โ๐๐ฅ)
+ ๐ sin(โ๐๐ฅ))
๐ฆ = (๐1 + ๐2)๐๐๐ฅ cos ๐๐ฅ
+ (๐1 โ ๐2)๐ ๐๐๐ฅ sin ๐๐ฅ
๐ฆ = ๐1๐๐๐ฅ cos ๐๐ฅ + ๐2๐๐๐ฅ sin ๐๐ฅ
Jadi, solusi dari soal adalah ๐ฆ = ๐1๐โ๐ฅ cos โ3 ๐ฅ + ๐2๐โ๐ฅ๐ ๐๐โ3๐ฅ
Metode Koefisien Tak Tentu Diberikan PD Linear Non Homogen
๐๐๐ฆ(๐) + ๐๐โ1๐ฆ(๐โ1) + โฏ + ๐1๐ฆโฒ + ๐0๐ฆ = ๐(๐ฅ)
Langkah-langkah penyelesaian PD di atas adalah :
1. Tentukan Solusi Komplementer, ๐ฆ๐ (ex : ๐(๐ฅ) = 0)
2. Tentukan Solusi Khusus, ๐ฆ๐ dari PD diatas
Solusi Umum : ๐ฆ = ๐ฆ๐ + ๐ฆ๐
Bentuk ๐(๐ฅ) yang bisa diselesaikan dengan metode tebak :
Polinomial : ๐(๐ฅ) = ๐๐๐ฅ๐ + ๐๐โ1๐ฅ๐โ1 + โฏ + ๐1๐ฅ + ๐0
Eksponensial : ๐๐ผ๐ฅ
Trigonometri : sin ๐ฝ๐ฅ ; cos ๐พ๐ฅ
Kombinasi linear dari perkalian fungsi-fungsi di atas. Contoh : 2๐๐ฅ๐๐ฅ sin ๐ฅ + ๐ฅ2๐2๐ฅ cos 3๐ฅ
Contoh :
๐โฒโฒ + ๐๐โฒ โ ๐๐ = ๐๐๐ โ ๐๐ + ๐
Cari ๐ฆ๐
๐ฆโฒโฒ + 4๐ฆโฒ โ 2๐ฆ = 0 โ ๐2 + 4๐ โ 2 = 0
โ ๐12 = โ2 ยฑ โ6
๐ฆ๐ = ๐1๐(โ2+โ6)๐ฅ + ๐2๐(โ2โโ6)๐ฅ
Cari ๐ฆ๐
๐ฆ๐ = ๐ด๐ฅ2 + ๐ต๐ฅ + ๐ถ
๐ฆ๐โฒ = 2๐ด๐ฅ + ๐ต
๐ฆ๐โฒโฒ = 2๐ด
โด ๐ฆ๐โฒโฒ + 4๐ฆ๐
โฒ โ 2๐ฆ๐ = 2๐ฅ2 โ 3๐ฅ + 6
2๐ด + 4(2๐ด๐ฅ + ๐ต) โ 2(๐ด๐ฅ2 + ๐ต๐ฅ + ๐ถ)
= 2๐ฅ2 โ 3๐ฅ + 6
โ2๐ด๐ฅ2 + (8๐ด โ 2๐ต)๐ฅ + (2๐ด + 4๐ต โ 2๐ถ)
= 2๐ฅ2 โ 3๐ฅ + 6
โ2๐ด = 2 โ ๐ด = โ1
8๐ด โ 2๐ต = โ3 โ ๐ต = โ5
2
2๐ด + 4๐ต โ 2๐ถ = 6 โ ๐ถ = โ9
โด Solusi Umum
๐ฆ = ๐1๐(โ2+โ6)๐ฅ + ๐2๐(โ2โโ6)๐ฅ โ ๐ฅ2 โ5
2๐ฅ
โ 9
Contoh Lainnya :
๐โฒโฒ โ ๐โฒ + ๐ = ๐๐๐๐ ๐๐
๐ฆ๐ โถ ๐2 โ ๐ + 1 = 0 โ ๐12 =1 ยฑ โ3๐
2
๐ฆ๐ = ๐ด sin 3๐ฅ + ๐ต cos 3๐ฅ
๐ฆ๐โฒ = 3๐ด cos 3๐ฅ โ 3๐ต sin 3๐ฅ
๐ฆ๐โฒโฒ = โ9๐ด sin 3๐ฅ โ 9๐ต cos 3๐ฅ
(โ9๐ด sin 3๐ฅ โ 9๐ต cos 3๐ฅ)
โ (3๐ด cos 3๐ฅ โ 3๐ต sin 3๐ฅ)
+ (๐ด sin 3๐ฅ + ๐ต cos 3๐ฅ)
= 2 sin 3๐ฅ
โ (โ8๐ด + 3๐ต) sin 3๐ฅ + (โ3๐ด โ 8๐ต) cos 3๐ฅ
= 2 sin 3๐ฅ
โ3๐ด โ 8๐ต = 0 โ ๐ด = โ8
3๐ต
64
3๐ต + 3๐ต = 2
73
3๐ต = 2
๐ต =6
73โ ๐ด = โ
16
73
โด Solusi Umum
๐ฆ = ๐1๐(
1+โ3๐2 )๐ฅ
+ ๐2๐(
1โโ3๐2 )๐ฅ
โ 16
73sin 3๐ฅ
+6
73cos 3๐ฅ
Contoh Lainnya lagi :
๐โฒโฒ โ ๐๐ + ๐๐ = ๐๐๐
๐ฆ๐ โถ ๐2 โ 5๐ + 4 = 0
(๐ โ 1)(๐ โ 4) = 0
๐ฆ๐ = ๐1๐๐ฅ + ๐2๐4๐ฅ
๐ฆ๐ = ๐ด๐ฅ๐๐ฅ
๐ฆ๐โฒ = ๐ด๐๐ฅ + ๐ด๐ฅ๐๐ฅ
๐ฆ๐โฒโฒ = 2๐ด๐๐ฅ + ๐ด๐ฅ๐๐ฅ
2๐ด๐๐ฅ + ๐ด๐ฅ๐๐ฅ โ 5๐ด๐๐ฅ โ 5๐ด๐ฅ๐๐ฅ + 4๐ด๐ฅ๐๐ฅ
= 8๐๐ฅ
โ3๐ด๐๐ฅ = 8๐๐ฅ โ ๐ด = โ8
3โ ๐ฆ๐ = โ
8
3๐ฅ๐๐ฅ
โด Solusi Umum
๐ฆ = ๐1๐๐ฅ + ๐2๐4๐ฅ โ8
3๐ฅ๐๐ฅ
Metode Variasi Parameter Diberikan PD linear Non Homogen
๐๐(๐ฅ)๐ฆ(๐) + ๐๐โ1(๐ฅ)๐ฆ(๐โ1) + โฏ + ๐1(๐ฅ)๐ฆโฒ + ๐0๐ฆ = ๐(๐ฅ)
Dengan ๐(๐ฅ) adalah fungsi sembarang.
