Appunti di Elettrotecnica per le classi 3 , 4 , 5 del corso "Elettrotecnica ed Automazione" nell'Istituto Tecnico Industriale "G. Galilei" di Mirandola (MO) http://www.galileimirandola.it a cura del prof.

Egidio Rezzaghi.

L'attuale versione, aggiornata al 17/04/2004, completa della parte di teoria per le classi terza, quarta e quinta e degli esercizi per la classe quarta. Sono stati inseriti i primi quattro esercizi sui motori asincroni trifasi, altri seguiranno. Sono state fatte importanti modifiche agli appunti sui transitori delle reti elettriche e correzioni in diverse altre parti. Infine stato aggiornato il driver egavga.bgi necessario per il funzionamento dei programmi che utilizzano la modalit grafica.

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Prof. Egidio Rezzaghi

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Classe terza

Indice dei contenuti:

1. Elettrostatica 2. Campi e circuiti magnetici 3. Reti elettriche in corrente continua e corrente alternata 4. Misure elettriche

Elettrostatica Indice dei contenuti:

1. Introduzione, legge di Coulomb 2. Campo elettrico 3. Condensatore elettrico 4. Comportamento elettrostatico dei corpi conduttori 5. Induzione elettrostatica e spostamento elettrico 6. Flusso del vettore spostamento elettrico, teorema di Gauss 7. Applicazioni del teorema di Gauss 8. Polarizzazione dei dielettrici, rigidit dielettrica 9. Costante dielettrica e rigidit dielettrica: tabella 10. Energia nel campo elettrico 11. Forze attrattive tra le armature di un condensatore carico 12. Campo elettrico nei corpi conduttori percorsi da corrente 13. Transitorio di carica e scarica nei condensatori

Introduzione, legge di Coulomb

Quanto esposto in questi appunti ha lo scopo di riassumere quelle conoscenze della elettrostatica gi note dal corso di fisica del biennio e di proporre quelle integrazioni che pi direttamente fanno riferimento alle applicazioni elettrotecniche. Nelle espressioni, le grandezze vettoriali sono indicate mediante sottolineatura.

Con elettrostatica si intende la teoria che studia l'effetto di forza dovuto a cariche elettriche immobili.

Si chiama carica elettrica la quantit di elettricit positiva o negativa di un corpo, essa sempre un multiplo intero della carica elementare (quanto elementare) e = 1,60210-19 [C] (la pi piccola quantit di carica elettrica esistente la carica dell'elettrone, pari a -e ).

Una delle propriet pi importanti delle cariche elettriche descritta dalla legge di Coulomb : la forza elettrica F di attrazione (cariche di segno opposto) o di repulsione (cariche di uguale segno) fra due cariche puntiformi Q1 e Q2 immerse in un mezzo isolante proporzionale al prodotto delle cariche ed inversamente proporzionale al quadrato della loro distanza :

La direzione della forza la retta passante per le due cariche. La grandezza chiamata costante dielettrica assoluta del

mezzo isolante e, per il vuoto, essa vale :

Per un mezzo diverso dal vuoto si soliti esprimerla come prodotto tra la costante dielettrica del vuoto e la costante dielettrica relativa del mezzo = o r .

Campo elettrico

E' cos chiamata ogni regione dello spazio ove si esercitano forze elettriche su cariche elettriche. Il campo elettrico determinato in ogni punto dalla grandezza vettoriale E , quindi definito in ogni punto da una intensit, una direzione ed un verso. L'intensit, la direzione ed il verso sono pari a quelli della forza elettrica che agisce su un'unit di carica positiva posta in quel punto. Se ne ha una rappresentazione visibile mediante le linee di forza e le superfici equipotenziali. Le linee di forza sono linee orientate secondo il verso di E le cui tangenti coincidono in ogni punto del campo con la direzione del vettore E .

Con potenziale di un punto del campo elettrico si intende il valore di energia potenziale che l'unit di carica positiva possiede in quel punto. Si sceglie a piacere un punto come punto zero dell'energia potenziale. I punti di eguale potenziale sono posti su superfici equipotenziali, tali superfici sono perpendicolari alle linee di forza. Una carica elettrica positiva pu essere mossa su di una superficie equipotenziale senza perdita ne guadagno di energia, mentre per essere mossa da una superficie a minor potenziale verso una a maggior potenziale richiede un lavoro che, infine, si ritrova sotto forma di maggior energia potenziale posseduta dalla carica. Qualunque carica positiva collocata in un punto del campo elettrico tende a muoversi nel verso della linea di forza passante per quel punto, cos facendo vede diminuire il proprio potenziale.

Si definisce differenza di potenziale tra due punti M, N del campo elettrico la differenza tra il potenziale nel primo punto ed il potenziale nel secondo punto : VMN = VM - VN .

Nota Bene.: quello di campo un concetto fondamentale per la descrizione di stati ed effetti nello spazio, risalente a Faraday. I campi di forza (campi vettoriali), quali quelli di forza elettrica, di forza magnetica, di forza gravitazionale, sono definiti dalla intensit, dalla direzione e dal verso di una forza per ogni punto dello spazio. I campi scalari indicano invece la distribuzione nello spazio di valori numerici, ad esempio di temperatura o densit.

Se in un punto dello spazio caratterizzato da una intensit di campo elettrico pari ad E vi una carica pari a Q, si avr agente sulla carica una forza elettrica pari a F = EQ , da cui si ricava che

l'unit di misura del campo elettrico il [N / C] . La direzione di questa forza la stessa del campo, il verso quello del campo se la carica positiva, altrimenti ad esso opposto.

Il potenziale elettrico, essendo un'energia per unit di carica, si misura in [J/C]. Cos pure per la differenza di potenziale. Se in un punto di un campo elettrico ove il potenziale vale V presente una carica Q , tale carica posseder una energia potenziale elettrica pari a W = QV [Joule]. Il [J/C] chiamato volt [V].

Consideriamo ora un campo elettrico stazionario (cio non variabile nel tempo) ed uniforme (cio non variabile al variare del punto considerato). Prendiamo due punti M, N sulla stessa linea di forza, distanti tra di loro d , ed immaginiamo una carica positiva Q che passi dal punto M al punto N . Tale carica perder energia potenziale e compir un lavoro se VM > VN perch sar la forza elettrica a determinarne lo spostamento, viceversa acquister energia potenziale e su di essa bisogner compiere un lavoro se VM < VN perch si dovr vincere la forza elettrica con una forza esterna. In ogni caso, per il principio di conservazione dell'energia, dovr essere il lavoro uguale alla variazione di energia potenziale :

Fd = QVM - QVN = QVMN EQd = QVMN

La situazione appena descritta quella che si verifica nel dielettrico (isolante) posto tra le armature piane e parallele di un condensatore.

Nel caso di campi elettrici non uniformi, quanto detto rimane ancora valido solo che si dovranno considerare punti M ed N a distanza tra di loro talmente piccola da potersi ritenere in tale tratto uniforme il campo.

Per i campi elettrici si pu inoltre dire che il lavoro connesso al movimento di una carica tra due punti M ed N (situati anche su diverse linee di forza) non dipende dal percorso seguito dalla carica per passare da M ad N , ma dipende solo dalla posizione dei punti M ed N ( i campi che godono di tale propriet sono detti campi conservativi e tale anche il campo gravitazionale).

Condensatore elettrico

E' cos chiamato il dispositivo atto a realizzare un adeguato valore concentrato di capacit elettrica. Per capacit elettrica si intende l'attitudine di un circuito ad accumulare carica elettrica. La capacit elettrica definita dalla legge C = Q / V e si misura in [Farad]. Un condensatore si realizza generalmente mediante due piastre di materiale conduttore con interposto un mezzo dielettrico (isolante). Applicando una differenza di potenziale tra le armature si crea un campo elettrico nel

dielettrico e, grazie al lavoro del generatore, un accumulo di carica sulle stesse (carica positiva sull'una e negativa sull'altra), tanto pi grande quanto pi grande la capacit del condensatore. Una volta che il condensatore si caricato, per i circuiti in corrente continua si ha che nel ramo ove inserito il condensatore non pu pi passare la corrente elettrica.

Se si hanno diversi condensatori in parallelo, ovvero sottoposti alla stessa differenza di potenziale, la capacit totale pari alla somma aritmetica delle singole capacit:

Se si hanno diversi condensatori in serie, ovvero tutti aventi la stessa quantit di carica elettrica, la capacit totale pari all'inverso della somma aritmetica degli inversi delle singole capacit:

Comportamento elettrostatico dei corpi conduttori

Nei corpi conduttori elettrizzati (cio che abbiano acquisito carica elettrica, ad esempio sotto forma di elettroni se si tratta di metalli) si verifica quanto segue :

a) in condizione di equilibrio le cariche elettriche libere sono distribuite unicamente sulla superficie esterna del corpo conduttore perch, data la mobilit delle cariche elettriche libere, le interazioni coulombiane che si esercitano tra di esse, essendo le cariche libere tutte dello stesso segno, portano tutte le cariche a raggiungere la superficie limite del corpo conduttore.

b) le cariche elettriche libere in equilibrio sulla superficie del conduttore devono assumere una distribuzione tale che il potenziale di ciascun punto P1 , P2 , P3 , ecc. rispetto ad un riferimento O sia sempre lo stesso, ovvero VP1 = VP2 = VP3 = ecc. Si dice cos che la superficie equipotenziale.

Se fosse diversamente avremmo tra due punti, ad esempio P1 e P2 , una differenza di potenziale che provocherebbe uno spostamento degli elettroni liberi verso il punto a potenziale maggiore, contraddicendo cos la condizione di equilibrio statico.

c) le cariche elettriche libere in equilibrio sulla superficie dei conduttori producono un campo elettrico E sempre perpendicolare alla superficie stessa del conduttore, se cos non fosse si avrebbe, oltre alla componente normale En , una componente tangenziale Et a causa della quale una carica elettrica libera superficiale Q si muoverebbe essendo sotto l'azione di una forza elettrica Ft = EtQ la qual cosa contraddice la condizione di equilibrio statico.

d) il campo elettrico all'interno di un corpo conduttore in equilibrio statico sempre nullo in quanto, se fosse diverso da zero, gli elettroni liberi sarebbero in movimento la qual cosa contraddice la condizione di equilibrio statico. Ne risulta in particolare che l'equilibrio elettrico di un conduttore elettrizzato non viene alterato se si immagina di scavare internamente il conduttore stesso fino a ridurlo ad un involucro, anche sottilissimo, costituito da una pellicola metallica corrispondente alla superficie esterna. Nei fenomeni elettrostatici, quindi, il comportamento di un conduttore massiccio non differisce da quello di un conduttore internamente cavo avente eguale forma e dimensioni. Nell'interno di questi conduttori cavi (praticamente sono degli involucri metallici) il campo elettrico rimane sempre nullo , qualunque sia la carica elettrica distribuita sulla superficie esterna, e cio qualunque sia l'intensit del campo elettrico nello spazio esterno al conduttore cavo. Si intende che, se nell'interno dell'involucro sono racchiusi dei conduttori isolati dalle pareti del l'involucro ed elettrizzati, questi vi producono un campo elettrico il quale rimane del tutto indipendente da tutte le eventuali cariche elettriche situate all'esterno. Si pu dire che un involucro metallico completamente chiuso costituisce uno schermo elettrostatico che protegge l'intera regione interna dalle azioni di tutti i campi elettrici esterni (schermo di Faraday).

