Appunti corso di Elettrotecnica

7/25/2019 Appunti corso di Elettrotecnica

1/41

Introduzione ai circuiti

Appunti corso di Elettrotecnica

Ingegneria Informatica

Prof. Giovanni Petrone

Dip. Ingegneria dellInformazione, Ingegneria Elettrica e Matematica Applicata(D.I.E.M.)

Universita degli Studi di Salerno - Italy

Anno Accademico 2015-2016

Universita degli studi di Salerno -G.Petrone - [email protected] Appunti corso di Elettrotecnica Ingegneria Informatica


2/41


LElettrotecnica e la disciplina ingegneristica che studia, attraverso opportunimodelli, il comportamento elettrico di oggetti fisici reali. E possibilerappresentare un oggetto fisico, anche molto complesso, mediante uno o piuelementi idealizzati detti componenti.

Unarete elettrica o un circuito elettrico e una struttura piu o menoarticolata ottenuta dallinterconnessione di piu componenti che consente didescrivere in maniera rigorosa linsieme di quei fenomeni (macroscopici) checoinvolgono le cariche elettriche e le loro interazioni allinterno delloggetto reale.



3/41


Componenti

Un componente e un sistema, sede di fenomeni elettromagnetici, caratterizzato da:

unasuperficie limite che lo racchiude (linvolucro protettivo);N terminali o morsetti che consentono il collegamento con altri componenti.

Classificazione dei componenti

Nel caso in cui il numero di morsetti siano N si parladiN-poliNel caso di componenti aduemorsetti si parla dibipoli.Ad ogni componente e associato uno schemacircuitale che consente di riconoscerne la funzionalita.



4/41


Limiti di validita del circuito a parametri concentrati

Un oggetto fisico puo essere rappresentato mediante un circuito elettrico a parametri concentrati se lesue dimensioni (ci si puo riferire alla dimensione massima L) risultano significativamente minori dellalunghezza donda (), questultima dipende dalla frequenza (f) di funzionamento del sistema secondo larelazione = c/f.

In un circuito a parametri concentrati, i tempi di propagazione dei segnali sono trascurabili e, quindi, ledimensioni fisiche dei collegamenti e dei componenti sono ininfluenti.

I circuiti elettrici sono detti a costanti distribuite quando i principali fenomeni elettrici non possonoessere confinati in volumi di spazio ben definiti, ovvero quando il segnale impiega un tempo nontrascurabile (rispetto al periodo del segnale) per propagarsi allinterno del circuito stesso. In tal caso ledimensioni fisiche delloggetto condizionano il comportamento elettrico (piu precisamente ilcomportamento elettromagnetico) del sistema.

L


5/41


PROPRIETA DELLA MATERIA: La carica elettrica

La carica elettrica e una caratteristica intrinseca delle particelle fondamentaliche costituiscono la materia.

La carica si presenta sotto due specie, indicate come carica positiva (+)associata ai protoni ecarica negativa (-), associata agli elettroni di un atomo.

Lunita di misura della carica e il Coulomb (C).

La piu piccola quantita di carica e quella dellelettrone:

Carica elettrone = q= 1.6 1019C

Legge di Coulomb

La forza di interazione tra due cariche elettriche (q1,q2) fisse e puntiformi, poste nelvuoto a distanza r, e data dalla relazione:

F = 140

q1

q2r2i

dove 0 e la costante dielettrica del vuoto.F e un vettore la cui direzione e la retta passante per q1 q2 mentre il verso dipendedal segno delle cariche. Cariche uguali si respingono, cariche opposte si attraggono.


I d


6/41


GRANDEZZE DI INTERESSE

Nello studio di un circuito elettrico siamo interessati a determinare due grandezzeprincipali:

Corrente elettrica Tensione elettrica

Lacorrente elettricadescrive il motodelle cariche elettricheLatensione elettricadescrive il lavorofatto per trasportare le cariche da unaposizione ad unaltra allinterno del circuito.

Risoluzione di un circuito

La caratterizzazione completa di un circuito richiede la conoscenza delle correnti edelle tensioni di tutti i componenti della rete.


I d i i i i i


7/41


Che cose la corrente elettrica

Si definisce intensita di corrente elettrica la quantita di carica netta che attraversala superficie orientata S nellunita di tempo:

!