Untuk orde 2 (๐ = 2) dengan koefisien
konstan
๐2๐ฆโฒโฒ + ๐1๐ฆโฒ + ๐0๐ฆ = ๐(๐ฅ)
Misalkan penyelesaian komplementernya
๐ฆ๐ = ๐1๐ฆ1+๐2๐ฆ2
Maka, ๐ฆ๐ adalah
๐ฆ๐ = ๐ข1๐ฆ1 + ๐ข2๐ฆ2
Dengan ๐ข1 & ๐ข2 yang memenuhi
๐ข1โฒ ๐ฆ1 + ๐ข2
โฒ ๐ฆ2 = 0
๐ข1โฒ ๐ฆ1
โฒ + ๐ข2โฒ ๐ฆ2
โฒ = ๐(๐ฅ)
Untuk orde 3 (๐ = 3) dengan koefisien
konstan
๐3๐ฆโฒโฒโฒ + ๐2๐ฆโฒโฒ + ๐1๐ฆโฒ + ๐0๐ฆ = ๐(๐ฅ)
Misalkan penyelesaian komplementernya
๐ฆ๐ = ๐1๐ฆ1+๐2๐ฆ2 + ๐3๐ฆ3
Maka, ๐ฆ๐ adalah
๐ฆ๐ = ๐ข1๐ฆ1 + ๐ข2๐ฆ2 + ๐ข3๐ฆ3
Dengan ๐ข1, ๐ข2, ๐ข3 yang memenuhi
๐ข1โฒ ๐ฆ1 + ๐ข2
โฒ ๐ฆ2 + ๐ข3โฒ ๐ฆ3 = 0
๐ข1โฒ ๐ฆ1
โฒ + ๐ข2โฒ ๐ฆ2
โฒ + ๐ข3โฒ ๐ฆ3
โฒ = 0
๐ข1โฒ ๐ฆ1
โฒโฒ + ๐ข2โฒ ๐ฆ2
โฒโฒ + ๐ข3โฒ ๐ฆ3
โฒโฒ = ๐(๐ฅ)
Persamaan Diferensial Cauchy-Euler PD Cauchy-Euler memiliki bentuk umum
๐๐๐ฅ๐๐ฆ(๐) + ๐๐โ1๐ฅ๐โ1๐ฆ(๐โ1) + โฏ + ๐1๐ฅ๐ฆโฒ + ๐0๐ฆ = 0
Untuk ๐ = 2 โถ ๐2๐ฅ2๐ฆโฒโฒ + ๐1๐ฅ๐ฆโฒ + ๐0๐ฆ = 0
Kita misalkan
๐ฆ = ๐ฅ๐
๐ฆโฒ = ๐๐ฅ๐โ1
๐ฆโฒโฒ = ๐(๐ โ 1)๐ฅ๐โ2
Maka, PD di atas menjadi
(๐2๐(๐ โ 1) + ๐1๐ + ๐0)๐ฅ๐ = 0
๐2๐(๐ โ 1) + ๐1๐ + ๐0 = 0
๐2๐2 + (๐1 โ ๐2)๐ + ๐0 = 0
Kasus Iโถ ๐1, ๐2 โ โ dan ๐1 โ ๐2 ๐ฆ1 = ๐ฅ๐1 ; ๐ฆ1 = ๐ฅ๐2 โ ๐ฆ = ๐1๐ฆ1 + ๐2๐ฆ2 = ๐1๐ฅ๐1 + ๐2๐ฅ๐2
Contoh :
๐๐๐ ๐๐
๐ ๐๐โ ๐๐
๐ ๐
๐ ๐โ ๐๐ = ๐
๐2 = 1 ; ๐1 = โ2 ; ๐0 = โ4
๐2 + (โ2 โ 1)๐ + (โ4) = 0
๐2 โ 3๐ โ 4 = 0
(๐ + 1)(๐ โ 4) = 0
๐ฆ = ๐1๐ฅโ1 + ๐2๐ฅ4
Kasus IIโถ ๐1, ๐2 โ โ dan ๐1 = ๐2 ๐ฆ1 = ๐ฅ๐ ; ๐ฆ1 = ๐ฅ๐ ln ๐ฅ โ ๐ฆ = ๐1๐ฆ1 + ๐2๐ฆ2 = ๐1๐ฅ๐ + ๐2๐ฅ๐ ln ๐ฅ
Contoh :
๐๐๐๐ ๐๐
๐ ๐๐+ ๐๐
๐ ๐
๐ ๐+ ๐ = ๐
๐2 = 4 ; ๐1 = 8 ; ๐0 = 1
4๐2 + (8 โ 4)๐ + 1 = 0