Induzione elettrostatica e spostamento elettrico

Per induzione elettrostatica si intende l'azione di un campo elettrico esterno su un conduttore isolato. Le cariche elettriche alla superficie vengono separate dalle forze di Coulomb. Poich il bilancio di carica del conduttore non alterato dall'induzione, il conduttore resta nel complesso elettricamente neutro.

Con spostamento dielettrico (eccitazione dielettrica) si intende il vettore D = E , esso corrisponde alla carica prodotta nell'unit di superficie per induzione elettrostatica e si misura in [C / m2] .

Flusso del vettore spostamento elettrico, teorema di Gauss

Si consideri una superficie di area S immersa in un campo elettrico uniforme (cio costante in tutti i punti e perci con le linee di forza rettilinee e parallele), per il quale il vettore spostamento elettrico sia D . Si definisce flusso del vettore spostamento elettrico attraverso la superficie S la grandezza scalare :

S(D) = DScos() [C]

Il flusso viene considerato positivo se il campo elettrico orientato concordemente col versore N (vettore adimensionale unitario ortogonale alla superficie) diversamente esso considerato negativo.

Il teorema di Gauss afferma che il flusso totale del vettore spostamento attraverso una superficie chiusa qualsiasi SC(D) uguale alla somma algebrica delle cariche elettriche QSC racchiuse all'interno della superficie considerata :

Il flusso, per quanto precedentemente detto, sar uscente dalla superficie chiusa se la carica racchiusa positiva, altrimenti sar entrante nella superficie.

Applicazioni del teorema di Gauss

a) Campo elettrico originato da una carica puntiforme.

Consideriamo una carica puntiforme positiva Q ed un punto P distante d dalla carica. Consideriamo la superficie chiusa sferica S avente la carica al suo centro. Si pu affermare che il vettore spostamento elettrico D sempre ortogonale alla superficie e costante per qualunque punto sulla superficie (quindi = 0 e cos() = 1 ). Il flusso del vettore spostamento elettrico attraverso la superficie varr quindi :

S(D) = DScos() = D4pipipipid2 [C]

Applicando il teorema di Gauss sar D4pipipipid2 = Q.

Ricordando che in ogni punto del campo elettrico D = E , sostituendo si avr :

che quanto cercato.

b) Capacit di un condensatore con armature piane e parallele.

Consideriamo l'armatura carica positivamente Q ed applichiamo il teorema di Gauss alla superficie chiusa SC che racchiude tale armatura. Siccome il campo elettrico praticamente nullo esternamente allo spazio racchiuso tra le armature, costante e normale alla superficie internamente alle armature, possiamo limitarci a considerare la sola parte della superficie chiusa SC coincidente con la superficie interna S dell'armatura stessa e scrivere :

SC(D) = S(D) = DS = ES = Q [C]

Ricordando che il campo elettrico uniforme tra le armature distanti d del condensatore legato alla tensione V applicata tra le armature stesse dalla relazione E = V / d , sostituendo nella espressione precedente e risolvendo rispetto alla Q si ottiene infine :

dove, per omogeneit dimensionale deve essere :

la capacit del condensatore.

Polarizzazione dei dielettrici, rigidit dielettrica

Si chiama polarizzazione la costituzione e l'orientamento dei dipoli elettrici (coppia di cariche puntiformi di segno opposto ed eguale valore fra loro vincolate in modo da mantenere costante la distanza che le separa) nei mezzi dielettrici a causa della presenza di un campo elettrico non nullo. I meccanismi della polarizzazione sono molteplici, in generale si pu dire che alla base vi sono le forze elettriche, il pi semplice da comprendere riassunto nel seguente disegno :

La quantit di elettricit che, per effetto della polarizzazione, si sposta per unit di superficie ancora determinata dallo spostamento elettrico cos che, in un condensatore, a parit di superficie, la quantit di carica elettrica che per induzione si raccoglie sulle armature uguale alla quantit di carica elettrica che nel dielettrico si sposta per polarizzazione.

Ovviamente, aumentando l'intensit di campo elettrico aumentano le forze elettriche che agiscono sui due poli del dipolo cos che si potr arrivare alla rottura del legame che tiene unito il dipolo elettrico : si definisce rigidit dielettrica di un materiale isolante il massimo valore di campo elettrico che in esso pu essere presente senza che avvenga la rottura dei dipoli elettrici e la conseguente scarica distruttiva. Tale valore dipende fortemente dalle condizioni ambientali del dielettrico (temperatura, pressione, presenza di umidit o di impurit, ecc.). Per sicurezza, le condizioni di impiego dei materiali isolanti devono essere tali per cui il campo elettrico al loro interno sia molto inferiore alla loro rigidit dielettrica. Un fenomeno direttamente legato alla rigidit dielettrica dell'aria ( 3 [KV / mm] per l'aria secca e pura) l'effetto corona che si manifesta nelle linee aeree messe in tensione. Accade infatti, in presenza di forte umidit, che la rigidit dielettrica dell'aria possa scendere al di sotto del valore di campo elettrico nell'intorno della superficie del conduttore cos che si verificano scariche distruttive avvertibili sotto forma di sfrigolio e luminescenza.

Costante dielettrica e rigidit dielettrica: tabella

La tabella sottostante riporta le pi importanti caratteristiche dielettriche di alcuni materiali isolanti.

Costante dielettrica assoluta del vuoto o = 8,85410-12 [F/m] Mezzo dielettrico Costante dielettrica

relativa Rigidit dielettrica

[KV/mm] Aria secca (alla pressione di 1 [bar]) 1,0006 3 Acqua pura 81,07 15 Olio minerale 2,2 2,5 7,5 16 Olio per trasformatori 2 2,5 12 17 Bachelite 5,5 8,5 10 Carta comune 2 6 Carta paraffinata 2,5 4 40 50 Carta da condensatori 5 5,5 30 Gomma 2,2 2,5 15 40 Mica 6 8 50 100 Polietilene 2,3 50 Porcellana 4 7 12 30 Vetro 6 8 25 100 Ossido di titanio 90 170 5 Titanati di Ba-Sr 1000 10000 5

Energia nel campo elettrico

Considerando il condensatore inizialmente scarico, a partire dall'istante nel quale si chiude l'interruttore M si ha che il generatore inizia a spostare la carica elettrica, convenzionalmente quella positiva, dall'armatura di destra verso quella di sinistra ovvero si originer una corrente elettrica. Cos facendo il generatore compie un lavoro, e per una quantit di carica pari a dq si avr un lavoro pari a dW = dqv rappresentato dall'area tratteggiata. A carica del condensatore esaurita, la tensione ai suoi capi varr V = E , la carica accumulata varr Q = CV ed il lavoro complessivamente compiuto dal generatore sar pari all'area del triangolo (0 Q N) ovvero :

Per il principio di conservazione dell'energia, non essendovi alcuna dissipazione, tutto il lavoro compiuto dal generatore per caricare il condensatore verr a ritrovarsi sotto forma di energia elettrostatica nel dielettrico compreso tra le armature del condensatore che, in effetti, sar polarizzato.

Distaccando, una volta caricato, il condensatore dal generatore accade che l'energia elettrostatica rimane immagazzinata nel dielettrico. Infatti, se si collega il condensatore caricato ad una resistenza esterna si avr una circolazione di corrente di verso contrario a quello di carica che produrr una dissipazione per effetto Joule nella resistenza esterna e tale corrente persister, seppure con intensit decrescente, fino a quando il condensatore non sar del tutto scaricato.

Supponendo il dielettrico omogeneo ( ovvero = costante ) ed il campo elettrico uniforme, cosa accettabile nel caso del condensatore, possiamo facilmente esprimere l'energia elettrostatica specifica:

la cui unit di misura [Joule / m3] e dove si applicato il teorema di Gauss e la definizione di intensit di campo elettrico.

Forze attrattive tra le armature di un condensatore carico

Facciamo riferimento ad un condensatore carico ed isolato, ovvero non collegato ad un circuito esterno . Indichiamo con d la distanza tra le sue armature, con S la superficie, con Q la carica, con V la differenza di potenziale e con la costante dielettrica. Lasciata libera, l'armatura di destra tender a muoversi verso sinistra perch attratta dalla forza elettrica F dovuta alla carica di segno opposto distribuita sulle armature. Per non contraddire le condizioni di staticit del sistema, immaginiamo che a causa della forza F l'armatura compia uno spostamento infinitamente piccolo dx.

Tale spostamento per poter avvenire necessita di un lavoro che, considerando il sistema isolato, pu solo provenire dall'energia elettrostatica posseduta nel dielettrico del condensatore. In conseguenza dello spostamento dx possiamo dire che la carica delle armature non pu essere cambiata essendo il condensatore isolato, la capacit del condensatore sar aumentata di una quantit infinitesima a causa della diminuzione dx della distanza d tra le armature, la differenza di potenziale tra le armature, essendo inversamente proporzionale alla capacit, sar diminuita di una quantit infinitesima, lo spostamento elettrico (e quindi il campo elettrico) sar rimasto invariato essendo

invariate sia Q che S, l'energia elettrostatica specifica sar rimasta invariata essendo invariati sia il campo che lo spostamento elettrico.

Il lavoro compiuto attraverso lo spostamento dx dell'armatura vale dL = Fdx , mentre la variazione (diminuzione) dell'energia elettrostatica vale dW = WsSdx .

Per il principio di conservazione dell'energia dovr essere dL = dW e quindi:

Allo stesso risultato si perviene considerando il condensatore collegato ad un generatore.

Campo elettrico nei corpi conduttori percorsi da corrente

Prendiamo in considerazione un tratto M N di conduttore omogeneo di resistivit elettrica , avente lunghezza d e sezione S . Sia questo conduttore percorso da una corrente elettrica costante I nel verso che va da M a N . Potremo scrivere che la tensione tra i punti M ed N vale, per la legge di Ohm :

e che il campo elettrico E al suo interno legato alla tensione fra le sezioni M ed N dalla relazione VMN = Ed .

Eguagliando le due espressioni si ottiene :

La grandezza J = I / S [A /m2] chiamata densit di corrente elettrica.

In termini vettoriali si potr infine scrivere E = J .