!

!

!

!

!

i(t) = dq(t)

dt |S

Definizione vettore densita di corrente

Lacarica nettarisulta essere la somma delle cariche positive che si muovono in versoconcorde alla normale a S e delle cariche negative che si muovono in verso opposto.La distribuzione della corrente elettrica sulla superficie S e definito vettoredensita di

correnteJ . La corrente iSche attraversa la superficie S puo essere quindi calcolatacome il flusso del vettore J :

iS =

S

J ndS

dove n e il vettore normale alla superficie S.


I t d i e i i iti


8/41


Legge di conservazione della carica

La carica elettrica contenuta in un volume , delimitato da una superficie chiusa

obbedisce alla seguente legge di conservazione:

" J ndS=

t

dv=

Q

t

dove e la densita di carica spaziale.

Dalle espressioni precedenti si deduce che:

La carica non puo essere ne generata, ne distrutta, ma solo trasferita.In condizioni stazionarie la carica totale allinterno di una superficie chiusa rimanecostante.In condizioni stazionarie il flusso della corrente attraverso una superficie chiusa e nullo:

i =" J ndS= 0

La precedente relazione puo essere considerata valida anche in regime di

funzionamentolentamente variabile, dove il contributo Qt

e trascurabile.




9/41


Definizione del verso della corrente

In un componente il valore della corrente ha senso solo se ad essa e associato unriferimento che ne indica il verso. La corrente e una grandezzascalare il cui segnodipende dal riferimento adottato.Il verso della corrente viene rappresentata attraverso una freccia sovrapposta alcomponente; si dice in tal caso che si e sceltoun riferimento per la misura dellacorrente

OsservazioneIl verso scelto per la corrente indica il verso di un moto di cariche positive.

Scelta del riferimento di corrente

!

iAB

" #

iBA

!

" # iAB =

iBA




10/41


Unita di misura della corrente elettrica

NelSistema Internazionale [SI] lintensita dicorrente si misura inAmpere [A]:

1 Ampere = 1 Coulomb1 Secondo

Nellambito applicativo si incontrano correnti chevanno dalle migliaia di ampere ai pico ampere.

Table: Multipli e

sottomultipli

kA 103 mA 103MA 106 A 106

GA 109 nA 109

TA 1012 pA 1012




11/41


Campo elettrico

Il rapporto tra la forza agente sulla carica qe la carica stessa e un vettore che prende

il nome di campo elettrico:

E =F

q

dove F e la forza agente su q prodotta da una qualsiasi distribuzione statica di caricheelettriche.

Nel vuoto o in presenza di mezzi lineari la sovrapposizione degli effetti consente dicalcolare Fapplicando ripetutamente la legge di Coulomb tra le cariche qi e la carica

q:

F =

n

i=1

1

40

qi q

r2i E =

n

i=1

1

40

qi

r2i

Nel Sistema Internazionale il campo elettrico si misura in Volt/metro:

Volt

metro =

Newton

Coulomb




12/41


Lavoro e tensione elettrica

Per muovere una carica elettricaqda un punto ad un altro e necessario effettuareun lavoro ovvero spendere energia.

vAB

! "

W =

AB

F dl! #

In generale, il lavorodipende dal percorso .

Tensione elettrica

Si definiscetensione elettricatra un punto iniziale (A) e un punto finale (B) lungo la

linea orientata , il rapporto tra il lavoro fatto per spostare la carica qe la caricastessa:

vAB| = W

q =

F

q dl =

E dl




13/41

Unita di misura della tensione elettrica

NelSistema Internazionale [SI] la tensione simisura inVolt [V]:

1 Volt = 1 Joule

1 Coulomb

Nellambito applicativo si incontrano tensioniche vanno dalle migliaia di volt ai pico volt.

Table: Multipli e

sottomultipli

kV 103 mV 103

MV 106 V 106

GV 109 nV 109

TV 1012 pV 1012

A Cosa serve il Riferimento di tensione ?

La tensione e una grandezzascalare il cui segno dipende dal riferimento adottato.Per esprimere senza ambiguita il valore di una tensione occorre indicare il punto diinizio e quello di fine della linea lungo la quale si calcola lintegrale. Il segno positivoche si utilizza per indicare la tensione e il punto di origine dellintegrale.

vAB

! "

vBA

! "

vAB = vBA

! # # !