4๐2 + 4๐ + 1 = 0
(2๐2 + 1)2 = 0
๐ = โ1
2
๐ฆ = ๐1๐ฅโ12 + ๐2๐ฅโ
12 ln ๐ฅ
Kasus IIIโถ ๐1, ๐2 โ โ
๐1 = ๐ผ + ๐๐ฝ๐2 = ๐ผ โ ๐๐ฝ
โ๐ฆ1 = ๐ฅ(๐ผ+๐๐ฝ)
๐ฆ2 = ๐ฅ(๐ผโ๐๐ฝ)
RUMUS
๐๐๐ฝ = ๐๐๐ ๐ฝ + ๐ ๐๐๐ ๐ฝ
๐ฅ๐๐ฝ = ๐ln ๐ฅ๐๐ฝ= ๐๐๐ฝ ln ๐ฅ = cos(๐ฝ ln ๐ฅ) + ๐ sin(๐ฝ ln ๐ฅ)
Solusi Umum :
๐ฆ = ๐1๐ฆ1 + ๐2๐ฆ2
= ๐1๐ฅ(๐ผ+๐๐ฝ) + ๐2๐ฅ(๐ผโ๐๐ฝ)
= ๐1๐ฅ๐ผ(cos(๐ฝ ln ๐ฅ) + ๐ sin(๐ฝ ln ๐ฅ)) + ๐2๐ฅ๐ผ(cos(๐ฝ ln ๐ฅ) โ ๐ sin(๐ฝ ln ๐ฅ))
= ๐ฅ๐ผ(๐1 + ๐2) cos(๐ฝ ln ๐ฅ) + ๐ฅ๐ผ(๐1 โ ๐2) sin(๐ฝ ln ๐ฅ)
= ๐ฅ๐ผ(๐1 cos(๐ฝ ln ๐ฅ) + ๐2 sin(๐ฝ ln ๐ฅ))
Solusi dengan Deret Pangkat Bentuk Umum
โ ๐๐(๐ฅ โ ๐)๐ = ๐0 + ๐1(๐ฅ โ ๐) + ๐2(๐ฅ โ ๐)2 + โฏ + ๐๐(๐ฅ โ ๐)๐ + โฏ
โ
๐=0
Suatu Deret Pangkat dikatakan konvergen jika
lim๐โโ
โ ๐๐(๐ฅ โ ๐)๐ = ๐ฟ < โ
๐
๐=0
Tes Rasio :
lim๐ฅโโ
|๐๐(๐ฅ โ ๐)๐
๐๐โ1(๐ฅ โ ๐)๐โ1| = |๐ฅ โ ๐| lim๐ฅโโ
|๐๐
๐๐โ1| = ๐
Jika ๐ < 1, maka deret pangkat konvergen
Operasi Deret Pangkat Misalkan
๐1 = โ ๐๐(๐ฅ โ ๐1)๐
โ
๐=0
๐2 = โ ๐๐(๐ฅ โ ๐2)๐
โ
๐=2
๐1 ร ๐2 = (๐ถ0 + ๐ถ1(๐ฅ โ ๐1) + ๐ถ2(๐ฅ โ ๐1)2 + ๐ถ3(๐ฅ โ ๐1)3 + โฏ ) ร (๐ท2(๐ฅ โ ๐2)2 + ๐ท3(๐ฅ โ ๐2)3
+ ๐ท4(๐ฅ โ ๐2)4 + โฏ
= ๐ถ0๐ท2(๐ฅ โ ๐2)2 + [๐ถ0๐ท3(๐ฅ โ ๐2)3 + ๐ถ1๐ท2(๐ฅ โ ๐1)(๐ฅ โ ๐2)2]
+ [๐ถ0๐ท4(๐ฅ โ ๐2)4 + ๐ถ1๐ท3(๐ฅ โ ๐1)(๐ฅ โ ๐2)3 + ๐ถ2๐ท2(๐ฅ โ ๐1)2(๐ฅ โ ๐2)2] + โฏ
๐1 + ๐2 = ๐ถ0 + ๐ถ1(๐ฅ โ ๐1) + โ[๐ถ๐(๐ฅ โ ๐1)๐ + ๐ท๐(๐ฅ โ ๐2)๐]
โ
๐=2
Deret Mc-Laurin
๐(๐ฅ) = โ๐(๐)(0)
๐!
โ
๐=0
๐ฅ๐; 0! = 1
๐๐ฅ = 1 + ๐ฅ +๐ฅ2
2!+
๐ฅ3
3!+ โฏ = โ
๐ฅ๐
๐!
โ
๐=0
sin ๐ฅ = ๐ฅ โ๐ฅ3
3!+
๐ฅ5
5!โ
๐ฅ7
7!+ โฏ = โ
๐ฅ2๐+1
(2๐ + 1)!