Nota Bene : quanto esposto esula dall'elettrostatica in quanto viene fatto riferimento a cariche elettriche in movimento.

Transitorio di carica e scarica nei condensatori

Prendiamo in considerazione le leggi di variazione nel tempo della corrente nel circuito i(t) e della tensione v(t) ai capi del condensatore durante la fase di carica dello stesso. Assumiamo che il condensatore sia inizialmente scarico v(0-) = 0 , ovvero sia inizialmente nulla la carica accumulata sulle sue armature (condizioni iniziali nulle). Individuiamo come istante iniziale t = 0 [s] quello coincidente con la chiusura dell'interruttore K . A partire da tale istante iniziale si avr un graduale aumento della tensione ai capi del condensatore che raggiunger il valore definitivo Vo solo dopo un tempo infinito. In realt si potr ritenere esaurita la fase di carica quando la tensione ai capi del condensatore avr superato il 99% del valore finale Vo (valore a regime). Tale intervallo di tempo, durante il quale variano sia la tensione ai capi del condensatore che la corrente nel circuito, viene detto transitorio elettrico ed presente in qualsiasi circuito che contenga dispositivi capaci di immagazzinare energia (condensatori ed induttori) ogniqualvolta vari una delle grandezze (tensione o corrente) applicate al circuito. Infatti, nel corso della carica del condensatore, l'energia immagazzinata nel suo campo elettrico richiede tempo per passare da zero al valore finale. Se cos non fosse, ovvero se la carica si realizzasse istantaneamente, si dovrebbe presumere di avere a che fare con un generatore di potenza infinita la qual cosa un assurdo fisico. Per ciascun circuito elettrico si pu individuare una grandezza caratteristica chiamata costante di tempo che serve a valutare la durata del transitorio. Infatti si pu dimostrare che il transitorio ha una durata pari a circa 5 . La legge di variazione sia della tensione ai capi del condensatore che della corrente nel circuito di tipo esponenziale.

Vediamo di riassumere le pi importanti propriet.

A sinistra sono mostrate le leggi che regolano la carica, a destra quelle della scarica. Al flusso ordinato di carica elettrica costituente la corrente di carica (scarica) corrisponde uno spostamento elettrico di carica nel dielettrico compreso tra le armature del condensatore che si polarizza (depolarizza). Al lavoro compiuto dal generatore corrisponde, a meno della potenza elettrica dissipata nelle resistenze, l'energia accumulata nel dielettrico del condensatore; tale energia totalmente dissipata nelle resistenze durante la scarica.

Si ricorda che la lettera e che compare nella espressione esponenziale la base dei logaritmi naturali, ovvero il numero 2,718...

In qualsiasi processo regolato da una legge esponenziale, la costante di tempo rappresenta il tempo necessario al completamento del processo nel caso in cui lo stesso avvenga ad una velocit costante e pari a quella dell'istante iniziale. Detto in altre parole, la tangente nell'origine alla curva esponenziale interseca l'orizzontale di ordinata pari al valore a regime in corrispondenza dell'ascissa pari alla costante di tempo.

Campi e circuiti magnetici Indice dei contenuti:

1. Introduzione 2. Campo magnetico 3. Induzione magnetica, permeabili magnetica 4. Flusso concatenato con un circuito 5. Induttanza elettrica di un circuito 6. Coefficiente di mutuo accoppiamento tra due circuiti 7. Legge generale dell'induzione elettromagnetica 8. Forze elettromagnetiche 9. Forze elettrodinamiche 10. Coppia agente su di una spira immersa in un campo magnetico 11. Moto di una carica elettrica in un campo magnetico 12. Energia immagazzinata in un campo magnetico 13. Tensione magnetica, legge della circuitazione magnetica 14. Circuiti magnetici, legge di Hopkinson 15. La non linearit dei mezzi ferromagnetici 16. Caratteristiche dei pi comuni materiali ferromagnetici: tabelle 17. La risoluzione dei problemi diretti e dei problemi inversi 18. Circuiti magnetici a pi maglie 19. Forza portante di un elettromagnete 20. Perdite di potenza nei materiali ferromagnetici 21. Significato delle unit di misura nel magnetismo 22. Transitorio elettrico nei circuiti ohmico-induttivi

Introduzione

Quanto esposto in questi appunti ha lo scopo di riassumere quelle conoscenze sul magnetismo gi note dal corso di fisica del biennio e di proporre quelle integrazioni che pi direttamente fanno riferimento alle applicazioni elettrotecniche. Nelle espressioni, le grandezze vettoriali sono indicate mediante sottolineatura.

Originariamente col termine magnetismo si intendeva la propriet di certi corpi, detti magneti, di attirare il ferro e di attirare, o respingere, altri magneti. Oggi si intende la teoria dei fenomeni magnetici, cio la teoria del campo magnetico e del comportamento della materia in esso. E' bene precisare che non esiste un magnetismo separato da correnti elettriche o campi elettrici.

Nella natura (ma possono anche essere prodotti artificialmente) esistono dei materiali, detti magneti permanenti, che riescono a sviluppare delle forze, anche a distanza, sul ferro attirandolo verso se stessi o che interagiscono tra di loro con forze di attrazione o repulsione secondo come vengono avvicinati. In definitiva nello spazio circostante tali materiali esiste un campo di forze, detto appunto campo magnetico. La teoria dei campi permette lo studio dei fenomeni legati al magnetismo ed avvicina tale studio a quanto gi considerato a proposito della elettrostatica.

Campo magnetico

E' cos chiamato il campo di forza prodotto da un magnete, oppure da una corrente elettrica, oppure da un campo elettrico variabile nel tempo. Con campo magnetico si intende anche la grandezza

fisica, simbolo H [A / m] , che indica la forza che agisce nel campo su un polo magnetico di intensit unitaria.

Cominciamo col prendere in considerazione il campo magnetico generato da un magnete avente forma di barretta. Si possono individuare due poli, pi precisamente il polo Nord dal quale escono le linee di forza del campo magnetico ed il polo Sud nel quale entrano le linee di forza del campo magnetico. Si osserva che, a differenza dei campi elettrici, nel caso dei campi magnetici le linee di forza sono chiuse. I due poli sono cos chiamati perch, se il magnete lasciato libero di orientarsi nello spazio, rivolge sempre l'estremit individuata come polo Nord verso il Nord geografico e l'altra verso il Sud geografico. Ci accade perch la Terra per sua natura un gigantesco magnete, avente il polo Sud magnetico quasi in corrispondenza del polo Nord geografico, che agisce nello spazio circostante attraverso un suo campo magnetico e due magneti tendono ad attrarsi se sono affacciati coi poli opposti.

Una ulteriore propriet dei magneti quella che, se sminuzzati, tendono a formare ulteriori magneti di dimensioni pi piccole, questo perch i poli magnetici Nord e Sud non possono essere divisi in alcun modo.

Ancora si deve dire che i materiali ferrosi, se avvicinati ad un magnete in modo tale da entrare nel suo campo magnetico, subiscono il fenomeno della magnetizzazione, ovvero anche essi diventano magnetici e presentano dal lato col quale sono accostati una polarit magnetica opposta a quella del magnete permanente. Questo il motivo per il quale il ferro viene attratto dai magneti. Se poi i materiali ferrosi sono allontanati dal campo magnetico del magnete permanente accade che essi perdono quasi tutto il magnetismo precedentemente acquisito.

Prendiamo ora in considerazione il campo magnetico prodotto dalle correnti elettriche.

In un conduttore rettilineo percorso da una corrente di intensit I, il campo magnetico nello spazio circostante avr le linee di forza come in figura e la sua intensit in un punto distante d dalla corrente varr H = I / (2pipipipid) [A /m] ( legge di Biot-Savart ).

Consideriamo come ulteriore esempio un solenoide (avvolgimento avente forma di bobina), di lunghezza l molto maggiore del diametro, composto di N spire e percorso dalla corrente di intensit I . Per tale sistema si pu dire che il campo all'interno praticamente uniforme e di intensit H = NI / l [A / m] .

Infine consideriamo un solenoide toroidale la cui principale caratteristica quella di contenere tutto il campo al proprio interno. Se N il numero di spire, r la lunghezza del raggio medio ed I l'intensit della corrente, sar H = NI / (2pipipipir) [A / m] .

In ogni caso, qualsiasi sia il circuito, tra il verso della corrente nel circuito ed il verso del campo magnetico generato dalla corrente, esiste sempre la stessa relazione che si riscontra tra il verso di rotazione di una vite ed il verso di avanzamento della vite stessa.

Induzione magnetica, permeabilit magnatica

Gli effetti dovuti alla presenza di campo magnetico dipendono, oltre che dal valore del campo, anche dalla natura del mezzo entro il quale il campo si sviluppa. Rispetto al loro comportamento nei confronti dei campi magnetici, le sostanze si possono classificare in :

diamagnetiche pure : sono cos chiamate perch presentano solo diamagnetismo (propriet riconducibile alla precessione di Larmor degli elettroni nel campo magnetico, comune a tutte le sostanze). Il diamagnetismo indipendente dallo stato fisico del mezzo, tali sostanze si magnetizzano solo in presenza di un campo magnetico esterno assumendo una polarit opposta a quella del campo esterno. Per tale motivo, in un campo magnetico non omogeneo, agisce su di un corpo diamagnetico una forza che cerca di spingerlo fuori dal campo magnetico, mentre in un campo magnetico omogeneo la presenza di un corpo diamagnetico produce la deformazione delle linee di campo rappresentata in figura. Sono sostanze diamagnetiche i gas nobili, l'azoto, l'idrogeno, la grafite, l'oro, la salgemma e l'acqua.

paramagnetiche : sono cos chiamate quelle sostanze che, a causa della presenza di livelli elettronici non chiusi, tendono a costituire molecole magneticamente dipolari (assimilabili a magnetini elementari). Per tali sostanze la magnetizzazione provocata da un campo magnetico esterno in linea e concorde con questo e le sostanze paramagnetiche vengono attirate da un campo esterno non omogeneo verso le zone con maggiore intensit di campo. In un campo magnetico omogeneo la presenza di un corpo paramagnetico produce la deformazione delle linee di campo rappresentata in figura. Il paramagnetismo diminuisce coll'aumentare della temperatura e gi alla temperatura ambiente i magnetini elementari si trovano in disordine statistico a causa del movimento termico. Sono sostanze paramagnetiche l'alluminio, il magnesio, il manganese, il cromo, il sodio, il potassio, l'ossigeno e l'aria.

ferromagnetiche : sono cos chiamate quelle sostanze che, a causa del loro particolare stato cristallino, presentano delle aree con magnetizzazione costante (domini di Weiss) nelle quali i magnetini elementari sono orientati parallelamente tra di loro. Godono delle stesse propriet dei materiali paramagnetici con l'aggiunta di poter essere, gi alla temperatura ambiente, loro stesse sorgenti di campo magnetico qualora siano state precedentemente immerse in un campo magnetico. Le sostanze ferromagnetiche perdono le loro propriet e diventano paramagnetiche se sottoposte ad una temperatura uguale o maggiore alla temperatura di Curie ( 768 [C] per il ferro). Sono sostanze ferromagnetiche il ferro, il nickel, il cobalto e speciali leghe.