14/41

Legge di Faraday-Neumann

Il lavoro compiuto dal campo elettrico per spostare una carica unitaria lungo una lineachiusa (orientata), e detto circuitazione del campo elettrico ()e rispetta la leggedi Faraday-Neumann:

=

E dl=

t

dove e il flusso del campo magnetico Bconcatenato con la linea chiusa

=

S

Bn dS

S e una qualsiasi superficie aperta che ha come orlo la linea ed n e il verso dellanormale alla superficie S scelto concordemente con il verso di percorrenza di secondo la regola della mano destra.

In condizioni stazionarie la variazione del potenziale su un percorso chiuso () e nulla.

La stessa condizione e valida in modo approssimato in regime di funzionamento

lentamente variabile dove risulta trascurabile il contributo t

.

=

E dl = 0




15/41

Tensione elettrica e differenza di potenziale

Quando il valore della tensionenon dipende dalla linea orientata, ma solo dai punti Ae B, essa si puo esprimere come differenza tra il valore di una funzione, dettapotenziale elettrico, in A e quello in B:

vAB| =vAB|1 =

BA

E dl= A B

Nello studio dei circuiti a parametri concentrati (in cui si assume un regime difunzionamento lentamente variabile) si dimostra facilmente che la tensione vAB non

dipende dal percorso scelto:

0 =

E dl=

BA

E dl+

AB

E dl=vAB| vAB|1 = 0

vAB

! "

1

" #

Dove = U1 e una curva chiusa.




16/41

Proprieta dei bipoli

Il bipolo ideale dunque gode delle seguenti proprieta:

La corrente entrante in un morsetto e sempre uguale a quella uscente dallaltromorsetto (dalla legge di Conservazione della carica):

iA =iB

sara pertanto sufficiente indicarne una sola

La tensione fra i due morsetti e sempre esprimibile come differenza tra ipotenziali dei due morsetti (dalla legge di Faraday-Neumann):

vAB = A B

iA

! "

vAB

iB

" #




17/41

Potenza Elettrica ed EnergiaTensione e corrente sono le due variabili fondamentali di un circuito elettrico, tuttaviaper molti casi applicativi risulta di fondamentale importanza sapere quale la potenzaelettrica assorbita o generata da un componente nonche lenergia che esso consuma inun certo intervallo di tempo. Il legame tra le grandezze elettriche (tensione e corrente)e quelle fisiche (potenza ed energia) si ottiene facendo riferimento alla definizione dipotenza.

LaPotenza e la rapidita di assorbimento o di emissione di energia nel tempo:

P = W

t =

W

q

q

t =V I

Lunita di misura della potenza e il watt [W].




18/41

Convenzioni sui bipoli

Ai fini dellanalisi del funzionamento di un circuito elettrico i riferimenti per le tensioni

e per le correnti sono assolutamente arbitrari, tuttavia su ogni componente la sceltacongiunta del riferimento di corrente e del riferimento di tensione porta a definire unadelle seguenti due convenzioni:

! " #! "

vAB

vAB

!"#$%#&'"#% )%* +%#%,-.",% !"#$%#&'"#% )%**/0.'*'&&-.",%

! # ! #

Come riconoscere la convenzione adottata su un bipolo

Con laconvenzione del generatoreil verso della corrente (i) e uscente dal terminaleche corrisponde al segno(+)della tensioneCon laconvenzione dellutilizzatoreil verso della corrente (i) e entrante nel terminaleche corrisponde al segno(+)della tensione




19/41

! " #! "

vAB

vAB

!"#$%#&'"#% )%* +%#%,-.",% !"#$%#&'"#% )%**/0.'*'&&-.",%

! # ! #

A cosa serve la convenzione ?Con la convenzione del generatore il prodotto vAB i corrisponde allapotenza generata(Pgen)dal componente.Adottando la convenzione dellutilizzatore il prodotto vAB i corrisponde allapotenzaassorbita (Pass)dal componente.

La scelta della convenzione eassolutamente arbitrariain quanto la potenza assorbita e

la potenza generata sono tra loro correlate:

Pgen = Pass




20/41

Caratteristiche dei bipoli

I bipoli sono completamente caratterizzati dalla corrente i(t) che li attraversa e dallatensione v(t) che vi e fra i loro terminali.