โ
๐=0
๐๐ฅ sin ๐ฅ = ๐ฅ + ๐ฅ2 + (1
2!โ
1
3!) ๐ฅ3 + (
1
3!โ
1
3!) ๐ฅ4 + โฏ = ๐ฅ + ๐ฅ2 +
๐ฅ3
3+
๐ฅ5
5!+ โฏ
๐๐ฅ + sin ๐ฅ = 1 + 2๐ฅ +๐ฅ2
2!+
๐ฅ4
4!+
2๐ฅ5
5!+
๐ฅ6
6!+
๐ฅ8
8!+
2๐ฅ9
9!+ โฏ
Dengan menggunakan deret pangkat, akan diselesaikan PD dengan bentuk :
๐ฆโฒโฒ + ๐(๐ฅ)๐ฆโฒ + ๐(๐ฅ)๐ฆ = 0
Jika untuk ๐ฅ = ๐ฅ0, ๐(๐ฅ) dan ๐(๐ฅ) analitis (ada nilainya), maka titik ๐ฅ0 disebut titik ordiner. Selain itu,
maka ๐ฅ0 disebut titik singular.
Teorema : Jika ๐ฅ = ๐ฅ0, suatu titik ordiner dari PD ๐ฆโฒโฒ + ๐(๐ฅ)๐ฆโฒ + ๐(๐ฅ)๐ฆ = 0, maka selalu dapat
ditemukan 2 solusi dalam bentuk deret pangkat yang linear independen yang berpusat di ๐ฅ0, ๐ฆ =
โ ๐ถ๐(๐ฅ โ ๐ฅ0)๐โ๐=0 , terdapat minimal pada interval |๐ฅ โ ๐ฅ0| < ๐
Contoh :
๐โฒโฒ + ๐๐ = ๐
Deret Pangkat :
๐ฆ = โ ๐ถ๐๐ฅ๐
โ
๐=0
, |๐ฅ| < โ
๐ฆโฒ = โ ๐๐ถ๐๐ฅ๐โ1
โ
๐=1
๐ฆโฒโฒ = โ ๐(๐ โ 1)๐ถ๐๐ฅ๐โ2
โ
๐=2
PD di atas menjadi
โ ๐(๐ โ 1)๐ถ๐๐ฅ๐โ2
โ
๐=2
+ ๐ฅ โ ๐ถ๐๐ฅ๐
โ
๐=0
= 0
โ โ(๐ + 2)(๐ + 1)๐ถ๐+2๐ฅ๐
โ
๐=0
+ โ ๐ถ๐โ1๐ฅ๐
โ
๐=0
= 0
โ 2๐ถ2 + โ[(๐ + 2)(๐ + 1)๐ถ๐+2 + ๐ถ๐โ1]๐ฅ๐
โ
๐=1
= 0
Diperoleh ๐ถ2 = 0
๐ โฅ 1 โ ๐ถ๐+2 = โ๐ถ๐โ1
(๐ + 2)(๐ + 1)
๐ถ3 = โ๐ถ0
(3)(2)= โ
๐ถ0
6
๐ถ4 = โ๐ถ1
(4)(3)= โ
๐ถ1
12
๐ถ5 = โ๐ถ2
(5)(4)= 0
๐ถ6 = โ๐ถ3
(6)(5)= โ
1
30(โ
๐ถ0
6) =
๐ถ0
180
๐ถ7 = โ๐ถ4
(7)(6)= โ
1
42(โ
๐ถ1
12) =
๐ถ1
504
Maka, Penyelesaian Umum PD adalah
๐ฆ = ๐ถ0 + ๐ถ1๐ฅ + ๐ถ2๐ฅ2 + ๐ถ3 + ๐ถ4๐ฅ4 + ๐ถ5๐ฅ5
+ ๐ถ6๐ฅ6 + ๐ถ7๐ฅ7 + โฏ
๐ฆ = ๐ถ0 + ๐ถ1๐ฅ โ๐ถ0
6๐ฅ3 โ
๐ถ1
12๐ฅ4 +
๐ถ0
180๐ฅ6
+๐ถ1
504๐ฅ7 + โฏ
๐ฆ = ๐ถ0 (1 โ1
6๐ฅ3 +
1
180๐ฅ6 + โฏ )
+ ๐ถ1 (๐ฅ โ1
12๐ฅ4 +
1
504๐ฅ7
+ โฏ )
Solusi di sekitar titik singular Sebuah PD
๐ฆโฒโฒ + ๐(๐ฅ)๐ฆโฒ + ๐(๐ฅ)๐ฆ = 0
Di sekitar ๐ฅ = ๐ฅ0, dengan ๐ฅ0 adalah titik singular ๐(๐ฅ)/๐(๐ฅ) (๐(๐ฅ)/๐(๐ฅ) tidak ada nilainya)
Klasifikasi titik singular
Titik singular ๐ฅ = ๐ฅ0, adalah titik singular biasa jika (๐ฅ โ ๐ฅ0)๐(๐ฅ) dan (๐ฅ โ ๐ฅ0)2๐(๐ฅ) bersifat
analitis.