Nelle sostanze ferromagnetiche la tendenza a "catturare" le linee di campo magnetico, propria anche delle sostanze paramagnetiche, particolarmente accentuata (vedi figura). Tale fatto viene utilizzato al fine di creare degli schermi magnetici che rendono lo spazio al loro interno praticamente insensibile ai campi magnetici esterni. Sono varie le applicazioni degli schermi magnetici, ad esempio in alcuni strumenti la schermatura serve ad evitare che il campo magnetico terrestre od i campi magnetici spuri prodotti nel laboratorio possano alterare i valori misurati.

Si chiama induzione magnetica (o densit di flusso magnetico) il vettore associato al campo magnetico la cui grandezza rappresenta una misura dell'intensit dell'azione di un campo magnetico; in essa viene compreso l'influsso del materiale attraversato dal campo e del relativo stato di magnetizzazione. Cos che l'induzione magnetica, a parit di campo magnetico inducente, ad esempio maggiore nel ferro piuttosto che nell'aria:

B = H [Wb / m2] , nel vuoto si ha o = 1,25710-6 [H / m]

Per i mezzi diversi dal vuoto, la permeabilit magnetica assoluta si esprime relativamente a quella del vuoto = = = = r o dove r un numero puro chiamato permeabilit relativa. Per le sostanze diamagnetiche si ha che r di pochissimo inferiore ad uno, per le sostanze paramagnetiche r di pochissimo superiore ad uno, per le sostanze ferromagnetiche r di molto pi grande di uno (pu arrivare anche a 100.000).

Flusso concatenato con un circuito

Considerando un campo magnetico omogeneo di induzione costante B ed una superficie piana di area S orientata rispetto al campo in modo tale che la normale N alla superficie formi un angolo con la direzione del campo, si chiama flusso del vettore induzione magnetica attraverso la superficie di area S la grandezza scalare :

= BScos() [Wb]

chiamata pi semplicemente flusso magnetico.

Se poi la superficie S quella delimitata dal perimetro di un circuito elettrico, si parla di flusso concatenato col circuito elettrico c.

Siccome, come si vedr pi avanti, nelle applicazioni elettrotecniche si cerca di rendere massimo il flusso concatenato coi circuiti elettrici, si d a questi la forma di avvolgimenti. Si osserva che una linea qualsiasi del campo magnetico concatenata con un circuito elettrico se attraversa un numero dispari di volte la superficie chiusa delimitata dal perimetro del circuito stesso.

Induttanza elettrica di un circuito

E', pi correttamente, chiamata coefficiente di autoinduzione. Rappresenta l'attitudine di un circuito elettrico a concatenarsi col flusso di campo magnetico ac originato dalla corrente elettrica I che percorre il circuito stesso :

L = ac / I [H]

Tale parametro dipende dalla forma e dalle dimensioni geometriche del circuito elettrico oltre che dalla permeabilit magnetica del mezzo entro il quale si sviluppa il campo magnetico prodotto dalla corrente che percorre il circuito stesso. Tende ad essere grande per i circuiti con forma ad avvolgimento ed avvolti su nuclei ferromagnetici. Ad esempio, per un solenoide rettilineo di lunghezza l superiore di almeno 10 volte del diametro, di sezione S e composto da N spire, l'induttanza vale :

L = SN2 / l [H]

La stessa espressione vale pure per il solenoide toroidale gi visto.

I dispositivi che realizzano valori concentrati elevati di induttanza sono chiamati induttori. Possono essere collegati in serie od in parallelo, se collegati in serie l'induttanza complessiva pari alla somma delle singole induttanze, se collegati in parallelo l'inverso dell'induttanza complessiva pari alla somma degli inversi delle singole induttanze.

Nei circuiti elettrici, il parametro induttanza elettrica viene indicato col simbolo sopra disegnato.

Coefficiente di mutuo accoppiamento tra due circuiti

Dati due circuiti, il loro coefficiente di mutuo accoppiamento esprime l'attitudine del sistema formato dai due circuiti a far si che il flusso di campo magnetico prodotto dalla corrente che circola nel primo si concateni col secondo e viceversa . Chiamando con c21 il flusso che, originato dalla corrente I2 che circola nel secondo circuito, si concatena col primo circuito e con c12 il flusso che, originato dalla corrente I1 che circola nel primo circuito, si concatena col secondo circuito, si pu scrivere :

M = c21 / I2 = c12 / I1 [H]

Si osserva che il coefficiente di mutua induzione pu essere sia positivo che negativo, perch il segno dipende dalla relazione esistente tra i flussi generati dai due circuiti in quanto se questi sono concordi M positivo, se questi sono discordi M negativo. Inoltre M non cambia di valore se i due circuiti si scambiano di posto.

Il coefficiente di mutua induzione tra due circuiti legato al valore delle rispettive induttanze dalla relazione :

dove k il coefficiente di accoppiamento espresso da un numero positivo compreso tra zero ed uno. Se k = 0 non vi alcun mutuo accoppiamento, se k = 1 vi un accoppiamento perfetto.

Nei circuiti elettrici il simbolo col quale si indica il mutuo accoppiamento quello riportato nella figura sopra disegnata. I puntini neri posti ad una estremit di ciascuno degli avvolgimenti indicano i morsetti corrispondenti del componente, nel senso che il valore di M risulta positivo se la corrente in entrambi gli avvolgimenti entra nel morsetto contraddistinto dal puntino, negativo in caso contrario.

Legge generale dell'induzione elettromagnetica

E' alla base del principio di funzionamento di gran parte delle macchine e applicazioni elettriche (generatori, motori, trasduttori, ecc.) e prende anche il nome di legge di Faraday-Neuman-Lenz. Essa dice che ogniqualvolta varia nel tempo il flusso concatenato con un circuito elettrico, nel circuito elettrico scaturisce una forza elettromotrice indotta di intensit proporzionale alla velocit di variazione del flusso concatenato.

Con riferimento ad un intervallo finito di tempo t , il valore medio della f.e.m.i. vale :

Il verso della f.e.m.i. tale da opporsi alla variazione di flusso concatenato che l'ha generata, ovvero se nel circuito, grazie alla ei , pu circolare una corrente essa avr verso tale da dar luogo ad un campo magnetico concorde con quello concatenato che sta variando se questi sta diminuendo, opposto se questi sta aumentando.

Se il flusso concatenato che varia quello dovuto alla induttanza stessa del circuito elettrico, si parla di forza elettromotrice autoindotta :

dove la prima espressione da riferirsi ad una variazione di corrente mentre la seconda da riferirsi ad una variazione della forma o della posizione del circuito.

Quale esempio consideriamo quello del circuito di figura, costituito da tre lati indeformabili ed un lato MN di lunghezza l che pu scorrere verticalmente. Supponiamo che tale movimento avvenga senza attrito. Sia R la resistenza complessiva de circuito. Il circuito sia concatenato con un campo magnetico di induzione B uniforme, le cui linee di forza siano perpendicolari ed entranti nel piano su cui giace il circuito. Si consideri il lato MN in movimento verso il basso con una velocit costante ve . Se all'istante t la posizione occupata dal lato in movimento quella indicata a tratto pieno,dopo un intervallo di tempo t , e quindi all'istante (t + t) , la posizione occupata sar quella indicata in tratteggio essendo lo spazio percorso x = vet . Nell'intervallo di tempo t , a causa dell'aumento della superficie del circuito intersecata dalle linee di campo magnetico, sar aumentato il flusso concatenato di una quantit pari a c = Blx e, quindi, per la legge generale della induzione elettromagnetica si sar sviluppata una f.e.m.i. di valore :

Il verso di tale f.e.m.i. dovr essere tale da opporsi alla variazione di flusso concatenato e, quindi, considerando che il flusso concatenato aumenta, la ei dovr tendere a far circolare una corrente da M verso N cos che il flusso generato da tale corrente si opponga a quello preesistente dovuto all'induzione B . Molto semplicemente il verso della f.e.m.i. si pu determinare con la regola delle tre dita della mano destra, orientate a formare una terna cartesiana ortogonale ( col pollice nel verso della velocit del conduttore rispetto al campo, l'indice nel verso dell'induzione magnetica, il medio nel verso della f.e.m.i.).

Nel caso in cui il conduttore di lunghezza l sia soggetto ad una velocit formante un generico angolo con l'asse del conduttore stesso, sar:

Forze elettromagnetiche

L'esempio riportato nel paragrafo precedente permette di evidenziare come dall'interazione tra un campo magnetico ed una corrente elettrica possa scaturire una forza elettromagnetica. Infatti, a causa della f.e.m.i. circoler nel circuito una corrente I che produrr per effetto Joule una dissipazione di potenza nella resistenza R . Durante l'intervallo di tempo t si avr lo sviluppo di una quantit di calore pari a Wj = RI2t . Per il principio di conservazione dell'energia, a tale calore dovr corrispondere un lavoro fatto sul sistema e, per come avviene il processo, l'unico lavoro possibile quello fatto per muovere il conduttore di x . Questo significa che lo spostamento del conduttore non avviene liberamente ma solo vincendo una forza Fe contraria al movimento. Il lavoro fatto sul sistema varr quindi WL = - Fex . Dal momento che l'energia complessiva deve restare invariata, dovr essere Wj + WL = 0 ovvero RI2t - Fex = 0 . Ponendo RI2 = Iei e risolvendo rispetto Fe si ottiene infine :

La forza Fe appunto chiamata forza elettromagnetica. Essa orientata, da quanto detto, verso l'alto (opposta allo spostamento x) . In ogni caso il suo verso si pu determinare con la regola delle tre dita della mano sinistra, orientate a formare una terna cartesiana ortogonale ( col pollice nel verso della forza, l'indice nel verso dell'induzione magnetica, il medio nel verso della corrente).

Se il conduttore percorso dalla corrente non esattamente perpendicolare al campo magnetico (vedi figura sopra disegnata), ma forma un angolo , allora sar Fe = IBlsin().

Forze elettrodinamiche

Sono chiamate forze elettrodinamiche quelle forze che scaturiscono tra due conduttori entrambi percorsi da corrente. In effetti ciascuno dei due conduttori si trova immerso nel campo magnetico prodotto dalla corrente circolante nell'altro conduttore. Risulta facile verificare che, se i due conduttori sono paralleli, le forze sono di attrazione se le correnti hanno lo stesso verso, le forze sono di repulsione se le correnti hanno versi opposti. Nel caso di due conduttori paralleli, entrambi di lunghezza l , posti alla distanza d , immersi in un mezzo di permeabilit , percorsi da correnti di intensit I1 ed I2 , si ha :

Due conduttori disposti ad angolo e percorsi da corrente tendono a orientarsi in modo da rendere le correnti che li attraversano concordi in quanto l'azione elettrodinamica tende a chiudere l'angolo compreso tra le direzioni positive delle due correnti, come si vede in figura.