Lequazione analitica che esprime il legame tensione-corrente e dettaequazionecaratteristicao semplicementecaratteristicadel componente.

Un bipolo si dice caratterizzato in corrente se e possibile esprimere la tensione infunzione della corrente: V=V(I)

Un bipolo si dice caratterizzato in tensione se e possibile esprimere la corrente infunzione della tensione: I=I(V)

Bipolo inertela caratteristica passa per lorigine.

Unbipolo passivo e caratterizzato dal fatto che per ogni condizione difunzionamento, non puo erogare piu energia elettrica di quanto ne abbiaeffettivamente assorbita in precedenza. Cio comporta che la caratteristica esituata in quadranti opposti al piano (I,V), ovvero il prodotto V I sia sempredello stesso segno. Per esempio, adottando la convenzione dellutilizzatore, lacaratteristica passa solo per il primo e terzo quadrante del piano (I,V).

Bipolo attivola caratteristica passa per due quadranti adiacenti e quindi ilprodotto V I non e sempre dello stesso segno.

Bipolo lineare e rappresentabile con una caratteristica rettilinea.




21/41

Esempi di caratteristiche di bipoli

Un bipolo, a seconda della convenzione utilizzata, puo presentare una caratteristicaspostata in quadranti differenti.Nel seguito di fa riferimento alla convenzione dellutilizzatore.

v

! "

i

!"#$%#&'"#% )%**+,-'*'&&.-"/%

i

v

i

v

0'1"*" 1.22'$" #"# *'#%./% 0'1"*" .--'$" #"# *'#%./%

3,#&4 ).

5%#%/.-"/% 3,#&4 ).

6./'6"

0'1"*" 1.22'$" *'#%./% 0'1"*" .--'$" *'#%./%

! #




22/41

Bipoli fondamentali: il Resistore

il Resistore ideale e un bipolo la cui caratteristica analitica e espressa dalla legge diOhm.

v

! "

i

i

v

!"##" %& '()

#

v = R i

!

* +

Il BipoloConduttanza e linverso della resistenza ed e caratterizzato dalla relazione:

i= G v

Lunita di misura della conduttanza e il siemens [S=1/]

Legge di Joule

Un resistore di resistenza R attraversato dalla corrente i dissipa potenza sotto forma dicalore secondo la seguente relazione:

p=v i =R i2




23/41

Bipoli fondamentali: il Cortocircuito e il Circuito aperto

il Cortocircuito ideale e un bipolo la cui tensione e sempre nulla per qualsiasivalore della corrente che lo attraversa. Il cortocircuito puo anche essere vistocome un resistore con resistenza nulla.

il Circuito aperto e un bipolo la cui la corrente e sempre nulla per qualsiasivalore della tensione ai morsetti. Il circuito aperto puo anche essere visto comeun resistore con resistenza infinita.

v

! "

i

v

!"#$"%%'&$"

! "

i i

v

!%'&$" )*+#$"

v = 0

i = 0

R =

R = 0

R =

R = 0

, -

, -




24/41

Bipoli fondamentali: Generatore ideale di tensione e generatore ideale di corrente

il Generatore ideale di tensione e un bipolo che impone ai suoi morsetti unatensione (E) che e indipendente dalla corrente che lo attraversa. Il valore dellatensione non dipende dalla configurazione circuitale in cui il generatore eutilizzato.

il Generatore ideale di corrente e un bipolo che imprime una corrente (J) che eindipendente dalla tensione che si manifesta ai suoi terminali. Il valore dellacorrente non dipende dalla configurazione circuitale in cui il generatore eutilizzato.

! "

i

v!"#"$%&'$" )* &"#+*'#"

! "

i

i

v!"#"$%&'$" )* ,'$$"#&"

v = E

i = J

v = E

i = Jv

- .

- .

-.

Avendo utilizzato laconvenzione del generatore, igeneratori di tensione e

corrente assorbono potenzanei quadranti dovep=v i


25/41

Legge di Kirchhoff per le correnti (LKC)

In ogni nodo la somma algebrica delle correnti e uguale a zero in ogni istante.