Contoh :
(๐๐ โ ๐)๐๐โฒโฒ + ๐(๐ โ ๐)๐โฒ + ๐๐ = ๐
โ ๐ฆโฒโฒ +3(๐ฅ โ 2)
(๐ฅ2 โ 4)2๐ฆโฒ +
5
(๐ฅ2 โ 4)2๐ฆ = 0
โ ๐ฆโฒโฒ +3
(๐ฅ โ 2)(๐ฅ + 2)2๐ฆโฒ +
5
(๐ฅ โ 2)2(๐ฅ + 2)2๐ฆ = 0
Untuk ๐ฅ = 2, diperoleh
๐(๐ฅ) โ (๐ฅ โ 2)3
(๐ฅ โ 2)(๐ฅ + 2)2=
2
(๐ฅ + 2)2
๐(๐ฅ) โ (๐ฅ โ 2)25
(๐ฅ โ 2)2(๐ฅ + 2)2=
5
(๐ฅ + 2)2
Titik ๐ฅ = 2 adalah titik singular biasa
Metode Penyelesaian
Teorema : Teori Frobenius
Jika ๐ฅ = ๐ฅ0 adalah sebuah titik singular biasa dari PD ๐ฆโฒโฒ + ๐(๐ฅ)๐ฆโฒ + ๐(๐ฅ)๐ฆ = 0, maka terdapat
paling tidak satu solusi berbentuk
๐ฆ = (๐ฅ โ ๐ฅ0)๐ โ ๐ถ๐(๐ฅ โ ๐ฅ0)๐
โ
๐=0
Dengan r adalah suatu nilai yang harus ditentukan. Deret pangkat tersebut konvergen paling tidak
pada interval 0 < ๐ฅ โ ๐ฅ0 < ๐
Contoh :
๐๐๐โฒโฒ + ๐ โ ๐
= ๐ , ๐๐ค๐๐ง ๐๐ข๐๐๐ซ๐ข ๐ฌ๐จ๐ฅ๐ฎ๐ฌ๐ข ๐๐ข๐ฌ๐๐ค๐ข๐ญ๐๐ซ ๐ = ๐
3๐ฅ๐ฆโฒโฒ + ๐ฆโฒ โ ๐ฆ = 0
โ ๐ฆโฒโฒ +๐ฆโฒ
3๐ฅโ
๐ฆ
3๐ฅ= 0
๐(๐ฅ) โ ๐ฅ (1
3๐ฅ) =
1
3
๐(๐ฅ) โ ๐ฅ2 (โ1
3๐ฅ) = โ
1
3๐ฅ
Titik ๐ฅ = 0 adalah titik singular biasa. Karena
๐ฅ = 0 adalah titik singular biasa, maka solusi
dalam deret pangkat berbentuk
๐ฆ = ๐ฅ๐ โ ๐ถ๐๐ฅ๐
โ
๐=0
= โ ๐ถ๐๐ฅ๐+๐
โ
๐=0
Maka
๐ฆโฒ = โ(๐ + ๐)๐ถ๐๐ฅ๐+๐โ1
โ
๐=0
๐ฆโฒโฒ = โ(๐ + ๐ โ 1)(๐ + ๐)๐ถ๐๐ฅ๐+๐โ2
โ
๐=0
Sehingga PD di atas dapat ditulis menjadi
3๐ฅ โ(๐ + ๐ โ 1)(๐ + ๐)๐ถ๐๐ฅ๐+๐โ2
โ
๐=0
+ โ(๐ + ๐)๐ถ๐๐ฅ๐+๐โ1
โ
๐=0
โ โ ๐ถ๐๐ฅ๐+๐
โ
๐=0
= 0
โ โ[3(๐ + ๐)(๐ + ๐ โ 1)(๐
โ
๐=0
+ ๐)]๐ถ๐๐ฅ๐+๐โ1 โ โ ๐ถ๐๐ฅ๐+๐
โ
๐=0
= 0
โ ๐(3๐ โ 2)๐ถ0๐ฅ๐โ1
+ โ(๐ + ๐ + 1)(3๐ + 3๐
โ
๐=0
+ 1)๐ถ๐+1๐ฅ๐+๐ โ โ ๐ถ๐๐ฅ๐+๐
โ
๐=0
= 0
Maka
๐(3๐ โ 2)๐ถ0๐ฅ๐โ1 = 0
๐ = 0 | | ๐ =2
3
Untuk ๐ = 0
๐ = 0 โ ๐ถ1 = ๐ถ0
๐ = 1 โ ๐ถ2 =1
8๐ถ0
๐ = 2 โ ๐ถ3 =1
168๐ถ0
๐ = 3 โ ๐ถ4 =1
6720๐ถ0
๐ฆ1 = ๐ถ0 + ๐ถ0๐ฅ +1
8๐ถ0๐ฅ2 +
1
168๐ถ0๐ฅ3
+1
6720๐ถ0๐ฅ4 + โฏ
Untuk ๐ =2
3
๐ = 0 โ (5
3. 3) ๐ถ1 โ ๐ถ0 = 0 โ ๐ถ1 =
1
5๐ถ0
๐ = 1 โ (8
3. 6) ๐ถ2 โ ๐ถ1 = 0 โ ๐ถ2 =
1
16๐ถ1
=1
80๐ถ0
๐ = 2 โ (11