Coppia agente su di una spira immersa in un campo magnetico

Si immagini un circuito avente forma di spira rettangolare, libero di ruotare attorno all'asse verticale Nr, immerso in un campo magnetico di induzione B diretto ortogonalmente rispetto l'asse Nr e formante l'angolo rispetto all'asse Ns ortogonale alla superficie delimitata dai lati del circuito. Se il circuito percorso da una corrente I si avr che, a causa dell'interazione tra il campo e la corrente nei lati, si svilupperanno sui quattro lati della spira quattro forze elettromagnetiche.

Pi precisamente sui due lati di lunghezza a si avranno le forze Fv = aBIsin(90 - ) mentre sui due lati di lunghezza l si avranno le forze Fr = lBI .

Mentre le forze Fv sono opposte sulla stessa direzione e quindi danno risultante nulla, le forze Fr sono opposte su due direzioni parallele e distinte e, quindi, danno luogo ad una coppia di valore C = Frb = lBIacos(90 - ) .

Si osserva che la rappresenta la superficie delimitata dalla spira e, quindi, max = Bla rappresenta il massimo flusso attraverso la superficie stessa (che si ha quando = 0 ). Inoltre cos(90 - ) = sin() e,quindi, C = maxIsin() .

Si pu quindi dire che la coppia si annulla quando la spira assume la posizione per la quale massimo il flusso concatenato. Questa osservazione fatta nel caso particolare di una spira valevole in generale, ovvero un qualsiasi circuito elettrico percorso da corrente, libero di muoversi o di deformarsi ed immerso in un campo magnetico, assume sempre quella posizione o quella forma per la quale il valore del flusso concatenato diventa massimo.

Analogamente, in un sistema isolato, due spire percorse da corrente tendono, se libere di muoversi, a sovrapporsi affinch il flusso magnetico concatenato risulti massimo.

Moto di una carica elettrica in un campo magnetico

Una carica elettrica Q (supposta positiva) che si muova in un campo magnetico di induzione B subisce un'azione di forza da parte di quest'ultimo. Ci logico se si considera che una carica in movimento d luogo ad una corrente, la quale esiste per solamente l dove la carica si sta muovendo, si parla infatti di elemento di corrente ( Il ). Indicata con Ve la velocit e con l il tratto di traiettoria percorso nell'intervallo di tempo t dalla carica, la corrente I associabile al tratto di traiettoria l data dalla relazione :

sulla carica agisce perci la stessa forza che si manifesterebbe su un tratto di circuito lungo l e percorso da una corrente avente l'intensit sopra ricavata, ovvero F = BIlsin() = BVeQsin() ove l'angolo formato dalla traiettoria della carica con le linee di induzione magnetica.

La forza elettromagnetica F risulta perpendicolare alla traiettoria e, quindi, alla velocit Ve ed all'induzione B , il verso si trover con la regola delle tre dita della mano sinistra. Quando per la

carica in movimento negativa (ad esempio un elettrone) si dovr considerare quale verso della corrente quello opposto al verso della velocit posseduta dalla carica, questo perch il verso della corrente convenzionalmente quello delle cariche positive. Si possono avere i seguenti casi :

a) se la carica entra in un campo magnetico con velocit inizialmente parallela alle linee del campo, essa non subisce alcuna azione di forza essendo = 0 .

b) se la carica ha velocit inizialmente ortogonale alle linee del campo magnetico, essa verr a descrivere successivamente una traiettoria circolare contenuta nel piano ortogonale alle linee di campo e di raggio :

La traiettoria risulta circolare perch viene percorsa sotto l'azione di una forza centripeta costante (

BVeQ ) ed a questa forza fa equilibrio la forza centrifuga ( ) . Dalla eguaglianza tra le due forze viene dedotta la relazione che fornisce il raggio (m [Kg] la massa della particella avente carica pari a Q) .

c) se la velocit inizialmente posseduta dalla carica obliqua rispetto alle linee di campo magnetico, la carica verr a percorrere una traiettoria elicoidale a causa della componente di velocit parallela alle linee di campo che si aggiunge alla velocit del moto rotatorio impresso dalla forza elettromagnetica.

Energia immagazzinata in un campo magnetico

Si consideri un circuito costituito da una pura induttanza lineare L percorsa da una corrente che, nel tempo 0 [s] T [s], vari da 0 [A] a I [A]. Ovviamente il flusso di campo magnetico autoconcatenato con il circuito varier, nello stesso intervallo di tempo, da 0 [Wb] a [Wb] essendo = LI. Per la legge generale dell'induzione elettromagnetica, considerato un intervallo di tempo t si avr lo sviluppo di una f.e.m.a.i. di valore medio pari a:

Moltiplicando ambo i membri per ( Imt ) si ottiene:

dove facile riconoscere per W le dimensioni di una energia corrispondente all'area del trapezio tratteggiato di figura. Il significato di questa energia quello di "erogata" dal generatore ed "immagazzinata" nel campo magnetico che risulta concatenato col circuito. Se anzich considerare l'intervallo di tempo t consideriamo l'intero intervallo 0 [s] T [s] avremo che l'energia diverr pari all'area del triangolo ( O, , N ) ovvero:

L'energia immagazzinata in un campo magnetico si pu pure esprimere nella forma di densit d'energia. Immaginando che nel volume Vol [m3] siano costanti in ogni suo punto il campo magnetico e la permeabilit magnetica, dalle I = Hl , = BS si avr :

Tensione magnetica, legge della circuitazione magnetica

Si consideri una linea di campo magnetico e si individuino diversi tratti l per ciascuno dei quali si possano ritenere costanti la permeabilit magnetica, il campo magnetico e, quindi, l'induzione magnetica.

Per ciascuno di questi tratti, il prodotto Hl [A] viene chiamato tensione magnetica (per analogia col caso elettrostatico, ove il prodotto del campo elettrico per la lunghezza fornisce una tensione elettrica). Se si desidera la tensione magnetica tra i punti M e K si dovr considerare:

(Hl)MH = H1l1 + H2l2 + H3l3

La legge della circuitazione (nota anche come legge di Ampere) dice che se si estende la sommatoria all'intera linea chiusa di campo magnetico si ha :

H1l1 + H2l2 + H3l3 + . . . = NI

dove N rappresenta il numero di volte per il quale la linea di campo magnetico di concatena col circuito percorso dalla corrente di intensit I .

Se la stessa linea di forza concatenata con pi circuiti elettrici si avr :

H1l1 + H2l2 + H3l3 + . . . = NaIa NbIb NcIc . . .

dove a , b , c , . . . sono i vari circuiti concatenati con la stessa linea di forza. I vari termini NI [A] si chiamano forze magnetomotrici (per analogia con le forze elettromotrici dei circuiti elettrici). Le forze magnetomotrici si assumono positive se favoriscono un campo magnetico concorde col verso della linea chiusa, altrimenti si considerano negative.

Circuiti magnetici, legge di Hopkinson

Si chiama tubo di flusso del vettore induzione magnetica lo spazio tubolare racchiuso dalla superficie descritta dalle linee di forza passanti per i punti di una qualsiasi linea chiusa tracciata nel campo.

Si definisce circuito magnetico una qualunque regione dello spazio costituita da un tubo di flusso del vettore induzione magnetica. Un tronco di circuito magnetico si dice omogeneo se in esso sono costanti la sezione, la permeabilit magnetica e l'induzione magnetica.

Considerando un circuito magnetico composto da k tronchi omogenei sui quali agiscono m avvolgimenti, la legge di Hopkinson afferma che:

dove:

chiamata riluttanza magnetica.

Nelle espressioni sopra scritte, con lj si intende la lunghezza del tronco generico j misurata in [m] e con Sj la sua sezione misurata in [m 2].

La legge di Hopkinson viene usata per il calcolo dei circuiti magnetici mediante il metodo delle riluttanze. Tale legge analoga formalmente alla legge di Ohm per i circuiti elettrici. L'analogia riveste notevole importanza in quanto si mantengono formalmente valide, con le opportune schematizzazioni, le leggi relative ai collegamenti delle resistenze elettriche ed i due principi di Kirchhoff con le seguenti corrispondenze:

intensit di corrente I [A] flusso [Wb]

densit di corrente [A/m2] campo magnetico B [Wb/m2]

f.e.m. Eo [V] forza magnetomotrice NI [A]

resistenza elettrica R [] riluttanza magnetica R [H-1]

caduta di tensione RI [V] caduta di tensione magnetica R = Hl [A]

d.d.p. VMN [V] tensione magnetica (Hl)MN [A]

resistivit elettrica [m] inverso della permeabilit magnetica, 1111 [H-1m]

Ad esempio, per il tronco omogeneo di sezione SAD riportato sopra, si pu scrivere l'analoga della legge di Ohm applicata ad un tronco di circuito:

(Hl)DA = + N1I1 - N2I2 + RAD

ove RAD = lAD / (SAD) [H-1]

Vale inoltre:

(Hl)DA = HlAD

oppure

(Hl)AD = -(Hl)DA =-HlAD

ove H = B / [A/m] e B = / SAD [Wb/m2].

Si osservi come i segni nelle equazioni scritte seguano le regole gi viste per gli analoghi circuiti elettrici.

La non linearit dei mezzi ferromagnetici

Nei materiali ferromagnetici accade che la funzione che lega l'induzione con il campo magnetico non rappresentabile con una retta, questo dovuto al fatto che la permeabilit magnetica varia al variare del campo magnetico.

Per curva di prima magnetizzazione si intende il diagramma che rappresenta l'induzione magnetica in funzione del campo magnetico per un materiale ferromagnetico vergine (cio mai precedentemente immerso in un campo magnetico). La curva formata da quattro tratti a caratteristiche diverse. Il tratto 0-1 tipico delle intensit di magnetizzazione piccole, per il quale la permeabilit aumenta partendo da un valore iniziale i . Il tratto 1-2 caratterizzato da una pendenza che pu essere anche molto elevata, nel quale la permeabilit raggiunge il valore massimo max . In tale tratto l'andamento della caratteristica pressoch rettilineo e, per tale motivo, chiamato tratto lineare; di solito proprio questa la zona di funzionamento prescelta per le pi importanti applicazioni elettrotecniche dei materiali ferromagnetici. Il tratto 2-3 , tipico delle intensit di magnetizzazione elevate, nel quale viene abbandonato l'andamento rettilineo e la permeabilit prende a diminuire. Per la sua forma, si parla di ginocchio della caratteristica. Infine il tratto a destra del punto 3 ove, pur aumentando moltissimo il campo, l'induzione si incrementa di pochissimo essendo l'andamento pressoch orizzontale. Si parla di tratto di saturazione e la permeabilit ha un valore costante pari alla permeabilit nel vuoto.