La legge di Kirchhoff per le correnti deriva dalla legge di conservazione della caricaconsiderando una superficie chiusa che racchiude il nodo di riferimento:

" J ndS=

S1

J1 ndS+

S2

J2 ndS........+

SN

JN ndS= 0 N

k=1

Ik = 0

!

!

!

"

!

!

!

#

$

%#

%$ %&

%'

Esempi

Fissato ad arbitrio il riferimento per la corrente su ogni bipolo, siconsiderano con il segno +le correnti entranti nel (uscenti dal)nodo e con il segno quelle uscenti (entranti).Nel caso in cui si associa il segno + alle correnti entranti si ha:

I1I2 +I3 +I4 = 0

Nel caso in cui si associa il segno + alle correnti uscenti si ha:

I1 +I2I3 I4 = 0

Le due equazioni sono perfettamente equivalenti




26/41

Legge di Kirchhoff per le tensioni (LKT)

Per ogni maglia la somma algebrica delle tensioni e, in ogni istante, uguale azero.

La legge di Kirchhoff per le tensioni deriva dalla proprieta che lintegrale del campoelettrico lungo una curva chiusa e pari a zero; cio comporta che la somma delletensioni lungo una maglia (che e un percorso chiuso) e pari a zero:

E tdl=

1

E tdl+

2

E tdl+ +

L

E tdl= 0 L

j=1

Vj = 0

!

!

!

"

!

!

!

#$

#%

!

#&

"

#'

"

" !

!

"

!

"

" !

Esempi

Fissato un verso di percorrenza della maglia (ed il riferimento perla tensione su ogni bipolo), si considera con il segno + la tensioneche si incontra concordemente con il verso di percorrenza e con ilsegno - quella che si incontra in verso opposto.Nel caso in cui si considera il verso orario come verso di

percorrenza della maglia si ha:

V1 V2+V3 +V4 = 0

Nel caso in cui si considera il verso antiorario come verso dipercorrenza della maglia si ha:

V1 +V2 V3 V4 = 0

Le due equazioni sono perfettamente equivalenti




27/41

Equazioni linearmente indipendenti

Le LKC e LKT non dipendono dalla struttura interna dei componenti, ma solodal modo in cui essi sono collegati (topologia del circuito).

Si tratta di equazioni lineari, algebriche ed a coefficienti costanti.

Una equazione di un sistema si dice indipendente quando non contieneinformazioni gia contenute in altre equazioni del sistema.

Condizione sufficiente per avere un sistema di equazioni linearmenteindipendente e che ogni equazione del sistemacontieneuna incognita inesclusiva.

LKC e LKT linearmente indipendenti

In un circuito conn nodisi possono scrivere n 1 LKCindipendenti.In un circuito conl lati si possono scrivere(l n+ 1) LKTindipendenti.

!

!

!

!

!

!

"

#

$

!

"

!

"

Verifica

Si dimostri laffermazioneprecedente utilizzandolesempio in figura




28/41

Definizione di Grafo, Albero e Coalbero

IlGrafo e la struttura geometrica che identifica la modalita di connessione del circuito a prescindere daltipo di componenti con cui il circuito e realizzato.

Un grafo si diceconnessose ogni nodo e collegato a qualsiasi altro nodo attraverso uno o piu lati.

Un grafo si diceorientatose ciascun lato e orientato con la freccia che indica il verso di riferimentodellintensita della corrente che attraversa il corrispondente bipolo.

Si definiscemagliaqualsiasi sottoinsieme dei lati di una rete che forma un percorso chiuso.

LAlberodi una rete e un qualunque percorso (e sempre costituito da n-1 lati) che collega tutti i nodi senzaformare maglie.

Gli(l (n 1)) lati rimanenti costituiscono il Coalberodella rete

Si noti che circuiti diversi possono avere lo stesso grafo

!

!

!

!

!

!!

!

!

!

!

"

#

"

#

"

#

$$

$

%&'()*

+*,&'()*

-),.* -),.* 0)1(23,3*

"

#

$

!

"

!

"

!

"

!"