3. 9) ๐ถ3 โ ๐ถ2 = 0 โ ๐ถ3 =
1
33๐ถ2
=1
2640๐ถ0
๐ = 3 โ (14
3. 12) ๐ถ4 โ ๐ถ3 = 0 โ ๐ถ4
=1
56๐ถ3 =
1
147840๐ถ0
๐ฆ2 = ๐ถ0๐ฅ23 +
1
5๐ถ0๐ฅ
53 +
1
80๐ถ0๐ฅ
83 +
1
2640๐ถ0๐ฅ
113
+1
147840๐ถ0๐ฅ
143 + โฏ
Solusi PD
๐ฆ = ๐ถ1 (1 + ๐ฅ +1
8๐ฅ2 +
1
168๐ฅ3 +
1
6720๐ฅ4
+ โฏ )
+ ๐ถ2 (๐ฅ23 +
1
5๐ฅ
53 +
1
80๐ฅ
83
+1
2640๐ฅ
113 +
1
147840๐ฅ
143
+ โฏ )
Sistem Persamaan Diferensial ๐๐ฅ
๐๐ก= ๐ฅ + ๐ฆ + ๐ง + ๐1(๐ก)
๐๐ฆ
๐๐ก= 2๐ฅ โ ๐ฆ + 2๐ง + ๐2(๐ก)
๐๐ง
๐๐ก= ๐ฅ โ ๐ฆ + 3๐ง + ๐3(๐ก)
Sistem persamaan di atas disebut dengan Sistem Persamaan Diferensial
Jika,
๐11๐ฅ1 + ๐12๐ฅ2 + ๐13๐ฅ3 = ๐1
๐21๐ฅ1 + ๐22๐ฅ2 + ๐23๐ฅ3 = ๐2
๐31๐ฅ1 + ๐32๐ฅ2 + ๐33๐ฅ3 = ๐3
Didefinisikan sebagai
๐ = (
๐ฅ1
๐ฅ2
๐ฅ3
) ; ๐ด = (
๐11 ๐12 ๐13
๐21 ๐22 ๐23
๐31 ๐32 ๐33
) ; ๐ต = (
๐1
๐2
๐3
)
Sehingga SPL dapat ditulis menjadi
(
๐11 ๐12 ๐13
๐21 ๐22 ๐23
๐31 ๐32 ๐33
) (
๐ฅ1
๐ฅ2
๐ฅ3
) = (
๐1
๐2
๐3
)
Maka, Sistem PD di atas juga bisa didefinisikan sebagai
๐ = (
๐ฅ(๐ก)๐ฆ(๐ก)๐ง(๐ก)
) ; ๐ด = (1 1 12 โ1 21 โ1 3
) ; ๐ต = (
๐1(๐ก)๐2(๐ก)๐3(๐ก)
)
Sehingga, Sistem PD dapat ditulis sebagai
๐โฒ = ๐ด๐ + ๐ต
Menyelesaikan Sistem Persamaan Diferensial Jika diketahui
๐ = (
๐ฅ1๐ฅ2
โฎ๐ฅ๐
)
๐ด = (
๐11 ๐12 โฏ ๐1๐
๐21 ๐22 โฏ ๐2๐
โฎ๐๐1
โฎ๐๐2
โฑ โฎโฏ ๐๐๐
)
Akan diselesaikan Sistem Persamaan Diferensial Linear Homogen ๐โฒ = ๐ด๐
Katakanlah, Solusi PD
๐ = (
๐1
๐2
โฎ๐๐
) ๐๐๐ก = ๐พ๐๐๐ก
๐โฒ = ๐พ๐๐๐๐ก
Jadi,
๐โฒ = ๐ด๐ โบ ๐ด๐ โ ๐โฒ = 0
๐ด๐พ๐๐๐ก โ ๐พ๐๐๐๐ก = 0
๐ด๐พ โ ๐๐พ = 0
(๐ด โ ๐๐ผ)๐พ = 0
Dengan
๐ผ = (
1 0 โฏ 00 1 โฏ 0โฎ0
โฎ0
โฑโฏ
โฎ1
)
Agar diperoleh solusi non trivial (๐พ โ 0), maka harus dipenuhi det(๐ด โ ๐๐ผ) = 0. Nilai-nilai yang
memenuhi persamaan det(๐ด โ ๐๐ผ) = 0 disebut nilai Eigen, dan Nilai ๐พ yang ditentukan dari nilai
Eigen ๐ disebut Vektor Eigen.
Nilai Eigen dapat bernilai Real dan Berbeda, Real kembar dan Kompleks.