Il ciclo d'isteresi il diagramma che esprime la relazione tra il campo e l'induzione per un materiale ferromagnetico sottoposto a variazioni alternative del campo magnetizzante. Elementi caratteristici sono l'induzione di saturazione Bs, l'induzione residua Br , il campo coercitivo Hc. La forma del ciclo dipende dalle escursioni del campo magnetizzante, dalla natura del materiale e dalle lavorazioni cui esso stato sottoposto. L'area racchiusa proporzionale all'energia dissipata nel materiale ad ogni ciclo completato.

Caratteristiche dei pi comuni materiali ferromagnetici: tabelle

La tabella sottostante riporta la caratteristica di magnetizzazione dei pi comuni materiali ferromagnetici. La tabella seguita da un grafico che rappresenta gli stessi valori, sul grafico immediato cogliere la grande diversit di comportamento per i diversi materiali.

Permeabilit magnetica del vuoto o = 1,25710-6 [H/m]

Induzione [Wb/m2]

Ferro fucinato ed acciaio fuso

Ghisa Lamiere normali

Lamiere al silicio Lamiere a cristalli orientati

Campo [A/cm ]

Perm. relativa

Campo [A/cm ]

Perm. relativa

Campo [A/cm ]

Perm. relativa

Campo [A/cm ]

Perm. relativa

Campo [A/cm ]

Perm. relativa

0,1 0,7 1136 2 398 0,45 1768 0,8 994 0,2 0,9 1768 4,5 354 0,5 3182 1 1591 0,3 1 2387 8 298 0,6 3978 1,25 1909 0,4 1,2 2652 13 245 0,7 4546 1,45 2195 0,5 1,4 2841 20 199 0,9 4420 1,6 2486 0,6 1,7 2808 28 170 1,3 3672 1,8 2652 0,7 2,2 2531 40 139 1,7 3276 2 2784 0,8 2,7 2357 55 116 2,3 2767 2,5 2546 0,9 3,2 2237 80 89 3,3 2170 3,1 2310 1 4 1989 110 72 4,7 1693 4 1989 0,4 19887

1,1 5 1750 150 58 6,3 1389 5 1750 0,58 15088 1,2 6,2 1540 200 48 8 1193 7 1364 0,75 12729 1,3 8,5 1217 10,5 985 12 862 0,88 11752 1,4 12 928 13,5 825 23 484 1 11138 1,5 20 597 18 663 40 298 1,4 8524 1,6 35 364 31 411 75 168 4,5 2829 1,7 60 225 52 260 140 97 16 845 1,8 100 143 90 159 240 60 1,9 160 94 148 102 370 41 2 250 64 300 53 510 31

2,1 400 42 460 36 2,2 750 23 670 26 2,3 1300 14 920 20 2,4 2100 9 1200 16 2,5 3000 7 1500 13

Vediamo ora i dati caratteristici di alcuni materiali ferromagnetici dolci (adatti alla costruzione dei nuclei, ovvero dei circuiti magnetici, delle apparecchiature elettriche).

Materiale Nome commerciale

Permeabilit iniziale relativa

Permeabilit massima relativa

Induzione di saturazione

[T]

Campo di saturazione

[A/m]

Campo coercitivo

[A/m]

Punto Curie [C]

Ferro 10000 200000 2,15 - 4 770 Fe-Si (4% Si) laminato a caldo

500 7000 1,97 120000 40 690

Fe-Ni (50% Ni) Isoperm 50 90 100 1,6 - 480 500 Fe-Ni-Mo (79% Ni, 5% Mo)

Supermalloy 100000 1000000 0,79 800 0,2 400

Per ultimo esaminiamo i dati caratteristici di alcuni materiali ferromagnetici duri (adatti alla costruzione dei magneti permanenti).

Materiale Nome commerciale

Campo coercitivo [A/m]

Induzione residua [T]

Campo di saturazione [A/m]

Fe-C (1% C) Acciaio al carbonio

4000 1 20000

Fe-Co (35% Co) Acciaio al cobalto 20000 0,9 100000 Fe-Ni-Al-Co-Cu Alnico 40000 0,8 200000

Ferrite (Fe-Co) Vectolite 72000 0,16 360000 Fe-Ni-Al-Co-Cu Ticonal 51000 1,27 255000

Osservazione: lalnico ed il ticonal combinano gli stessi elementi chimici, ma in quantit percentuali diverse.

La risoluzione dei problemi diretti e dei problemi inversi

I problemi che praticamente si presentano nelle soluzioni dei circuiti magnetici sono essenzialmente due e precisamente:

1. assegnate le caratteristiche strutturali e geometriche del circuito ed il flusso che in esso si vuole ottenere, determinare il numero delle amperspire necessarie per avere il flusso richiesto ( problema diretto);

2. assegnato il numero delle amperspire e le caratteristiche geometriche e strutturali del circuito, determinare il flusso che vi si stabilisce ( problema inverso ).

Nel primo caso la soluzione di qualsiasi circuito magnetico si riconduce alla applicazione della legge della circuitazione ( metodo delle forze magnetomotrici parziali ) o della legge di Hopkinson ( metodo delle riluttanze ), in quanto la conoscenza delle caratteristiche geometriche e strutturali consente di determinare la riluttanza di qualunque tronco omogeneo del circuito.

Nel secondo caso la soluzione si presenta semplice solamente quando il circuito costituito da un sol tronco ( nel qual caso si ricava il campo dalla H = NI / l , si risale al valore di induzione B usando le caratteristiche o le tabelle di magnetizzazione, infine si calcola il flusso mediante = BS ).

Se il circuito si compone di pi tronchi accade che la non linearit della caratteristica di magnetizzazione rende impossibile prevedere il valore della permeabilit o del campo magnetico nelle diverse parti del circuito mediante l'applicazione diretta di equazioni risolutrici. Bisogna quindi procedere per tentativi applicando il seguente algoritmo:

a) si stabilisce il valore di accuratezza percentuale %%%% che si desidera soddisfare. Esso pu essere convenientemente espresso relativamente alla f.m.m. assegnata (NI)A ;

b) si assegna arbitrariamente l'induzione B in uno dei tronchi del circuito. E' bene scegliere per il primo tentativo un valore centrale fra quelli possibili tabulati sulle caratteristiche di magnetizzazione del mezzo ferromagnetico interessato;

c) si calcola quale f.m.m. (NI)C necessaria per sostenere tale induzione. Questa fase della risoluzione corrisponde ad un problema diretto, si pu risolvere indifferentemente col metodo delle riluttanze o col metodo delle forze magnetomotrici parziali;

d) si verifica se la condizione di accuratezza soddisfatta, ovvero si verifica se risulta essere:

0,010,010,010,01%%%%(NI)A (NI)C (NI)A+ 0,01 0,01 0,01 0,01%%%%(NI)A ;

e) se la condizione non soddisfatta, si assegna un nuovo valore B all'induzione decidendo opportunamente se esso deve essere superiore od inferiore al valore assegnato nel tentativo precedente, quindi si ripetono nell'ordine i passi c) , d) , e) . Se la condizione soddisfatta si procede al passo seguente;

f) si comunica che il valore di induzione B quello che soddisfa il problema.

Osservazione : molto spesso le caratteristiche di magnetizzazione sono note sotto forma tabellare. Questo significa che si conoscono solo alcune triple dei valori di induzione, campo, permeabilit. In tal caso, se si ha bisogno dei valori di una tripla non riportata sulla tabella consentito linearizzare le caratteristiche nell'intorno del punto K interessato. Ci equivale a sostituire la curva (che effettivamente rappresenta la caratteristica) con la retta passante per i due punti noti P , Q che stanno l'uno immediatamente prima e l'altro immediatamente dopo il punto interessato K:

Circuiti magnetici a pi maglie

La risoluzione dei circuiti magnetici relativamente semplice se i circuiti sono del tipo tutto serie (ovvero con i tronchi omogenei che si succedono l'uno all'altro cos che il flusso sia costante in tutte le sezioni del circuito).

Nel caso di circuiti formati da pi maglie, ovvero con tronchi percorsi da flussi anche tra di loro diversi, la risoluzione alquanto pi complessa. Capita infatti che anche nel caso di problemi del tipo diretto, a causa della non linearit del mezzo ferromagnetico non si possa prevedere il flusso nei vari rami e, quindi, si debba procedere per tentavi. Solo la presenza di simmetrie nel circuito pu, in certi casi, semplificare la risoluzione permettendo il calcolo diretto dei flussi nei vari rami.

Forza portante di un elettromagnete

Gli elettromagneti sono dispositivi di largo impiego nella tecnica odierna (comandi, controlli automatici, ecc.). Essi constano di un nucleo ferromagnetico, costituito da una parte fissa e da una mobile (detta ancora), e di uno o pi avvolgimenti (detti di eccitazione).

Quando negli avvolgimenti di eccitazione circola una corrente, accade che l'ancora viene attratta perch si magnetizza per induzione.

La forza di attrazione per ciascun polo cos determinabile:

assumiamo che, grazie ad una forza esterna Fe , l'ancora subisca uno spostamento virtuale dx (ovvero talmente piccolo da non modificare i valori di induzione, campo e permeabilit nel traferro). La forza esterna compir un lavoro dl = Fedx . A causa dello spostamento dx sar pure aumentato il volume del traferro di una quantit dv = Adx dove A la sezione del tubo di flusso in aria. Tenendo conto che la densit di energia vale:

avremo un aumento di energia nel traferro compreso tra polo ed ancora pari a:

che per il principio di conservazione dell'energia dovr eguagliare il lavoro compiuto dalla forza esterna dl = dw ovvero:

da cui:

Il fatto che per allontanare l'ancora sia necessaria una forza esterna di intensit Fe indica che l'ancora stessa attratta verso l'elettromagnete da una forza di uguale intensit. Quindi la forza di attrazione per ciascun polo dell'elettromagnete F avr la stessa espressione di Fe sopra calcolata.

Passando alle due forme costruttive riportate sopra, indicando con I la corrente di eccitazione dell'elettromagnete, per l'elettromagnete di sinistra, trascurando le cadute di tensione magnetica nel ferro rispetto a quelle nel traferro si ha:

Sostituendo nell'espressione della forza si ha:

Per l'elettromagnete di destra, sempre trascurando le cadute di tensione magnetica nel ferro rispetto a quelle nel traferro si ha:

Sostituendo nell'espressione della forza si ha:

Si osservi che l'ancora, essendo un organo mobile, introduce una variabilit nel valore del traferro cos che la forza di attrazione ad ancora staccata risulta di valore notevolmente inferiore di quella ad ancora attaccata (forza portante dell'elettromagnete). Infatti, a parit di corrente d'eccitazione, un raddoppio del traferro comporta la riduzione di quattro volte della forza di attrazione.