29/41

LCK e LKT linearmente dipendenti

Il numero di equazioni LKC linearmente indipendenti e n-1.Essendo ogni corrente entrante in un nodo ed uscente in un altro, tutte le

correnti appariranno almeno una volta scrivendo n-1 LKC, cio rende superflualequazione alln-esimo nodo.Si considerino h equazioni LKC (con h


30/41

Riepilogo: Scrittura delle equazioni per lanalisi di una rete elettrica

Dato un circuito in cui siano note le connessioni (topologia), e le caratteristichedei componenti che lo costituiscono, si fissano i riferimenti delle correnti e delletensioni di interesse.

Essendo lequazione caratteristica di ogni componente, dipendente dallaconvenzione utilizzata, e necessario verificare la coerenza tra equazionecaratteristica e convenzione utilizzata.

Le informazioni sulla topologia e sulle caratteristiche dei componenti vengonocondensate in un sistema di equazioni (il modello) che consente di calcolare lecorrenti e le tensioni di interesse.

Il modello e costituito da:

Leggi di Kirchhoff per le correnti (LKC)

Leggi di Kirchhoff per le tensioni (LKT)

Relazioni caratteristiche (legami tra tensioni e correnti dei componenti)

Quante e quali equazioni scrivere per risolvere un circuito?

Per ogni circuito e sempre possibile scrivere n 1 LKC ed l n+ 1 LKT chedanno origine ad un sistema di equazioni in l incognite (tensioni e correnti).

Aggiungendo le lequazioni caratteristiche dei componenti si arriva a definire unnumero congruo di 2 lequazioni, pari al numero delle tensioni e correnti di tutti

i lati.Universita degli studi di Salerno -G.Petrone - [email protected] Appunti corso di Elettrotecnica Ingegneria Informatica



31/41

Resistenze equivalenti

Date due reti resistive, accessibili ciascuna attraverso una coppia di morsetti, si dice

che risultanoequivalentise, ai corrispondenti morsetti, si stabilisce la medesimarelazionetensione - corrente.Si puo trarrebeneficiodalla condizione di equivalenza perche una rete comunquecomplessa (rispetto alla coppia di morsetti di riferimento A-B), puo essere sostituitacon un circuito piu semplice avente lo stessa relazione tensione-corrente.

!"#" %&'()"**+!"#" ",-./+)"0#"

!

"#$

%

!

"#$

%




32/41

Resistenze in serie e in parallelo

N resistori connessi inserie, cioeattraversati dalla stessa corrente, hanno un comportamento equivalentead un unico resistore la cui resistenza e la somma delle singole resistenze. Scrivendo la LKT alcollegamento serie si ha:

vAB = R1 I +R2 I +.....+ RN I = I N

i

Ri Req =N

i

Ri

N resistori connessi inparallelo, cioesottoposti alla stessa tensione, hanno un comportamento equivalentead un unico resistore la cui conduttanza (G = 1/R) e la somma delle singole conduttanze. Scrivendo laLKC al collegamento parallelo si ha:

I =vAB

R1+

vAB

R2+....+

vAB

RN= vAB

N

i

1

Ri= vAB

N

i

Gi Geq =N

i

Gi

considerando che la conduttanza e linverso della resistenza:

Req =1

Geq=

1

Ni

1Ri

nel caso di due resistori: Req =R1 R2

R1 +R2

!

"#

% &

"' "(

vAB

!

!(

%

&

!'!#

vAB

!"##$%&'$()" +$,-$ !"##$%&'$()" .&,#$#"

)()')#)# )' )(

! # ! # ! #

! #

!

#




33/41

Partitore di tensione

In una rete costituita da N resistori in serie sottoposta ad una tensione vAB, la corrente che circola nella serie deiresistori e data da :

I =vAB

Nk

=1

Rk

pertanto la tensione Viai capi di un generico resistore Ri della serie, e data da:

Vi = Ri I = vAB Ri

Nk=1Rk

= k vAB

il fattore k e dettorapporto di partizione.

!

"#

% &

"' "(

vAB

!"##$%&'$()" +$,-$

)# )* )(

! # ! # ! #

! #

Nel caso di due resistori in serie la tensione applicata alla serie si ripartisce secondo il seguente rapporto:

V1 = VAB R1

R1 + R2V2 = VAB

R2

R1 +R2V1 +V2 = VAB




34/41

Partitore di corrente

In una rete costituita da N resistori in parallelo, la tensione vAB, dipende dalla corrente totale i secondo la seguenterelazione:

vAB =i

Geq

=i

Nk=1Gk

pertanto la corrente iidi un generico resistore Ridel parallelo, e data da:

ii = Gi vAB =Gi iNk=1 Gk

!