Kasus Iโถ ๐1, ๐2 โ โ dan ๐1 โ ๐2 Contoh :
๐ ๐
๐ ๐= ๐๐ + ๐๐
๐ ๐
๐ ๐= ๐๐ + ๐
Solusi :
๐ = (๐ฅ๐ฆ) ; ๐ด = (
2 32 1
)
๐ด โ ๐๐ผ = (2 32 1
) โ ๐ (1 00 1
)
= (2 โ ๐ 3
2 1 โ ๐)
det(๐ด โ ๐๐ผ) = |2 โ ๐ 3
2 1 โ ๐|
0 = (2 โ ๐)(1 โ ๐) โ 6
0 = (2 โ 3๐ + ๐2) โ 6
0 = ๐2 โ 3๐ โ 4
โ (๐ + 1)(๐ โ 4)
๐ = โ1| |๐ = 4
Katakanlah ๐พ = (๐1
๐2), dan harus dipenuhi
(๐ด โ ๐๐ผ)๐พ = 0
Untuk ๐ = โ1
๐ด โ ๐๐ผ = (3 32 2
)
โ (3 32 2
) (๐1
๐2) = 0
โ {3๐1 + 3๐2 = 02๐1 + 2๐2 = 0
} โ ๐1 = โ๐2
Diambil ๐2 = 1, maka ๐1 = โ1. Jadi, salah
satu solusinya adalah ๐1 = (โ11
) ๐โ๐ก
Untuk ๐ = 4
๐ด โ ๐๐ผ = (โ2 32 โ3
)
โ (โ2 32 โ3
) (๐1
๐2) = 0
โ {โ2๐1 + 3๐2 = 02๐1 โ 3๐2 = 0
} โ ๐1 =3
2๐2
Diambil ๐2 = 2, maka ๐1 = 3. Jadi, salah satu
solusinya adalah ๐2 = (32
) ๐4๐ก
Maka, Solusi Umumnya adalah
๐ = ๐1 (โ11
) ๐โ๐ก + ๐2 (32
) ๐4๐ก
Kasus IIโถ ๐1, ๐2 โ โ dan ๐1 = ๐2 Jika terdapat 2 nilai Eigen real yang sama, maka
๐1 = ๐พ๐๐1๐ก
๐2 = ๐พ๐ก๐๐1๐ก + ๐๐๐1๐ก
Dengan ๐ memenuhi
(๐ด โ ๐1๐ผ)๐ = ๐พ
Contoh :
๐ฟโฒ = (๐ โ๐๐๐ โ๐
) ๐ฟ
๐ด = (3 โ182 โ9
)
(๐ด โ ๐๐ผ) = (3 โ ๐ โ18
2 โ9 โ ๐)
๐๐๐ก (๐ด โ ๐๐ผ) = 0 โ |3 โ ๐ โ18
2 โ9 โ ๐| = 0
โ (3 โ ๐)(โ9 โ ๐) โ 2(โ18) = 0
โ ๐2 + 6๐ + 9 = 0
โ (๐ + 3)2 = 0
๐ = โ3
๐พ = (๐1
๐2) โ (๐ด โ ๐๐ผ)๐พ = 0
โ (6 โ182 โ6
) (๐1
๐2)
= (6๐1 โ 18๐2
2๐1 โ 6๐2) = 0
Jadi ๐1 โ 3๐2 = 0, ambil ๐2 = 1, maka ๐1 =
3, sehingga diperoleh ๐พ = (31
), dan ๐1 =
(31
) ๐โ3๐ก
Selanjutnya, akan dicari ๐ = (๐1
๐2) yang
memenuhi (๐ด โ ๐1๐ผ)๐ = ๐พ
(6 โ182 โ6
) (๐1
๐2) = (
31
)
(6๐1 โ 18๐2
2๐1 โ 6๐2) = (
31
)
Jadi 2๐1 โ 6๐2 = 1, ambil ๐2 = 1, diperoleh
๐1 =7
2, maka ๐ = (
72โ
1), dan ๐2 =
(31
) ๐ก๐โ3๐ก + (7
2โ
1) ๐โ3๐ก
Solusi Umumnya
๐ = ๐ถ1 (31
) ๐โ3๐ก
+ ๐ถ2 [(31
) ๐ก๐โ3๐ก
+ (7
2โ
1) ๐โ3๐ก]
Kasus IIIโถ ๐1, ๐2 โ โ
Contoh :
๐ฟโฒ = (๐ โ๐๐ ๐
) ๐ฟ
(๐ด โ ๐๐ผ) = (6 โ ๐ โ1
5 4 โ ๐)
det(๐ด โ ๐๐ผ) = |6 โ ๐ โ1
5 4 โ ๐|
0 = (6 โ ๐)(4 โ ๐) + 5
๐2 โ 10๐ + 29 = 0
๐12 =10 ยฑ โ100 โ 4 ร 29
2
= 5 ยฑ โโ4 = 5 ยฑ 2๐
Untuk ๐ = 5 + 2๐
(๐ด โ ๐๐ผ)๐พ = 0 โ (1 โ 2๐ โ1
5 โ1 โ 2๐) (
๐1
๐2) = (
(1 โ 2๐)๐1 โ ๐2
5๐1 โ (1 + 2๐)๐2) = 0
Jadi
๐1 = (1
1 โ 2๐) ๐(5+2๐)๐ก
Untuk ๐ = 5 โ 2๐
(๐ด โ ๐๐ผ)๐พ = 0 โ (1 + 2๐ โ1
5 โ1 + 2๐) (
๐1
๐2) = (
(1 + 2๐)๐1 โ ๐2
5๐1 + (โ1 + 2๐)๐2) = 0
Jadi
๐1 = (1
1 + 2๐) ๐(5โ2๐)๐ก
Dengan rumus ๐๐๐ฝ = ๐๐๐ ๐ฝ + ๐ ๐๐๐ ๐ฝ, diperoleh solusi umum
๐ฆ = ๐ถ1 [(11
) cos 2๐ก + (02
) sin 2๐ก] ๐5๐ก + ๐ถ2 [(0
โ2) cos 2๐ก + (
11
) sin 2๐ก] ๐5๐ก
Transformasi Laplace
Definisi Diberikan fungsi f yang didefinisikan sebagai
๐(๐ก) ; ๐ก > 0
Transformasi Laplace didefinisikan dengan
โ(๐(๐ก) = โซ ๐โ๐ ๐ก๐(๐ก)๐๐กโ
0
Contoh :
๐(๐) = ๐
โ(1) = โซ ๐โ๐ ๐ก1๐๐กโ
0
= lim๐โโ
โซ ๐โ๐ ๐ก๐๐ก๐
0
= lim๐โโ
[โ1
๐ ๐โ๐ ๐ก ]
๐
0
= lim๐โโ
[โ๐โ๐ ๐
๐ โ (
๐0
๐ )]
1
๐ ; ๐ > 0
Ingat :
โ(๐ผ๐(๐ก) + ๐ฝ๐(๐ก))
= โซ [๐ผ๐(๐ก)โ
0
+ ๐ฝ๐(๐ก)] ๐โ๐ ๐ก ๐๐ก
= ๐ผ โซ ๐(๐ก)โ
0
๐โ๐ ๐ก ๐๐ก + ๐ฝ โซ ๐(๐ก)โ
0
๐โ๐ ๐ก ๐๐ก
= ๐ผ โ(๐(๐ก)) + ๐ฝ โ(๐(๐ก))
Invers Transformasi Laplace Jika F(s) adalah Transformasi Laplace dari f(t), maka
๐น(๐ ) = โ(๐(๐ก))
Sehingga f(t) disebut invers Transformasi Laplace dari F(s), dan ditulis
๐(๐ก) = โโ1(๐น(๐ ))
Contoh :
๐โ๐ (โ๐๐ + ๐
๐๐ + ๐)
โ2๐ + 6
๐ 2 + 4=
โ2๐
๐ 2 + 4+
6
๐ 2 + 4
= โ2 cos 2๐ก + 3 sin 2๐ก
Beberapa Rumus Dasar Persamaan Dasar Persamaan Transformasi Laplace
1 1
๐
๐ก๐ ๐!