Perdite di potenza nei materiali ferromagnetici

Si manifestano quando il materiale attraversato da un flusso di induzione di campo magnetico variabile nel tempo, oppure quando il materiale in movimento rispetto alle linee di campo magnetico venendo cos tagliato dalle linee stesse. Si considerano due diversi tipi di perdite:

a) perdite per isteresi, causate da fenomeni d'attrito nella struttura cristallina del materiale ferromagnetico. Se il flusso varia ciclicamente con frequenza pari ad f [Hz], le perdite per isteresi in ciascun [Kg] peso valgono:

Pis = Kis f BM

[W/Kg]

dove Kis una costante che dipende dalla natura del materiale ferromagnetico, BM il valore massimo dell'induzione elettromagnetica, l'esponente vale 1,6 se BM < 1 [Wb/m2] , 2 se BM 1 [Wb/m2] .

b) perdite per correnti parassite (o di Foucault), causate dalle correnti parassite che si instaurano nel materiale essendo questo conduttore. Tali correnti parassite sono sostenute dalle f.e.m. indotte nel materiale ferromagnetico tagliato dal flusso di induzione variabile. Se il flusso varia ciclicamente con frequenza pari ad f [Hz] , le perdite per correnti parassite in ciascun [Kg] peso valgono:

Pcp = Kcp (Kf f BM)2 [W/Kg]

dove Kcp una costante che dipende dalla natura del materiale ferromagnetico e dallo spessore dei singoli lamierini nel caso di nuclei a lamierini, Kf il fattore di forma dell'onda di variazione del flusso nel tempo (esso vale 1,111 nel caso di variazioni perfettamente sinusoidali).

Quasi sempre le due perdite vengono riassunte in un'unica perdita, si parla cos di perdita complessiva nel ferro. I costruttori di materiali ferromagnetici forniscono ai loro clienti un dato tecnico molto importante, noto come cifra specifica di perdita cp . La cifra specifica di perdita per un dato materiale ferromagnetico rappresenta le perdite complessive nel ferro riferite ad 1 [Kg] di materiale, con una frequenza di 50 [Hz] , una forma d'onda sinusoidale ed una induzione massima di 1 [Wb / m2]. Nota la cifra specifica di perdita, con l'espressione empirica:

possibile determinare le perdite nel ferro nel caso in cui si abbia una induzione massima pari a BM [Wb/ m2], una frequenza pari ad f [Hz] ed un peso del ferro pari a G [Kg].

Significato delle unit di misura nel magnetismo

Nelle applicazioni tecniche particolarmente importante saper valutare quantitativamente i valori assunti dalle varie grandezze fisiche interessate, solo cos possibile rendersi conto di eventuali grossolani errori di calcolo. Inoltre altrettanto importante conoscere il significato fisico delle unit di misura delle grandezze fisiche, cos da tenere sotto controllo la correttezza delle trasformazioni cui si sottopongono le numerose equazioni necessarie alla risoluzione dei problemi.

Particolarmente importante il weber [Wb] , unit di misura del flusso. Infatti la gran parte delle macchine elettriche basa il proprio funzionamento sulla legge generale dell'induzione elettromagnetica. Si definisce 1 weber la quantit di flusso che, variando in un secondo, produce nel circuito concatenato una f.e.m. pari ad 1 volt :

1[Wb] = 1[V] 1[s]

I valori che pu assumere il flusso variano dai milliweber a pochi weber, secondo la potenza ed il tipo di macchina interessata.

In diretta relazione col flusso abbiamo l'induzione magnetica la cui unit di misura il tesla (oppure il weber / metroquadro). Si definisce 1 tesla l'induzione prodotta dal flusso di 1 weber attraverso una sezione di 1 metroquadro :

1[T] = 1[Wb] / 1[m2]

I valori che pu assumere l'induzione variano da qualche decimo a poco meno di 2 tesla, secondo la potenza ed il tipo di macchina interessata.

Il flusso autoconcatenato con un circuito dipende dal coefficiente di autoinduzione (induttanza elettrica) del circuito stesso la cui unit di misura l' henry. Si definisce 1 henry l'induttanza di quel circuito che, se percorso da una corrente di intensit 1 ampere, determina 1 weber di flusso autoconcatenato :

I valori che pu assumere l'induttanza di un circuito variano dai millihenry a qualche henry, secondo la forma del circuito ed il mezzo materiale nel quale esso immerso.

L'induzione magnetica in un determinato mezzo viene determinata dalla presenza nel mezzo di un campo magnetico H . A sua volta il campo magnetico quasi sempre originato da una corrente circolante in un avvolgimento e, come facile dedurre dalla legge di Biot-Savart, si misura in ampere / metro . Si definisce 1 ampere / metro quel campo magnetico che produce nel vuoto una induzione pari a 4pipipipi10-7 = 1,25710-6 tesla.

I valori di campo magnetico internamente alle macchine elettriche possono variare da qualche ampere / metro a qualche centinaia di migliaia di ampere / metro.

Il valore dell'induzione, oltre che dall'intensit di campo magnetico, dipende anche dalla permeabilit magnetica assoluta del mezzo la cui unit di misura :

Il valore di varia da o = 1,25710-6 [H / m] a qualche decina di migliaia di o , secondo il tipo di mezzo.

Per finire giustifichiamo l'unit di misura della riluttanza magnetica :

Transitorio elettrico nei circuiti ohmico-induttivi

Consideriamo il circuito di figura. E' evidente che, con l'interruttore nella posizione 0, la corrente nulla e, quindi, saranno pure nulle le cadute di tensione ai capi della resistenza e dell'induttanza; tutto questo si riassume dicendo che le condizioni iniziali nel sistema sono nulle, ovvero i(0-) = 0 , avendo assunto quale istante iniziale del transitorio l'istante del passaggio dell'interruttore dalla posizione 0 alla posizione 1. La corrente i(t) nel circuito non pu tuttavia assumere istantaneamente il valore finito i() = Ir = Vo / R che essa avr a regime, infatti, se cos fosse, si dovrebbe presumere che il generatore abbia potenza infinita visto che trasferirebbe al campo elettromagnetico l'energia 0,5LIr2 in un tempo nullo, il che un assurdo fisico. In effetti la corrente passa da zero al valore di regime in un tempo teoricamente infinito, seguendo una legge di variazione

esponenziale e determinando cos un transitorio. Quello che accade che il passaggio della corrente durante il transitorio provoca un aumento di flusso autoconcatenato con un conseguente sviluppo di forza elettromotrice autoindotta e(t) che, dovendosi opporre all'aumento di flusso concatenato, dovr necessariamente essere contraria alla forza elettromotrice del generatore. Tale f.e.m.a.i. sar massima, e pari a -Vo , nell'istante iniziale essendo in tale istante massima la variazione di corrente. Quindi, col trascorrere del transitorio, si ridurr con legge esponenziale essendo la variazione dell'intensit di corrente nel tempo (e quindi del flusso concatenato) sempre pi piccola. A regime raggiunto (teoricamente dopo un tempo infinito, praticamente dopo un tempo pari a 5 ) sar nulla la caduta di tensione ai capi dell'induttanza mentre sar massima, e pari a Vo , la caduta sulla resistenza. Si pu quindi dire che un'induttanza, in un circuito sollecitato da generatori di tensione costante e continua, si comporta a regime come un semplice cortocircuito. In effetti, a regime, la corrente nel circuito si mantiene rigorosamente costante e, con essa, rimane costante il flusso autoconcatenato. Non vi sar, quindi, nessun fenomeno di induzione di forza elettromotrice.

Se, dopo aver raggiunto la condizione di regime, si porta istantaneamente l'interruttore dalla posizione 1 alla posizione 2 , accade che tutta l'energia precedentemente immagazzinata nel campo elettromagnetico verr riceduta al circuito e dissipata sotto forma di calore nella resistenza R . Ancora una volta il processo non pu essere istantaneo, in quanto assurdo pensare ad una trasformazione d'energia a potenza infinita. Il tutto avviene seguendo la solita legge esponenziale. In particolare la corrente diminuir dal valore iniziale Ir a zero circolando con lo stesso precedente verso.

Nel caso in cui l'interruttore venga portato dalla posizione 1 alla posizione 0 accade che il circuito risulta metallicamente interrotto. La corrente, e quindi il campo elettromagnetico con la relativa energia immagazzinata, si dovr quindi annullare. Siccome il processo, per il solito motivo, non pu avvenire istantaneamente, la corrente si annuller gradualmente. Dal momento che il circuito metallico interrotto, si creer tra i due elettrodi dell'interruttore un arco elettrico (tratto di circuito ove il conduttore costituito da gas ionizzato) che permetter il passaggio della corrente di estinzione dell'energia immagazzinata dal campo elettromagnetico e che si estinguer con l'estinguersi dell'energia. L'arco elettrico introduce una ulteriore resistenza (di tipo non ohmico) nel circuito, cos che il tempo di estinzione della corrente sar diverso che nel caso precedente ed anche la legge di estinzione non sar pi strettamente esponenziale.

Si ricorda che la lettera e che compare nella espressione esponenziale la base dei logaritmi naturali, ovvero il numero 2,718...

In qualsiasi processo regolato da una legge esponenziale, la costante di tempo rappresenta il tempo necessario al completamento del processo nel caso in cui lo stesso avvenga ad una velocit costante e pari a quella dell'istante iniziale. Detto in altre parole, la tangente nell'origine alla curva esponenziale interseca l'orizzontale di ordinata pari al valore a regime in corrispondenza dell'ascissa pari alla costante di tempo.