!"

$

%

!&!'

vAB

!"##$%&'$()" +&,#$#"

("()('

!

#

Usando la relazione precedente, nel caso di due resistori in parallelo la corrente in ingresso (i) si ripartisce secondole seguenti relazioni:

i1 =G1 i

G1 +G2=

R2 i

R1 +R2i2 =

G2 i

G1 +G2=

R1 i

R1 +R2




35/41

Esercizi dal libro Circuiti




36/41

Esercizi dal libro Circuiti




37/41

Linearita

Un modello matematico si dice linearequando sono assicurate le proprieta diomogeneita e additivitaIn una relazione matematica che descrive un legame causa-effetto (ovvero

ingresso-uscita), la proprieta di omogeneita afferma che quando lingresso vienemoltiplicato per una costante luscita risulta moltiplicata per lo stesso fattore. In unresistore si ha:

v1 =R i and v 2 = R (k i) then v2 =k v1

La proprieta di additivita richiede che la risposta alla somma di ingressi risulti ugualealla somma delle singole risposte:

v1 =R i1 and v 2 = R i2 then v3 =R (i1+ i2) = v1+ v2

Principio di sovrapposizione degli effetti

Il principio di sovrapposizione degli effetti deriva direttamente dalla proprieta dilinearita e afferma che, in una rete lineare comunque complessa, la tensione e lacorrente in ogni lato possono essere determinatesommando i contributi di tensione edi corrente dovuti ai singoli generatori agenti uno per volta.I generatori non attivi vanno sostituiti con dei corto-circuiti (V=0)se sono generatoridi tensione, con deicircuiti aperti (I=0)se sono generatori di corrente.




38/41

Esempio dal libro Circuiti

Si calcoli la corrente (IR1 ) del resistore R1 applicando la sovrapposizione degli effetti al circuito mostrato in figura.

IR1

I(E)R1

IR1

La corrente nel resistore R1 nella rete con il solo generatore di tensione attivo e pari a I(E)R1

= 10 A

La corrente nel resistore R1 nella rete con il solo generatore di corrente attivo e pari a I(J)R1

= 6.25 A

La corrente totale sara data da IR1 = I(E)R1

+I(J)R1




39/41

Esempio dal libro Circuiti



Generatore reale di tensione


40/41

Generatore reale di tensione

Il generatore reale di tensione si differenzia da quello ideale per la presenza di unaresistenza internala quale tiene conto delle perdite interne al generatore stesso.

!

"

vAB

!"#"$%&'$" $"%)" *+ &"#,+'#"

-

+

-

.//

0+

0

vAB

1

2

1

2

1

2

Pgen = vAB i > 0

i

Adottando la convenzione del generatore, la tensione vABai morsetti di uscita e datada:

vAB =E Ri i

La caratteristica grafica del generatore reale e riportata in figura.Lintercetta con lasse delle ordinate e dettatensione a vuoto(che rappresenta anche il valore della forzaelettromotrice del generatore).Lintercetta con lasse delle ascisse e dettacorrente di cortocircuito, essa rappresenta la corrente che circola nellamaglia quando i morsetti del generatore reale sono chiusi su un cortocircuito (R=0).

Icc =E

Ri



G


41/41

Generatore reale di corrente

Il generatore reale di corrente si differenzia da quello ideale per la presenza di unaresistenza internala quale tiene conto delle perdite interne al generatore stesso.

!

"

vAB

!"#"$%&'$" $"%)" *+ ,'$$"#&"

-,, +

-,,

.+

.

vAB

/

0

Pgen = vAB i > 0

i

vAB0

Adottando la convenzione del generatore, la corrente iai morsetti di uscita e data da:

i=JccvAB

Ri

Essendo il componente caratterizzato in tensione lasse delle ascisse e la tensione ai terminali A-B. In condizioni difunzionamento con R = , la tensione ai terminali e data dalla tensione a vuoto vAB0

vAB0 = Jcc Ri


Documents

Appunti corso di Elettrotecnica