๐ (๐+1) ; ๐ = 1, 2, 3, โฆ
๐๐๐ก 1
๐ โ ๐
sin ๐๐ก ๐
๐ 2 + ๐2
cos ๐๐ก ๐
๐ 2 + ๐2
sinh ๐๐ก ๐
๐ 2 โ ๐2
cosh ๐๐ก ๐
๐ 2 โ ๐2
Menyelesaikan Persamaan Diferensial dengan Transformasi Laplace
๐ฆ = ๐(๐ก)
โ(๐(๐ก)) = ๐น(๐ )
๐ฆโฒ = ๐โฒ(๐ก)
โ(๐โฒ(๐ก)) = โซ ๐โฒ(๐ก)๐โ๐ ๐ก๐๐กโ
0
= โซ ๐โ๐ ๐ก๐๐(๐ก)โ
0
lim๐โโ
[๐โ๐ ๐ก๐(๐ก)]๐0
โ ๐ โซ ๐(๐ก)๐โ๐ ๐ก๐๐กโ
0
= โ๐(0) + ๐ ๐น(๐ ) = ๐ ๐น(๐ ) โ ๐(0)
๐ฆโฒโฒ = ๐โฒโฒ(๐ )
โ(๐โฒโฒ(๐ก)) = โซ ๐โฒโฒ(๐ก)๐โ๐ ๐ก๐๐กโ
0
lim๐โโ
[๐โ๐ ๐ก๐โฒ(๐ก)]๐0
โ ๐ โซ ๐โฒ(๐ก)๐โ๐ ๐ก๐๐กโ
0
= โ๐โฒ(0) + ๐ [๐ ๐น(๐ ) โ ๐(0)]
= ๐ 2๐น(๐ ) โ ๐ ๐(0) โ ๐โฒ(0)
Teorema :
โ (๐(๐)(๐ก)) = ๐ ๐๐น(๐ ) โ ๐ ๐โ1๐(0) โ ๐ ๐โ2๐โฒ(0) โ ๐ ๐โ3๐โฒโฒ(0) โ ๐ ๐โ4๐โฒโฒโฒ(0) โ โฏ โ ๐(๐โ1)(0)
Contoh :
๐ ๐
๐ ๐+ ๐๐ = ๐๐ ๐ฌ๐ข๐ง ๐๐ ; ๐(๐) = ๐
โ (๐๐ฆ
๐๐ก+ 3๐ฆ) = โ(13 sin 2๐ก)
๐ ๐น(๐ ) โ ๐(0) + 3๐น(๐ ) = 132
๐ 2 + 4
๐น(๐ ) โ (๐ โ 3) โ 6 = 26
๐ 2 + 4
๐น(๐ ) = 26
(๐ 2 + 4)(๐ + 3)+
6
๐ + 3
Dari F(s) akan dicari f(t) yang merupakan
solusi dari PD tersebut
26
(๐ 2 + 4)(๐ + 3)=
๐ด๐ + ๐ต
๐ 2 + 4+
๐ถ
๐ + 3
Jadi, (๐ด๐ + ๐ต)(๐ + 3) + ๐ถ(๐ 2 + 4) = 26
Jika s = -3
26 = ๐ถ((โ3)2 + 4) โ ๐ถ = 2
Jika s = 0
26 = ๐ต(3) + 2(4) โ ๐ต = 6
Jika s = 1
26 = (๐ด + 6)(4) + 2(5) โ ๐ด = โ2
Jadi,
๐น(๐ ) =โ2๐ + 6
๐ 2 + 4+
2
๐ + 3+
6
๐ + 3
= โ2๐
๐ 2 + 4+ 3
2
๐ 2 + 4+ 8
1
๐ + 3
โโ1(๐น(๐ )) = โ2 cos 2๐ก + 3 sin 2๐ก
+ 8 ๐โ3๐ก
Jadi, solusinya adalah
๐ฆ = โ2 cos 2๐ก + 3 sin 2๐ก + 8 ๐โ3๐ก