Reti elettriche in corrente continua e corrente alternata Indice dei contenuti:

1. Introduzione, bipoli fondamentali 2. Principali grandezze elettriche 3. Leggi e principi fondamentali 4. Resistivit e coefficiente di temperatura di alcuni materiali: tabella 5. Risoluzione delle reti mediante i principi di Kirchhoff 6. Risoluzione delle reti mediante il metodo di Maxwell

7. Teorema del generatore equivalente di Thevenin 8. Teorema del generatore equivalente di Norton 9. Principio di sovrapposizione degli effetti 10. Principio di Millman 11. Caratteristica esterna e rendimento dei generatori, teorema della massima potenza trasferita 12. Esercizio 1, circuito in corrente continua 13. Esercizio 2, circuito in corrente continua 14. Esercizio 3, circuito in corrente continua 15. Esercizio 4, circuito in corrente continua 16. Esercizio 5, circuito in corrente continua 17. Grandezze alternate sinusoidali 18. Grandezze alternate sinusoidali e vettori ruotanti 19. Forme rappresentative per i numeri complessi, operazioni 20. Significato fisico del valore efficace 21. Circuito puramente resistivo in regime sinusoidale, potenza attiva 22. Circuito puramente induttivo in regime sinusoidale, reattanza induttiva 23. Circuito puramente capacitivo in regime sinusoidale, reattanza capacitiva 24. Complementi matematici 25. Potenza elettrica associata ad una corrente in quadratura con la tensione, potenza reattiva 26. Impedenza elettrica, triangolo delle potenze 27. Ammettenza elettrica 28. Criterio di Kennelly-Steinmetz 29. Esercizio 6, circuito in corrente alternata 30. Teorema di Boucherot 31. Linee semplici monofase, rifasamento 32. Risonanza

Introduzione, bipoli fondamentali

Ancor prima di passare in rassegna le grandezze fisiche e le leggi che caratterizzano i sistemi elettrici, cerchiamo di capire il significato di circuito elettrico facendo riferimento ad un caso semplice. Consideriamo una "torcia elettrica", essa contiene un circuito elettrico che comprende alcuni dei fondamentali dispositivi che costituiscono i sistemi elettrici. Pi precisamente troviamo:

a. un generatore elettrico, nella fattispecie una pila chimica; b. un utilizzatore (detto anche carico), nella fattispecie una lampada ad incandescenza; c. un dispositivo di comando, nella fattispecie un interruttore; d. dei fili di materiale metallico conduttore (rame) per il collegamento elettrico dei dispositivi.

Il sistema elettrico appena descritto si pu riassumere con un circuito equivalente che ne rappresenta il modello:

Con Vo indicato il generatore (pi precisamente la sua forza elettromotrice), con K indicato l'interruttore e con Lp indicata la lampada ad incandescenza. I conduttori di collegamento sono rappresentati mediante delle linee continue e senza alcuna indicazione letterale, questo perch nella trattazione semplice che stiamo facendo li supponiamo ideali (ovvero capaci di condurre la corrente elettrica senza che questa incontri alcuna resistenza al suo avanzamento). Quando l'interruttore aperto (come in figura) il circuito interrotto e si dice che il sistema a riposo. Quando l'interruttore chiuso si dice che il sistema attivo ed questa la condizione che ci interessa discutere. Il generatore separa al suo interno la carica elettrica positiva da quella negativa, concentrando la prima sul suo polo positivo e la seconda sul suo polo negativo. Siccome le cariche di uguale segno tendono naturalmente a respingersi, il generatore obbligato a compiere un lavoro e quindi necessita di energia (nel nostro caso energia chimica, che col trascorrere del tempo tender ovviamente ad esaurirsi), a lavoro compiuto (cio a cariche separate) tale energia si sar tramutata in energia potenziale elettrica posseduta dalle cariche accumulate ai poli. Le cariche accumulate sui poli tenderanno a ricombinarsi attraverso il circuito esterno al generatore visto che l'interruttore chiuso, quindi considerando che il conduttore metallico permette il solo passaggio degli elettroni (cariche negative), avremo un flusso ordinato di cariche negative (elettroni) che circoleranno in senso antiorario nel circuito costituendo cos la corrente elettrica. E' tuttavia bene introdurre fin da ora una importante convenzione adottata nei sistemi elettrici: la corrente elettrica definita come un flusso ordinato di carica elettrica positiva, quindi, anche se in realt a spostarsi sono gli elettroni (carica negativa), si ragioner sempre e soltanto sulla carica positiva. Allo scopo basta applicare un piccolo artificio che consiste nel considerare, invece del flusso di elettroni, un flusso uguale ma opposto di carica elettrica positiva. Adottando tale convenzione diremo che la carica accumulata sul polo positivo del generatore circola in senso orario nel circuito per ricombinarsi con la carica negativa che si trova sul polo opposto e cos facendo sostiene la corrente elettrica I. La carica elettrica attraverser l'utilizzatore Lp e nell'attraversamento perder l'energia elettrica potenziale che si trasformer in altra forma, nel nostro caso in calore che porter all'incandescenza il filamento della lampadina determinando quindi l'emissione di radiazione luminosa. Una volta che la carica positiva avr raggiunto, grazie al circuito esterno, il polo negativo del generatore, il generatore stesso provveder a ricondurla al polo positivo fornendole nuova energia potenziale elettrica e consumando nel compiere tale lavoro una parte dell'energia chimica posseduta. Quanto descritto continuer nel tempo fin tanto che non verr riaperto l'interruttore oppure fin tanto che non si sar esaurita l'energia chimica posseduta dal generatore (pila chimica). Vi una stretta relazione tra la quantit di carica elettrica che si muove nel circuito, la forza elettromotrice del generatore ed il lavoro compiuto (sia quello speso nel generatore che quello utile eseguito nell'utilizzatore), pi

precisamente la forza elettromotrice del generatore rappresenta il lavoro che pu compiere un coulomb di carica elettrica separata sui suoi poli.

Quanto finora esposto ha inteso descrivere sommariamente l'organizzazione e lo scopo di un semplice circuito elettrico, quanto seguir permetter di analizzare anche quantitativamente il comportamento di circuiti comunque complessi.

Con rete elettrica si intende un qualsiasi circuito, comunque complesso, formato da generatori (nei quali l'energia di qualsiasi forma viene trasformata in elettrica) ed utilizzatori (nei quali l'energia elettrica viene trasformata in altra forma).

Nei circuiti elettrici si distinguono i nodi e le maglie. Per nodo si intende ogni punto in cui concorrono almeno tre lati o rami indipendenti, mentre una maglia un circuito chiuso che si ottiene partendo da un nodo della rete e ritornando allo stesso dopo aver percorso i rami della maglia una sola volta in un senso arbitrario prefissato.

Una rete elettrica si dice lineare se costituita soltanto da componenti lineari. Sono tali quei componenti i cui parametri caratteristici non dipendono dai valori di tensione e corrente che li interessano.

Una rete elettrica si dice invariante se i suoi componenti hanno parametri caratteristici costanti nel tempo.

Una rete elettrica si dice funzionante a regime (o in condizioni stazionarie) se si trova nel tempo sufficientemente lontana rispetto all'istante nel quale si sia applicata ad essa l'ultima sollecitazione, ovvero se si esaurito qualsiasi fenomeno transitorio.

Noi studieremo reti elettriche comprendenti i seguenti cinque componenti bipolari:

regolati dalle seguenti note leggi:

generatore ideale di tensione:

v(t) = vo(t) [V]

generatore ideale di corrente:

i(t) = io(t) [A]

resistore ideale:

v(t) = R i(t) [V] , R [] la resistenza elettrica

condensatore ideale:

induttore ideale:

dove con dv , di , dt si intendono variazioni infinitesime ( od almeno talmente piccole da poterle ritenere infinitesimali) della tensione, della corrente e del tempo, mentre con v(t) , i(t) si intendono i valori istantanei della tensione e della corrente.

I parametri dei componenti passivi sono rispettivamente R (resistenza), C (capacit), L (induttanzanza) invarianti nel tempo.

I parametri dei componenti attivi (generatori) sono la forza elettromotrice vo(t) per il generatore ideale di tensione, la corrente impressa io(t) per il generatore ideale di corrente. Nelle reti che noi considereremo, la forza elettromotrice e la corrente impressa potranno essere soltanto o costanti nel tempo (reti in corrente continua) o variabili sinusoidalmente nel tempo (reti in corrente alternata).

Lo studio delle reti elettriche che noi condurremo, oltre a rispondere ai requisiti sopra esposti, presuppone che le reti medesime siano del tipo a parametri concentrati, ovvero si dovranno considerare i valori di resistenza, capacit ed induttanza concentrati in punti particolari della rete ed interconnessi mediante conduttori ideali.

Lo studio delle reti importantissimo sia in ambito elettronico che elettrotecnico, per quest'ultimo tipo di applicazioni, in particolare, esso permette l'analisi dei modelli dei sistemi di distribuzione dell'energia elettrica e dei modelli delle macchine elettriche.

Principali grandezze elettriche

Carica elettrica : la quantit di elettricit positiva o negativa di un corpo, essa sempre un multiplo intero della carica elementare (quanto elementare pari alla carica di un elettrone). L'unit di misura della quantit di carica elettrica il coulomb. 1 [C] , a meno del segno, la carica posseduta da 6,2421018 elettroni. Nello studio delle reti che noi faremo, trascureremo la natura corpuscolare della carica elettrica ed immagineremo che tale grandezza fisica vari con continuit.

Intensit di corrente : il rapporto tra la quantit di carica elettrica che attraversa la sezione di un conduttore ed il tempo impiegato per tale attraversamento. Se il tempo impiegato ha valore finito si parla di intensit media:

[A]

se il tempo impiegato ha valore infinitesimo si parla di intensit istantanea:

[A]

Si dice che l'intensit di corrente vale 1 [A] se nel tempo di 1 [s] la sezione del conduttore attraversata da 1 [C] di carica elettrica.

Per convenzione, si assume quale verso di riferimento della corrente quello relativo al movimento di carica positiva, anche se nella maggior parte dei conduttori le cariche libere il cui flusso costituisce corrente sono elettroni (cariche negative).

Corrente impressa : l'intensit di corrente che un generatore ideale di corrente imprime nel ramo ove esso si trova inserito.

Differenza di potenziale (tensione elettrica) : si intende sempre valutata tra due punti, ad esempio A e B , si indica con VAB [V] ed espressa dal rapporto tra il lavoro W [J] necessario per trasferire la carica positiva Q [C] dal punto A al punto B e la carica stessa:

[V]

Si considera positiva se, nel passare da A a B, la carica positiva compie lavoro cedendo all'esterno parte della propria energia potenziale elettrica che si trasformer in altra forma, si considera negativa se dall'esterno che si deve compiere lavoro aumentando cos l'energia potenziale elettrica della carica. L'unit di misura della differenza di potenziale il volt. Si dice che tra due punti vi la d.d.p. di 1 [V] se lo spostamento di 1 [C] di carica tra essi comporta un lavoro di 1 [Joule].

Potenziale : si intende sempre valutato in un punto, ad esempio A , si indica con VA [V], e rappresenta la d.d.p. tra il punto considerato ed un punto di riferimento ( chiamato punto di massa ) al quale si assegna il valore nullo di potenziale. Il potenziale legato alla differenza di potenziale dalla seguente relazione VAB = VA - VB [V].

Caduta di tensione : la d.d.p. valutata ai capi di un utilizzatore o di un generico dispositivo passivo. Rappresenta il lavoro compiuto da un coulomb di carica elettrica che attraversi l'utilizzatore.

Forza elettromotrice : la d.d.p. che un generatore ideale di tensione impone tra i due punti attraverso i quali esso inserito nella rete. Rappresenta l'energia potenziale elettrica posseduta da un coulomb di